SİHİRLİ DÜNYA....SİHİRLİ KARE

Bunlarada Bakarsınız

 

NV Makarova

113	130	125	142	115	132	123	140	117	134	121	138	119	136	127	144	113	130	125	142
128	143	116	131	126	141	118	133	124	139	120	135	122	137	114	129	128	143	116	131
2	241	on dört	253	dört	243	12	251	6	245	on	249	sekiz	247	16	255	2	241	on dört	253
on beş	256	3	244	13	254	5	246	on bir	252	7	248	9	250	bir	242	on beş	256	3	244
226	17	238	29	228	19	236	27	230	21	234	25	232	23	240	31	226	17	238	29
239	32	227	yirmi	237	otuz	229	22	235	28	231	24	233	26	225	on sekiz	239	32	227	yirmi
209	34	221	46	211	36	219	44	213	38	217	42	215	40	223	48	209	34	221	46
224	47	212	35	222	45	214	37	220	43	216	39	218	41	210	33	224	47	212	35
49	194	61	206	51	196	59	204	53	198	57	202	55	200	63	208	49	194	61	206
64	207	52	195	62	205	54	197	60	203	56	199	58	201	elli	193	64	207	52	195
66	177	78	189	68	179	76	187	70	181	74	185	72	183	80	191	66	177	78	189
79	192	67	180	77	190	69	182	75	188	71	184	73	186	65	178	79	192	67	180
162	81	174	93	164	83	172	91	166	85	170	89	168	87	176	95	162	81	174	93
175	96	163	84	173	94	165	86	171	92	167	88	169	90	161	82	175	96	163	84
145	98	157	110	147	100	155	108	149	102	153	106	151	104	159	112	145	98	157	110
160	111	148	99	158	109	150	101	156	107	152	103	154	105	146	97	160	111	148	99
113	130	125	142	115	132	123	140	117	134	121	138	119	136	127	144	113	130	125	142
128	143	116	131	126	141	118	133	124	139	120	135	122	137	114	129	128	143	116	131
2	241	on dört	253	dört	243	12	251	6	245	on	249	sekiz	247	16	255	2	241	on dört	253
on beş	256	3	244	13	254	5	246	on bir	252	7	248	9	250	bir	242	on beş	256	3	244
226	17	238	29	228	19	236	27	230	21	234	25	232	23	240	31	226	17	238	29
239	32	227	yirmi	237	otuz	229	22	235	28	231	24	233	26	225	on sekiz	239	32	227	yirmi
209	34	221	46	211	36	219	44	213	38	217	42	215	40	223	48	209	34	221	46
224	47	212	35	222	45	214	37	220	43	216	39	218	41	210	33	224	47	212	35
49	194	61	206	51	196	59	204	53	198	57	202	55	200	63	208	49	194	61	206

 

Saratov

2009

DİPNOT

Kitap, sihirli karelerin inşası teorisi ve bunların dönüşümleri hakkında yerel dilde birçok soruyu açıklar. Bilinen yapım yöntemlerinin yanı sıra birkaç özgün yöntem de verilmiştir. Rus dili literatüründe çok az çalışılmış olan mükemmel sihirli karelerin yapım yöntemleri ve özellikleri göz önünde bulundurulur. Kitap tüm matematik severlere ve özellikle kombinatoryal problemleri sevenlere hitap ediyor. Sunumun basitliği kitabı herkes için erişilebilir ve ilgi çekici kılıyor - okul çocukları ve okul öğretmenlerinden öğrencilere ve lisansüstü öğrencilere kadar.

ÖNSÖZ

Sihirli ( sihirli ) kareler, hakkında ayrı bir kitap yazılabilecek çok eski ve zengin bir tarihe sahiptir.

Üçüncü derecenin ilk sihirli karesi ( Şekil 1 ) “eski Çinliler tarafından Lo shu adı altında biliniyordu. Efsaneye göre, ilk olarak MÖ 23. yüzyılda Luo Nehri'nden sürünen kutsal bir kaplumbağanın kabuğunda ortaya çıktı, ancak modern sinologlar Luoshu'yu yalnızca MÖ 4. yüzyıla kadar takip ediyor. O zamandan 10. yüzyıla kadar bu sihirli kare, büyük öneme sahip mistik bir semboldü. Eski Çinliler çift sayıları "yin" ile tanımladılar - dişil, tek sayılar "yang" ile - eril. Merkez hücredeki beş, fikirlerine göre, dünyaya karşılık geldi, neden diğer 4 element yin ve yang arasında katı bir dengeye yerleştirildi: 4 ve 9 sayıları metali, 2 ve 7 - ateşi, 1 ve 6 - suyu sembolize ediyordu. , 3 ve 8 - ahşap. [on]

dört	9	2
3	5	7
sekiz	bir	dört

Vefk. bir

Çin'den sihirli kareler Hindistan'a (11. yüzyıl civarında) ve ardından Japonya'ya gitti. Sihirli kareler 15. yüzyılda Bizans'tan Avrupa'ya getirildi. Dördüncü dereceden sihirli kare, Alman sanatçı Albrecht Dürer'i o kadar büyüledi ki, onu ünlü gravürü "Melankoli" üzerine yerleştirdi. Bu meydan Dürer Meydanı olarak tanındı. Dürer karesinin son satırındaki ortalama sayıların - 15 ve 14 - gravür yılına - 1514 - eklenmesi ilginçtir. Dürer karesi ile ilgili ayrıntılar 2. bölümde açıklanmıştır.

Orta Çağ'da sihirli kareler astroloji ile ilişkilendirildi, her gezegenin kendi sihirli karesi vardı. Sihirli karelerin mistik özelliklere sahip olduğuna inanılıyordu.

“Sihirli karelerin incelenmesi, yalnızca sayısal batıl inançların ve astrolojinin matematiğin en önemli “uygulamaları” olarak görüldüğü dönemde matematikte önemli bir yer işgal etti; daha sonra, matematiğin yeni, daha ciddi "tüketicileri" ortaya çıktığında, sihirli kareler teorisinin karşılık gelen doğal bilimsel ve teknik sorunları çözmek için gerekli olmadığı ortaya çıktı. O zamandan beri matematiksel meraklardan sadece biri olarak kabul edildi. Bununla birlikte, sihirli kareler teoremi, yapıların zarafeti ve görevlerin basitliği ve netliği nedeniyle matematik severlerin, özellikle öğrencilerin ilgisini çekebilir, bu teoremin uygulama için minnettar bir alan olduğu gerçeğinden bahsetmiyorum bile. sihirli kareler teorisinin problemleriyle bağlantıları dışında bile çok önemli olan bir dizi genel sayı-teorik kavramdan. [3]

Burada, alıntı yapılan MM Postnikov kitabının yayınlandığı 1964'ten bu yana, çok şeyin değiştiği ve sihirli küplerin sadece matematiksel bir eğlence nesnesi ve çok zarif bir bulmaca olmaktan çıktığı söylenmelidir. Şimdi sihirli küpler pratik uygulama buluyor. Örneğin, [8]'de dijital bilgilerin iletimi sırasında meydana gelen hataları düzeltmek için sihirli karelerin kullanımı hakkında söylenmektedir: "... fazlalık sayılar girilerek ek koşullar uygulanabilir. Alıcı tarafta, iletilen sayı kümesinin sağlaması gereken koşullar kontrol edilir ve iletimin doğruluğu ve hata düzeltmesi izlenir. Samoylenko SI - Noise-immunecoding kitabına bir bağlantı verilmiştir. - E.: 1966.

Son zamanlarda internette en son dijital görüntüleme teknolojisinde sihirli karelerin kullanımı hakkında raporlar var. (21.22)

Antik çağlardan günümüze matematikçiler ve hatta diğer mesleklerden insanlar sihirli kareler yapmışlar, yapım yöntemleri geliştirmişler, sihirli kareleri sınıflandırmışlar ve özelliklerini incelemişlerdir. Farklı sıralardaki toplam sihirli kare sayısı sorusu büyük ilgi gördü. 2x2 sihirli kare yoktur. Dönmelere ve yansımalara kadar üçüncü dereceden yalnızca bir sihirli kare vardır (sihirli karelerin bu temel dönüşümleri kitapta açıklanmıştır). Bu kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 1 .

Döndürmeler ve yansımalar dahil 880 dördüncü dereceden sihirli kare vardır. Tüm bu kareler ilk kez Fransız matematikçi Frenicle de Bessy (Bernard) (1605 - 1675) tarafından inşa edildi. Frenicle, dördüncü dereceden sihirli karelerin özelliklerinin incelenmesi üzerinde çok büyük miktarda çalışma yaptı. Bu kareleri sınıflandırması çok ilginç. [5]

“... Fransız akademisyen Bernard Frenicle de Bessy, sihirli küpler üzerine iki makale yazdı. Bunlar, onun tarafından Paris'teki Kraliyet Bilimler Akademisi'ne sunulan el yazısı raporlardı. Frenikl'in ölümünden 18 yıl sonra, sadece 1693'te matematikçi Lyagir'in sorunlarının bir sonucu olarak ilk kez yayınlandılar. Lyagir olmasaydı, Frenicle'nin çalışmalarının Kraliyet Akademisi arşivlerinde kaç yıl kalacağı bilinmiyor.

... Frenicle'nin çalışkanlığı, "Dörtlü Sihirli Karelerin Genel Tablosu" adlı çalışmasında özellikle belirgindir. Frenicle, 16 hücrede 880 sihirli kare çeşidinin tümünü hesaplayan ve oluşturan tek matematikçiydi ve öyle olmaya devam ediyor. Tablo kitabın 43 sayfasını kaplar. Frenicle'ın bu işi ne kadar sürdüğünü hayal etmek zor. Zor, çünkü zamanımızda ve XVII yüzyılda. aynı problemin çözümleri tamamen farklı görünüyor. ” (23)

“Farklı ilkelere dayanan 4. dereceden sihirli karelerin birçok sınıflandırması vardır. En iyi sınıflandırmalardan biri Henry E. Dudeney tarafından önerildi.

5. dereceden karelerin tam sayısı, Innocent Indigo'nun bir matematikçi ve bilgisayar programcısı olan R. Schroeppel tarafından geliştirilen bir bilgisayar programı tarafından sihirli karelerin tam bir sayımının yapıldığı 1973 yılına kadar bilinmiyordu. Programı bir bilgisayarda çalıştırmak yaklaşık 100 saat bilgisayar zamanını alır. M. Beeler tarafından yazılan son mesaj Ekim 1975'te yayınlandı. Döndürmeler ve yansımalar dahil olmak üzere, 5” mertebesinde 275.305.224 sihirli kare vardır. [on]

5. mertebedeki sihirli kareler için, örneğin, karelerin merkezi hücresindeki sayıya göre sınıflandırma girişiminde bulunulmuştur. Bu sınıflandırma [10]'da sunulmuştur.

Farklı düzen ve türlerdeki sihirli karelerin sayısının modern bir tahmini (24)'de verilmiştir.

Sihirli kareler teorisinde özel bir yer, inşaat yöntemlerinin geliştirilmesi ile işgal edilmiştir. Birkaç yüzyıl boyunca birçok farklı algoritma derlenmiştir. Şu anda, çoğu resmileştirilmiş ve programlanmıştır. Bir bilgisayar programı yardımıyla , belirli özelliklere sahip herhangi bir düzenin sihirli bir karesini birkaç saniye içinde oluşturmaya izin verir - ilişkisel, tümleşik, mükemmel, bimagic, vb. Bileşik kareler yöntemi, iki Latin ortogonal kare kullanma yöntemi gibi bazı yöntemler evrenseldir. Diğer yöntemler yalnızca farklı bir dizi düzen ve belirli türde sihirli kareler oluşturmak için kullanılır.

XX-XXI yüzyıllarda sihirli kareler oluşturmak için birçok yöntem geliştirildi. Belki de en ilginç olanı ideal ve mükemmel sihirli kareler oluşturma yöntemleridir.

Sihirli kareler teorisindeki en önemli ikinci konu, çeşitli dönüşümlerin incelenmesidir. İki grup sihirli kare dönüşüm vardır - eşdeğer ve eşdeğer olmayan. İlk grubun dönüşümleri, orijinal sihirli kareyi eşdeğer (veya izomorfik) bir sihirli kareye dönüştürür. Bu grup, her şeyden önce, sihirli karelerin en önemli dönüşümlerini içerir - döndürmeler ve yansımalar. İkinci grubun dönüşümleri, orijinal sihirli kareyi büyük ölçüde yeni (veya izomorfik olmayan) bir sihirli kareye dönüştürür.

Fransız bilim adamı A. Aubrey, sihirli küpleri uygulamanın yararları hakkında çok iyi söyledi: "Sihirli küpleri bir araya getirmek, yerleştirme, kombinasyon, simetri, sınıflandırma, genelleme vb. fikirlerini kavrama yeteneğini geliştiren mükemmel bir zihinsel jimnastiktir. [sekiz]

BÖLÜM 1

TANITICI TANIMLAR

geleneksel ( normal veya klasik ) sihirli kare, 1'den n ^2'ye kadar çeşitli doğal sayılarla doldurulmuş nxn boyutunda bir kare tablodur. öyle ki tablonun her satırındaki, her sütundaki ve her iki köşegenindeki sayıların toplamı aynı sayıya eşittir ki buna karenin sihirli sabiti denir.

Ayrıca kare tablo hücrelerinin hücrelerini ve hücrelerde bulunan sayıları - sihirli karenin öğelerini arayacağız.

N dereceli bir karenin sihirli sabiti 8 için bir formül türetmek zor değildir :

8     = n(n ² + 1)/2

Karenin köşegenlerindeki sayıların toplamı sihirli sabite eşit değilse, böyle bir kareye yarı büyülü (veya eksik ) denir .

Sihirli n dereceli kareye, karenin merkezi etrafında simetrik olarak yerleştirilmiş herhangi iki sayının toplamı aynı sayıya eşitse, kolayca anlayabileceğiniz gibi n ² +1'e eşittir . Bir ilişkisel sihirli karedeki bu tür sayılara karşılıklı tamamlayıcı veya tamamlayıcı denir . Şek . 1.1 , dördüncü dereceden bir çağrışımsal sihirli kare sunar.

bir	on dört	on beş	dört
sekiz	on bir	on	5
12	7	6	9
13	2	3	16

Vefk. 1.1

Dördüncü dereceden bir karenin sihirli sabiti 34'tür. Dördüncü dereceden bir karedeki tamamlayıcı sayıların toplamı 17'dir . Şek. 1.1 birbirini tamamlayan iki sayıyı vurguladı. Birleştirici sihirli karenin tamamlayıcı sayılarının toplamını Ka ( _birleşim sabiti) olarak gösterelim . Tamamlayıcı sayıların toplamının, aşağıdaki formülle karenin sihirli sabiti ile ilişkili olduğu açıktır:

[bir]

8    \u003d Ka * n / 2

Tek sıralı birleşimli karelerde, merkezi hücre Ka /2'ye eşit _{bir sayı içerir.}

Sihirli bir karedeki düzgün köşegenlere, onları kırık köşegenlerden ayırt etmek için asal denir . Kırık bir köşegen, ana köşegene paralel olan ve aynı zamanda karenin n hücresinden geçen bir köşegendir. İki ana köşegen olduğu için kırık köşegenlerin de iki yönü olacaktır. Vefk. 1.2 , dördüncü dereceden sihirli karenin kırık köşegenlerinin nasıl oluştuğunu anlamaya yardımcı olur.

Vefk. 1.2

n sıralı sihirli kareye iliştirilmiştir . Bu şekilde elde edilen nx2n boyutundaki dikdörtgende , sihirli karenin ana köşegenlerine paralel düz çizgiler çizilir ve n hücreden geçer.

n 2(n-1) düzeyindeki sihirli bir karede kırık köşegenlerin olacağı açıktır.

geleneksel olmayan sihirli kare denir . Tabii ki, bir kareyi aynı sayılarla doldurmanın önemsiz durumlarını düşünmek mantıklı değil. Açıkça, bu tür kareler hem birleştirici hem de bütünseldir ve sihirli karelerin diğer özelliklerine sahiptir.

Şek . Şekil 1.3 , 144 ardışık tek asal sayıdan oluşan geleneksel olmayan 12. dereceden sihirli kareyi göstermektedir. Bu kare 1913 yılında JN Munsey tarafından yapılmıştır. O sadece bu kareyi yapmakla kalmadı, aynı zamanda ardışık tek asal sayıların en küçük sihirli karesinin 12. dereceden olması gerektiğini de kanıtladı. [6]

bir	823	821	809	811	797	19	29	313	31	23	37
89	83	211	79	641	631	619	709	617	53	43	739
97	227	103	107	193	557	719	727	607	139	757	281
223	653	499	197	109	113	563	479	173	761	587	157
367	379	521	383	241	467	257	263	269	167	601	599
349	359	353	647	389	331	317	311	409	307	293	449
503	523	233	337	547	397	421	17	401	271	431	433
229	491	373	487	461	251	443	463	137	439	457	283
509	199	73	541	347	191	181	569	577	571	163	593
661	101	643	239	691	701	127	131	179	613	277	151
659	673	677	683	71	67	61	47	59	743	733	41
827	3	7	5	13	on bir	787	769	773	419	149	751

Vefk. 1.3

Geleneksel olmayan bir sihirli karenin satır, sütun ve ana köşegenlerindeki sayıların toplamına da karenin sihirli sabiti denir. Şekil l'de gösterilen karenin sihirli sabiti . 1.3 , 4514'e eşittir.

0'dan n ^2-1'e kadar sayılarla dolu sihirli karelerle karşılaşılır . Aynı zamanda oldukça yaygın olan alışılmadık bir sihirli kare şeklidir. Böyle sihirli bir kareyi geleneksel forma getirmek için ( 1'den n ^2'ye kadar sayılarla dolu bir kareye ) , karenin tüm öğelerine bir tane eklemek yeterlidir.

Aşağıda "geleneksel" terimini (nadir istisnalar dışında) atlayacağız, çünkü "geleneksel olmayan" teriminin kullanılmadığı tüm durumlarda geleneksel sihirli bloklardan bahsediyoruz.

Tüm kırık köşegenler boyunca sayıların toplamı karenin sihirli sabitine eşitse, sihirli kareye pandiagonal (veya şeytanlar ) denir . Şek . 1.4 , dördüncü dereceden geniş bir sihirli kareyi gösterir.

bir	sekiz	13	12
on dört	on bir	2	7
dört	5	16	9
on beş	on	3	6

Vefk. 1.4

"Pandiagonal" terimi , pan- ön ekinin anlamıyla "tüm diyagonal" olarak yorumlanabilir . Yani, böyle bir karede, hem ana hem de kırık tüm köşegenlerdeki sayıların sihirli toplamıdır.

İngilizce literatürde "pandiagonal square" terimi, "raptadis schnage" ve "rap&adopai schnage" terimlerine karşılık gelir .

n = 4k + 2 siparişleri için birleştirici veya tümleşik sihirli kareler yoktur. [on sekiz]

Not: Sihirli karelerin belirli bir sırası genel bir biçimde belirtildiğinde, belirtilmediği sürece k değerlerinin bir dizi doğal sayıya ait olduğu kabul edilir.

Pandiagonallik özelliği, sihirli karenin simit üzerine paralel olarak çevrilmesi altında korunur. Sihirli kareyi bir tüpe yuvarlarsanız, sol ve sağ taraflarını yapıştırırsanız, kareyi başka bir yerde dikey olarak keserseniz ve sonra tekrar açarsanız, yatay koordinat ekseni boyunca böyle bir aktarımın uygulanması kolaydır.

Örneğin, aynı zamanda pandiagonal olacak böyle bir sihirli kare ( Şekil 1.5 ) görünür.

sekiz	13	12	bir
on bir	2	7	on dört
5	16	9	dört
on	3	6	on beş

Vefk. 1.5

Benzer şekilde, dikey eksen boyunca paralel bir aktarım gerçekleştirilir (bu durumda, karenin üst ve alt kenarları birbirine yapıştırılır ve yatay bir kesim yapılır).

Her iki eksende aynı anda paralel çeviri yapabilirsiniz. Bir torus üzerindeki paralel çeviriye torik çeviri de denir.

Eşdeğer dönüşümler grubuna torik çevirilere atıfta bulunacağız. Bu, birbirinden torik transferle elde edilen tüm tam köşegen karelerin eşdeğer kabul edildiği anlamına gelir.

Sihirli bir karenin hem birleştirici hem de bütün köşegen olması durumunda ideal olduğu söylenir . Tek sıra n>3 ve çift sıra n>4 için ideal sihirli kareler mevcuttur (çift sıra 4'ün katıdır). n = 4k + 2 mertebeleri için sadece geleneksel olmayan tam kareler vardır, çünkü bu tür mertebelerin geleneksel kareleri birleştirici veya tam köşegen olamaz. Ayrıca geleneksel olmayan bir 4. dereceden tam kare vardır. Geleneksel 4. dereceden sihirli kareler, ilişkisel veya tümleşik olabilir, ancak her iki özelliğe aynı anda sahip olamaz. Bu ifadenin kanıtı yazarın web sitesinde verilmiştir. (25) 4. mertebedeki birleşik karelerin sayısının tüm köşegen karelerin sayısına eşit olduğunu ve 48'e eşit olduğunu belirtmek ilginçtir. Torik ötelemelere kadar ve dahil olmak üzere 4. mertebeden sadece 3 tam köşe kare vardır. 16 köşegen kareden oluşan üç grup var. Aynı gruba ait 16 karenin tamamı eşdeğerdir, yani birbirlerinden torik transfer ile elde edilirler.

İngilizce eserlerde, "ideal kare" terimi, "iіііgatаdіе shіage" terimine karşılık gelir .

Şek . 1.6 , beşinci dereceden bir tam kareyi sunar.

bir	23	on	on dört	17
on beş	19	2	21	sekiz
22	6	13	yirmi	dört
on sekiz	5	24	7	on bir
9	12	16	3	25

Vefk. 1.6

5. dereceden 16 tam kare vardır.

Şek . 1.7 , 6. dereceden geleneksel olmayan bir tam kareyi gösterir. Bu kare Science and Life dergisinden (No. 9, 1979, s. 110), yazarı Ya. D. Zhurba. Bu sihirli kare hem ilişkilendirme özelliğine hem de pandiagonal özelliğine sahiptir.

- 9 -

bir	47	6	48	5	43
35	17	otuz	16	31	21
36	12	41	13	40	sekiz
42	on	37	9	38	on dört
29	19	34	yirmi	33	on beş
7	45	2	44	3	49

Vefk. 1.7

Bu karenin sihirli sabiti 150, tamamlayıcı sayıların toplamı 50'dir. Formül [1]'in geleneksel olmayan bir çağrışımlı kare için de doğru olduğu açıktır.

Bir sihirli kare, tam köşegen ise ve birkaç ek özelliğe sahipse mükemmel olarak adlandırılır (bu özelliklerle ilgili ayrıntılar, mükemmel kareler bölümünde). n = 4k siparişleri için mükemmel sihirli kareler mevcuttur . 4. dereceden tüm pandiagonal küpler de mükemmeldir. Şek . 1.4 ve şek. 1.5 bu tür kareleri gösterir. Diğer eşit siparişler için, tüm köşegen kareler mükemmel değildir. Şek . 1.8 , 8. dereceden bir tam kareyi gösterir.

bir	63	3	61	sekiz	58	6	60
16	elli	on dört	52	9	55	on bir	53
17	47	19	45	24	42	22	44
32	34	otuz	36	25	39	27	37
57	7	59	5	64	2	62	dört
56	on	54	12	49	on beş	51	13
41	23	43	21	48	on sekiz	46	yirmi
40	26	38	28	33	31	35	29

Vefk. 1.8

İngiliz literatüründe 'mükemmel kare' terimi 'to^i-reg/esi \diage' terimine karşılık gelir.

Yukarıda verilen tanıma uygun olarak sadece toplamalı sihirli kareleri ele alacağız. Çarpımsal ve toplamsal ­çarpımsal sihirli kareler de vardır . Bu tür sihirli karelerde satır, sütun ve ana köşegenlerdeki sayıların çarpımları aynı değerdedir. [sekiz]

BÖLÜM 2

DURER'İN SİHİRLİ MEYDANI

Alman sanatçı Albrecht Dürer tarafından "Melancholia" gravürü üzerine yeniden üretilen sihirli kare, sihirli karelerin tüm araştırmacıları tarafından bilinir.

Bu kare burada ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Şek . 2.1 , "Melankoli" gravürünü gösterir ve şek. Üzerinde tasvir edilen 2.2 sihirli kare.

- on -

Vefk. 2.1

Vefk. 2.2

Bu kareyi her zamanki biçiminde gösterelim ( Şekil 2.3 ):

16	3	2	13
5	on	on bir	sekiz
9	6	7	12
dört	on beş	on dört	bir

 

Vefk. 2.3

Daha önce belirtildiği gibi, karenin son satırındaki (vurgulanırlar) ortadaki iki sayı gravürün yılını oluşturur - 1514.

Şimdi bu harika meydanın tüm özelliklerini düşünün. Ancak bunu, grubu Dürer Meydanı'nı içeren başka bir meydanda yapacağız. Bu, Dürer karesinin şimdi ele alacağımız kareden sihirli karelerin yedi temel dönüşümünden biri olan 180 derecelik bir dönüşle elde edildiği anlamına gelir. Bu grubu oluşturan 8 karenin tamamı şimdi listelenecek özelliklere sahiptir, sadece bazı kareler için özellik 8'de "sıra" kelimesi "sütun" kelimesi ile değiştirilecektir ve bunun tersi de geçerlidir.

Şekil 2'de görülebilir . 2.4 .

- on bir -

bir	on dört	on beş	dört
12	7	6	9
sekiz	on bir	on	5
13	2	3	16

Vefk. 2.4

Şimdi bu ünlü meydanın tüm özelliklerini sıralıyoruz.

Özellik 1. Bu kare birleştiricidir, yani karenin merkezine göre simetrik olarak yerleştirilmiş herhangi bir sayı çifti toplam 17=1+n ^{2 verir} .

Özellik 2. Karenin köşe hücrelerindeki sayıların toplamı, karenin sihirli sabiti - 34'e eşittir.

Özellik 3. Her 2x2 köşeli karedeki ve merkezi 2x2 karedeki sayıların toplamı, karenin sihirli sabitine eşittir.

Özellik 4. Bir karenin sihirli sabiti, iki merkezi 2x4 dikdörtgenin karşılıklı taraflarındaki sayıların toplamına eşittir, yani: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

Özellik 5. Karenin sihirli sabiti, satranç atının hareketiyle işaretlenen hücrelerdeki sayıların toplamına eşittir, yani: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15 +5 +2+12=34 ve 4+ 10+13+7=34.

Özellik 6. Bir karenin sihirli sabiti, karenin zıt köşeleri boyunca 2x2 köşe karelerinin karşılık gelen köşegenlerindeki sayıların toplamına eşittir. Örneğin, 2x2 köşe karelerinde, karşılık gelen köşegenlerin ilk çiftindeki sayıların toplamı: 1+7+10+16=34 (bu sayılar karenin kendisinin ana köşegeninde yer aldığından bu anlaşılabilir bir durumdur). ) . Karşılık gelen başka bir köşegen çiftindeki sayıların toplamı: 14+12+5+3=34.

Özellik 7. Karenin sihirli sabiti, bir satranç şövalyesinin hareketine benzer bir hareketle işaretlenmiş, ancak uzatılmış bir G harfi ile işaretlenmiş hücrelerdeki sayıların toplamına eşittir. Bu sayılar: 1+9+ 8 +16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34, 4+3+14+13=34.

Özellik 8. Karenin her satırında toplamı 15 olan bir çift bitişik sayı ve toplamı 19 olan bir başka bitişik sayı çifti vardır. Karenin her sütunu, toplamı 13 olan bir çift bitişik sayı ve 21'e kadar olan başka bir bitişik sayı çifti içerir.

Özellik 9. İki uç satırdaki sayıların karelerinin toplamı birbirine eşittir. Aynı şey ortadaki iki sıradaki sayıların karelerinin toplamları için de söylenebilir. Görmek:

1 ² + 14 ² + 15 ² + 4 ² = 13 ² + 2 ² + 3 ² + 16 ² = 438

12 ² + 7 ² + 6 ² + 9 ² = 8 ² + 11 ² + 10 ² + 5 ² = 310

Karenin sütunlarındaki sayılar benzer bir özelliğe sahiptir.

- 12 -

Özellik 10. Kenarların orta noktalarında köşeleri olan bir kare söz konusu kareye yazılırsa ( Şekil 2.5 ), o zaman:

a )                    yazılı karenin bir çift karşılıklı kenarı boyunca sayıların toplamı, diğer karşıt kenar çifti boyunca yer alan sayıların toplamına eşittir ve bu toplamların her biri karenin sihirli sabitine eşittir;

b )                          Belirtilen sayıların karelerinin toplamı ve üçüncü kuvvetlerinin toplamları eşittir:

12 2 + 14 ² + 3 ² + 5 ² = 15 ² + 9 ² + 8 ² + 2 ² = 374

12 ³ + 14 ³ + 3 ³ + 5 ³ = 15 ³ + 9 ³ + 8 ³ + 2 ³ = 4624

Vefk. 2.5

Dürer karesini içeren bir grup sihirli kareyi oluşturan sihirli karenin özellikleridir.

Örnek olarak Dürer karesi kullanılarak sihirli karelerin ne gibi ilginç özelliklere sahip olabileceği ve bu özelliklerin nasıl görüldüğü gösterildi.

BÖLÜM 3

SİHİRLİ KARE DÖNÜŞÜMLERİ

Sihirli kare dönüşümleri konusu, yapım yöntemleri konusuyla birlikte sihirli kareler teorisinde merkezi bir yer tutar.

Daha önce de belirtildiği gibi, tüm dönüşümler iki gruba ayrılabilir: eşdeğer ve eşdeğer olmayan.

Birinci grup temel dönüşümleri (karenin simetri eksenleri ile ilgili döndürmeler ve yansımalar) ve torik ötelemeleri içerir. Bazı sihirli kareler araştırmacıları, tamamlayıcı ve M dönüşümlerini eşdeğer dönüşümler olarak almayı da içerir. Bu dönüşümleri eşdeğer olarak kabul etmeyeceğiz.

Eşdeğer dönüşümler, herhangi bir sihirli kareyi eşdeğer (izomorfik) bir sihirli kareye dönüştürür.

Diğer tüm dönüşümler ikinci gruba aittir. İkinci grubun dönüşümleri, herhangi bir sihirli kareyi yeni (izomorfik olmayan) bir sihirli kareye dönüştürür.

i ), dönüştürülmüş B(bD, dönüşümler - Latin alfabesinin harfleri Г, q, ...) matrisinin matrisini göstereceğiz. В = Г(А) yazın ), В karesinin G dönüşümü kullanılarak A karesinden elde edildiği anlamına gelir.

İki dönüşüm Г ve q eşdeğer olarak adlandırılır

G(A) = q(A)

- 13 -

I- ^{1 dönüşümüne} ters dönüşüm G denir, eğer

B \u003d G (A), A \u003d G ^-1 (B)

Burada sadece birkaç dönüşüm ele alınacaktır. Yazarın web sitesinde dönüşümler hakkında daha fazla bilgi edinebilirsiniz. (26)

3.1.     TEMEL DÖNÜŞÜMLER

Yedi temel dönüşüm vardır, bunlar tüm sihirli karelere (herhangi bir dizi ve her türden) ve hatta yarı sihirli karelere uygulanır. Temel dönüşümler aynı zamanda döndürme ve yansıma olarak da adlandırılır. Bu, karenin merkez etrafında 90, 180 ve 270 derece dönmesini ve karenin simetri eksenleri etrafındaki yansımaları - yatay ve dikey - ifade eder.

Şekilde gösterilen 5. mertebenin ideal sihirli karesindeki ana dönüşümleri gösterelim . 3.1 .

bir	23	on	on dört	17
on beş	19	2	21	sekiz
22	6	13	yirmi	dört
on sekiz	5	24	7	on bir
9	12	16	3	25

Vefk. 3.1

Bu kare ilişkisel ve pandiagonaldir. Şimdi, sihirli karenin temel dönüşümlerinin bu özellikleri koruduğunu, yani bu dönüşümlerden kaynaklanan karelerin de çağrışım ve bütünlük özelliklerine sahip olduğunu göreceksiniz. Aşağıdaki tüm ana dönüşümleri listeler ve Şekil 1'deki orijinal kareden elde edilen sihirli kareleri gösterir . 3.1 Bu dönüşümlerin kendisine uygulanmasının bir sonucu olarak.

1.     Karenin merkezi etrafında saat yönünde 90 derece döndürün ( Şekil 3.2 ):

9	on sekiz	22	on beş	bir
12	5	6	19	23
16	24	13	2	on
3	7	yirmi	21	on dört
25	on bir	dört	sekiz	17

Vefk. 3.2

2.      Karenin merkezi etrafında 180 derece döndürün ( Şekil 3.3 ):

- on dört -

25	3	16	12	9
on bir	7	24	5	on sekiz
dört	yirmi	13	6	22
sekiz	21	2	19	on beş
17	on dört	on	23	bir

 

Vefk. 3.3

180 derecelik bir dönüş durumunda, dönüş yönünün (saat yönünde veya saat yönünün tersine) önemli olmadığı açıktır.

3.      Karenin merkezi etrafında saat yönünde 270 derece döndürün ( Şekil 3.4 ):

17	sekiz	dört	on bir	25
on dört	21	yirmi	7	3
on	2	13	24	16
23	19	6	5	12
bir	on beş	22	on sekiz	9

Vefk. 3.4

4.      Karenin yatay simetri ekseni hakkındaki yansıma ( Şekil 3.5 ):

9	12	16	3	25
on sekiz	5	24	7	on bir
22	6	13	yirmi	dört
on beş	19	2	21	sekiz
bir	23	on	on dört	17

 

Vefk. 3.5

5.      Karenin dikey simetri eksenine ilişkin yansıma ( Şekil 3.6 ):

17	on dört	on	23	bir
sekiz	21	2	19	on beş
dört	yirmi	13	6	22
on bir	7	24	5	on sekiz
25	3	16	12	9

Vefk. 3.6

6.     Bu dönüşüm iki dönüşümün birleşimidir - hayır. 1 ve hayır. 5, yani, önce kare merkez etrafında saat yönünde 90 derece döndürülür ve ardından dikey simetri ekseni etrafında yansıtılır. Ortaya çıkan kare, Şekil 2'de gösterilmektedir . 3.7 .

- on beş -

bir	on beş	22	on sekiz	9
23	19	6	5	12
on	2	13	24	16
on dört	21	yirmi	7	3
17	sekiz	dört	on bir	25

Vefk. 3.7

Bu dönüşüm, no.lu dönüşümlerin bir kombinasyonu olarak da düşünülebilir. 3 ve hayır. 4. Orijinal karenin göreli ana köşegeninin bir yansıması olarak da düşünülebilir ( Şekil 3.8 ).

bir	23	on	on dört	17
on beş	19	2	21	sekiz
22	6	13	yirmi	dört
on sekiz	5	24	7	on bir
9	12	16	3	25

Vefk. 3.8

Şek . 3.8 , yansımanın gerçekleştiği ana açı turuncu renkle vurgulanmıştır. Verilen ana köşegene göre simetrik olarak yerleştirilmiş hücreler aynı renkle renklendirilir. Bu hücrelerdeki sayılar değiştirilir.

7.     Bu dönüşüm iki dönüşümün birleşimidir - hayır. 1 ve hayır. 4, yani, önce kare saat yönünde 90 derece döndürülür ve ardından yatay simetri ekseni etrafında yansıtılır ( Şekil 3.9 ).

25	on bir	dört	sekiz	17
3	7	yirmi	21	on dört
16	24	13	2	on
12	5	6	19	23
9	on sekiz	22	on beş	bir

Vefk. 3.9

Bu dönüşümü de dönüşümlerin bir kombinasyonu olarak düşünebilirsiniz. 3 ve hayır. 5. Ve orijinal karenin ikinci ana köşegenindeki bir yansıma olarak da düşünülebilir ( Şekil 3.10 ).

bir	23	on	on dört	17
on beş	19	2	21	sekiz
22	6	13	yirmi	dört
on sekiz	5	24	7	on bir
9	12	16	3	25

Vefk. 3.10

Renk şek. 3.8 .

- 16 -

Takip edilen tüm karelerin birleştirici ve tam köşegen, yani ideal olduğunu doğrulamak kolaydır.

Temel dönüşümlerden biri veya birkaç temel dönüşümün bir kombinasyonu ile birbirinden elde edilen sihirli karelere eşdeğer (izomorfik) denir ve temel dönüşümlerin kendileri eşdeğer dönüşümler grubuna aittir.

Böylece, her sihirli karenin yedi eşdeğer (izomorfik) varyantı vardır. Eşdeğer kareleri olmayan belirli bir sihirli kareler grubunu ele alırsak, böyle bir sihirli kareler grubunun temel dönüşümler (veya dönüşler ve yansımalar dikkate alınarak) verildiği söylenir. Örneğin, temel dönüşümler dikkate alındığında, üçüncü dereceden yalnızca bir sihirli kare vardır. Başka bir örnek: Biri burada sunulan 5. mertebeden ideal kareler grubu, ana dönüşümler dikkate alınarak 16 kareden oluşur. Temel dönüşümler dikkate alınarak 4. dereceden 880 sihirli kare vardır. Bunlardan 48'i pandiagonal ve 48'i birleştiricidir. Ancak daha sonra tartışılacak olan torik dönüşümleri hesaba katarsak, 4. dereceden sadece 3 köşegen kare vardır.5. dereceden 3600 köşegen kare vardır, dönmeleri ve yansımaları hesaba katarak ve torik dönüşümleri hesaba katarak, sadece 144 tanesi.

Yukarıda temel dönüşümlerin yarı sihirli kareler için de geçerli olduğu söylenmişti. Bir örneğe bakalım. Franklin'in 8. mertebeden yarı sihirli karesini ilk kare olarak alalım ( Şekil 3.11 ). Bu, Benjamin Franklin'in (1706 - 1790) en ünlü meydanıdır - boş zamanlarında sihirli küplerin montajıyla uğraşan ve bu konuda mükemmel sonuçlar elde eden bir Amerikan halk figürü.[19]

52	61	dört	13	yirmi	29	36	45
on dört	3	62	51	46	35	otuz	19
53	60	5	12	21	28	37	44
on bir	6	59	54	43	38	27	22
55	58	7	on	23	26	39	42
9	sekiz	57	56	41	40	25	24
elli	63	2	on beş	on sekiz	31	34	47
16	bir	64	49	48	33	32	17

Vefk. 3.11

Ana dönüşüm no'yu uygulayın. 7 bu yarı sihirli kareye.

Ortaya çıkan kare, Şekil 2'de gösterilmektedir . 3.12 .

17	47	24	42	22	44	19	45
32	34	25	39	27	37	otuz	36
33	31	40	26	38	28	35	29
48	on sekiz	41	23	43	21	46	yirmi
49	on beş	56	on	54	12	51	13
64	2	57	7	59	5	62	dört
bir	63	sekiz	58	6	60	3	61
16	elli	9	55	on bir	53	on dört	52

Vefk. 3.12

- 17 -

Meydanın yarı büyülü kaldığı ve orijinal karenin tüm özelliklerini koruduğu açıktır.

3.2.     TORİKAL DÖNÜŞÜMLER

Torus dönüşümleri veya bir torus üzerindeki öteleme dönüşümleri, yalnızca pandiagonal sihirli kareler için geçerlidir. Ayrıca, torus dönüşümlerinin de geçerli olduğu küçük bir yarı sihirli Franklin kareleri grubu vardır.

Bir eksen boyunca simit üzerinde paralel ötelemenin dönüştürülmesi aşağıdaki gibi kolayca gerçekleştirilebilir: sihirli kareyi bir tüpe yuvarlayın, kenarlarını yapıştırın, örneğin sola ve sağa. Ardından tüpü dikey olarak başka bir yerden kesin (kenarların yapıştırıldığı yerden değil) ve kareyi açın. Yeni bir pandiagonal kare alacaksınız. Karenin alt ve üst kenarlarını yapıştırır ve boruyu yatay olarak keserseniz, diğer eksen boyunca paralel bir öteleme elde edersiniz. Her iki eksende aynı anda paralel çeviri yapabilirsiniz.

n mertebesindeki herhangi bir tam köşegen sihirli kare, birbirinin torik dönüşümleriyle elde edilen n ^{2 tam köşegen kareden} oluşan bir grup oluşturur . Yukarıda belirtildiği gibi, torik dönüşümler eşdeğer dönüşümler grubuna aittir.

Sihirli düzlemde torik dönüşümleri hayal etmek daha da kolaydır. Böyle bir düzlem, aynı köşegen karenin sonsuz sayıda kopyasını düzlem üzerine yerleştirerek elde edilir. Örneğin, 5. dereceden aşağıdaki tüm köşegen kareyi alın ( Şekil 3.13 ):

bir	7	yirmi	on dört	23
on beş	24	3	6	17
sekiz	16	12	25	dört
22	5	9	on sekiz	on bir
19	13	21	2	on

 

Vefk. 3.13

Bu tam köşegen kareyi kullanarak sihirli düzlemi gösterelim ( Şekil 3.14 ):

- on sekiz -

13	21	2	on	19	13	21	2	on	19	13	21	2	on	19	13	21
7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi
24	3	6	17	on beş	24	3	6	17	on beş	24	3	6	17	on beş	24	3
16	12	25	dört	sekiz	16	12	25	dört	sekiz	16	12	25	dört	sekiz	16	12
5	9	on sekiz	on bir	22	5	9	on sekiz	on bir	22	5	9	on sekiz	on bir	22	5	9
13	21	2	on	19	13	21	2	on	19	13	21	2	on	19	13	21
7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi
24	3	6	17	on beş	24	3	6	17	on beş	24	3	6	17	on beş	24	3
16	12	25	dört	sekiz	16	12	25	dört	sekiz	16	12	25	dört	sekiz	16	12
5	9	on sekiz	on bir	22	5	9	on sekiz	on bir	22	5	9	on sekiz	on bir	22	5	9
13	21	2	on	19	13	21	2	on	19	13	21	2	on	19	13	21
7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi
24	3	6	17	on beş	24	3	6	17	on beş	24	3	6	17	on beş	24	3
16	12	25	dört	sekiz	16	12	25	dört	sekiz	16	12	25	dört	sekiz	16	12
5	9	on sekiz	on bir	22	5	9	on sekiz	on bir	22	5	9	on sekiz	on bir	22	5	9
13	21	2	on	19	13	21	2	on	19	13	21	2	on	19	13	21
5	9	on sekiz	on bir	bir	7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi	on dört	23	bir	7	yirmi
13	21	2	on	on beş	24	3	6	17	on beş	24	3	6	17	on beş	24	3

Vefk. 3.14

Düzlem her yöne süresiz olarak uzatılabilir: yukarı, aşağı, sola, sağa. Bu düzlemdeki herhangi bir 5x5 kare tam diyagonal olacaktır. Bir tam köşegen kareden oluşan 5. dereceden 25 tam köşeli kareden oluşan bir grupta, 1'den 25'e kadar olan sayıların her biriyle başlayan kareler vardır (sihirli bir karenin m sayısıyla başladığı söylenir , bu sayı en üstte ise karenin sol hücresi). Sihir düzeyinde, tüm bu 25 kare özetlenebilir. Örneğin, Şek. 1, 3, 6, 20, 24, 25 sayılarıyla başlayan 3.14 işaretli kutular.

Ama en dikkat çekici şey mükemmel uçak. Bu, örneğin 4. dereceden mükemmel bir karenin kopyalarıyla dolu bir düzlemdir. Şek . 3.15 Mükemmel bir uçak görüyorsunuz. Bu seviyedeki herhangi bir 4x4 kare mükemmeldir.

on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört
sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş
13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6
2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9
on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört
sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş
13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6
2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9
on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört
sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş
13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6
2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9	7	2	16	9
on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört	on dört	on bir	5	dört
sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş	bir	sekiz	on	on beş
13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6	12	13	3	6

Vefk. 3.15

- 19 -

4. dereceden herhangi bir tam köşegen kare, birbirlerinin torik dönüşümleriyle elde edilen 16 tam köşegen kareden oluşan bir grup oluşturur. Bu kareler 1'den 16'ya kadar sayılarla başlar. Tüm bu karelerin orijinal mükemmel karenin kopyalarıyla dolu mükemmel bir düzlemde çizilmesi kolaydır. Yukarıda bahsedildiği gibi, torik dönüşümler göz önüne alındığında, 4. dereceden sadece 3 tam köşegen kare vardır.Dolayısıyla, 4. dereceden köşegen karenin kopyalarıyla dolu sadece üç farklı mükemmel düzlem vardır. Bunlardan biri Şekil 2'de gösterilmektedir . 3.15 .

Mükemmel düzlemler sadece n=4k için, yani tam kareleri olan aynı mertebeler için mevcuttur.

n dereceli sihirli (mükemmel) bir düzlemin çekirdeği , torik dönüşümlerle birbirinden elde edilen bir grup n ^{2 köşegen kare} içeren bu düzlemde yer alan 2n-1 büyüklüğünde bir karedir . Çekirdek, düzlemde herhangi bir yere yerleştirilebilir.

Şek . 3.16 , sekizinci dereceden mükemmel bir düzlemi gösterir.

Düzlemde bir çekirdek seçilir - 15x15 kare. Temel tam kareden torik dönüşümlerle elde edilen çekirdekte çeşitli tam kareler detaylandırılmıştır. 8. dereceden bir tam kare, 64 tam kareden oluşan bir grup oluşturur, tüm bu kareler, orijinal tam karenin kopyalarıyla dolu mükemmel bir düzlemin çekirdeğinde çevrelenebilir.

- yirmi -

Tek sıralı ideal karelerde, torik dönüşümler karenin çağrışımını bozar. Bu nedenle, tek sıralı ideal bir kare, simit üzerindeki paralel ötelemeler altında tam kareye dönüşmez.

n=4k (k>1) mertebesindeki ideal karelerde , torik dönüşümler bazen karenin idealliğini korur, yani çağrışımsallığı ihlal etmezler. Genel olarak, çağrışım bozulur. Bir örneğe bakalım. Şekilde gösterilen 12. dereceden ideal kareyi ilk kare olarak alalım. 3.17 .

bir	96	31	100	123	77	on bir	86	32	106	129	78
117	54	133	72	19	40	111	53	143	62	yirmi	46
104	130	81	6	85	36	103	124	75	5	95	26
71	on dört	44	118	57	138	61	24	43	112	51	137
3	89	35	98	128	82	9	90	25	108	127	76
115	52	135	65	23	38	116	58	141	66	13	48
97	132	79	dört	87	29	107	122	80	on	93	otuz
69	on sekiz	37	120	55	136	63	17	47	110	56	142
sekiz	94	33	102	121	84	7	88	27	101	131	74
119	elli	140	70	21	42	109	60	139	64	on beş	41
99	125	83	2	92	34	105	126	73	12	91	28
67	16	39	113	59	134	68	22	45	114	49	144

Vefk. 3.17

Bu kare simit üzerine ideal kalacak şekilde aktarılabilir, yani yeni kare hem tam köşegenlik (bu özellik ideal bir karenin simitine herhangi bir paralel öteleme için korunur) hem de ilişkisellik özelliklerine sahiptir. Şek . 3.18 , seçeneklerden birini gösterir.  

bir	32	17	16	57	40	41	56	bir	32	17	16	57	40	41	56	bir	32	17	16
58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş	58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş	58	39	42	55
3	otuz	19	on dört	59	38	43	54	3	otuz	19	on dört	59	38	43	54	3	otuz	19	on dört
60	37	44	53	dört	29	yirmi	13	60	37	44	53	dört	29	yirmi	13	60	37	44	53
sekiz	25	24	9	64	33	48	49	sekiz	25	24	9	64	33	48	49	sekiz	25	24	9
63	34	47	elli	7	26	23	on	63	34	47	elli	7	26	23	on	63	34	47	elli
6	27	22	on bir	62	35	46	51	6	27	22	on bir	62	35	46	51	6	27	22	on bir
61	36	45	52	5	28	21	12	61	36	45	52	5	28	21	12	61	36	45	52
bir	32	17	16	57	40	41	56	bir	32	17	16	57	40	41	56	bir	32	17	16
58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş	58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş	58	39	42	55
3	otuz	19	on dört	59	38	43	54	3	otuz	19	on dört	59	38	43	54	3	otuz	19	on dört
60	37	44	53	dört	29	yirmi	13	60	37	44	53	dört	29	yirmi	13	60	37	44	53
sekiz	25	24	9	64	33	48	49	sekiz	25	24	9	64	33	48	49	sekiz	25	24	9
63	34	47	elli	7	26	23	on	63	34	47	elli	7	26	23	on	63	34	47	elli
6	27	22	on bir	62	35	46	51	6	27	22	on bir	62	35	46	51	6	27	22	on bir
61	36	45	52	5	28	21	12	61	36	45	52	5	28	21	12	61	36	45	52
bir	32	17	16	57	40	41	56	bir	32	17	16	57	40	41	56	bir	32	17	16
58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş	58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş	58	39	42	55
3	otuz	19	on dört	59	38	43	54	3	otuz	19	on dört	59	38	43	54	3	otuz	19	on dört
60	37	44	53	dört	29	yirmi	13	60	37	44	53	dört	29	yirmi	13	60	37	44	53
sekiz	25	24	9	64	33	48	49	sekiz	25	24	9	64	33	48	49	sekiz	25	24	9
63	34	47	elli	7	26	23	on	63	34	47	elli	7	26	23	on	63	34	47	elli
6	27	22	on bir	62	35	46	51	6	27	22	on bir	62	35	46	51	6	27	22	on bir
61	36	45	52	5	28	21	12	61	36	45	52	5	28	21	12	61	36	45	52
bir	32	17	16	57	40	41	56	bir	32	17	16	57	40	41	56	bir	32	17	16
58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş	58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş	58	39	42	55

Vefk. 3.16

Okuyucular, belirli bir karenin halkasında idealliği koruyan diğer paralel çeviri çeşitlerini yapmaya davet edilir.

107	122	80	on	93	otuz	97	132	79	dört	87	29
63	17	47	110	56	142	69	on sekiz	37	120	55	136
7	88	27	101	131	74	sekiz	94	33	102	121	84
109	60	139	64	on beş	41	119	elli	140	70	21	42
105	126	73	12	91	28	99	125	83	2	92	34
68	22	45	114	49	144	67	16	39	113	59	134
on bir	86	32	106	129	78	bir	96	31	100	123	77
111	53	143	62	yirmi	46	117	54	133	72	19	40
103	124	75	5	95	26	104	130	81	6	85	36
61	24	43	112	51	137	71	on dört	44	118	57	138
9	90	25	108	127	76	3	89	35	98	128	82
116	58	141	66	13	48	115	52	135	65	23	38

Vefk. 3.17

- 21 -

Şimdi Franklin'in 8. dereceden yarı sihirli karelerinden birine torik dönüşümler uygulamayı düşünün. Franklin'in yarı-sihirli kareleri, simit üzerindeki herhangi bir paralel öteleme için asal köşegenler boyunca aynı toplamlarla yarı-sihirli kalmaları gibi harika bir özelliğe sahiptir. Sihir düzeyine benzeterek, bu durumda yarı -büyü düzeyinden söz edebiliriz . Açıkçası, bu seviye yarı sihirli karenin kopyalarıyla doludur. Şek . 3.18 , 8. dereceden yarı sihirli bir Franklin karesiyle doldurulmuş böyle bir düzlemi göstermektedir.

35	29	44	22	39	25	48	on sekiz	35	29	44	22	39	25	48	on sekiz	35	29	44
62	dört	53	on bir	58	sekiz	49	on beş	62	dört	53	on bir	58	sekiz	49	on beş	62	dört	53
51	13	60	6	55	9	64	2	51	13	60	6	55	9	64	2	51	13	60
on dört	52	5	59	on	56	bir	63	on dört	52	5	59	on	56	bir	63	on dört	52	5
3	61	12	54	7	57	16	elli	3	61	12	54	7	57	16	elli	3	61	12
otuz	36	21	43	26	40	17	47	otuz	36	21	43	26	40	17	47	otuz	36	21
19	45	28	38	23	41	32	34	19	45	28	38	23	41	32	34	19	45	28
46	yirmi	37	27	42	24	33	31	46	yirmi	37	27	42	24	33	31	46	yirmi	37
35	29	44	22	39	25	48	on sekiz	35	29	44	22	39	25	48	on sekiz	35	29	44
62	dört	53	on bir	58	sekiz	49	on beş	62	dört	53	on bir	58	sekiz	49	on beş	62	dört	53
51	13	60	6	55	9	64	2	51	13	60	6	55	9	64	2	51	13	60
on dört	52	5	59	on	56	bir	63	on dört	52	5	59	on	56	bir	63	on dört	52	5
3	61	12	54	7	57	16	elli	3	61	12	54	7	57	16	elli	3	61	12
otuz	36	21	43	26	40	17	47	otuz	36	21	43	26	40	17	47	otuz	36	21
19	45	28	38	23	41	32	34	19	45	28	38	23	41	32	34	19	45	28
46	yirmi	37	27	42	24	33	31	46	yirmi	37	27	42	24	33	31	46	yirmi	37
35	29	44	22	39	25	48	on sekiz	35	29	44	22	39	25	48	on sekiz	35	29	44
62	dört	53	on bir	58	sekiz	49	on beş	62	dört	53	on bir	58	sekiz	49	on beş	62	dört	53
51	13	60	6	55	9	64	me_2_me	51	13	60	6	55	9	64	І_2_	51	13	60

Vefk. 3.18

Bu seviyede, Franklin'in orijinal yarı-sihirli karesi işaretlenir (1 rakamı ile başlar) ve orijinal kareden torik dönüşümlerle elde edilen üç yarı-sihirli karenin ana hatları çizilir. Benzer şekilde, bu yarı sihirli karenin grubu, orijinal kareyi sayarak 64 yarı sihirli kare içerecektir. Çerçeveli karelerin ana köşegenlerindeki sayıların toplamlarını kontrol edin ve bunların iki değerle çakıştığından emin olun: 252 ve 268. Bu gruptaki tüm karelerin kırık köşegenlerindeki toplamlar aynı değerlere sahiptir.

Ve burada, Franklin şemasına göre inşa edilmiş, 16. dereceden tüm köşegen karesine gömülü 8. derecenin mükemmel karesi ( Şekil 3.19 ):

bir	56	49	47	42	31	26	sekiz
62	on bir	on dört	yirmi	21	36	37	59
dört	otuz	27	46	43	53	52	5
63	33	40	17	24	on	on beş	58
7	elli	55	41	48	25	32	2
60	13	12	22	19	38	35	61
6	28	29	44	45	51	54	3
57	39	34	23	on sekiz	16	9	64

Vefk. 3.19

- 22 -

Bu ideal karenin de ideal kalacak şekilde torusa aktarılabileceğini görmek kolaydır. Şek . 3.20 , böyle bir transfer için seçeneklerden birini gösterir.

48	25	32	2	7	elli	55	41
19	38	35	61	60	13	12	22
45	51	54	3	6	28	29	44
on sekiz	16	9	64	57	39	34	23
42	31	26	sekiz	bir	56	49	47
21	36	37	59	62	on bir	on dört	yirmi
43	53	52	5	dört	otuz	27	46
24	on	on beş	58	63	33	40	17

 

Vefk. 3.20

Bu arada, 16. dereceden pandiagonal Franklin karesinin kopyalarıyla dolu sihirli bir düzlem, bu karenin doğasında bulunan ilginç özelliklere sahip olacaktır. Bu uçağa Franklin sihirli uçağı diyelim ( Şekil 3.21 ).

113	130	125	142	115	132	123	140	117	134	121	138	119	136	127	144	113	130	125	142
128	143	116	131	126	141	118	133	124	139	120	135	122	137	114	129	128	143	116	131
2	241	on dört	253	dört	243	12	251	6	245	on	249	sekiz	247	16	255	2	241	on dört	253
on beş	256	3	244	13	254	5	246	on bir	252	7	248	9	250	bir	242	on beş	256	3	244
226	17	238	29	228	19	236	27	230	21	234	25	232	23	240	31	226	17	238	29
239	32	227	yirmi	237	otuz	229	22	235	28	231	24	233	26	225	on sekiz	239	32	227	yirmi
209	34	221	46	211	36	219	44	213	38	217	42	215	40	223	48	209	34	221	46
224	47	212	35	222	45	214	37	220	43	216	39	218	41	210	33	224	47	212	35
49	194	61	206	51	196	59	204	53	198	57	202	55	200	63	208	49	194	61	206
64	207	52	195	62	205	54	197	60	203	56	199	58	201	elli	193	64	207	52	195
66	177	78	189	68	179	76	187	70	181	74	185	72	183	80	191	66	177	78	189
79	192	67	180	77	190	69	182	75	188	71	184	73	186	65	178	79	192	67	180
162	81	174	93	164	83	172	91	166	85	170	89	168	87	176	95	162	81	174	93
175	96	163	84	173	94	165	86	171	92	167	88	169	90	161	82	175	96	163	84
145	98	157	110	147	100	155	108	149	102	153	106	151	104	159	112	145	98	157	110
160	111	148	99	158	109	150	101	156	107	152	103	154	105	146	97	160	111	148	99
113	130	125	142	115	132	123	140	117	134	121	138	119	136	127	144	113	130	125	142
128	143	116	131	126	141	118	133	124	139	120	135	122	137	114	129	128	143	116	131
2	241	on dört	253	dört	243	12	251	6	245	on	249	sekiz	247	16	255	2	241	on dört	253
on beş	256	3	244	13	254	5	246	on bir	252	7	248	9	250	bir	242	on beş	256	3	244
226	17	238	29	228	19	236	27	230	21	234	25	232	23	240	31	226	17	238	29
239	32	227	yirmi	237	otuz	229	22	235	28	231	24	233	26	225	on sekiz	239	32	227	yirmi
209	34	221	46	211	36	219	44	213	38	217	42	215	40	223	48	209	34	221	46
224	47	212	35	222	45	214	37	220	43	216	39	218	41	210	33	224	47	212	35
49	194	61	206	51	196	59	204	53	198	57	202	55	200	63	208	49	194	61	206

 

Vefk. 3.21

Franklin'in sihirli uçağının çekirdeği, uçağın herhangi bir yerinde bulunan 31x31'lik bir karedir. Böyle bir karede, 16. dereceden Franklin köşegen kare grubunun tüm 256 köşegen karesinin ana hatları çizilebilir.

Daha önce de belirtildiği gibi, Franklin'in sihirli uçağı, Franklin'in tüm köşegen karesinin sahip olduğu birçok dikkate değer özelliğe sahiptir. Örneğin, Franklin sihirli düzleminde bulunan herhangi bir 4x4 karedeki sayıların toplamı, 16. dereceden karenin sihirli sabiti - 2056'ya eşittir.

- 23 - bu seviyenin herhangi bir 2x2 karesindeki sayıların toplamı bu sihirli sabitin çeyreğine eşittir - 514.

Bir başka ilginç özellik: turuncu ile vurgulanan şekildeki sayıların toplamı, karenin sihirli sabitine eşittir. Ayrıca, bu rakam düzlemde süresiz olarak yukarı ve aşağı hareket edebilir ve her yeni benzer şekilde sayıların toplamı aynı sayıya eşittir - 2056. Şek. 3.21 Birkaç benzer şekil renklidir. Ama hepsi bu değil! Şekil bir karede 90, 270 (saat yönünde veya saat yönünün tersine) veya 180 derece döndürülebilir ve daha sonra düzlem boyunca sola-sağa (ilk iki durumda) veya yukarı-aşağı (ikinci durumda) sonsuza kadar hareket ettirilebilir. . Şek . Şekil 3.22, saat yönünün tersine 90 derece döndürülmüş bir şekli göstermektedir.

14 4	11 3	13 0	12 5	14 2	115	132	123	140	117	134	121	138	119	136	127	144	113	130	125	142
12 9	12 8	14 3	11 6	13 1	126	141	118	133	124	139	120	135	122	137	114	129	128	143	116	131
25 5	2	24 1	on dört	25 3	dört	243	12	251	6	245	on	249	sekiz	247	16	255	2	241	on dört	253
24 2	on beş	25 6	3	24 4	13	254	5	246	on bir	252	7	248	9	250	bir	242	on beş	256	3	244
31	22 6	17	23 8	29	228	19	236	27	230	21	234	25	232	23	240	31	226	17	238	29
on sekiz	23 9	32	22 7	yirmi	237	otuz	229	22	235	28	231	24	233	26	225	on sekiz	239	32	227	yirmi
48	20 9	34	22 1	46	211	36	219	44	213	38	217	42	215	40	223	48	209	34	221	46
33	224	47	21 2	35	222	45	214	37	220	43	216	39	218	41	210	33	224	47	212	35
20 8	49	19 4	61	20 6	51	196	59	204	53	198	57	202	55	200	63	208	49	194	61	206
19 3	64	yirmi 7	52	19 5	62	205	54	197	60	203	56	199	58	201	elli	193	64	207	52	195
19 1	66	17 7	78	18 9	68	179	76	187	70	181	74	185	72	183	80	191	66	177	78	189
17 8	79	19 2	67	18 0	77	190	69	182	75	188	71	184	73	186	65	178	79	192	67	180
95	16 2	81	174	93	164	83	172	91	166	85	170	89	168	87	176	95	162	81	174	93
82	17 5	96	16 3	84	173	94	165	86	171	92	167	88	169	90	161	82	175	96	163	84
11 2	14 5	98	on beş 7	11 0	147	100	155	108	149	102	153	106	151	104	159	112	145	98	157	110
97	16 0	11 1	14 8	99	158	109	150	101	156	107	152	103	154	105	146	97	160	111	148	99
14 4	11 3	13 0	12 5	14 2	115	132	123	140	117	134	121	138	119	136	127	144	113	130	125	142
12 9	12 8	14 3	11 6	13 1	126	141	118	133	124	139	120	135	122	137	114	129	128	143	116	131
25 5	2	24 1	on dört	25 3	dört	243	12	251	6	245	on	249	sekiz	247	16	255	2	241	on dört	253
24 2	on beş	25 6	3	24 4	13	254	5	246	on bir	252	7	248	9	250	bir	242	on beş	256	3	244
31	22 6	17	23 8	29	228	19	236	27	230	21	234	25	232	23	240	31	226	17	238	29
on sekiz	23 9	32	22 7	yirmi	237	otuz	229	22	235	28	231	24	233	26	225	on sekiz	239	32	227	yirmi
48	20 9	34	22 1	46	211	36	219	44	213	38	217	42	215	40	223	48	209	34	221	46
33	224	47	21 2	35	222	45	214	37	220	43	216	39	218	41	210	33	224	47	212	35
20 8	49	19 4	61	20 6	51	196	59	204	53	198	57	202	55	200	63	208	49	194	61	206

 

Vefk. 3.22

Okuyucuları Franklin'in muhteşem sihirli uçağının özelliklerini daha detaylı keşfetmeye davet ediyoruz.

- 24 -

3.3.      EK ALIN

Tümleyen dönüşüm alır [10]'a göre tanımlanır.

Dönüşüm, sihirli karenin her bir öğesini tamamlayıcı bir sayı ile değiştirmekten oluşur. n mertebesindeki sihirli bir karedeki iki sayının toplamı n ² + 1 ise tamamlayıcı (veya karşılıklı tamamlayıcı) olarak adlandırıldığını unutmayın .

Tamamlayıcı dönüşüm alır, aşağıdaki formülle ifade edilebilir:

[2]                                                                                             b _h \u003d (-1) * bir _h + n ² + 1

Dönüşümü göstermek için, önce Şekil 5'te gösterilen 5. mertebenin sihirli karesini alalım. 3.23 .

5	dört	24	on beş	17
25	21	2	on bir	6
3	23	7	yirmi	12
on sekiz	16	13	on	sekiz
on dört	bir	19	9	22

Vefk. 3.23

Açıkçası, bu karenin ek bir özelliği yok. Tümleyen dönüşümünü buna uygulayalım. Sonuç sihirli bir karedir ( Şekil 3.24 ):

21	22	2	on bir	9
bir	5	24	on beş	yirmi
23	3	19	6	on dört
sekiz	on	13	16	on sekiz
12	25	7	17	dört

Vefk. 3.24

Açıkçası, orijinaline eşdeğer olmayan tamamen yeni bir sihirli kare elde edildi. [10]'da verilen bir dönüşümün bazen eşdeğer dönüşümler grubuna ait olduğu söylenir.

Bu dönüşümü Şekil l'de gösterilen 5. dereceden birleştirici sihirli kareye uygularsak ne tür bir kare elde edeceğimizi görelim . 3.25 .

bir	23	on	on dört	17
on beş	19	2	21	sekiz
22	6	13	yirmi	dört
on sekiz	5	24	7	on bir
9	12	16	3	25

Vefk. 3.25

Bu kareye tümleyeni uygulamak için dönüşümün uygulanması sonucunda elde edilen kare, Şekil 1'de görüyorsunuz. 3.26 .

- 25 -

25	3	16	12	9
on bir	7	24	5	on sekiz
dört	yirmi	13	6	22
sekiz	21	2	19	on beş
17	on dört	on	23	bir

Vefk. 3.26

Ortaya çıkan karenin orijinal kareye eşdeğer olduğu açıktır, orijinal kareden 180 derece döndürülerek elde edilir. Bu anlaşılabilir bir durumdur: bir ilişkisel karede, tamamlayıcı sayılar karenin merkezine göre simetrik olarak yerleştirilmiştir. Bu nedenle, birleştirici sihirli kareler için tümleyeni almak, kareyi 180 derece döndürmeye eşdeğerdir.

Formül [2]'den tümleyeni almanın karenin tüm köşegenliğini koruduğunu görmek kolaydır. Örneğin, 5. dereceden böyle bir pandiagonal kare alın ( Şekil 3.27 ):

bir	12	yirmi	23	9
on sekiz	24	6	2	on beş
7	5	13	19	21
on dört	16	22	on	3
25	sekiz	dört	on bir	17

Vefk. 3.27

Bu kareye toplama dönüşümünün uygulanmasından elde edilen kare, Şekil 2'de gösterilmektedir . 3.28 .

25	on dört	6	3	17
sekiz	2	yirmi	24	on bir
19	21	13	7	5
12	on	dört	16	23
bir	on sekiz	22	on beş	9

Vefk. 3.28

Karenin pan-diyagonal kaldığı açıktır.

Böylece, tümleyeni almak karenin hem çağrışımsallığını hem de tüm köşegenliğini korur ve böylece idealliği korur (bkz. Şekil 3.25'te ideal karenin dönüşümü ).

Şimdi bu dönüşümü Şekil 8'de gösterilen 8. dereceden tam kareye uygulamanın sonucuna bakalım . 3.29 .

bir	16	17	32	elli	63	34	47
62	51	46	35	13	dört	29	yirmi
5	12	21	28	54	59	38	43
58	55	42	39	9	sekiz	25	24
on beş	2	31	on sekiz	64	49	48	33
52	61	36	45	3	on dört	19	otuz

 

- 26 -

on bir	6	27	22	60	53	44	37
56	57	40	41	7	on	23	26

Vefk. 3.29

Tümleyeni almanın bir sonucu olarak elde edilen kare, Şekil 2'de gösterilmektedir . 3.30 _

64	49	48	33	on beş	2	31	on sekiz
3	on dört	19	otuz	52	61	36	45
60	53	44	37	on bir	6	27	22
7	on	23	26	56	57	40	41
elli	63	34	47	bir	16	17	32
13	dört	29	yirmi	62	51	46	35
54	59	38	43	5	12	21	28
9	sekiz	25	24	58	55	42	39

Vefk. 3.30

Beklendiği gibi, ortaya çıkan kare mükemmeldir. Orijinal kareden ne kadar ilginç bir şekilde yeni bir kare elde edildiğini görün: 4x4 köşe kareleri basitçe yeniden düzenlenmiştir.

gösterilen Franklin'in 8. dereceden yarı sihirli karesinin eklenmesini uyguluyoruz ­. 3.31 .

52	61	dört	13	yirmi	29	36	45
on dört	3	62	51	46	35	otuz	19
53	60	5	12	21	28	37	44
on bir	6	59	54	43	38	27	22
55	58	7	on	23	26	39	42
9	sekiz	57	56	41	40	25	24
elli	63	2	on beş	on sekiz	31	34	47
16	bir	64	49	48	33	32	17

Vefk. 3.31

Dönüşümün uygulanmasından elde edilen kare Şekil 2'de gösterilmektedir .

3.32 .

13	dört	61	52	45	36	29	yirmi
51	62	3	on dört	19	otuz	35	46
12	5	60	53	44	37	28	21
54	59	6	on bir	22	27	38	43
on	7	58	55	42	39	26	23
56	57	sekiz	9	24	25	40	41
on beş	2	63	elli	47	34	31	on sekiz
49	64	bir	16	17	32	33	48

- 27 -

Vefk. 3.32

Ana köşegenler boyunca sayıların toplamlarının aynı değerleriyle karenin yarı büyülü kaldığını görmek kolaydır (sadece bu değerler tersine çevrilir).

Tümleyeni alırken sihirli karenin tüm özelliklerinin korunması sadece belirli örnekler üzerinde kolay görülmekle kalmaz, aynı zamanda bu dönüşümü ifade eden formül [2] temelinde de kanıtlanabilir.

Tümleyeni eşdeğer dönüşümler grubuna atfetmezsek, bu dönüşümün yardımıyla farklı türlerde bir dizi yeni sihirli kare elde edeceğimiz açıktır: tam köşegen, mükemmel ve yarı büyü.

- 28 -

3.4     M DÖNÜŞÜMLERİ

M-dönüşümleri [8]'e göre açıklanmıştır.

M-dönüşümleri, satır ve sütunların permütasyonlarıyla ilişkili dönüşümler grubuna aittir. n > 3 düzeyindeki herhangi bir sihirli kareye uygulanırlar.

İki tür M dönüşümü vardır.

ilk türü : i ve n + 1-i sayılarına sahip iki satırın permütasyonu ve ardından aynı sayılara sahip iki sütunun permütasyonu.

Bir örnek alalım. İlk kare olarak 5. mertebedeki sihirli kareyi alıyoruz ( Şekil 3.33 ).

bir	sekiz	17	on dört	25
22	24	on	6	3
on beş	16	13	2	19
on sekiz	12	dört	yirmi	on bir
9	5	21	23	7

Vefk. 3.33

Dönüşümün iki aşamada gerçekleştirildiği açıktır: önce satırların permütasyonu, ardından aynı sayılara sahip sütunların permütasyonu. Dönüştürmeyi ters sırada yapabilirsiniz: önce sütunları, ardından satırları aynı sayılarla yeniden düzenleyin. Satırları yeniden düzenleyerek başlayalım.

5. sıra karede simetrik sayılara sahip iki çift sıra vardır: birinci ve beşinci, ikinci ve dördüncü. Permütasyon için ikinci ve dördüncü satırları seçelim. Lütfen ilk aşamadan sonra elde edilen karenin sihirli olmadığını, ana köşegenlerde sihirli bir sayı toplamı olmadığını, yani yarı sihirli olduğunu unutmayın. Şek . Soldaki 3.34 , ilk aşamanın bir sonucu olarak elde edilen yarı sihirli bir kareyi gösterir - şek. İkinci ve dördüncü satırların 3.33'ü ve sağda ikinci aşamanın bir sonucu olarak sihirli bir kare elde edilir - ikinci ve dördüncü sütunların permütasyonu.

bir	sekiz	17	on dört	25	^	bir	on dört	17	sekiz	25
on sekiz	12	dört	yirmi	on bir		on sekiz	yirmi	dört	12	on bir
on beş	16	13	2	19		on beş	2	13	16	19
22	24	on	6	3		22	6	on	24	3
9	5	21	23	7		9	23	21	5	7

Şekil . 3.34

Bir örnek daha göstereceğim - 6. mertebenin sihirli karesi için. Orijinal kare şek. 3.35 _

- 29 -

29	7	6	yirmi	25	24
9	32	bir	27	23	19
31	3	sekiz	22	21	26
2	34	33	on bir	16	on beş
36	5	28	on sekiz	on dört	on
dört	otuz	35	13	12	17

Vefk. 3.35

6. dereceden bir karede üç çift simetrik sıra olduğu açıktır. Permütasyon için ikinci ve beşinci satırları seçiyoruz . Şek . 3.36 iki kare görüyorsunuz, soldaki kare dönüşümün ilk aşamasının sonucu, sağdaki kare ise ikinci aşamanın sonucu.

29	7	6	yirmi	25	24	^	29	25	6	yirmi	7	24
36	5	28	on sekiz	on dört	on		36	on dört	28	on sekiz	5	on
31	3	sekiz	22	21	26		31	21	sekiz	22	3	26
2	34	33	on bir	16	on beş		2	16	33	on bir	34	on beş
9	32	bir	27	23	19		9	23	bir	27	32	19
dört	otuz	35	13	12	17		dört	12	35	13	otuz	17

 

Vefk. 3.36

ikinci türü : sırasıyla i, ] ve (n+1-i) , (n+1-_I) sayılarına sahip iki satır çiftinin permütasyonu ve ardından aynı sayılara sahip iki çift sütunun permütasyonu.

Şekil 6'nın 6. mertebesindeki aynı sihirli kare örneğinde düşünün . 3.35 _ Permütasyon için aşağıdaki iki çift diziyi seçiyoruz: birinci ve üçüncü, altıncı ve dördüncü. Lütfen dikkat: simetrik olmayan satırlar burada değiştirilir (birinci tipteki M-dönüşümlerinde olduğu gibi) ve ilk satır üçüncü satırla değiştirilir ve buna göre bazı veri simetrik satırlar - altıncı ve dördüncü - değiştirilir.

Şek . 3.37 , dönüşümün ilk aşamasını gösterir. Solda orijinal kare, sağda doğruların permütasyonu sonucu elde edilen kare.

29	7	6	yirmi	25	24	^	31	3	sekiz	22	21	26
9	32	bir	27	23	19		9	32	bir	27	23	19
31	3	sekiz	22	21	26		29	7	6	yirmi	25	24
2	34	33	on bir	16	on beş		dört	otuz	35	13	12	17
36	5	28	on sekiz	on dört	on		36	5	28	on sekiz	on dört	on
dört	otuz	35	13	12	17		2	34	33	on bir	16	on beş

Vefk. 3.37

Burada, tesadüfen, aradaki karenin büyülü olduğu ortaya çıktı.

Şek . 3.38 , dönüşümün ikinci aşamasını gösterir - aynı sayılara sahip sütunların permütasyonu.

- otuz -

31	3	sekiz	22	21	26
9	32	bir	27	23	19
29	7	6	yirmi	25	24
dört	otuz	35	13	12	17
36	5	28	on sekiz	on dört	on
2	34	33	on bir	16	on beş
sekiz	3	31	26	21	22
bir	32	9	19	23	27
6	7	29	24	25	yirmi
35	otuz	dört	17	12	13
28	5	36	on	on dört	on sekiz
33	34	2	on beş	16	on bir

 

Şekil . 3.38

Kitap, orijinal kare olan n dereceli bir sihirli kareden her iki türdeki M dönüşümlerini sayarak elde edilen bir kareler grubunda kaç kare olacağını hesaplamanıza izin veren bir formül verir. İşte bu formül ( q , M dönüşümlerinin oluşturduğu gruptaki karelerin sayısıdır):

W = [n/2]*{(2[n/2] - 2)!!}

a!! sembolü , a sayısını aşmayan ve onunla eşlik eden tüm doğal sayıların çarpımı anlamına gelir). Aşağıda, 4 - 13 sıralı sihirli kareler için bir q değerleri tablosu bulunmaktadır:

P	dört	5	6	7	sekiz	9	on	on bir	12	13
H	dört	dört	24	24	192	192	1920	1920	23040	23040

 

Herhangi bir sıradaki sihirli bir kare için, her iki M dönüşümü türü kullanılarak elde edilen yukarıdaki formülü kullanarak kare sayısını hesaplayabilirsiniz.

Örneğin, 4. dereceden bir sihirli kare için her iki türün M dönüşümlerinin oluşturduğu grubu göstereceğim. Orijinal kare ile birlikte bu grupta 4 kare olacaktır. Bu, yalnızca 3 yeni bloğun elde edilebileceği anlamına gelir.

Şekilde gösterilen sihirli kareyi alalım. 3.39 .

bir	2	on beş	16
12	on dört	3	5
13	7	on	dört
sekiz	on bir	6	9

Vefk. 3.39

Şek. 3.40 Birinci tür M-dönüşümünün verilen kareden elde edilen karesini görüyorsunuz.

9	on bir	6	sekiz
5	on dört	3	12
dört	7	on	13
16	2	on beş	bir

Vefk. 3.40

- 31 -

Şek . 3.41 ve şek. 3.42 , belirli bir kareden ikinci tür M-dönüşümleriyle elde edilen kareleri gösterir.

on dört	12	5	3
2	bir	16	on beş
on bir	sekiz	9	6
7	13	dört	on

Vefk. 3.41

 

on dört	5	12	3
on bir	9	sekiz	6
2	16	bir	on beş
7	dört	13	on

Vefk. 3.42

İki bitişik düzenin - çift ve tek - M-dönüşümleri tarafından oluşturulan grupta aynı sayıda kareye sahip olduğunu belirtmek ilginçtir (tabloya bakınız). 5. dereceden bir sihirli kare alırsanız, M dönüşümlerini kullanarak 4 karelik bir grup da (kendini sayar) oluşturur. Bunun nedeni, q hesaplama formülünün n / 2 tamsayı kısmını içermesidir ve bu değer n için ve n çift ise n + 1 için aynı olacaktır .

M dönüşümlerinin satırlardaki, sütunlardaki veya ana köşegenlerdeki sayı kümelerini değiştirmediğine dikkat edilmelidir. Bu nedenle, M-dönüşümleri, orijinal karenin satırlar, sütunlar ve ana köşegenlerdeki sayı kümelerine bağlı olan özelliklerini korur. Örneğin, orijinal kare bimajik ise, bundan M dönüşümleri ile elde edilen tüm kareler de bimagic olacaktır (bütün elemanları kendi kareleriyle değiştirildikten sonra sihirli kalırsa sihirli kareye bimajik denir).

Açıktır ki, her iki türden de M-dönüşümleri karenin çağrışımsallığını korur. Örneğin, Şekil 8'de gösterilen 8. mertebenin tam karesini alın. 3.43 .

bir	56	49	47	42	31	26	sekiz
62	on bir	on dört	yirmi	21	36	37	59
dört	otuz	27	46	43	53	52	5
63	33	40	17	24	on	on beş	58
7	elli	55	41	48	25	32	2
60	13	12	22	19	38	35	61
6	28	29	44	45	51	54	3
57	39	34	23	on sekiz	16	9	64

Vefk. 3.43

Verilen bir kare için birinci tip M-dönüşümünü gerçekleştirirsek, yani simetrik satırları ve ardından simetrik sütunları aynı sayılarla yeniden düzenlersek, karenin ilişkiselliğinin ihlal edilmeyeceği oldukça açıktır.

Bu ideal kareye ikinci tür M-dönüşümünün uygulamasını gösterelim. Permütasyon için aşağıdaki satır çiftlerini seçiyoruz: sırasıyla ikinci, üçüncü ve simetrik satırlar - yedinci ve altıncı. Şek . 3.44 ilkini gösterir

- 32 -

dönüşüm aşaması, solda - orijinal kare, sağda - ilk aşamanın sonucu.

bir	56	49	47	42	31	26	sekiz
62	on bir	on dört	yirmi	21	36	37	59
dört	otuz	27	46	43	53	52	5
63	33	40	17	24	on	on beş	58
7	elli	55	41	48	25	32	2
60	13	12	22	19	38	35	61
6	28	29	44	45	51	54	3
57	39	34	23	on sekiz	16	9	64
bir	56	49	47	42	31	26	sekiz
dört	otuz	27	46	43	53	52	5
62	on bir	on dört	yirmi	21	36	37	59
63	33	40	17	24	on	on beş	58
7	elli	55	41	48	25	32	2
6	28	29	44	45	51	54	3
60	13	12	22	19	38	35	61
57	39	34	23	on sekiz	16	9	64

 

Vefk. 3.44

İlk aşamadan sonra elde edilen karenin çağrışımsallığını kaybetmediği açıktır. Aynı sayılarla sütunlara izin vererek dönüşümü tamamlıyoruz ( Şekil 3.45 ):

bir	56	49	47	42	31	26	sekiz
dört	otuz	27	46	43	53	52	5
62	on bir	on dört	yirmi	21	36	37	59
63	33	40	17	24	on	on beş	58
7	elli	55	41	48	25	32	2
6	28	29	44	45	51	54	3
60	13	12	22	19	38	35	61
57	39	34	23	on sekiz	16	9	64
bir	49	56	47	42	26	31	sekiz
dört	27	otuz	46	43	52	53	5
62	on dört	on bir	yirmi	21	37	36	59
63	40	33	17	24	on beş	on	58
7	55	elli	41	48	32	25	2
6	29	28	44	45	54	51	3
60	12	13	22	19	35	38	61
57	34	39	23	on sekiz	9	16	64

Vefk. 3.45

Nihai sonuç aynı zamanda bir ilişkisel karedir.

Ancak M dönüşümü karenin tüm köşegenliğini korumaz. Bu son örnekte görülebilir.

3.5      DÖNÜŞÜMLERİN MATRİS FORMU

Matris formunda herhangi bir sihirli kare dönüşümü verilebilir.

n düzeyindeki orijinal sihirli karenin matrisini A(ac) ile ve dönüştürülmüş karenin matrisini B(by), i,] =1, 2, 3 .. .n ile gösterin . Kısa olması için, A(ay) matrisli kareye A karesi, B(bc) matrisli kareye B karesi diyeceğiz.

Dönüşümün matris formunun bir örneğini düşünün. Açıklık için, beşinci mertebenin karesini ilk kare olarak alalım ( Şekil 3.46 ).

bir	23	on	on dört	17
on beş	19	2	21	sekiz
22	6	13	yirmi	dört
on sekiz	5	24	7	on bir
9	12	16	3	25

Vefk. 3.46

- 33 -

Bu A (ay) karesinin matrisi şöyle görünecektir ( Şekil 3.47 ):

ve ii	ats	bir i3	bir i4	bir i5
ats	22 _	23 _	24 _	25 _
bir 3i	32 _	33 _	34 _	35 _
bir 4i	42 _	43 _	44 _	45 _
bir 5i	52 _	53 _	54 _	55 _

Vefk. 3.47

Bu matriste, elemanların indeksleri doğal sırada takip eder, ilk indeks kural olarak satır numarası ve ikinci indeks - sütun numarası anlamına gelir.

Not : bazen eleman indeksleri virgülle ayrılır: ats. İndeksler iki basamaklı olduğunda 10. sıradaki karelerle başlayan bir virgül kullanırız.

Şimdi ana dönüşüm no'yu uygulayın. 1 sonra orijinal karede - karenin merkezi etrafında saat yönünde 90 derece döndürün. Açıkça, dönüştürülmüş B karesinin matrisi şöyle görünecektir ( Şekil 3.48 ):

bir 5i	bir 4i	bir 3i	bir 2i	ve ii
52 _	42 _	32 _	22 _	bir i2
53 _	43 _	33 _	23 _	bir i3
54 _	44 _	34 _	24 _	bir i4
55 _	45 _	35 _	25 _	bir i5

Vefk. 3.48

Bu matris, no.lu ana dönüşümün matris formudur. 1. Kısa olması için, bu matrisin 1 numaralı ana dönüşümün matrisi olduğunu söyleyeceğiz. 1, veya: ana dönüşüm no. 1 matris tarafından verilir. Bunu kabul edersen birisi mr. X, kareyi merkez etrafında saat yönünde 90 derece döndürmeyi bilmiyor, ona bu dönüşümün matrisini vermelisiniz ve sonra dönüştürülen kareyi kolayca birleştirecektir.

Başka bir örneğe bakalım. Örneğin, Şekil l'de gösterilen matris tarafından verilen torik dönüşümlerden birini orijinal kareye uygulayalım . 3.49 .

33 _	34 _	35 _	bir 3i	32 _
43 _	44 _	45 _	bir 4i	42 _
53 _	54 _	55 _	bir 5i	52 _
bir i3	bir i4	bir i5	ve ii	bir i2
23 _	24 _	25 _	bir 2i	22 _

Vefk. 3.49

Bu matris tarafından verilen dönüşümün uygulanması sonucunda aşağıdaki kareyi elde edeceğiz ( Şekil 3.50 ):

- 34 -

13	yirmi	dört	22	6
24	7	on bir	on sekiz	5
16	3	25	9	12
on	on dört	17	bir	23
2	21	sekiz	on beş	19

Vefk. 3.50

Bazen sihirli bir kare, tüm öğelerini aynı sayıda artırarak veya azaltarak dönüştürülmelidir. Açıkçası, böyle bir dönüşüm aşağıdaki gibi yazılabilir:

b c \u003d Ben c + SOP8I

Eklenen sabit sayı pozitifse tüm elemanlar artar, sabit sayı negatifse tüm elemanlar azalır.

Sihirli bir kareyi tüm elemanlarını aynı sayı ile çarparak dönüştürmek mümkündür. Böyle bir dönüşüm şu şekilde yazılabilir:

b c \u003d Ben c * SOP8I

Bu tür dönüşümlerin uygulanması sonucunda geleneksel olmayan sihirli kareler elde edileceği açıktır. Ancak çoğu zaman, tam tersine, 0'dan n ² -1'e kadar sayılarla dolu geleneksel olmayan bir kare, ^{tüm öğelerini bir ile çarparak} 1'den n 2'ye kadar sayılarla dolu geleneksel bir sihirli kareye dönüşür . Bu durumda, yukarıdaki formülde eklenen sabit 1'dir.

3.6      HAT KÖŞESİ DÖNÜŞÜMÜ

"Satır-köşegen" dönüşümü, tek sıradaki tüm köşegen kareler için geçerlidir. Bu burada çok kısaca tartışılıyor. Daha fazla ayrıntı yazarın web sitesinde bulunabilir. (27)

"Satır-köşegen" dönüşümü matris biçiminde verilir. 9. dereceden bir tam köşegen kare örneğindeki dönüşümü düşünün. Dönüşüm matrisi, Şek. 3.51 .

ben 11 yaşındayım	ben 56	92 yaşındayım	47 yaşındayım	83 yaşındayım	38 yaşındayım	74 yaşındayım	29 yaşındayım	65 yaşındayım
66 yaşındayım	ben 12 yaşındayım	57 yaşındayım	ben < 93	48 yaşındayım	84 yaşındayım	39 yaşındayım	75 yaşındayım	21 yaşındayım
22 yaşındayım	67 yaşındayım	13 yaşındayım	ben 58	ben 94	49 yaşındayım	85 yaşındayım	31 yaşındayım	76 yaşındayım
ben 77	23 yaşındayım	68 yaşındayım	ben 14 yaşındayım	59 yaşındayım	95 yaşındayım	41 yaşındayım	86 yaşındayım	32 yaşındayım
33 yaşındayım	78 yaşındayım	24 yaşındayım	69 yaşındayım	15 yaşındayım	51 yaşındayım	96 yaşındayım	42 yaşındayım	87 yaşındayım
88 yaşındayım	34 yaşındayım	79 yaşındayım	25 yaşındayım	61 yaşındayım	16 yaşındayım	52 yaşındayım	97 yaşındayım	43 yaşındayım
44 yaşındayım	89 yaşındayım	35 yaşındayım	71 yaşındayım	26 yaşındayım	62 yaşındayım	17 yaşındayım	53 yaşındayım	98 yaşındayım
99 yaşındayım	45 yaşındayım	81 yaşındayım	36 yaşındayım	72 yaşındayım	27 yaşındayım	63 yaşındayım	18 yaşındayım	ben 54
ben 55	91 yaşındayım	46 yaşındayım	ben 82	37 yaşındayım	73 yaşındayım	28 yaşındayım	64 yaşındayım	19 yaşındayım

Vefk. 3.51

aşağıdaki kareyi ilk kare olarak alın ( Şekil 3.52 ):

- 35 -

bir	75	58	53	on dört	38	69	34	27
on bir	42	70	36	19	3	76	62	elli
21	dört	80	59	47	on beş	43	72	28
51	16	45	64	otuz	22	sekiz	77	56
31	26	5	74	60	52	on sekiz	37	66
61	54	on	39	67	35	23	2	78
71	32	yirmi	6	79	63	46	12	40
81	55	48	13	44	68	29	24	7
41	65	33	25	9	73	57	49	17

 

Vefk. 3.52

Şekil ( şekil 3.53 ), şekil l'deki matris tarafından belirtilen dönüşümün uygulamasını göstermektedir . 3.51 , 9. sıradaki tüm köşegen kareye. Solda orijinal kare ve sağda dönüştürülmüş kare var.

9. dereceden kare için "satır-köşegen" dönüşümü

bir	75		58		53		on dört		38		69		34		27
on bir	42		70		36		19		3		76		62		elli
21	dört		80		59		47		on beş		43		72		28
51	16		45		64		otuz		22		sekiz		77		56
31	26		5		74		60		52		on sekiz		37		66
61	54		on		39		67		35		23		2		78
71	32		yirmi		6		79		63		46		12		40
81	55		48		13		44		68		29		24		7
41	65		33		25		9		73		57		49		17
^		bir		52		65		sekiz		48		72		6		elli		67
		35		75		on sekiz		33		77		13		28		79		on bir
		42		23		58		37		25		56		44		21		63
		46		70		2		53		66		9		51		68		dört
		80		12		36		78		on dört		31		73		16		29
		24		59		40		19		61		38		26		57		45
		64		7		47		71		3		54		69		5		49
		17		otuz		81		on beş		32		76		on		34		74
		60		41		22		55		43		yirmi		62		39		27

Vefk. 3.53

Çizim, orijinal karenin tüm çizgilerinin, yeni karenin (ana ve kesikli) çapraz çizgilerinde aynı yönde gittiğini açıkça göstermektedir. Üst çizgi ana köşegene gider. Dönüşüm adını buradan almıştır. Unutulmamalıdır ki, orijinal karenin sütunları da yeni karenin köşegenlerine farklı bir yönde girerken, merkez sütun ana açıya girer.

Tabii ki, Şekil 2'de gösterilen kareden . Sağda 3.53 , solda gösterilen orijinal kareyi "satır-köşegen" dönüşümünün tersi bir dönüşümle elde edebilirsiniz. Şek . 3.54 ters dönüşüm matrisini görüyorsunuz.

- 36 -

ve ii	22 _	bir zz	44 _	5 5 _	bir bb	77 _	bir 88	bir 99
29 _	merhaba _	42 _	5 saat _	bir b4	75 _	n 8b	bir 97	bir i8
bir s8	49 _	5 ben _	bir b2	7 saat	bir 84	95 _	bir ib	27 _
47 _	58 _	bir b9	bir 7i	bir 82	9 saat	bir i4	25 _	bir erkek arkadaş
bir 5b	bir b7	78 _	bir 89	9i _	bir i2	2 saat	bir z4	45 _
bir b5	7b _	bir 87	bir 98	bir i9	bir 2i	bir z2	4 saat	54 _
74 _	85 _	n 9b	bir i7	28 _	n z9	bir 4i	52 _	bir bz
n 8z	bir 94	bir i5	2b _	n z7	48 _	59 _	bir b	72 _
92 _	bir iz	24 _	bir h5	4b _	57 _	bir b8	79 _	bir 8i

Vefk. 3.54

Şekil ( Şekil 3.55 ), ters dönüşümün başka bir 9. dereceden köşegen kareye uygulanmasını göstermektedir. Orijinal kare solda gösterilir.

Tersini "çizgi-köşegen" dönüşümüne dönüştürün

bir	42		80		64		60		h5		46		24		17
elli	21		16		5		h9		79		68		57		h4
72	56		zі		54		yirmi		1 saat		9		h8		76
sekiz	h7		78		71		55		zz		5z		19		on beş
52	2 saat		12		7		41		75		70		59		h0
67	6z		29		49		27		on bir		dört		45		74
6	44		7h		69		62		28		51		26		on
48	25		on dört		h		4 saat		77		66		61		h2
65	58		h6		47		22		on sekiz		2		40		81
bir		21		h1		71		41		on bir		51		61		81
h4		72		h7		12		49		62		77		2		24
h8		on beş		52		6z		7h		h		22		h5		68
5z		59		74		6		25		h6		64		h9		1z
75		dört		26		h2		65		42		16		54		55
27		28		66		40		17		elli		56		78		7
69		4 saat		on sekiz		46		57		76		sekiz		2 saat		29
on dört		47		60		79		9		19		h0		67		44
58		80		5		yirmi		zz		70		45		on		48

Vefk. 3.55

Bu örnekte, orijinal kare mükemmeldir. Tabii ki, "çizgi-köşegen" dönüşümü nedeniyle, kare çağrışım özelliğini yitirmiştir ve bu nedenle ideal değildir. Ancak bunu torik bir çeviri ile tam kareye dönüştürmek çok kolaydır. Şek . 3.56 Şekilde gösterilen kareden elde edilen yeni bir kare görüyorsunuz . 3.55 sağda, torik bir dönüşümle.

27	28	66	40	17	elli	56	78	7
69	4 saat	on sekiz	46	57	76	sekiz	2 saat	29
on dört	47	60	79	9	19	h0	67	44
58	80	5	yirmi	zz	70	45	on	48
bir	21	h1	71	41	on bir	51	61	81
h4	72	h7	12	49	62	77	2	24
h8	on beş	52	6z	7h	h	22	h5	68
5z	59	74	6	25	h6	64	h9	1z
75	dört	26	h2	65	42	16	54	55

Vefk. 3.56

- 37 -

"Satır köşegeni" G'nin dönüşümünü belirtirsek, torik transferin dönüşümü - d, orijinal kare - A ( soldaki Şekil 3.55'te ), Şekil 3'te gösterilen kare . Sağ tarafta 3.55 - B, şek. 3.56 - C, şunları yazabilirsiniz:

B = G(A), C = g(B) = §(G(A))

A karesine iki dönüşümün bir kombinasyonunun uygulandığı açıktır.

Şek . 3.57 , herhangi bir sipariş için genel biçimde "satır köşegen" dönüşüm matrisini gösterir n \u003d 2m + 1 , m \u003d 1, 2, 3 ...

Bu genel matristen herhangi bir özel düzen için belirli bir dönüşüm matrisi oluşturabilirsiniz. Matriste k = (n + 1)/2 = m + 1 .

bir ben, ben	bir k, k+i	bir n,2	ve k-1, k+2	bir pi, h	• • •	bir k + Z, k-2	bir h, pi	bir k+2, k-1	2 p	bir k+i, k
bir k+i, k+i	ben ,2	bir k, k+2	bir p.h	bir ki, k+z	• • •	, pi	bir k+z, ki	bir h, p	bir k+2, k	, ben
bir 2.2	bir k+i, k+2	ben , h	bir k, k+z	bir n,4	•	bir k+4, k-1	4 p	bir k + h, k	ah , ben	bir k+2, k+i
bir k+2, k+2	, h	bir k+i, k+z	ben ,4	bir k, k+4	•	5 p	bir k + 4, k	4 , ben	bir k+z, k+i	h, 2
bir h, h	bir k+2, k+3	2.4 _	bir k+i, k+4	bir i.5	•	bir k+5, k	5 , ben	bir k+4, k+i	bir 4.2	bir k + Z, k + 2
• ••	• ••	• ••	• ••	• ••	•	•	•	•	•	•
bir k-2, k-2	bir n-2, ni	bir kz, ki	bir pz, p	bir k-4, k	•	ben , p-4	bir k, k-4	bir n, nZ	bir ki, kz	bir n-1, n-2
bir pi, pi	bir k-2, k-1	bir n-2, n	bir kz, k	bir ps, ben	•	bir k+1, k-4	bir ben, pz	bir k, kz	bir n, n-2	bir k-1, k-2
bir ki, ki	bir pi, p	bir k-2, k	bir n-2, ben	bir kz, k+i	•	s 2, pz	bir k+i, kz	ben , p-2	bir k, k-2	bir p, pi
bir p, p	bir ki, k	bir pi, ben	bir k-2, k+1	bir n-2.2	•	bir k + 2, kZ	s 2, s-2	bir k+1, k-2	bir ben, pi	bir k, ki
bir k, k	bir p, ben	bir ki, k+i	bir pi,2	bir k-2, k+2	•	ah , n-2	bir k+2, k-2	, pi	bir k+i, ki	bir ben, p

Vefk. 3.57

n = 11 düzeyindeki kareler için bir dönüşüm matrisinin bileşimine bir örnek gösterelim ; bu durumda, k = 6 . n ve k değerlerini değiştirerek genel matrise göre bir matris oluşturuyoruz . Şek . 3.58 , 11. dereceden kareler için hazır bir satır-köşegen dönüşüm matrisi görüyorsunuz.

1.1 _	bir b,7	ac , 2	bir 5.8	evet , 3	bir 4.9	9.4 _	3.10 _	bir 8.5	2.11 _	, b
bir 7.7	1.2 _	bir b, 8	yemek, 3	bir 5.9	10.4 _	4.10 _	9.5 _	3.11 _	, b	bir 2.1
bir 2.2	7.8 _	1.3 _	bir b,9	yemek, 4	5.10 _	evet , 5	4.11 _	9 , b	3.1 _	bir 8.7
bir 8.8	2.3 _	7.9 _	bir 1.4	bir b, 10	ac , 5	5.11 _	, b	bir 4.1	9.7 _	bir 3.2
bir 3.3	bir 8.9	2.4 _	7.10 _	1.5 _	bir b, 11	ac, b	5.1 _	10.7 _	bir 4.2	9.8 _
9.9 _	3.4 _	bir 8.10	2.5 _	7.11 _	1 , b	bir b,1	ac , 7	5.2 _	10.8 _	bir 4.3
bir 4.4	9.10 _	3.5 _	8.11 _	bir 2, b	7.1 _	bir 1.7	bir b, 2	yemek, 8	5.3 _	10.9 _
10.10 _	4.5 _	9.11 _	, b	8.1 _	bir 2.7	7.2 _	bir 1.8	bir b, 3	yemek, 9	5.4 _
5.5 _	10.11 _	, b	9.1 _	bir 3.7	bir 8.2	bir 2.8	bir 7.3	bir 1.9	bir b,4	10
o, 11	, b	evet , 1	bir 4.7	9.2 _	bir 3.8	bir 8.3	bir 2.9	7.4 _	1.10 _	bir b,5
bir b, b	1	bir 5.7	10.2 _	bir 4.8	9.3 _	bir 3.9	bir 8.4	2.10 _	7.5 _	1.11 _

Vefk. 3.58

Okuyucuları genel bir biçimde ters dönüşüm matrisini oluşturmaya davet ediyoruz.

- 38 -

3.7    ÜÇ KARE DÖNÜŞÜM

Üç-kare dönüşümü, çift eşit ­sıralı ilişkisel karelere uygulanır. Bu dönüşüm, herhangi bir çift sıralı ilişkisel kareyi tam köşegen kareye dönüştürür. n = 4k (k = 1, 2, 3... ) mertebesinde bir birleşimli kare, m=n/2 mertebesinde 4 kareye bölünür . Sol üst kare değişmeden kalır. Sağ üst kare simetri dikey ekseni etrafında yansıtılır, sol alt kare simetri yatay ekseni etrafında yansıtılır, sağ alt kare 180 derece döndürülür.

4. mertebeden bir ilişkisel kare örneği üzerinde dönüşümün uygulamasını gösterelim ( Şekil 3.59 ) :

bir	on dört	on beş	dört
12	7	6	9
sekiz	on bir	on	5
13	2	3	16

Vefk. 3.59

Açıklanan tüm eylemler üç adet 2x2 kare ile tamamlandıktan sonra (şekillerde 2x2 kareler kırmızı kenarlıklarla vurgulanmıştır), aşağıdaki tüm köşegen kareyi elde ederiz ( Şekil 3.60 ):

bir	on dört	dört	on beş
12	7	9	6
13	2	16	3
sekiz	on bir	5	on

Vefk. 3.60

Üç karenin dönüşümünün orijinal birleştirici karenin aşağıdaki dönüşümlerine eşdeğer olduğunu belirtmek ilginçtir: a) karenin sağ yarısındaki sütunların permütasyonu: sütunlar ters sırada yazılır - sağdan sola; b) sütunları yeniden düzenledikten sonra elde edilen karede, karenin alt yarısındaki satırlar değiştirilir: satırlar ters sırada yazılır - aşağıdan yukarıya. Şekildeki aynı ilk kareye yerleştireceğim. 1. a) adımının sonucunda aşağıdaki kareyi elde ederiz ( Şekil 3.61 ):

bir	on dört	dört	on beş
12	7	9	6
sekiz	on bir	5	on
13	2	16	3

 

Vefk. 3.61

Şimdi bu karede alt yarıdaki satırları yeniden düzenliyoruz, bitmiş sonucu elde ediyoruz - tam olarak Şekil 3'teki kareye karşılık gelen bir köşegen kare ( Şek. 3.62 ) . 3.60 .

- 39 -

bir	on dört	dört	on beş
12	7	9	6
13	2	16	3
sekiz	on bir	5	on

Vefk. 3.62

4. mertebeden bir kare örneğini kullanarak, üç karenin dönüşümünün herhangi bir çağrışımsal kareyi tam köşegen kareye dönüştürdüğünü kanıtlayacağız. Belirtin: p \u003d n ² + 1 \u003d 17 . 4. mertebeden herhangi bir ilişkisel kare şu şekilde yazılabilir ( Şekil 3.63 ):

bir değil	12 _	13 _	14 _
21 _	22 _	23 _	24 _
24. bölge	R-kutusu 23	bölge 22	bölge 21
P-kutusu 14	ra p	bölge 12	r-ac

 

Vefk. 3.63

Üç karenin dönüşümünü bu kareye uygulayarak aşağıdaki kareyi elde ederiz ( Şekil 3.64 ):

ve ii	bir i2	bir i4	bir iz
21 _	22 _	24 _	2 saat
i4 _	raiz _	ra ii	i2 _
24. bölge	ra 2z	ra 2i	bölge 22

 

Vefk. 3.64

Bu karenin herhangi bir köşegenindeki (hem ana hem de kırık) sayıların toplamını hesapladıktan sonra, bu toplamın her zaman aynı değere eşit olduğunu görüyoruz: 2p = 34 .

dereceden bir tam kareye uygulamaya bakalım . ­Bilindiği gibi, bir tam kare hem birleştirici hem de bütün köşegendir. Üç karenin dönüşümünü böyle bir kareye uygulayarak, çağrışımını yitiren ve bu nedenle artık ideal olmayan yeni bir tam köşegen kare elde ederiz. İlk ideal kare olarak Şekil 1'de gösterilen kareyi alıyoruz . 3.65 .

bir	56	49	47	42	31	26	sekiz
62	on bir	on dört	yirmi	21	36	37	59
dört	otuz	27	46	43	53	52	5
63	33	40	17	24	on	on beş	58
7	elli	55	41	48	25	32	2
60	13	12	22	19	38	35	61
6	28	29	44	45	51	54	3
57	39	34	23	on sekiz	16	9	64

Vefk. 3.65

- 40 -

Üç karenin dönüşümünü bu kareye uygulayarak aşağıdaki tam köşegen kareyi elde ederiz ( Şekil 3.66 ):

bir	56	49	47	sekiz	26	31	42
62	on bir	on dört	yirmi	59	37	36	21
dört	otuz	27	46	5	52	53	43
63	33	40	17	58	on beş	on	24
57	39	34	23	64	9	16	on sekiz
6	28	29	44	3	54	51	45
60	13	12	22	61	35	38	19
7	elli	55	41	2	32	25	48

 

Vefk. 3.66

Üç karenin dönüşümünün tersini düşünün. Bu dönüşüm, üç kare dönüşümün kendisiyle çakışması bakımından ilginçtir. Gerçekten: üç karenin her birinin dönüşümüne bakalım. Her karenin ters dönüşümünün dönüşümün kendisiyle çakıştığı açıktır. Yani, üç karenin her biriyle ters dönüşümde aynısını yapmalısınız: sağ üst karedeki sütunları yeniden düzenleyin, sol alttaki satırları yeniden düzenleyin, sağ alt tarafı 180 derece döndürün. Sol üst kare değişmeden kalır.

Açıktır ki, çift sıralı herhangi bir tam köşegen kare, üç karenin ters dönüşümü kullanılarak birleştirici bir kareye dönüştürülebilir, ancak yalnızca, kareyi dönüştürmek için bir birleştiricinin üç karesi ile elde edilebilecek türden bir tam köşegen kare.

Ters dönüşümün uygulanmasına bir örnek verelim. İlk tam köşegen kare olarak, Şekil 2'de gösterilen 12. dereceden kareyi alıyoruz . 3.67 .

bir	140	88	61	9	132	109	40	92	49	101	48
143	6	58	83	135	on dört	35	106	54	95	43	98
126	23	75	66	118	31	on sekiz	123	71	78	26	115
yirmi	121	69	80	28	113	128	21	73	68	120	29
3	138	86	63	on bir	130	111	38	90	51	103	46
141	sekiz	60	81	133	16	33	108	56	93	41	100
36	105	53	96	44	97	144	5	57	84	136	13
110	39	91	elli	102	47	2	139	87	62	on	131
127	22	74	67	119	otuz	19	122	70	79	27	114
17	124	72	77	25	116	125	24	76	65	117	32
34	107	55	94	42	99	142	7	59	82	134	on beş
112	37	89	52	104	45	dört	137	85	64	12	129

Vefk. 3.67

- 41 -

Bu kareye, üç karenin dönüşümünün tersini uygulayın. Ortaya çıkan ilişkisel kare, Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.68 .

bir	140	88	61	9	132	48	101	49	92	40	109
143	6	58	83	135	on dört	98	43	95	54	106	35
126	23	75	66	118	31	115	26	78	71	123	on sekiz
yirmi	121	69	80	28	113	29	120	68	73	21	128
3	138	86	63	on bir	130	46	103	51	90	38	111
141	sekiz	60	81	133	16	100	41	93	56	108	33
112	37	89	52	104	45	129	12	64	85	137	dört
34	107	55	94	42	99	on beş	134	82	59	7	142
17	124	72	77	25	116	32	117	65	76	24	125
127	22	74	67	119	otuz	114	27	79	70	122	19
110	39	91	elli	102	47	131	on	62	87	139	2
36	105	53	96	44	97	13	136	84	57	5	144

 

Vefk. 3.68

Not: Bu örnekteki orijinal kare, Cor Gurkens tarafından oluşturulan pandiagonal Franklin karesinin çeşitli dönüşümlerinin bir kombinasyonu ile elde edilmiştir.

Şimdi 8. dereceden bir tam kare alalım ( Şekil 3.69 ) ve dönüşümü ters olarak üç karenin dönüşümüne uygulayalım.

bir	63	3	61	sekiz	58	6	60
16	elli	on dört	52	9	55	on bir	53
17	47	19	45	24	42	22	44
32	34	otuz	36	25	39	27	37
57	7	59	5	64	2	62	dört
56	on	54	12	49	on beş	51	13
41	23	43	21	48	on sekiz	46	yirmi
40	26	38	28	33	31	35	29

 

Vefk. 3.69

Dönüşümün uygulanmasının sonucu, Şek. 3.70 .

bir	63	3	61	60	6	58	sekiz
16	elli	on dört	52	53	on bir	55	9
17	47	19	45	44	22	42	24
32	34	otuz	36	37	27	39	25
40	26	38	28	29	35	31	33
41	23	43	21	yirmi	46	on sekiz	48
56	on	54	12	13	51	on beş	49
57	7	59	5	dört	62	2	64

- 42 -

Vefk. 3.70

Ters üç kare dönüşümün herhangi bir tam kareye uygulanmasının bir ilişkisel kare verdiği açıktır.

3.8     STANDART SATIR VE/VEYA KOLON PERMUTASYONUNUN DÖNÜŞÜMÜ

Bu dönüşüm, hem tek hem de çift olmak üzere herhangi bir sıradaki tüm köşegen karelere uygulanır. Aşağıdakilerden oluşur: satırlara izin verildiğinde, ilk satır (yukarıdaki) yerinde kalır ve kalan satırlar ters sırada yazılır - aşağıdan yukarıya. Aynısı sütunlar yeniden düzenlendiğinde de geçerlidir: ilk sütun (solda) yerinde kalır ve kalan sütunlar ters sırada yazılır - sağdan sola. Hem satırları hem de sütunları aynı anda yeniden düzenleyebilirsiniz. Bu dönüşümü uygulama örneklerine bakalım.

Örnek 1. 5. dereceden bir köşegen karede standart dize permütasyonu.

İlk kare olarak Şekil 1'de gösterilen tüm köşegen kareyi alıyoruz . 3.71 _

bir	yirmi	9	12	23
on dört	22	3	16	on
on sekiz	6	on beş	24	2
25	dört	17	sekiz	on bir
7	13	21	5	19

Vefk. 3.71

Bu kareye standart satır permütasyonunun uygulanmasının sonucu Şekil 2'de gösterilmektedir . 3.72 .

bir	yirmi	9	12	23
7	13	21	5	19
25	dört	17	sekiz	on bir
on sekiz	6	on beş	24	2
on dört	22	3	16	on

 

Vefk. 3.72

"Satır-köşegen" dönüşümüne benzeterek, orijinal karenin (ana ve kırık) tüm köşegenlerini çevirdiğinden, satırların ve/veya sütunların standart permütasyonunun dönüşümü "köşegen-köşegen" dönüşümü olarak adlandırılabilir. yeni karenin köşegenleri. Şek . 3.71 Bir ana ve bir kırık olmak üzere iki köşegen renkli olarak vurgulanır. Şek . 3.72 , orijinal karenin işaretli köşegenlerinin geçtiği kırık köşegenler vurgulanır . Orijinal karenin diğer tüm köşegenlerini takip edebilirsiniz.

- 43 -

Örnek 2. 5. dereceden bir köşegen karede satır ve sütunların standart permütasyonu.

Şekil 1'den aynı kareyi alıyoruz . 3.71 _ Hem satırların permütasyonunu hem de sütunların permütasyonunu ona uygulayalım. Sonucu Şekilde görüyorsunuz . 3.73 .

bir	23	12	9	yirmi
7	19	5	21	13
25	on bir	sekiz	17	dört
on sekiz	2	24	on beş	6
on dört	on	16	3	22

Vefk. 3.73

Örnek 3. 8. dereceden bir köşegen karede sütunların standart permütasyonu.

İlk tam köşegen kare olarak, Şekil 2'de gösterilen tüm köşegen kareyi alıyoruz . 3.74 .

bir	58	45	19	sekiz	63	44	22
16	23	36	62	9	on sekiz	37	59
24	on beş	60	38	17	on	61	35
25	34	53	on bir	32	39	52	on dört
57	2	21	43	64	7	yirmi	46
56	47	28	6	49	42	29	3
48	55	dört	otuz	41	elli	5	27
33	26	13	51	40	31	12	54

Vefk. 3.74

Şek . 3.75 , belirli bir kareye standart bir sütun permütasyonu uygulanarak elde edilen tüm köşegen bir kareyi gösterir.

bir	22	44	63	sekiz	19	45	58
16	59	37	on sekiz	9	62	36	23
24	35	61	on	17	38	60	on beş
25	on dört	52	39	32	on bir	53	34
57	46	yirmi	7	64	43	21	2
56	3	29	42	49	6	28	47
48	27	5	elli	41	otuz	dört	55
33	54	12	31	40	51	13	26

Vefk. 3.75

Şek . 3.74 orijinal karenin ana köşegenleri vurgulanır; incirde. 3.75 Ana köşegenlerin kırıldığını görüyorsunuz.

- 44 -

n = 4k + 2 mertebesindeki geleneksel olmayan köşegen karelere de uygulanabileceğini belirtmek ilginçtir . Bunu, Şekil 2'de gösterilen 10. mertebeden geleneksel olmayan bir ideal kare örneği üzerinde gösterelim . 3.76 .

bir	168	on	165	3	159	9	166	12	157
156	on beş	147	on sekiz	154	24	148	17	145	26
118	51	127	48	120	42	126	49	129	40
117	54	108	57	115	63	109	56	106	65
27	142	36	139	29	133	35	140	38	131
39	132	otuz	135	37	141	31	134	28	143
105	64	114	61	107	55	113	62	116	53
130	41	121	44	128	elli	122	43	119	52
144	25	153	22	146	16	152	23	155	on dört
13	158	dört	161	on bir	167	5	160	2	169

 

Vefk. 3.76

Bu tüm köşegen kareye standart dizi permütasyon dönüşümünü uygulayalım. Sonucu Şekilde görüyorsunuz . 3.77 .

bir	168	on	165	3	159	9	166	12	157
13	158	dört	161	on bir	167	5	160	2	169
144	25	153	22	146	16	152	23	155	on dört
130	41	121	44	128	elli	122	43	119	52
105	64	114	61	107	55	113	62	116	53
39	132	otuz	135	37	141	31	134	28	143
27	142	36	139	29	133	35	140	38	131
117	54	108	57	115	63	109	56	106	65
118	51	127	48	120	42	126	49	129	40
156	on beş	147	on sekiz	154	24	148	17	145	26

 

Vefk. 3.77

Orijinal karede iki köşegen aynı şekilde vurgulanır ve dönüştürülmüş karede orijinal karenin seçilen köşegenlerinin gittiği köşegenleri görürsünüz.

Bu dönüşümün karenin çağrışımsallığını korumadığına dikkat edilmelidir. Yani, son örnekte, orijinal kare birleştiricidir ve dönüştürülmüş kare bu özelliğini kaybetmiştir.

- 45 -

3.9      BİRLEŞTİRİCİ KARELERDE SATIR VE/VEYA KOLON DÖNÜŞÜMÜ

Hem tek hem de çift sıralı çağrışımlı sihirli karelerde, karenin yatay simetri eksenine göre simetrik olarak yerleştirilmiş satırlar ve/veya karenin dikey simetri eksenine göre simetrik olarak yerleştirilmiş sütunlara izin verilebilir. Bu tür satırları ve/veya sütunları istediğiniz sayıda yeniden düzenleyebilirsiniz. Böyle bir permütasyonun bir sonucu olarak, yeni ilişkisel kareler elde edilecektir. Birkaç örnek gösterelim .

Örnek 1. 5. mertebeden bir ilişkisel karede satır ve sütunların permütasyonu.

Orijinal birleştirici kare, Şek. 3.78 .

3	16	9	22	on beş
yirmi	sekiz	21	on dört	2
7	25	13	bir	19
24	12	5	on sekiz	6
on bir	dört	17	on	23

 

Vefk. 3.78

Bu karede ilk satırı beşinci satırla ve ikinci sütunu üçüncü sütunla yeniden düzenleyelim.

Böyle bir permütasyonun bir sonucu olarak, aşağıdaki ilişkisel kare elde edilecektir ( Şekil 3.79 ):

on bir	on	17	dört	23
yirmi	on dört	21	sekiz	2
7	bir	13	25	19
24	on sekiz	5	12	6
3	22	9	16	on beş

 

Vefk. 3.79

Tek sıralı karelerde, düşünülen dönüşüm altında, merkez sıra ve merkez sütunun her zaman yerinde kaldıkları açıktır, çünkü bunlar tam olarak karenin simetri eksenleri üzerindedir.

Örnek 2. 8. mertebeden bir ilişkisel karede satır ve sütunların permütasyonu.

İlk kare olarak, Şekil 2'de gösterilen ilişkisel kareyi alıyoruz . 3.80 .

- 46 -

bir	63	62	dört	5	59	58	sekiz
56	on	on bir	53	52	on dört	on beş	49
48	on sekiz	19	45	44	22	23	41
25	39	38	28	29	35	34	32
33	31	otuz	36	37	27	26	40
24	42	43	21	yirmi	46	47	17
16	elli	51	13	12	54	55	9
57	7	6	60	61	3	2	64

 

Vefk. 3.80

Dönüşümü iki adımda yapalım. İlk önce iki çift simetrik sırayı değiştirelim ( Şekil 3.80 ve Şekil 3.81'de değiştirilen satırlar aynı renkte vurgulanmıştır). Sonuç, Şek. 3.81 .

bir	63	62	dört	5	59	58	sekiz
16	elli	51	13	12	54	55	9
48	on sekiz	19	45	44	22	23	41
33	31	otuz	36	37	27	26	40
25	39	38	28	29	35	34	32
24	42	43	21	yirmi	46	47	17
56	on	on bir	53	52	on dört	on beş	49
57	7	6	60	61	3	2	64

 

Vefk. 3.81

Tabii ki, ortaya çıkan kare birleştiricidir. Şimdi ortaya çıkan karede iki çift simetrik sütunu yeniden düzenleyelim, örneğin birinci ve sekizinci, üçüncü ve altıncı. Bu dönüşümün bir sonucu olarak, aşağıdaki ilişkisel kareyi elde ederiz ( Şekil 3.82 ):

sekiz	63	59	dört	5	62	58	bir
9	elli	54	13	12	51	55	16
41	on sekiz	22	45	44	19	23	48
40	31	27	36	37	otuz	26	33
32	39	35	28	29	38	34	25
17	42	46	21	yirmi	43	47	24
49	on	on dört	53	52	on bir	on beş	56
64	7	3	60	61	6	2	57

 

Vefk. 3.82

Şekil 10. mertebesinin geleneksel olmayan ideal karesine uygulayacağım . 3.76 . Üç çift simetrik çizgiyi yeniden düzenleyelim, örneğin: ikinci ve dokuzuncu, dördüncü ve yedinci, beşinci ve altıncı. Böyle bir permütasyonun bir sonucu olarak, aşağıdaki geleneksel olmayan ilişkisel kare elde edilecektir ( Şekil 3.83 ):

- 47 -

bir	168	on	165	3	159	9	166	12	157
144	25	153	22	146	16	152	23	155	on dört
118	51	127	48	120	42	126	49	129	40
105	64	114	61	107	55	113	62	116	53
39	132	otuz	135	37	141	31	134	28	143
27	142	36	139	29	133	35	140	38	131
117	54	108	57	115	63	109	56	106	65
130	41	121	44	128	elli	122	43	119	52
156	on beş	147	on sekiz	154	24	148	17	145	26
13	158	dört	161	on bir	167	5	160	2	169

 

Vefk. 3.83

Karenin köşegen olma özelliğini kaybettiği açıktır. Söz konusu dönüşüm, karenin tüm köşegenliğini korumaz.

Okuyuculara sihirli küp dönüşümleri hakkında daha fazla ayrıntının yazarın web sitesinde bulunabileceğini hatırlatmama izin verin.

- 48 -

BÖLÜM 4. SİHİRLİ KARELERİN YAPIM YÖNTEMLERİ

Daha önce de belirtildiği gibi, sihirli kareler oluşturma yöntemleri, sihirli kareler teorisinin en önemli bileşenidir. Sihirli karelerin başlangıcından günümüze kadar matematikçiler çeşitli yapım yöntemleri geliştirmişlerdir. Herhangi bir ek özelliği olmayan sihirli kareler oluşturma yöntemlerinin yanı sıra, farklı türde sihirli kareler oluşturmak için yöntemler geliştirilmiştir: tümgen, ideal, mükemmel, bimagic, vb.

Sihirli kareler yapılırken kare sırasının dikkate alınması gerektiği tespit edilmiştir. Sıraya göre, tüm yöntemler üç gruba ayrılır: a) tek sıralı kareler için n = 2k + 1 ; b) çift sıralı kareler için n = 4k ; c) çift-tek sıralı kareler için n = 4k + 2 (k = 1, 2, 3 ...).

4.1    WEWE DÜZENİNİN SİHİRLİ KARELERİNİN İNŞAATI

4.1.1    HİNT (SİYAM) YÖNTEMİ

"Sihirli kareler oluşturmanın Hint yöntemi (bazen Siyam olarak da adlandırılır) , görünüşe göre rastgele tek sıralı n = 2m + 1 sihirli kareler oluşturmak için en eski algoritmadır." [3]

Yöntemin kuralları çok basittir. 1 numara üst sıranın ortasına sığar. Ayrıca, sayılar artan bir köşegen boyunca doğal bir sırayla girilir. Sayı karenin dışına çıkar çıkmaz hemen karenin içindeki eşdeğer hücreye aktarıyoruz. kp sayısına, yani karenin katı olan bir sayıya ulaştıktan sonra , az önce yazılan sayının altından sonraki sayıyı yazıp, sayıları artan köşegenin yanına tekrar yazıyoruz.

Not : Eşdeğer hücrenin ne olduğu açıklanmalıdır. Karenin dışındaki sayı onun sağındaysa, onu aynı yatay satıra yazmalı ve n hücreyi sola hareket ettirmelisiniz (örneğin, Şekil 4.1'deki 30 sayısına bakın ). Sayı karenin üzerindeyse, aynı dikey satıra yazmalı ve n hücre aşağı hareket etmelisiniz (örneğin Şekil 4.1'deki 31 sayısına bakın ) [ n karenin sırasıdır].

Bu yöntemle 7. dereceden sihirli bir karenin yapımını göstereceğiz ( Şekil 4.1 ).

	31	40	49	2	on bir	yirmi
otuz	39	48	bir	on	19	28	otuz
38	47	7	9	on sekiz	27	29	38
46	6	sekiz	17	26	35	37	46
5	on dört	16	25	34	36	45	5
13	on beş	24	33	42	44	dört	13
21	23	32	41	43	3	12	21
22	31	40	49	2	on bir	yirmi

Vefk. 4.1

Tabii ki, ortaya çıkan kare birleştiricidir. Hint yöntemiyle oluşturulan tüm kareler ilişkiseldir (burada sunulan versiyonda,

- 49 - 1 sayısı üst satırın ortasına sığar; [3]'te yöntemin genellemeye izin verdiği söylenir - 1 sayısı karenin diğer hücrelerine sığdığında).

Başka bir örneğe bakalım - 9. dereceden bir karenin yapımı ( Şekil 4.2 ).

	48	59	70	81	2	13	24	35
47	58	69	80	bir	12	23	34	45	47
57	68	79	9	on bir	22	33	44	46	57
67	78	sekiz	on	21	32	43	54	56	67
77	7	on sekiz	yirmi	31	42	53	55	66	77
6	17	19	otuz	41	52	63	65	76	6
16	27	29	40	51	62	64	75	5	16
26	28	39	elli	61	72	74	dört	on beş	26
36	38	49	60	71	73	3	on dört	25	36
37	48	59	70	81	2	13	24	35

Vefk. 4.2

4.1.2      TERAS YÖNTEMİ

[3]'te teras yönteminin Bacher de Meziriac tarafından önerildiği ve bu nedenle Basche yöntemi olarak da adlandırıldığı söylenir.

5. dereceden bir sihirli kare oluşturarak yöntemin gösterimine başlayalım.

Dört kenarda orijinal 5x5 kareye teraslar eklenir, böylece orijinaliyle aynı düzende tırtıklı bir kare elde edilir ( Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 ). Çizimlerde teraslar sarıya boyanmıştır.

Şekil 4.3 ) veya yukarıdan aşağıya ( Şekil 4.4 ) eğik (eğik) sıralar halinde doğal bir sırada düzenlenmiştir . Meydana düşmeyen teraslardaki sayılar, deyim yerindeyse teraslar içerde olacak şekilde hareket eder, böylece Şekil 2'deki gibi karenin karşılıklı kenarlarını sınırlarlar . 4.5 ve 4.6 .

				5
			dört		on
		3		9		on beş
	2		sekiz		on dört		yirmi
bir		7		13		19		25
	6		12		on sekiz		24
		on bir		17		23
			16		22
				21

Vefk. 4.3

				bir
			6		2
		on bir		7		3
	16		12		sekiz		dört
21		17		13		9		5
	22		on sekiz		on dört		on
		23		19		on beş
			24		yirmi
				25

Vefk. 4.4

- elli -

				5
			dört		on
		3	16	9	22	on beş
	2	yirmi	sekiz	21	on dört	2	yirmi
bir		7	25	13	bir	19		25
	6	24	12	5	on sekiz	6	24
		on bir	dört	17	on	23
			16		22
				21

Vefk. 4.5

				bir
			6		2
		on bir	24	7	yirmi	3
	16	dört	12	25	sekiz	16	dört
21		17	5	13	21	9		5
	22	on	on sekiz	bir	on dört	22	on
		23	6	19	2	on beş
			24		yirmi
				25

Vefk. 4.6

Şek . 4.7 ve 4.8 hazır sihirli kareleri gösterir, bu kareler eşdeğerdir, biri diğerinden karenin merkezi etrafında 90 derece döndürülerek elde edilir.

3	16	9	22	on beş
yirmi	sekiz	21	on dört	2
7	25	13	bir	19
24	12	5	on sekiz	6
on bir	dört	17	on	23

Vefk. 4.7

on bir	24	7	yirmi	3
dört	12	25	sekiz	16
17	5	13	21	9
on	on sekiz	bir	on dört	22
23	6	19	2	on beş

Vefk. 4.8

Teras yönteminin yalnızca tek sıralı (yani 1'den n ^2'ye kadar sayılarla dolu ) geleneksel sihirli kareyi oluşturmak için değil, aynı zamanda aralarındaki fark olduğu sürece diğer sayılarla dolu bir kare oluşturmak için de kullanılabileceğini unutmayın. her sonraki ve önceki sayı sabittir, yani bir aritmetik ilerlemenin üyeleri olmalıdır. Böylece, Şek. Şekil 4.9'da , teras yöntemi kullanılarak oluşturulmuş, 2'den 50'ye kadar çift sayılarla doldurulmuş, alışılmamış bir 5. dereceden sihirli kare görüyorsunuz.

6	32	on sekiz	44	otuz
40	16	42	28	dört
on dört	elli	26	2	38
48	24	on	36	12
22	sekiz	34	yirmi	46

Vefk. 4.9

Açıkça, teras yöntemiyle oluşturulan sihirli kareler birleştirici görünmektedir. Şek . 4.10 , 7. dereceden bir kareyi gösterir ve şek. 4.11 - teras yöntemine göre inşa edilmiş 9. dereceden bir kare .­

- 51 -

dört	29	12	37	yirmi	45	28
35	on bir	36	19	44	27	3
on	42	on sekiz	43	26	2	34
41	17	49	25	bir	33	9
16	48	24	7	32	sekiz	40
47	23	6	31	on dört	39	on beş
22	5	otuz	13	38	21	46

 

Vefk. 4.10

5	46	on beş	56	25	66	35	76	45
54	on dört	55	24	65	34	75	44	dört
13	63	23	64	33	74	43	3	53
62	22	72	32	73	42	2	52	12
21	71	31	81	41	bir	51	on bir	61
70	otuz	80	40	9	elli	on	60	yirmi
29	79	39	sekiz	49	on sekiz	59	19	69
78	38	7	48	17	58	27	68	28
37	6	47	16	57	26	67	36	77

Vefk. 4.11

Teras yöntemiyle oluşturulan 3'e bölünmeyen derecelerin birleşik kareleri, satır veya sütunların sabit bir adımla basit bir permütasyonu ile ideal sihirli karelere dönüştürülür. Bu özellik kısmen Hint (Siyam) yöntemine göre oluşturulan karelerde bulunur: bu kareler 3'ün katı ve 5'in katı olmayan siparişler için sadece sütunları yeniden düzenleyerek ideal karelere dönüşür.

Sütunların (satırların) sabit bir adımla permütasyonu, sütunların (satırların) sabit sayıda sütun (satır) tarafından örneğin 1 ile izin verildiği anlamına gelir. ) .

Şekil 2'de 5. dereceden bir kare ile başlayalım . 4.7 . Şek . 4.12 Sütunları 1 adımla yeniden düzenleyerek bu kareden elde edilen tam kareyi görüyorsunuz ve şek. 4.13 - sıraları bir merdivenle değiştirerek elde edilen mükemmel kare

1.    5. dereceden bir karede 2'lik bir adımla satırları (sütunları) yeniden düzenlemek eşdeğer kareler verir.

22	3	9	on beş	16
on dört	yirmi	21	2	sekiz
bir	7	13	19	25
on sekiz	24	5	6	12
on	on bir	17	23	dört

 

Vefk. 4.12

24	12	5	on sekiz	6
3	16	9	22	on beş
7	25	13	bir	19
on bir	dört	17	on	23
yirmi	sekiz	21	on dört	2

- 52 -

Vefk. 4.13

Şekil 7'den 7. mertebeden birleştirici karenin ideal karesine dönüşümü ele alalım . 4.10 . İlk olarak, bir sütun takası yapalım. Burada iki orijinal kare elde ederiz: 1. adımla ( Şekil 4.14 ) ve 2. adımla ( Şekil 4.15 ) izin verildiğinde. Diğer adımlar eşdeğer kareler verir.

yirmi	28	29	37	45	dört	12
44	3	on bir	19	27	35	36
26	34	42	43	2	on	on sekiz
bir	9	17	25	33	41	49
32	40	48	7	sekiz	16	24
on dört	on beş	23	31	39	47	6
38	46	5	13	21	22	otuz

Vefk. 4.14

 

29	yirmi	dört	37	28	12	45
on bir	44	35	19	3	36	27
42	26	on	43	34	on sekiz	2
17	bir	41	25	9	49	33
48	32	16	7	40	24	sekiz
23	on dört	47	31	on beş	6	39
5	38	22	13	46	otuz	21

Vefk. 4.15

Şimdi satırların benzer bir permütasyonunu gerçekleştirelim. Şek . 4.16 çizgiler, adım 1 ile yeniden düzenlenir ve şek. 4.17 - 2. adımla (orijinal hala Şekil 4.10'un karesidir ). Satırları farklı adımlarla değiştirmek, eşdeğer kareler verir.

16	48	24	7	32	sekiz	40
22	5	otuz	13	38	21	46
35	on bir	36	19	44	27	3
41	17	49	25	bir	33	9
47	23	6	31	on dört	39	on beş
dört	29	12	37	yirmi	45	28
on	42	on sekiz	43	26	2	34

Vefk. 4.16

- 53 -

35	on bir	36	19	44	27	3
16	48	24	7	32	sekiz	40
dört	29	12	37	yirmi	45	28
41	17	49	25	bir	33	9
22	5	otuz	13	38	21	46
on	42	on sekiz	43	26	2	34
47	23	6	31	on dört	39	on beş

Vefk. 4.17

Satırların (veya sütunların) teras yöntemiyle oluşturulan 3'ün katları mertebesindeki birleşimli karelere benzer bir permütasyonunun, yeni birleştirici (ama tam diyagonal değil!) kareler verdiği açıktır. Okuyucuların bunu, Şekil 9'un 9. mertebesindeki bir ilişkisel kare örneğini kullanarak yapmalarını öneriyorum. 4.11 .

4.1.3     MOSKOPL YÖNTEMİ (AT YÖNTEMİ)

1'den n ^2'ye kadar sayılarla doldurmak için bazı algoritmalar belirtilmiştir . Bu yönteme göre hücrelerin doldurulma sırası, şövalyenin satranç tahtası etrafında hareket etme, yukarı ve sağa hareket etme sırası ile aynıdır. Bu nedenle Moskopoul yöntemine bazen at yöntemi de denir . [3]

Moskopoul yönteminin kuralları çok basittir ([3]'e göre açıklanmıştır).

1.              n karesinin dizisi 3'ün katı değilse, o zaman 1 sayısı karenin herhangi bir hücresine sığar; n karesinin sırası 3'ün katı ise , alt satırın ortasına 1 sayısı girilir.

2.              Satranç atının hareketiyle yukarı ve sağa hareket ederek doğal bir sırayla sayıları art arda giriyoruz. Sayı karenin dışına çıkar çıkmaz kare içindeki eşdeğer hücreye aktarıyoruz.

3.              r+1 sayısının girileceği hücre zaten başka bir sayı tarafından işgal edilmişse, r numaralı hücreyle aynı dikey sırada bulunan hücreye r +1 sayısını giriyoruz , ancak dört hücre yer alıyor. daha yüksek. .

5. mertebedeki sihirli karenin yapımını Moskopoul yöntemiyle gösterelim ( Şekil 4.18 ).

			21
	6
	12	25	sekiz	16	dört
	on sekiz		on dört	22	on
on bir	24	7	yirmi	3
17	5	13	21	9	17
23	6	19	2	on beş	23
dört	12	25	sekiz	16
on	on sekiz	bir	on dört	22

Vefk. 4.18

Not : Hint yöntemi anlatılırken eşdeğer hücreden bahsedilmiştir. Ancak, Şekil 4'teki 4 ve 10 sayıları gibi karenin dışındaki sayının böyle bir düzenlemesi yoktu . 4.18 . Bu durumda, sayı önce n hücre aşağı kaydırılmalıdır (kesin olduğu ortaya çıkacaktır.

- 54 -

n hücre ile sola hareket ettirin (karenin içindeki eşdeğer hücrede sona erecektir). Ayrıca ters sırada da hareket edebilirsiniz: önce sola, sonra aşağı hareket edin.

1 sayısının başka bir konumunu düşünün ( Şekil 4.19 ):

6
			16
		on dört	22	on	on sekiz
	7	yirmi	3	on bir	24
5	13	21	9	17	5
6	19	2	on beş	23
12	25	sekiz	16	dört	12
on sekiz	bir	on dört	22	on
24	7	yirmi	3	on bir

 

Vefk. 4.19

1 sayısını bir kareye farklı şekillerde yerleştirerek n 2 ^{sihirli kare oluşturabileceğimiz} açıktır , ancak bu sadece 3'ün katı olmayan siparişler için geçerlidir.

Moskopoul yöntemiyle 9. sıradaki sihirli bir karenin yapımını düşünün ( Şekil 4.20 ). Karenin sırası 3'ün katıdır, bu nedenle 1 sayısı alt satırın ortasına yazılır.

							55
			on
	38	79	otuz	71	22	63	on dört	46	6
	58	on sekiz	elli		42	74	34	66	26
37	78	29	70	21	62	13	54	5
57	17	49	9	41	73	33	65	25	57
77	28	69	yirmi	61	12	53	dört	45	77
16	48	sekiz	40	81	32	64	24	56	16
36	68	19	60	on bir	52	3	44	76	36
47	7	39	80	31	72	23	55	on beş	47
67	27	59	on	51	2	43	75	35	67
6	38	79	otuz	71	22	63	on dört	46
26	58	on sekiz	elli	bir	42	74	34	66

 

Vefk. 4.20

3 ile bölünebilen siparişlerin kareleri için Moskopoul yöntemi ayrıca bir genellemeye izin verir. Bu tür kareler için , koordinatları şu koşulları karşılayan bir hücreye 1 sayısı girilebilir: x = 1 (tod 3), y = 0 (tod 3). Karenin alt sırasının merkezi hücresinin bu koşulları karşıladığı açıktır, koordinatları: x \u003d (n - 1) / 2, y \u003d 0. Toplamda, n sıralı bir karede 3'ün katları koordinatları belirtilen koşulu karşılayan (n / 3) ^{2 hücre olacaktır.} Bu nedenle, 3'ün katları olan siparişler için Moskopoul yöntemi (n/3) ² sihirli kare oluşturabilir.

Bu yöntemle oluşturulmuş başka bir 9. dereceden sihirli kare gösterelim. 1 sayısını koordinatları olan bir hücreye yazıyoruz: x = 1, y = 3. Bu sihirli karenin yapımını şek. 4.21

- 55 -

						37
	41	73	33	65	25	57	17	49	9
	61	12	53	dört	45	77	28	69	yirmi
40	81	32	64	24	56	16	48	sekiz	40
60	on bir	52	3	44	76	36	68	19	60
80	31	72	23	55	on beş	47	7	39	80
on	51	2	43	75	35	67	27	59
otuz	71	22	63	on dört	46	6	38	79	otuz
elli	bir	42	74	34	66	26	58	on sekiz	elli
70	21	62	13	54	5	37	78	29	70
9	41	73	33	65	25	57	17	49
yirmi	61	12	53	dört	45	77	28	69

Vefk. 4.21

Yazar, Moskopole yönteminin çeşitlerini önermektedir: a) 3'e bölünemeyen tek sıralı ideal sihirli kareler oluşturmak için; b) Tek sıralı ve 3'e bölünebilen birleştirici sihirli kareler oluşturmak için. Bu varyantlar yazarın web sitesinde ayrıntılı olarak görüntülenebilir. (28)

Burada iki örnek gösterilmektedir - Moskopole yöntemiyle 9. dereceden bir birleştirici karenin inşası (Şekil 4.22 ) ve 11. dereceden ideal bir karenin inşası (Şek. 4.23 ).

	28
						64
	68	19	60	on bir	52	3	44	76	36
	7	39	80	31	72	23	55	on beş	47
67	27	59	on	51	2	43	75	35	67
6	38	79	otuz	71	22	63	on dört	46	6
26	58	on sekiz	elli	bir	42	74	34	66	26
37	78	29	70	21	62	13	54	5
57	17	49	9	41	73	33	65	25	57
77	28	69	yirmi	61	12	53	dört	45	77
16	48	sekiz	40	81	32	64	24	56	16
36	68	19	60	on bir	52	3	44	76
47	7	39	80	31	72	23	55	on beş

Vefk. 4.22

- 56 -

							100
		34
	69	9	59	120	49	110	39	89	29	79	19
	44	94	23	84	13	74	3	64	114	54	104
68	sekiz	58	119	48	109	38	99	28	78	on sekiz	68
43	93	33	83	12	73	2	63	113	53	103	43
7	57	118	47	108	37	98	27	88	17	67	7
92	32	82	22	72	bir	62	112	52	102	42	92
56	117	46	107	36	97	26	87	16	77	6
31	81	21	71	on bir	61	111	51	101	41	91	31
116	45	106	35	96	25	86	on beş	76	5	66	116
80	yirmi	70	on	60	121	elli	100	40	90	otuz	80
55	105	34	95	24	85	on dört	75	dört	65	115	55
19	69	9	59	120	49	110	39	89	29	79
104	44	94	23	84	13	74	3	64	114	54

Vefk. 4.23

Moskopoul yöntemiyle 3'e bölünebilen tek sıralı ideal sihirli karelerin oluşturulması imkansızdır.

[8]'de at yönteminin ilginç bir çeşidi verilmiştir. Bu seçenek bir problem şeklinde verilmiştir. Bu zorluğu okuyucularımıza sunuyoruz. Çizime göre ( Şekil 4.23a ), tek sıralı sihirli kareler oluşturmak için bir algoritma geliştirin.

			...					5
						dört				on
				3				9				on beş
		2				sekiz				on dört				yirmi
bir				7				13				19				25
		6				12				on sekiz				24
				on bir				17				23
						16				22
								21

Vefk. 4.23a

Problemin çözümü (29)'da verilmiştir.

4.1.4      ALFIL YÖNTEMİ

"Alfil yöntemi Moskopul yöntemine çok benzer, sadece şövalyenin hareketi yerine, bu yöntem bir kare boyunca çapraz hareketi kullanır (bu yasaya göre, modern piskoposun atası eski satrançta hareket etti - sözde alfil , yöntemin adı buradan gelir).” [3]

Alfil yöntemi için kurallar aşağıdaki gibidir ([3]'e göre açıklanmıştır):

1.     1 sayısı , (0, 1) koordinatlarıyla hücreye sığar.

2.     Sayılar, bir hücre boyunca artan bir köşegen boyunca doğal bir sırayla girilir. Sayı karenin dışına çıkar çıkmaz kare içindeki eşdeğer hücreye aktarıyoruz.

- 57 -

3.     Eğer r+1 sayısının girileceği hücre zaten doluysa, o zaman r numaralı hücreden çıkan hücreye "satranç atının uzun hareketiyle" (diğerinde) r+1 sayısı girilir. kelimeler: r sayısı ( x, y ) koordinatlarına sahip hücredeyse, r + 1 sayısı , bu hücrenin serbest olması koşuluyla ( x + 2, y + 2 ) koordinatlı hücreye ve koordinatlar ( x + 1, y + 3) aksi halde) .

Şek . 4.24 , alfil yöntemini kullanarak 5. dereceden sihirli karenin yapımını gösterir.

				6
		24	sekiz	17		on beş
	21	on	19	3	12
23	7	16	5	on dört	23	7
9	on sekiz	2	on bir	25	9	on sekiz
yirmi	dört	13	22	6	yirmi	dört
bir	on beş	24	sekiz	17
12	21	on	19	3

Vefk. 4.24

Açıkçası, kare birleştirici olduğu ortaya çıktı.

Hint yöntemi ve Moskopoul yönteminin (şövalye hareketi) aksine alfil yöntemi genellemelere izin vermez. Bu, herhangi bir tek dizi için, bu yöntem kullanılarak yalnızca bir sihirli kare oluşturulabileceği anlamına gelir. Bu yöntemde 1 sayısı her zaman (0, 1) koordinatlarıyla hücreye sığar.

Alfil yöntemiyle 9. dereceden bir karenin yapımına da bakın ( Şekil 4.25 ):

								on
		78	31	65	27	61	on dört	48		44
	73	35	69	22	56	on sekiz	52	5	39
77	otuz	64	26	60	13	47	9	43	77	otuz
34	68	21	55	17	51	dört	38	81	34	68
72	25	59	12	46	sekiz	42	76	29	72	25
yirmi	63	16	elli	3	37	80	33	67	yirmi	63
58	on bir	54	7	41	75	28	71	24	58	on bir
on beş	49	2	45	79	32	66	19	62	on beş	49
53	6	40	74	36	70	23	57	on	53	6
bir	44	78	31	65	27	61	on dört	48
39	73	35	69	22	56	on sekiz	52	5

 

Vefk. 4.25

Kare ayrıca birleştirici gibi görünüyor.

Bu meydanı teras yöntemiyle yapılmış meydanla karşılaştıralım. Daha uygun bir karşılaştırma için bu kareyi 180 derece döndürelim ( Şekil 4.26 ):

- 58 -

5	52	on sekiz	56	22	69	35	73	39
48	on dört	61	27	65	31	78	44	bir
on	57	23	70	36	74	40	6	53
62	19	66	32	79	45	2	49	on beş
24	71	28	75	41	7	54	on bir	58
67	33	80	37	3	elli	16	63	yirmi
29	76	42	sekiz	46	12	59	25	72
81	38	dört	51	17	55	21	68	34
43	9	47	13	60	26	64	otuz	77

Vefk. 4.26

Sihirli karenin ilk zinciri kavramını burada tanımlayalım. N dereceli sihirli bir karenin ilk zinciri, n asal sayı dizisidir . İlk zincir farklı biçimler alabilir. Şekildeki meydanda . 4.26 ilk zincir çapraz bir şekle sahiptir (vurgulanmıştır). İlk zincirin aynı şekline sahip sihirli kareler benzer olarak adlandırılacaktır.

Teras yöntemine göre yapılan kareyi çoğaltalım ( Şekil 4.27 ):

5	46	on beş	56	25	66	35	76	45
54	on dört	55	24	65	34	75	44	dört
13	63	23	64	33	74	43	3	53
62	22	72	32	73	42	2	52	12
21	71	31	81	41	bir	51	on bir	61
70	otuz	80	40	9	elli	on	60	yirmi
29	79	39	sekiz	49	on sekiz	59	19	69
78	38	7	48	17	58	27	68	28
37	6	47	16	57	26	67	36	77

Vefk. 4.27

Bu karede, ilk zincir, Şekil 2'deki karedeki ile aynı köşegen şekle sahiptir . 4.26 . Sizden önce iki benzer sihirli kare.

Bu sihirli karelerin birleşik bir artı-eksi... dönüşümü ile ilişkili olduğunu belirtmek ilginçtir. Bu tür dönüşümler, sihirli kare dönüşümleri bölümünde sunulmamıştır. Burada bu tür dönüşümlerden birini gösteriyoruz. Birden fazla sayı söz konusu olduğundan bu dönüşüm birleştirilir. Basit dönüşümlerde "artı-eksi..." bir sayı yer alır. Artı-eksi... dönüşümler matris biçiminde verilir.

Şek . 4.28 , Şekil 4'te gösterilen kareleri gösteren bir dönüşüm matrisi görüyorsunuz . 4.26 ve şek. 4.27 .

- 59 -

	-6	-3		+3	-3		+3	+6
+6		-6	-3		+3	-3		+3
+3	+6		-6	-3		+3	-3
	+3	+6		-6	-3		+3	-3
-3		+3	+6		-6	-3		+3
+3	-3		+3	+6		-6	-3
	+3	-3		+3	+6		-6	-3
-3		+3	-3		+3	+6		-6
-6	-3		+3	-3		+3	+6

Vefk. 4.28

Kısaca, matris elemanları içermez ve _y orijinal kare. Bu matris tarafından verilen dönüşümü Şekil 1'deki kareye uygulamak. 4.26 , Şekil l'de gösterilen kareyi alacaksınız . 4.27 . Açıkçası, bu dönüşüm karenin çağrışımsallığını koruyor. İlişkiselliğin korunmasını sağlayan dönüşümün simetrisi, Şekil 1'deki matriste açıkça görülmektedir . 4.28 .

Yazar, alfil yönteminin aşağıdaki versiyonunu önermektedir. 1 sayısı da (0, 1) koordinatlarıyla hücreye yazılır. Sayılar , hücre boyunca değil, her hücrede art arda diğer yönün artan köşegeni boyunca doğal bir sırayla yazılır . Hücre zaten doluysa, sayı "satranç atının genişletilmiş hamlesi" ile aynı şekilde girilir. Şek . Şekil 4.29 , alfil yönteminin bir çeşidini kullanarak 7. dereceden bir sihirli karenin yapımını göstermektedir.

		29
	39	7	17	34	44	12	22
on bir	28	38	6	16	33	43	on bir
49	on	27	37	5	on beş	32	49
31	48	9	26	36	dört	21	31
yirmi	otuz	47	sekiz	25	42	3	yirmi
2	19	29	46	on dört	24	41	2
40	bir	on sekiz	35	45	13	23	40
	39	7	17	34	44	12	22

 

Vefk. 4.29

Alfil yöntemiyle oluşturulan kareye eşdeğer olmayan bir çağrışımsal sihirli kare elde ettik. Karşılaştırma için, Şek. 4.30 , alfil yöntemiyle oluşturulmuş 7. dereceden bir kareyi göstermektedir .­

46	yirmi	36	on	33	7	23
16	39	13	29	3	26	49
42	9	32	6	22	45	19
12	35	2	25	48	on beş	38
31	5	28	44	on sekiz	41	sekiz
bir	24	47	21	37	on bir	34
27	43	17	40	on dört	otuz	dört

Vefk. 4.30

- 60 -

Alfil yönteminin bir varyantının modern satranç filinin yöntemi veya şahın yöntemi olduğunu söyleyebiliriz (hem fil hem de şah, bu varyanttakiyle aynı şekilde hareket edebilir: çapraz olarak bir kare).

Alfil yönteminin bir varyantını kullanarak 15. dereceden bir çağrışımsal sihirli karenin yapımını düşünün ( Şekil 4.31 ).

		121
	173	on beş	67	134	186	28	80	147	199	41	93	160	212	54	106
53	120	172	on dört	66	133	185	27	79	146	198	40	92	159	211	53
225	52	119	171	13	65	132	184	26	78	145	197	39	91	158	225
157	224	51	118	170	12	64	131	183	25	77	144	196	38	105	157
104	156	223	elli	117	169	on bir	63	130	182	24	76	143	210	37	104
36	103	155	222	49	116	168	on	62	129	181	23	90	142	209	36
208	35	102	154	221	48	115	167	9	61	128	195	22	89	141	208
140	207	34	101	153	220	47	114	166	sekiz	75	127	194	21	88	140
87	139	206	33	100	152	219	46	113	180	7	74	126	193	yirmi	87
19	86	138	205	32	99	151	218	60	112	179	6	73	125	192	19
191	on sekiz	85	137	204	31	98	165	217	59	111	178	5	72	124	191
123	190	17	84	136	203	45	97	164	216	58	110	177	dört	71	123
70	122	189	16	83	150	202	44	96	163	215	57	109	176	3	70
2	69	121	188	otuz	82	149	201	43	95	152	214	56	108	175	2
174	bir	68	135	187	29	81	148	200	42	94	161	213	55	107	174
	173	on beş	67	134	186	28	80	147	199	41	93	160	212	54	106

Vefk. 4.31

Okuyucuları alfil yöntemini kullanarak 15. dereceden bir kare oluşturmaya ve bunu Şekil 2'deki kareyle karşılaştırmaya davet ediyoruz. 4.31 .

4.1.5      DELAIRE YÖNTEMİ veya LATİN KARE YÖNTEMİ

Latin kare yönteminin tanımına başlamadan önce Latin karesinin tanımlarını vermek gerekir (tanımlar [8]'e göre verilmiştir).

tanım 1

n düzeninin Latin karesi , n ^2'nin altında, pxp boyutunda bir kare tablodur. öğeleri yalnızca n farklı olan ve n farklı öğeden herhangi biri, tablonun her satırında ve her sütununda tam olarak bir kez oluşur.

Şek . 4.32 , 5. dereceden bir Latin kare örneğini gösterir.

0	bir	2	3	dört
dört	0	bir	2	3
3	dört	0	bir	2
2	3	dört	0	bir
bir	2	3	dört	0

Vefk. 4.32

- 61 -

tanım 2

Ana köşegenlerinin her birinde n farklı elemanın da bulunduğu Latin kare pxp köşegen olarak adlandırılır.

Şekildeki Latin karesinin olduğu açıktır . 4.32 köşegen değildir, çünkü ana köşegenlerinden birindeki tüm elemanlar aynıdır. Şek . 4.33 , 5. dereceden bir çapraz Latin karesini gösterir.

0	bir	2	3	dört
2	3	dört	0	bir
dört	0	bir	2	3
bir	2	3	dört	0
3	dört	0	bir	2

Vefk. 4.33

tanım 3

n sırasına sahip iki Latin karesi A ve B'ye, karşılık gelen a _y , b y öğelerinden oluşan tüm çiftler farklıysa, yani Latin kareleri A ve B'nin üst üste binmesi bir tabloyla sonuçlanırsa, hepsi n ^{2 ise} ortogonal olarak adlandırılır. kimin unsurları farklıdır.

Yukarıda verilen 5. dereceden Latin kareleri ortogonaldir. Tanımda atıfta bulunulan bu karelerin üst üste bindirilmesinden kaynaklanan tabloya Greko-Latin karesi de denir. Küçültülmüş Latin kareler için Greko-Latin karesi şu şekilde olacaktır ( Şekil 4.34 ):

00	on bir	22	33	44
42	03	on dört	yirmi	31
34	40	01	12	23
21	32	43	04	on
13	24	otuz	41	02

 

Vefk. 4.34

Tabii ki, bu karedeki tüm unsurlar ayırt edilebilir.

Yukarıdaki tüm tanımların klasik Latin karelerine atıfta bulunduğunu unutmayın. Sihirli kareler oluşturmak için genelleştirilmiş Latin kareleri de kullanılır.

Tanım 4

n düzeyindeki genel bir Latin karesi, n ^2'nin altında, php boyutunda bir kare tablodur. öğeleri yalnızca n farklı olan ve n farklı öğeden herhangi biri bu tabloda tam olarak bir kez yer alır. Şek . 4.35 , 6. dereceden genelleştirilmiş bir Latin kare örneğini görüyorsunuz.

- 62 -

0	6	0	6	0	6
dört	2	dört	2	dört	2
5	bir	5	bir	5	bir
5	bir	5	bir	5	bir
dört	2	dört	2	dört	2
0	6	0	6	0	6

 

Vefk. 4.35

"Latin karesi" terimi kullanıldığında klasik Latin karesinden bahsettiğimiz anlaşılmaktadır.

Latin kare yöntemi, bir çift ortogonal Latin (klasik veya genelleştirilmiş) karenin kullanımına dayanır. Klasik Latin karelerinin kullanılması durumunda, iki yardımcı Latin karesinin her birinin geleneksel olmayan bir sihirli kare olması, yani her satırdaki, her sütundaki ve bu karelerin her iki ana köşegenindeki sayıların toplamının eşit olması gerekir. aynı numara. Açıkçası, tüm köşegen kareler bu koşulu sağlar. Ancak (aşağıda göreceğimiz gibi) bu koşulu sağlayan eğik olmayan kareler de vardır.

, geleneksel olmayan sihirli kareler olan, n düzeyinde bir çift dik Latin kare A(a D ve B(bc) oluşturduğumuzu varsayalım.O zaman sihirli kare C(C i, ) bu yardımcı Latin kare çiftinden oluşur. aşağıdaki formüle göre:

^[1]                                                                                                                                           c y \ ^{u003d n} * bir _u + b c + 1

Unutulmamalıdır ki bu formüldeki her iki yardımcı kare de eşittir, yani yer değiştirebilirler ve formül şu şekilde yazılacaktır:

^[2]                                                                                                                                           C y \ ^{u003d n} * ^b " ^{+ bir} h ^{+ 1}

Latin kare yönteminin temel ilkesi budur. Latin kare yöntemi, yalnızca tek sıralı sihirli kareler oluşturmak için değil, aynı zamanda birçok başka tür sihirli kare oluşturmak için de kullanılır. Yöntemin açıklamasından da anlaşılacağı gibi, en önemli şey bazı ortogonal Latin kareler oluşturabilmektir. Formül [1] veya formül [2]'ye göre hazır bir Latin yardımcı kare çiftinden sihirli bir kare oluşturmak çok kolaydır.

Tek sıralı kareler için Latin kare yöntemine Delair yöntemi de denir. Bu yönteme bir göz atalım.

Herhangi bir tek sıra n = 2m + 1 için ilk Latin karesi aşağıdaki gibi oluşturulur:

1)     keyfi bir permütasyon i ₁ , i ₂ , ... i _{p-1 seçilir} 0, 1, ... n-1 sayıları için i _n-1 = m (veya [n/2] );

2)     ₁ , ₂ , ... ve _p-1 sayılarıyla doldurulur ;

3)     kalan yatay sıralar aşağıdan yukarıya sırayla doldurulur, böylece sonraki her satır bir öncekinden 1'lik bir döngüsel kayma ile elde edilir. [3] Şek. 4.36 , ilk Latin yardımcı karesini gösterir.

- 63 -

2	bir	0	dört	3
3	2	bir	0	dört
dört	3	2	bir	0
0	dört	3	2	bir
bir	0	dört	3	2

 

Vefk. 4.36

İkinci yardımcı Latin karesi benzer şekilde oluşturulmuştur, ancak şimdi üst yatay satırda 0, 1, ... n-1 sayılarının keyfi bir permütasyonu yazılmıştır. Son hücre hala m sayısını içerir . Daha sonra, aşağıdaki satırlar yukarıdan aşağıya tam olarak aynı döngüsel kayma ile 1'lik bir adımla doldurulur . 4.37 ikinci yardımcı kareyi görüyorsunuz.

0	dört	bir	3	2
dört	bir	3	2	0
bir	3	2	0	dört
3	2	0	dört	bir
2	0	dört	bir	3

 

Vefk. 4.37

Her iki yardımcı Latin karesi de sihirli sabiti 10 olan geleneksel olmayan sihirli karelerdir. Bu Latin karelerinin köşegen olmadığını görmek kolaydır.

Şek . 4.38 , formül [1] ' e göre belirli bir ortogonal Latin kare çiftinden oluşan sihirli bir kareyi gösterir ve şek. 4.39 - [2] formülüne göre oluşturulmuş bir kare .

on bir	on	2	24	on sekiz
yirmi	12	9	3	21
22	19	13	6	5
dört	23	16	on beş	7
sekiz	bir	25	17	on dört

Vefk. 4.38

 

3	22	6	yirmi	on dört
24	sekiz	17	on bir	5
on	19	13	2	21
16	on beş	dört	23	7
12	bir	25	9	on sekiz

Vefk. 4.39

Açıkçası, bu kareler eşdeğer değildir.

İlk Latin karesinin 24 varyantta oluşturulabileceği açıktır (4 sayının permütasyon sayısı 0, 1, 3, 4; 2 sayısının konumu sabittir). Bu seçeneklerden herhangi biri için ikinci Latin karesi de 24 seçenekte oluşturulabilir.

- 64 -

Bu nedenle, toplamda, bu yöntemle (formüllerden birine göre [1] , [2] ) 5. mertebeden 576 sihirli kare oluşturmak mümkündür. Ancak bu kareler arasında eşdeğer kareler olacaktır. Her bir Latin kare çifti için [1] ve [2] formüllerinin her ikisi de uygulanırsa, 576 karelik iki grup elde edilir.

Başka bir örneğe bakalım - 7. dereceden sihirli bir karenin Delair yöntemiyle inşası. Şek . 4.40 , ilk Latin yardımcı karesini gösterir.

3	0	bir	2	dört	5	6
6	3	0	bir	2	dört	5
5	6	3	0	bir	2	dört
dört	5	6	3	0	bir	2
2	dört	5	6	3	0	bir
bir	2	dört	5	6	3	0
0	bir	2	dört	5	6	3

Vefk. 4.40

İkinci yardımcı Latin karesini oluşturmak için, ilk Latin karesindekiyle aynı sayı permütasyonunu seçiyoruz. Şekil 2'de ikinci Latin karesini görüyorsunuz . 4.41 .

0	bir	2	dört	5	6	3
bir	2	dört	5	6	3	0
2	dört	5	6	3	0	bir
dört	5	6	3	0	bir	2
5	6	3	0	bir	2	dört
6	3	0	bir	2	dört	5
3	0	bir	2	dört	5	6

Vefk. 4.41

Her iki Latin karesi de sihirli sabiti 21 olan geleneksel olmayan sihirli küplerdir.

Şek . 4.42 , [1] formülüne göre belirli bir ortogonal Latin kare çiftinden oluşturulmuş tamamlanmış bir sihirli kareyi göstermektedir .

22	2	on	19	34	42	46
44	24	5	13	21	32	36
38	47	27	7	on bir	on beş	otuz
33	41	49	25	bir	9	17
yirmi	35	39	43	23	3	12
on dört	on sekiz	29	37	45	26	6
dört	sekiz	16	31	40	48	28

Vefk. 4.42

Bu örnekte, karenin birleştirici olduğu ortaya çıktı.

[2] formülünü kullanarak belirli bir Latin kare çiftinden sihirli bir kare oluşturmaya davet edilir .

- 65 -

Delair yöntemi kullanılarak, her biri 518400 kareden oluşan, 7. dereceden sihirli karelerden oluşan iki grubun oluşturulabileceğini hesaplamak kolaydır.

Yazar, bir çift ortogonal çapraz Latin karesinin kullanımına dayanan Delair yönteminin bir varyantını önermektedir.

Yöntemin bu varyantını 5. dereceden sihirli bir kare oluşturma örneğinde gösterelim.

Aşağıdaki ortogonal çapraz Latin kare çiftini inşaat için ele alalım ( Şekil 4.43 - 4.44 ):

0	bir	2	3	dört
dört	2	3	0	bir
3	dört	bir	2	0
bir	3	0	dört	2
2	0	dört	bir	3

Vefk. 4.43

 

0	bir	2	3	dört
3	dört	bir	2	0
dört	2	3	0	bir
2	0	dört	bir	3
bir	3	0	dört	2

Vefk. 4.44

iki karenin ilk satırı 0, 1, ... 4 sayılarının aynı permütasyonunu içerdiğinden, bu dik köşegen Latin kare çiftine normalleştirilmiş diyeceğiz. Her iki karenin ilk satırına 0, 1, ... 4 sayılarının diğer herhangi bir permütasyonunu yazın, benzer dikey çapraz Latin kare çiftlerinin 120 varyantını elde edebiliriz. Bu tür her bir çiftten [1] , [2] formüllerinden herhangi birini kullanarak sihirli bir kare oluşturabilirsiniz .

[1] formülüne göre böyle bir sihirli kare elde ederiz ( Şekil 4.45 ):

bir	7	13	19	25
24	on beş	17	3	6
yirmi	23	9	on bir	2
sekiz	16	5	22	on dört
12	dört	21	on	on sekiz

 

Vefk. 4.45

İndirgenmiş normalleştirilmiş çifte benzer şekilde diğer ortogonal diyagonal kare çiftlerini oluşturmayı kolaylaştırmak için bu çiftin karelerini sembolik biçimde yazmak gerekir ( Şekil 4.46 - 4.47 ).

- 66 -

bir ben	2 _	bir z	4 _	5 _
5 _	bir z	4 _	bir ben	2 _
4 _	5 _	2 _	bir z	bir ben
2 _	4 _	bir ben	5 _	bir z
bir z	bir ben	5 _	2 _	4 _

 

Vefk. 4.46

bir ben	2 _	bir z	4 _	5 _
4 _	5 _	2 _	bir z	bir ben
5 _	bir z	4 _	bir ben	2 _
bir z	bir ben	5 _	2 _	4 _
2 _	4 _	bir ben	5 _	bir z

 

Vefk. 4.47

Şimdi rastgele bir permütasyon seçiyoruz, örneğin: a ₁ = 1 ve ₂ = 3 ve ₃ = 0 ve ₄ = 2 ve ₅ = 4. Latin kareler için verilen sembol değerlerini Şekil 4.46 - 4.47'ye göre doldurunuz . Aşağıdaki ortogonal çapraz Latin kare çiftini elde ederiz ( Şekil 4.48 - 4.49 ):

i	h	0	2	dört
dört	0	2	i	h
2	dört	h	0	i
h	2	i	dört	0
0	i	dört	h	2

 

Vefk. 4.48

i	h	0	2	dört
2	dört	h	0	i
dört	0	2	i	h
0	i	dört	h	2
h	2	i	dört	0

 

Vefk. 4.49

[1] , [2] formüllerinden herhangi birini kullanarak sihirli bir kare oluşturmak kalır . Şekilde gösterelim . [1] formülüne göre oluşturulmuş 4.50 kare .

7	i9	i	nın-nin	25
2 saat	5	i4	6	i7
i5	2 ben	i8	2	9
i6	i2	i0	24	h
dört	sekiz	22	yirmi	ii

Vefk. 4.50

- 67 -

Açıkça, normalize edilmiş bir ortogonal çapraz Latin kare çiftinden oluşturulan kareye eşdeğer olmayan yeni bir sihirli kare elde edilir.

Sıralı 5 ortogonal çapraz Latin karelerin bir normalleştirilmiş çifti daha var. ([6], s. 9).

Bu çift, Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.51 - 4.52 .

0	bir	2	3	dört
3	dört	0	bir	2
bir	2	3	dört	0
dört	0	bir	2	3
2	3	dört	0	bir

Vefk. 4.51

 

0	bir	2	3	dört
2	3	dört	0	bir
dört	0	bir	2	3
bir	2	3	dört	0
3	dört	0	bir	2

Vefk. 4.52

Belirli bir Latin kare çiftinden oluşturulan sihirli kare, Moscopule yöntemiyle (şövalye yöntemi) oluşturulan sihirli kareye eşdeğerdir. Şekildeki bu kareye bakın . 4.53 .

bir	7	13	19	25
on sekiz	24	5	6	12
on	on bir	17	23	dört
22	3	9	on beş	16
on dört	yirmi	21	2	sekiz

 

Vefk. 4.53

7. sıra için, en az 6 çift ortogonal çapraz Latin karesi vardır. Şek . 4.54 - 4.55 bu çiftlerden birini gösterir.

0	bir	2	3	dört	5	6
2	3	dört	5	6	0	bir
dört	5	6	0	bir	2	3
6	0	bir	2	3	dört	5
bir	2	3	dört	5	6	0
3	dört	5	6	0	bir	2
5	6	0	bir	2	3	dört

Vefk. 4.54

- 68 -

0	bir	2	3	dört	5	6
3	dört	5	6	0	bir	2
6	0	bir	2	3	dört	5
2	3	dört	5	6	0	bir
5	6	0	bir	2	3	dört
bir	2	3	dört	5	6	0
dört	5	6	0	bir	2	3

Vefk. 4.55

Okuyucular, belirli bir Latin kare çiftinden 7. dereceden sihirli bir kare oluşturmaya davet edilir. Bu sihirli karenin de Moskopoul yöntemiyle oluşturulan kareye eşdeğer göründüğünü belirtmek ilginçtir.

Önerilen Latin kare çifti normalize edilmiştir. 5. sıradaki karelerde olduğu gibi, 7'yi elde edebilirsiniz! = 5040 benzer ortogonal çapraz Latin kare çiftinin varyantı.

Ortogonal çapraz Latin kare çiftleri oluşturma sorunu ayrı ve çok karmaşık bir konudur. Matematiksel yazılım paketi (Marie), bir asal sayıya veya bir asal sayının kuvvetine eşit herhangi bir düzen için karşılıklı olarak ortogonal Latin kareler grubu oluşturma yeteneğine sahiptir. Böylece, örneğin, 7. sıra için, Marie 6 çift ortogonal Latin kareden oluşan bir grup oluşturur. Bu gruptan iki kare köşegen değildir. Kalan 4 köşegen kareden 6 çift dik köşegen Latin karesi yapılabilir. Bu çiftlerden biri yukarıda gösterilmiştir.

9. sıra için, Marie 8 çift ortogonal Latin kareden oluşan bir grup oluşturur. Bu gruptaki iki kare köşegen değildir. 6 köşegen kareden 15 çift dik köşegen Latin karesi yapılabilir. Şek . 4.56 - 4.57 , bu çiftlerden birini gösterir.

0	bir	2	3	dört	5	6	7	sekiz
3	dört	5	6	7	sekiz	0	bir	2
6	7	sekiz	0	bir	2	3	dört	5
7	sekiz	6	bir	2	0	dört	5	3
bir	2	0	dört	5	3	7	sekiz	6
dört	5	3	7	sekiz	6	bir	2	0
5	3	dört	sekiz	6	7	2	0	bir
sekiz	6	7	2	0	bir	5	3	dört
2	0	bir	5	3	dört	sekiz	6	7

Vefk. 4.56

 

0	bir	2	3	dört	5	6	7	sekiz
dört	5	3	7	sekiz	6	bir	2	0
sekiz	6	7	2	0	bir	5	3	dört
bir	2	0	dört	5	3	7	sekiz	6
5	3	dört	sekiz	6	7	2	0	bir
6	7	sekiz	0	bir	2	3	dört	5
2	0	bir	5	3	dört	sekiz	6	7
3	dört	5	6	7	sekiz	0	bir	2
7	sekiz	6	bir	2	0	dört	5	3

Vefk. 4.57

- 69 -

[1] formülüne göre belirli bir Latin kare çiftinden oluşan 9. sıradaki sihirli kare orijinaldir, yani siparişlerde olduğu gibi Moskopule yöntemiyle oluşturulan sihirli kareye eşdeğer değildir. 5 ve 7. Bu kareyi pirinç üzerinde görüyorsunuz. 4.58 .

bir	on bir	21	21	41	51	61	71	81
32	42	49	62	72	79	2	12	19
63	70	80	3	on	yirmi	33	40	elli
65	75	55	on dört	24	dört	44	54	34
on beş	22	5	45	52	35	66	73	56
43	53	36	64	74	57	13	23	6
48	28	38	78	58	68	27	7	17
76	59	69	25	sekiz	on sekiz	46	29	39
26	9	16	47	otuz	37	77	60	67

 

Vefk. 4.58

[1] "ters" formülünü kullanarak bu sihirli kareyi iki ortogonal Latin kareye ayırmanın gerekli olduğunu belirtmek ilginçtir . Bir örneğe bakın. Şekil l'deki sihirli kareyi alın. 4.22. Bu meydan Moskopoul yöntemine göre inşa edilmiştir. Bu sihirli kareyi iki ortogonal Latin karesine ayıralım. Elde edilen birkaç ortogonal Latin karesi, Şek. 4.59 - 4.60 . Not: Latin kareleri köşegen değildir, ana köşegenlerden birinde tekrar eden sayılar vardır. Bununla birlikte, bu kareler, sihirli sabiti 36 olan geleneksel olmayan sihirli karelerdir. İşte, diyagonal olmayan bir çift ortogonal Latin kareden sihirli bir karenin oluşturulduğu başka bir örnek. Köşegen olmayan ortogonal Latin kareler de Delair yönteminin kendisinde kullanılır.

Ayrıca not edin: ikinci Latin karesi, simetrinin dikey ekseni etrafındaki yansıma ile birinciden elde edilir.

7	2	6	bir	5	0	dört	sekiz	3
0	dört	sekiz	3	7	2	6	bir	5
2	6	bir	5	0	dört	sekiz	3	7
dört	sekiz	3	7	2	6	bir	5	0
6	bir	5	0	dört	sekiz	3	7	2
sekiz	3	7	2	6	bir	5	0	dört
bir	5	0	dört	sekiz	3	7	2	6
3	7	2	6	bir	5	0	dört	sekiz
5	0	dört	sekiz	3	7	2	6	bir

Vefk. 4.59

- 70 -

3	sekiz	dört	0	5	bir	6	2	7
5	bir	6	2	7	3	sekiz	dört	0
7	3	sekiz	dört	0	5	bir	6	2
0	5	bir	6	2	7	3	sekiz	dört
2	7	3	sekiz	dört	0	5	bir	6
dört	0	5	bir	6	2	7	3	sekiz
6	2	7	3	sekiz	dört	0	5	bir
sekiz	dört	0	5	bir	6	2	7	3
bir	6	2	7	3	sekiz	dört	0	5

Vefk. 4.60

Yazar, aşağıdaki tek sıralar için bir çift dikey çapraz Latin karenin bileşimi sorununun çalışmasını tamamlamadı (bu konu devam ediyor). 3 ile bölünemeyen emirler için bu tür çiftlerin kompozisyonu sorun yaratmaz. Ancak 3'ün katları olan siparişler için her şey o kadar basit değildir. Sıralama 3'ün katı ise Marie yazılım paketini kullanabilirsiniz. Bu 9. sıra için yapılır. Ve şimdi ilginç bir problem: en az bir çift dereceli 15 ortogonal çapraz Latin kareyi birleştirin. İkinci görev, Marie kullanarak 27 mertebesinde karşılıklı olarak ortogonal Latin karelerden oluşan bir grup oluşturmaktır. Bir sonraki karmaşık dizi 21'dir (Mary tarafından alınmamıştır).

2, 3, 6 hariç tüm mertebeler için ortogonal çapraz Latin kare çiftlerinin olduğu kanıtlanmıştır. [20]

Bu nedenle, yazarın önerdiği Delair yönteminin versiyonu, 3'e bölünemeyen tüm tek sıralar için sorgusuz sualsiz çalışır. Bu yöntemin, 3'ün katları olan sihirli karelerin oluşturulması için uygulanması, tam olarak çözülmemiş olan bu tür siparişlerin ortogonal çapraz Latin karelerinin eşleştirilmesi sorunu ile ilgilidir.

4.1.6. KARE YÖNTEMİ

Orijinal sınırlı kare yöntemi [8]'de verilmiştir. Yöntemin ana hatları belirtilen kitaba göre verilmiştir.

Bu yöntemi kullanarak n = 2k + 1 ( k>1 ) herhangi bir düzende sihirli bir kare oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

1.      Bilinen herhangi bir yöntemle n-2 düzeyinde sihirli bir kare oluşturuyoruz .

2.      Oluşturulan sihirli karenin tüm öğelerini 2(n-1) artırıyoruz .

3.     Oluşturulan n-2 dereceli sihirli kareyi php - matrisine yerleştiriyoruz, böylece karenin her iki tarafında bir boş sütun (serbest satır) var.

4.     köşe hücreleri şu şekilde doldurulur: sol üst hücreye rі-3k-1 sayısı, sağ üst hücreye rі-k-1 sayısı, sol alt hücreye k+1 sayısı yazılır. hücre hücresi, sağ alt hücredeki 3k+1 sayısı , burada k \u003d [p / 2] , gі \u003d p ² +1 .

5.     Matrisin üst sırasının serbest hücreleri aşağıdaki sayılarla doldurulur (rastgele sırada): k ve { m, rі-2k-1-t } , burada m=1, 2, ... k-1 .

6.     Matrisin sol sütununun serbest hücreleri aşağıdaki sayılarla doldurulur (rastgele sırada): rі-2k-1 ve { k+1+t, rі-3k-1-t }, burada t=1, 2 , ... k-1 .

7.     üst satırında karşılık gelen hücrenin karşısında bulunan sayılara tamamlayıcı (yani, tamamlayıcı olan) sayılarla doldurulur . Matrisin sağ sütunundaki serbest hücreler aynı şekilde doldurulur.

[8]'de verilen örneği kullanarak yapım yöntemini gösterelim. Bu, 5. dereceden bir sihirli kare oluşturmanın bir örneğidir.

- 71 -

Üçüncü mertebeden aşağıdaki sihirli kare, ilk sihirli kare olarak seçilir ( Şekil 4.61 ):

sekiz	bir	6
3	5	7
dört	9	2

 

Vefk. 4.61

İki noktayı bir kerede tamamlayalım, bu sihirli karenin tüm elemanlarını 2 (p-1) = 8 ile çarpalım ve 5x5'lik bir matrise yerleştirelim ( Şekil 4.62 ).

	16	9	on dört
	on bir	13	on beş
	12	17	on

 

Vefk. 4.62

4. maddeyi uyguluyoruz, matrisin köşe hücrelerini dolduruyoruz ( Şekil 4.63 ).

19				23
	16	9	on dört
	on bir	13	on beş
	12	17	on
3				7

 

Vefk. 4.63

Matrisin üst satırını ve sol sütununu doldurun (5 ve 6 numaralı noktalar). Şek . 4.64 .

19	bir	2	yirmi	23
dört	16	9	on dört
21	on bir	13	on beş
on sekiz	12	17	on
3				7

Vefk. 4.64

Son noktayı tamamlamak için kalır - matrisin alt satırını ve sağ sütununu tamamlayıcı sayılarla doldurmak. Ve 5. sıranın sihirli karesi hazır ( Şekil 4.65 ).

- 72 -

19	bir	2	yirmi	23
dört	16	9	on dört	22
21	on bir	13	on beş	5
on sekiz	12	17	on	sekiz
3	25	24	6	7

Vefk. 4.65

İlginçtir ki, matrisin üst satırı ve sol sütunu rastgele sırayla (köşe hücreler hariç) sayılarla doldurulduğundan, bu yöntemle birden fazla sihirli kare oluşturmak mümkündür. Böylece, n=5 sırası için 36 farklı sihirli kare oluşturulabilir (üst sıra için 6 doldurma seçeneği ve ayrıca sol sütun için 6 doldurma seçeneği vardır). Şek . 4.66 seçeneklerden birini görüyorsunuz.

19	2	yirmi	bir	23
on sekiz	16	9	on dört	sekiz
dört	on bir	13	on beş	22
21	12	17	on	5
3	24	6	25	7

Vefk. 4.66

Şimdi 7. dereceden bir kare için gösterime devam edelim. Ve ilk sihirli kare olarak, Şekil 5'ten 5. mertebeden yeni oluşturulmuş sihirli kareyi alıyoruz . ­4.65 . 2-3. noktaların gerçekleştirilmesinin sonucu Şekil 2'de gösterilmektedir . 4.67 .

	31	13	on dört	32	35
	16	28	21	26	34
	33	23	25	27	17
	otuz	24	29	22	yirmi
	on beş	37	36	on sekiz	19

 

Vefk. 4.67

4-7 arasındaki adımları izleyerek matrisi dolduruyoruz ve aşağıdaki sihirli kareyi elde ediyoruz ( Şekil 4.68 ):

40	bir	2	3	41	42	46
5	31	13	on dört	32	35	45
6	16	28	21	26	34	44
43	33	23	25	27	17	7
38	otuz	24	29	22	yirmi	12
39	on beş	37	36	on sekiz	19	on bir
dört	49	48	47	9	sekiz	on

Vefk. 4.68

- 73 -

7. sıranın karesi için daha da fazla seçenek var - 14400 (üst satırı doldurmak için 120 seçenek var ve aynı zamanda sol sütunu doldurmak için 120 seçenek var).

Ve son olarak, başka bir örnek - 9. sıradaki sihirli bir karenin yapımı. Başlangıç noktası olarak yine yedinci mertebeden yeni oluşturulmuş sihirli kareyi alıyoruz (tabii ki bu mertebeden herhangi bir sihirli kareyi alabiliriz). Şek . 4.69 9. sıranın tamamlanmış sihirli karesini görüyorsunuz .

69	bir	2	3	dört	70	71	72	77
6	56	17	on sekiz	19	57	58	62	76
7	21	47	29	otuz	48	51	61	75
sekiz	22	32	44	37	42	elli	60	74
73	59	49	39	41	43	33	23	9
66	54	46	40	45	38	36	28	16
67	55	31	53	52	34	35	27	on beş
68	yirmi	65	64	63	25	24	26	on dört
5	81	80	79	78	12	on bir	on	13

Vefk. 4.69

Okuyucuları, bu yöntemle 9. mertebeden kaç tane sihirli karenin oluşturulabileceğini hesaplamaya davet ediyoruz.

İlginç bir şekilde, yazılı her kare geleneksel olmayan sihirli bir karedir. Bu durumda, 9. sıradaki sihirli kareye yazılan her karenin sihirli sabiti 41'in katıdır (karenin merkez hücresindeki sayı). 7. sıradaki sihirli kareye (Şekil 4.68) yazılan her karenin sihirli sabiti ­25'in katıdır ve bu böyle devam eder.

9. sıranın karesine bakın ( Şekil 4.69 ). 3. mertebeden yazılı karenin sihirli sabiti 123=3*41, 5. mertebeden yazılı karenin 5. mertebesinden sihirli sabiti 205=5*41, 7. mertebeden yazılı karenin 7. mertebesinden sihirli sabiti 287=7* 41 .Ve 9. dereceden karenin sihirli sabiti 369=9*41'dir. Komik kural!

Sınırlı sihirli küpler oluşturmaya devam edebilirsiniz.

Şekilde gösterilen kareler . 4.69 , bazı kaynaklarda eş merkezli olarak adlandırılır. Yazarın web sitesinde eşmerkezli sihirli kareler hakkında bilgi edinebilirsiniz. (otuz).

- 74 - 4.1.7 TERSİNİBİLİR KARE YÖNTEMİ

Yöntemin açıklamasına başlamadan önce ters çevrilebilir kareyi tanımlamak gerekir. Tersinir bir kare sihirli bir kare değildir.

Tanım

n mertebesinde ters çevrilebilir bir kare, 1'den n2'ye kadar ardışık doğal sayılarla doldurulmuş bir pxn kare matrisidir , böylece elde edilen kare birleşim özelliğine sahiptir ^.

Ters çevrilebilir bir karenin başka özellikleri de vardır. Örneğin, ters çevrilebilir bir kare içindeki her 2x2 karenin köşegenlerindeki sayıların toplamı aynıdır. Ters çevrilebilir bir karenin daha ayrıntılı bir tanımı (31)'de bulunabilir.

1'den n ^2'ye kadar ardışık doğal sayılarla dolu bir matristir . doğal düzende.

Üçüncü dereceden sihirli bir kare ile başlayalım. Şek . 4.70 , üçüncü mertebeden en basit ters çevrilebilir kareyi görüyorsunuz.

bir	2	3
dört	5	6
7	sekiz	9

 

Vefk. 4.70

Teras yöntemiyle oluşturulan karelere denk gelen sihirli küpler yapacağız. Bunu, şek. 1'in tersinir karesine uygulayalım. 4.70 aşağıdaki matris dönüşümü ( Şekil 4.71 ) [orijinal A karesinin matrisini gösterdik (a ^ )]:

12 _	31 _	23 _
33 _	22 _	üzerinde
21 _	13 _	32 _

Vefk. 4.71

Şekil 2'de gördüğünüz sihirli bir karedir . 4.72 . Teras yöntemine göre yapılmış meydanla birebir örtüşmektedir.

2	7	6
9	5	bir
dört	3	sekiz

 

Vefk. 4.72

Aynı işlemi 5. dereceden kare için de yapalım. En basit ters çevrilebilir kare gösterilmemiştir, okuyucular zaten böyle bir karede sayıların 1 sayısının yazıldığı sol üst hücreden başlayarak doğal bir sırayla satır satır sığdığını biliyorlar . Şek . 4.73 , elde edilecek en basit 5. dereceden ters çevrilebilir kareye uygulanacak matris dönüşümünü gösterir.

- 75 - sihirli kare. Bu meydan da teras yöntemiyle inşa edilen meydanla örtüşecek.

bir iz	bir 4i	24 _	52 _	bir h5
45 yaşındayım	2 saat	bir 5i	bir z4	bir i2
kapalı	55 _	bir zz	ve ii	44 _
54 _	bir z2	bir i5	4 saat	bir 2i
merhaba _	bir i4	42 _	25 _	n 5z

 

Vefk. 4.73

Bu matris dönüşümünü en basit dereceli 5 ters çevrilebilir kareye uygulayarak, aşağıdaki sihirli kareyi elde ederiz ( Şekil 4.74 ):

3	16	9	22	on beş
yirmi	sekiz	21	on dört	2
7	25	13	bir	19
24	12	5	on sekiz	6
on bir	dört	17	on	23

Vefk. 4.74

Ve yine - 7. dereceden bir kare için. Şek . Şekil 4.75'te en basit ters çevrilebilir kareden 7. dereceden bir sihirli kare oluşturmak için bir matris dönüşümü görüyorsunuz.

14 _	5 1 _	25 _	bir b2	3b _	73 _	47 _
57 _	24 _	bir b1	35 _	72 _	4b _	13 _
23 _	bir b7	34 _	71 _	45 _	12 _	bir 5b
bir bb	33 _	77 _	44 _	ats	5 5 _	22 _
32 _	7b _	43 _	17 _	54 _	21 _	bir b5
75 _	42 _	1b _	bir 5 3	27 _	bir b4	31 _
41 _	15 _	52 _	2b _	bir b3	37 _	74 _

 

Vefk. 4.75

Şek . Şekil 4.76 , bu matris dönüşümünü en basit ters çevrilebilir kareye uygulayarak oluşturulan, 7. dereceden tamamlanmış bir sihirli kareyi göstermektedir.

dört	29	12	37	yirmi	45	28
35	on bir	36	19	44	27	3
on	42	on sekiz	43	26	2	34
41	17	49	25	bir	33	9
16	48	24	7	32	sekiz	40
47	23	6	31	on dört	39	on beş
22	5	otuz	13	38	21	46

Vefk. 4.76

- 76 -

"Peki, bu yöntemde ne var?" okuyucuya soracaktır. Tüm bu sihirli küpler teras yöntemi kullanılarak da oluşturulabilir. Ancak, sadece bir tane tersine çevrilebilir kare yoktur - bu en basit olanıdır. Daha birçok ters çevrilebilir kare var. Ve her ters çevrilebilir kareden, aynı matris dönüşümünü uygulayarak yeni bir sihirli kare oluşturabilirsiniz. Yani teras yönteminin bir genelleştirmesine sahibiz. 7. dereceden bir kare için bir örnek göstereceğim. Şek . 4.77 Yeni bir ters çevrilebilir kare görüyorsunuz.

5	6	7	dört	bir	2	3
12	13	on dört	on bir	sekiz	9	on
19	yirmi	21	on sekiz	on beş	16	17
26	27	28	25	22	23	24
33	34	35	32	29	otuz	31
40	41	42	39	36	37	38
47	48	49	46	43	44	45

Vefk. 4.77

Bu ters çevrilebilir A(ay) karesinin matrisinden önceki gibi ifade ederek, ona Şekil 1'de matris tarafından verilen matris dönüşümünü uygularız. 4.75 . 7. dereceden yeni bir sihirli kare elde edeceğiz ( Şekil 4.78 ).

dört	33	sekiz	41	16	49	24
31	on bir	40	on beş	48	23	7
on dört	38	on sekiz	47	22	6	otuz
37	21	45	25	5	29	13
yirmi	44	28	3	32	12	36
43	27	2	35	on	39	19
26	bir	34	9	42	17	46

Vefk. 4.78

Şekil 1'deki kareye benzer olduğu açıktır . 4.76 , ancak buna eşdeğer değildir. Bu karelerin artı veya eksi 4 dönüşümüyle birbirine bağlı olduğunu belirtmek ilginçtir. Şek . 4.79 , bu dönüşümün matrisini göstermektedir.

	+4	-dört	+4	-dört	+4	-dört
-dört		+4	-dört	+4	-dört	+4
+4	-dört		+4	-dört	+4	-dört
-dört	+4	-dört		+4	-dört	+4
+4	-dört	+4	-dört		+4	-dört
-dört	+4	-dört	+4	-dört		+4
+4	-dört	+4	-dört	+4	-dört

 

Vefk. 4.79

Dönüştürülen sihirli karenin çağrışımsallığının korunmasını sağlayan dönüşümün simetrisi açıktır.

Bir tane daha tersinir kare yapalım ( Şekil 4.80 ):

- 77 -

on beş	16	17	on sekiz	19	yirmi	21
sekiz	9	on	on bir	12	13	on dört
bir	2	3	dört	5	6	7
22	23	24	25	26	27	28
43	44	45	46	47	48	49
36	37	38	39	40	41	42
29	otuz	31	32	33	34	35

 

Vefk. 4.80

Aynı matris dönüşümünü kullanarak bu ters çevrilebilir kareden sihirli bir kare oluşturuyoruz ( Şekil 4.75'ten ). Ortaya çıkan sihirli kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 4.81 .

on sekiz	43	12	37	6	31	28
49	on bir	36	5	otuz	27	17
on	42	dört	29	26	16	48
41	3	35	25	on beş	47	9
2	34	24	21	46	sekiz	40
33	23	yirmi	45	on dört	39	bir
22	19	44	13	38	7	32

Vefk. 4.81

Ortaya çıkan sihirli karenin orijinal olduğu, yani yukarıda oluşturulan 7. sıradaki iki sihirli kareye eşdeğer olmadığı açıktır. İlk zincir bile şeklini biraz değiştirdi ve hala çapraz kalıyor. Bu kare, artı veya eksi 14 dönüşümü yoluyla teras yöntemiyle ( Şekil 4.76 ) oluşturulan kare ile ilgilidir . Okuyucuları bu dönüşümün bir matrisini derlemeye davet ediyoruz.

Böylece ters çevrilebilir kareler kullanarak teras yönteminin bir genellemesini elde ettik. Herhangi bir tek sıralı karelerin benzer şekilde oluşturulabileceği açıktır. Verilen sıradaki tersinir kareler kadar sihirli kareler vardır. Dönüşüm matrisi birkaç kare temelinde oluşturulmalıdır: en basit ters çevrilebilir kare, teras yöntemine göre oluşturulmuş bir karedir. Bununla birlikte, 3, 5, 7 dereceleri için yukarıdaki üç dönüşüm matrisinden, böyle bir matrisin bileşimi için düzenlilikleri türetmek ve herhangi bir tek sıra n = 2k + 1 için dönüşüm matrisini genel formda yazmak mümkündür (yapıldığı gibi). , örneğin “satır köşegenleri” dönüşüm matrisi için. Okuyucuları bu sorunu çözmeye davet ediyoruz.

Yazarın web sitesinde, tersine çevrilebilir kareler kullanarak ideal sihirli kareler oluşturmak için bir yöntem açıklanmaktadır. (32)

4.1.8 BİLEŞİK KARE YÖNTEMİ

Bileşik kare yöntemi evrensel bir yöntemdir. Bu yöntem , iki sayının bir ürünü olarak temsil edilebilen herhangi bir n mertebesinde sihirli bir kare oluşturmak için kullanılabilir : n \u003d k * m , hem k hem de m sayıları sihirli karenin sırası olabilirse, , bu sayılar 2'den büyük olmalıdır. Bu yöntemle oluşturulabilecek bir karenin minimum mertebesinin 9 olduğu açıktır. k dereceli kareye temel , m dereceli kareye temel denir . Temel ve

- 78 - ana bloklar değiştirilebilir. Ayrıca, hem taban hem de asal kareler belirli bir özelliğe sahipse, bileşik karenin doğasında da vardır. Böylece, örneğin, iki birleştirici kareden, iki ideal kareden - ideal bir bileşik kareden - bir birleştirici bileşik kare elde edilir.

Bileşik kare yöntemi çok uzun zamandır bilinmektedir. Ne yazık ki, bu yöntemin yazarının adı bilinmiyor.

k dereceli taban karesini A(aO) ile ve m dereceli taban karesini B('b ₁ ,) ile gösteririz.

Bileşik kare yöntemine göre oluşturacağımız n = k*m mertebesindeki kare matris, k 2 txt karelere ^{ayrıştırılır . Bu karelerin her biri,} m ² * (a y - 1) ile çarpılan ana karenin öğeleriyle doldurulur; burada R y , ana karenin bulunduğu taban karesinin öğesidir.

Belirli bir örneğe bakalım. Şekil 3'ün 3. mertebesinin sihirli karesini taban karesi olarak alalım. 4.72 ve ana olarak - şek. 5'in 5. sırasının sihirli karesi . 4.74 . Her iki kare de birleştirici olduğundan, 15. dereceden bileşik kare de birleştirici olacaktır. Örneğimizde, k \u003d 3 , t \u003d 5 . 15. dereceden kare matris ­9 5x5 kareye bölünür. Şek . 4.82 , her 5x5 kareyi doldurmak için bir şema gösterir.

b ii +25	b ii +150	b ii +125
b ii +200	b ii +100	b M II
b ii +75	b ii +50	ii +175 _

Vefk. 4.82

Bileşik kareler yöntemiyle oluşturulan 15. sıranın tamamlanmış sihirli karesi, Şek. 4.83 .

28	41	34	47	40	153	166	159	172	165	128	141	134	147	140
45	33	46	39	27	170	158	171	164	152	145	133	146	139	127
32	elli	38	26	44	157	175	163	151	169	132	150	138	126	144
49	37	otuz	43	31	174	162	155	168	156	149	137	130	143	131
36	29	42	35	48	161	154	167	160	173	136	129	142	135	148
203	216	209	222	215	103	116	109	122	115	3	16	9	22	on beş
220	208	221	214	202	120	108	121	114	102	yirmi	sekiz	21	on dört	2
207	225	213	201	219	107	125	113	101	119	7	25	13	bir	19
224	212	205	218	206	124	112	105	118	106	24	12	5	on sekiz	6
211	204	217	210	223	111	104	117	110	123	on bir	dört	17	on	23
78	91	84	97	90	53	66	59	72	65	178	191	184	197	190
95	83	96	89	77	70	58	71	64	52	195	183	196	189	177
82	100	88	76	94	57	75	63	51	69	182	200	188	176	194
99	87	80	93	81	74	62	55	68	56	199	187	180	193	181
86	79	92	85	98	61	54	67	60	73	186	179	192	185	198

Vefk. 4.83

Şimdi taban ve ana kareleri değiştirelim. Taban 5. dereceden bir kare olacak ve asıl olan 3. dereceden bir kare olacak. Bu durumda, k = 5 , t = 3 . 15. dereceden kare matris 25 adet 3x3 kareye bölünmüştür. Şek . 4.84 , her 3x3 kareyi doldurma şemasını gösterir.

- 79 -

ben +18 _	ben +135 _	bir ii +72	ben +189 _	ben +126 _
ben +171 _	+ 63'üm _	ben +180 _	ben +117 _	bir ii +9
ben +54 _	ben +216 _	ben +108 _	bir ve	ben +162 _
ben +207 _	ben +99 _	ben +36 _	ben +153 _	ben +45 _
+ 90'ım _	ben +27 _	ben +144 _	ben +81 _	ben +198 _

Vefk. 4.84

15. sıranın tamamlanmış sihirli karesi, Şek. 4.85 _

yirmi	25	24	137	142	141	74	79	78	191	196	195	128	133	132
27	23	19	144	140	136	81	77	73	198	194	190	135	131	127
22	21	26	139	138	143	76	75	80	193	192	197	130	129	134
173	178	177	65	70	69	182	187	186	119	124	123	on bir	16	on beş
180	176	172	72	68	64	189	185	181	126	122	118	on sekiz	on dört	on
175	174	179	67	66	71	184	183	188	121	120	125	13	12	17
56	61	60	218	223	222	110	115	114	2	7	6	164	169	168
63	59	55	225	221	217	117	113	109	9	5	bir	171	167	163
58	57	62	220	219	224	112	111	116	dört	3	sekiz	166	165	170
209	214	213	101	106	105	38	43	42	155	160	159	47	52	51
216	212	208	108	104	100	45	41	37	162	158	154	54	elli	46
211	210	215	103	102	107	40	39	44	157	156	161	49	48	53
92	97	96	29	34	33	146	151	150	83	88	87	200	205	204
99	95	91	36	32	28	153	149	145	90	86	82	207	203	199
94	93	98	31	otuz	35	148	147	152	85	84	89	202	201	206

Vefk. 4.85

Bu sihirli kareye Latin kareler açısından bakalım, yani onu iki ortogonal Latin kareye ayırıyoruz. Şek . 4.86 Bu sihirli kareye karşılık gelen ilk Latin karesini görüyorsunuz.

bir	bir	bir	9	9	9	dört	5	5	12	13	12	sekiz	sekiz	sekiz
bir	bir	bir	9	9	9	5	5	dört	13	12	12	sekiz	sekiz	sekiz
bir	bir	bir	9	9	9	5	dört	5	12	12	13	sekiz	sekiz	sekiz
on bir	on bir	on bir	dört	dört	dört	12	12	12	7	sekiz	sekiz	0	bir	0
on bir	on bir	on bir	dört	dört	dört	12	12	12	sekiz	sekiz	7	bir	0	0
on bir	on bir	on bir	dört	dört	dört	12	12	12	sekiz	7	sekiz	0	0	bir
3	dört	3	on dört	on dört	on dört	7	7	7	0	0	0	on	on bir	on bir
dört	3	3	on dört	on dört	on dört	7	7	7	0	0	0	on bir	on bir	on
3	3	dört	on dört	on dört	on dört	7	7	7	0	0	0	on bir	on	on bir
13	on dört	on dört	6	7	6	2	2	2	on	on	on	3	3	3
on dört	on dört	13	7	6	6	2	2	2	on	on	on	3	3	3
on dört	13	on dört	6	6	7	2	2	2	on	on	on	3	3	3
6	6	6	bir	2	2	9	on	9	5	5	5	13	13	13
6	6	6	2	2	bir	on	9	9	5	5	5	13	13	13
6	6	6	2	bir	2	9	9	on	5	5	5	13	13	13

Vefk. 4.86

- 80 -

Bunun ortak bir Latin karesi olduğu açıktır. İkinci Latin karesi klasik görünmektedir ( Şekil 4.87 ).

dört	9	sekiz	bir	6	5	13	3	2	on	0	on dört	7	12	on bir
on bir	7	3	sekiz	dört	0	5	bir	12	2	13	9	on dört	on	6
6	5	on	3	2	7	0	on dört	dört	12	on bir	bir	9	sekiz	13
7	12	on bir	dört	9	sekiz	bir	6	5	13	3	2	on	0	on dört
on dört	on	6	on bir	7	3	sekiz	dört	0	5	bir	12	2	13	9
9	sekiz	13	6	5	on	3	2	7	0	on dört	dört	12	on bir	bir
on	0	on dört	7	12	on bir	dört	9	sekiz	bir	6	5	13	3	2
2	13	9	on dört	on	6	on bir	7	3	sekiz	dört	0	5	bir	12
12	on bir	bir	9	sekiz	13	6	5	on	3	2	7	0	on dört	dört
13	3	2	on	0	on dört	7	12	on bir	dört	9	sekiz	bir	6	5
5	bir	12	2	13	9	on dört	on	6	on bir	7	3	sekiz	dört	0
0	on dört	dört	12	on bir	bir	9	sekiz	13	6	5	on	3	2	7
bir	6	5	13	3	2	on	0	on dört	7	12	on bir	dört	9	sekiz
sekiz	dört	0	5	bir	12	2	13	9	on dört	on	6	on bir	7	3
3	2	7	0	on dört	dört	12	on bir	bir	9	sekiz	13	6	5	on

Vefk. 4.87

Bu Latin meydanının ne kadar ilginç inşa edildiğini görün. Bir kerede tüm 3x3 blokların döngüsel bir permütasyonu vardır. Her iki Latin karesi de sihirli sabiti 105 olan geleneksel olmayan sihirli karelerdir. Ayrıca, her iki karenin de çağrışım özelliği vardır.

Latin kare yöntemini kullanarak sihirli bir kare oluşturmak için formüldeki birinci ve ikinci Latin karelerini kullanarak sihirli bir kare oluşturalım. Şek . 4.88 tamamlanmış sihirli kareyi görüyorsunuz.

62	137	122	25	100	85	200	51	36	163	on dört	223	114	189	174
167	107	47	130	70	on	81	21	185	44	208	148	219	159	99
92	77	152	55	40	115	6	215	66	193	178	29	144	129	204
117	192	177	65	140	125	28	103	88	203	54	39	151	2	211
222	162	102	170	110	elli	133	73	13	84	24	188	32	196	136
147	132	207	95	80	155	58	43	118	9	218	69	181	166	17
154	5	214	120	195	180	68	143	128	16	91	76	206	57	42
35	199	139	225	165	105	173	113	53	121	61	bir	87	27	191
184	169	yirmi	150	135	210	98	83	158	46	31	106	12	221	72
209	60	45	157	sekiz	217	108	183	168	71	146	131	19	94	79
90	otuz	194	38	202	142	213	153	93	176	116	56	124	64	dört
on beş	224	75	187	172	23	138	123	198	101	86	161	49	34	109
22	97	82	197	48	33	160	on bir	220	111	186	171	74	149	134
127	67	7	78	on sekiz	182	41	205	145	216	156	96	179	119	59
52	37	112	3	212	63	190	175	26	141	126	201	104	89	164

Vefk. 4.88

- 81 -

n = 3 ^P , p = 2, 3, 4 ... düzeninde ideal sihirli kareler oluşturma yöntemlerinden biri , bileşik kare yöntemine dayanmaktadır.

Bu yöntemi 9. dereceden bir tam kare oluşturma örneğini kullanarak göstereceğiz. İlk olarak, bileşik kare yöntemi kullanılarak bir çağrışımsal sihirli kare oluşturulur. Bu durumda 3. sıradaki sihirli karenin 8 çeşidinden herhangi biri taban ve ana kareler olarak seçilebilir. Hatta taban ve asal kare bile 3. dereceden aynı kare olabilir. Burada böyle bir örnek ele alınmıştır. Şek. 3'ün 3. sırasının karesi . 4.72 . 3. mertebenin karesi birleşimli olduğundan, bileşik kareler yöntemiyle oluşturulan 9. mertebenin karesi de birleşimli olacaktır. 9. sıranın tamamlanmış sihirli karesini Şek. 4.89 .

on bir	16	on beş	56	61	60	47	52	51
on sekiz	on dört	on	63	59	55	54	elli	46
13	12	17	58	57	62	49	48	53
74	79	78	38	43	42	2	7	6
81	77	73	45	41	37	9	5	bir
76	75	80	40	39	44	dört	3	sekiz
29	34	33	yirmi	25	24	65	70	69
36	32	28	27	23	19	72	68	64
31	otuz	35	22	21	26	67	66	71

Vefk. 4.89

Ve şimdi bu karede sütunları belirli bir şekilde yeniden düzenlemeniz gerekiyor ve mükemmel sihirli kare hazır! 3'ün kuvveti olan herhangi bir düzen için tam kareler oluşturmanın çok basit ve orijinal bir yöntemi. Tamamlanmış tam kareye bakın ( Şekil 4.90 ).

on bir	56	47	16	61	52	on beş	60	51
on sekiz	63	54	on dört	59	elli	on	55	46
13	58	49	12	57	48	17	62	53
74	38	2	79	43	7	78	42	6
81	45	9	77	41	5	73	37	bir
76	40	dört	75	39	3	80	44	sekiz
29	yirmi	65	34	25	70	33	24	69
36	27	72	32	23	68	28	19	64
31	22	67	otuz	21	66	35	26	71

Vefk. 4.90

- 82 -

Bu ideal kareyi orijinal ilişkisel kareyle karşılaştırırsanız, orijinal karedeki sütunların hangi prensibe göre yeniden düzenlendiğini kesinlikle anlayacaksınız. Sütunlar 2'lik artışlarla, yani iki sütundan sonra yeniden düzenlenir. Permütasyon şeması şu şekilde açıklanabilir: orijinal kare, her biri 3 sütunlu üç bölüme ayrılmıştır. Yeni karede, her bölümün ilk sütunları bir sıraya, ardından her bölümün ikinci sütunları ve son olarak da üçüncü sütunlar yerleştirilir.

Aynı orijinal ilişkisel kareden, satırları aynı şekilde yeniden düzenleyerek ikinci bir ideal kare elde edebilirsiniz. Şek . 4.91 , Şek. 4.89 çizgilerin permütasyonu.

on bir	16	on beş	56	61	60	47	52	51
74	79	78	38	43	42	2	7	6
29	34	33	yirmi	25	24	65	70	69
on sekiz	on dört	on	63	59	55	54	elli	46
81	77	73	45	41	37	9	5	bir
36	32	28	27	23	19	72	68	64
13	12	17	58	57	62	49	48	53
76	75	80	40	39	44	dört	3	sekiz
31	otuz	35	22	21	26	67	66	71

Vefk. 4.91

Bu mükemmel kareler oluşturma yöntemiyle ilgili ayrıntılar, yazarın web sitesinde bulunabilir. (33)

Okuyucuları, açıklanan yöntemi kullanarak bağımsız olarak 27. dereceden ideal bir sihirli kare oluşturmaya davet ediyoruz. Sonuç, yazarın sonucu ile karşılaştırılabilir.

Daha önce de belirtildiği gibi, bileşik kare yöntemi, hem tek hem de çift olmak üzere herhangi bir sıradaki sihirli karelerin yapımına uygulanabilir. Çift sıralı karelerin yapımında bu yöntemin uygulanması ilgili bölümlerde gösterilecektir.

Tek sıralı tam kareler oluşturmak için bir yöntem burada gösterilmektedir. Bu yöntem tüm tek siparişleri kapsamaz. Yazar, herhangi bir tek sıralı n>3 ideal kareler oluşturmak için benzersiz bir yöntem geliştirdi - salınım yöntemi. Bu yönteme büyük bir makale ayrılmıştır. (34)

4.2     ONBİR-ON BİR DÜZENİNİN SİHİRLİ KARELERİNİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİ

n = 4k , k = 1, 2, 3 ... çift sıralı sihirli kareler oluşturma yöntemlerini ele alacağız .

4.2.1    KARE ÇERÇEVE YÖNTEMİ

- 83 -

8. sıradaki sihirli karenin bu yöntemle yapımını düşünün. Matris alanına (üzerinde orijinal 8x8 kare resmedilmiş olarak), kare çerçeveler, bir kenarı orijinal karenin kenarının yarısı büyüklüğünde olacak şekilde (bkz . Şekil 4.92 ) çapraz olarak bir hücre (veya iki hücre) adımıyla yerleştirilir. satırlar ve sütunlar). Daha sonra ^{çerçevelerin çizgileri boyunca} 1'den n 2'ye kadar sayılar yerleştirilir. ( n karenin sırasıdır) orijinal karenin sol üst hücresinden başlayarak, ilk kare saat yönünde, ikinci kare karenin sağ üst serbest hücresinden başlayıp saat yönünün tersine gidecek şekilde doğal sırayla. Kareye dahil olmayan sayılar karenin karşılıklı kenarlarını sınırlayacak şekilde kareye aktarılır. Bitmiş sihirli kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 4.93 .

Vefk. 4.92

bir	58	22	45	44	19	63	sekiz
16	23	59	36	37	62	on sekiz	9
24	on beş	35	60	61	38	on	17
25	34	on dört	53	52	on bir	39	32
33	26	54	13	12	51	31	40
48	55	27	dört	5	otuz	elli	41
56	47	3	28	29	6	42	49
57	2	46	21	yirmi	43	7	64

Vefk. 4.93

Kare kutu yöntemiyle oluşturulan sihirli kareler ilişkiseldir.

Kare kutu yöntemi kullanılarak belirli bir düzende yalnızca bir sihirli karenin oluşturulabileceği açıktır. Yöntemi genelleştirmek mümkün müdür? ile deneyelim

- 84 - ters çevrilebilir karelerin kullanımı. 4. dereceden sihirli bir kare ile başlayalım. Şek . 4.94 kare kutu yöntemi kullanılarak oluşturulmuş bir kare görüyorsunuz.

bir	on dört	on beş	dört
sekiz	on bir	on	5
12	7	6	9
13	2	3	16

 

Vefk. 4.94

Böyle bir sihirli kare elde etmek için, matrisi L (ay) olarak gösterilen en basit ters çevrilebilir kareye aşağıdaki matris dönüşümünü uygulamak gerekir ( Şekil 4.95 ):

bir değil	42 _	43 _	14 _
24 _	33 _	32 _	21 _
34 _	23 _	22 _	31 _
41 _	12 _	13 _	44 _

Vefk. 4,95

Şimdi 4. dereceden başka bir ters çevrilebilir kare alalım ( Şekil 4.96 ) ve aynı dönüşümü ona uygulayalım.

bir	2	5	6
3	dört	7	sekiz
9	on	13	on dört
on bir	12	on beş	16

 

Vefk. 4.96

Şek . 4.97 tamamlanmış sihirli kareyi görüyorsunuz.

bir	12	on beş	6
sekiz	13	on	3
on dört	7	dört	9
on bir	2	5	16

Vefk. 4.97

deki kareye eşdeğer olmayan yeni bir sihirli kare elde ettik . 4.94 . Bu iki kare artı veya eksi 2 dönüşümüyle birbirine bağlanır. Okuyucuları bu dönüşümün bir matrisini derlemeye davet ediyoruz.

(31)'de 4. mertebeden ters çevrilebilir karelerin tam sayısı verilmiştir; 48 tane, her biri 16 kareden oluşan üç grup var. İşte tersinir karelerin ilk grubu.

- 85 -

12            3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13      14 15 16

1324 5768

9     11 10 12

13   15 14 16

2143 6587

10    9 12 11

14   13 16 15

2413 6857 10 12 9 11 14 16 13 15

1234

9    10 11 12 5678

13 14 15 16

1324

9    11 10 12 5768

13   15 14 16

2143

10    9 12 11 6587

14   13 16 15

2413

10   12 9 11 6857

14 16 13 15

5678 1234 13 14 15 16 9 10 11 12

5768 1324

13   15 14 16

9     11 10 12

6587 2143

14   13 16 15

10    9 12 11

6857 2413 14 16 13 15 10 12 9 11

5678

13 14 15 16 1234 9 10 11 12

5768

13   15 14 16 1324

9     11 10 12

6587

14   13 16 15 2143

10    9 12 11

6857

14 16 13 15 2413

10 12 9 11

Şekil 2'deki matris tarafından verilen dönüşümü uygulayarak .

4.95 , 4. dereceden yeni bir sihirli kare elde ederiz.

Başka bir örnek alalım. İlk kare olarak son tersinir kareyi alalım (yukarıdaki tersinir kareler grubundan). Şek . 4.98 , inşa edilmiş sihirli kareyi görüyorsunuz.

6	12
on beş	bir
3	13
on	sekiz
9	7
dört	on dört
16	2
5	on bir

Vefk. 4.98

satırlar ve sütunlar yeniden düzenlenerek kare çerçeve yöntemiyle ( Şekil 4.94 ) oluşturulan bir kareden elde edilir .

Bu matris dönüşümünü kullanarak 4. dereceden 48 sihirli kare oluşturabiliriz. İşte tersinir kareler kullanan kare kutu yönteminin ilginç bir genellemesi.

Aynı işlemi 8. dereceden kareler için de yapalım. Şek . 4.99 , kare kutu yöntemiyle oluşturulan sihirli kareyi elde etmek için en basit 8. dereceden ters çevrilebilir kareye uygulanması gereken matris dönüşümünü görüyorsunuz ( Şekil 4.93 ).

- 86 -

ben 11 yaşındayım	bir 82	bir erkek arkadaş	bir b5	bir b4	bir zz	bir 87	18 _
28 yaşındayım	n z7	n 8z	54 _	5 5 _	n 8b	bir z2	21 _
bir s8	27 _	5 saat _	bir 84	85 _	bir 5b	22 _	bir z1
41 yaşındayım	52 _	2b _	75 _	74 _	2 saat	57 _	48 _
5 1 _	42 _	7b _	25 _	24 _	7 saat	47 _	58 _
bir b8	77 _	4 saat	14 _	15 _	4b _	72 _	bir b1
78 _	bir b7	bir z	44 _	45 _	1b _	bir b2	71 _
bir 81	12 _	bir bb	bir h5	bir z4	bir bz	17 _	bir 88

Vefk. 4.99

Şimdi, Şekil 2'de gösterilen ilk kare olarak başka bir ters çevrilebilir kare alıyoruz . 4,100 .

bir	2	h	dört	9	on	on bir	12
5	b	7	sekiz	1 saat	on dört	on beş	1b
17	on sekiz	19	yirmi	25	2b	27	28
21	22	2 saat	24	29	h0	h1	h2
zz	h4	h5	zb	41	42	4 saat	44
h7	h8	h9	40	45	4b	47	48
49	elli	51	52	57	58	59	b0
5z	54	55	5B	b1	b2	bz	b4

Vefk. 4.100

l'den matris dönüşümünün uygulanması . Bu ters çevrilebilir kareye 4.99 , aşağıdaki sihirli kareyi elde ederiz ( Şekil 4.101 ):

bir	54	2b	45	40	19	bz	12
1b	27	55	zb	41	b2	on sekiz	5
28	on beş	h5	5B	b1	42	b	17
21	h4	on dört	57	52	7	4 saat	h2
zz	22	58	1 saat	sekiz	51	h1	44
48	59	2 saat	dört	9	h0	elli	h7
b0	47	h	24	29	on	h8	49
5z	2	4b	25	yirmi	h9	on bir	b4

Vefk. 4,101

Matris dönüşümü kullanılarak oluşturulan sihirli karelerin de birleştirici olduğu açıktır (bkz. Şekil 4.97, 4.98, 4.101'deki kareler ).

8. mertebenin yeni sihirli karesi, kare kutu yöntemi, artı veya eksi 4 dönüşümü ile oluşturulan kare ile ilgilidir. Şekilde dönüşüm matrisini görebilirsiniz . 4.102 .

- 87 -

	-dört	+4		-dört			+4
	+4	-dört		+4			-dört
+4			-dört		+4	-dört
-dört			+4		-dört	+4
	-dört	+4		-dört			+4
	+4	-dört		+4			-dört
+4			-dört		+4	-dört
-dört			+4		-dört	+4

Vefk. 4102

İşte bir karenin çağrışımsallığını koruyan basit bir artı veya eksi... dönüşümüne başka bir örnek. Bu dönüşümdeki güzel simetriye bakın.

(31)'de 8. sıradaki tersinir karelerin sayısı, yani her biri 36864 karelik 10 grup olmak üzere toplam 368640 kare verilmiştir. Burada gösterilen matris dönüşümünü kullanarak aynı sayıda sihirli kare oluşturabiliriz. Tüm bu kareler, satır ve sütunların permütasyonlarına ve "artı veya eksi..." gibi dönüşümlere göre farklılık gösterecektir.

Açıkçası, matris dönüşümünü uygulamak programlamak kolaydır. 8. dereceden tüm tersinebilir kareleri oluşturmak için bir program yaparsanız, bu programda eklemek için her tersinebilir kareye bir matris dönüşümü uygulamak için bir blok uygulayarak 8. dereceden 368640 sihirli kareyi uygularsınız.

Her grubun taban ters çevrilebilir karesine benzersiz ters çevrilebilir kare denir. (35)'te 8. dereceden 10 benzersiz ters çevrilebilir karenin tümü oluşturulmuştur. Daha önce de belirtildiği gibi, benzersiz ters çevrilebilir karelerin her biri, 36864 ters çevrilebilir kareden oluşan bir grup oluşturur. Tüm tersinebilir karelerin inşası çok ilginç bir problemdir, çünkü her tersinir kareden başka bir matris dönüşümü ile mükemmel bir sihirli kare elde edilebilir. (36)

Şek. 4.103, 8. mertebenin üçüncü benzersiz ters çevrilebilir karesini gösterir (ikisi zaten yukarıda sunulmuştur, ilki sayıların sırayla yazıldığı en basit tersinir karedir, ikincisi Şekil 4.100'dedir ).

bir	2	3	dört	33	34	35	36
5	6	7	sekiz	37	38	39	40
9	on	on bir	12	41	42	43	44
13	on dört	on beş	16	45	46	47	48
17	on sekiz	19	yirmi	49	elli	51	52
21	22	23	24	53	54	55	56
25	26	27	28	57	58	59	60
29	otuz	31	32	61	62	63	64

Vefk. 4103

Şekilden matris dönüşümünü uygulayalım . Bu tersinir kareye 4,99 .

Ortaya çıkan sihirli kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 4.104 .

- 88 -

bir	otuz	42	53	24	on bir	63	36
40	43	31	yirmi	49	62	on	5
44	39	19	32	61	elli	6	9
13	on sekiz	38	57	28	7	51	48
17	on dört	58	37	sekiz	27	47	52
56	59	on beş	dört	33	46	26	21
60	55	3	16	45	34	22	25
29	2	54	41	12	23	35	64

Vefk. 4,104

Okuyucuları kare kareler yöntemine Latin kareler yöntemi açısından bakmaya davet ediyoruz.

4.2.2      ROSE TOP YÖNTEMİ

Rose-Ball yöntemi şu şekildedir: Verilen çift sıralı bir karede, sayılar sol üst hücreden başlayarak doğal sıralarına göre girilir. Daha sonra karede köşegenler çizilir ( Şekil 4.105 ).

Vefk. 4,105

Çaprazların hareket ettiği karşılıklı simetrik hücrelerde (karenin merkezine göre) bulunan sayılar yerlerini değiştirir ve köşegenlerin hareket etmediği sayılar yerinde kalır. Böylece, Şek. 22 çapraz olarak sekiz sayıyı geçti, karşılıklı olarak simetrik olarak değiş tokuş etmek gerekiyor: 1-16, 6-11, 13-4, 10-7. Bitmiş sihirli kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 4.106 .

16	2
5	on bir
9	7
dört	on dört
3	13
on	sekiz
6	12
on beş	bir

Vefk. 4,106

Bunun tersini yapabilirsiniz: köşegenlerin geçtiği sayıları yerinde bırakın ve köşegenlere düşmeyen ve karenin merkezine göre simetrik olarak yerleştirilmiş sayıları değiştirin. Şek . 4.107 , bu şekilde oluşturulmuş bir kareyi göstermektedir. Bunu Şekil 2'deki kare ile karşılaştırın. 4.106 , aynı kare olduğunu görüyorsunuz, karenin merkezi etrafında 180 derece döndürülmüş.

- 89 -

bir	on beş	on dört	dört
12	6	7	9
sekiz	on	on bir	5
13	3	2	16

 

Vefk. 4107

Rouse-Ball yöntemine göre 8. dereceden sihirli bir kare oluştururken, köşegenler sadece karenin köşelerine değil, aynı zamanda kenarlarının orta noktalarına da bağlanır, yani köşegenler dört köşe bloğunda 4x4 çizilir ( Şekil 4.108 ).

X	2	3	X	X	6	7	X
9	X	X	12	13	X	X	16
17	X	X	yirmi	21	X	X	24
X	26	27	X	X	otuz	31	X
X	34	35	X	X	38	39	40
41	X	X	44	45	X	X	48
49	elli	^1	52	53	X	45	56
5X	58	59	40	X	'62	63 4	44

Vefk. 4108

Değiştirilecek karşılıklı simetrik on altı sayı çifti olacaktır: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5 -60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33. Şek . Şekil 4.109 , Rose-Ball yöntemiyle oluşturulmuş sekizinci dereceden tamamlanmış bir sihirli kareyi göstermektedir.

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	elli	16
17	47	46	yirmi	21	43	42	24
40	26	27	37	36	otuz	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	on sekiz	48
49	on beş	on dört	52	53	on bir	on	56
sekiz	58	59	5	dört	62	63	bir

Vefk. 4,109

Not: [8]'de Rose-Ball yöntemi Delanay-Mondesir yöntemi olarak sunulmuştur. Yöntem şu şekilde açıklanmaktadır: “n * n boyutunda bir başlangıç tablosu oluşturalım. Orijinal tabloyu 4*4 kare bloklara bölelim ve her blokta ana köşegenlerde bulunan hücreleri işaretleyelim. n = 4k mertebesinde klasik bir kare elde etmek için, içindeki sayıları n * n + 1 - ^ sayılarıyla değiştirmek kalır” (s. 116).

Buradaki ilk tablo, en basit tersinir karedir.

Tam tersine, işaretli hücrelerdeki sayıların değişmeden bırakılabileceği ve diğer tüm sayıların birbirini tamamlayıcı olanlarla değiştirilebileceği eklenmelidir ( Şekil 4.110 ).

- 90 -

bir	2	3	dört	5	6	7	sekiz
9	on	on bir	12	13	on dört	on beş	16
17	on sekiz	19	yirmi	21	22	23	24
25	26	27	28	29	otuz	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	elli	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64
bir	63	62	dört	5	59	58	sekiz
56	on	on bir	53	52	on dört	on beş	49
48	on sekiz	19	45	44	22	23	41
25	39	38	28	29	35	34	32
33	31	otuz	36	37	27	26	40
24	42	43	21	yirmi	46	47	17
16	elli	51	13	12	54	55	9
57	7	6	60	61	3	2	64

 

Vefk. 4,110

Açıkça, Rose-Ball yöntemiyle oluşturulan sihirli kareler birleştiricidir.

Ayrıca basitleştirilmiş bir Rose-Ball yöntemi vardır, ancak eşdeğer bir sihirli kare ile sonuçlandığından bu çok az ilgi çekicidir. Kısa basitleştirilmiş bir yöntem şu şekildedir: köşegen de kareye çizilir ve daha sonra sayılar doğal bir sırayla girilir, önce köşegenlerin geçtiği hücreler doldurularak ve diyagonal çizgilerin geçmediği hücreler geçilmez , atlamak için ve sonra tam tersi, şimdi karenin sağ alt hücresinden yazmaya başlayın. Şek . 4.111 , basitleştirilmiş bir Rose-Ball yöntemiyle oluşturulmuş 8. dereceden bir kareyi göstermektedir.

bir	63	62	dört	5	59	58	sekiz
56	on	on bir	53	52	on dört	on beş	49
48	on sekiz	19	45	44	22	23	41
25	39	38	28	29	35	34	32
33	31	otuz	36	37	27	26	40
24	42	43	21	yirmi	46	47	17
16	elli	51	13	12	54	55	9
57	7	6	60	61	3	2	64

Vefk. 4,111

Gördüğünüz gibi, bu kare Şekil 2'deki kareye eşdeğerdir. 4.109 ve tam olarak şek. 4.110 doğru.

Basitleştirilmiş Rose-Ball yöntemiyle oluşturulmuş bir kare daha gösterelim ( Şek.

4.112 ).

bir	143	142	dört	5	139	138	sekiz	9	135	134	12
132	on dört	on beş	129	128	on sekiz	19	125	124	22	23	121
120	26	27	117	116	otuz	31	113	112	34	35	109
37	107	106	40	41	103	102	44	45	99	98	48
49	95	94	52	53	91	90	56	57	87	86	60
84	62	63	81	80	66	67	77	76	70	71	73
72	74	75	69	68	78	79	65	64	82	83	61
85	59	58	88	89	55	54	92	93	51	elli	96
97	47	46	100	101	43	42	104	105	39	38	108
36	110	111	33	32	114	115	29	28	118	119	25
24	122	123	21	yirmi	126	127	17	16	130	131	13
133	on bir	on	136	137	7	6	140	141	3	2	144

Vefk. 4,112

- 91 -

Bu yöntemde orijinal karenin en basit ters çevrilebilir kare olduğuna dikkat edin. Tabii ki, hemen şu soru ortaya çıkıyor: Yöntemi başka bir tersinir kareye uygulamak mümkün mü? Bakalım. Şekil 4'ün 4. mertebesinin ilk ters çevrilebilir karesini alalım. 4.96 . Bu karede sayıların gerekli permütasyonlarını yapalım. Tamamlanan sihirli kare, Şek. 4.113 .

16	2
3	13
9	7
6	12
5	on bir
on	sekiz
dört	on dört
on beş	bir

Vefk. 4,113

Yeni bir sihirli kare alıyoruz, aynı zamanda birleştirici. Bu kare, "artı veya eksi 2" dönüşümü yoluyla Rouse-Ball yöntemiyle ( Şekil 4.106 ) oluşturulan kareye bağlanır. Bu dönüşümün bir matrisini yapın.

Kare kutu yönteminde olduğu gibi, ters çevrilebilir karelerden Rose-Ball yöntemiyle oluşturulan kareler gibi sihirli kareler oluşturmanın çok kolay olduğu bir dönüşüm matrisi oluşturmak mümkündür. Bunu okuyuculara bırakıyoruz.

Bu yüzden Rose-Ball yönteminin bir genelleştirmesine sahibiz: her tersinir kareden yeni bir sihirli kare elde edebilirsiniz.

Rose-Ball yönteminin bir başka genellemesi, salıncak yönteminin kullanılmasıdır. Bu soru (37)'de ele alınmaktadır.

4.2.3     LATİN KARE YÖNTEMİ

[8]'de, çift-eşit düzende mükemmel sihirli karelerin inşası için genelleştirilmiş Latin kareler yöntemi ele alınmaktadır (s. 119-120). Bu yöntem ayrıntılı olarak (38)'de anlatılmıştır.

Burada, klasik Latin karelerle Latin kareler yöntemiyle çift sıralı sihirli karelerin yapımını ele alacağız ("klasik" terimi bu bölümün ilerleyen kısımlarında atlanmıştır).

4. dereceden karelerle başlayalım. Şek . 4.114 - 4.115 4. mertebeden bazı ortogonal diyagonal Latin kareler görüyorsunuz. Bu eşleştirmeyi elle yapmak kolaydır.

0	bir	2	3
2	3	0	bir
3	2	bir	0
bir	0	3	2

Vefk. 4,114

 

0	bir	2	3
3	2	bir	0
bir	0	3	2
2	3	0	bir

Vefk. 4115

- 92 -

Her iki Latin karesi de sihirli sabiti 6 olan geleneksel olmayan sihirli küplerdir.

Bu Latin kareleri ile oluşturulan sihirli kare şekil 2'de gösterilmiştir. 4.116 .

bir	6	on bir	16
12	on beş	2	5
on dört	9	sekiz	3
7	dört	13	on

Vefk. 4,116

Her iki Latin yardımcı karesi de normalleştirilir, yani ilk kareler sırası 0, 1, 2, 3 sayılarının aynı permütasyonunu içerir . Bu sayıların diğer permütasyonlarını ilk satıra koyarak, 24 farklı ortogonal çapraz Latin kare çifti elde ederiz ve her bir çiftten sihirli bir kare oluşturabiliriz. Ve birinci ve ikinci Latin kareleri eşit olduğundan, bu yöntemle oluşturulabilecek sihirli karelerin sayısını iki katına çıkarıyoruz.

8. sıra için, nasıl yapılacağını bilmeden elle bazı ortogonal çapraz Latin kareler yapmak kolay değildir. Ancak, burada iyi bir yol

-      Marie yazılım paketini kullanın. Bu yazılım paketini kullanarak birbirine dik 7 Latin kareden oluşan bir grup oluşturabilirsiniz. Bu karelerden biri köşegen değil, diğer 6 kare köşegendir. 6 kareden 15 çift ortogonal çapraz Latin karenin yapılabileceği açıktır. Şek . 4,117

-      4.118 , 8. dereceden ortogonal çapraz Latin kare çiftlerinden birini gösterir.

0	bir	2	3	dört	5	6	7
2	3	0	bir	6	7	dört	5
dört	5	6	7	0	bir	2	3
6	7	dört	5	2	3	0	bir
5	dört	7	6	bir	0	3	2
7	6	5	dört	3	2	bir	0
bir	0	3	2	5	dört	7	6
3	2	bir	0	7	6	5	dört

Vefk. 4,117

 

0	bir	2	3	dört	5	6	7
3	2	bir	0	7	6	5	dört
6	7	dört	5	2	3	0	bir
5	dört	7	6	bir	0	3	2
bir	0	3	2	5	dört	7	6
2	3	0	bir	6	7	dört	5
7	6	5	dört	3	2	bir	0
dört	5	6	7	0	bir	2	3

Vefk. 4118

- 93 -

Her iki Latin karesi de sihirli sabit 28 olan geleneksel olmayan sihirli karelerdir. Bu ortogonal çapraz Latin kare çiftinden oluşturulan sihirli kare, Şek. 4,119 .

bir	on	19	28	37	46	55	64
yirmi	27	2	9	56	63	38	45
39	48	53	62	3	12	17	26
54	61	40	47	on sekiz	25	dört	on bir
42	33	60	51	on dört	5	32	23
59	52	41	34	31	24	13	6
16	7	otuz	21	44	35	58	49
29	22	on beş	sekiz	57	elli	43	36

Vefk. 4.119

Orijinalin, tamamlayıcı sayıların karenin dikey simetri ekseni ile simetrik olarak yerleştirildiği bir kare olduğu ortaya çıktı. Bu özellik 4. mertebenin karesinde de sağlanır ( Şekil 4.116 ).

Daha önce de belirtildiği gibi, Marie'nin yardımıyla elde edilen 8. sıradaki çift ortogonal çapraz Latin kareler grubundan 15 çift dikey çapraz Latin kare yapılabilir. Hepsi normalleştirildi. Bu tür her bir çiftten 40320 seçenek elde edilebilir. Bu nedenle, Latin kareler yöntemiyle, 8. mertebeden 604800 sihirli kare oluşturulabilir. Birinci ve ikinci yardımcı Latin karelerinin eşit olduğunu düşünürsek, bu sayı iki katına çıkar.

Sırada 12. siparişimiz var. Burada sorun çözülmedi. Marie bu dizi için ortogonal Latin kareler oluşturamaz. Zorluklar, 2'nin gücü olmayan sonraki tüm çift emirlerde aynı olacaktır. Okuyucular için çok iyi bir sorun!

2'nin katı olan siparişler için problemin çözülmesi kolaydır. İlk olarak, Mary bu görevi yerine getirebilir. İkincisi, bu tür siparişler için ortogonal Latin kareler, burada sunulan 8. dereceden ortogonal Latin kareler ile analoji ile kolayca oluşturulabilir. İşte 16. sıradaki ortogonal çapraz Latin kare çiftlerinden biri (kareler 8. sıradaki karelere benzetilerek oluşturulmuştur):

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2  3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13

4  5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11

6  7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9

8  9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7

10  11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5

12  13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3

14  15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1

9  8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6

11  10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4

13  12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2

15  14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14

3  2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12

5  4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10

7  6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3  2 1 0 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12

6  7 4 5 2 3 0 1 14 15 12 13 10 11 8 9 5 4 7 6 1 0 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10

12  13 14 15 8 9 10 11 4 5 6 7 0 1 2 3 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10  11 8 9 14 15 12 13 2 3 0 1 6 7 4 5 9 8 11 10 13 12 15 14 1 0 3 2 5 4 7 6

7  6 5 4 3 2 1 0 15 14 13 12 11 10 9 8

4  5 6 7 0 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11

1  0 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14

2  3 0 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13

11  10 9 8 15 14 13 12 3 2 1 0 7 6 5 4

8  9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7

13  12 15 14 9 8 11 10 5 4 7 6 1 0 3 2

14  15 12 13 10 11 8 9 6 7 4 5 2 3 0 1

- 94 -

Her iki Latin karesi de sihirli sabiti 120 olan geleneksel olmayan sihirli karelerdir. Açıkçası, kareler de normalleştirilmiştir.

Bir çift ortogonal çapraz Latin karesi, 16. dereceden sihirli bir kare oluşturmamız için yeterlidir. Ve ilk kareler satırındaki permütasyonu değiştirirseniz, genel olarak çok sayıda kare oluşturabilirsiniz - 16! (16 faktöriyel). Birinci ve ikinci yardımcı Latin karelerini değiştirerek bu sayıyı ikiye katlayabiliriz.

Şek . 4.120 , indirgenmiş bir ortogonal Latin kare çifti ile oluşturulmuş 16. dereceden bir sihirli kareyi göstermektedir:

bir	on sekiz	35	52	69	86	103	120	137	154	171	188	205	222	239	256
36	51	2	17	104	119	70	85	172	187	138	153	240	255	206	221
71	88	101	118	3	yirmi	33	elli	207	224	237	254	139	156	169	186
102	117	72	87	34	49	dört	19	238	253	208	223	170	185	140	155
141	158	175	192	201	218	235	252	5	22	39	56	65	82	99	116
176	191	142	157	236	251	202	217	40	55	6	21	100	115	66	81
203	220	233	250	143	160	173	190	67	84	97	114	7	24	37	54
234	249	204	219	174	189	144	159	98	113	68	83	38	53	sekiz	23
152	135	182	165	212	195	242	225	32	on beş	62	45	92	75	122	105
181	166	151	136	241	226	211	196	61	46	31	16	121	106	91	76
210	193	244	227	150	133	184	167	90	73	124	107	otuz	13	64	47
243	228	209	194	183	168	149	134	123	108	89	74	63	48	29	on dört
28	on bir	58	41	96	79	126	109	148	131	178	161	216	199	246	229
57	42	27	12	125	110	95	80	177	162	147	132	245	230	215	200
94	77	128	111	26	9	60	43	214	197	248	231	146	129	180	163
127	112	93	78	59	44	25	on	247	232	213	198	179	164	145	130

Vefk. 4,120

Ayrıca bu karede tamamlayıcı sayılar simetrinin dikey ekseni ile simetrik olarak yerleştirilmiştir.

Okuyuculara aşağıdaki görevleri sunuyoruz: 1) indirgenmiş ortogonal Latin kare çiftinden 16. sıranın ikinci sihirli karesini oluşturun ve değiştirin; 2) Latin karelerin ilk satırına 0, 1, 2 ... 15 sayılarının aynı permütasyon dışında rastgele bir permütasyonunu yazarak yeni bir ortogonal çapraz Latin kare çifti yapın; 3) 8. ve 16. sıraların Latin karelerine benzeterek 32. sıradaki bir çift dikey çapraz Latin kare yapın; 4) bu Latin kare çiftini kullanın ve 32 mertebesinde sihirli bir kare oluşturun; 5) n = 2 ^Р , р>1 herhangi bir düzende normalleştirilmiş bir ortogonal çapraz Latin kare çifti oluşturma prosedürünü resmileştirin ve programlayın .

4.2.4     PETEK KARE YÖNTEMİ

Petek kare yöntemi, n = 2k, k>2 herhangi bir çift sıralı sihirli kareler oluşturmak için kullanılır.

Tanım

n = 2k, k>2 düzeyindeki sihirli kare , her biri dört ardışık sayı içeren 2x2 kareden oluşuyorsa hücresel kare olarak adlandırılır.

- 95 -

Not: Tanım, geleneksel sihirli kareye atıfta bulunur. Açıkçası, hücre karesi geleneksel olmayabilir. Sihirli petek kare yapımında kullanılan geleneksel olmayan iki yardımcı sihirli kareden biri bu tanım anlamında petek kare olacaktır. Aynı zamanda 2x2 karelerden oluşur, ancak bu karelerin her birinde dört sayı yazılır - 0, 1, 2, 3 (bu dört sayı da ardışıktır).

Bu yöntem [8]'e göre açıklanmıştır. Bu kitabın yazarı, petek yapılı karelerin üç örneğini ele alıyor (kitapta bu karelere 2*2 hücreli kareler deniyor):

1.                                             n = 4k + 2, k = 1, 2, 3... düzeyindeki kareler;

2.                                             n = 8k + 4, k = 1, 2, 3 dereceli kareler;

3.                                             n = 8k, k = 1, 2, 3 dereceli kareler.

İlk durum, çift-tek sıralı sihirli karelerin yapımıyla ilgili bir sonraki bölümde ele alınacaktır. Hatta siparişler için üçüncü durum çok önemlidir. Bu konu burada ele alınacaktır.

Petek kare yöntemini kullanarak sihirli bir petek kare oluşturmak için iki yardımcı kare birleştirilir. Sihirli kare, birkaç yardımcı kareden, öğeleri açısından toplanarak oluşturulur, yani aşağıdaki formül basitçe uygulanır:

^c ii = ^a ii ^{+ b} ii

burada R ii birinci yardımcı karenin elemanlarıdır, bc ikinci yardımcı karenin karşılık gelen elemanlarıdır, Cc tamamlanmış sihirli karenin karşılık gelen elemanlarıdır.

Böylece, n = 8k düzeyinde sihirli kareler oluşturacağız. İlk yardımcı kareyi oluşturmak için, m = 4k düzeyinde herhangi bir sihirli kare seçilmelidir. Netlik için, 8. dereceden sihirli bir kare oluşturmanın belirli bir örneğine bakalım . ­İlk yardımcı karenin inşası için ilk kare olarak Şekil 2'de gösterilen 4. dereceden kareyi alalım. 4.121 .

bir	2	on beş	16
12	on dört	3	5
13	7	on	dört
sekiz	on bir	6	9

Vefk. 4,121

1'den n ^2'ye kadar olan doğal sayılar dizisi her biri 4 numaralı bloklara bölünmüştür.

Blok #1 - 1, 2, 3, 4

Blok #2 - 5, 6, 7, 8

Blok #3 - 9, 10, 11, 12

Blok #15 - 57, 58, 59, 60

Blok numarası 16 - 61, 62, 63, 64

İlk yardımcı kare şu şekilde oluşturulur: 8x8 matrisi 2x2 karelere bölünür. Böyle bir karenin her birinde, 4 özdeş

- 96 - sayılar. Bu sayılar şu şekilde tanımlanır: her 2x2 kare, Şekil 2'de gösterilen karenin bir hücresine karşılık gelir . 4.121 . Bu hücredeki sayı, karşılık gelen 2x2 kareye girilecek sayının alınması gereken blok numarasını gösterir. Her karenin ilk sayısı her zaman alınır. Örneğin, Şekil 2'deki karenin sağ üst hücresinde. 4.121, 16 sayısıdır. Dolayısıyla, karşılık gelen 2x2 kareye, blok no'nun ilk numarasını koymalısınız. 16 girişi, bu 61 sayısıdır. Şekil 2'deki karenin sol alt hücresinde. 4.121, 8 sayısıdır. Dolayısıyla, karşılık gelen 2x2 kareye, blok no'nun ilk numarasını koymalısınız. 8 girin, bu sayı 29.

Şekil 2'deki karenin elemanlarını düşünürsek . 4.121 ги у , daha sonra birinci yardımcı karenin karşılık gelen 2x2 karelerine yazılan sayılar şu formülle belirlenir: 1 + 4 (ги _ve - 1) .

Şek . 4.122 tamamlanmış ilk yardımcı kareyi görüyorsunuz.

bir	bir	5	5	57	57	61	61
bir	bir	5	5	57	57	61	61
45	45	53	53	9	9	17	17
45	45	53	53	9	9	17	17
49	49	25	25	37	37	13	13
49	49	25	25	37	37	13	13
29	29	41	41	21	21	33	33
29	29	41	41	21	21	33	33

Vefk. 4,122

Bu yardımcı kare, sihirli sabiti 248 olan alışılmadık bir sihirli karedir. Bu kare, şekil l'deki orijinal kare gibi. 4.121'in ek özelliği yoktur.

İkinci yardımcı kare, her biri 0, 1, 2, 3 olmak üzere dört sayı içeren 2x2 kareden oluşur. tüm satırlardaki, sütunlardaki ve ana satırlardaki sayıların toplamı. İkinci yardımcı karenin yapımına ilişkin detaylar [8]'de ve yazarın web sitesinde bulunabilir.(39)

Şek . 4.123 ikinci yardımcı kareyi görüyorsunuz.

0	bir	3	2	3	2	0	bir
2	3	bir	0	bir	0	2	3
3	2	0	bir	0	bir	3	2
bir	0	2	3	2	3	bir	0
3	2	0	bir	0	bir	3	2
bir	0	2	3	2	3	bir	0
0	bir	3	2	3	2	0	bir
2	3	bir	0	bir	0	2	3

Vefk. 4,123

Sihirli sabiti 12 olan alışılmamış bir sihirli karedir. Çağrışım özelliğine sahip olduğu açıktır.

- 97 -

Şimdi eleman eleman iki yardımcı kare eklemek kalıyor ve 8. sıradaki sihirli petek kare hazır ( Şekil 4.124 ).

bir	2	sekiz	7	60	59	61	62
3	dört	6	5	58	57	63	64
48	47	53	54	9	on	yirmi	19
46	45	55	56	on bir	12	on sekiz	17
52	51	25	26	37	38	16	on beş
elli	49	27	28	39	40	on dört	13
29	otuz	44	43	24	23	33	34
31	32	42	41	22	21	35	36

Vefk. 4124

Ortaya çıkan sihirli petek karesinin hiçbir ek özelliği yoktur. İkinci yardımcı kare birleştirici olsa da sihirli petek karenin de birleştirici olması yeterli değildir, birinci yardımcı karenin de bu özelliğe sahip olması gerekir. Şimdi böyle bir örnek ele alınacaktır.

Birinci yardımcı karenin inşası için bir başlangıç karesi olarak 4. dereceden bir birleştirici kare alalım ( Şekil 4.125 ).

bir	on dört	on beş	dört
12	7	6	9
sekiz	on bir	on	5
13	2	3	16

Vefk. 4,125

Şek . 4.126 , bu orijinal kare ile inşa edilen tamamlanmış ilk yardımcı kareyi 8x8 göstermektedir.

bir	bir	53	53	57	57	13	13
bir	bir	53	53	57	57	13	13
45	45	25	25	21	21	33	33
45	45	25	25	21	21	33	33
29	29	41	41	37	37	17	17
29	29	41	41	37	37	17	17
49	49	5	5	9	9	61	61
49	49	5	5	9	9	61	61

 

Vefk. 4,126

Açıkçası, bu alışılmadık sihirli kare çağrışım özelliğine sahiptir. Önceki örnektekiyle aynı olan ikinci yardımcı kareyi alalım ( Şekil 4.123 ). Elemanları iki yardımcı kare ekliyoruz ve ilişkisel olacak 8. dereceden yeni bir petek sihirli kare elde ediyoruz,

- 98 - çünkü her iki yardımcı kare de birleştiricidir. Şekil l'de bu petek şeklindeki kareye bakın . 4,127 _

bir	2	56	55	60	59	13	on dört
3	dört	54	53	58	57	on beş	16
48	47	25	26	21	22	36	35
46	45	27	28	23	24	34	33
32	31	41	42	37	38	yirmi	19
otuz	29	43	44	39	40	on sekiz	17
49	elli	sekiz	7	12	on bir	61	62
51	52	6	5	on	9	63	64

Vefk. 4,127

Bir örneğe daha bakalım. İlk yardımcı karenin yapımı için bir başlangıç karesi olarak 4. dereceden bir tam köşegen kare alalım ( Şekil 4.128 ).

bir	sekiz	13	12
on dört	on bir	2	7
dört	5	16	9
on beş	on	3	6

Vefk. 4.128

8. dereceden sihirli bir hücre karesi oluşturacağız. İlk olarak ilk yardımcı kareyi oluşturalım ( Şekil 4.129 ).

bir	bir	29	29	49	49	45	45
bir	bir	29	29	49	49	45	45
53	53	41	41	5	5	25	25
53	53	41	41	5	5	25	25
13	13	17	17	61	61	33	33
13	13	17	17	61	61	33	33
57	57	37	37	9	9	21	21
57	57	37	37	9	9	21	21

Vefk. 4,129

Bu alışılmamış sihirli karenin pandiagonal olduğunu doğrulamak kolaydır.

Ve şimdi ikinci yardımcı kareyi de tam köşegen olacak şekilde inşa etmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için, Şekil 1'deki ilişkisel kareye uygulayın. Bir ilişkisel kareyi düzgün bir şekilde dönüştüren üç karenin 4.123 dönüşümü

- 99 - pandiagonal için bile. Bu dönüşümün uygulanmasının bir sonucu olarak, Şekil 2'de gösterilen tüm köşegen yardımcı kareyi elde ederiz. 4,130 .

0	bir	3	2	bir	0	2	3
2	3	bir	0	3	2	0	bir
3	2	0	bir	2	3	bir	0
bir	0	2	3	0	bir	3	2
2	3	bir	0	3	2	0	bir
0	bir	3	2	bir	0	2	3
bir	0	2	3	0	bir	3	2
3	2	0	bir	2	3	bir	0

Vefk. 4,130

2'nin yardımcı karelerini eleman eleman ekliyoruz . 4.129 ve şek. 4,130 .

Ortaya çıkan 8. sıradaki petek sihirli kare, Şekil 2'de gösterilmektedir . 4.131 .

bir	2	32	31	elli	49	47	48
3	dört	otuz	29	52	51	45	46
56	55	41	42	7	sekiz	26	25
54	53	43	44	5	6	28	27
on beş	16	on sekiz	17	64	63	33	34
13	on dört	yirmi	19	62	61	35	36
58	57	39	40	9	on	24	23
60	59	37	38	on bir	12	22	21

Vefk. 4131

Her iki yardımcı kare de tam köşegen olduğundan, petek sihirli kare de tam köşegendir.

8. dereceden başka bir pandiagonal petek karesinin Şekil 2'deki birleştirici petek karesinden elde edilebileceğini belirtmek ilginçtir . 4.127 ona üç karenin dönüşümünü uygulamak. Bu kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 4.132 .

16. dereceden petek sihirli karelerin yapımı (40)'da detaylı olarak anlatılmaktadır. Burada sadece 16. sıranın en ilginç petek karesini gösteriyoruz - ideal olanı ( Şekil 4.133 ).

- 100 -

bir	2	224	223	194	193	187	188	165	166	124	123	102	101	31	32
3	dört	222	221	196	195	185	186	167	168	122	121	104	103	29	otuz
248	247	41	42	55	56	78	77	84	83	141	142	147	148	234	233
246	245	43	44	53	54	80	79	82	81	143	144	145	146	236	235
on beş	16	118	117	108	107	181	182	171	172	210	209	208	207	17	on sekiz
13	on dört	120	119	106	105	183	184	169	170	212	211	206	205	19	yirmi
250	249	131	132	157	158	68	67	94	93	39	40	57	58	232	231
252	251	129	130	159	160	66	65	96	95	37	38	59	60	230	229
28	27	197	198	219	220	162	161	192	191	97	98	127	128	6	5
26	25	199	200	217	218	164	163	190	189	99	100	125	126	sekiz	7
237	238	52	51	46	45	87	88	73	74	152	151	138	137	243	244
239	240	elli	49	48	47	85	86	75	76	150	149	140	139	241	242
22	21	111	112	113	114	176	175	178	177	203	204	213	214	12	on bir
24	23	109	110	115	116	174	173	180	179	201	202	215	216	on	9
227	228	154	153	136	135	89	90	71	72	62	61	36	35	253	254
225	226	156	155	134	133	91	92	69	70	64	63	34	33	255	256

Vefk. 4133

- 101 -

4.2.5      KARE YÖNTEMİ

Bu yöntem, Bölüm'de açıklanan sınırlı kareler yöntemine benzer.

4.1.6      tek sıralı kareler için. Ancak burada bir tuhaflık var: Sınırlama sürecinde ayrıca n = 4k + 2 (veya çift-tek sıra) dereceli kareler elde ederiz, ancak burada çift dereceli kareler dikkate alınır. Ancak bu bölümde bu yöntemi anlatacağız. Yöntemin sunumu [8]'e göre verilmiştir.

n = 4k ve n = 4k + 2 siparişleri için yapım kuralları farklıdır. Sınırlı kare yöntemi kullanılarak oluşturulabilecek çift sıralı sihirli karenin minimum sırası 6'dır. 4. dereceden bir sihirli kare sınırlandırılarak oluşturulur. İlk olarak, n = 4k + 2 mertebesinde sihirli bir kare oluşturma kuralları belirtilir .

1.     n-2 düzeyinde herhangi bir sihirli kare oluşturalım .

2.     Bu sihirli karenin tüm öğelerini 2(n - 1) ile çarpalım ve elde edilen geleneksel olmayan sihirli kareyi bir nn * n matrisine yerleştirelim, böylece karenin her iki tarafında bir serbest sütun (serbest satır) olsun.

3.     n * n matrisinin köşe hücrelerini şu şekilde dolduralım: sol üst hücreye 3m - 1 sayısını , sağ üst hücreye - 1 sayısını , sol alt hücreye - sayıyı yazıyoruz d - 1 , sağ alt hücrede - sayı d - 3m + 1 , burada m = n / 2 , d \u003d n ² + 1 .

4.     Üst satırın kalan boş hücrelerinde (keyfi olarak) { 2і + 1 } ve { q - 2] } sayılarını koyduk, burada i = 1, 2, ..., m - 2 ve ] = 1, 2, ..., t .

5.                Sol sütunun kalan boş hücrelerinde (keyfi olarak) 2m - 1 , { q - 4m + 1 + ] }, { 3m - 1 - i }, { 3m - 1 + c , q - 2m - c sayılarını koyduk } , burada ] \u003d 1, 2, ..., M + 1 , i \u003d 1, 2, ..., M , i \u003d 1, 2, ..., M - 1 , M \u003d [ t / 2] .

6.     Alt satırın (sağ sütun) kalan boş hücreleri, üst satırın (sol sütun) karşıt hücrelerindeki sayıları tamamlayan sayılarla, yani toplamı ( n ² + 1 ) ile doldurulacaktır.

Kuralları [8]'den 6. mertebeden sınırlı bir karenin yapımı örneği üzerinde açıklayalım. 4. mertebeden aşağıdaki kare başlangıç karesi olarak seçilmiştir ( Şekil 4.134 ):

bir	on	on beş	sekiz
16	7	2	9
6	13	12	3
on bir	dört	5	on dört

Vefk. 4,134

2-3. noktaların gerçekleştirilmesinin sonucu Şekil 2'de gösterilmektedir . 4,135 _

- 102 -

sekiz					bir
	on bir	yirmi	25	on sekiz
	26	17	12	19
	16	23	22	13
	21	on dört	on beş	24
36					29

Vefk. 4,135

Şek . 4.136 , 4-5 arasındaki adımların sonucunu görüyorsunuz.

sekiz	3	35	33	31	bir
5	on bir	yirmi	25	on sekiz
7	26	17	12	19
28	16	23	22	13
27	21	on dört	on beş	24
36					29

Vefk. 4,136

Son paragrafın uygulaması oldukça basittir: zıt hücrelere tamamlayıcı sayılar yazıyoruz. 6. sıranın tamamlanmış sihirli karesini şek. 4.137 .

sekiz	3	35	33	31	bir
5	on bir	yirmi	25	on sekiz	32
7	26	17	12	19	otuz
28	16	23	22	13	9
27	21	on dört	on beş	24	on
36	34	2	dört	6	29

Vefk. 4,137

Karenin en üst satırındaki ve sol sütundaki sayılar isteğe bağlı olarak girildiğinden (köşe hücrelerdeki sayılar hariç), bu yöntemle birden fazla sihirli kare oluşturulabilir. Böylece 6. sıradaki bir kare için üst sıra için 24, sol sütun için 24 dolgu seçeneği olacak ve toplamda 576 dolgu seçeneği elde edilmiş olacaktır. Bu nedenle, 6. mertebeden 576 sihirli kare oluşturmak mümkündür. Şek . 4.138 , seçeneklerden birini gösterir.

- 103 -

sekiz	35	33	31	3	bir
7	on bir	yirmi	25	on sekiz	otuz
28	26	17	12	19	9
27	16	23	22	13	on
5	21	on dört	on beş	24	32
36	2	dört	6	34	29

Vefk. 4138

Bir sonraki çift sıraya geçiyoruz - n = 8 . Bu dizi bir dizi n = 4k sırasını ifade ettiğinden , burada kurallar farklı olacaktır. n - 2 düzeyindeki herhangi bir sihirli kare hala ilk , yani bu örnekte 6. sıra olarak alınır. Şekildeki 6. sıradaki yeni oluşturulmuş sihirli kareyi ilk kare olarak alalım. 4.137 . Nokta 2, yukarıda açıklanan kurallarla aynı şekilde yürütülür. Bu adımın sonucu Şekil 2'de gösterilmektedir . 4,139 .

	22	17	49	47	45	on beş
	19	25	34	39	32	46
	21	40	31	26	33	44
	42	otuz	37	36	27	23
	41	35	28	29	38	24
	elli	48	16	on sekiz	yirmi	43

Vefk. 4,139

Şimdi bu matristeki satırları ve sütunları doldurma kurallarını açıklıyoruz. Kuralların 3. paragrafıyla başlıyoruz.

3.             n * n tablosunun en üst satırındaki hücreleri doldurmak için { 4i - 3, 4i, a - 4i + 2, a - 4i + 1 } sayılarını kullanırız, burada m = [n/2] , M = [t/2] , a = n*n + 1 , ben = 1, 2, ..., M .

Ayrıca, m dördün katı ise, o zaman m sayısını en üst satırın en soldaki hücresine ve 1 sayısını en sağdaki hücreye yerleştiririz. Eğer m dördün katı değilse, o zaman en soldaki hücreye m + 3 sayısını ve en sağdaki hücreye 4 sayısını koyarız . Yukarıdaki sayıların geri kalanı, üst sıranın boş hücrelerine keyfi bir şekilde yerleştirilir.

4.             i tablosunun sol üst köşe hücresine n * p ve sayı ] sağ üst köşe hücresine, sonra a - ] sayısını tablonun sol alt hücresine ve a - i sayısını tablonun sol üst hücresine yerleştiririz . sağ alt hücre.

5.              Tablonun sol sütununun kalan boş hücrelerine n * n biz (keyfi olarak) sayıları yerleştiririz { 2m + 2i - 1 , a - 2m - 2i }, burada i = 1, 2, ..., m-1 .

6.              Alt satırın ve sağ sütunun kalan boş hücreleri, birbirinin karşısında bulunan sayılar birbirini tamamlayacak şekilde doldurulur.

- 104 -

Şekildeki matrisi dolduruyoruz . 4,139 . Şek . 4.140 , 8. dereceden tamamlanmış bir sihirli kareyi gösterir.

dört	5	sekiz	63	62	59	58	bir
9	22	17	49	47	45	on beş	56
on bir	19	25	34	39	32	46	54
13	21	40	31	26	33	44	52
55	42	otuz	37	36	27	23	on
53	41	35	28	29	38	24	12
51	elli	48	16	on sekiz	yirmi	43	on dört
64	60	57	2	3	6	7	61

Vefk. 4,140

8. sıradaki bir kare için, üst satırı doldurmak için 720 seçenek ve sol sütunu doldurmak için aynı sayıda seçenek vardır. Bu nedenle, sınırlı kareler yöntemi kullanılarak 8. mertebeden 518.400 sihirli kare oluşturulabilir. Bu sadece bir orijinal 6. dereceden kare içindir.

[8]'deki örnek, 8. mertebeden sınırlı bir karenin inşasıyla sona ermektedir. Aşağıdaki sınırlamayı yapalım , yani 10. mertebeden sihirli bir kare oluşturacağız. Bu emir n = 4k + 2 emir dizisine ait olduğu için bu tür emirler için kuralları buna göre kullanmalıyız. 8. sıranın ilk sihirli karesi olarak, yeni oluşturulan kareyi Şekil 1'den alıyoruz . 4.140 (tabii ki, başka herhangi bir sıra 8 sihirli kare alınabilir). Şek . 4.141 adım 1-2'nin sonucunu görüyorsunuz.

	22	23	26	81	80	77	76	19
	27	40	35	67	65	63	33	74
	29	37	43	52	57	elli	64	72
	31	39	58	49	44	51	62	70
	73	60	48	55	54	45	41	28
	71	59	53	46	47	56	42	otuz
	69	68	66	34	36	38	61	32
	82	78	75	yirmi	21	24	25	79

Vefk. 4141

Kuralların 3-6 noktalarını takip ederek bu matristeki boş hücreleri dolduralım.

10. sıranın tamamlanmış sihirli karesi, Şek. 4,142 .

- 105 -

on dört	91	93	95	97	99	7	5	3	bir
9	22	23	26	81	80	77	76	19	92
83	27	40	35	67	65	63	33	74	on sekiz
84	29	37	43	52	57	elli	64	72	17
85	31	39	58	49	44	51	62	70	16
on beş	73	60	48	55	54	45	41	28	86
90	71	59	53	46	47	56	42	otuz	on bir
13	69	68	66	34	36	38	61	32	88
12	82	78	75	yirmi	21	24	25	79	89
100	on	sekiz	6	dört	2	94	96	98	87

Vefk. 4.142

Tek sıralı kenarlı kareler durumunda olduğu gibi, burada eşmerkezli sihirli kareler elde edilir. Hangi sihirli sabitlerin geleneksel olmayan sihirli karelere girdiğine bakın ( Şekil 4.142 ): § ₄ = 202, § 6 = 303, § ₈ = 404. Tüm bu sabitler q = n ² + 1'in katlarıdır . Komik satır! Ancak 10. mertebenin karesinin sihirli sabiti § ₁₀ = 505 de bu sayının katıdır. Bu, geleneksel sihirli karenin sihirli sabiti formülünden açıkça görülmektedir:

8    \u003d n * (n ² + 1) / 2

Okuyucuları aşağıdaki kenar çalışmasını yapmaya, yani 12. dereceden sihirli bir kare oluşturmaya davet ediyoruz. Şimdi n = 4k dizisinin dizileri için kuralları kullanmamız gerektiği açıktır . 10. sıranın ilk sihirli karesi olarak, Şekil 1'den yeni oluşturulan kareyi alın. 4,142 . Şek . 4.143 , 12. dereceden sihirli bir karenin inşası için bir boşluk verdi. Matrisin serbest hücrelerini doldurmaya devam ediyor.

	36	113	115	117	119	121	29	27	25	23
	31	44	45	48	103	102	99	98	41	114
	105	49	62	57	89	87	85	55	96	40
	106	51	59	65	74	79	72	86	94	39
	107	53	61	80	71	66	73	84	92	38
	37	95	82	70	77	76	67	63	elli	108
	112	93	81	75	68	69	78	64	52	33
	35	91	90	88	56	58	60	83	54	110
	34	104	100	97	42	43	46	47	101	111
	122	32	otuz	28	26	24	116	118	120	109

Vefk. 4.143

- 106 -

Yazılı geleneksel olmayan sihirli karelerin sihirli sabitleri: 8 ₄ \u003d 290, 8 ₆ \u003d 435, 8 8 \u003d 580, 8 ₁₀ \ u003d 725. Tüm sabitler 1n ² \u003d 145 sayısının katlarıdır , ve çoklu çarpanlar aşağıdaki gibidir: 2, 3, 4 , 5. Son olarak, 12. sıradaki karenin sihirli sabiti de bu sayının 6: 8 ₁₂ = 6 * 145 = 870 çarpanıyla bir katıdır.

Sınırlı küpler yapmayı seven okuyucular daha da ileri gidebilirler: 14, 16, vb. siparişlerin sihirli küplerini inşa edin.

4.2.6      BİLEŞİK KARE YÖNTEMİ

Evrensel bileşik kare yöntemi, eşit düzendeki kareler için doğal olarak çalışır. Bileşik kare yöntemi kullanılarak oluşturulabilecek bir çift sıralı karenin minimum sırası 12'dir.

Bileşik kare yöntemini kullanarak 12. dereceden sihirli kare oluşturmaya bir örnek verelim. 12 sayısı 3 ve 4 sayılarının bir ürünü olarak temsil edildiğinden, 3. mertebenin karesini taban olarak ve 4. mertebenin karesini taban olarak alabilir veya tam tersi: 4. mertebenin karesini alabilirsiniz. taban olarak sıralayın ve ana olan 3. dereceden bir karedir.

Şekilde gösterilen 3. mertebenin temel karesini alalım.

4.144,     ve ana kare olarak - Şekil 4'te gösterilen 4. sıranın karesi.

4,145 . _

2	7	6
9	5	bir
dört	3	sekiz

Vefk. 4144

 

bir	sekiz	on bir	on dört
on beş	on	5	dört
6	3	16	9
12	13	2	7

Vefk. 4,145

Bileşik kare yönteminin temel ilkesi, 4.1.8 bölümünde ayrıntılı olarak açıklanmıştır. Şekil 4.146'da 12. dereceden bir bileşik kare görüyorsunuz.

- 107 -

17	24	27	otuz	97	104	107	110	81	88	91	94
31	26	21	yirmi	111	106	101	100	95	90	85	84
22	19	32	25	102	99	112	105	86	83	96	89
28	29	on sekiz	23	108	109	98	103	92	93	82	87
129	136	139	142	65	72	75	78	bir	sekiz	on bir	on dört
143	138	133	132	79	74	69	68	on beş	on	5	dört
134	131	144	137	70	67	80	73	6	3	16	9
140	141	130	135	76	77	66	71	12	13	2	7
49	56	59	62	33	40	43	46	113	120	123	126
63	58	53	52	47	42	37	36	127	122	117	116
54	51	64	57	38	35	48	41	118	115	128	121
60	61	elli	55	44	45	34	39	124	125	114	119

Vefk. 4.146

Bu örnekte, taban karesi ilişkiseldir, taban karesi tüm köşegendir. Bileşik bir karenin ne ilişkiselliği ne de tüm köşegenliği vardır. Bileşik karede belirli bir özelliğin olması için hem taban hem de asal karelerin bu özelliğe sahip olması gerekir. 4. mertebeden birleşik kareyi asal kare olarak alır ve taban karesini aynı bırakırsak, 12. mertebeden birleşik bir kare elde ederiz. Örneğin, 16. mertebeden bir bileşik kare oluşturursak ve bu yapı için Şekil 4'ün 4. mertebesinden bir tam köşegen kare oluşturursak. 4.145 (hem taban hem de ana kareler olarak), inşa edilen 16. dereceden bileşik kare tam köşegen olacaktır. Buna bir bak!

Okuyucuları taban ve asal karelerin rollerini tersine çevirmeye ve 12. dereceden yeni bir bileşik kare oluşturmaya davet ediyoruz.

Bu bölüm, ek özelliklere sahip çift sıralı sihirli kareler oluşturma yöntemlerini ele almaz: tam köşegen, ideal ve tam kareler. Bu yöntemler yazarın web sitesinde bulunabilir. (40)

4.3             KARELERİN OLUŞTURULMASI İÇİN YÖNTEMLER­

Bu bölümde, çift-tek sıralı n = 4k + 2 sihirli kareler oluşturma yöntemleri ele alınacaktır . Bu tür dizilerin sihirli kareleri en az çalışılandır, çünkü bu tür diziler için ne birleştirici ne de köşegen kareler yoktur. Ayrıca çift-tek düzende sihirli kareler oluşturmak için çok eski yöntemler de yoktur.

4.3.1    KARE YÖNTEMİ

6. dereceden bir kare oluşturarak bu yöntemi açıklamaya başlayalım. 6x6'lık bir kareyi dört adet 3x3 kareye bölelim ( Şekil 4.147 ). Bu karelerin her birinde , farklı sayılardan 3. dereceden sihirli kareler oluşturuyoruz. Sol üst köşedeki kare 1'den 9'a kadar sayılarla doldurulacaktır, bu 3. sıradaki normal bir sihirli karedir. Kalan üç küp geleneksel olmayan sihirli küpler olacak; sağ üst köşedeki kareyi 19'dan 27'ye kadar sayılarla, sol alt köşede - 28'den 36'ya kadar sayılarla, sağ altta - 10'dan 18'e kadar sayılarla doldurun. Üzerine geleneksel olmayan üç sihirli küp inşa edilmiştir. sol üst köşeye yerleştirilmiş sihirli karenin temeli; yani, örneğin, sağ üst köşedeki kare, 3. mertebenin temel sihirli karesinden elde edilir.

- 108 - tüm hücrelerdeki sayılara 18 ekleyerek. Benzer şekilde, diğer iki karede sadece sayı farklı şekilde eklenir (bir durumda - 27, diğerinde - 9). Dört 3x3 kareyi de bu şekilde doldurduktan sonra sonuca dikkatlice bakacağız. 6. dereceden neredeyse bitmiş bir sihirli kareye sahip olduğumuz ortaya çıktı. Yalnızca üç çift sayıyı değiştirmek gerekir: 2-29, 5-32, 4-31. Şek . 4.148 altıncı sıranın tamamlanmış sihirli karesini görüyorsunuz.

2	7	6	yirmi	25	24
9	5	bir	27	23	19
dört	3	sekiz	22	21	26
29	34	33	on bir	16	on beş
36	32	28	on sekiz	on dört	on
31	otuz	35	13	12	17

 

Vefk. 4,147

29	7	6	yirmi	25	24
9	32	bir	27	23	19
31	3	sekiz	22	21	26
G2	34	33	on bir	16	on beş
36	5	28	on sekiz	on dört	on
dört	otuz	35	13	12	17

 

Vefk. 4,148

Bildiğiniz gibi, 3. dereceden sihirli karenin birbirinden döndürme ve yansımalarla elde edilen 8 çeşidi vardır. 3. dereceden sihirli karenin başka bir versiyonunu alır ve açıklanan şekilde 6. dereceden bir sihirli kare oluşturursanız, o zaman ilk oluşturulan kareden ( Şekil 4.148 ) elde edilemeyen yeni bir kare olacaktır . döndürme veya yansıma yoluyla. Şekilde bu karelerden biri gösterilmektedir . 4,149 .

31	9	2	22	27	yirmi
3	32	7	21	23	25
35	bir	6	26	19	24
dört	36	29	13	on sekiz	on bir
otuz	5	34	12	on dört	16
sekiz	28	33	17	on	on beş

Vefk. 4,149

Böylece, bu yöntemle 6. dereceden sekiz farklı sihirli kare oluşturulabilir.

Şimdi bir sonraki çift-tek düzenin karesine geçiyoruz, 10. Benzer şekilde hareket edeceğiz : 10x10 matrisini dört 5x5 kareye böleceğiz ve bu karelerin her birinde 5. dereceden sihirli bir kare oluşturacağız. Bu durumda, sol üst köşede geleneksel bir sihirli kare inşa etmek yeterlidir, diğerleri ise

- 109 - (geleneksel olmayan) hücrelerdeki tüm sayılara aynı sayı eklenerek ilkinden sihirli kareler elde edilir; sağ üst köşedeki kare için bu sayı 50, sol alt köşedeki kare için - 75, sağ alt köşedeki kare için - 25 ( Şekil 4.150 ).

3	16	9	22	on beş	53	66	59	72	65
yirmi	sekiz	21	on dört	2	70	58	71	64	52
7	25	13	bir	19	57	75	63	51	69
24	12	5	on sekiz	6	74	62	55	68	56
on bir	dört	17	on	23	61	54	67	60	73
78	91	84	97	90	28	41	34	47	40
95	83	96	89	77	45	33	46	39	27
82	100	88	76	94	32	elli	38	26	44
99	87	80	93	81	49	37	otuz	43	31
86	79	92	85	98	36	29	42	35	48

Vefk. 4.150

Doldurulmuş kareye bakalım. 10. mertebenin sihirli kare sabiti 505'tir. Söz konusu karenin satır, sütun ve köşegenlerindeki sayıları toplamak için sütunlarda her şeyin yolunda olduğundan emin oluyoruz. Ancak satırlarda ve köşegenlerde bir sabit elde etmek için, sayıları dolu yörüngeler boyunca değiştirmelisiniz, yani 3,8,25,12,11 sayılarından oluşan şekil, 78 sayılarından oluşan şekil ile değiştirilmelidir, 83,100, 87, 86 (bu rakamlar aynı renge boyanmıştır). Benzer şekilde, 15,2,19,6,23 sütunu 90,77,94,81,98 sütunu ve 53,70, 57, 74,61 sütunu - 28,45,32 sütunu ile değiştirilmelidir. , 49, 36 (değiştirilen sütunlar da aynı renktedir).

Şek . 4.151 , 10. dereceden tamamlanmış bir sihirli kareyi gösterir.

78	16	9	22	90	28	66	59	72	65
yirmi	83	21	on dört	77	45	58	71	64	52
7	100	13	bir	94	32	75	63	51	69
24	87	5	on sekiz	81	49	62	55	68	56
86	dört	17	on	98	36	54	67	60	73
3	91	84	97	on beş	53	41	34	47	40
95	sekiz	96	89	2	70	33	46	39	27
82	25	88	76	19	57	elli	38	26	44
99	12	80	93	6	74	37	otuz	43	31
on bir	79	92	85	23	61	29	42	35	48

Vefk. 4.151

6. sıradaki kareler için yapılan açıklama 10. ­sıradaki kareler için de geçerlidir. 5. dereceden birçok sihirli kare olduğundan

- 110 - (birkaç milyon), o zaman bu yöntemi kullanarak 10. dereceden büyük miktarda sihirli kareler oluşturabiliriz.

Tanımlanan yöntemi kullanarak herhangi bir n = 4k + 2 mertebesinde sihirli bir kare oluşturmanın gerçekten mümkün olduğunu kanıtlayalım .

Kanıt

n mertebesinde sihirli bir kare oluşturmamız gerekiyor , n çift sayı ama 4'ün katı değil. n'yi 2 * m olarak gösterelim , burada m tek sayı olacaktır. Php matrisini txt boyutunda dört kareye bölelim ve her birinin içine yukarıda açıklanan şemaya göre sihirli bir kare oluşturalım (herhangi bir tek sıralı sihirli kare oluşturabiliriz, örneğin teras yöntemini kullanarak). Kareleri txt boyutlarında numaralandırıyoruz : matrisin sol üst köşesindeki kare 1., sağ üst köşede - 2., sol alt köşede -

3-     ii ve sağ alt köşede - 4. Tüm m dereceli sihirli karelerin sabitlerini hesaplayalım ve pxn matrisinin sütunlarındaki sayıların toplamlarının gerçekten n dereceli karenin sihirli sabitine eşit olduğunu gösterelim . Sabitler, bir aritmetik ilerlemenin n teriminin toplamı için bir formülden başka bir şey olmayan sihirli kare sabiti için iyi bilinen formüle göre hesaplanır . Geleneksel olmayan 2., 3. ve 4. sihirli karelerin de 1 farkla aritmetik bir ilerleme oluşturan sayılarla doldurulduğuna dikkat edin.

8 1 \u003d (1 + w ² ) * w / 2

8 2 \u003d [(2t ² + 1) + 3t ² ] * t / 2 \u003d (5t ² + 1) * t / 2

83              \u003d [(Zt ² + 1) + 4t ² ] * t / 2 \u003d (7t ² + 1) * t / 2

84               \u003d [(t ² + 1) + 2t ² ] * t / 2 \u003d (3t ² + 1) * t / 2

8 \u003d (1 + p ² ) * p / 2 \u003d (1 + 4t ² ) * 2t / 2 \u003d (1 + 4t ² ) * t

81              + 8 3 \u003d (1 + t ² ) * t / 2 + (7t ² + 1) * t / 2 \u003d (1 + 4t ² ) * t

82              + 8 4 \u003d (5t ² + 1) * t / 2 + (3t ² + 1) * t / 2 \u003d (1 + 4t ² ) * t

m dereceli karelerin 81, 82, 83, 84 sihirli sabiti (1., 2., 3. ve

4-     n mertebesindeki karenin sihirli sabitidir .

Bu, sütunlar üzerindeki toplamların zaten elde edildiğini kanıtlar. Daha öte:

8 1 + 8 2 \u003d t * (1 + 3t ² )

83              + 8 4 \u003d t * (1 + 5t ² )

yani, orijinal karenin üst yarısındaki yatay çizgiler boyunca sayıların toplamı, gerekli sabitten m3 ^daha azdır ve alt yarıda - bu sabitten ^m3 fazladır.

Daha öte:

81              + 8 4 \u003d t * (2t ² + 1)

82              + 8 3 \u003d t * (6t ² + 1)

yani, orijinal karenin bir köşegeni boyunca sayıların toplamı, istenenden 2m3 ^daha azdır ve diğer köşegen boyunca - istenenden 2m3 ^daha fazladır.

php karenin yatay ve köşegeni boyunca sayıların toplamlarının eşitlenebileceğini (yani istenen sabite getirilebileceğini) kanıtlayalım. Şek . 4.147 ve şek. 4,150 . Şekilde görüyorsunuz . Değiştirilecek 4.147 sayı çifti, php karesinin sol tarafında kesik çizgiler üzerindedir ve iki tane yer kaplar .

- 111 - karenin her köşegenindeki köşegen sayılar. metin . Şek . 4.150 Tam olarak aynı kesik çizgiler ve sol ve sağda pkhp karesinin dikey simetri eksenine bitişik iki sütun daha var , sayıları da yer değiştiriyor (bu sütunlar tamamen yeniden düzenlenmiş gibi görünüyor). 14. dereceden sihirli bir kare oluşturmaya başlarsanız, sayı alışverişi sırasının benzer olacağından emin olun, yalnızca yeniden düzenlenmesi gereken dikey simetri ekseni boyunca sütunlar zaten dört, iki yukarı olacak . simetri ekseninin her iki tarafı.

Böylece, desen tespit edildi. Şu sonuca varıyoruz: sayıların toplamlarını, m sıralı dört sihirli kareden oluşan n \u003d 2 * m sıralı bir karenin yatay ve çapraz çizgileri boyunca hizalamak için ( t tek bir sayıdır), sayıları kullanmanız gerekir: a) nxn karesinin sol tarafında kesik çizgiler üzerinde yer alır ve m mertebesindeki bir karede her köşegende iki diyagonal sayı yakalar ; b) pkhp karesinin dikey simetri eksenine bitişik (m -3) sütunlarında (m - 3) / 2'de her iki tarafta.

Sütunların pxn karesinin dikey simetri ekseni boyunca alınması gerekmediğini , başka herhangi bir yere alınabileceğini, sadece kesik çizgilere düşen sayıları ve sol ve sağdan sonra aynı sayıyı yakalamadığını unutmayın. simetri ekseninin Somutluk için simetri ekseni boyunca sütunları alıyoruz.

Toplamların eşit olduğu iddiasını ispatlayalım.

3. karenin her bir sayısı ^{, 1. karenin karşılık gelen sayısından 3m2 büyüktür} ve 4. karenin her sayısı ^{, 2. karenin karşılık gelen sayısından m2 küçüktür} . Bu nedenle, sayıların belirtilen permütasyonlarını yaptıktan sonra, orijinal karenin üst yarısının her satırındaki toplamı şu değerle değiştireceğiz:

3t ² + (t - 3) * 3t ² / 2 - (t - 3) * t ² / 2

^{m3'e özdeş olduğundan} , yani yalnızca her satırda eksik olan değer olduğundan emin oluruz . Tam olarak aynı miktarda, orijinal karenin alt yarısının her satırındaki toplamı azaltacağız ve bu da karenin sabitine eşit olacaktır.

sol üst köşeden sağ alt tarafa doğru n mertebesinde bir karenin köşegeni boyunca toplamın ne kadar değişeceğini görelim . Bu, doğal olarak aşağıdaki miktarda artacaktır:

2 * 3t ² + (t - 3) * 3t ² / 2 + (t - 3) * t ² / 2

^2m3'e özdeş olduğunu göreceksiniz , yani tam olarak önceki diyagonal toplam ile pxp karesinin sihirli sabiti arasındaki fark olan değer . Tam olarak aynı miktar, kare pkhp'nin diğer köşegeni boyunca toplamı azaltacak ve aynı zamanda karenin sabitine eşit olacaktır.

m=n/2 düzeyindeki geleneksel olmayan sihirli karelerin bileşimi için genel formüller veriyoruz .

1-                        inci kare - 1'den m ^2'ye kadar olan sayılardan oluşan geleneksel bir sihirli kare . Bu sihirli kare, tek sıralı sihirli kareler oluşturmak için bilinen yöntemlerden herhangi biri ile oluşturulabilir.

2-                         o kare (ve aşağıdakilerin tümü) - geleneksel olmayan sihir. 1. karenin her hücresindeki sayılara 2t ² sayısı eklenerek oluşur , yani 1 + 2t ^2'den 3t ^{2'ye kadar} sayılarla doldurulur ;

3-                         ² sayısı eklenerek ikinci kare oluşturulur, yani 1 + 3 t ^2'den 4t ^{2'ye kadar} sayılarla doldurulur ;

4-                         ^{1. karenin her hücresindeki sayılara m 2 sayısının eklenmesiyle} oluşan inci kare , yani 1 + m ² den 2 m ^{2 ye} kadar sayılarla doldurulur .

- 112 -

Ve şimdi başka bir örnek göstereceğiz - bu yöntemle 14. dereceden sihirli bir karenin yapımı.

Önce tek sıralı m = 7 olan 1. sihirli kareyi oluşturalım. Bunun için teras yöntemini seçelim.

² =98 sayısının eklenmesiyle elde edilir ; 3. kare - 3t ² \u003d 147 sayısını ekleyerek ; 4. kare - m ² \u003d 49 sayısını ekleyerek .

İzin verilen sütunların sayısı (m -3) = 4'tür, 14x14 karenin simetri ekseninin her iki tarafında ikişer tanedir. Şek. 4.152 , 7. dereceden dört sihirli kareden oluşan 14x14'lük bir matrisi gösterir ve şek . 4.153 14. mertebenin tamamlanmış sihirli karesini görüyorsunuz.

dört	29	12	37	yirmi	45	28	102	127	110	135	118	143	126
35	on bir	36	19	44	27	3	133	99	134	117	142	125	101
on	42	on sekiz	43	26	2	34	108	140	116	141	124	100	132
41	17	49	25	bir	33	9	139	115	147	123	99	131	107
16	48	24	7	32	sekiz	40	114	146	122	105	130	106	138
47	23	6	31	on dört	39	on beş	145	121	104	129	112	137	113
22	5	otuz	13	38	21	46	120	103	128	111	136	119	144
151	176	159	184	167	192	175	53	78	61	86	69	94	77
182	158	183	166	191	174	150	84	60	85	68	93	76	52
157	189	165	190	173	149	181	59	91	67	92	75	51	83
188	164	196	172	148	180	156	90	66	98	74	elli	82	58
163	195	171	154	179	155	187	65	97	73	56	81	57	89
194	170	153	178	161	186	162	96	72	55	80	63	88	64
169	152	177	160	185	168	193	71	54	79	62	87	70	95

Vefk. 4152

- 113 -

151	29	12	37	yirmi	192	175	53	78	110	135	118	143	126
35	158	36	19	44	174	150	84	60	134	117	142	125	101
on	189	on sekiz	43	26	149	181	59	91	116	141	124	100	132
41	164	49	25	bir	180	156	90	66	147	123	99	131	107
16	195	24	7	32	155	187	65	97	122	105	130	106	138
47	170	6	31	on dört	186	162	96	72	104	129	112	137	113
169	5	otuz	13	38	168	193	71	54	128	111	136	119	144
dört	176	159	184	167	45	28	102	127	61	86	69	94	77
182	on bir	183	166	191	27	3	133	109	85	68	93	76	52
157	42	165	190	173	2	34	108	140	67	92	75	51	83
188	17	196	172	148	33	9	139	115	98	74	elli	82	58
163	48	171	154	179	sekiz	40	114	146	73	56	81	57	89
194	23	153	178	161	39	on beş	145	121	55	80	63	88	64
22	152	177	160	185	21	46	120	103	79	62	87	70	95

Vefk. 4.153

Bu yöntemle oluşturulan sihirli karelerin ilginç bir özelliğine dikkat çekiyoruz. m = n/2 düzenindeki köşe kareleri, yeni bir sihirli kare oluşturmak için 180 derece döndürülebilir. Bu özelliği Şekil 1'deki sihirli kare örneği ile gösterelim . 4,148 . Bu karedeki 3x3 köşe karelerini 180 derece döndürerek Şekil 2'de gösterilen sihirli kareyi elde ederiz. 4,154 .

sekiz	3	31	26	21	22
bir	32	9	19	23	27
6	7	29	24	25	yirmi
35	otuz	dört	17	12	13
28	5	36	on	on dört	on sekiz
33	34	2	on beş	16	on bir

Vefk. 4.154

Köşe karelerini aynı anda aynı yönde (saat yönünde veya saat yönünün tersine) merkez etrafında 90 derece döndürebilirsiniz, ancak daha sonra iki köşe karesini de değiştirmeniz gerekir. Bu tür dönüşümlerin bir sonucu olarak yeni bir sihirli kare elde ederiz. Bu özelliği Şekil 2'deki aynı 6. dereceden sihirli karede gösterelim . 4,148 . Tüm 3x3 köşe karelerini saat yönünde 90 derece döndürelim, ardından sol üst ve sağ alt köşe karelerini değiştirelim. Ortaya çıkan sihirli kare Şekil 2'de gösterilmektedir. 4,155.

- 114 -

13	on sekiz	on bir	22	27	yirmi
12	on dört	16	21	23	25
17	on	on beş	26	19	24
dört	36	2	31	9	29
otuz	5	34	3	32	7
35	28	33	sekiz	bir	6

 

Vefk. 4,155

Şimdi birkaç köşe karesi daha değiştirelim - sağ üst ve sol alt, diğer birkaç köşe karesi yerinde kalır. Böyle bir sihirli kare elde ediyoruz ( Şekil 4.156 ):

31	9	29	dört	36	2
3	32	7	otuz	5	34
sekiz	bir	6	35	28	33
22	27	yirmi	13	on sekiz	on bir
21	23	25	12	on dört	16
26	19	24	17	on	on beş

Vefk. 4,156

[8]'de dört kare yönteminin bir çeşidi vardır (bkz. s. 125-127). Bu varyantta, permütasyonlar için burada açıklanan yöntemden farklı sayılar seçilir. Yöntemin temel prensibi aynıdır.

4.3.2     KARE YÖNTEMİ

Sınırlı kareler yöntemi, bu yöntem kullanılarak çift sıralı sihirli kareler oluşturulduğunda bölüm 4.2.5'te açıklanmıştır. Okurların onlardan önce görebilmeleri için burada çift-tek sıralı kareler için kuralları çoğaltıyoruz (çift-tek sıralı kareler için kurallar farklıdır). ­Sınırlı kare yönteminin [8]'e göre tanımlandığını hatırlayın.

n = 4k + 2 herhangi bir düzende sihirli bir kare oluşturmak için aşağıdaki adımları uygulayın:

1.            n-2 düzeyinde herhangi bir sihirli kare oluşturalım .

2.     Bu sihirli karenin tüm öğelerini 2(n -1) ile çarpalım ve elde edilen geleneksel olmayan sihirli kareyi bir php matrisine yerleştirelim , böylece karenin her iki tarafında boş bir sütun (serbest satır) olsun.

3.     php matrisinin köşe hücrelerini aşağıdaki gibi doldurun: sol üst hücreye 3m - 1 sayısını , sağ üst hücreye - 1 sayısını , sol alt hücreye - q - 1 sayısını , alt hücreye yazıyoruz sağ hücre - sayı q - 3m + 1 , burada m \u003d p / 2 , q = n ² + 1 .

4.     Üst satırın kalan boş hücrelerinde (keyfi olarak) { 2і + 1 } ve { q - 2] } sayılarını koyduk, burada i = 1, 2, ..., m - 2 ve ] = 1, 2, ..., t .

5.     Sol sütunun kalan boş hücrelerine (keyfi olarak) 2m - 1 , { q - 4m + 1 + ] }, { 3m - 1 - i }, { 3m - 1 + c, q - 2m - c sayılarını yerleştiririz } , burada ] \u003d 1, 2, ..., M + 1 , i \u003d 1, 2, ..., M , q \u003d 1, 2, ..., M - 1 , M \u003d [ t / 2] .

- 115 -

6.     Alt satırın (sağ sütun) kalan boş hücreleri, üst satırın (sol sütun) karşıt hücrelerindeki sayıları tamamlayan sayılarla, yani toplamı ( n ² + 1 ) ile doldurulacaktır.

Sınırlı kare yöntemini kullanarak 14. dereceden sihirli kare oluşturmaya bir örnek verelim. Başlangıç karesi olarak 12. mertebenin ideal karesini alıyoruz ( Şekil 4.157 ).

bir	96	31	100	123	77	on bir	86	32	106	129	78
117	54	133	72	19	40	111	53	143	62	yirmi	46
104	130	81	6	85	36	103	124	75	5	95	26
71	on dört	44	118	57	138	61	24	43	112	51	137
3	89	35	98	128	82	9	90	25	108	127	76
115	52	135	65	23	38	116	58	141	66	13	48
97	132	79	dört	87	29	107	122	80	on	93	otuz
69	on sekiz	37	120	55	136	63	17	47	110	56	142
sekiz	94	33	102	121	84	7	88	27	101	131	74
119	elli	140	70	21	42	109	60	139	64	on beş	41
99	125	83	2	92	34	105	126	73	12	91	28
67	16	39	113	59	134	68	22	45	114	49	144

Vefk. 4157

Kuralların 2. paragrafının uygulanmasının sonucu Şekil 2'de gösterilmektedir . 4,158 .

	27	122	57	126	149	103	37	112	58	132	155	104
	143	80	159	98	45	66	137	79	169	88	46	72
	130	156	107	32	111	62	129	150	101	31	121	52
	97	40	70	144	83	164	87	elli	69	138	77	163
	29	115	61	124	154	108	35	116	51	134	153	102
	141	78	161	91	49	64	142	84	167	92	39	74
	123	158	105	otuz	113	55	133	148	106	36	119	56
	95	44	63	146	81	162	89	43	73	136	82	168
	34	120	59	128	147	110	33	114	53	127	157	100
	145	76	166	96	47	68	135	86	165	90	41	67
	125	151	109	28	118	60	131	152	99	38	117	54
	93	42	65	139	85	160	94	48	71	140	75	170

Vefk. 4158

² + 1 = 197'nin katı olan geleneksel olmayan ideal sihirli karedir .

Kuralların kalan noktalarına uyalım, Şekil 1'deki kenarlıktaki boş hücreleri dolduralım. 4,158 . 14. sıranın tamamlanmış sihirli karesi, Şek. 4,159 .

- 116 -

yirmi	195	193	on bir	191	9	189	7	187	5	185	3	183	bir
182	27	122	57	126	149	103	37	112	58	132	155	104	on beş
22	143	80	159	98	45	66	137	79	169	88	46	72	175
181	130	156	107	32	111	62	129	150	101	31	121	52	16
21	97	40	70	144	83	164	87	elli	69	138	77	163	176
174	29	115	61	124	154	108	35	116	51	134	153	102	23
19	141	78	161	91	49	64	142	84	167	92	39	74	178
173	123	158	105	otuz	113	55	133	148	106	36	119	56	24
on sekiz	95	44	63	146	81	162	89	43	73	136	82	168	179
172	34	120	59	128	147	110	33	114	53	127	157	100	25
17	145	76	166	96	47	68	135	86	165	90	41	67	180
171	125	151	109	28	118	60	131	152	99	38	117	54	26
13	93	42	65	139	85	160	94	48	71	140	75	170	184
196	2	dört	186	6	188	sekiz	190	on	192	12	194	on dört	177

Vefk. 4.159

Bu karenin sihirli sabiti 1379'dur ve elbette D'nin bir katıdır.

Şekil 14'ten 14. sıranın karesiyle 16. dereceden sihirli bir kare oluşturmaya davet ediyoruz . 4,159 . Sadece şimdi diğer kuralları kullanmak gereklidir - n = 4k dereceli bir dizi kareler için (Bölüm 4.2.5'teki kurallara bakın).

4.3.3      PETEK KARE YÖNTEMİ

Çift sıralı sihirli kareler oluşturmak için petek kare yöntemi bölüm 4.2.4'te açıklanmıştır. Yöntemin [8]'e göre açıklandığını unutmayın.

İnşaatta iki yardımcı kare yer almaktadır. Her ikisi de petekler gibi 2x2 karelerden oluşur, bu nedenle yöntemin adı (yazar tarafından verilen isim).

6. dereceden bir sihirli kare oluşturarak yöntemin gösterimine başlayalım. Birinci yardımcı karenin yapımı 4.2.4 bölümünde ayrıntılı olarak anlatılmıştır, bu yüzden burada üzerinde durmayacağız. Şek . 4.160 , ilk yardımcı karenin yapımı için kaynak olarak seçilen 3. dereceden sihirli bir kare görüyorsunuz.

2	7	6
9	5	bir
dört	3	sekiz

Vefk. 4,160

Şek . 4.161 , tamamlanmış ilk yardımcı kareyi gösterir.

5	5	25	25	21	21
5	5	25	25	21	21
33	33	17	17	bir	bir
33	33	17	17	bir	bir
13	13	9	9	29	29
13	13	9	9	29	29

Vefk. 4.16

- 117 -

İlk yardımcı kare, sihirli sabiti 102 olan geleneksel olmayan bir sihirli karedir.

İkinci yardımcı karenin yapımı üzerinde ayrıntılı olarak duralım. Bölüm 4.2.4'te daha önce bahsedildiği gibi, ikinci yardımcı kare, her biri 0, 1, 2, 3 sayılarını içeren 2x2 karelerden oluşur. 2x2 kare blokları arayacağız. Tamamı Şekil l'de gösterilen sadece 24 blok olacaktır . 4,162 . Not: Her bloğun altında numarası yazılıdır.

bir	2
3	0
bir	3
2	0
bir	2
0	3

2

2	3
bir	0

9

0	2
3	bir

17

on

2	0
3	bir

on sekiz

bir	0
2	3

3

0	3
bir	2

on bir

3	0
bir	2

19

2	0
bir	3
dört
0	3
2	bir

12

3	2
bir	0

yirmi

0	2
bir	3

5

2	3
0	bir

13

3	bir
2	0

21

0	bir
2	3

6

bir	0
3	2

on dört

3	bir
0	2

22

2	bir
0	3

7

2	bir
3	0

on beş

3	2
0	bir

23

bir	3
0	2
sekiz
0	bir
3	2

16

3	0
2	bir

24

Vefk. 4.162

geleneksel olmayan sihirli kare olacak şekilde düzenlenmesi gerektiği açıktır . Karmaşıklığın yattığı yer burasıdır. Aynı zamanda, yardımcı kareyi hangi blokların dolduracağı konusunda herhangi bir kısıtlama yoktur. Blok kombinasyonları için isteğe bağlı seçenekler seçebilirsiniz.

[8]'de, 6. mertebenin ikinci yardımcı karesindeki blokların yerleşimi verilmiştir. Bu diyagramı Şekil 1'de görüyorsunuz. 4,163 .

bir	bir	bir
bir	2	bir
2	bir	2

Vefk. 4.163

Bu şemada, ikinci yardımcı karede doldurulması gereken blok sayısı belirtilmiştir. Blok numaralarını blokların kendileriyle değiştirerek aşağıdaki yardımcı kareyi elde ederiz ( Şekil 4.164 ):

bir	2	bir	2	bir	2
3	0	3	0	3	0
bir	2	bir	2	bir	2
3	0	0	3	3	0
bir	2	bir	2	bir	2
0	3	3	0	0	3

Vefk. 4.164

Bu kare, sihirli sabiti 9 olan alışılmadık bir sihirli karedir.

- 118 -

Şimdi eleman eleman birinci ve ikinci yardımcı kareleri eklememiz gerekiyor.

Tamamlanmış petek sihirli karesini Şekil 1'de görebilirsiniz. 4,165 .

6	7	26	27	22	23
sekiz	5	28	25	24	21
34	35	on sekiz	19	2	3
36	33	17	yirmi	dört	bir
on dört	on beş	on	on bir	otuz	31
13	16	12	9	29	32

Vefk. 4.165

Şekil 2'deki ikinci yardımcı karenin olduğu açıktır . 4.164 iki farklı bloktan oluşmaktadır. Böyle tek bir seçenek var. İkinci yardımcı kareyi oluşturmak için üç farklı blok kullanılırsa, 15 seçenek olacaktır.Tüm bu seçenekler [8]'de verilmiştir. İkinci yardımcı kareyi üç farklı blokla doldurma şemasını aldığımız başka bir örneği ele alalım ( Şekil 4.166 ).

bir	bir	bir
19	2	bir
2	bir	2

Vefk. 4.166

Kare sayılarını karelerin kendileri ile değiştirelim ve ikinci yardımcı kare hazır ( Şekil 4.177 ).

bir	2	bir	2	bir	2
3	0	3	0	3	0
3	0	bir	2	bir	2
bir	2	0	3	3	0
bir	2	bir	2	bir	2
0	3	3	0	0	3

Vefk. 4.177

İlk yardımcı kareyi önceki örnektekiyle aynı şekilde alalım ( Şekil 4.161 ). Şekil 2'nin birinci yardımcı karesini ve ikinci yardımcı karesini eleman eleman ekleyelim . 4,177 . 6. sıranın tamamlanmış petek sihirli karesini şekil 6'da görebilirsiniz. 4,178 .

- 119 -

6	7	26	27	22	23
sekiz	5	28	25	24	21
36	33	on sekiz	19	2	3
34	35	17	yirmi	dört	bir
on dört	on beş	on	on bir	otuz	31
13	16	12	9	29	32

Vefk. 4.178

Bu sihirli kareyi yukarıda oluşturulan kare ile karşılaştırın ( Şekil 4.165 ). Sadece bir 2x2 blokta farklılık gösterirler. Bu iki kare artı veya eksi 2 dönüşümüyle birbirine bağlanır.

[8]'de bu yöntemin, dönme ve yansımaları hesaba katarak 6. dereceden 95232 farklı petek sihirli karesini oluşturmak için kullanılabileceği belirtilmektedir. Bu kareler arasında "artı veya eksi ..." türünde bir dönüşümle birbirine bağlanan birçok kare olacağı açıktır.

Okuyuculara [8]'den 6. sıranın ikinci yardımcı karesinde bir blok düzenleme şeması daha sunalım ( Şekil 4.179 ):

on	17	dört
dört	on	17
on	17	dört

Vefk. 4.179

Bu şemaya göre ikinci yardımcı kareyi ve ardından 6. sıradaki petek sihirli karesini oluşturun.

Açıkçası, 6. mertebenin ikinci yardımcı karesini oluşturmak için 2 farklı bloğa, 3 farklı bloğa vb. ihtiyacınız var. 9'a kadar farklı blok kullanabilir. 2 farklı blok kullanırsanız sadece bir yerleşim düzeni olacaktır ( Şekil 4.163 ), 3 farklı blok kullanırsanız 15 şema olacaktır, 4 farklı blok kullanırsanız 52 şema olacaktır. 9 farklı blok kullanırsanız, o zaman 18886 şemaları olacaktır. Okuyucuları ­, 6. mertebenin ikinci yardımcı karesi için 4, 5, . 9 farklı blok.

10. dereceden bir hücresel sihirli karenin yapımına devam ediyoruz.

İlk yardımcı kareyi oluşturmak için, teras yöntemiyle oluşturulmuş 5. sıradaki aşağıdaki sihirli kareyi alalım ( Şekil 4.180 ):

3	16	9	22	on beş
yirmi	sekiz	21	on dört	2
7	25	13	bir	19
24	12	5	on sekiz	6
on bir	dört	17	on	23

Vefk. 4,180

Şek . 4.181 , 5. mertebenin verilen ilk karesi kullanılarak oluşturulan 10. mertebenin ilk yardımcı karesini göstermektedir.

- 120 -

9	9	61	61	33	33	85	85	57	57
9	9	61	61	33	33	85	85	57	57
77	77	29	29	81	81	53	53	5	5
77	77	29	29	81	81	53	53	5	5
25	25	97	97	49	49	bir	bir	73	73
25	25	97	97	49	49	bir	bir	73	73
93	93	45	45	17	17	69	69	21	21
93	93	45	45	17	17	69	69	21	21
41	41	13	13	65	65	37	37	89	89
41	41	13	13	65	65	37	37	89	89

Vefk. 4.181

İkinci yardımcı kareyi oluşturmak için [8]'deki blok düzenleme şemasını kullanıyoruz. Bu devre Şek. 4,182 .

bir	2	bir	on beş	bir
bir	on beş	bir	on bir	bir
7	bir	2	bir	bir
bir	2	bir	2	7
2	bir	7	bir	2

Vefk. 4.182

Gördüğünüz gibi burada beş farklı blok kullanılıyor: Hayır. 1, 2, 7, 11, 15. Blok numaralarını blokların kendileri ile değiştirelim ve ikinci yardımcı hücre karesi hazır ( Şekil 4.183 ).

bir	2	bir	2	bir	2	2	bir	bir	2
3	0	0	3	3	0	3	0	3	0
bir	2	2	bir	bir	2	0	3	bir	2
3	0	3	0	3	0	bir	2	3	0
2	bir	bir	2	bir	2	bir	2	bir	2
0	3	3	0	0	3	3	0	3	0
bir	2	bir	2	bir	2	bir	2	2	bir
3	0	0	3	3	0	0	3	0	3
bir	2	bir	2	2	bir	bir	2	bir	2
0	3	3	0	0	3	3	0	0	3

Vefk. 4.183

sabiti 15 olan geleneksel olmayan bir sihirli karedir .

Geriye iki yardımcı kareden (Şekil 4.181 ve Şekil 4.183'ten) eleman eleman ekleyerek 10. dereceden bir petek sihirli kare oluşturmak kalıyor . Bitmiş sihirli kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 4,184 .

- 121 -

on	on bir	62	63	34	35	87	86	58	59
12	9	61	64	36	33	88	85	60	57
78	79	31	otuz	82	83	53	56	6	7
80	77	32	29	84	81	54	55	sekiz	5
27	26	98	99	elli	51	2	3	74	75
25	28	100	97	49	52	dört	bir	76	73
94	95	46	47	on sekiz	19	70	71	23	22
96	93	45	48	yirmi	17	69	72	21	24
42	43	on dört	on beş	67	66	38	39	90	91
41	44	16	13	65	68	40	37	89	92

Vefk. 4,184

[8]'de, 14. dereceden bir kare için bir blok düzenleme şeması daha verilmiştir. Ancak kitabın yazarı herhangi bir n = 4k + 2 mertebesi için ikinci yardımcı karenin yapımı için genel bir yöntem vermemektedir .

Herhangi bir düzenin ikinci yardımcı karesinin kompozisyonu fikri, forumda M. Alekseev tarafından önerildi. (42)

Fikir şudur: orijinal kare birkaç küçük kareye ve dikdörtgene bölünmüştür. Forumda gösterilen 14. dereceden bir hücre karesinin yapımını gösterelim ( Şekil 4.185 ).

bir	2	0	3	3	0	0	3	3	0	bir	2	0	3
0	3	bir	2	bir	2	2	bir	bir	2	0	3	bir	2
3	0	2	bir	0	3	3	0	0	3	3	0	2	bir
2	bir	3	0	2	bir	bir	2	2	bir	2	bir	3	0
2	0	bir	3	bir	2	bir	2	bir	2	2	0	bir	3
bir	3	2	0	3	0	3	0	3	0	bir	3	2	0
bir	3	2	0	bir	2	bir	2	bir	2	bir	3	2	0
2	0	bir	3	3	0	0	3	3	0	2	0	bir	3
2	0	bir	3	bir	2	bir	2	bir	2	2	0	bir	3
bir	3	2	0	0	3	3	0	0	3	bir	3	2	0
bir	2	0	3	3	0	0	3	3	0	bir	2	0	3
0	3	bir	2	bir	2	2	bir	bir	2	0	3	bir	2
3	0	2	bir	0	3	3	0	0	3	3	0	2	bir
2	bir	3	0	2	bir	bir	2	2	bir	2	bir	3	0

Vefk. 4,185

Merkez kare 6x6'da, 6. mertebenin bilinen yardımcı karelerinden herhangi birini yazıyoruz. Dört 4x4 köşe karesi de aynı şekilde doldurulur. En üstteki 4x6 dikdörtgen, 1 No'lu bloklarla doldurulur. 12 ve hayır. 19 (bkz . Şekil 4.162 ) bir dama tahtası deseninde; alttaki 4x6 dikdörtgen tam olarak aynı şekilde doldurulur. Sol 4x6 dikdörtgen, üstteki 4x6 dikdörtgenden merkez etrafında saat yönünde 90 derece döndürülerek elde edilir. Sağdaki 4x6 dikdörtgen, soldakiyle tamamen aynı şekilde doldurulur. Tüm blokları sayılarıyla değiştirirsek, Şekil 2'deki yardımcı kare. 4.185 şöyle görünecektir ( Şekil 4.186 ):

- 122 -

2	on bir	19	12	19	2	on bir
24	on beş	12	19	12	24	on beş
dört	9	bir	bir	bir	dört	9
9	dört	bir	2	bir	9	dört
dört	9	2	bir	2	dört	9
2	on bir	19	12	19	2	on bir
24	on beş	12	19	12	24	on beş

Vefk. 4.186

Bu, 14. dereceden karedeki blokların yerleşimidir, [8]'de verilen yerleşimden tamamen farklıdır. Okuyucuları 14. mertebeden ilk yardımcı kareyi oluşturmaya ve ardından iki yardımcı kare yardımıyla 14. mertebeden bir petek sihirli kare oluşturmaya davet ediyoruz.

Şimdi fikir açık, herhangi bir eşit düzende ikinci bir yardımcı petek karesini kolayca oluşturabilirsiniz. Şek. 4.187, bu yöntemle oluşturulan 10. mertebeden ikinci yardımcı kareyi görüyorsunuz.

2	bir	0	3	3	0	0	3	0	3
0	3	bir	2	2	bir	bir	2	2	bir
3	0	bir	2	bir	2	bir	2	2	bir
2	bir	3	0	3	0	3	0	3	0
0	3	bir	2	bir	2	bir	2	bir	2
bir	2	3	0	0	3	3	0	0	3
3	0	bir	2	bir	2	bir	2	2	bir
2	bir	0	3	3	0	0	3	3	0
2	bir	3	0	0	3	3	0	0	3
0	3	2	bir	bir	2	2	bir	2	bir

Vefk. 4.187

Bu karedeki tüm blokları sayılarıyla değiştirerek blok düzenleme şemasını elde ederiz ( Şekil 4.188 ):

7	on bir	24	on bir	12
24	bir	bir	bir	on beş
on bir	bir	2	bir	2
24	2	bir	2	on beş
7	24	on bir	24	12

Vefk. 4.188

18. mertebenin ikinci yardımcı karesini oluşturalım. Şimdi, karenin ortasına, zaten sahip olduğumuz 10x10'luk bir yardımcı kare yerleştirmeliyiz ( Şekil 4.187 ).

- 123 -

4x4 köşe kareler ve 4x10 dikdörtgenler yukarıda anlatıldığı şekilde doldurulur.

Şek . 4.189 bu karenin yapısını göstermektedir.

bir	2	0	3	3	0	0	3	3	0	0	3	3	0	bir	2	0	3
0	3	bir	2	bir	2	2	bir	bir	2	2	bir	bir	2	0	3	bir	2
3	0	2	bir	0	3	3	0	0	3	3	0	0	3	3	0	2	bir
2	bir	3	0	2	bir	bir	2	2	bir	bir	2	2	bir	2	bir	3	0
2	0	bir	3	2	bir	0	3	3	0	0	3	0	3	2	0	bir	3
bir	3	2	0	0	3	bir	2	2	bir	bir	2	2	bir	bir	3	2	0
bir	3	2	0	3	0	bir	2	bir	2	bir	2	2	bir	bir	3	2	0
2	0	bir	3	2	bir	3	0	3	0	3	0	3	0	2	0	bir	3
2	0	bir	3	0	3	bir	2	bir	2	bir	2	bir	2	2	0	bir	3
bir	3	2	0	bir	2	3	0	0	3	3	0	0	3	bir	3	2	0
bir	3	2	0	3	0	bir	2	bir	2	bir	2	2	bir	bir	3	2	0
2	0	bir	3	2	bir	0	3	3	0	0	3	3	0	2	0	bir	3
2	0	bir	3	2	bir	3	0	0	3	3	0	0	3	2	0	bir	3
bir	3	2	0	0	3	2	bir	bir	2	2	bir	2	bir	bir	3	2	0
bir	2	0	3	3	0	0	3	3	0	0	3	3	0	bir	2	0	3
0	3	bir	2	bir	2	2	bir	bir	2	2	bir	bir	2	0	3	bir	2
3	0	2	bir	0	3	3	0	0	3	3	0	0	3	3	0	2	bir
2	bir	3	0	2	bir	bir	2	2	bir	bir	2	2	bir	2	bir	3	0

Vefk. 4.189

Şekil 2'deki ikinci yardımcı kareyi kullanarak 18. dereceden bir hücresel sihirli kare oluşturmaya davet ediyoruz . 4.189 (ilk yardımcı kareyi kendiniz oluşturun).

Genel durumda, n = 4k + 2 ( k > 2 ) düzeni için, ikinci yardımcı kareyi oluştururken, bölme aşağıdaki gibi yapılmalıdır: ortada - (n-8)x( n) boyutlarında bir kare ) -8), köşelerde - 4x4 kareler, 4x (n- 8) boyutlarında dikdörtgenler kendiliğinden çıkacaktır.

Örneğin, 26. sıradaki bir kare için aşağıdaki bölüme sahibiz: 26x26'lık bir matrisin merkezinde, köşelerde 18x18 boyutlarında bir kare olacak - 4x4 boyutlarında kareler; 4x18 dikdörtgenler otomatik olarak oluşturulur.

Ortadaki kareyi, daha önce inşa edilen yardımcı düzen karesi (p-8) yardımıyla dolduruyoruz. Yani, 14. dereceden bir yardımcı kare oluşturmak için 6. dereceden bir yardımcı kare kullanıyoruz, 18. dereceden bir yardımcı kare oluşturmak için, 10. dereceden bir petek kare kullanıyoruz, vb.

4x4 kareler ve 4x(n-8) dikdörtgenlerin nasıl doldurulacağı detaylı olarak anlatılmıştır.

Petek kareler yönteminin ilginç bir versiyonu (43)'te verilmiştir. Bu değişkene bvx yöntemi denir . Yazarı 1. N. Congau'dur.

Şek . 4.190 LIX yönteminin özünü çok iyi açıklayan söz konusu web sitesindeki çizimin bir kopyasını görüyorsunuz.

- 124 -

	68 1 65	96 1 93	4 1 1	32 1 29 60 1 57
	---- bir----	-b-	-b-	---- on bir-----
4            . bir	66 67	94 95	2    3	30 31 58 59
dg	92 89	20 17	28 25	56 53 64 61
2                3	BEN*	b	b	on bir
	90 91	18 19	26 27	54 55 6 2 63
1                4	16 13	24 21	49 52	80 77 88 85
	-b	b	ah
	ve 15	22 23	50 51	78 79 86 87
2                3
	37 40	45 48	76 73	81 84 9               12
	----- ve----	---- □------	------ b--------	---- ah----------
1 saat / 4	38 39	46 47	74 75	82 83 10 11
	41 44	69 72	97 100	5   8 33 36
3                 2	---- X------	---- X-----	------ X--------	-xx -------------- _-------
	43 1 42	71 1 70	99 98	7 1 6 35 1 34

 

Vefk. 4190

Bu illüstrasyonu açıklamadan önce okuyuculara açıklayalım.

YARDIMCI KARELERİN ANLAMI

Öyleyse, her şeye yeniden başlayalım - petek kareler yöntemiyle 6. dereceden bir petek sihirli kare inşa edelim. Bunun için zaten bildiğiniz gibi iki yardımcı kare inşa edildi. Birincisi, üçüncü dereceden bir sihirli kare temelinde inşa edilmiştir. Bu kare olarak sekiz seçenekten herhangi birini alabilirsiniz, örneğin bunu alın ( Şekil 4.191 ):

sekiz	3	dört
bir	5	9
6	7	2

Vefk. 4.191

Bu ilk karenin anlamı budur - bu kare, yapım aşamasındaki 6. sıra petek sihirli karesinde karşılık gelen 2x2 karelerde duracak dört ardışık sayıdan oluşan blok sayısını gösterir. Daha detaylı anlatalım. 1'den 36'ya kadar olan tüm sayılar, her biri 4 ardışık sayıdan oluşan bloklara bölünür:

blok numarası 1 - 1, 2, 3, 4

blok numarası 2 - 5, 6, 7, 8

blok numarası 3 - 9, 10, 11, 12

blok numarası 8 - 29, 30, 31, 32

9 - 33, 34, 35, 36 numaralı blok.

- 125 -

6. dereceden oluşturulan hücresel sihirli karede, sol üst 2x2 karede blok no olacaktır. 8 olmak, sağ üst tarafta 2x2 kare - blok no. 4, merkezi 2x2 karede - blok no. 5 ve benzeri (bakınız Şekil 4.191 ). Üçüncü mertebenin orijinal karesinin anlamı budur. Ve onunla hiçbir şey yapılmasına gerek yok, dönüşüm yok!

Şimdi ikinci yardımcı karenin anlamını açıklayacağım. Bildiğiniz gibi, ikinci yardımcı kare 0, 1, 2, 3 sayılarıyla dolu 2x2 karelerden oluşur, bu nedenle alışılmadık bir sihirli karedir. Örneğin, ikinci yardımcı kare için seçeneklerden biri ( Şekil 4.192 ):

3	0	2	0	3	bir
2	bir	bir	3	0	2
bir	2	0	2	bir	3
0	3	bir	3	0	2
bir	3	2	0	2	bir
2	0	3	bir	3	0

Vefk. 4192

tüm elemanlarını bir ile çarparak bu kareyi dönüştürün ( Şekil 4.193 ):

dört	bir	3	bir	dört	2
3	2	2	dört	bir	3
2	3	bir	3	2	dört
bir	dört	2	dört	bir	3
2	dört	3	bir	3	2
3	bir	dört	2	dört	bir

Vefk. 4.193

Ve şimdi her 2x2 bloğa bakalım, bu tür her blokta 1, 2, 3, 4 sayıları yazılıdır.Bunlar her bloktaki sayıların seri numaralarıdır. Örneğin, sağ üst blok 2x2'de 4 numaralı blokumuz olacak (bkz. Şekil 4.191 ), yani bir sayı bloğu: 13, 14, 15, 16, ancak bu sayılar bloğa hangi sırayla yerleştirilmelidir, sayılar, ikinci yardımcı karedeki ilgili kutuya yazılan 1, 2, 3, 4'ü gösterir; yani sayıların şu şekilde düzenlenmesi gerekir: 13 sayısı 1'in yazılı olduğu hücreye, 14 sayısı 2 numaralı hücreye, 15 sayısı sayının olduğu hücreye yerleştirilir. 3, 16 sayısı 4 numaralı hücrede ve böylece her kutuda.

Şek . 4.194 6. sıranın tamamlanmış petek sihirli karesini görüyorsunuz.

- 126 -

32	29	on bir	9	16	on dört
31	otuz	on	12	13	on beş
2	3	17	19	34	36
bir	dört	on sekiz	yirmi	33	35
22	24	27	25	7	6
23	21	28	26	sekiz	5

Vefk. 4.194

Şek . Soldaki 4.190 , doldurma bloklarının sıraları grafik şeklinde gösterilmektedir, bu örnekte sadece üç doldurma seçeneği vardır, grafik çizimler formda b , v , x harflerine benzemektedir , bu nedenle yöntemin adı. Ancak, blokların doldurulma sırasına karşılık gelen grafik çizimlerin şekilleri farklı olabilir. Tamamen ikinci yardımcı kare tarafından belirlendikleri açıktır. 6. dereceden bir hücresel karenin yukarıdaki örneği için doldurma grafik şemalarını gösterelim ( Şekil 4.195 ):

Vefk. 4.195

Her diyagramda, başlangıç (1 numara) bir dikdörtgen ile işaretlenir ve ardından sayıları sırayla yerleştirerek diyagramın çizgileri boyunca hareket etmeniz gerekir - 1, 2, 3, 4.

Şimdi tam olarak Şekil 2'de gösterilen şemaya göre 10. dereceden bir petek sihirli kare oluşturalım. 4.190 , yani tam olarak LIX yöntemine göre. Başlangıç noktası olarak Şekil 2'de gösterilen 5. dereceden sihirli kareyi alıyoruz . 4,196 .

5	dört	24	on beş	17
25	21	2	on bir	6
3	23	7	yirmi	12
on sekiz	16	13	on	sekiz
on dört	bir	19	9	22

Vefk. 4.196

Aynı şekilde 1'den 100'e kadar olan tüm sayıları 4'lü bloklara ayıralım:

blok numarası 1 - 1, 2, 3, 4

blok numarası 2 - 5, 6, 7, 8

blok numarası 3 - 9, 10, 11, 12

24 - 93, 94, 95, 96 numaralı blok

blok numarası 25 - 97, 98, 99, 100

- 127 -

10. sıranın karesi için matristeki blokların konumu, 5. sıranın ilk karesini belirler, sol üst karede 2x2 numaralı blok olacaktır. 5, sağ üst karede 2x2 - blok No. 17, merkezi 2x2 kare blok no. 7 ve benzeri.

Her 2x2 bloğu doldurma şeması, Şek. 4,190 . Matrisi bu şemaya göre dolduruyoruz ve 10. mertebeden böyle bir hücresel sihirli kare elde ediyoruz ( Şekil 4.197 ):

yirmi	17	16	13	96	93	60	57	68	65
on sekiz	19	on dört	on beş	94	95	58	59	66	67
100	97	84	81	sekiz	5	44	41	24	21
98	99	82	83	6	7	42	43	22	23
12	9	92	89	25	28	80	77	48	45
on	on bir	90	91	26	27	78	79	46	47
69	72	61	64	52	49	37	40	29	32
70	71	62	63	elli	51	38	39	otuz	31
53	56	bir	dört	73	76	33	36	85	88
55	54	3	2	75	74	35	34	87	86

Vefk. 4.197

Şekil 10'daki 10. sıradaki hücresel sihirli kareyi düşünmeye davet ediyoruz . 4.190 birinci ve ikinci yardımcı kareler onu inşa etmek için kullanıldı.

(44)'de genel bir petek-kare yöntemi ve bu yöntemin başka bir versiyonu verilmiştir.

- 128 -

4.3.4    LATİN KARE YÖNTEMİ

Tek sıralı kareler için Delair yöntemine benzer şekilde , Latin kare yöntemi kullanılarak n = 4k + 2 ( k>1 ) düzeyinde sihirli kareler oluşturulabilir. 2, 3, 6 hariç herhangi bir sıradaki ortogonal çapraz Latin kare çiftleri olduğu kanıtlanmıştır. [20]

Ancak, bu tür ortogonal kare çiftlerinin inşası çok zor bir iştir. Bazı İngilizce makalelerde, örneğin 10, 22 dereceli ayrı ikili ortogonal Latin kare grupları bulunur. Bu alandaki mevcut tüm sonuçları inceledikten sonra, bu konuyu daha ayrıntılı olarak araştırmak gerekir. Yazar, söz konusu serinin herhangi bir sırası için ortogonal çapraz Latin kare çiftleri oluşturmak için genel bir algoritma henüz bulamadı.

Burada iki örnek gösterilecektir - 10 ve 22 numaralı siparişler için.

[20]'de 10 mertebeden ortogonal çapraz Latin kare çifti bulundu. Bu makale, üç çift ortogonal çapraz Latin kare sağlar. Sihirli bir kare oluşturmak için bir çift yeterlidir. Şek . 4.198 - 4.199 , 10. dereceden bazı ortogonal diyagonal Latin karelerini gösterir.

0	9	dört	6	bir	7	5	sekiz	2	3
7	bir	9	dört	5	3	sekiz	0	6	2
dört	6	2	sekiz	3	bir	7	5	9	0
6	0	7	3	2	sekiz	dört	9	bir	5
5	3	6	7	dört	2	9	bir	0	sekiz
sekiz	dört	bir	2	9	5	0	6	3	7
2	5	3	0	sekiz	9	6	dört	7	bir
3	2	sekiz	9	0	dört	bir	7	5	6
9	7	5	bir	6	0	3	2	sekiz	dört
bir	sekiz	0	5	7	6	2	3	dört	9

Vefk. 4.198

 

0	sekiz	5	bir	7	3	dört	6	9	2
5	bir	7	2	9	sekiz	0	3	dört	6
bir	7	2	9	5	6	sekiz	0	3	dört
9	6	dört	3	0	2	7	bir	5	sekiz
3	0	sekiz	6	dört	bir	5	9	2	7
dört	3	0	sekiz	6	5	9	2	7	bir
7	2	9	5	bir	dört	6	sekiz	0	3
6	dört	3	0	sekiz	9	2	7	bir	5
2	9	6	dört	3	7	bir	5	sekiz	0
sekiz	5	bir	7	2	0	3	dört	6	9

Vefk. 4,199

Her iki Latin karesi de sihirli sabiti 45 olan geleneksel olmayan sihirli küplerdir.

10. sıra için, Latin kare yönteminde genellikle her şey çok basittir: ­İki ortogonal çapraz Latin kareden oluşan Greko-Latin karesi zaten hazır bir sihirli karedir, yalnızca geleneksel olmayan bir biçimde yazılmıştır, yani 0'dan 99'a kadar sayılarla dolu. Getirmek için

- 129 - geleneksel gösterime bir kare, tüm elemanlar 1 artırılmalıdır. Şek . 4.200 , belirli bir ortogonal çapraz Latin kareden yapılmış 10. dereceden bir sihirli kare görüyorsunuz .

bir	99	46	62	on sekiz	74	55	87	otuz	33
76	12	98	43	60	39	81	dört	65	27
42	68	23	90	36	17	79	51	94	5
70	7	75	34	21	83	48	92	16	59
54	31	69	77	45	22	96	yirmi	3	88
85	44	on bir	29	97	56	on	63	38	72
28	53	40	6	82	95	67	49	71	on dört
37	25	84	91	9	elli	13	78	52	66
93	80	57	on beş	64	sekiz	32	26	89	41
19	86	2	58	73	61	24	35	47	100

Vefk. 4.200

Okuyucuların hatırladığı gibi, sihirli bir kare oluşturma formülünde birinci ve ikinci Latin kareleri eşittir. Birinci ve ikinci kareleri değiştirerek aşağıdaki sihirli kareyi elde ederiz ( Şekil 4.201 ):

bir	90	55	17	72	38	46	69	93	24
58	12	80	25	96	84	9	31	47	63
on beş	77	23	99	54	62	88	6	40	41
97	61	48	34	3	29	75	yirmi	52	86
36	dört	87	68	45	13	60	92	21	79
49	35	2	83	70	56	91	27	74	on sekiz
73	26	94	51	19	elli	67	85	sekiz	32
64	43	39	on	81	95	22	78	16	57
otuz	98	66	42	37	71	on dört	53	89	5
82	59	on bir	76	28	7	33	44	65	100

Vefk. 4,201

İndirgenmiş ortogonal köşegen Latin karelerinin aynı ana köşegen boyunca normalize edildiğini belirtmek ilginçtir, yani bu köşegen 0, 1, 2, ... 9 sayılarının özdeş bir permütasyonunu içerir. Bu permütasyonun herhangi bir dönüşümünden sonra Gerçekleştirdiğimizde, yeni bir çift ortogonal çapraz Latin kare elde ederiz ve bunları yeni sihirli kareler oluşturmak için kullanırız. Örneğin, aynı permütasyonu aşağıdaki permütasyonla değiştirelim: 0, 9, 8, 7, 6, 1, 2, 3, 4, 5. Sonuç olarak, aşağıdaki dikey çapraz Latin kare çiftini elde ederiz ( Şek. 4.202 - 4.203 ):

- 130 -

0	5	6	2	9	3	bir	dört	sekiz	7
3	9	5	6	bir	7	dört	0	2	sekiz
6	2	sekiz	dört	7	9	3	bir	5	0
2	0	3	7	sekiz	dört	6	5	9	bir
bir	7	2	3	6	sekiz	5	9	0	dört
dört	6	9	sekiz	5	bir	0	2	7	3
sekiz	bir	7	0	dört	5	2	6	3	9
7	sekiz	dört	5	0	6	9	3	bir	2
5	3	bir	9	2	0	7	sekiz	dört	6
9	dört	0	bir	3	2	sekiz	7	6	5

Vefk. 4.202

 

0	dört	bir	9	3	7	6	2	5	sekiz
bir	9	3	sekiz	5	dört	0	7	6	2
9	3	sekiz	5	bir	2	dört	0	7	6
5	2	6	7	0	sekiz	3	9	bir	dört
7	0	dört	2	6	9	bir	5	sekiz	3
6	7	0	dört	2	bir	5	sekiz	3	9
3	sekiz	5	bir	9	6	2	dört	0	7
2	6	7	0	dört	5	sekiz	3	9	bir
sekiz	5	2	6	7	3	9	bir	dört	0
dört	bir	9	3	sekiz	0	7	6	2	5

Vefk. 4.203

Şek . 4.204 , belirli bir ortogonal çapraz Latin kare çiftinden oluşturulmuş sihirli bir kareyi göstermektedir.

bir	55	62	otuz	94	38	17	43	86	79
32	100	54	69	16	75	41	sekiz	27	83
70	24	89	46	72	93	35	on bir	58	7
26	3	37	78	81	49	64	60	92	on beş
on sekiz	71	25	33	67	90	52	96	9	44
47	68	91	85	53	12	6	29	74	40
84	19	76	2	elli	57	23	65	31	98
73	87	48	51	5	66	99	34	yirmi	22
59	36	13	97	28	dört	80	82	45	61
95	42	on	on dört	39	21	88	77	63	56

Vefk. 4.204

Bunun, yukarıda inşa edilen karelere eşdeğer olmayan yeni bir sihirli kare olduğu açıktır. Okuyucuları, Latin karelerini değiştirerek verilen bir çift ortogonal çapraz Latin kareden ikinci bir sihirli kare oluşturmaya davet ediyoruz.

Böylece, Şekil 2'de gösterilen bir çift dikey çapraz Latin kareden . 4.198 - 4.199 , 10 alabilirsiniz! (10 faktöriyel) diğer ortogonal çapraz Latin kare çiftlerini alın ve bu çiftlerin her birinden 10 mertebesinde iki sihirli kare oluşturun.

- 131 -

Latin kareler yöntemiyle 22. sıradaki sihirli bir karenin yapımına geçiyoruz. Bu örnek ilginçtir çünkü ortogonal Latin kareler köşegen değildir. Bu düzenin çapraz ortogonal Latin kareleri bulunamadı. İşte [20a]'dan bir çift dereceli 22 ortogonal Latin kare.

İlk Latin kare

0 17 16 15 11 4 9 5 13 3 20 21 14 19 10 12 8 18 6 2 7 1

8                                                                   1 18 17 16 12 5 10 6 14 4 0 21 15 20 11 13 9 19 7 3 2

4                                                                   9 2 19 18 17 13 6 11 7 15 5 1 21 16 0 12 14 10 20 8 3

9                                                                   5 10 3 20 19 18 14 7 12 8 16 6 2 21 17 1 13 15 11 0 4

1                                                                   10 6 11 4 0 20 19 15 8 13 9 17 7 3 21 18 2 14 16 12 5

13                                                                  2 11 7 12 5 1 0 20 16 9 14 10 18 8 4 21 19 3 15 17 6

18                                                                  14 3 12 8 13 6 2 1 0 17 10 15 11 19 9 5 21 20 4 16 7

17                                                                   19 15 4 13 9 14 7 3 2 1 18 11 16 12 20 10 6 21 0 5 8

6                                                                   18 20 16 5 14 10 15 8 4 3 2 19 12 17 13 0 11 7 21 1 9

2                                                                    7 19 0 17 6 15 11 16 9 5 4 3 20 13 18 14 1 12 8 21 10 21 3 8 20 1 18 7 16 12 17 10 6 5 4 0 14 9 1 1 1

10                                                                   21 4 9 0 2 19 8 17 13 18 11 7 6 5 1 15 20 16 3 14 12

15                                                                  11 21 5 10 1 3 20 9 18 14 19 12 8 7 6 2 16 0 17 4 13

5                                                                   16 12 21 6 11 2 4 0 10 19 15 20 13 9 8 7 3 17 1 18 14

19                                                                   6 17 13 21 7 12 3 5 1 11 20 16 0 14 10 9 8 4 18 2 15

3                                                                    20 7 18 14 21 8 13 4 6 2 12 0 17 1 15 11 10 9 5 19 16

20                                                                   4 0 8 19 15 21 9 14 5 7 3 13 1 18 2 16 12 11 10 6 17

7                                                                   0 5 1 9 20 16 21 10 15 6 8 4 14 2 19 3 17 13 12 11 18 12 8 1 6 2 10 0 17 21 11 16 7 9 5 15 3 8 1 4 3 1 4 1

14                                                                   13 9 2 7 3 11 1 18 21 12 17 8 10 6 16 4 0 5 19 15 20

16                                                                   15 14 10 3 8 4 12 2 19 21 13 18 9 11 7 17 5 1 6 20 0

11                                                                   12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21

İkinci Latin kare

0 8 21 18 17 13 16 19 10 2 9 6 15 11 4 20 12 14 1 7 5 3

6                                                                   1 9 21 19 18 14 17 20 11 3 10 7 16 12 5 0 13 15 2 8 4

9                                                                    7 2 10 21 20 19 15 18 0 12 4 11 8 17 13 6 1 14 16 3 5

4                                                                    10 8 3 11 21 0 20 16 19 1 13 5 12 9 18 14 7 2 15 17 6

18                                                                   5 11 9 4 12 21 1 0 17 20 2 14 6 13 10 19 15 8 3 16 7

17                                                                   19 6 12 10 5 13 21 2 1 18 0 3 15 7 14 11 20 16 9 4 8

5                                                                    18 20 7 13 11 6 14 21 3 2 19 1 4 16 8 15 12 0 17 10 9

11                                                                   6 19 0 8 14 12 7 15 214 3 20 2 5 17 9 16 131 1810

19                                                                   12 7 20 1 9 15 13 8 1621 5 4 0 3 6 18 10 1714 211

3                                                                   20 13 8 0 2 10 16 14 9 17 21 6 5 1 4 7 19 11 18 15 12 16 4 0 14 9 1 3 11 17 15 10 18 21 7 6 2 0 1 1 1

20                                                                    17 5 1 15 10 2 4 12 1816 11 19 21 8 7 3 6 90 1314

14                                                                   0 18 6 2 16 11 3 5 13 19 17 12 20 21 9 8 4 7 10 115

2                                                                    15 1 19 7 3 17 12 4 6 14 20 18 13 0 21 10 9 5 8 11 16

12                                                                   3 16 2 20 8 4 18 13 5 7 15 0 19 14 1 21 11 10 6 9 17

10                                                                   13 4 17 3 0 9 5 19 14 6 8 16 1 20 15 2 21 12 11 7 18

8                                                                   11 14 5 18 4 1 10 6 20 15 7 9 17 2 0 16 3 21 13 12 19

13                                                                   9 12 15 6 19 5 2 11 7 0 16 8 10 18 3 1 17 4 21 14 20

15                                                                   14 10 13 16 7 20 6 3 12 8 1 17 9 11 19 4 2 18 5 21 0

21                                                                    16 15 11 14 17 8 0 7 4 13 9 2 18 10 12 20 5 3 19 6 1

7                                                                   21 17 16 12 15 18 9 1 8 5 14 10 3 19 11 13 0 6 4 20 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 1 0

- 132 -

Her iki karede de sadece bir köşegende tekrarlanan sayılar vardır ve diğer köşegende tüm sayılar farklıdır. Verilen bir ortogonal Latin kare çiftinden sihirli bir kare henüz oluşturulamaz, çünkü bu Latin kareler geleneksel olmayan sihirli kareler değildir, her karenin düzensiz köşegenindeki sayıların toplamı sihirli sabite eşit değildir 8 = 231. Verilen bir ortogonal Latin kare çiftinden sihirli bir kare oluşturursak, bu yarı-sihirli gibi görünecektir, yani onda karşılık gelen ana köşegendeki sayıların toplamı büyüye eşit olmayacaktır. karenin sabiti.

22. dereceden sihirli bir kare oluşturmak için, Latin karelerini yukarıda gösterildiği gibi, 10. sıradaki Latin karelerinin dönüşümüyle dönüştürüyoruz: 0, 1, 2 sayılarının özdeş permütasyonunun dönüşümünü kullanın, ... 21. İlk Latin karesi için kimlik permütasyonunun böyle bir dönüşümünü uyguladık:

0, 19, 7, 1, 4, 5, 8, 3, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 6, 20, 21

Böyle bir dönüşümün sonucunda aşağıdaki Latin karesi elde edilir:

0 17 16 15114 9 5 13 1 20 21 146 10 12 2 18 87 3 19

2                                             19 18 1716125 108 144 0 2115 2011139 6 317

4                                             9 7 6 1817138 113 155 19 2116 01214102021

9                                             5 10 1 20 6      1814 312 216 8 721 171913151104

19                                            10 8   11 40206152 139 17 3 121 18 7 14 16125

13                                           7 11   3 1251902016 914 10 1824 21 6 1 15178

18                                            14 1   12 213 87190 1710 15 1169 5 21 20 4163

17 6 15                            4 1391431 7 19 18 11 16 1220 10 8 21 0 52

8                                             18 20 16 5 1410 15 24 1 7612 17 13 0 11 321 19 9

7 3 6 0 17 8 1511 16 95 4 120 1318 14 19 122 2110

21                                            1 2 20 19 183 16 1217 1085 40 14 6 15 713 911

10                                            21 4 9 0 7 6         2 17 1318 1138 519 15 20 161 1412

15                                           11 21 5 10 19 1 20 9 18 14 6 12 2 3 8 7 16 0 17 4 13

5                                             16 12 21 8 11 7 4 0 10           6 15 20 139 2 3 117 19 1814

6                                             8 17 13 21 3 12 1 5 19           11 20 16 014 10 92 4 18 715

1 20 3 18 14 21 2 13 4 8                                     7 12 0 17 19 15 1110 9 5 616

20                                            4 0 2 6 15 219 14 5 31 13 19 18716 12 1110 817

3                                             0 5 19 9 20 162110158 2 4 14 761 17 13 12 1118

12                                            2 19 8 7 10 0       17211116 3 9 5 15 1 20 4 1814 13 6

14                                            13 9 7 3 1 1119182112 17 2 10816 4 0 56 1520

16                                            15 14 10 1 2 4 12 7 6            21 13 18 911 3 175 19 8 20 0

11                                            12 13 14 15 16 17 18 6 20 0 19 7 1 4 5 83 2 9 1021

İkinci Latin karesi için, aynı permütasyonun aşağıdaki dönüşümü uygulanır:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6

Bu dönüşüm sonucunda aşağıdaki Latin karesi elde edilir:

- 133 - 0 19 6 9 10 14 11 8 17 2 18 21 12 16 4 7 15 13 1 20 5 3 211 18 6 8 9 13 10 7 16 3 17 50 5 1 2 1 2 1

18                                            20 2 17 6 7 8 12 9 0 15 4 16 19 10 14 21 1 13 11 3 5

4                                            17 19 316 60 711 81 14515 189 13202 12 1021

9                                            5 16 18     4 156 10 107 21321 141781219 3 1120

10                                            8 21 15 17 5 14 6 2 1 9 0 3 12 20 13 16 7 11 18 4 19

5                                            9 7 20 14 16 21 13 6 3 2 8 1 4 11 19 12 15 0 10 17 18

16                                            21 8 019 13 1520 12 6 437 2 51018 1114 1 917

8 15 20 71 1812 14 1911 654 0 32191710 13 216

3 7 14 19 0 2 17 111318 10 62151 4 208 169 12 15

11                                            4 0 13 18 13161012 17 96 2021 2519 7158 14

7                                            10 5   1 121724 159 111686 1920 3 2118 01413

13                                           0 9    21 21116 3 514 81015 7 618 19 420 17 112

2 12 1                            8 203 1015 421 13 7914 06 17 185 191611

15                                            3 11 2 7     1949 145 201208 131 6 16 17 211810

17                                            14 4 10 3 018 58 13 21 191117 1226 151620 9

19                                            16 13 5 9 4117217 12 201810 2 0113 61415 8

14                                            18 15 12 21 8 5 2 16 20 0 11 19 17 9 3 1 10 4 6 13 7

12                                            13 17 14 11 20 7 21 3 15 19 1 10 18 16 8 4 2 9 5 6 0

6                                            11 12 16 13 10 19 0 20 4 14 18 2 9 17 15 7 5 3 8 21 1

20                                            6 10 11 15 12 9 18 1 19 5 13 17 3 8 16 14 0 21 4 7 2 1 2 3 4 5 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 9 1 0

Dönüştürülmüş Latin kareleri, sihirli sabiti 231 olan geleneksel olmayan sihirli karelerdir. Bu kareler diktir. Bu ortogonal Latin kare çiftiyle 22. dereceden sihirli kare oluşturabiliriz. Bu sihirli kareyi aşağıda görebilirsiniz. Kare ikinci formüle göre inşa edilir, yani Latin kareleri yeniden düzenlenir (birincisi ikinci, ikincisi birincisi oldu). Okuyucuları, aynı dikey Latin kare çiftinden, ancak ilk formüle göre sihirli bir kare oluşturmaya davet ediyoruz.

1 436 149 214 232 313 252 182 388 46 417 484 279 359 99 167 333 305 31 448 114 86 465 42 415 150 193 211 292 231 163 367 375 462 258 351 122 318 238 48 48 48 48 40 52 381 151 151 171 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 172 69

98 380 429 68 373 139 19 169 246 189 25 325 119 338 41821630645460 276221467

218 121    361 408 93 331 153 29 16 223 168 54 304 466310396195272433 83255446

234 184 474 334 387 116 328 133 65 39 208 15 77 283 443 291 374 161 244 412 106 427 129 213 156 453 311 366 471 294 152 62 187 38 100 249 428 270 35 35 391 400 370 469 192 5 432 296 296 296 296 296 296 296 296 296 296 296 296 296 296 296 296 29LA 345 444 266 140 108 85 166 6140372 31412372 31412372

185 349    461 171 28 411 275 324 421 247 134 118 95 13 84476199386224 308 64362

74 158 315 419 18 53 390 254 303 406 226 226 137 464 131 36 107 455 196 365 201 286 341 264 90 3 307 416 41 70 369 233 282 385 207 138 463 59 117 434 165 165 242 115 32         265 519134821261261261 483 413 2 323 299

302 12 220     46855262 35487120327191227343157136405 426 105 441 392 27 278

50 281 35 198 449 78 228 335 89 473 293 170 219 322 10 135 378 398 128 438 371 257 337 75 260                58 176422 101200 314 130 452 285 1717730133 142 379 481 404 236

376 329 92     2398122 399 12418129547043124340 174 280 56 143 340 358 447 215

439 357     28711320510444 384 477160268442 410 240 638 259 79 144 319 339 194

312 397    33628447219712766 3634569 245 423 389 206 73 24 238 102 145 298 173

277 289    394317250451155480 8834243526 230 402 368178 109 49 217 125 146 7

147 256    2743602902243020 459110321414 47 209 383347 159 111 72 183 478 43

457 148    235253332267203409 30425132300 393 76 188356 326 6 482 97 175 45

34 57 80 103 126 479 458 437 403 395 353 350 316 288 269 248 229 202 179 164 11 154

- 134 -

4.3.5     TERSİNE ÇIKARILABİLİR KARE YÖNTEMİ

[20b]'de çift ­sıralı sihirli kareler oluşturmak için ilginç bir yöntem sunulmaktadır. Bu yöntem, ters çevrilebilir karelerin kullanımına dayanmaktadır. Kitapta sadece bir örnek var - en basit tersinir kareden 6. mertebeden sihirli bir karenin yapımı. Bu örneği gösterelim. İnşaat iki aşamada gerçekleştirilir.

İlk aşama: en basit ters çevrilebilir karede, ana köşegenlerdeki sayılar değişmeden bırakılacak ve diğer tüm sayılar tamamlayıcı sayılarla değiştirilecektir (yani toplam n ² + 1 = 37 verir) ( Şekil 4,205 ). Ortaya çıkan kare açıkçası sihir değil. Bu bir ara sonuçtur.

bir	2	3	dört	5	6	^	bir	35	34	33	32	6
7	sekiz	9	on	on bir	12		otuz	sekiz	28	27	on bir	25
on dört	on dört	on beş	16	17	on sekiz		24	23	on beş	16	yirmi	19
19	yirmi	21	22	23	24		on sekiz	17	21	22	on dört	13
25	26	27	28	29	otuz		12	26	on	9	29	7
31	32	33	34	35	36		31	5	dört	3	2	36

 

Vefk. 4,205

İkinci aşama: birinci aşamada elde edilen kare dönüştürülür (bu kare Şekil 4.205'te sağda gösterilmiştir ). Karenin dönüşümünün nasıl gerçekleştiği Şekil 1'de gösterilmektedir . 4.206 . Aynı renkteki hücrelerdeki sayılar değiştirilir.

bir	35	34	33	32	6	^	bir	35	34	3	32	6
otuz	sekiz	28	27	on bir	25		otuz	sekiz	28	27	on bir	7
24	23	on beş	16	yirmi	19		24	23	on beş	16	on dört	19
on sekiz	17	21	22	on dört	13		13	17	21	22	yirmi	on sekiz
12	26	on	9	29	7		12	26	9	on	29	25
31	5	dört	3	2	36		31	2	dört	33	5	36

 

Vefk. 4.206

Rakamların nasıl yeniden düzenlendiğini daha iyi görmek için kareyi dört adet 3x3 köşe kareye bölmek gerekir. Sol üst 3x3 karede hiçbir şey değişmez. Sayı alışverişi sağ kareler arasında ve alt kareler arasında gerçekleşir.

Şimdi de 6. mertebeden bir başka ters çevrilebilir kareyi ilk kare olarak alalım ve aynı işlemleri yapalım. Şek . 4.207 ilk aşama gösterilir ve şek. 4.208 - ikinci aşama.

- 135 -

İlk etap

bir	2	3	7	sekiz	9
dört	5	6	on	on bir	12
13	on dört	on beş	19	yirmi	21
16	17	on sekiz	22	23	24
25	26	27	31	32	33
28	29	otuz	34	35	36
bir	35	34	otuz	29	9
33	5	31	27	on bir	25
24	23	on beş	19	17	16
21	yirmi	on sekiz	22	on dört	13
12	26	on	6	32	dört
28	sekiz	7	3	2	36

 

Vefk. 4.207

ikinci olarak

stadyum

bir	35	34	otuz	29	9
33	5	31	27	on bir	25
24	23	on beş	19	17	16
21	yirmi	on sekiz	22	on dört	13
12	26	on	6	32	dört
28	sekiz	7	3	2	36
bir	35	34	3	29	9
33	5	31	27	on bir	dört
24	23	on beş	19	on dört	16
13	yirmi	on sekiz	22	17	21
12	26	6	on	32	25
28	2	7	otuz	sekiz	36

 

Vefk. 4.208

Yeni bir sihirli karemiz var.

Şimdi bu yöntemi kullanarak 10. dereceden bir sihirli kare oluşturalım. En basit ters çevrilebilir kareyi ilk kare olarak alıyoruz . İlk aşama Şekil 2'de gösterilmektedir . 4.209 . İşte 6. mertebenin karesine kıyasla bazı değişiklikler: sayılar sadece karenin ana köşegenlerinde değil, yerinde kalıyor. Rakamların yerinde kaldığı hücreler, şekilde turuncu renkle vurgulanmıştır. Kalan hücrelerde sayılar aynı şekilde tamamlayıcı olanlarla değiştirilir (yani toplam n ² + 1 = 101 verir). Ortaya çıkan kare açıkçası büyülü değil. Bu bir ara sonuçtur.

İlk etap

bir	2	3	dört	5	6	7	sekiz	9	on	^	bir	2	98	97	96	95	94	93	9	on
on bir	12	13	on dört	on beş	16	17	on sekiz	19	yirmi		90	12	13	87	86	85	84	on sekiz	19	81
21	22	23	24	25	26	27	28	29	otuz		80	79	23	24	76	75	27	28	72	71
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40		70	69	68	34	35	36	37	63	62	61
41	42	43	44	45	46	47	48	49	elli		41	59	58	57	45	46	54	53	52	elli
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60		51	49	48	47	55	56	44	43	42	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70		40	39	38	64	65	66	67	33	32	31
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80		otuz	29	73	74	26	25	77	78	22	21
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90		yirmi	82	83	17	16	on beş	on dört	88	89	on bir
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100		91	92	sekiz	7	6	5	dört	3	99	100

Vefk. 4.209

İkinci aşamada, ilk aşamada elde edilen kareyi dönüştürüyoruz ( Şekil 4.209'da bu kare sağda). Aynı şekilde kareyi de 5x5 köşeli dört kareye bölüyoruz. Sol üst karede değişen bir şey yok. Numaralar arasında değiştirilir

- 136 - sağ kareler ve alt kareler arasında. Sayıların yeniden düzenlendiği hücreler aynı renge boyanmıştır ( Şekil 4.210 ). Sağdaki 5x5 karede sayıları değiş tokuş edilen hücrelerin 10x10 karenin yatay simetri ekseni etrafında simetrik olduğu ve alt 5x5 karede sayıların dikey simetri eksenine göre simetrik olan hücrelerde yeniden düzenlendiği açıktır.

İkinci aşama

bir	2	98	97	96	95	94	93	9	on	^	bir	2	98	97	96	95	dört	93	9	on
90	12	13	87	86	85	84	on sekiz	19	81		90	12	13	87	86	on beş	84	on sekiz	19	81
80	79	23	24	76	75	27	28	72	71		80	79	23	24	76	75	27	28	72	21
70	69	68	34	35	36	37	63	62	61		70	69	68	34	35	36	37	63	32	61
41	59	58	57	45	46	54	53	52	elli		41	59	58	57	45	46	54	43	52	elli
51	49	48	47	55	56	44	43	42	60		51	42	48	47	55	56	44	53	49	60
40	39	38	64	65	66	67	33	32	31		31	39	38	64	65	66	67	33	62	40
otuz	29	73	74	26	25	77	78	22	21		otuz	29	73	74	25	26	77	78	22	71
yirmi	82	83	17	16	on beş	on dört	88	89	on bir		yirmi	82	83	on dört	16	85	17	88	89	on bir
91	92	sekiz	7	6	5	dört	3	99	100		91	92	3	7	6	5	94	sekiz	99	100

 

Vefk. 4,210

10. mertebenin sihirli karesi oluşturulur.

Başka bir 10. dereceden ters çevrilebilir kare kullanarak bir örnek gösterelim. Şek . 4.211 , Şek. 4.212 - ikinci aşama.

İlk etap

bir	2	3	dört	5	on bir	12	13	on dört	on beş	^	bir	2	98	97	96	90	89	88	on dört	on beş
6	7	sekiz	9	on	16	17	on sekiz	19	yirmi		95	7	sekiz	92	91	85	84	on sekiz	19	81
21	22	23	24	25	31	32	33	34	35		80	79	23	24	76	70	32	33	67	66
26	27	28	29	otuz	36	37	38	39	40		75	74	73	29	otuz	36	37	63	62	61
41	42	43	44	45	51	52	53	54	55		41	59	58	57	45	51	49	48	47	55
46	47	48	49	elli	56	57	58	59	60		46	54	53	52	elli	56	44	43	42	60
61	62	63	64	65	71	72	73	74	75		40	39	38	64	65	71	72	28	27	26
66	67	68	69	70	76	77	78	79	80		35	34	68	69	31	25	77	78	22	21
81	82	83	84	85	91	92	93	94	95		yirmi	82	83	17	16	on	9	93	94	6
86	87	88	89	90	96	97	98	99	100		86	87	13	12	on bir	5	dört	3	99	100

Vefk. 4.211

- 137 -

İkinci aşama

bir	2	98	97	96	90	89	88	on dört	on beş
95	7	sekiz	92	91	85	84	on sekiz	19	81
80	79	23	24	76	70	32	33	67	66
75	74	73	29	otuz	36	37	63	62	61
41	59	58	57	45	51	49	48	47	55
46	54	53	52	elli	56	44	43	42	60
40	39	38	64	65	71	72	28	27	26
35	34	68	69	31	25	77	78	22	21
yirmi	82	83	17	16	on	9	93	94	6
86	87	13	12	on bir	5	dört	3	99	100
bir	2	98	97	96	90	dört	88	on dört	on beş
95	7	sekiz	92	91	on	84	on sekiz	19	81
80	79	23	24	76	70	32	33	67	21
75	74	73	29	otuz	36	37	63	27	61
41	59	58	57	45	51	49	43	47	55
46	42	53	52	elli	56	44	48	54	60
26	39	38	64	65	71	72	28	62	40
35	34	68	69	25	31	77	78	22	66
yirmi	82	83	9	16	85	17	93	94	6
86	87	3	12	on bir	5	89	13	99	100

Vefk. 4,212

Okuyucuları, en basit ters çevrilebilir kareden 14. dereceden sihirli bir kare oluşturmaya davet ediyoruz.

Önerilen yöntemle sihirli karelerin inşası sırasında ters çevrilebilir karede gerçekleştirilen dönüşümlerin her iki dönüşüm adımının birleştirilmesiyle matris formunda ifade edilebileceği açıktır.

Bu yöntemin bir çeşidi (45)'de mevcuttur.

4.3.6     BİLEŞİK KARE YÖNTEMİ

Tek ve çift sıralarda olduğu gibi, bileşik kare yöntemi kullanılarak çift-tek sıralı n = 4k + 2 sihirli kareler oluşturulabilir. Bu yöntemle oluşturulabilecek çift-tek sıralı bir karenin minimum mertebesi 18'dir. 18 sayısı 3 ve 6 sayılarının çarpımı olarak gösterildiğinden bu mertebelerin kareleri taban ve asal kareler olarak kullanılabilir. alınır. Bileşik kare yöntemini kullanarak 18. dereceden sihirli kare oluşturmaya bir örnek gösterelim . Taban karesi olarak, 3. dereceden sihirli bir kare alalım ( Şekil 4.213 ) ve ana kare olarak - Şek. 6. dereceden bir petek sihirli kare. 4.194 ; netlik için bu kareyi çoğaltalım ( Şekil 4.214 ).

dört	9	2
3	5	7
sekiz	bir	6

Vefk. 4.213

 

32	29	on bir	9	16	on dört
31	otuz	on	12	13	on beş
2	3	17	19	34	36
bir	dört	on sekiz	yirmi	33	35
22	24	27	25	7	6
23	21	28	26	sekiz	5

Vefk. 4.214

- 138 -

Bileşik kare yöntemine göre inşa edilmiş 18. sıranın tamamlanmış sihirli karesi, Şekil 1'de görüyorsunuz. 4,215 .

140	137	119	117	124	122	320	317	299	297	304	302	68	65	47	45	52	elli
139	138	118	120	121	123	319	318	298	300	301	303	67	66	46	48	49	51
110	111	125	127	142	144	290	291	305	307	322	324	38	39	53	55	70	72
109	112	126	128	141	143	289	292	306	308	321	323	37	40	54	56	69	71
130	132	135	133	115	114	310	312	315	313	295	294	58	60	63	61	43	42
131	129	136	134	116	113	311	309	316	314	296	293	59	57	64	62	44	41
104	101	83	81	88	86	176	173	155	153	160	158	248	245	227	225	232	230
103	102	82	84	85	87	175	174	154	156	157	159	247	246	226	228	229	231
74	75	89	91	106	108	146	147	161	163	178	180	218	219	233	235	250	252
73	76	90	92	105	107	145	148	162	164	177	179	217	220	234	236	249	251
94	96	99	97	79	78	166	168	171	169	151	150	238	240	243	241	223	222
95	93	100	98	80	77	167	165	172	170	152	149	239	237	244	242	224	221
284	281	263	261	268	266	32	29	on bir	9	16	on dört	212	209	191	189	196	194
283	282	262	264	265	267	31	otuz	on	12	13	on beş	211	210	190	192	193	195
254	255	269	271	286	288	2	3	17	19	34	36	182	183	197	199	214	216
253	256	270	272	285	287	bir	dört	on sekiz	yirmi	33	35	181	184	198	200	213	215
274	276	279	277	259	258	22	24	27	25	7	6	202	204	207	205	187	186
275	273	280	278	260	257	23	21	28	26	sekiz	5	203	201	208	206	188	185

Vefk. 4.215

Sihirli kare, ana kare gibi hücresel görünüyor. Bu örnekte taban karenin ve ana karenin rollerini tersine çevirirseniz, petek kare elde edemezsiniz, sadece sihirli bir kare elde edersiniz. Buna bir bak!

4.4.     YARI BÜYÜLÜ MEYDANLAR İNŞAATI

Yarı sihirli kareler oluşturma yöntemlerine çok daha az dikkat edildi. Aynı zamanda, Benjamin Franklin'in en ünlü yarı sihirli kareleri, yarı sihirli karelerin de büyük önem taşıyabileceğini öne sürüyor.

4.4.1     FRANKLIN ALGORİTMASI

Üç yarı sihirli Franklin karesi bize geldi - 8. dereceden iki kare ve 16. dereceden bir kare. Franklin kareleri hakkında monograflar yazıldı, birçok matematikçi onun algoritmasını inceledi ve Franklin karelerine benzer yüzlerce yarı sihirli kare inşa edildi. Franklin'in yarı sihirli kareleri benzersiz özelliklere sahiptir; bu kareler hakkında ayrı bir kitap yazılabilir.

Her araştırmacı Franklin algoritmasına kendi yaklaşımını bulur ve buna uygun olarak benzer yarı sihirli kareler oluşturur. Yazar, Franklin'in algoritmasının kendi yorumunu buldu ve birçok benzer yarı-sihirli kareler inşa etti. (46, 47).

Bu kitap çerçevesinde (burada verilmeyen) tahterevalli yönteminin Franklin algoritmasına uygulanması konusunda ayrıntılı olarak duramayacağımız için sadece birkaç örnek vereceğiz. Önce Franklin'in orijinal yarı sihirli karelerini gösterelim ( Şekil 4.216 - 4.218 ).

- 139 -

52	61	dört	13	yirmi	29	36	45
on dört	3	62	51	46	35	otuz	19
53	60	5	12	21	28	37	44
on bir	6	59	54	43	38	27	22
55	58	7	on	23	26	39	42
9	sekiz	57	56	41	40	25	24
elli	63	2	on beş	on sekiz	31	34	47
16	bir	64	49	48	33	32	17

 

Vefk. 4,216

17	47	otuz	36	21	43	26	40
32	34	19	45	28	38	23	41
33	31	46	yirmi	37	27	42	24
48	on sekiz	35	29	44	22	39	25
49	on beş	62	dört	53	on bir	58	sekiz
64	2	51	13	60	6	55	9
bir	63	on dört	52	5	59	on	56
16	elli	3	61	12	54	7	57

Vefk. 4.217

- 140 -

200	217	232	249	sekiz	25	40	57	72	89	104	121	136	153	168	185
58	39	26	7	250	231	218	199	186	167	154	135	122	103	90	71
198	219	230	251	6	27	38	59	70	91	102	123	134	155	166	187
60	37	28	5	252	229	220	197	188	165	156	133	124	101	92	69
201	216	233	248	9	24	41	56	73	88	105	120	137	152	169	184
55	42	23	on	247	234	215	202	183	170	151	138	119	106	87	74
203	214	235	246	on bir	22	43	54	75	86	107	118	139	150	171	182
53	44	21	12	245	236	213	204	181	172	149	140	117	108	85	76
205	212	237	244	13	yirmi	45	52	77	84	109	116	141	148	173	180
51	46	19	on dört	243	238	211	206	179	174	147	142	115	110	83	78
207	210	239	242	on beş	on sekiz	47	elli	79	82	111	114	143	146	175	178
49	48	17	16	241	240	209	208	177	176	145	144	113	112	81	80
196	221	228	253	dört	29	36	61	68	93	100	125	132	157	164	189
62	35	otuz	3	254	227	222	195	190	163	158	131	126	99	94	67
194	223	226	255	2	31	34	63	66	95	98	127	130	159	162	191
64	33	32	bir	256	225	224	193	192	161	160	129	128	97	96	65

Vefk. 4.218

Franklin'in yarı sihirli karelerinin ana özelliği, torus çevirileri altında tüm köşegenlerdeki (hem asal hem de kırık) sayıların toplamlarının aynı değerleriyle yarı sihirli kalmalarıdır.

Torus üzerindeki paralel öteleme ile, şek. 4.216 böyle bir yarı sihirli kareye dönüşür ( Şekil 4.219 ):

bir	16	17	32	33	48	49	64
63	elli	47	34	31	on sekiz	on beş	2
sekiz	9	24	25	40	41	56	57
58	55	42	39	26	23	on	7
6	on bir	22	27	38	43	54	59
60	53	44	37	28	21	12	5
3	on dört	19	otuz	35	46	51	62
61	52	45	36	29	yirmi	13	dört

Vefk. 4.219

Bu karenin çok ilginç bir özelliği var: tamamlayıcı sayılar karenin dikey simetri ekseni etrafında simetrik olarak yer alıyor.

İlk zincir karede vurgulanır.

- 141 -

Bu yarı sihirli kare yazar tarafından bu formda incelenmiş ve sadece 8. mertebeden değil diğer mertebelerden de birçok benzer kare elde edilmiştir. Şek . 4.220 , 4. dereceden bir yarı sihirli kareyi gösterir ve şek. 4.221 - 12. dereceden yarı sihirli kare. Bu karelerin ikisi de Franklin algoritması kullanılarak oluşturulmuştur.

bir	sekiz	9	16
on dört	on bir	6	3
dört	5	12	13
on beş	on	7	2

Vefk. 4,220

 

bir	24	25	48	49	72	73	96	97	120	121	144
136	129	112	105	88	81	64	57	40	33	16	9
12	13	36	37	60	61	84	85	108	109	132	133
137	128	113	104	89	80	65	56	41	32	17	sekiz
2	23	26	47	elli	71	74	95	98	119	122	143
138	127	114	103	90	79	66	55	42	31	on sekiz	7
3	22	27	46	51	70	75	94	99	118	123	142
139	126	115	102	91	78	67	54	43	otuz	19	6
on	on beş	34	39	58	63	82	87	106	111	130	135
140	125	116	101	92	77	68	53	44	29	yirmi	5
on bir	on dört	35	38	59	62	83	86	107	110	131	134
141	124	117	100	93	76	69	52	45	28	21	dört

Vefk. 4.221

Şekil 8'deki 8. dereceden kareye benzer olduğu açıktır . 4,219 ; üç karenin tümü aynı ilk zincir şekline sahiptir. 4. ve 12. sıradaki karelerde tamamlayıcı sayılar da simetrinin dikey ekseni etrafında simetrik olarak yerleştirilmiştir. Bu kareler ayrıca torik çeviriler altında tüm köşegenlerdeki sayıların toplamlarının aynı değerleriyle yarı sihirli kalır.

Benzer şekilde Franklin'in 16. mertebeden yarı sihirli karesini Şekil 1'den dönüştürürsek. 4.218 , o zaman aşağıdaki formu alacaktır ( Şekil 4.222 ):

- 142 -

bir	32	33	64	65	96	97	128	129	160	161	192	193	224	225	256
255	226	223	194	191	162	159	130	127	98	95	66	63	34	31	2
3	otuz	35	62	67	94	99	126	131	158	163	190	195	222	227	254
253	228	221	196	189	164	157	132	125	100	93	68	61	36	29	dört
16	17	48	49	80	81	112	113	144	145	176	177	208	209	240	241
242	239	210	207	178	175	146	143	114	111	82	79	elli	47	on sekiz	on beş
on dört	19	46	51	78	83	110	115	142	147	174	179	206	211	238	243
244	237	212	205	180	173	148	141	116	109	84	77	52	45	yirmi	13
12	21	44	53	76	85	108	117	140	149	172	181	204	213	236	245
246	235	214	203	182	171	150	139	118	107	86	75	54	43	22	on bir
on	23	42	55	74	87	106	119	138	151	170	183	202	215	234	247
248	233	216	201	184	169	152	137	120	105	88	73	56	41	24	9
5	28	37	60	69	92	101	124	133	156	165	188	197	220	229	252
251	230	219	198	187	166	155	134	123	102	91	70	59	38	27	6
7	26	39	58	71	90	103	122	135	154	167	186	199	218	231	250
249	232	217	200	185	168	153	136	121	104	89	72	57	40	25	sekiz

Vefk. 4.222

Bu yarı sihirli karenin yukarıda sunulan 4., 8. ve 12. sıradaki yarı sihirli karelere benzediğini görmek kolaydır.

n = 4k mertebesi için benzer yarı-sihirli karelerin yapımına geçilebilir . Okuyucular, Franklin'in algoritmasının kendi yorumlarını bulabilir ve diğer benzer yarı-sihirli kareler oluşturabilirler.

Unutmayın: Bu yöntemin ayrıntılı bir sunumu yazarın web sitesinde bulunabilir. (41)

4.4.2     LATİN KARE YÖNTEMİ

Yarı sihirli kareler, Latin kare yöntemi kullanılarak tam olarak sihirli karelerle aynı şekilde oluşturulabilir. Ayrıca, herhangi bir ortogonal Latin kare çifti, yarı sihirli kareler oluşturmak için uygundur. Ortogonal Latin karelerin 2 ve 6 dışında herhangi bir sıra için var olduğu kanıtlanmıştır.

En küçük diziyle başlayalım - 3. Şek. 4.223 , 3. dereceden bir çift ortogonal Latin kareyi gösterir.

0	bir	2
bir	2	0
2	0	bir
2	bir	0
0	2	bir
bir	0	2

Vefk. 4.223

Not: Latin kareleri geleneksel olmayan yarı sihirli karelerdir, her iki karede de ana köşegenlerden birinde sihirli sabit yoktur.

- 143 -

Latin kare yöntemini kullanarak yarı sihirli kareler oluşturma formülü, sihirli karelerle tamamen aynıdır. Verilen bir ortogonal Latin kare çiftinden, üçüncü dereceden aşağıdaki yarı sihirli kare elde edilir ( Şekil 4.224 ):

3	5	7
dört	9	2
sekiz	bir	6

Vefk. 4.224

Aynı ortogonal Latin kare çiftini yer değiştirerek ikinci bir yarı sihirli kare oluşturmak da mümkündür.

Şimdi Latin kare yöntemini kullanarak 9. sıradaki yarı sihirli bir karenin yapımına bir örnek göstereceğiz. Şek . 4.225 9. dereceden ortogonal Latin kareler görüyorsunuz. Bu dik Latin kareler Maria'da inşa edildi.

0	bir	2	3	dört	5	6	7	sekiz
bir	2	0	dört	5	3	7	sekiz	6
2	0	bir	5	3	dört	sekiz	6	7
3	dört	5	6	7	sekiz	0	bir	2
dört	5	3	7	sekiz	6	bir	2	0
5	3	dört	sekiz	6	7	2	0	bir
6	7	sekiz	0	bir	2	3	dört	5
7	sekiz	6	bir	2	0	dört	5	3
sekiz	6	7	2	0	bir	5	3	dört
0	bir	2	3	dört	5	6	7	sekiz
3	dört	5	6	7	sekiz	0	bir	2
6	7	sekiz	0	bir	2	3	dört	5
7	sekiz	6	bir	2	0	dört	5	3
bir	2	0	dört	5	3	7	sekiz	6
dört	5	3	7	sekiz	6	bir	2	0
5	3	dört	sekiz	6	7	2	0	bir
sekiz	6	7	2	0	bir	5	3	dört
2	0	bir	5	3	dört	sekiz	6	7

Vefk. 4,225

Bu çiftte, bir Latin kare köşegendir ( sağdaki Şekil 4.225'te ) ve ikinci Latin karede ( soldaki Şekil 4.225'te ) sadece bir köşegen yanlıştır, tamamen aynı sayılardan oluşur. Bu tek yanlış köşegen, belirli bir ortogonal Latin kare çiftinden oluşturulan karenin yarı sihirli olduğu gerçeğine yol açar, yalnızca bir köşegende sihirli bir sayı toplamı yoktur. Bu yarı sihirli kare, Şek. 4,226 .

bir	on bir	21	31	41	51	61	71	81
13	23	6	43	53	36	64	74	57
25	sekiz	on sekiz	46	29	39	76	59	69
35	45	52	56	66	73	5	on beş	22
38	48	28	68	78	58	17	27	7
elli	33	40	80	63	70	yirmi	3	on
60	67	77	9	16	26	otuz	37	47
72	79	62	12	19	2	42	49	32
75	55	65	24	dört	on dört	54	34	44

Vefk. 4.226

- 144 -

Son örnek, 10. dereceden yarı sihirli bir karenin inşasıdır. Şek .

4.227 mertebeden 10 ortogonal Latin kare çifti görüyorsunuz. Bu ortogonal Latin kareler [20c]'de verilen algoritmaya göre oluşturulmuştur.

0	sekiz	bir	9	2	7	5	6	3	dört
dört	bir	sekiz	2	9	5	7	0	6	3
7	3	2	sekiz	5	9	dört	bir	0	6
3	7	6	5	sekiz	dört	9	2	bir	0
9	6	7	0	dört	sekiz	3	5	2	bir
6	9	0	7	bir	3	sekiz	dört	5	2
sekiz	0	9	bir	7	2	6	3	dört	5
bir	2	5	dört	3	6	0	sekiz	9	7
2	5	dört	3	6	0	bir	9	7	sekiz
5	dört	3	6	0	bir	2	7	sekiz	9
0	dört	sekiz	5	9	6	7	bir	2	3
7	bir	5	sekiz	6	9	0	2	3	dört
bir	7	2	6	sekiz	0	9	3	dört	5
9	2	7	3	0	sekiz	bir	dört	5	6
2	9	3	7	dört	bir	sekiz	5	6	0
sekiz	3	9	dört	7	5	2	6	0	bir
3	sekiz	dört	9	5	7	6	0	bir	2
6	0	bir	2	3	dört	5	sekiz	9	7
5	6	0	bir	2	3	dört	7	sekiz	9
dört	5	6	0	bir	2	3	9	7	sekiz

Vefk. 4.227

Her iki Latin karesi de köşegen değildir. Şekilde gösterilen karede . Solda 4.227, her iki köşegendeki sayıların toplamı sihirli sabit 45'e eşittir ve sağda gösterilen karede bir köşegendeki sayıların toplamı sihirli sabite eşit değildir. Belirli bir ortogonal Latin kare çiftinden oluşturulan bir karenin yarı sihirli olacağı ve yalnızca bir diyagonalde sayıların toplamının karenin sihirli sabitine eşit olmayacağı açıktır. Şek . 4.228 Bu yarı büyülü kareyi görüyorsunuz.

bir	85	19	96	otuz	77	58	62	33	44
48	12	86	29	97	60	71	3	64	35
72	38	23	87	59	91	elli	on dört	5	66
40	73	68	54	81	49	92	25	16	7
93	70	74	sekiz	45	82	39	56	27	on bir
69	94	on	75	on sekiz	36	83	47	51	22
84	9	95	yirmi	76	28	67	31	42	53
17	21	52	43	34	65	6	89	100	78
26	57	41	32	63	dört	on beş	98	79	90
55	46	37	61	2	13	24	80	88	99

Vefk. 4.228

Açıkça, Latin kare yöntemini uygulamak için herhangi bir ortogonal Latin karesine sahip olmak gerekir.

Şimdi Franklin'in yöntemine Latin kare yöntemi açısından bakalım. Bunu yapmak için, Şekil 8'in 8. mertebesinin yarı sihirli karesini ayrıştırıyoruz. 4.219 iki ortogonal Latin karesinde ( Şekil 4.229 ).

- 145 -

0	bir	2	3	dört	5	6	7
7	6	5	dört	3	2	bir	0
0	bir	2	3	dört	5	6	7
7	6	5	dört	3	2	bir	0
0	bir	2	3	dört	5	6	7
7	6	5	dört	3	2	bir	0
0	bir	2	3	dört	5	6	7
7	6	5	dört	3	2	bir	0
0	7	0	7	0	7	0	7
6	bir	6	bir	6	bir	6	bir
7	0	7	0	7	0	7	0
bir	6	bir	6	bir	6	bir	6
5	2	5	2	5	2	5	2
3	dört	3	dört	3	dört	3	dört
2	5	2	5	2	5	2	5
dört	3	dört	3	dört	3	dört	3

 

Vefk. 4.229

Bunlar genelleştirilmiş ortogonal Latin kareleridir. Böylece, yarı sihirli kareler sadece klasik değil, aynı zamanda genelleştirilmiş Latin kareler kullanılarak da oluşturulabilir.

4.4.3    BİLEŞİK KARE YÖNTEMİ

Bileşik yarı sihirli karenin minimum mertebesi 9'dur. Böyle bir kare oluşturmak için, taban ve asal kareler olarak 3. mertebeden aynı yarı sihirli kare alınabilir, örneğin şek. 4,224 . Bu kare ile oluşturulan 9. sıradaki bileşik yarı-sihirli kare şekil 2'de gösterilmiştir . 4,230 .

21	23	25	39	41	43	57	59	61
22	27	yirmi	40	45	38	58	63	56
26	19	24	44	37	42	62	55	60
otuz	32	34	75	77	79	12	on dört	16
31	36	29	76	81	74	13	on sekiz	on bir
35	28	33	80	73	78	17	on	on beş
66	68	70	3	5	7	48	elli	52
67	72	65	dört	9	2	49	54	47
71	64	69	sekiz	bir	6	53	46	51

Vefk. 4,230

Sihirli bir kareyi karelerden (taban veya ana) biri olarak alabilirsiniz. Böyle bir örneğe bakalım. 12. mertebeden bileşik bir yarı-sihirli kare oluşturmak için sihirli kareyi Şekil 1'den alıyoruz . 4.213 ve ana kare olarak - Franklin algoritmasına göre inşa edilmiş 4. dereceden yarı sihirli bir kare ( Şekil 4.220 ). Şekil 2'de tamamlanmış yarı sihirli kareyi görüyorsunuz . 4,231 .

- 146 -

49	56	57	64	129	136	137	144	17	24	25	32
62	59	54	51	142	139	134	131	otuz	27	22	19
52	53	60	61	132	133	140	141	yirmi	21	28	29
63	58	55	elli	143	138	135	130	31	26	23	on sekiz
33	40	41	48	65	72	73	80	97	104	105	112
46	43	38	35	78	75	70	67	110	107	102	99
36	37	44	45	68	69	76	77	100	101	108	109
47	42	39	34	79	74	71	66	111	106	103	98
113	120	121	128	bir	sekiz	9	16	81	88	89	96
126	123	118	115	on dört	on bir	6	3	94	91	86	83
116	117	124	125	dört	5	12	13	84	85	92	93
127	122	119	114	on beş	on	7	2	95	90	87	82

Vefk. 4.231

4.5     GELENEKSEL OLMAYAN SİHİRLİ KARELERİN İNŞAATI

Geleneksel olmayan sihirli kareler oluşturma yöntemleri çok az araştırılmıştır. Bununla birlikte, bu tür meydanları inşa etmenin birkaç orijinal yolu bilinmektedir. Bazılarına bakalım.

4.5.1     TERAS YÖNTEMİ

Bölüm 4.1.2'de açıklanan teras yöntemi kullanılarak herhangi bir sıra dışı sihirli kare oluşturulabilir. Bunu yapmak için, n ² sayıdan oluşan bir başlangıç dizisi olarak, tüm üyeleri ve farkı doğal sayılar olan herhangi bir aritmetik ilerleme alınmalıdır. Örneğin, aşağıdaki aritmetik ilerlemenin 25 üyesini alan 5. mertebeden alışılmadık bir sihirli kare oluşturalım: 4, 7, 10, ... 73, 76 ( Şekil 4.232 )

				16
			13		31
		on	49	28	67	46
	7	61	25	64	43	7	61
dört		22	76	40	dört	58		76
	19	73	37	16	55	19	73
		34	13	52	31	70
			49		67
				64

 

Vefk. 4,232

Teras yöntemi kullanılarak inşa edilen geleneksel olmayan sihirli kareler çağrışımsaldır.

4.5.2      YUNAN-LATİN KARE KULLANIN

Bir çift ortogonal çapraz Latin kareden oluşan bir Greko-Latin kare kullanılarak 3 ve 6 dışında herhangi bir sıradaki geleneksel olmayan sihirli kare oluşturulabilir. Belirli bir örneğe bakalım. Şek . 4.233 , 7. mertebenin Greko-Latin karesini gösterir.

- 147 -

00	on bir	22	33	44	55	66
54	65	06	on	21	32	43
31	42	53	64	05	16	yirmi
on beş	26	otuz	41	52	63	04
62	03	on dört	25	36	40	51
46	elli	61	02	13	24	35
23	34	45	56	60	01	12

Vefk. 4.233

Bu Greko-Latin karesinden 7. dereceden geleneksel bir sihirli kare oluşturursanız, bu karenin elemanlarına yedili sayı sisteminde sayılar olarak bakmalısınız. Bu Greko-Latin karenin öğelerine, örneğin ondalık sayı gibi başka bir sayı sistemindeki sayılarmış gibi bakalım. 7. dereceden hazır geleneksel olmayan sihirli karemiz var. Karenin 0 sayısını içermemesi için tüm öğelerini 1 artırıyoruz. Bu geleneksel olmayan sihirli kare, olağan biçimde yazılmış şekilde görünecek ( Şekil 4.234 ):

bir	12	23	34	45	56	67
55	66	7	on bir	22	33	44
32	43	54	65	6	17	21
16	27	31	42	53	64	5
63	dört	on beş	26	37	41	52
47	51	62	3	on dört	25	36
24	35	46	57	61	2	13

Vefk. 4.234

Şekil 1'deki Greko-Latin karesinin öğelerine bakabilirsiniz . 4.233 , doğal tabanı K>7 olan diğer herhangi bir sayı sistemindeki sayılar için olduğu gibi. Ve bu tür sistemlerin her birinde geleneksel olmayan yeni bir sihirli kare elde ederiz. Sekizli sayı sistemi için başka bir örnek verelim ( Şekil 4.235 ).

bir	on	19	28	37	46	55
45	54	7	9	on sekiz	27	36
26	35	44	53	6	on beş	17
on dört	23	25	34	43	52	5
51	dört	13	22	31	33	42
39	41	elli	3	12	21	otuz
yirmi	29	38	47	49	2	on bir

Vefk. 4.235

- 148 -

4.5.3               ORTAK LATİN KARE KULLANIMI

n = 4k + 2 düzeninde geleneksel olmayan ideal sihirli kareler oluşturmak için kullanılır .

Bilindiği gibi, belirli bir dizi düzenin geleneksel sihirli kareleri birleştirici veya bütünsel olamaz. Ancak geleneksel olmayan sihirli kareler aynı anda bu özelliklere sahip olabilir, yani idealdirler. Burada sunulan yöntem Science and Life dergisinde (No. 9, 1979) bulunmuştur. Önce dergiden bir örneğe bakalım. Şek . Şekil 4.236 , geleneksel olmayan bir altıncı dereceden mükemmel sihirli kare oluşturmak için kullanılan bir çift ortogonal genelleştirilmiş Latin karesini göstermektedir.

0	dört	5	5	dört	0
6	2	bir	bir	2	6
0	dört	5	5	dört	0
6	2	bir	bir	2	6
0	dört	5	5	dört	0
6	2	bir	bir	2	6
0	6	0	6	0	6
dört	2	dört	2	dört	2
5	bir	5	bir	5	bir
5	bir	5	bir	5	bir
dört	2	dört	2	dört	2
0	6	0	6	0	6

 

Vefk. 4.236

Verilen bir ortogonal genelleştirilmiş Latin kare çiftinden 6. dereceden geleneksel olmayan ideal sihirli kareler oluşturma formülü aşağıdaki gibidir:

^c ii \u003d (7 + ^t ) * ^bir h + b c + 1, t \u003d 0, 1, 2 ...

burada I y birinci Latin karesinin elemanlarıdır, bc ikinci Latin karesinin karşılık gelen elemanlarıdır, Cc tamamlanmış ideal karenin karşılık gelen elemanlarıdır. Her m için yeni bir geleneksel olmayan mükemmel sihirli kare elde edilir. Böylece, bir çift ortogonal genelleştirilmiş Latin karesinden, sonsuz sayıda benzer geleneksel olmayan ideal sihirli kareler oluşturulabilir.

Not: İkinci Latin karesi, merkez saat yönünün tersine 90 derece döndürülerek birinciden elde edilir.

m = 0'da oluşturulan 6. dizenin tamamlanmış geleneksel olmayan ideal karesi Şekil 2'de gösterilmektedir . 4,237 .

bir	35	36
47	17	12
6	otuz	41
48	16	13
5	31	40
43	21	sekiz
42	29	7
on	19	45
37	34	2
9	yirmi	44
38	33	3
on dört	on beş	49

 

Vefk. 4.237

- 149 -

Bu karenin sihirli sabiti 150, birleşme sabiti K _a = 50'dir. Karenin çok ilginç bir özelliği vardır: Bu karenin içinde bulunan herhangi bir 2x2 karedeki sayıların toplamı aynı sayıya eşittir 2 * K _a . Bu özellik, belirli bir kareye üç kare dönüşümü uygulayarak geleneksel olmayan bir tam kareye dönüştürmenize olanak tanır. Şek . 4.238 Bu alışılmadık tam kareyi görüyorsunuz.

bir	35	36	7	29	42
47	17	12	45	19	on
6	otuz	41	2	34	37
43	21	sekiz	49	on beş	on dört
5	31	40	3	33	38
48	16	13	44	yirmi	9

 

Vefk. 4.238

n = 4k + 2 düzeninde geleneksel olmayan ideal ve mükemmel sihirli kareler oluşturmak için bir yöntemimiz var .

Daha önce de belirtildiği gibi, ikinci Latin karesi ilkinden 90 derece döndürülerek elde edilir. Bu nedenle, sorun ilk Latin karesinin yapımına indirgenmiştir. İlk Latin karesinin yapısına dikkatlice bakarsanız, onu inşa etmenin iki yarım dize oluşturmanın yeterli olduğunu görmek kolaydır:

0     45

6         2 1

Bu durumda, ikinci yarım dize, ilk yarım dizenin sayılarını tamamlayıcı (karşılıklı tamamlayıcı) sayılardan oluşur.

Yarım dizeleri oluşturma görevi çok ilginçti. Yarım dizeler basit seçimle oluşturulabilir. n = 18 dizisine bir örnek verelim . İşte bu örnekte basit seçimle birleştirilen yarım diziler:

0 18 17 15 13 9 8 6 4

20 2 3 5 7 11 12 14 16

Yarım satırları oluştururken aşağıdaki kurallara uyulmalıdır:

1)           yarım dizelerdeki tüm sayılar farklı olmalıdır;

2)     bir çift (0, X) seçildiğinde, X sayısı karenin mertebesine eşit ve ondan büyük seçilmelidir (bazı durumlarda X, karenin mertebesine eşit olabilir); X sayısı için üst sınır sınırlı olmamakla birlikte;

3)     her yarım satırdaki sayıların toplamı aynı değere eşittir 8 = X*n/4 (n karenin sırasıdır).

İncelenen örnekte, n = 18, X = 20, 8 = 90. Verilen yarım satırlardan birinci ve ikinci Latin karelerinin bileşimi okuyuculara bırakılmıştır. Şek . 4.239 , 18. dereceden tamamlanmış geleneksel olmayan bir tam kareyi gösterir. Genel durumda geleneksel olmayan bir ideal sihirli kare oluşturma formülünün şu şekilde olduğuna dikkat edin:

C y \u003d (X + 1 + t) * bir c + b c + 1, t \u003d 0, 1, 2 ...

- 150 -

Önerilen kare m = 0 için oluşturulmuştur.

bir	399	358	336	274	210	169	147	85	105	127	189	190	294	316	378	379	21
439	45	82	108	166	234	271	297	355	339	313	255	250	150	124	66	61	423
on sekiz	382	375	319	291	193	186	130	102	88	144	172	207	277	333	361	396	dört
436	48	79	111	163	237	268	300	352	342	310	258	247	153	121	69	58	426
on dört	386	371	323	287	197	182	134	98	92	140	176	203	281	329	365	392	sekiz
430	54	73	117	157	243	262	306	346	348	304	264	241	159	115	75	52	432
9	391	366	328	282	202	177	139	93	97	135	181	198	286	324	370	387	13
427	57	70	120	154	246	259	309	343	351	301	267	238	162	112	78	49	435
5	395	362	332	278	206	173	143	89	101	131	185	194	290	320	374	383	17
425	59	68	122	152	248	257	311	341	353	299	269	236	164	110	80	47	437
7	393	364	330	280	204	175	141	91	99	133	183	196	288	322	372	385	on beş
429	55	72	118	156	244	261	307	345	349	303	265	240	160	114	76	51	433
on	390	367	327	283	201	178	138	94	96	136	180	199	285	325	369	388	12
434	elli	77	113	161	239	266	302	350	344	308	260	245	155	119	71	56	428
16	384	373	321	289	195	184	132	100	90	142	174	205	279	331	363	394	6
438	46	81	109	165	235	270	298	354	340	312	256	249	151	123	67	60	424
19	381	376	318	292	192	187	129	103	87	145	171	208	276	334	360	397	3
421	63	64	126	148	252	253	315	337	357	295	273	232	168	106	84	43	441

Vefk. 4.239

Bu karenin sihirli sabiti 3978, birleşim sabiti 442'dir. Kare de yukarıda belirtilen özelliğe sahiptir ve üç kare dönüştürülerek geleneksel olmayan bir tam kareye dönüştürülebilir.

Tabii ki, basit seçimle yarım tellerin montajı verimsizdir. Bu yöntem forumda tartışıldı. (42)

İki forum katılımcısı, yarım diziler için farklı analitik formüller buldu. İşte seçeneklerden biri (belki okuyucular başka formüller bulacaktır). Bir forum üyesi, yarım dizeler için aşağıdaki formülleri önerdi ( I = n/2 ):

0 31-4 31-6 ... 21+1 21-1 21-2 1-3 1-5 ... 4                       2

31-3 1        3... 1-41-21-1 21 21+2 ... 31-7 31-5

n = 18 için 1 = 9'a sahibiz ve bu formüllere göre oluşturulan yarım diziler aşağıdaki gibi olacaktır:

0 23 21 19 17 16 6 4 2

24 1 3 5 7 8 18 20 22

Yarım dizelerin yukarıdaki örnekte ele alındığından farklı olduğu açıktır. Burada X = 24, yarım satırlardaki sayıların toplamı 8 = 108'dir. Okuyucular, yeni yarım satırları kullanarak 18'inde alışılmadık bir mükemmel sihirli kare oluşturmaya davet edilir.

Bu analitik formülleri kullanarak, bu formüllere göre oluşturulan yarım dizilerin herhangi bir n = 4k + 2 mertebesi için yukarıda listelenen tüm gereksinimleri karşıladığını kanıtlamak kolaydır. yarım dizeyi genel bir biçimde ve anlamla eşleştiğinden emin olun:

8      = 31(1-1)/2

- 151 -

Tarif edilen yöntem, geleneksel olmayan çift sıralı tam karelerin n = 4k oluşturulması için de geçerlidir . Belirli bir düzen aralığı için geleneksel tam kareler olmasına rağmen (n = 4 hariç), geleneksel olmayan tam kareler oluşturmak yine de mümkündür. Bir örnek gösterelim - genelleştirilmiş Latin kareler yöntemiyle 8. dereceden geleneksel olmayan bir ideal sihirli karenin yapımı. Şek . 4.240 , 8. dereceden bir çift ortogonal genelleştirilmiş Latin karesini gösterir.

0	7	6	3	3	6	7	0
sekiz	bir	2	5	5	2	bir	sekiz
0	7	6	3	3	6	7	0
sekiz	bir	2	5	5	2	bir	sekiz
0	7	6	3	3	6	7	0
sekiz	bir	2	5	5	2	bir	sekiz
0	7	6	3	3	6	7	0
sekiz	bir	2	5	5	2	bir	sekiz
0	sekiz	0	sekiz	0	sekiz	0	sekiz
7	bir	7	bir	7	bir	7	bir
6	2	6	2	6	2	6	2
3	5	3	5	3	5	3	5
3	5	3	5	3	5	3	5
6	2	6	2	6	2	6	2
7	bir	7	bir	7	bir	7	bir
0	sekiz	0	sekiz	0	sekiz	0	sekiz

Vefk. 4.240

Verilen bir ortogonal genelleştirilmiş Latin kare çiftinden oluşturulan, 8. dereceden tamamlanmış geleneksel olmayan ideal kare, Şekil 2'de gösterilmektedir . 4,241 .

bir	72	55	36	28	63	64	9
80	on bir	26	47	53	yirmi	17	74
7	66	61	otuz	34	57	70	3
76	on beş	22	51	49	24	13	78
dört	69	58	33	31	60	67	6
79	12	25	48	52	21	16	75
sekiz	65	62	29	35	56	71	2
73	on sekiz	19	54	46	27	on	81

Vefk. 4,241

Bu karenin sihirli sabiti 328, çağrışım sabiti 82'dir. Bu kare içindeki herhangi bir 2x2 karedeki sayıların toplamı, çağrışım sabitinin iki katına eşittir - 164. Ancak, üç kareyi dönüştürmek bu kareyi alışılmadık hale getirmez. mükemmel kare.

4. mertebeden alışılmadık bir tam kare sadece tekrar eden sayılarla oluşturulabilir ( Şekil 4.242 ).

bir	16	13	dört
16	bir	dört	13
dört	13	16	bir
13	dört	bir	16

Vefk. 4.242

Yarım diziler için yukarıdaki analitik formülün n = 4k siparişleri için uygun olmadığına dikkat edin . Okuyucuları belirli bir dizi sipariş için yarım diziler için analitik bir formül elde etmeye davet ediyoruz. Ayrıca, n = 8k durumunda, X = n koyabiliriz.

- 152 -

Bu, n = 8 için yukarıdaki örnekte tam olarak böyledir. Örneğin, n = 16 için yarım diziler aşağıdaki gibi olabilir:

0 15 14 12 9 6 5 3

16      1 2 4 7 10 11 13

4.5.4      BİLEŞİK KARE YÖNTEMİ

Evrensel bileşik kare yöntemi, geleneksel olmayan sihirli karelerin yapımı için de geçerlidir. 9. dereceden geleneksel olmayan bir sihirli kare oluşturmaya bir örnek gösterelim. Şekil l'de gösterilen 3. dereceden aynı geleneksel olmayan sihirli kareyi alalım . 4,243 .

6	21	on sekiz
27	on beş	3
12	9	24

Vefk. 4.243

9. sıranın tamamlanmış geleneksel olmayan sihirli karesini Şekil 2'de görebilirsiniz.

4.244 .

51	66	63	186	201	198	159	174	171
72	60	48	207	195	183	180	168	156
57	54	69	192	189	204	165	162	177
240	255	252	132	147	144	24	39	36
261	249	237	153	141	129	45	33	21
246	243	258	138	135	150	otuz	27	42
105	120	117	78	93	90	213	228	225
126	114	102	99	87	75	234	222	210
111	108	123	84	81	96	219	216	231

Vefk. 4.244

Bu geleneksel olmayan sihirli karenin ilişkilendirme özelliğine sahip olduğuna dikkat edin, çünkü hem taban hem de asal kareler bu özelliğe sahiptir. Bu karenin sihirli sabiti 1269, çağrışım sabiti 282'dir.

Geleneksel olmayan sihirli kareler oluşturmaya yönelik diğer yöntemler, özellikle asal sayılardan geleneksel olmayan sihirli kareler oluşturmaya yönelik yöntem olmak üzere [8]'de bulunabilir. Örneğin, bir görevle karşı karşıyasınız: asal sayılardan 3. mertebeden alışılmadık bir sihirli kare oluşturmak. Bu tür ilk kare Dudeney tarafından yapılmıştır, minimum sihirli sabiti 111 olan bir karedir. Bu ünlü kareyi şek. 4,245 . [6]

67	bir	43
13	37	61
31	73	7

Vefk. 4.245

- 153 -

Diğer asal sayıların sıra dışı bir 3. dereceden sihirli karesini oluşturmaya çalışın. Böyle bir yapı için bir algoritma bulmaya çalışın. Bu işe yaramazsa, kontrol edin [8].

Lütfen aklınızda bulundurun. Örneğin, herhangi bir özel algoritma olmaksızın asal sayılardan 3. dereceden geleneksel olmayan sihirli kareler oluşturmak için bir bilgisayar programı yazmak kolaydır: sadece bir asal sayı dizisi girin ve bu dizinin tüm sayıları üzerinde konumları için yineleyin. ' n 3x3 sihirli kare (önceden belirlenmiş herhangi bir boyutta bir asal sayı dizisi oluşturmak için program bloğuna ekleyebilirsiniz). 3. sipariş için böyle bir program verimli çalışır.

- 154 -

BÖLÜM 5. MÜKEMMEL SİHİRLİ KARELER

Mükemmel sihirli kareler 19. yüzyılda zaten biliniyordu. Bununla birlikte, özellikle Rus dili edebiyatında çok az çalışılmıştır. İngiliz dili literatüründe tam sihirli kareler "tosi rekesi zsriage" olarak adlandırılır. Bunlar en güzel sihirli küpler, sebepsiz yere mükemmel olarak adlandırılmaları değil.

5.1     MÜKEMMEL KARE TANIMI

Mükemmel sihirli karelerin tanımı (31) ile verilir:

“Eeyepiiiiop

1.     Evegu 2 x 2 Mosk ok seіiz (іpsіyіpd ^gar-agоipy) zit io 2Т (хѵіеге Т= n ² + 1) (і.е. сошрі)

2.      Apu raig tamam, n/2 olarak kabul edilir ve zit io T'dir (bundan başka bir şey değildir)

3.     Oouiu-evep rapyiadopai pogtai zdiages tadіs (yani ogre 4, 8, 12, eucis ipd ipedegs Varış 1 io ve ² )”.

Bu tanımı netleştirelim. Açıklık için, 8. ­dereceden bir tam kare gösteriyoruz ( Şekil 5.1 ).

bir	32	17	16	57	40	41	56
58	39	42	55	2	31	on sekiz	on beş
3	otuz	19	on dört	59	38	43	54
60	37	44	53	dört	29	yirmi	13
sekiz	25	24	9	64	33	48	49
63	34	47	elli	7	26	23	on
6	27	22	on bir	62	35	46	51
61	36	45	52	5	28	21	12

Vefk. 5.1

Tanımın üçüncü noktasından başlayalım. Bu paragraf, mükemmel sihirli karelerin, çift parite mertebesinde, yani n = 4k mertebesinde bütün köşegen kareler olduğunu söyler .

Tanımın ilk paragrafı, tam karelerin böyle bir özelliğine atıfta bulunur: tam bir kare içinde bulunan her 2x2 blokta, aynı değere eşit sayıların toplamı 2T'ye eşittir, burada T \u003d n ² + 1 köşelerdeki sayıların sayısı bir tam karenin hücrelerini aynı değeri almalıdır (parantez içindeki nota bakın: ipsiiiiipd ^gar-agoipf. Bu, 2x2 bloklardaki sayıların toplamının değerinin, mükemmel bir karenin paralel transferleri sırasında korunmasını sağlayacaktır. simit üzerindeki kare Gösterilen tam kare T \u003d 65'te, herhangi bir 2x2 bloktaki sayıların toplamı 130'dur, karenin köşe hücrelerindeki sayıların toplamı da 130'dur.

Geriye, tanımın ikinci paragrafında formüle edilen özelliği açıklamak kalıyor. Birbirinden n/2 uzaklıkta bulunan herhangi bir köşegen boyunca bulunan herhangi bir sayı çifti, bir T toplamı verir. Tamamlayıcı sayılardan bahsettiğimize göre, bu özelliğe tamamlayıcılık özelliği diyelim . Şek . 5.1 iki çift tamamlayıcı sayıyı (renklendirerek) gösterir. Bu özellik, simit üzerindeki bir tam karenin paralel ötelemelerinde de korunur.

- 155 -

Temel dönüşümlerin sihirli karenin mükemmellik özelliğini koruduğu açıktır.

Alıntı yapılan makale ayrıca 12. mertebeden böyle bir tam kare sağlar.

( Şekil 5.2 ):

65	93	82	95	49	78	68	64	51	62	84	79
32	100	on beş	98	48	115	29	129	46	131	13	114
25	133	42	135	9	118	28	104	on bir	102	44	119
24	108	7	106	40	123	21	137	38	139	5	122
17	141	34	143	bir	126	yirmi	112	3	110	36	127
76	56	59	54	92	71	73	85	90	87	57	70
77	81	94	83	61	66	80	52	63	elli	96	67
116	16	99	on dört	132	31	113	45	130	47	97	otuz
117	41	134	43	101	26	120	12	103	on	136	27
124	sekiz	107	6	140	23	121	37	138	39	105	22
125	33	142	35	109	on sekiz	128	dört	111	2	144	19
72	60	55	58	88	75	69	89	86	91	53	74

Vefk. 5.2

Ve şimdi 4. dereceden bir tam kare örneğini kullanarak tam karelerin tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele alacağız. 4. dereceden tüm pandiagonal kareler (torik çeviriler hariç 48 tanesi vardır) mükemmeldir. Tam karelerin tanımda sıralanan temel özelliklerine ek olarak, 4. mertebeden tam kareler bazı ek özelliklere de sahiptir.

Şek . 5.3 , örnekte 4. mertebeden tam karelerin özelliklerinin dikkate alınacağı bir tam kareyi göstermektedir.

bir	on dört	7	12
on beş	dört	9	6
on	5	16	3
sekiz	on bir	2	13

 

Vefk. 5.3

Bu tam karenin tüm özelliklerini listeliyoruz - temel ve ek. n = 4 için 2T = 8 olduğuna dikkat edin, 8 karenin sihirli sabitidir. Bu nedenle, bu durumda 2T toplamından karenin sihirli sabiti olarak bahsediyoruz.

Mülk 1 . 4. dereceden bir tam karenin içindeki herhangi bir 2x2 karedeki sayıların toplamı, karenin sihirli sabitine eşittir.

4. sıradaki karede 2x2 gibi 9 kare var. Böyle bir karedeki sayıların toplamını hesaplayın, karenin sihirli sabitine eşittir - 34.

Mülk 2 . 4. dereceden bir tam karenin köşe hücrelerindeki sayıların toplamı, karenin sihirli sabitine eşittir.

1 + 12 + 8 + 13 = 34

- 156 -

Mülk 3 . 4. dereceden bir tam karenin içindeki herhangi bir 3x3 karenin köşe hücrelerindeki sayıların toplamı, karenin sihirli sabitine eşittir.

Dördüncü dereceden karede 4 adet 3x3 kare vardır. Örneğin, bu karelerden birinin köşe hücrelerindeki sayıların toplamı:

1 + 7 + 10 + 16 = 34

Mülk 4. Köşeleri tam karenin kenarlarının orta noktalarında olan 2x2'lik bir kare, 4. dereceden bir tam kareye yazılırsa ( Şekil 5.4 ), o zaman yazılı karenin bir çift zıt kenarı boyunca sayıların toplamı, eşit diğer karşıt kenar çifti boyunca yer alan sayıların toplamına ve bu toplamların her biri karenin sihirli sabitine eşittir.

16

Vefk. 5.4

Özellik 5. 4. dereceden bir tam karenin her satırı, toplamı _{8 1 olan bir çift bitişik sayıya ve toplamı 8 2} olan başka bir bitişik sayı çiftine sahiptir , böylece 8 ₁ + 8 ₂ = 34 (sihirli sabiti) Meydan) ).

Şekilde gösterilen karede . 5.3 , her satırda toplamı 15 olan bir çift bitişik sayı ve toplamı 19 olan bir başka bitişik sayı çifti vardır. Bu durumda, ilk satırda toplamı 15 olan bazı sayılar satırın başında, ikinci satırda - satırın sonunda, üçüncü satırda yine satırın başında ve dördüncü satırda bulunur. satır - satırın sonunda. Benzer şekilde, toplamı 19 olan bir çift sayının düzenlenmesi de değiştirilir.

Mülkiyet 6. 4. dereceden bir tam karenin her sütununda, toplamı _{8 3'e ulaşan bir çift bitişik sayı ve toplamı} 8 4'e ulaşan bir başka bitişik sayı çifti vardır , yani 8 ₃ + 8 ₄ = 34.

Şekildeki meydanda . 5.3 8 ₃ \u003d 16, 8 _{4 \u003d 18. Toplamları 8 3} ve 8 ₄ olan sayı çiftleri dönüşümlü olarak sütunun başında ve sonunda aynı şekilde bulunur.

Özellik 7. 4. sıradaki bir tam karede, birinci ve üçüncü (ve ikinci ve dördüncü) satırlardaki sayıların karelerinin toplamları eşittir.

Şekildeki meydanda. 5.3 Bu tutarlar aşağıdaki gibidir:

on^{[1] [2]}+ 5 ² + 16 ² + 3 ² = 390

8 ² + 11 ² + 2 ² + 13 ² = 358

Özellik 8. 4. sıradaki bir tam karede, birinci ve üçüncü (aynı zamanda ikinci ve dördüncü) sütunlardaki sayıların karelerinin toplamları eşittir.

- 157 -

Şekildeki meydanda . 5.3 Bu tutarlar aşağıdaki gibidir:

12                                                               + 15 ² + 10 ² + 8 ² = 390              7 ² + 9 ² + 16 ² + 2 ² = 390

14 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² = 358                                                  12 ² + 6 ² + 3 ² + 13 ² = 358

Özellik 9. Hem karenin kendisinin hem de içinde bulunan herhangi bir 3x3 karenin köşegenleri üzerinde 4. dereceden bir tam karede, üçüncü bir sayı ile ayrılmış iki sayının toplamı 17'dir. Bu, tamamlayıcılık özelliğidir. Özellik (48)'de Dudeny şablonu ( Şekil 5.5 ) ile güzel bir şekilde gösterilmektedir.

Vefk. 5.5

Bu şablonda, tüm tamamlayıcı (yani birbirini sabit bir n ² + 1 = 17'ye tamamlayan) sayı çiftleri bağlanır.

Şek . 5.6 , 4. dereceden başka bir tam kareyi gösterir.

bir	sekiz	on bir	on dört
12	13	2	7
6	3	16	9
on beş	on	5	dört

Vefk. 5.6

Okuyucular, bu kare için tam karelerin tüm özelliklerini bağımsız olarak kontrol etmeye davet edilir. 5-8 özelliklerinde toplamların değerlerinin farklı olacağını unutmayın. Ayrıca, bu karede, Şekil 2'deki karenin aksine. 5.3 , birinci ve üçüncü (ikinci ve dördüncü) satırlardaki sayıların karelerinin toplamları, sütunlardaki sayıların karelerinin karşılık gelen toplamlarına eşit değildir.

8. mertebenin en iyi bilinen tam karesi (49)'da verilmiştir. Bu sitede geleneksel olmayan bir biçimde yazılmıştır, yani 0'dan 63'e kadar sayılarla doldurulmuştur. Şek. 5.7 geleneksel gösterimde.

bir	63	3	61	12	54	on	56
16	elli	on dört	52	5	59	7	57
17	47	19	45	28	38	26	40
32	34	otuz	36	21	43	23	41
53	on bir	55	9	64	2	62	dört
60	6	58	sekiz	49	on beş	51	13
37	27	39	25	48	on sekiz	46	yirmi
44	22	42	24	33	31	35	29

Vefk. 5.7

- 158 -

Tam karelerin tanımda verilen temel özelliklerinin bu kare için de geçerli olduğu açıktır. Ek olarak, kare, 4. dereceden tam kare için gösterilenlere benzer birkaç ek özelliğe sahiptir. Örneğin: köşeleri karenin kenarlarının orta noktalarında olan 4x4'lük bir kare belirli bir tam kareye yazılırsa, yazılı karenin her bir karşılıklı kenar çifti için sayıların toplamı, karenin sihirli sabitine eşit olacaktır. kare ( Şekil 5.8 ).

Vefk. 5.8

Şek . 5.9 , Dudeney modeline benzer şekilde, tamamlayıcı sayıların bulunduğu birkaç hücre çiftinin bağlantısını gösterir.

Vefk. 5.9

Bu tam karenin özelliklerinin ayrıntılı bir incelemesi (50)'de verilmiştir. 4. dereceden 48 tam karenin tümü uzun zamandır bilinmektedir. Ancak 4'ten büyük dereceli tam kareler nasıl oluşturulur? Tam kareler oluşturmanın birkaç yöntemi vardır. Burada iki yöntem gösteriyoruz.

5.2    TERSİNE GEÇERLİ KARELERDEN MÜKEMMEL KARELER YAPIMI

- 159 -

İlk olarak, ters çevrilebilir karelerin tanımını veriyoruz. Tanım, 1'den n ^2'ye kadar sayılarla doldurulmuş en basit ters çevrilebilir kare ile gösterilmiştir. doğal bir sırayla, karenin sol üst hücresinden başlayarak satır satır ( Şekil 5.10 ).

bir	2	3	dört
5	6	7	sekiz
9	on	on bir	12
13	on dört	on beş	16

Vefk. 5.10

Ters çevrilebilir bir karenin tanımı (31) ile verilir:

“bip-up

1.      1 ^; .с|ііаі crozz zitz. (zіtіаgііu)

1 + 6 = 2 + 5, 1 + 11 = 3 + 9, 1 + 16 = 4 + 13 vb.

Aiso 1 + 14 = 2 + 13, 2 + 12 = 4 + 10, euc.

Іп депегаі, ійе зіт оГ ійе 1\ѵо питЬегз аі йіадопаиіу оррозііе согпегз оГ апу гесіапдіе ог зіЬ- здиаге ^ііійп ійе геѵегзіЬіе здиаге ог йіадопаіе согпегз.

2.     1 + 4 = 2 + 3, 1 + 13 = 5 + 9, 9 + 12 = 10 + 11, yani. Іp depegaі іyе zit og іѕіе аy іаѕі аy ітэгз ve асй го\ѵ en iyе zit en іye pehі аb іye neхіе іo iazі pitje,. (gezherze zіtіаgііu).

3.      1 apb 2 tizі ip іye zate go\v og soіitp ”pіedegz ”.

Listelenen özelliklerin, karşılık gelen sayı toplamlarının belirli örnekleri üzerinde gösterildiğinden çevrilmesine gerek olmadığını düşünüyoruz (bakınız Şekil 5.10 ). Tanımın üçüncü paragrafı, 1 ve 2 sayılarının karenin aynı satırında veya aynı sütununda olması gerektiğini söylüyor. Ters çevrilebilir bir karenin ilişkisel olduğuna dikkat edin.

Ters çevrilebilir bir kare, içinde aşağıdaki özellik varsa benzersiz olarak adlandırılır : herhangi bir satırda ve herhangi bir sütunda sayılar artan sırada takip eder. Şekilde gösterilen tersinir karenin olduğu açıktır . 5.10 benzersizdir. 4. sıra için, üç benzersiz ters çevrilebilir kare vardır. Her benzersiz ters çevrilebilir kare, bir ters çevrilebilir kareler grubu oluşturur. Her gruptaki kare sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Mn = 2 n ^-2 {(1/2*n)!} ²

Örneğin, n = 4 için elimizde: M _n = 16 , yani 4. sıradaki her benzersiz ters çevrilebilir kare, 16 karelik bir grup oluşturur. Bu nedenle, 4. mertebeden toplam 48 ters çevrilebilir kare vardır.

8. sipariş için 10 benzersiz ters çevrilebilir kare vardır. Benzersiz karelerin her biri, 36864 tersinir kareden oluşan bir grup oluşturur. Yani toplamda 8. mertebeden 368640 ters çevrilebilir kare var.

(31)'de 4. mertebeden bir ters çevrilebilir kare grubu verilmiştir. İşte o grup:

- 160 -

bir	2	3	dört	bir	2	3	dört	5	6	7	sekiz	5	6	7	sekiz
5	6	7	sekiz	9	on	on bir	12	bir	2	3	dört	13	on dört	on beş	16
9	on	on bir	12	5	6	7	sekiz	13	on dört	on beş	16	bir	2	3	dört
13	on dört	on beş	16	13	on dört	on beş	16	9	on	on bir	12	9	on	on bir	12
. bir	3	2	dört	bir	3	2	dört	5	7	6	sekiz	5	7	6	sekiz
5	7	6	sekiz	9	on bir	on	12	bir	3	2	dört	13	on beş	on dört	16
9	on bir	on	12	5	7	6	sekiz	13	on beş	on dört	16	bir	3	2	dört
13	on beş	on dört	16	13	on beş	on dört	16	9	on bir	on	12	9	on bir	on	12
. 2	bir	dört	3	2	bir	dört	3	6	5	sekiz	7	6	5	sekiz	7
6	5	sekiz	7	on	9	12	on bir	2	bir	dört	3	on dört	13	16	on beş
on	9	12	on bir	6	5	sekiz	7	on dört	13	16	on beş	2	bir	dört	3
on dört	13	16	on beş	on dört	13	16	on beş	on	9	12	on bir	on	9	12	on bir
. 2	dört	bir	3	2	dört	bir	3	6	sekiz	5	7	6	sekiz	5	7
6	sekiz	5	7	on	12	9	on bir	2	dört	bir	3	on dört	16	13	on beş
on	12	9	on bir	6	sekiz	5	7	on dört	16	13	on beş	2	dört	bir	3
on dört	16	13	on beş	on dört	16	13	on beş	on	12	9	on bir	on	12	9	on bir

 

Tersine çevrilebilir ve tam kareler arasında bire bir denklik olduğu, yani her ters çevrilebilir karenin bir ve yalnızca bir tam kareye karşılık geldiği tespit edilmiştir (bkz. [12]). Tersinir ve tam kareler arasındaki bu denklik sayesinde, tersinir karelerden tam kareler oluşturmak için bir yöntem elde edildi.

Herhangi bir ters çevrilebilir kareyi mükemmel bir kareye dönüştürme yöntemi, birçok İngilizce makalesinde, örneğin (31)'de açıklanmıştır. Ancak sunumun yazarın karşılaştığı tüm versiyonlarında, tersinir bir karenin mükemmel olana dönüştürülmesi üç aşamada gerçekleşirken, üçüncü aşama koordinat sisteminde verilen bir karenin dönüştürülmesidir. Yazar, herhangi bir ters çevrilebilir kareyi anında mükemmel bir kareye dönüştürmenize izin veren bir matris dönüşüm biçimi sunar.

Yöntemin bu varyantını belirli örnekler üzerinde gösterelim. 4. dereceden bir kare ile başlayalım. Bu ters çevrilebilir karenin matrisini A(ay) olarak gösterelim. O halde bu ters çevrilebilir kareden elde edilen tam kare, Şekil 1'de gördüğünüz B = G(A) matrisine sahip olacaktır . 5.11 .

bir değil	43 _	14 _	42 _
24 _	32 _	21 _	33 _
41 _	13 _	44 _	12 _
34 _	22 _	31 _	23 _

Vefk. 5.11

Bu, 4. dereceden ters çevrilebilir bir kareden tam kare elde etmek için uygulanması gereken matris dönüşümüdür. hadi uygulayalım

- 161 - Şek. 5.10 . Sonuç, aşağıdaki tam karedir ( Şekil 5.12 ):

bir	on beş	6	12
sekiz	on	3	13
on bir	5	16	2
on dört	dört	9	7

Vefk. 5.12

Matris dönüşümünün programlanmasının çok kolay olduğu açıktır. Bu dönüşüm için bir program yazarak, onu herhangi bir ters çevrilebilir kareden bir tam kare elde etmek için kullanabilirsiniz. Okuyucular, tam kareye dönüşümü zaten gösterilen en basit ters çevrilebilir kare hariç, yukarıda verilen tüm tersinebilir karelerden 4. sıralı tam kareler oluşturmaya davet edilir.

Ve şimdi ters dönüşümün matrisini göstereceğiz, yani tam kareyi ters çevrilebilir kareye dönüştüren dönüşümü. Mükemmel karenin B(bc) matrisine sahip olmasına izin verin, o zaman bu mükemmel kareye karşılık gelen ters çevrilebilir kare, Şekil 1'de gördüğünüz gibi C = g(B) matrisine sahip olacaktır. 5.13 .

b11 _	b34 _	b32 _	b13 _
b23 _	b42 _	b44 _	b21 _
b43 _	b22 _	b24 _	b41 _
b31 _	b14 _	b12 _	b33 _

Vefk. 5.13

Bu dönüşümün uygulanmasına bir örnek verelim. Aşağıdaki tam kareyi ilk kare olarak alalım ( Şekil 5.14 ):

bir	sekiz	13	12
on dört	on bir	2	7
dört	5	16	9
on beş	on	3	6

Vefk. 5.14

deki matris tarafından gösterilen dönüşüm ile . 5.13 , Şekil l'de gördüğünüz bu kareye karşılık gelen ters çevrilebilir kareyi elde ederiz . 5.15 .

bir	9	5	13
2	on	6	on dört
3	on bir	7	on beş
dört	12	sekiz	16

Vefk. 5.15

- 162 -

Şekil 2'deki tersinir kareye uygulanırsa açıktır . 5.15 Şekil l' deki matris tarafından açıklanan dönüşüm . 5.11 , o zaman şek ile tam bir kare elde edersiniz. 5.14 . Dene!

Benzer şekilde, 8. dereceden herhangi bir ters çevrilebilir kareyi tam kareye dönüştürmek için bir matris dönüşümü yapılır. Bu dönüşümün matrisi Şek. 5.16 .

H 11	bir 87	13 _	85 _	18 _	bir 82	16 _	bir 84
28 _	72 _	26 _	74 _	21 _	77 _	23 _	75 _
31 _	67 _	33 _	65 _	38 _	62 _	36 _	64 _
48 _	52 _	46 _	54 _	41 _	57 _	43 _	55 _
bir 81	17 _	bir 83	15 _	bir 88	12 _	bir 86	14 _
78 _	22 _	76 _	24 _	71 _	27 _	73 _	25 _
61 _	37 _	63 _	35 _	68 _	32 _	66 _	34 _
58 _	42 _	56 _	44 _	51 _	47 _	53 _	45 _

Vefk. 5.16

Şek . 5.17 , 8. mertebenin en basit ters çevrilebilir karesini gösterir ve şek.

5.18 Verilen matris dönüşümü ile ondan elde edilen tam kare.

bir	2	3	dört	5	6	7	sekiz
9	on	on bir	12	13	on dört	on beş	16
17	on sekiz	19	yirmi	21	22	23	24
25	26	27	28	29	otuz	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	elli	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

 

Vefk. 5.17

bir	63	3	61	sekiz	58	6	60
16	elli	on dört	52	9	55	on bir	53
17	47	19	45	24	42	22	44
32	34	otuz	36	25	39	27	37
57	7	59	5	64	2	62	dört
56	on	54	12	49	on beş	51	13
41	23	43	21	48	on sekiz	46	yirmi
40	26	38	28	33	31	35	29

 

Vefk. 5.18

Ters dönüşüm matrisini gösterelim. Orijinal tam kare B(by) matrisine sahip olsun. O zaman bu kareye karşılık gelen ters çevrilebilir kare, Şekil 2'de gördüğünüz C = q(B) matrisine sahip olacaktır . 5.19 .

- 163 -

b11 _	b56 _	b13 _	b58 _	b54 _	b17 _	b52 _	b15 _
b25 _	b62 _	b27 _	b64 _	b68 _	b23 _	b66 _	b21 _
b31 _	b ?b	b33 _	b78 _	b74 _	b37 _	b72 _	b35 _
b45 _	b82 _	b47 _	b84 _	b88 _	b43 _	b86 _	b41 _
b85 _	b42 _	b87 _	b44 _	b48 _	b83 _	b46 _	b81 _
b71 _	b36 _	b73 _	b38 _	b34 _	b77 _	b32 _	b75 _
b65 _	b22 _	b b7	b24 _	b28 _	b63 _	b26 _	b61 _
b51 _	b16 _	b53 _	18 _	b14 _	b57 _	b12 _	b55 _

 

Vefk. 5.19

Bu matris dönüşümünü Şekil 1'de gösterilen tam kareye uyguluyoruz. 5.7 . Sonuç olarak, Şekil 2'de gösterilen tersinir bir kare elde ederiz. 5.20 .

bir	2	3	dört	9	on	on bir	12
5	6	7	sekiz	13	on dört	on beş	16
17	on sekiz	19	yirmi	25	26	27	28
21	22	23	24	29	otuz	31	32
33	34	35	36	41	42	43	44
37	38	39	40	45	46	47	48
49	elli	51	52	57	58	59	60
53	54	55	56	61	62	63	64

 

Vefk. 5.20

Bu, 8. sıranın ikinci benzersiz ters çevrilebilir karesidir (ilk benzersiz ters çevrilebilir kare, Şekil 5.17'de gösterilmiştir , doğal sırayla sayılarla doldurulmuş en basit ters çevrilebilir karedir). Sekizinci dereceden beş benzersiz ters çevrilebilir kare daha gösterelim ( Şekil 5.21 - 5.25 ). Kalan üç benzersiz ters çevrilebilir kare, okuyucular tarafından bir araya getirilmeye davet edilir.

bir	2	3	dört	33	34	35	36
5	6	7	sekiz	37	38	39	40
9	on	on bir	12	41	42	43	44
13	on dört	on beş	16	45	46	47	48
17	on sekiz	19	yirmi	49	elli	51	52
21	22	23	24	53	54	55	56
25	26	27	28	57	58	59	60
29	otuz	31	32	61	62	63	64

Vefk. 5.21

- 164 -

bir	2	9	on	33	34	41	42
3	dört	on bir	12	35	36	43	44
5	6	13	on dört	37	38	45	46
7	sekiz	on beş	16	39	40	47	48
17	on sekiz	25	26	49	elli	57	58
19	yirmi	27	28	51	52	59	60
21	22	29	otuz	53	54	61	62
23	24	31	32	55	56	63	64

 

Vefk. 5.22

bir	2	3	dört	17	on sekiz	19	yirmi
5	6	7	sekiz	21	22	23	24
9	on	on bir	12	25	26	27	28
13	on dört	on beş	16	29	otuz	31	32
33	34	35	36	49	elli	51	52
37	38	39	40	53	54	55	56
41	42	43	44	57	58	59	60
45	46	47	48	61	62	63	64

 

Vefk. 5.23

bir	2	5	6	9	on	13	on dört
3	dört	7	sekiz	on bir	12	on beş	16
17	on sekiz	21	22	25	26	29	otuz
19	yirmi	23	24	27	28	31	32
33	34	37	38	41	42	45	46
36	36	39	40	43	44	47	48
49	elli	53	54	57	58	61	62
51	52	55	56	59	60	63	64

 

Vefk. 5.24

bir	2	5	6	17	on sekiz	21	22
3	dört	7	sekiz	19	yirmi	23	24
9	on	13	on dört	25	26	29	otuz
on bir	12	on beş	16	27	28	31	32
33	34	37	38	49	elli	53	54
35	36	39	40	51	52	55	56
41	42	45	46	57	58	61	62
43	44	47	48	59	60	63	64

 

Vefk. 5.25

gösterilen matris dönüşümüyle, ters çevrilebilir bir karenin bir tam kareye dönüşümünü daha gösteriyoruz . 5.16 . İlk kare olarak, Şekil 1'den tersinir kareyi alıyoruz . 5.21 . Şekil l' de tamamlanmış tam kareyi görüyorsunuz . 5.26 .

- 165 -

bir	63	3	61	36	otuz	34	32
40	26	38	28	5	59	7	57
9	55	on bir	53	44	22	42	24
48	on sekiz	46	yirmi	13	51	on beş	49
29	35	31	33	64	2	62	dört
60	6	58	sekiz	25	39	27	37
21	43	23	41	56	on	54	12
52	on dört	elli	16	17	47	19	45

 

Vefk. 5.26

Son olarak, sipariş 12 için matris dönüşümünü gösteriyoruz ( Şekil 5.27 ).

1.1 _	ben 12.11	1.3 _	12.9 yaşındayım	1.5 _	ben 12.7	ben 1.12	ben 12.2	ben 1.10	3 12.4	3 1.8	3 12.6
ben 2.12	ben 11.2	ben 2.10	ben 11.4	ben 2.8	ben 11.6	ben 2.1	3 11.11	ben 2.3	3 11.9	3 2.5	3 11.7
ben 3.1	ben 10.11	ben 3.3	ben 10.9	ben 3.5 yaşındayım	ben 10.7	ben 3.12	ben 10.2	ben 3.10	3 10.4	3 3.8	ben 10.6
ben 4.12	ben 9.2	ben 4.10	ben 9.4	ben 4.8	ben 9.6	ben 4.1	ben 9.11'im	ben 4.3	3 9.9	3 4.5	3 9.7
ben 5.1	ben 8.11	5.3 _	ben 8.9	ben 5.5	ben 8.7	ben 5.12	3 8.2	ben 5.10	3 8.4	3 5.8	3 8.6
ben 6.12	ben 7.2	ben 6.10	ben 7.4'üm	ben 6.8	ben 7.6'yım	bir 6.1 _	ben 7.11	ben 6.3'üm	3 7.9	3 6.5	3 7.7
ben 12.1	3 1.11	ben 12.3	ben 1.9	12.5 yaşındayım	ben 1.7	ben 12.12	ben 1.2	ben 12.10	3 1.4	3 12.8	ben 1.6
ben 11.12	ben 2.2	ben 11.10	ben 2.4	ben 11.8	ben 2.6	3 11.1	ben 2.11	3 11.3	3 2.9	3 11.5	ben 2.7
ben 10.1	ben 3.11	ben 10.3	ben 3.9	ben 10.5	ben 3.7	ben 10.12	ben 3.2	ben 10.10	3 3.4	3 10.8	ben 3.6
ben 9.12	ben 4.2	ben 9.10	ben 4.4	ben 9.8	ben 4.6	ben 9.1	ben 4.11	3 9.3	3 4.9	3 9.5	ben 4.7
ben 8.1'im	ben 5.11	ben 8.3	ben 5.9	ben 8.5	ben 5.7	ben 8.12	ben 5.2	3 8.10	3 5.4	3 8.8	ben 5.6
ben 7.12	3 6.2	ben 7.10	ben 6.4	ben 7.8	ben 6.6	ben 7.1	ben 6.11	3 7.3	3 6.9	3 7.5	ben 6.7

 

Vefk. 5.27

12. dereceden en basit ters çevrilebilir kare gösterilmemiştir çünkü okuyucular en basit ters çevrilebilir kareleri nasıl oluşturacaklarını zaten bilirler (bakınız Şekil 5.10 ve Şekil 5.17 ). Şek . 5.28 , en basit ters çevrilebilir kareden bu matris dönüşümüyle elde edilen 12 dereceli bir tam kareyi göstermektedir.

bir	143	3	141	5	139	12	134	on	136	sekiz	138
24	122	22	124	yirmi	126	13	131	on beş	129	17	127
25	119	27	117	29	115	36	110	34	112	32	114
48	98	46	100	44	102	37	107	39	105	41	103
49	95	51	93	53	91	60	86	58	88	56	90
72	74	70	76	68	78	61	83	63	81	65	79
133	on bir	135	9	137	7	144	2	142	dört	140	6
132	on dört	130	16	128	on sekiz	121	23	123	21	125	19
109	35	111	33	113	31	120	26	118	28	116	otuz
108	38	106	40	104	42	97	47	99	45	101	43
85	59	87	57	89	55	96	elli	94	52	92	54
84	62	82	64	80	66	73	71	75	69	77	67

Vefk. 5.28

- 166 -

Şimdi tam kareyi ters çevrilebilir kareye dönüştüren bir ters dönüşüm matrisi yapalım. Orijinal tam karenin B(bc) matrisine sahip olmasına izin verin, o zaman karşılık gelen ters çevrilebilir kare, Şekil 1'de gördüğünüz gibi C = q(B) matrisine sahip olacaktır . 5.29 .

b1.1 _	b7.8 _	b1.3 _	b7.10 _	b1.5 _	b 7.12	b 7.6	1.11 _	b7.4 _	b 1.9	b7.2 _	b1.7 _
b2,7 _	b8.2 _	b2,9 _	b8.4 _	b2.11 _	b8.6 _	b 8.12	b2.5 _	b8.10 _	b2.3 _	b8.8 _	b2.1 _
bh , 1	b9.8 _	3.3 _	b9.10 _	b3.5 _	b9.12 _	b9.6 _	b3.11 _	b9.4 _	b 3.9	b9.2 _	b3,7 _
b4.7 _	b10.2 _	b4.9 _	b10.4 _	b4.11 _	b10.6 _	10.12 _	b4.5 _	10.10 _	b4.3 _	b10.8 _	b4.1 _
5.1 _	b11.8 _	bd ,3	b11.10 _	bd ,5	11.12 _	b11.6 _	5.11 _ _	11.4 _	b 5.9	11.2 _	bd ,7
bb ,7	12.2 _	bb ,9	b12.4 _	bb ,11	b12.6 _	12.12 _	b6.5 _	b12.10 _	6.3 _	b12.8 _	6.1 _
12.7 _	bb ,2	b12,9 _	bb ,4	12.11 _	bb ,6	b 6.12	b12.5 _	b6.10 _	b12.3 _	b6.8 _	12.1 _
b11.1 _	b 5.8	b11.3 _	5,10 _	11.5 _	bd ,12	bd ,6	b11.11 _	bd ,4	11.9 _	bd , 2	11.7 _
10.7 _	b4.2 _	b10.9 _	b4.4 _	10.11 _	b4.6 _	b4.12 _	b10.5 _	b4.10 _	b10.3 _	b4.8 _	b10.1 _
b9.1 _	bh, 8	b9.3 _	b3.10 _	b9,5 _	b3.12 _	b3.6 _	b9.11 _	b3.4 _	b9.9 _	b3.2 _	b9.7 _
b8.7 _	2.2 _	8,9 _	b2.4 _	b8.11 _	b2.6 _	b2.12 _	b8.5 _	b2.10 _	b8.3 _	b2.8 _	b8.1 _
b7.1 _	b1.8 _	b7.3 _	1.10 _	b7.5 _	1.12 _	b1.6 _	b7.11 _	b1.4 _	b7.9 _	b1.2 _	b7.7 _

Vefk. 5.29

Bu dönüşümü Şekil 2'de gösterilen tam kareye uyguluyoruz.

5.2 . Karşılık gelen ters çevrilebilir kare Şek. 5.30 .

65	52	82	elli	49	67	66	84	83	51	81	68
29	16	46	on dört	13	31	otuz	48	47	on beş	45	32
25	12	42	on	9	27	26	44	43	on bir	41	28
21	sekiz	38	6	5	23	22	40	39	7	37	24
17	dört	34	2	bir	19	on sekiz	36	35	3	33	yirmi
73	60	90	58	57	75	74	92	91	59	89	76
69	56	86	54	53	71	70	88	87	55	85	72
125	112	142	110	109	127	126	144	143	111	141	128
121	108	138	106	105	123	122	140	139	107	137	124
117	104	134	102	101	119	118	136	135	103	133	120
113	100	130	98	97	115	114	132	131	99	129	116
77	64	94	62	61	79	78	96	95	63	93	80

Vefk. 5.30

Bu ters çevrilebilir karenin, 12. mertebenin en basit benzersiz karesinin (sırayla girilen sayılarla) oluşturduğu gruba dahil olmadığı açıktır. Bu karenin benzersiz olmadığı da açıktır. Aşağıdaki görevi önerebiliriz: grubu Şekil 2'nin karesi olan 12. mertebeden benzersiz bir kare oluşturmak . 5.30 .

n = 4k mertebesinde ters çevrilebilir bir kareyi tam kareye dönüştürmek için bir matris dönüşümü gösteriyoruz ( Şekil 5.31 ).

- 167 -

bir ben, ben	bir p, pi	ben , h	bir n, nz	...	bir p, k+i	bir ben, p	bir n,2	ben , p-2	bir n,4	...	bir i2,k
2 p	bir pi,2	s 2, s-2	bir pi,4	...	bir pi, k	, ben	bir pi, pi	, h	bir n-1, nz	...	bir pi, k+i
ah , ben	bir n-2, ni	bir h, h	bir n-2, nz	...	bir n-2,k+1	bir h, p	bir n-2.2	ah , n-2	bir n-2.4	.	bir n-2, k
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	.	.
bir k-2, p	bir + h,2	bir k-2, s-2	bir k+h,4	...	bir k + h, k	bir k-2, ben	bir k+z, pi	bir k-2, h	bir k + z, pz	.	bir k+z, k+1
bir ki, ben	bir k+2, ni	bir ki, h	bir k + 2, pz	...	bir k+2, k+i	bir ki, p	bir k + 2.2	bir ki, p-2	bir k + 2.4	.	bir k+2, k
bir k, p	bir k+i,2	bir k, p-2	bir k+i,4	...	bir k+i, k	bir k, ben	bir k+i,pi	bir k, h	bir k + 1, pz	.	bir k+i, k+i
bir p, ben	bir ben, pi	bir p,3	s 1, pz	...	bir ben, k+i	bir p, p	ben ,2	bir n, n-2	ben ,4	.	ben , k
bir pi, p	bir 2.2	bir n-1, n-2	2.4 _	...	bir 2, k	bir pi, ben	, pi	bir n-1, h	s 2, pz	.	2 ,k+i
bir n-2, ben	s 3, p-1	bir p-2, h	bir z, nz	...	bir h, k+i	bir n-2, n	h, 2	bir n-2, n-2	h, 4	.	bir h, k
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	.	.
bir k+3, p	bir k-2.2	bir k + z, n-2	bir k-2.4	...	bir k-2, k	bir k+h, ben	bir k-2, pi	bir + h, h	bir k-2, pz	.	bir k-2, k+1
bir k+2,i	bir ki, pi	bir k + 2, h	bir k-1, pz	...	bir ki, k+i	bir k+2, p	bir ki,2	bir k + 2, n-2	bir ki,4	.	bir ki, k
bir k+i, p	bir k,2	bir k+i,n-2	bir k,4	...	bir k, k	bir k+i, ben	bir k, pi	bir k+i,h	bir k, pz	.	bir k, k+i

 

Vefk. 5.31

Bu matrisi kullanarak, herhangi bir n = 4k mertebesinde ters çevrilebilir kareleri tam karelere dönüştüren bir matris dönüşümü yazabilirsiniz.

Görev sunulmuştur: ters dönüşüm matrisini genel biçimde derlemek.

5.3     GENEL LATİN KARE İLE YAPIM YÖNTEMİ

Burada ele alınan yöntem, okuyucuların zaten aşina olduğu Latin kareleri yöntemidir. Mükemmel bir sihirli kare oluşturmak için, bir çift ortogonal genelleştirilmiş Latin karesi oluşturulur. Yöntem [8]'e göre açıklanmıştır.

Bu yöntemdeki en önemli şey, ilk tamamlayıcı genelleştirilmiş Latin karesini oluşturmaktır. Birinci Latin karesine dik olan ikinci genelleştirilmiş Latin karesi, karenin merkezi etrafında saat yönünde 90 derece döndürülerek birinci kareden elde edilir. n = 4k düzenindeki ilk genelleştirilmiş Latin karenin yapımı şu şekilde gerçekleştirilir: karenin alt yarısının her satırı, ardışık olarak değişen sayılarla doldurulur i ve ni-1 , burada i , satırın seri numarasıdır ( satırlar, 0'dan n- bir'e kadar tam sayılarla aşağıdan yukarıya doğru numaralandırılır); karenin üst yarısı, simetrinin dikey ekseni etrafındaki yansıma ile alt yarısından elde edilir.

Bir çift ortogonal Latin karesinden sihirli bir kare oluşturma formülü de okuyuculara aşinadır. Ancak bu formülü hatırlıyoruz. İlk Latin karesinin öğelerini gösterelim a y , ikinci Latin karesinin öğeleri - b c , o zaman tam kare C y'nin karşılık gelen her bir öğesi aşağıdaki formülle elde edilir:

e _{c \} u003d n * bir _y + b _y + 1

Bu formüldeki birinci ve ikinci Latin karelerinin eşit olduğuna, yani birbirlerinin değiştirilebileceğine dikkat edin.

Somut örnekler kullanarak açıklanan yöntemi gösterelim. Minimum mertebeden n = 4 olan bir kare ile başlayalım .

Şek . 5.32 , ilk genelleştirilmiş Latin karesini görüyorsunuz, şek. 5.33 - ikincisi ve şek. 5.34 - 4. mertebenin tam tam karesi.

- 168 -

2	bir	2	bir
3	0	3	0
bir	2	bir	2
0	3	0	3

 

Vefk. 5.32

0	bir	3	2
3	2	0	bir
0	bir	3	2
3	2	0	bir

 

Vefk. 5.33

9	6	12	7
16	3	13	2
5	on	sekiz	on bir
dört	on beş	bir	on dört

 

Vefk. 5.34

Aşağıdaki, 8. dereceden bir kare için [8] (s. 119)'dan bir örnektir. Şek . 5.35 , şekil 1'de ilk genelleştirilmiş Latin karesini gösterir . 5.36 - ikincisi ve şek. 5.37 8. mertebenin tamamlanmış tam karesini görüyorsunuz.

dört	3	dört	3	dört	3	dört	3
5	2	5	2	5	2	5	2
6	bir	6	bir	6	bir	6	bir
7	0	7	0	7	0	7	0
3	dört	3	dört	3	dört	3	dört
2	5	2	5	2	5	2	5
bir	6	bir	6	bir	6	bir	6
0	7	0	7	0	7	0	7

Vefk. 5.35

 

0	bir	2	3	7	6	5	dört
7	6	5	dört	0	bir	2	3
0	bir	2	3	7	6	5	dört
7	6	5	dört	0	bir	2	3
0	bir	2	3	7	6	5	dört
7	6	5	dört	0	bir	2	3
0	bir	2	3	7	6	5	dört
7	6	5	dört	0	bir	2	3

Vefk. 5.36

- 169 -

33	26	35	28	40	31	38	29
48	23	46	21	41	on sekiz	43	yirmi
49	on	51	12	56	on beş	54	13
64	7	62	5	57	2	59	dört
25	34	27	36	32	39	otuz	37
24	47	22	45	17	42	19	44
9	elli	on bir	52	16	55	on dört	53
sekiz	63	6	61	bir	58	3	60

 

Vefk. 5.37

Daha önce de belirtildiği gibi, tam kareler, simit üzerindeki paralel ötelemeler altında mükemmel kalır. Şekildeki kareye uygulayın . 5.37 simit üzerinde 1 rakamından başlayarak kareye dönüştürmek için paralel öteleme dönüşümü . Ortaya çıkan tam kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 5.38 .

bir	58	3	60	sekiz	63	6	61
40	31	38	29	33	26	35	28
41	on sekiz	43	yirmi	48	23	46	21
56	on beş	54	13	49	on	51	12
57	2	59	dört	64	7	62	5
32	39	otuz	37	25	34	27	36
17	42	19	44	24	47	22	45
16	55	on dört	53	9	elli	on bir	52

Vefk. 5.38

Başka bir örneğe bakın - düşünülen yöntemle 12. dereceden bir tam karenin yapımı. Şek . 5.39 İlk genelleştirilmiş Latin karesini görüyorsunuz. İkinci Latin karesi bu örnekte gösterilmemiştir, okuyucular

ilk Latin karesini saat yönünde 90 derece bağımsız olarak döndürmek sağlanır.  

6	5	6	5	6	5	6	5	6	5	6	5
7	dört	7	dört	7	dört	7	dört	7	dört	7	dört
sekiz	3	sekiz	3	sekiz	3	sekiz	3	sekiz	3	sekiz	3
9	2	9	2	9	2	9	2	9	2	9	2
on	bir	on	bir	on	bir	on	bir	on	bir	on	bir
on bir	0	on bir	0	on bir	0	on bir	0	on bir	0	on bir	0
5	6	5	6	5	6	5	6	5	6	5	6
dört	7	dört	7	dört	7	dört	7	dört	7	dört	7
3	sekiz	3	sekiz	3	sekiz	3	sekiz	3	sekiz	3	sekiz
2	9	2	9	2	9	2	9	2	9	2	9
bir	on	bir	on	bir	on	bir	on	bir	on	bir	on
0	on bir	0	on bir	0	on bir	0	on bir	0	on bir	0	on bir

Vefk. 5.39

- 170 -

Şek . 5.40 , verilen bir ortogonal genelleştirilmiş Latin kare çiftinden oluşturulmuş 12. dereceden bir tam kareyi göstermektedir.

73	62	75	64	77	66	84	71	82	69	80	67
96	59	94	57	92	55	85	elli	87	52	89	54
97	38	99	40	101	42	108	47	106	45	104	43
120	35	118	33	116	31	109	26	111	28	113	otuz
121	on dört	123	16	125	on sekiz	132	23	130	21	128	19
144	on bir	142	9	140	7	133	2	135	dört	137	6
61	74	63	76	65	78	72	83	70	81	68	79
60	95	58	93	56	91	49	86	51	88	53	90
37	98	39	100	41	102	48	107	46	105	44	103
36	119	34	117	32	115	25	110	27	112	29	114
13	122	on beş	124	17	126	24	131	22	129	yirmi	127
12	143	on	141	sekiz	139	bir	134	3	136	5	138

Vefk. 5.40

1 ile başlanarak torus üzerine aktarılabilir .

Tarif edilen yöntemin programlanmasının kolay olduğu açıktır. Programa göre, herhangi bir düzende mükemmel bir kare oluşturabilirsiniz.

(3 6)'da salınım yöntemini kullanarak tam kareler oluşturmak için orijinal bir yöntem verilmiştir.

Tüm seviyeyi yan yana bazı mükemmel karelerin kopyalarıyla döşerseniz, mükemmel bir seviye elde edersiniz. Bu seviyede, belirli bir sıradaki herhangi bir sınırlandırılmış kare mükemmel olacaktır. Mükemmel düzlem bölüm 3.2'de tartışılmaktadır.

5.4     MÜKEMMEL KARE DÖNÜŞÜMLERİ

Daha önce belirtildiği gibi, tam kareler, temel dönüşümler ve simit üzerindeki paralel ötelemeler altında mükemmel kalır. Tam kareleri tam karelere dönüştüren başka bir dönüşüm daha vardır, toplama dönüşümü (bkz. bölüm 3.3). Bir örnek gösterelim. Şekil 2'nin tam karesine tümleyeni eklemek için dönüşümü uygulayalım . 5.37 . Sonuç olarak, böyle bir tam kare elde ederiz ( Şekil 5. 41 ):

32	39	otuz	37	25	34	27	36
17	42	19	44	24	47	22	45
16	55	on dört	53	9	elli	on bir	52
bir	58	3	60	sekiz	63	6	61
40	31	38	29	33	26	35	28
41	on sekiz	43	yirmi	48	23	46	21
56	on beş	54	13	49	on	51	12
57	2	59	dört	64	7	62	5

Vefk. 5.41

- 171 -

Ayrıca, benzersiz yapıları nedeniyle tam karelerde başka dönüşümler de mümkündür. Tam kareler, sayıların toplamı aynı olan 2x2 bloklardan oluşur. Bu nedenle, tam karelerde, 2x2 bloklarda satırların (sütunların) permütasyonu, 2x2 blokların köşegenlerindeki sayıların permütasyonu, 2x2 blokların kendi permütasyonları gibi dönüşümler mümkündür. Bu dönüşümleri gösterelim. Dönüşümleri göstermek için, Şekil 8'de gösterilen 8. dereceden bir tam kare alıyoruz . 5.42 .

bir	16	17	32	53	60	37	44
63	elli	47	34	on bir	6	27	22
3	on dört	19	otuz	55	58	39	42
61	52	45	36	9	sekiz	25	24
12	5	28	21	64	49	48	33
54	59	38	43	2	on beş	on sekiz	31
on	7	26	23	62	51	46	35
56	57	40	41	dört	13	yirmi	29

 

Vefk. 5.42

Dönüşüm 1. 2x2 bloklarda kolonların permütasyonu. Dönüşüm, orijinal karedeki sütunları yeniden düzenlemeye eşdeğerdir. Bu dönüşümün sonucu olarak elde edilen tam kare Şekil 2'de gösterilmiştir . 5.43 .

16	bir	32	17	60	53	44	37
elli	63	34	47	6	on bir	22	27
on dört	3	otuz	19	58	55	42	39
52	61	36	45	sekiz	9	24	25
5	12	21	28	49	64	33	48
59	54	43	38	on beş	2	31	on sekiz
7	on	23	26	51	62	35	46
57	56	41	40	13	dört	29	yirmi

 

Vefk. 5.43

Dönüşüm 2. 2x2 bloklarda hatların permütasyonu. Bu dönüşüm, orijinal karedeki dizeleri yeniden düzenlemeye eşdeğerdir. Ortaya çıkan tam kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 5.44 .

63	elli	47	34	on bir	6	27	22
bir	16	17	32	53	60	37	44
61	52	45	36	9	sekiz	25	24
3	on dört	19	otuz	55	58	39	42
54	59	38	43	2	on beş	on sekiz	31
12	5	28	21	64	49	48	33
56	57	40	41	dört	13	yirmi	29
on	7	26	23	62	51	46	35

Vefk. 5.44

- 172 -

Dönüşüm 3. 2x2 blokların köşegenlerindeki sayıların permütasyonu. Bu dönüşüm, 2x2 bloklardaki satır ve sütunların eşzamanlı permütasyonuna veya orijinal karedeki satır ve sütunların permütasyonuna eşdeğerdir. Yeni tam kare şekil l'de gösterilmiştir. 5.45 .

elli	63	34	47	6	on bir	22	27
16	bir	32	17	60	53	44	37
52	61	36	45	sekiz	9	24	25
on dört	3	otuz	19	58	55	42	39
59	54	43	38	on beş	2	31	on sekiz
5	12	21	28	49	64	33	48
57	56	41	40	13	dört	29	yirmi
7	on	23	26	51	62	35	46

Vefk. 5.45

Dönüşüm 4. Şimdi tüm blokları yeniden düzenliyoruz; Şekil l'deki orijinal karenin her köşe karesinde 4x4 . 5.42 Her iki köşegendeki bloklar yeniden düzenlenir. Bu dönüşümün sonucu olarak elde edilen tam kare Şekil 2'de gösterilmiştir . 5.46 .

19	otuz	3	on dört	39	42	55	58
45	36	61	52	25	24	9	sekiz
17	32	bir	16	37	44	53	60
47	34	63	elli	27	22	on bir	6
26	23	on	7	46	35	62	51
40	41	56	57	yirmi	29	dört	13
28	21	12	5	48	33	64	49
38	43	54	59	on sekiz	31	2	on beş

Vefk. 5.46

Dönüşüm 5. Bu dönüşümde 2x2 bloklar da şu şekilde yeniden düzenlenir: köşe blokları karenin diyagonal çizgileri boyunca yeniden düzenlenir, merkezi 4x4 karede bloklar da diyagonal çizgiler boyunca yeniden düzenlenir. Ortaya çıkan tam kare Şekil 2'de gösterilmektedir . 5.47 .

46	35	17	32	53	60	on	7
yirmi	29	47	34	on bir	6	56	57
3	on dört	64	49	28	21	39	42
61	52	2	on beş	38	43	25	24
12	5	55	58	19	otuz	48	33
54	59	9	sekiz	45	36	on sekiz	31
37	44	26	23	62	51	bir	16
27	22	40	41	dört	13	63	elli

Vefk. 5.47

Dönüşüm 6. Daha sonra, Şekil 1'den uygun mükemmel kareyi elde edeceğiz . 5.47 . Sütunları tekrar 2x2 bloklar halinde yeniden düzenleyin;

- 173 - 8x8 karenin kendisindeki sütunları yeniden düzenlemeye eşdeğerdir. Şekil l' deki yeni tam kareye bakın . 5.48 .

35	46	32	17	60	53	7	on
29	yirmi	34	47	6	on bir	57	56
on dört	3	49	64	21	28	42	39
52	61	on beş	2	43	38	24	25
5	12	58	55	otuz	19	33	48
59	54	sekiz	9	36	45	31	on sekiz
44	37	23	26	51	62	16	bir
22	27	41	40	13	dört	elli	63

 

Vefk. 5.48

Dönüşüm 7. Şekil ile aynı karede sıraları 2x2 bloklar halinde yeniden düzenleyelim . 5.47 . Bu dönüşüm, bu karedeki dizelere izin vermeye eşdeğerdir. Yeni tam kare Şekil 1 de gösterilmiştir . 5.49 .

yirmi	29	47	34	on bir	6	56	57
46	35	17	32	53	60	on	7
61	52	2	on beş	38	43	25	24
3	on dört	64	49	28	21	39	42
54	59	9	sekiz	45	36	on sekiz	31
12	5	55	58	19	otuz	48	33
27	22	40	41	dört	13	63	elli
37	44	26	23	62	51	bir	16

Vefk. 5.49

Dönüşüm 8. Ve son dönüşüm: Şekil 2'deki aynı karede 2x2 blokların köşegenleri boyunca sayıların permütasyonu . 5.47 . Dönüşüm, 2x2 bloklardaki satırları ve sütunları aynı anda yeniden düzenlemeye veya karenin kendisindeki satırları ve sütunları yeniden düzenlemeye eşdeğerdir. Ortaya çıkan kare, Şekil 2'de gösterilmektedir . 5.50 .

29	yirmi	34	47	6	on bir	57	56
35	46	32	17	60	53	7	on
52	61	on beş	2	43	38	24	25
on dört	3	49	64	21	28	42	39
59	54	sekiz	9	36	45	31	on sekiz
5	12	58	55	otuz	19	33	48
22	27	41	40	13	dört	elli	63
44	37	23	26	51	62	16	bir

Vefk. 5.50

Böylece, açıklanan dönüşümleri kullanarak, bir tam kareden sekiz yeni tam kare elde ettik ( Şekil 5.42).

"Artı-eksi ..." gibi tam kareler ve dönüşümler için mümkündür. İki örnek alalım. İlk örnekte, 8 dereceli iki tam kare

- 174 - basit bir artı veya eksi 8 dönüşümü ile bağlanır. Şek . 5.51 orijinal tam kareyi gösterir.

bir	16	17	32	elli	63	34	47
62	51	46	35	13	dört	29	yirmi
5	12	21	28	54	59	38	43
58	55	42	39	9	sekiz	25	24
on beş	2	31	on sekiz	64	49	48	33
52	61	36	45	3	on dört	19	otuz
on bir	6	27	22	60	53	44	37
56	57	40	41	7	on	23	26

Vefk. 5.51

Şek . 5.52 , bir artı veya eksi 8 dönüşüm matrisini gösterir.

		+8	+8			-sekiz	-sekiz
		-sekiz	-sekiz			+8	+8
		+8	+8			-sekiz	-sekiz
		-sekiz	-sekiz			+8	+8
		+8	+8			-sekiz	-sekiz
		-sekiz	-sekiz			+8	+8
		+8	+8			-sekiz	-sekiz
		-sekiz	-sekiz			+8	+8

Vefk. 5.52

Bu matris dönüşümünü Şekil 2'deki kareye uyguluyoruz. 5.51 , sonuç tam bir karedir ( Şekil 5.53 ):

bir	16	25	40	elli	63	26	39
62	51	38	27	13	dört	37	28
5	12	29	36	54	59	otuz	35
58	55	34	31	9	sekiz	33	32
on beş	2	39	26	64	49	40	25
52	61	28	37	3	on dört	27	38
on bir	6	35	otuz	60	53	36	29
56	57	32	33	7	on	31	34

 

Vefk. 5.53

İkinci örnekte, “artı-eksi ..Y' birleşik dönüşümünü düşünün. Orijinal tam kare aynıdır ( Şekil 5.51 ). Dönüşüm matrisi, Şek. 5.54 .

- 175 -

				+3	-3	+3	-3
+1	-bir	+1	-bir	-2	+2	-2	+2
-2	+2	-2	+2	+1	-bir	+1	-bir
+3	-3	+3	-3
-3	+3	-3	+3
+2	-2	+2	-2	-bir	+1	-bir	+1
-bir	+1	-bir	+1	+2	-2	+2	-2
				-3	+3	-3	+3

Vefk. 5.54

Böyle güzel bir dönüşüm, orijinal kareyi Şek. 5.51 , şek. 5.42 .

Tam kareler tam köşegen olduğundan, satırların ve/veya sütunların standart permütasyonu onlara uygulanır (bkz. bölüm 3.8). Bu dönüşüm aynı zamanda mükemmel bir kareyi mükemmel bir kareye dönüştürür. Bir örnek gösterelim. Standart dizi permütasyonunun dönüşümünü Şekil 1'deki tam kareye uygulayalım . 5.53 . Dönüştürülen tam kare, Şek. 5.55 .

bir	16	25	40	elli	63	26	39
56	57	32	33	7	on	31	34
on bir	6	35	otuz	60	53	36	29
52	61	28	37	3	on dört	27	38
on beş	2	39	26	64	49	40	25
58	55	34	31	9	sekiz	33	32
5	12	29	36	54	59	otuz	35
62	51	38	27	13	dört	37	28

Vefk. 5.55

Son olarak, evrensel bileşik kareler yönteminin tam kareler oluşturmak için uygun olmadığını belirtelim. Bir örnek verelim. Şekil l'de gösterilen 4. dereceden aynı tam kareyi alalım . 5.56 .

bir	sekiz	on	on beş
12	13	3	6
7	2	16	9
on dört	on bir	5	dört

Vefk. 5.56

Şek . Şekil 5.57'de, Şekil 5.57'deki kareyi bölerek bileşik kare yöntemi kullanılarak oluşturulmuş 16. dereceden bir sihirli kare görüyorsunuz . 5.56

- 176 -

bir	sekiz	on	on beş	113	120	122	127	145	152	154	159	225	232	234	239
12	13	3	6	124	125	115	118	156	157	147	150	236	237	227	230
7	2	16	9	119	114	128	121	151	146	160	153	231	226	240	233
on dört	on bir	5	dört	126	123	117	116	158	155	149	148	238	235	229	228
177	184	186	191	193	200	202	207	33	40	42	47	81	88	90	95
188	189	179	182	204	205	195	198	44	45	35	38	92	93	83	86
183	178	192	185	199	194	208	201	39	34	48	41	87	82	96	89
190	187	181	180	206	203	197	196	46	43	37	36	94	91	85	84
97	104	106	111	17	24	26	31	241	248	250	255	129	136	138	143
108	109	99	102	28	29	19	22	252	253	243	246	140	141	131	134
103	98	112	105	23	on sekiz	32	25	247	242	256	249	135	130	144	137
110	107	101	100	otuz	27	21	yirmi	254	251	245	244	142	139	133	132
209	216	218	223	161	168	170	175	65	72	74	79	49	56	58	63
220	221	211	214	172	173	163	166	76	77	67	70	60	61	51	54
215	210	224	217	167	162	176	169	71	66	80	73	55	elli	64	57
222	219	213	212	174	171	165	164	78	75	69	68	62	59	53	52

Vefk. 5.57

Bu sihirli kare tam köşegendir, ancak mükemmel değildir. Bu sihirli karenin 4. dereceden 16 geleneksel olmayan tam kareden oluştuğunu belirtmek ilginçtir.

SONSÖZ

Sevgili okuyucular!

Sorularınızı, yorumlarınızı, önerilerinizi paіаіішаки @uapyeh.gi adresine veya ^^^.kiazzikroeh.pagoy.gi sitesinin Ziyaretçi Defteri'ne göndermenizi rica ediyorum. Kitabı beğendiyseniz, arkadaşlarınıza ve tanıdıklarınıza anlatın.

Kitap, burada bulabileceğiniz tek tek makalelerin materyali temel alınarak yazılmıştır: Ііір:/Д\лѵ\ѵ.kіа88Іkroeh.pagos1.гіі/ціаѵпаі a. evet

Yayıncı kitabın hacmini sınırladığı için tüm materyaller kullanılmadı. Bu kitabın devamını yazabilirsin, bir tane bile değil.

Belirtmek gerekir ki, kitap daktilo edilirken ve basımı için müzakereler devam ederken (maalesef sonuçsuz kaldı), bu arada Latin kare yöntemini derinlemesine inceliyordum ve bu konuda bir dizi makalem vardı. "Latin kare yönteminin yeni yönleri" konusu (tüm makaleler web sitesinde yayınlanmaktadır). Bu çalışmalar aynı anda Latin karelerine, özellikle sihirli kareler oluşturmak için gereken ortogonal Latin kare çiftlerini oluşturmaya yönelik yöntemlere değindi. Bu nedenle, çalışma başlığı "Latin Kareler" olan başka bir kitabın yayınlanmasını öneriyorum. Bu konuda Rusça'da neredeyse hiç literatür yok ve bu nedenle önerilen kitap kitap pazarında büyük talep görecek.

Tüm yayıncılara ve yayıncılara, önerilen kitapların sihir ve Latin kareleri üzerine yayınlanması konusunu ele alma önerisiyle hitap ediyorum.

Saygılarımla, Natalya Makarova

- 177 -

15               Şubat 2009

Saratov

EDEBİYAT

Açıklama: Metinde köşeli ve yuvarlak parantez içinde göndermeler kullanılmıştır. İlki basılı olarak yayınlanan (yayınlanan) kitap ve makaleleri, ikincisi web sitelerini ifade eder.

[1]     Evet. V. Uspensky. Seçilmiş Matematiksel Eğlenceler. - Yayınevi "Saaier", 1924

[2]     BA Kordemsky. Matematiksel zeka. - M.: Devlet teknik ve teorik literatür yayınevi, 1957

[3]     MM Postnikov. Sihirli kareler. - E.: Nauka, 1964

[4]     NM Rudin. Sihirli kareden satranca. M.: Fiziksel kültür ve spor, 1969

[5]     Gözler. Gurevich. Kadim tılsımın sırrı. - E.: Nauka, 1969

[6]     Martin Gardner. Matematiksel gevşeme. - E.: Mir, 1972

[7]     Genç bir matematikçinin ansiklopedik sözlüğü. - E.: Pedagoji, 1989

[8]     Yu. V. Chebrakov. Sihirli kareler. Sayı teorisi, cebir, kombinatoryal analiz.

- St. Petersburg'da: St. Petersburg Eyaleti. teknoloji. üniversite, 1995

[9]     Yu. V. Chebrakov. Sihirli matrisler teorisi. TMM-1'in piyasaya sürülmesi. - St. Petersburg: 2008 (kitabın elektronik versiyonu: IIr :

[10]     M. Gardner. Zaman yolculuğu. - M.: Mir, 1990. Kitabın elektronik versiyonu: Yіr://riY.1іb.sh/AKSNІVЕ8/Ѳ/VAKOYEK Maі1ip/Рііе8Е8іѵіе vo ѵgeshepі.%20%5ьфіѵ%5П .gіr

[11]     Oripeg. M. Madis sdiagens ve ipuçları. Sİ. 17 ip Tіte Tgaѵei apb O1Ier MaіIeshaGіsaІ VekhѵіІcІetіeiіK \e\v Wark: \. N. Geeshap, 1988.

[12]     Mssipiosk, E. (1897) 1. sho81 kayıtlarında! Gogsh8 oG shadis 8diage8, xvііk shelIoY8 Gog 1Iіg rgobisіop. Ashegisap Zoigpai oG Ma1Iesha1іs8 19 s. 99-120

[13]     Paui S. PasIe8 (2001) TIe Eo81 sdiage8 ve Ir. Erapcipip. Ashegisap MaiіIeshaGіsaІ MopіIIu 108(6), r. 489-511. Elektronik sürüm: ІШр:/Дѵ\ѵ\ѵ.ра8Іе8.ogts/Іtapkііp.Іі1ипі

[14]     OIIerep8Ya^, K. (1986) 'sho81 regGes!' hakkında ve 'soshreie' 8 x 8

ProceeFn§8 oG 1Ie Koyai 8osie1u oG Eopion A407, s. 259 - 281

[15]     KaіllІeep OІIIerep8Іа^ herhangi bir Javiіy Bgee, Mo81-regHes1 RapFadopaІ Madis 8diage8, Іn81і1u1e ve Ma1Iesha1іс8 anpi і18 Appriica1іop8, 1988, 0-9060X

[16]     Іap 81е\ѵаг1, МіЕшаГісаІ Kesgea1іop8 coіishp, 8сіеп1іГіс Ashegіsap, Kasım. 99, s.122-123

[17]     S. Wgadbop (1936). Egapkiіp 16x16 Madіs 8diagé, 8сgir1a Ma1Iesha1іsa 4, r. 158-159.

[18]     V. Ko88er, K. Shaiker. Gieogu yaboiis shadis 8ciage8'i bağlayın. Pique Ma!I. Jogpai, 5, 1939, s. 705-728.

[19]     Raii S. Pa8e8 (2001). TIe Eo81 8diage8 ve Ig. Erapcipip. Ategisap MaіketaiсaіMopMy 108(6), 489-511. Elektronik sürüm: I11r://^^^.pa8Іe8.ogd/EgapkІіp.I1shІ .

[20]     ,BEN.\\. Vgo^n ve diğerleri. Sohrіeiіop ve 1Ie 8res1gish ve OgіIodopaІ Iiadopaі Eaiіp 8diag8.

[20a] K.GK Abel ve diğerleri. Tigee shiiiiiaiu ogіIodopaI іbeshroіep! Eaiip 8diag8 oG ogbeg8 22 apb 26.

[20b] Sorog AE \\T.8TEI<\ MAY0AEA8 OG TKAH8EOKMATIOX

[20c] 81ip8up. Eaip8diag8.

WEB SİTELERİ

- 178 -

(21)      1111p:/lu\y\y.81egeo.hyLy11aP8\y11a1.p11p?aWc1e ic!254

(22)      b11p://e1esep!yy/yod8/d8er8/e2a1edip/31255

(23)      Gözler. Gurevich. Kadim tılsımın sırrı. Y11r://1e1e8shі.pagoy.gi/shu81іs/118shp002.y1sh

(24)      Yіr://uuu.1tishr.ye/shadіs-8diage8/koushapu.Ysh1

(25)      N. Makarova. İlişkisel sihirli kareler.

Yіr://uuu.k1a88іkroe2.pagoy.sh/a88os.sh

(26)      N. Makarova. Sihirli kare dönüşümler (bölüm I).

yip://yyy.paia1ishak1.pagoy.sh/prgeobrga2.sh

(27)      N. Makarova. Sihirli kare dönüşümler (bölüm II).

Yir://yyy.paia1ishak1.pagoy.sh/prgeobrga21.sh

(28)      N. Makarova. Bir satranç şövalyesinin hareketiyle tek sıralı ideal ve ilişkisel karelerin inşası. Yіr://uuu.k1a88іkroe2.pagoy.sh/yoikopesh.ysh

(29)      N. Makarova. Sihirli kareler oluşturma yöntemleri (bölüm III).

Yіr://uuu.paіa1іshak1.pagoy.sh/neіoyu3.Ysh

(30)      N. Makarova. Konsantrik sihirli kareler.

Yir://uuu.paia1ishak1.pagoy.sh/sopsepI.sh

(31)      Mo81-Per1ec1 Madis 8diage8. Yіr://uuu.ceosіііе8.sosh/~yagѵeuy/sho8і-regGesі.Ysh

(32)      N. Makarova. Tersinirlerin tek sıralı ideal karelerinin yapımı

kareler. b11p://yyy.k1a88іkroe2.pagoy.gi/obrga1іy.d1sh

(33)      N. Makarova. Tek sıralı ve 9'un katları olan pandiagonal kareler.

Yіr://yyy.k1a88іkroe2.pagoy.sh/Mea19.Ysh

(34)      N. Makarova. Mükemmel kareler. salıncak yöntemi.

Yip://yyy.k1a88іkroe2.pagoy.sh/Mea1ob.sh

(35)      N. Makarova. Mükemmel Sihirli Küpler (bölüm IV).

Yіr://uuu.k1a88іkroe2.pagoy.sh/8оѵеr8й3.ыsh

(36)      N. Makarova. Mükemmel Sihirli Küpler (Bölüm II).

Y11r://uuu.k1a88іkroe2.pagoy.gi/8oѵer8y1.y1sh

(37)      N. Makarova. Frenicle ve diğer eski ustaların planına göre kare bina.

Yir://yyy.k1a88іkroe2.pagoy.sh/Ggepik1.ysh

(38)      N. Makarova. Genelleştirilmiş Latin kareleri kullanarak tam kareler oluşturma yöntemi. Yіr://uuu.k1a88іkroe2.pagoy.sh/1аІ8оѵ.Ыш

(39)      ,(40) N. Makarova. Hücresel sihirli kareler.

b11p://^^^.pa1aiitak. pagoy.sh/8оиоѵ.ыш

(41)      N. Makarova. Sihirli karelerin büyülü dünyası.

b11p://yyy.k1a88іkroe2.pagoy.gi/d1aѵshaia.y1sh

(42)      Bilimsel forum. Yip://yhyy.sh/іorіs15897.Ysh1, Yіr://yhyy.sh/Іorіs12959.Ysh1

(43)      Yir://shaіyyug1y.yоItash.sosh/Machs8diag.ysh1

(44)      N. Makarova. Ortak petek kare yöntemi.

b11p://yyy.pa1a1іshak1.pagoy.gi/8o1ov1.y1sh

(45)      N. Scriabin, V. Dubovskoy. Sihirli kareler.

Іu1p: /lu\u\u.s1ііbou8koy.ne1/ML(IS/tacis ⁽⁾ -()2080.s1os

(46)      N. Makarova. Franklin Kareleri. Yіr://yyy.k1a88іkroe2.pagoy.sh/Ghapk1іp.Ysh

(47)      N. Makarova. Franklin karelerinin komple setleri.

Yіr://uuu.paіa1іshak1.koshrit.Ysh

(48)      y11p://yyy.deosі1іe8.sosh/~ya^vey/o^de^41І81.y1sh#Ѳ^oirI

(49)      Y11p://vaya.1іѵe)oigpa1.sosh/45317.k1sh1?shoye=her1y

(50)      N. Makarova. Mükemmel Sihirli Küpler (Bölüm I).

Yіr://uuu.k1a88іkroe2.pagoy.sh/8оѵеr8И.Ыш

- 179 -

İÇİNDEKİLER

önsöz

Bölüm 1. Giriş tanımları

Bölüm 2

Bölüm 3

3.1               Temel dönüşümler

3.2               torik dönüşümler

3.3               ek al

3.4               M dönüşümü

3.5               Dönüşümlerin matris formu

3.6               Dize-eğik dönüşüm

3.7               Üç kare dönüşüm

3.8               Satırların ve/veya sütunların standart permütasyonunun dönüştürülmesi

3.9               İlişkili karelerde satır ve/veya sütun permütasyon dönüşümü Bölüm 4. Sihirli kareler oluşturma yöntemleri

4.1.               Tek sıralı sihirli karelerin yapımı

4.1.1                                             Hint (Siyam) yöntemi

4.1.2                                              teras yöntemi

4.1.3                                              Moscopula yöntemi (at yöntemi)

4.1.4                                              Alfil yöntemi

4.1.5                                              Delair Yöntemi (Latin Kare Yöntemi)

4.1.6                                              Sınırlı ikinci dereceden yöntem

4.1.7                                              Ters çevrilebilir kare yöntemi

4.1.8                                              Bileşik kare yöntemi

4.2.               Çift sıralı sihirli kareler oluşturma yöntemleri

4.2.1                                             Kare kutu yöntemi

4.2.2                                              Gül Topu Yöntemi

4.2.3                                              Latin kare yöntemi

4.2.4                                              Petek kare yöntemi

4.2.5                                              Sınırlı ikinci dereceden yöntem

4.2.6                                              Bileşik kare yöntemi

4.3.               Çift-tek sıralı sihirli kareler oluşturma yöntemleri

4.3.1                                             Dört kare yöntemi

4.3.2                                              Sınırlı ikinci dereceden yöntem

4.3.3.                                             Petek kare yöntemi

4.3.4                                              Latin kare yöntemi

4.3.5                                              Ters çevrilebilir kare yöntemi

4.3.6                                              Bileşik kare yöntemi

4.4.               Yarı sihirli karelerin inşaatı

4.4.1                                             Franklin'in algoritması

4.4.2                                              Latin kare yöntemi

4.4.3                                              Bileşik kare yöntemi

4.5.               Geleneksel olmayan sihirli karelerin inşaatı

4.5.1                                             teras yöntemi

4.5.2                                              Greko-Latin karelerin kullanımı

4.5.3                                              Genelleştirilmiş Latin kareleri kullanın

4.5.4                                              Bileşik kare yöntemi

Bölüm 5

5.1. Tam karelerin tanımı

5.2               Ters çevrilebilir karelerden tam kareler yapımı

5.3               Ortak Latin karelerini kullanan yapım yöntemi

- 180 -

5.4               Tam kare dönüşümler

 

---

[1]² + 14 ² + 7 ² + 12 2 = 390

15 ² + 4 ² + 9 ² + 6 ² = 358

Not: Bazen Büyük Dosyaları tarayıcı açmayabilir...İndirerek okumaya Çalışınız.

Benzer Yazılar