ESKİ Tılsımın GİZEMİ

E.Ya.GUREVICH

Matematik öğretenlere י matematik öğretenlere matematiği sevenlere י matematiği sevebileceğini henüz bilmeyenlere

Bu kitap, antik çağlardan bize gelen “sihirli kareler” hakkındadır. Hindistan'da ve diğer bazı ülkelerde sihirli kareler tılsım olarak kullanılıyordu. Yazar, sihirli karelerin şaşırtıcı özelliklerini açıklayan kalıp arayışının tarihini anlatıyor. Kullandığı temel analiz yöntemi, yalnızca sayı kuramından bilinen bazı sihirli karelerin genel özelliklerini tamamlamayı değil, aynı zamanda şimdiye kadar bilinmeyen kare türlerini bulmayı da mümkün kıldı.

sorumlu editör

I. B. POGREBYSSKY

2-2-1

BÖLÜM

ESKİ DÜNYANIN ELÇİLERİ

Çağların karanlığından

Avrupa'da XIV.Yüzyılda veya onaltıncı yüzyılda ortaya çıktılar ... Görüşler farklı. Ama ne olursa olsun eski günlerdi.

Avrupa'da ortaya çıkmalarından önce bile yüzyıllar ve on yüzyıllar boyunca var oldular. Eski uygarlıklardan hangisinin anavatanı olduğu bilinmemektedir. Memleket bilinmez, yüzyıl bilinmez, milenyum bile tam olarak saptanamaz.

Sadece bu tılsımların çağımızdan önce ortaya çıktığı ve anavatanlarının Eski Doğu olduğu biliniyor.

Eski zamanlarda, saymayı öğrenen insanlar, nicelik ölçüsünü - sayıyı öğrendiler. Sayı kombinasyonlarına bakıldığında, sayıların bir tür bağımsız yaşama sahip olduğunu, şaşırtıcı ve gizem dolu olduğunu hayretle gördüler; gizemler açıklanamaz ve bu nedenle gizemli ve anlamlıdır.

Farklı numaralar ekleyerek aynı numarayı alabileceğiniz ortaya çıktı. Ayrıca, sayıları düzenli sıralar halinde alt alta yerleştirerek, şans durumunda, sayıları soldan sağa ve yukarıdan aşağıya toplayarak her seferinde aynı sayıyı elde etmenin mümkün olduğu ortaya çıktı. Sonunda birisi, sayıları satırlara bölme fikrini ortaya attı, böylece her sayı, bir kuş evindeki kuşlar gibi, ayrı bir kafeste kaldı. Böylece inisiyeler, sayıların yaşadığı bir kare gördüler, kimse sahibine ne vaat ettiğini bilmiyor, ama elbette büyülü güçlere sahip. Bir taşa keski ile kare oyulabilir, parşömene kamışla yazı yazılabilir, gevşek ve zayıf bir kağıda, ezilmiş mürekkebe batırılmış bir fırçanın ucuyla çizilebilirdi.

Meydan inananlara satılabilirdi. Bir tılsımın içine dikildiğinde bir tılsım olur ve (elbette!) Sahibini tüm kötülüklerden korur. Meraklı bir düşünceyle ortaya çıkan gizemli kare, peştemallik bir kumaş parçası ya da koyun yağında gözleme gibi bir metaya dönüştü. Mallar tüccarın yanındadır ve tüccar, gürültülü bir doğu pazarının tenha bir köşesinde, yarı karanlık niş bir dükkanda delikli bir hasırın üzerinde oturmuş alıcısını beklemektedir. (Gözlerin açıkken rüya gördüğünde neyi göremezsin?)

Ve işte alıcı. Uzun görüşmelerden sonra çıplak ayaklı ziyaretçi kirli sarığın ucunu çözer, hazine sahibine bir çift bakır para verir ve gıpta ile bakılan bir parşömen parçası alır. Üzerinde özensiz el yazısıyla peygambere dua yazılıyor ve gizemli ve her şeye gücü yeten sihirli bir kare tasvir ediliyor. Saygın bir iş adamının babası, dedesi, büyük dedesi gibi tasvir edilmiş, elinde kalem tutmasını bilse...

Tarihin yavaş temposu. Eski devletler yüzyıllardır var olmuştur. Birçoğu ortadan kayboldu, diğerleri gelişmelerini durdurdu. Ancak sayıların büyüsü unutulmadı. Araplar bunu zaten biliyorlardı. Sonunda, Engizisyon yangınlarına rağmen, feodal Avrupa'ya girdi. Manastırların hücrelerinde, kasaba evlerinin kör pencerelerinin ardında, bilim adamları düzinelerce eski yazı ve incelemeyi incelediler. Ancak aralarında henüz gizemli sihirli kareler üzerine bir makale yoktu.

Son olarak heyecandan titreyen ellerde bir takım nadide buluntular var. Tabanda üç hücreli sihirli bir karenin tanımlandığı ve yazarından bahsedildiği, sekizinci yüzyılın sonlarına ait bir Arapça el yazması bulunur - neo-Pisagorcu bir filozof olan Tyana'dan Yunan Apollon. Çağımızın başında yaşadı. Ama tüm sihirli karelerin en eskisinin yaratıcısı o değildi. Sadece kendisinden yüzyıllar önce bilinenleri yeniden keşfetti.

Dokuz kareden oluşan sihirli kare yine on ikinci yüzyılda yaşamış İspanyol Yahudisi, filolog ve şair İbn Ezra veya Aben Ezra'nın bir incelemesinde bulundu. Matematik ve bunlardan birinde sihirli kareler de dahil olmak üzere (bize ulaşmayan) birçok eser yazdı.

İbn Ezra, onuncu yüzyılda birçok Arap matematikçinin yazılarında sihirli karelere örnekler verdiğini bilmiyordu.

Görünüşe göre, sihirli kareler üzerine günümüze ulaşan ilk çalışma, Bizans dilbilgisi uzmanı ve sözlükbilimci Manuel Moshopoulos tarafından yazılmıştır. (Artık filolog ve dilbilimci olarak anılacaktı.) Mocxopoulos'un çalışmaları yaklaşık 1300'e kadar uzanıyor. Tabanda çeşitli sayıda hücre ile hesapladığı birçok sihirli kare yayınladı. Ayrıca tek kareler ve dördün katları da vardı. Ayrıca Mocxopoulos, tabanında altı kare ve on kareden oluşan bir kare örneği verdi.

Çağdaşımız Fransız matematikçi A. Aubry, Moshopoulos'un eserlerinden bahseden tarihi denemesinde melankoli, oluşturduğu 10×10 hücrelik karenin hata içerdiğini not eder. Belki. Ancak Moshopoulos'un çalışması, sihirli kareler üzerine yazılan ilk özel yazıydı. Bunu, önde gelen bilim adamları, modern bilimin kurucuları da dahil olmak üzere eski ve modern matematikçilerin yüzlerce başka çalışması izledi .

Batı Avrupa'da sihirli kareler üzerine yazılan ilk çalışma, 15. yüzyıldan kalma bir Alman el yazmasıydı. Tabanda 5 hücreli bir kareyi tanımlar.

XVI yüzyılın başında. sihirli kare sanatta ölümsüzleştirildi. Ünlü Alman ressam ve oymacı Albrecht Dürer, 1514 yılında "Melankoli" adını verdiği bir gravür yayınladı. Gravürün arka planında, şehirli kadın kılığına girmiş kanatlı kadın figürünün üzerinde 4 x 4 hücreli sihirli kare yer almaktadır. Gravürü yorumlayanların hepsi bu kareden bahsediyor ama aralarındaki farklar çok büyük. Alman matematikçi W. Ahrens, Dürer'in gravüründeki sihirli karenin, tıpkı top ve çokyüzlünün geometriyi simgelemesi gibi, basitçe aritmetiği simgelediğine inanıyordu. Bu açıklama çok ilkel. Dürer gibi derin bir düşünür, tasvir ettiği nesnelerde bilimin, zanaatın veya sanatın sadece zahiri işaretlerini görmüş gibi görünmüyor. Ve elbette, Dürer'in sihirli karenin bu özel versiyonunu seçmesi, alt satırda ortadaki iki sayının (15 ve 14) birlikte gravürün basım tarihini vermesi değildir.

Daha da ilginci, yurttaşımız ve çağdaşımız Cecilia Nesselyptraus tarafından Dürer üzerine yazılan yeni (1961) monografide verilen kapsamlı tarihsel araştırmaya dayanan yorumdur. Antik çağlardan Dürer zamanına kadar, farklı mizaçlara sahip insanların farklı gezegenlerin etkisi altında olduğu öğretisi korunmuştur. Neşeli iyimser insanlar, Jüpiter ve Venüs gezegenleri tarafından korunur. Cesur kolerik insanlar, Mars gezegeninin himayesi altındadır. Flegmatik insanlar Ay tarafından yönetilir. Dengesiz melankolikler, belirsiz bakışlarını gökyüzüne kaldırarak, üzerinde kasvetli gezegenleri Satürn'ü görürler.

Dürer'in zamanında melankolikler, deha sınırında yeni yeteneklerle anılmaya başlandı. Dürer'in gravüründeki güzel kadın Melancholia muhtemelen insan düşüncesinin, insan emeğinin dehasını temsil ediyor. Melankolik Satürn gezegeni tarafından tehdit edilen odur.

Ama neden Melancholia'yı korumak için Durer 16 hücreli sihirli bir kare aldı da başka hücre almadı?

Cevap, Nettenheim'dan Alman hümanist Heinrich Cornelius Agrippa'nın sayıların büyüsü üzerine yazdığı bir denemede görülebilir. “Gizli Felsefe Üzerine” başlığını taşır. Bu makale Kopernik'in ölümünden sadece 10 yıl önce yayınlandı. Kopernik'in çalışmaları hakkında hiçbir şey bilmeyen ve astrologların görüşlerini izleyen Agrippa, Ptolemy'nin antik kozmogonisini kullandı; dünyanın merkezinde - Dünya; etrafında, eski Çin oyması fildişi toplar gibi iç içe geçmiş göksel küreler var. Her kürede : bir gezegen. İçeride ay var. Sonraki - Merkür, Venüs, Güneş, Mars, Jüpiter ve dışta - Satürn. (Gezegenler arasında Cıyna ve Güneş de sayıldı.) Satürn'ün küresinin ötesinde iki göksel küre daha vardı. Bunlardan birinde sabit yıldızlar yaşıyordu. Jüpiter ve Satürn gezegenleri, eski Yunan mitlerinden Olimpiyat tanrıları - onu mağlup eden Satürn ve Jüpiter arasındaki düşmanlığı miras alarak birbirleriyle düşmanlık içindedirler.

Agrippa çalışmasında tabanında 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 hücreli yedi sihirli kare tanımladı. Karelerin sayısı, Batlamyus gezegen kürelerinin sayısına eşit olacak şekilde seçildi. Agrippa bu karelere "gezegen tabloları" adını verdi. Agrippa, her "gezegen tablosunu" yedi gezegenden biriyle ilişkilendirdi. Tabanda üç hücreli bir kare, üçüncü, dışarıdan sayılan, Satürn gezegenini taşıyan küre, dört hücreli bir kare - Jüpiter gezegeninin bulunduğu bir sonraki küre vb.

Dürer'in kanatlı Genius'unu korumak için neden tam olarak 16 hücrelik bir kare aldığı burada ortaya çıkıyor. Jüpiter, Satürn'ü tekrar yenmek zorunda kaldı.

Agrippa, "gezegen masalarının" nasıl inşa edileceği konusunda herhangi bir yol göstermedi, ancak bunların çeşitli metallerden plakalara veya disklere kazınmasını ve muska gibi takılmasını tavsiye ediyor. Bu "gezegensel madalyaların" çoğu zamanımıza kadar geldi ve farklı boyutlardaki sihirli karelerin ilk versiyonlarıyla tanışmayı mümkün kıldı.

Bir doktor ve doğa bilimci olan Agrippa'nın çağdaşı, efsanevi Paracelsus (Philip Aureol Theophrastus Bombast von Hohenheim'ın takma adı) tarafından sihirli karelerde yalnızca mistik bir anlam görüldü.

Agrippa ve Paracelsus'un eserlerinin sayfalarından yayılan mistik sise rağmen, bazı çağdaş matematik eserlerinde sihirli kareler söz konusu olduğunda yeni notalar duyulmaya başlar. Böylece, Alman matematikçi Stiefel'in 1544'te yayınlanan "Tam Aritmetik" adlı çalışmasında, bazı sihirli karelerde, aynı zamanda sihirli bir kare olan bir orta kısmın ve onu çevreleyen bir hücre genişliğinde bir çerçevenin ayırt edilebileceği belirtilmektedir . . Bu, sihirli karelerin matematiksel biçiminin analizinin ilk örneğiydi. Bir asır sonra, Frenicle, Pascal, Fermat, Apno gibi büyük matematikçiler yine sihirli kareler hakkında yazdılar. Yazıları, sihirli karelerin ikinci, yeni yaşamının başlangıcını işaret ediyordu.

Sadece eğlenceli mi!

1624'te Lyon'da Bachet'nin (Claude Gaspard Bachet de Meziriac) bir kitabı basıldı. Basche'nin kitabının başlığı "Sayılarla Yapılan Eğlenceli ve Tatlı Görevler" idi. İçinde yeni bir kılıkta sihirli kareler belirdi - matematiksel eğlence. Sayıların mistisizmi sona ermiş gibiydi.

Basche, tabanında 10, I ve 12 hücre bulunan sihirli kareler oluşturmak için yöntemler verdi. Ayrıca, daha önce bahsedilen notlarda A. Aubry'yi "yanlış bir şekilde kendi adını taşıyan tuhaf sihirli kareler oluşturmanın zarif bir grafik yöntemi" olarak tanımladı. Görünüşe göre Bache, tek kareler oluşturmanın eski yollarından birini de yeniden keşfetti. Görünüşe göre, eski Hint tek kareleri bu şekilde oluşturulmuştur. Aynı yöntem, daha önce Basche tarafından 1562'de Venedik'te yayınlanan P. Spinul'un çalışmasında tarif edilmişti. 1599'da Madrid'de Diego Palomino'nun bir derleme yöntemi verdiği bir kitabı yayınlandı. 16 × 16 hücreli sihirli kare, Bashé'nin tüm çift kareler için verdiğiyle aynı.

Bu koşullar, sihirli kareler üzerinde daha sonraki çalışmalar üzerinde büyük etkisi olan Basche'nin kitabının değerini azaltmaz.

Sayılar teorisinin kurucularından biri olan ünlü Fransız matematikçi Pierre de Fermat, Basche ile neredeyse aynı anda sihirli kareleri derleme sorunu üzerinde çalıştı. Fermat, Nisan 1640'ta P. Mersenne'e yazdığı bir mektupta sihirli kareler hakkında şunları yazdı: "Aritmetikte, bazıları tarafından "gezegensel" ve diğerleri tarafından "sihir" olarak adlandırılan bu sayılardan daha güzel bir şey bilmiyorum." Fermat, sihirli kareler oluşturmak için genel bir yöntem geliştirdi.

Ünlü Blaise Pascal, fizikçi, matematikçi ve filozof, okulda okuyan herkes "Pascal yasası"nı (sıvının içindeki basınçla ilgili) nasıl afeτopa bilir. 1654'te Pascal, sihirli kareler üzerine incelemesini tamamladı. Onları Stiefel'in kullandığı şekilde inşa etti. XVII yüzyılın sonunda. Fransız matematikçiler Arno, Ozanam ve Simon de Lalubeur'un sihirli kareler üzerine çalışmaları yayınlandı.

Aynı zamanda, Fransız akademisyen Bernard Freinikl de Bessy sihirli kareler üzerine iki makale yazdı. Bunlar, kendisi tarafından Paris'teki Kraliyet Bilimler Akademisi'ne sunulan el yazısıyla yazılmış raporlardı. İlk kez matematikçi Lyagir'in sıkıntıları sonucu ancak 1693'te, Frenicle'ın ölümünden 18 yıl sonra yayınlandılar. Lyagir olmasaydı, Frenicle'ın eserlerinin Kraliyet Akademisi arşivlerinde kaç yıl kalacağı bilinmiyor. Hatta garip. Nitekim gelecekte Frenicle'ın çalışmaları birkaç kez yeniden basıldı. Bir durum dikkatleri üzerine çeker. Moskova'daki Lenin Kütüphanesi'nin eski bir cildi var. 230 yaşın üzerindedir. Bu, iki yazarın denemelerinden oluşan bir derlemedir. Koleksiyonun başında mimar-akademisyen François Blondel'in "Mimarlığın dört temel görevinin çözümü" adlı eseri yer alıyor. Ardından Frenicle'ın dört matematiksel çalışması gelir; ikisi sihirli kareler hakkında.

O zamanın birçok bilimsel çalışması, sadece bilimsel çalışmalar değil, bazı soylu kişilere kölece ithaflarla başladı. Akademik mimar Blondel, bakan ve dışişleri bakanı olan, o zamanlar her şeye gücü yeten Colbert'e kapsamlı bir ithaf derlemeyi avantajlı buldu. Frenicle'ın dört eserinin hiçbiri bu türden bir şey içermiyor. Belki Frenicle de Bessy iktidardaki insanların himayesini aramadı? Belki de matematiksel problemler geliştirirken, sadece bir asilzadenin lütfuyla artmayacak olan işinin değerini düşündü? Bu yüzden mi Frenicle, ölümünden sonra bile Kraliyet Akademisi'ndeki meslektaşlarının ilgisini çekmedi?

Ancak Frenicle'ı çeken, görüşlerin sorunlu bağımsızlığı değildir. Kırılgan sayfaları çevirdiğinizde, bir bilim adamı-çalışan imajı giderek daha net bir şekilde ortaya çıkıyor. Kapsamlı hesaplamalar yapma ihtiyacı, o zamanın genel koşulları tarafından belirlendiği için değildi. Frenicle sevgisi, özellikle “Dörtte Sihirli Karelerin Genel Tablosu” adlı çalışmasında belirgindir (tabandaki hücreler. - E. G.). Frenicle, 16 hücrede 880 çeşit sihirli kareyi hesaplayan ve inşa eden tek matematikçiydi ve olmaya devam ediyor. Tablo kitabın 43 sayfasını kaplar. Frenicle'ın bu işi ne kadar sürdüğünü hayal etmek zor. Zor çünkü zamanımızda ve 17. yüzyılda. aynı sorunun çözümleri tamamen farklı görünüyor. Bu fark, gerçek bir örnek görmeden hayal edilemez.

Burada, örneğin, Frenicle'ın "Kârın Kuralı Üzerine Soru" adını verdiği "Hesaplamalar Listesi" incelemesinden bir problem var.

“Bir adam 100'de 5 kâr ve kârdan 5 kâr elde etmek için 32 yıl katlamak üzere bankaya bir düka koydu. Soru, sermaye stokunun ne kadar artacağı ve sonunda kârın ne olacağıdır. bu sefer.”

Şimdiye kadar olağandışı bir şey yok: zamanımızda bu, bileşik faiz için basit bir sorundur. Uğultu ile ilgili en ilginç şey, 17. yüzyıl matematikçisinin bu sorunu nasıl çözdüğü.

Frenicle önce, yılın kârının sabit sermayenin 1/20'si olduğunu ve bu nedenle yıl sonunda sermayenin orijinalin 21/20'si olacağını söylüyor .

g441 21 21

İkinci yılın sonunda, “tUv'den ” 5 ∩ ∙ : == 7 ∩∩'ye eşit olacaktır.

esas olan (Aynı zamanda Frenicle, hesaplamaları kısaltmak için 32 yıllık süreyi seçtiğini açıklıyor. 31 ile çarpmak yerine, önceki nispi sermaye büyüklüğünü sadece dört kez daha fazla kareliyor.) 4'ten sonra. yıl, diye devam ediyor Frenicl, sermaye 194.441         q         37.822.859.361         yfβ olacak

wδδ5 - ana olandan;         8 yıl         sonra :         25600000 000         ;         16 yıl         sonra         :

1 430 568 690 241 985 328 321         π         rt4         o

000 000 000 000 000 360 655 ־         •         Ayrıca         F ₽ EnikL şöyle yazar:         3a32         r °A a         he

"         2 046 526 777 500 669 368 319 342 638 102 622 164 679 041

ana olanı 42g 4g6 72g 60 θ 0 θθ θ 0 θ 0 θθ θ 0 θ θθ 0 θ 0 θ θ 0 θ θ 0 θ 0 θθ 0 θθ kez aşar, bu da 4γ ducattan biraz fazladır. kar 3

* dukattan biraz fazla olacak , yani sabit sermayenin neredeyse dört katı olacak. Bunu takiben Frenicle, kesrin hem payını hem de paydasını 32 basamakla atmanın mümkün olacağına ve sonucun bundan çok az değişeceğine dikkat çekiyor.

Mesele şu ki, artık okulda kendisine öğretilenleri unutmayan herhangi bir kişi 32 değil 40 karakteri atacak ve bir sayma cetvelinde yaklaşık 205'i 43'e bölerek birkaç saniye içinde daha doğru bir sonuç alacak. : 4.78. Şimdi, genel olarak, hiç kimse kesirlerin karesini beş kez almaz, ancak bir logaritma tablosu kullanırdı.

Frenicle neden onları kullanmadı? Logaritma o zamanlar icat edilmemiş miydi? Hayır, ilk logaritma tabloları (başlangıçta - sinüsler, kosinüsler ve teğetler için) Scot Napier ve Swiss Burgh tarafından bağımsız olarak derlendi, Frenicle henüz bir okul çocuğuyken, ardından İngiliz Brigg sıradan için ilk logaritma tablolarını yayınladı. sayılar. Sonunda, Brigg'in çalışmasına devam eden Hollandalı Vlakk, yalnızca 173 hata içerecek kadar mükemmel logaritma tabloları yayınladı ^[1]. Bu 1628'deydi. Frenicle o zamanlar sadece 23 yaşındaydı.

En kolayı, Frenicle'ın logaritma gibi yeni bir bilgisayar tekniğini kullanma yönteminin sunumuyla uğraşmak istemediğini varsaymak en kolayıdır. Zorunlu olarak ayrıntılı, bileşik faizin ana konusunu belirsizleştirir. Hantal hesaplamalara gelince, bunlar Frenicle'ı korkutmadı. Bir matematikçinin olağan basit işiydi.

Ama Frenicle gerçekten de bileşik faizi yalnızca ikinin bir kuvveti olarak mı seçmeye zorlandı? Hiçbir şey olmadı. Ayrıca, 33 yıllık kârın hesaplanması gerekiyorsa, 32 yıllık sonucun ־|jj ile, 34 yıllık ise bir kez daha 4Jθ- ile çarpılması gerektiğini yazıyor. Ve işi kolaylaştırmak için, daha önce yapıldığı gibi pay ve paydadaki 32 haneyi atın.

Bunların hepsi doğrudur, ancak ya mevduat sahibi tek dükasını örneğin 27 yıllığına faiz olarak borç vermek isterse? O zaman 16 yıllık kesri 8 yıllık kesirle çarpmak gerekecek ve sonuç

21

ile üç kez daha çarpın. Bu tür hesaplamaların 17. yüzyılda kabul edilebilir olması mümkündür, ancak farklı ülkelerdeki bu kadar çok insanın neredeyse aynı anda logaritma tabloları hesaplaması boşuna değildir. Sadece astronomlar tarafından ihtiyaç duyulmuyordu.

16 hücredeki sihirli kareler tablolarından önce Frenicle'ın "Sihirli Kareler veya Tablolar Üzerine" makalesi geldi. İçinde, tabanda 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12 ve 14 kareler bulunan sihirli kareler oluşturmanın yollarını veriyor. Frenicle, tabanda 4 hücre bulunan 880 sihirli karenin tamamının gruplara bölünmesiyle ilgili ilginç bir argümanla tabloları sonlandırıyor. Burada ayrıca, yalnızca tek bir şekilde inşa edilmiş, tabanında 5 ve 6 hücreli sihirli karelerin varyantlarının sayısını da hesaplıyor. Gelecekte, birçok bilim adamı, 19. ve 20. yüzyılın başında, St.Petersburg Bilimler Akademisi'nin ilgili bir üyesi olan Profesör Ermakov da dahil olmak üzere, sihirli karelerin varyantlarının sayısının hesaplanmasıyla uğraştı.

1705'te, Paris'te, daha önce bahsedilen Philippe de Laguire'nin çalışması, “Gösterileriyle Sihirli Kareler Üzerine Yeni Yazıtlar ve Düşünceler” yayınlandı. Tabanda çift sayıda hücre bulunan sihirli karelerin yazıtları”. Bu çalışma özellikle ilginçtir çünkü Lyagir ilk önce "pan-magic" adını verdiği özel bir sihirli kare türünü düşündü ve tanımladı. Eşit toplamlı sayıların en büyük sayısını içerir. Gelecekte, bu tür karelere "şeytani", "şeytani", "şeytani", "kabalistik", "süperbüyü" de deniyordu. Modern Fransız yazarların bu kareler için farklı ve basit bir adı var, "mükemmel". Burada kullanılacaktır.

Eğlence ya da bilim!

Fermat, Frenicle ve çağdaşlarından başlayarak, sihirli kareler üzerine yazılar matematiksel eğlence niteliğini yitirmiştir. Sihirli kareler teorisi, genel sayılar teorisinin gelişmesiyle aynı anda gelişir ve onun dalı olur.

Zamanımıza ne kadar yakınsa, sihirli karelerle uğraşan büyük bilim adamlarının isimleri o kadar fazladır. "Yıldırımı yakalayan" ünlü Franklin onlara haraç ödedi, ancak her şeyden önce, doğuştan İsviçreli olan Leonhard Euler olarak adlandırılmalıdır. Rusya onun ikinci evi oldu.

Euler, St. Petersburg, Berlin, Londra, Paris, Torino, Leipzig, Vlissingen, Basel ve diğer akademilerde akademisyen seçildi. Euler'in ölümünden sonra Rusya Bilimler Akademisi 79 yıl boyunca onun daha önce yayımlanmamış makalelerini yayımlamaya devam etti. 800'den fazla eser yazdı. Artık Euler'in matematik, mekanik, malzemelerin mukavemeti vb. teoremleri ve problemleriyle karşılaşmayacak bir öğrencimiz yok. Gerçekten de Euler, modern bilimin temellerini atanlardan biriydi.

Sayı teorisinde de çok şey yaptı. Defterlerinin altıncısı (1754-1757 dolaylarında), sayı teorisi üzerine birçok not içerir. Sihirli karelere yaklaşık 30 sayfa ayrılmıştır. 1776'da Euler, Sihirli Kareler Üzerine adlı makalesini tamamladı. 1782'de yeni çalışması "Yeni bir tür sihirli karelerin araştırılması" yayınlandı. Sayısal değil, harf karelerini inceledi.

Sihirli kareler (Pumacher ile yazışmalarda) ve büyük Alman matematikçi Gauss'a haraç ödedi.

On dokuzuncu ve yirminci yüzyılın başları, sihirli kareler üzerine yapılan çalışmalar açısından özellikle zengindir. Analizleri için, o zamana kadar derinlemesine geliştirilen sayılar teorisi, özellikle de uyum teorisi kullanıldı. Sihirli kareler yaratmanın düzinelerce dahice yolu var. Sihirli karelerin analizi genişler ve derinleşir: sihirli küpler hesaplanır; sayısal çizgiler, düzlemler, üç veya daha fazla boyutlu uzaylar analiz edilir. Sihirli kareler toplamlarla değil, sayıların çarpımlarıyla ele alınır; sayıların kuvvetleri toplamları eşit çıkan kareler. Daha önce adı geçen profesör V. Ahrens tarafından sihirli kareler üzerine derlenen çalışmaların (koleksiyon ve dergilerdeki kitaplar ve makaleler) ayrıntılı kronolojik listesi yüzlerce başlık içerir. Sadece 10 yıl boyunca, 1901'den 1910'a kadar, tüm Batı Avrupa dillerinde ve hatta Japonca'da 50 eserin yazarları ve başlıkları belirtilmiştir. 1911'den 1918'e kadar 8 yıl boyunca sihirli kareler üzerine 30'dan fazla eser yayınlandı.

E. Casalas'ın 1933'te Paris'te yayınlanan sihirli kareler üzerine temel çalışmasında, ^[2]sihirli kareler üzerine yapılan çalışmaların büyük bir kronolojik listesi de var. Bu listeye bakılırsa, 1918'den ve Casalas'ın kitabının yayınlanmasından bu yana sihirli kareler üzerine onlarca makale yayınlandı. Aralarında özellikle ilgi çekici olan, 1930'da 68 yaşındaki Alman matematikçi F. Fitting tarafından gerçekleştirilen, tabanda 4 ve 8 hücreli sihirli karelerin sayısının hesaplanmasıdır. (Bu hesabın başlangıcı Prof. Ermakov'un 1895 yılında yaptığı çalışma ile örtüşmektedir. O ve F. Fitting'in çalışması daha sonra ele alınacaktır.)

Son 80-100 yılda, okuyucuyu sayılar dünyasından matematiksel meraklarla, oyunlar ve problemlerle eğlendirmeyi amaçlayan ve basit bir ustalık kadar özel bilgi gerektirmeyen popüler kitapların sayısı artıyor. Bu kitapların çoğu sihirli karelerle ilgili bölümler içerir. Bununla birlikte, tam da bu bölümlerde, popüler açıklama, özellikle karşılaştırma teorisini kullanan oldukça karmaşık analiz yöntemlerine yol açar. Tekrar tekrar yayınlanan eğlenceli matematik kitaplarının yabancı yazarları arasında adı geçen W. Ahrens ve Alman matematikçi W. Litzmann [17] bulunmaktadır.

Ancak mesele yabancı yazarlarla sınırlı değil. 19. yüzyılın sonunda ve yüzyılımızın başında, Euler zamanından beri süren uzun bir aradan sonra, Rus bilim adamları tarafından yazılan sihirli kareler üzerine çalışmalar ortaya çıkmaya başladı. 1884'te mühendis M. Frolov'un "Euler Problemi ve Sihirli Kareler" adlı kitabı ve bunu çok sayıda çözümle gösteren bir atlas St. Petersburg'da yayınlandı.

1895 yılında Kazan matematikçisi I. Iznoskov sihirli kareler konusunda bir rapor yayınladı. Yazarın bu raporla ilgili özeti, 1896'da Kazan Üniversitesi Fizik-Matematik Derneği'nin İzvestia'sında yayınlandı. Bu raporda I. Iznoskov, Fransız bilim adamı Gabriel Arnoux'nun “Grafik Aritmetik” kitabının içeriğini özetliyor. Supermagic aritmetik uzaylar”. (Arnu'nun kitabı 1894'te Paris'te yayınlandı.) Arnu'nun kitabından bahseden İznoskov, onunla ve M. Frolov ile tartışıyor. Ocak 1914'te Kazan Üniversitesi'ndeki aynı "Toplum", I. Iznoskov'un yeni çalışması "Tam Sayısal Kareler" üzerine bir makale yayınladı. Ayrıca “Sihirli Kareler Kullanarak Çok Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü” adlı ayrı bir çalışma yazdı. I. Iznoskov'un eserlerinde, sayısal sihirli karelere daha genel bir gerçek (cebirsel) biçim vermek için ilginç girişimler var.

1884-1885'te. Sihirli kareler üzerine bir dizi makale, Kiev Üniversitesi Profesörü, St. Petersburg Bilimler Akademisi Sorumlu Üyesi V. P. Ermakov tarafından yazılmıştır. Bunları Journal of Elementary Mathematics dergisinde yayınladı. İşte isimleri: "Tam sihirli kareler", "On altı hücreli orta sihirli kareler", "On altı hücreli normal sihirli kareler". V. Ermakov'un makalelerinde, birkaç sözde "yardımcı" kare ekleyerek sihirli kareler oluşturmak için Euler yöntemi kullanılmış ve sihirli karelerin varyantlarının sayısı hesaplanmaya çalışılmıştır.

1924'te akademisyen Ya. V. Uspenskii'nin sayılar teorisinden bazı soruları ele alan bir kitabı yayınlandı [10]. Sihirli karelere ayrı bir bölüm ayrılmıştır. Eğlenceli adına rağmen sunumun katı bir matematiksel formu var.

1954'ten 1963'e kadar 9 yıl boyunca, Sovyet matematikçi B.A. Kordemsky'nin sihirli kareler üzerine bir bölüm içeren “Matematiksel ustalık” kitabının 7 baskısı yayınlandı.

Son olarak, 1964 yılında, M. M. Postnikov'un ilk yerli özel kitap olan “Sihirli Kareler” adlı bir broşürü yayınlandı.

Sihirli kareler hakkında bir kitap. Karşılaştırma teorisi, kitaptaki analizleri için kullanılır.

Zamanımızda sihirli karelere olan ilgiyi ne belirliyor? E. Casalas'ın "Sihirli Kareler" kitabına bir giriş niteliğinde olan tarihsel makalenin daha önce adı geçen yazarı A. Aubrey'nin fikrini vermesine izin verin. Çeviride, çiçekli Fransızca dili biraz kaybediyor, ancak sonuçta mesele üslubun güzelliğinde değil.

“... Bir teorinin değeri, yalnızca tasarlandığı pratik kullanım olasılığıyla değil, aynı zamanda zihnimizi eğitme, ona yaşamını sürdüren beslenmeyi sağlama, yeni gerçekler arama yeteneğiyle belirlenir. her yerde ve dışarıdan yardım almadan anlamlarını öğrenin. . Bu açıdan bakıldığında, derin bilgi gerektirmeden sihirli karelerin incelenmesi, yerleştirme, kombinasyon, simetri, sınıflandırma, genelleme vb. Fikirlerini anlama yeteneğini geliştiren mükemmel bir zihin jimnastiğidir ... Denilebilir bu zihin jimnastiğinin, zihnin eğitildiği ince teorik yapıları içerdiğini.

Öte yandan, sayıların uçsuz bucaksız dünyasında, aritmetiğin büyüsü, yalnızca öngörülen rotadan sapmamaya ve her durumda bu konuda uzun yorumlardan ve felsefi söylemlerden kaçınmaya özen gösteren turistlerin ziyaret ettiği bir vaha olmayacaktır. Konuya yaklaşımı kolaylaştıracak ve uzun bir çözüm arayışını ortadan kaldıracaksa, onlardan kaçınmayacağız (E. Casalas - E. G. kitabında ). Bu, teoriyi ilerletecek, eski sırrını ortaya çıkaracak ve eski moda zarafetini ortaya çıkaracaktır. Sihirli karelerin içerdiği, tekrar eden ve çeşitlenen doğal güzellik, aşıkları cezbetmek ve elde tutmak için yeterlidir. ."

İyi dedi Aubrey! Sadece matematikçiler için zor olmayan analiz yönteminin, biçiminin, karmaşıklığının uzman olmayan biri için engel olabileceğini eklemek gerekir. Karşılaştırma teorisi temelinde yazılan sihirli kareler üzerine bir kitabın okuyucunun oldukça yüksek bir matematik kültürüne sahip olmasını gerektirdiği bir durumda zaten söylenmişti.

Bununla birlikte, karşılaştırma teorisinin aygıtı olmadan birçok kitap yazılmıştır, bu kitap onlardan biri olsun. Elbette, sihirli kareler oluşturmak için iyi bilinen basit yöntemleri dikkate almak gerekir. Ama aynı zamanda yeni olacak. Bu, bazı problemlerin çalışmasında bir araya geldi. Sadece nihai sonuçlar vermek yeterli olmayacaktır. İşin kendisinden bahsetmek gerekir - aramalar, başarısızlıklar, bulur. Bu yöntem, araştırmacının "kara" çalışmasını gerçek haliyle göstermenizi sağlayacaktır. Ve bu, uzman olmayan bir okuyucu için bireysel özel ayrıntılardan daha ilginç olabilir.

İlk buluşma

İşte sihirli kare:

	onbir	24	7	20	3	cn         sl sl sl
	4	12	25	8	10
	17	S	13	21	9
	10	18	1	14	22
	23	6	19	2	DIR-DİR
65^	!Hasta 65 65         65 65 65					x ∖ 5

Örnek olarak daha büyük bir kare almak mümkündü, ancak onunla çalışmak daha zor. Tabanda 3 veya 4 hücreli daha küçük bir kare almak mümkündü ama bu kareler özel ve hemen daha detaylı ve yavaş incelemek daha keyifli. Neden, kendinizi genel bir tanıdık ve 25 hücrelik kareler için sınırlayamazsınız. Hala üzerinde çalışılmaları gerekecek. Bu arada, böyle bir kare sadece penceredeki bir örnektir. Ancak, elbette dikkatli bakarsanız, bir cam pencereden bile çok şey görülebilir. Yakından bakarsanız ne görebilirsiniz?

Her satırdaki, her sütundaki, her iki köşegendeki sayıların toplamları birbirine eşittir, aksi halde kareye sihir denemezdi. Ama nasıl yapılır? Sayıların düzenlenmesinin sırrı nedir? İlk bakışta, herhangi bir sistem olmadan konumlandırılırlar. Neden eşit miktarlar var? Böyle kaç tane kare yapılabilir? Birbirlerinden nasıl farklıdırlar?

Görünüşe göre, hem antik çağda hem de bize daha yakın zamanlarda birçok durumda, ilk başta bir şekilde rastgele örneklerle veya uzun aramalarla sihirli bir kare bulundu. Sihirli kare mevcut olduğunda, onu oluşturmak için daha iyi, daha kısa, daha ekonomik ve güzel bir yol geliştirdiler. Genellikle çalışma orada biter ve ortaya çıkan kare veya kareler üzerinde herhangi bir çalışma yapılmaz. Ama belki daha da ilginç olurdu.

Bu sihirli karenin hücrelerinde bulunan sayılar, birden başlayıp 25 sayısıyla biten doğal bir dizi oluşturuyor. Ayrıntılı bir inceleme yapılmadan dizilişlerinde herhangi bir tuhaflık fark etmek mümkün mü? Örneğin, çift ve tek sayılar nasıl düzenlenir? (bkz. s. 17).

Beklenmedik bir şekilde, olağanüstü bir düzenlilik ve simetri tablosu açılır.

Serideki tüm sayıları yalnızca iki gruba ayırmak kolaydır - çift ve tek, ancak bu, daha fazla arama için temeli daraltır.

Bu sihirli kare tam bir merkezi simetriye sahiptir. Belki de sihirli karenin bir işareti ve özelliklerinin sebebidir?

Bir cevap ararken, doğal dizilerin sayılarının doğal sıralarına göre yazıldığı bir kareyi düşünebilirsiniz.

Buradaki sayı çiftlerinin de önceki sihirli karede olduğu gibi karenin merkezine göre simetrik olarak yerleştirildiği ortaya çıktı. Ancak sayıların toplamı yalnızca dört durumda 65'e eşittir: orta satırda, orta sütunda ve her iki köşegende. Tam bir merkezi simetri vardır, ancak kare sihirli değildir.

1 Hatırlayabilirsiniz: bunlar serinin uçlarından eşit uzaklıkta olan sayılardır. Bir sayı çiftinin toplamı tüm çiftler için aynıdır: σ=l + 25=2÷24=...= ll + + 15 = 12 + 14.

13

Şimdi, sayı çiftlerinin düzenini gösteren bir çizim olarak anlaşılan iç yapının, sayısal bir karenin özelliklerini kendi başına belirlemediği açıktır. Sihirli olabilir veya olmayabilir. Açıkçası, bir sihirli kare elde etmek için biraz daha fazla koşula veya bazı koşullara ihtiyacınız var. Ancak bu, sihirli karenin iç yapısının herhangi bir şey olabileceği anlamına mı geliyor? Bir iç çizim simetrik veya simetrik olmayan, basit veya karmaşık olabilir mi? Neden hiç ilgilenmesinler?

Bütün bunlar hala bilinmiyor. Aynı büyüklükteki yeterince büyük bir sihirli kareler grubunun iç yapılarını birbirleriyle karşılaştırmak en kolayı olacaktır. Ama onları nereden buluyorsun? Karenin hücrelerinde sayıları düzenlemek için farklı seçenekleri art arda deneyerek bunları oluşturmayı ummak mümkün mü? Rastgele sayısal kareler elde edilsin ama aralarında sihirli olanlar da olmalı değil mi? Bu tür işlerin hacmi büyük mü?

Tanımlamak muhtemelen zor değil. Serideki sayılardan herhangi biri olan ilk sayı, karenin 25 hücresinden herhangi birine yazılabilir. Bu 25 seçenek yapacaktır. Her birinde 24 hücre boş kalır. Bunlardan herhangi birine ikinci sayıyı koyabilirsiniz. Dolayısıyla ilk iki sayının yerleşimi 25×24=600 varyantlarında yapılabilir. (Hesaplamanın bu başlangıcı özellikle cesaret verici değil, ama sonra ne olur?) 600 seçeneğin her biri, kalan 23 boş hücreden herhangi birine herhangi bir üçüncü sayı yerleştirmek için 23 seçeneğe karşılık gelir. Bu, 25 × 24 × 23 varyantlarında üç sayının yerleştirilmesinin yapılabileceği anlamına gelir; dört sayı - 25 × 24 × 23 × 22 varyantlarında vb. Serideki 25 sayının tümü için, olası sayısal karelerin toplam sayısı, 25'ten başlayıp bir ile biten 25 çarpanın çarpımına eşittir: 25 • 24 • 23 19 • 20 ÷ 21 • 22 ״.. ,,.5 • 4 • 3 • 2 • 1.

Bileşikler teorisini "geçtiğimiz" okul günlerinde bu tür çalışmalarla karşılaştık. (Okulda düşünmeden geçtiğimiz bu kadar akıllı şeyin olması şaşırtıcı.) Bu Çalışmaların gürültülü "faktöriyel" adı var ve 25 ünlem işaretli bir sayı ile gösteriliyor! Değerin 25 olduğu varsayılmalıdır! yeterince geniş. Ama çok mu büyük?

Bir bilgisayarın 25 üzerinden 25 sayı yapması ne kadar sürer! sayısal karelerin varyantları? Sıradan bir modern elektronik bilgisayar olsun, çok büyük değil ve çok pahalı değil, bu nedenle çok hızlı değil, saniyede 20 bine kadar işlem gerçekleştiriyor. 25 hücreli bir sayısal karenin satırlardaki sayıların toplamını sayarak bir versiyonunu hazırlamak, özetlemek - büyülü veya sihirli olmayan, yaklaşık 40 işlem gerektirecektir . Bilgi işlem makinesi, bir sürüm 40::20.000 = 0,002 saniye derlemek için harcayacak - saniyenin yalnızca binde ikisi. Makinenin toplam çalışma süresi 0,002 × 25 olmalıdır! saniye. Logaritmalar burada vazgeçilmezdir, ancak çalışmayı kolaylaştırmak için tablolardan değil, yalnızca 2-<3 ondalık basamağın göründüğü bir kaydırma çubuğu ölçeğinde okunabilir,

İki binde bir logaritmayı eklemeye devam ediyor: 25.17-2.70 \u003d 22.47.

Bu logaritmaya göre istenilen 1 sayısı belirlenir . Yaklaşık olarak 29.500.000.000.000.000.000.000'e eşit olduğu ortaya çıkıyor, böyle yazmak daha doğru: 2.95 ∙ IO 22 .

Bu nedenle, 25 sayıdan 25 hücrenin olası tüm sayısal karelerini oluşturmak için, bir elektronik bilgisayarın 2,95 • 10 22 saniye veya 4,92 ∙ IO 20 dakika veya 8,20 ∙ IO lrf saat veya 3,4 • IO 17 gün sürekli çalışması gerekir. veya 9.35 • 10 14 yıl.

-Yıl mı?

Evet, dokuz yüz milyar yıldan fazla. Yaklaşık bir milyon milyar yıllık sürekli çalışma.

-Ne saçma!

"Elbette saçma. Ancak, hesaplamanın bir hata içermesi ve bu nedenle periyodun astronomik olarak uzun olması gerçeğinden ibaret değildir. Hesap doğru. Bilgisayar makinesine yapamayacağı bir işi emanet etmek kesinlikle mümkün olmazdı. Makinenin çalışma programı önemli ölçüde karmaşık olsaydı, çalışma süresini makul sınırlara indirmek mümkün olurdu.

Ancak, bu iki zorluk getirecektir. İlk olarak, karmaşık bir programı derlemek çok çalışma gerektirir. İkincisi, makinelerden elde edilen çok sayıda sihirli kareyi dikkate almak ve analiz etmek zor olacaktır. Yüzlerce varsa. Ya binler, onbinler, yüzbinler varsa?.. (Böyle bir varsayımda inanılmaz bir şey yoktur.)

22.47'nin logaritmasında ondalık nokta 47'dir. 0.47'nin logaritması 2.95 sayısına karşılık gelir. Ondalık noktadan önce 22 sayısıdır. 22.0'ın logaritması, 22 sıfır içeren 100.000.000 ... 000 sayısına karşılık gelir.

Bu nedenle, sihirli karelerin nasıl oluşturulacağı henüz net değil. Bu amaçla bir iç yapı kullanmak mümkün mü, değil mi, uygun mu yoksa sakıncalı mı? Bunun çözülmesi gerekecek. Şimdi biraz hazırlık çalışması yapabilirsiniz. Her büyüklükteki sihirli kareler için geçerli olan bazı basit şeyler üzerinde anlaşmalıyız.

Karenin tabanındaki hücre sayısı genellikle Latin harfi p (küçük) ile gösterilir. O zaman karedeki toplam hücre sayısı 7r 2'dir . Genel olarak, sihirli karenin hücrelerine yalnızca doğal dizilerin sayılarının yazılması gerekli değildir, ancak burada basitlik (ve güzellik) için yalnızca bunlar kullanılacak ve bir ile başlayacaklar. O zaman dizinin son üyeleri her zaman 7r 2'ye , yani karedeki hücre sayısına eşit olacaktır. Hesaplamalarda, serinin uçlarına eşit uzaklıkta olan bir çiftin her iki sayısının toplamının değerinin, serinin ilk ve son üyelerinin toplamına eşit olarak kullanılması genellikle gereklidir. Bunun için genel kabul görmüş bir atama yoktur. Bunun için Yunanca sigma (küçük) -• o harfi uygun olacaktır; 0 = 1         7r 2 .

7r = 5 o = 1426 = 25 ־'de.

Bir satırdaki, bir sütundaki veya bir sihirli karenin köşegenindeki sayıların toplamı aynıdır. Sihirli karenin "sabiti" olarak adlandırılır. Genellikle Yunanca harf sigma (büyük) - 2 ile gösterilir, ancak genellikle aynı harf genel olarak toplamı belirtir. Burada "sabit", - ∑ o çizgisinin altında sıfır bulunan büyük bir sigma ile gösterilsin .

o ve ∑ o arasında herhangi bir boyuttaki sihirli kareler için aynı olan basit bir bağlantı vardır. 7r bir çift sayı ise, serideki sayı çiftlerinin sayısı 7r 2 : 2'dir. 7r tek ise, çiftlerin sayısı (7r 2 - 1): 2'dir. Bir çiftin tüm çiftlerinin toplamı karedeki tüm sayıların toplamına eşit olan kare ־״г 2 • o'dur. Tüm çiftlerin toplamı Δ

tek kare eşittir y • (7r 2 - 1) • o. Tek bir karedeki tüm sayıların toplamını elde etmek için, serinin ortalama sayısını (1 47 ־r 2 ): 2 veya o: 2'ye eşit olarak eklemeniz gerekir. 1         11 ile aynı olduğu ortaya çıkıyor

çift karede:         ( 3> (1 - 2 מ + ila σ \u003d -7) • -״g 2 - 1 41 ־) ∙ σ \u003d

ZU         ZU         _

= - τ • 7r 2 • o. Bu nedenle, sihirli karenin "sabiti" ve

herhangi bir boyuttaki rata ∑ o = Q • 7r 2 • 0^: 7r =         • n • o.

7r = 5 ∑ o = y • 5 65 = 26 ״'da. Sihirli karenin tabanında 20 hücre varsa, o zaman onun için 0 = 1 4־ n2 — = 14401 = 400 ־; ∑ o = y • 20 4010 = 401 י. Bu tür karelerin "sihrini" kontrol ederken, 20 satır, 20 sütun ve 20 sayı ekleyerek büyük meblağlar hesaplamak pek hoş değil.

Her seçenekte 2 köşegen. Bu nedenle ağırlıklı olarak küçük karelerle çalışmak gerekecektir.

o hesaplanırken p ∙ σ çarpımı her zaman çift sayı olarak çıkıyor. Bu nedenle, ∑ o sayısı her zaman bir tamsayıdır. Bu şekilde elde ederiz çünkü n ve 6'nın paritesi her zaman farklıdır. n bir çift sayıysa, o zaman σ = 1 -|- n 2 tektir ve tersi de geçerlidir .

Bir önemli not daha.

Bir şekilde, aynı boyutta, sihir veya sihir olmayan tüm olası sayısal kareler elde edildiyse, o zaman aralarında mutlaka benzer olanlar olacaktır (ve olacaktır). Benzerlik, bu karelerin birbirlerinden döndürme veya aynalama yoluyla elde edilebilmesinde yatmaktadır. Ancak sayısal kareyi nasıl çevirirseniz çevirin, özünde değişmez. İşte bir örnek:

Her zaman bu tür sekiz seçenek vardır. Bunlardan biri ilk, ilk, ana. İlk kare 90°, 180° ve 270° döndürülerek üç kare elde edilir. Ortaya çıkan dört karenin her biri, bir ayna görüntüsü kullanılarak dönüştürülebilir. Bu 4 kare daha verir. Ancak, bu yöntemlerle elde edilen 7 kare, orijinal karenin varyantları olarak kabul edilemez. Bunlar yanlış varyantlar, görünüşte varyantlar, çünkü bunların her biri aslında aynı başlangıç karesi.

Bu yanlış değişkenler için yerleşik bir ad yoktur, ancak gereklidir - hesaplamalarda yanlış değişkenler çok yaygındır. Aşağıda, burada "varyant olmayanlar" olarak anılacaktır.

Tabanda 5 hücreli, büyülü ve büyülü olmayan tam olarak 25 sayısal kare olduğu zaten öğrenildi! Bunların arasında ikisi de16

mutlaka değişken olmayanlar vardır. Onlardan kurtulursak, 5 × 5 hücreli karelerin büyü ve büyü olmayan gerçek varyantlarının sayısı 25'tir! :8. (Bu sayının 25 hanesi var ve bu da neredeyse rahatsız edici derecede büyük.)

Tabanda n kare bulunan herhangi bir boyuttaki karelerde , doğru seçim sayısı her zaman n\ : 8'dir.

Böylece sihirli kare ile ilk tanışma gerçekleşti. Farklı boyutlardaki sihirli kareleri dönüşümlü olarak düşünmeye başlayabilirsiniz. Her şeyden önce, tabanda 3 hücreli bir kare. Ama önce, bir Alman profesörün kitabında bulunan bir hikaye.

İşte burada.

tek seçenek

Fransa. Yaz 1917. Fransız-Alman cephesi. Scorched 4 ezilmiş, ölü zemin. Bir saldırı oldu, ancak boğuldu ve İngilizlerin siperlerine geri döndü. Alman siperlerinde sadece cesetler kaldı.

Franz Buhl, ölü adamı ayağıyla sırtüstü çevirdi. Franz yorgun ve kendine bir an mühlet veriyor. Düşünür: Kaiser ne yaptığını elbette biliyor, ama böyle yalan söyleyen astsubay Franz Buhl olsaydı ne kadar iğrenç olurdu. Bacağını aynı şekilde bükerek, yüzüstü yatar, koşarken düşerdi ve başka biri ceplerini aramak için onu sırtüstü çevirirdi. Bunlar nereden geliyor? Yüz ince, sakal. Başında sarık olsaydı Hindu olduğu anlaşılırdı. Herkes tıraşsız, kirli ve kafalarında çelik bir tava olduğunda, gidip kimin kim olduğunu anlayın.

Franz, alışılmış bir hızla, ceketinin ceplerini öldürerek boşalttı. Askerin küçük şeyleri - dışarı, birkaç madeni para - cebinizde, mektuplar, belgeler - çantanızda. Nedir? Bavyeralı'nın elinde, tamamı tuhaf karalamalarla kaplı uzun bir kalın kağıt şeridi vardı. En altta hücrelere bölünmüş bazı eğimli kareler var ve içlerinde aynı dalgalı çizgiler var. şifre? Herhangi bir plan? Bu kareler Franz'a bir şey hatırlattı. Gizemli şeridi belgelerin olduğu bir çantaya sakladı, sonra cebine koydu ve çömelerek geri dönüş yoluna koyuldu.

1917 Almanya'sının aynı yazı. Rostock şehri. Eski ev, eski apartman, eski profesör. Çok kilo kaybetti. Matematik, savaş sırasında az karlı bir uzmanlık alanıdır. Ön kapıda zil çaldığında, profesör sandalyesinden güçlükle kalktı. Sadece postacıydı. Profesör zarfı yavaşça açtı. Mein goth, ne karalamalar! Evet, bu bir mektup değil! .. Profesör bir büyüteç aldı. Bazı cahiller Arapça metni yeniden çizdiler, ama öyle bir şekilde ki hiçbir şey anlaşılmıyor. Ama sonunda ne var? Profesörün elindeki büyüteç titredi. Hiç şüphe yok ki

bunlar sihirli kareler. Ve işte mektubun kendisi. Bakın en önde bile profesörün sihirli karelerdeki çalışmalarını unutmayanlar var. Bunun yerine bu Bavyeralıya yaz. Yirmi kez öldürülebilir ve gerçek bir muska, 20. yüzyılın muskası. sonsuza dek kaybolacak.

Mektup, Fransız-Alman cephesindeki siperlere ulaşmayı başardı. Profesör gıpta ile bakılan kağıdı almayı başardı. Kahverengi bir şeyle hafifçe lekelenmişti ama önemli değildi. Ama şimdi profesör "Savaş alanından Arapça muska" adlı bir makale yazabildi. Matematik Oyunları adlı kitabında da bundan bahsetmiştir. Herhangi bir ayrıntı olmadan, sadece birkaç satır: Bavyera alayının astsubaylarından Franz Buhl, ölü bir adamın üzerinde bir muska buldu, içinde sihirli kareler olduğunu tahmin etti ve önce bir kopyasını, ardından gerçek bir muska gönderdi. Bunu, profesörün sihirli karelerle ilgili tüm konulardaki derin anlayışına tanıklık eden bilimsel yorumlar izledi.

Bu keşfin tüm hikayesi bu. Tüm? Ya Hindu?.. Hindu kimin umurundaydı? Franz Bühl, ölülerin belgelerini toplama görevini tamamladı. Profesör anladım? Belki de gürültülü doğu pazarının aynı sakin sokağında? Ve belki de dükkân, büyük-büyük-büyük-büyük-büyükbabasının tılsımını aldığı yerle aynıydı? Ve muska, büyük-büyük-büyükbabasına üç kez yardım etmediği gibi ona da yardım etmedi.

Bir parşömen şeridinde hangi sihirli kareler ortaya çıktı? Belki Arapça el yazısını anlamaya çalışırsın? Arap harflerinin - sayıların modern sayılara çevirisi, elinizde bir referans kitabı varsa, örneğin İlköğretim Matematik Ansiklopedisi'nin ilk cildi varsa herkes tarafından yapılabilir. Onun yardımıyla muskada bazı Arap harflerinin - sayıların yeterince net ve okunaklı olmadığı fark edilebilir, ancak en küçük karede bunlardan sadece dokuz tane vardır. Ayrıca, eğer bir sihirli kare ise, toplamlar aynı olmalıdır.

Karenin satır, sütun ve köşegenlerindeki sayılar. Bu, şifre çözmeye yardımcı olur. Sonuç olarak 9 rakamın her biri hücresini bulur ve Arapça muskanın ilk sihirli karesi çevrilir. Bu, sihirli karenin en eski şeklidir.

Tılsımın ikinci karesi, Arapça'dan çevrildikten sonra, sayısal bir kare olduğu ortaya çıkıyor, ancak bir şekilde garip. 16 hücresinde yalnızca 4 sayı (2,4, 6, 8) vardır, ancak her biri 4 kezdir. Sıralar ve sütunlar halinde öyle düzenlenmiştir ki içlerinde tekrar etmezler.

Bu nedenle sütun ve satırlardaki sayıların toplamları aynıdır. Öte yandan, içindeki köşegenler başarısız oldu ve kare büyülü olarak adlandırılamaz, yalnızca yarı büyü 1 .

Belki de tılsımın derleyicisi sadece sihirli kareler konusunda yetersiz bilgili değildi (burada çok fazla!), Aynı zamanda başarısız bir örnekten kopyalandı. Ancak sayıların küçük bir permütasyonu yeterlidir ve kare büyülü hale gelir.

j Bu ad yaygındır.

24

Doğru, bu durumda sayılar karenin köşegenlerinde tekrarlanır, ancak toplamları karenin sabitine eşittir.

9 hücreden oluşan aynı "garip" sihirli kareyi yapmak zor değil :

"Garip" sayısal kareler kendi yollarıyla çok ilginçtir, ancak bir dizi sayı içeren kareler hakkındaki tartışmalara keyfi olarak müdahale ederler. Bu yüzden onları şu anda yapmaya değmez. Sıralarını beklesinler.

Arap muskasının son, üçüncü, en büyük karesinde hiç sayı yok. Yalnızca tanrıların adlarını içerir ve bu nedenle ilginç değildir.

Şimdi 9 hücreli sihirli kareyi bulmanın zamanı geldi. Görünüşü o kadar basit ki, daha büyük başka hiçbir sihirli karenin sahip olmadığı bir özelliği var. Bu özellik, 9 hücreli sihirli karenin yalnızca tek bir değişkende bulunması gerçeğinden oluşur. (Tabii ki, yedi varyansı sayılmaz.) e10׳'nin iyi bilinmesine izin verin, ancak yine de şaşırtıcı, özellikle de 9 sayıdan oluşabilen 9 hücreli karelerin toplam sayısını sayarsanız, -varyantlar. 5 × 5 kare için olduğu gibi, 9 elde edersiniz! :8 = 9• 7 • 6 • 5 ■ 4 • • 3 • 2 • 1 = 45 360. Bunlar milyarlar değil, milyonlar değil ama yine de büyük bir sayı. Bu 45.000 kareden sadece biri büyülü, belirli sayıda yarı büyülü olanlar. Buna inanmamak mümkün değil ama kendi gözlerinizle görmek daha keyifli. Öncelikli olarak 4×4 hücreli kareler olmak üzere farklı boyuttaki sihirli kareler için daha sonra uygun olacak basit bir yöntemi deneyebilirsiniz.

Yöntem, grupların seri numaralarından seçilmesi gerçeğinden oluşur. , Her grubun n sayısı vardır. (Burada 3 sayı vardır.) Her gruptaki sayıların toplamı ∑ 0 olmalıdır . (Burada ∑ o = 15.) Hazır gruplar karenin hücrelerine, grup numaraları düz sıralar halinde: sıralar, sütunlar ve köşegenler şeklinde yerleştirilecek şekilde yerleştirilmelidir. Görünüşe göre 9 doğal sayıdan sadece 8 grup oluşturulabilir:

1. 1 + 5 + 9 = 15 (bu grupta bir çift var: 1 + 9 = = σ = 10);

2. 1 φ 6 + 8 = 15;

3. 2 + 4 + 9 = 15;

4. 2 48 ־4 2) ,15 = 8 + 5 ־ = σ);

5. 2415 = 7 ־4 6 ־;

6. 3415 = 8 ־4 4 ־;

7. 3 47 ־4 3) ,15 = 7 ־4 5 ־ = σ);

8. 4 4־4 5־ θ = 15, (4 48־ = σ).

Bu tablet hazır olur olmaz ve dikkatlice incelenir incelenmez, karenin hücrelerindeki sayıların düzenini kendisi dikte etmeye başlar. 5 sayısı 4 grupta yer almaktadır. Bu, 5 numaralı hücrenin dört düz satırın kesişme noktasında olduğu anlamına gelir. 3x3'lük bir karede böyle bir hücre var, ortadaki (Şekil a).

Bu nedenle, 5 sayısı sadece karenin merkezinde olmalı ve başka hiçbir yerde olmamalıdır. Bu, beklenmedik bir şekilde ve hemen, henüz inşa edilmemiş bu karenin gelecekteki iç yapısını belirler. 5 sayısı ile aynı grupta ve aynı sırada bulunan her iki sayıdan biri bir çift oluşturur. Bu çiftler, karenin merkezine göre simetrik olarak düzenlenmiştir. Bu nedenle, iç yapı tam bir merkezi simetriye sahip olacaktır.

Dizinin her çift sayısı üç grupta oluşur. Bu, çift sayıların üç düz satırın kesişme noktasında, yani köşe hücrelerinde olduğu anlamına gelir (Şekil b). Son olarak, kalan dört tek sayının her biri - 1, 3, 7, 9 - sadece 2 gruba dahil edilir. Yerleri karenin kenarları boyunca orta hücrelerdedir (Res. c).

Dört uygun hücreden bir birim yazmak için üst satırın orta hücresini seçersek, o zaman 9 sayısı için yalnızca bir hücre uygundur - alt sıradaki orta hücre. Şimdi ilk satırın tamamını doldurabilirsiniz: 6 48 ־4 1 ־ veya 8 4- 4-1 + 6. Bunlar iki seçenek değil, sadece bir değişken ve değişken değil.Alt köşedeki hücrelerdeki sayılar köşegenlerle belirlenir: 644־54־ ve 842 ־54־. Son olarak, son iki sayı olan 7 ve 3, grup 5) ve 6)'nın önerdiği şekilde yerlerini alır.

Gerçekten de, sihirli kare 3 × 3 hücrelerinin yalnızca bir versiyonu çıktı. Arap muskasındaki sihirli kareyle uyuşmuyor. Varyantı yoktu.

8 gruptan oluşan aynı plaka, 3 × 3 hücrenin tüm yarı sihirli karelerini oluşturmayı kolaylaştırır. Aynı zamanda köşegenlerin içlerindeki sayıların toplamı 15'e eşit olmayacak şekilde "bozulmasına" özen gösterilmelidir. Bu sadece dört durumda mümkündür. Kalan dört yarı sihirli karede köşegenlerden birindeki sayıların toplamı 15'e eşit kalıyor.

Biri büyülü ve sekizi ikinci sınıf akrabalarından oluşan 9 kareden oluşan grubun tamamı, bazı ilginç özelliklere sahiptir. Orta hücrede 1'den 9'a kadar sıranın tüm sayıları sırayla yer alır.Köşe hücrelerde ve karenin kenarının ortasındaki hücrelerde her sayı 4 defa çarpar.

Böylece, karmaşıklık olmadan ve önemli bir emek harcanmadan, en küçük, en basit, en eski sihirli karenin ana özellikleri ortaya çıktı.

16 hücreli kareler nasıl olacak?

BÖLÜM

FRENİKLİLERLE KARŞILAŞMALAR

Görev

Tabanda dört hücreli sihirli kareler hakkında her şey uzun zamandır biliniyor gibi görünüyor. Bernard Frenicle bu tür 880 karenin hepsinin birbiri ardına sıralandığı tablolar derledi 1 . İki buçuk asırdır kimse onların sayısını doğrulamaya çalışmadı.

Zaten zamanımızda, Alman matematikçi Friedrich Fitting, tek bir kare oluşturmadan, tamamen teorik akıl yürütmeyle, bu sihirli karelerin sayısının 880 olduğunu ekonomik ve güzel bir şekilde kanıtladı. birkaç örnek ve Frenicle'da çok fazla kare var. tablolar. Ortak bir kütle halinde birleşirler ve sayıların dizilişindeki fark dışında, birbirlerinden herhangi bir farkları yokmuş gibi görünürler. Ya hem farklılıkları hem de ortak özellikleri bulmak mümkün olsaydı?

Bu tür çalışmalara başlamadan önce en az bir adet hazır 4×4 sihirli kareye bakılmalıdır. Görünüşe göre bu geleneğin sırrı, bu yöntemin o kadar basit olması ki, bilmeden herkesin ona kendi başına gelmesi. Tek soru, tekrarlanan ve başarısız girişimlerin ne kadar süreceğidir. Sorunun (sadece su versiyonunda) dört çiftin sayıları değiştirilerek çözüldüğü ortaya çıktı: 2 ve 15, 3 ve 14, 5 ve 12, 8 ve 9 ( bkz. s. 29) .

Bu şekilde elde edilen kare büyülü çıkıyor ve yöntemin kendisi Dürer'in zamanından beri biliniyor. Zamanımızda, bu yöntem teorik olarak İngiliz matematikçi Paus-Ball tarafından geliştirilmiştir.^[3] [4]ve çift kareler için de uygun olduğu ortaya çıktı

4 × 4'ten daha büyük. Ortaya çıkan 4 × 4 sihirli karenin iç yapısının tam bir merkezi simetriye sahip olduğu ortaya çıktı - her bir çiftin sayıları, karenin merkezine göre simetrik düzenlemelerini korudu.

Bu karede, diğer herhangi bir sihirli ve sihirli olmayan karede olduğu gibi, her köşe hücresinde 3 düz sıra birleşir: bir sıra, bir sütun ve bir köşegen. Burada sol üstteki hücre ortak hücre olarak seçilir ve sıraların yönü ışın I, II, III ile belirlenir. Tam merkezi simetri durumunda, üst sıradaki (I. ışın boyunca) bulunan sayı grubu ve sol sütundaki (III. ışın boyunca) sayı grubu zorunlu olarak şunları içerir:

birlikte bir çift oluşturan bir sayı. (Örnekte bunlar 4 ve 13 sayılarıdır.) Farklı bir şekilde söylenebilir: tam merkezi simetri ile, ışın I ve ışın III, "artan" köşegen üzerinde (sol alt hücreden hücreye) bulunan bir çift ile bağlanır. sağ yukarı). Aynı yapıya sahip, II. ışın boyunca (hücreden sol üstten sağ alta "azalan" köşegen) tüm 4 hücrenin iki çift sayı tarafından işgal edilmesi gerekir. Bunlardan biri sol üst hücrede (örnekte 1 numara) ve sağ alt hücrede (16 numara = σ - 1) sayıları içerir.

Hesaplama yöntemini test etmek için, önceden oluşturulmuş sihirli kareden ilk verileri alabilirsiniz. İçinde, kiriş I boyunca ve kiriş III boyunca gruplar vardır: 1) 1 -|-і 415 ־4 14 ־= = 34 ve 2) 1 4־4 12 -|- 8 ־ L 3 = 34 . zorunlu bir çift oluşturan iki sayı.) 4 4- + 13 çifti artan köşegenin uçlarına yerleştirilmelidir. Çiftteki sayıların sırası önemli değil. Pariteyi yansıtmak, gelecekteki sihirli karenin yalnızca bir değişkenini verecektir. Ardından, her iki grubun henüz kullanılmamış numaralarını en üst satıra ve sol sütuna yerleştirmeniz gerekir: 14 ve 15, 8 ve 12. Ancak bu, aşağıdaki dört seçenekte eşit hakla yapılabilir:

Şimdi her seçeneğin içindeki 4 boş hücreyi sayılarla doldurmaya devam ediyor. Bunun için seride 4 adet boş numara vardır: 6; 7; 10; VE . Deneme yoluyla onlar için doğru düzenlemeyi bulmak zor değil ama bu hesapla da yapılabilir. Dört değişkenin her biri için aynı hesaplamayı tekrarlamamak için önce cebirsel formda yapmak daha uygundur. Bunu yapmak için, her bir çiftin numaralarını alt simgelerle aynı harflerle gösteririz: a 1 ve a 2 ; b 1 ve b 2 ', C 1 ve c 2 vb. İç hücreler için şu ana kadar bilinmeyen sayılar X 1 ve ¾ Y1 ve Y 2• ile gösterilebilir.

r numaralı bir hücrede kesişen iki satırın sayılarını toplayarak ilk bilinmeyen sayıyı, örneğin x l' yi bulabilirsiniz. yani soldaki ikinci satır ve ikinci sütun:

Ancak У1 ÷ У2 ~ bu nedenle 2x 1 = 4σ — (e 1 + b 1 ψ ∕ 2 + c 2) “ σ — =30 — (e 1 + &1 + /2 + c 2) dört seçeneğin tümü için şunu buluruz:

Her şey yolunda gitti: X 1'in değerleri , serbest sayılar 6'ya karşılık gelir; 7; 10; I. Kalan bilinmeyenler x 2 ; yl ; _ y2'nin hesaplanması kolaydır: X2 = σ - x1 ; y 1 \u003d ∑ o - (c 1 + X 2 + & 2 ); Y2 ~ σ ““ - y 1 . Böylece, dört ikiz erkek kardeşin ailesi olan tam merkezi simetriye sahip sihirli karenin 4 versiyonu aynı anda elde edilir. Hepsi gerçek seçeneklerdir. Döndürerek veya aynalayarak bunları bir araya getirmek mümkün değil ama bir varyantı diğerine dönüştürmenin bir yolunu bulmak mümkün. Bunu yapmak için 2 orta sırayı veya 2 orta sütunu veya her ikisini değiştirmek yeterlidir. Bu dönüşümler onları değişken yapmaz. Bu arada, dördüncü seçeneğin başlangıçta alınan seçenek olduğu ortaya çıktı (bkz. S. 32).

25

Hesaplama başarılı oldu. İki rasgele sayı grubuna dayanıyordu: 1 + 4 4-14 415 ־ ve 1 + 8 + 12 + 13. Muhtemelen dizideki 16 sayıdan diğer 4 numaralı grupları seçmek mümkün olacaktır, örneğin sayılarının toplamı 34'e eşit. Bu toplulukları bulmalıyız. Daha sonra, grupların bir (yalnızca bir) çift ile bağlanması için bu tür iki grubun kombinasyonlarını bulmak gerekir. İki grubun bu tür her bir kombinasyonu, tam merkezi simetriye sahip 4 çeşit sihirli kare verecektir. Bu tür sihirli karelerin toplam sayısını bulma olasılığı açılır.

Bu acil bir görevdir.

Kirli iş

Başlamak basit ve kolaydı. Gruplardaki sayıları seçerken, yalnızca gruptaki sayılar arasında çift olmaması endişesi vardı. Aksi takdirde, bu amaçlanan yapıya, yani tam merkezi simetriye karşılık gelmez. Tüm grupların 58 olduğu ortaya çıktı:

26

7 ve 8 sayılarıyla başlayan tek bir grubun olmaması garip. Gerçekten de köşe hücrede 7 veya 8 olacak sihirli kareler yok mu? Bununla birlikte, altıncı sütundaki gruplar da tam değildir: VI.1) ve VI.2) grupları birlikte kullanılamaz, çünkü başlangıçtaki 6 rakamına ek olarak, içlerinde 7 rakamı iki kez tekrarlanır. herhangi bir yapının herhangi bir sihirli karesinde olun.

Karışıklık kolayca çözülür. Köşe hücredeki girişe atanan sayının en küçük olmadığı durumlarda bu tür grupların kullanılabileceği (kullanılması gerektiği!) ortaya çıktı. Üçüncü sütuna, ikinci sütundan ödünç alınan on dördüncü grubu ekleyebilirsiniz (eklemelisiniz!): II.1) 3+2+13+16. Dördüncü sütuna dört grup eklenir: I. 1) 4 + 1 + + 14 + 15; II.2) 4+2+12+16; III.1) 4+3+11+16; III.2) 4+3 + 12+15. Sütun V, ek grupları içerir 1.2); PZ); II.4); Sh.Z); IV.1); IV.2); IV.3). Sütun VI'daki iki gruba, 1.3) ile başlayan ve V.4) ile biten 14 grup eklenir. Ayrıca, ödünç alınan 16 grubun VII. sütunu ve ödünç alınan 15 grubun VIII. sütunu görünür. Sonuç olarak, çalışmak için gerekli olacak toplam grup sayısı 58'den 116'ya iki katına çıkar. Bunların arasında, tam merkezi simetriye sahip sihirli kareler oluşturmak için uygun olanları bulmak gerekir. Bunlar , yalnızca bir çiftle bağlanacak şekilde çiftler halinde 1 birleştirilebilen gruplar olacaktır . Böyle bir gereklilik zorunludur, ancak kare hesaplamasının başarıyla tamamlanacağının garantisi değildir. Deneme hesaplamaları sırasında, serideki sayıların toplamının, ancak başka bir hücrede zaten yazılmış olana eşit bir sayının boş bir hücreye veya acıya girilmesi durumunda 34'e eşit olacağı birden çok kez ortaya çıktı . ardından, "kombinasyon" kelimesi, iki ( nadiren - üç) sayısal grubun ortak kullanımı anlamına gelir.

27

boyun 16'dan veya sıfıra eşit, hatta negatif. Bu tür durumlar bir istisna olsaydı iyi olurdu, ancak uygulama aksini gösteriyor: başarıyla tamamlanan hesaplamalar istisna olarak ortaya çıkıyor. Ancak bu hayal kırıklıkları henüz gelmedi. Şimdi kombinasyon seçimini yapmanız gerekiyor.

İlk işe gidenler, birinden başlayarak 12 gruptur. Her grup için, ilkinden başlayarak, diğer tüm gruplar, yine bir üniteden başlayıp onu takip ederek, sırayla denenir. Çoğunun kullanılamaz hale geldiği ortaya çıktı. Örneğin, grup 1.1) 1+4+14+15 ile sadece 2 grup birleştirilir: 1.9) 1+8+12+13 ve 1.11) 1+9+11+13. Her iki kombinasyonda da koşulun gerektirdiği çift 4 ve 13 rakamlarından oluşur. Birden başlayan grupların geri kalanında ya aynı iki sayı vardır (nadiren ikiden fazla) ya da hiç çift yoktur. Sonraki grup L2) 1+5+13+15 için sadece iki grup 1.6) 1 + 7 + 12+14 ve 1.12) 1 + 10+11 + 12 de uygundur.Grup 1.8) üçüncü grupla birleştirilir 1.3 ) ve 1.11). Ve benzeri ve benzeri. Ancak gruplar için 1.8); 1.9); 1.10); 1.11) bir çift içeren bir kombinasyon yapmak için onları takip eden tek bir grup yoktu.

Yani, bir ile başlayan gruplar sadece 12 kombinasyon oluşturur (bir çift ile). İki ile başlayan gruplar bu tür 15 kombinasyon oluşturur; 3–20 kombinasyonla başlayarak; 4 rakamı ile başlayan 21 kombinasyon; 25 - 5 numara; 34 - 6 numara; 28 - 7 sayısı ve 24 - 8 sayısı. Bir çift içeren toplam kombinasyon sayısı 179 oldu. Bunları denemenin zorluğundan korkacak kadar çok değil. Daha fazla hesaplamanın en ekonomik yollarını düşünmemek için çok az değil.

1 == 30 - (e 1 + ⅛ 1 + ∕ 2 + c 2 ) olduğu ortaya çıktı . Önceden tanımlanmış gruplarda a 1 + b 1 + c 1 + d 1 = ∑ o ve a 1 + e 1 + ∕ 1 + d 2 = ∑ o sayıları yoktur / 2 ve c 2 , ancak ∕ 1 ve c 1 vardır . 2z 1 ifadesinin / 2 ve C 2 yerine ∕ 1 ve q içermesi daha uygun olur . Değiştirmenin yapılması kolaydır: C 2 \u003d (5 - C 1 ve ∕ 2 \u003d σ - ∕ 1. Yani, 2z 1 \u003d 30 - e 1 - b 1 - (o - - / 1) - ' ( σ - ⅞) \u003d o + c 1 - b 1 + f 1 ~ e 1. Son olarak: Z 1 - 0.5 • ״ (o + C 1 - b 1 + / 1 - e 1 ).Böyle bir gösterim uygundur hızlı hesaplama için.Ancak mantık örnek kadar net değil.Kombinasyon şöyle olsun:

1. 2+5+ben +16;         Çift, sayılardan oluşur: 5 + 12.

2. 2 + 7 + 12 + 13.         Mevcut: 3; 14; 8; 9 ^[5].

✓—יי

1 ) ' de AND ve 16 sayıları karenin b1 ve C1 veya C1 ve b1 sayılarına karşılık gelir ; grup 2'de) 7 ve 13, e 1 ve f 1 veya f 1 ve e 1'dir .

Fark c 1 - b 1 \u003d 16 - 11 \u003d= 5 veya 11-16 \u003d -5;

fark ∕ 1 - e 1 \u003d 13 - 7 \u003d 6 veya 7-13 \u003d -6.

Bu farkların toplamı (c 1 - b 1 ) + (∕ 1 - e 1 ) \u003d 5 + 6 \u003d Ve veya 5-6 \u003d -1 veya -5 + 6 - 1 veya -5- 6 \u003d -I, yani ±11 veya ±1. x 1 değerinde 4 seçenek 1 belirlendi :

Tüm bu 4 numara ücretsizdir.

Bu, kombinasyonun geçerli olduğunu ve sihirli kareler yapılabileceğini gösterir.

Bu tür hesaplamalar kolayca plakaya sığar.

Bir kombinasyonu hesaplamak için tabloda sadece iki satıra ihtiyaç vardır. 179 kombinasyonu hesaplamak için yaklaşık 360 satıra ihtiyacınız var. Taslağın bir sayfasında 30-32 satır serbestçe yerleştirilmiştir. Dolayısıyla bu hesaplama tek başına 360 : 30 = 12 sayfa sürmelidir. Hiç de fazla değil.

Bu sayfalar genellikle kötü örnekler içerir. İşte iki tipik durum.

Birinci:

Elbette X 1 , 16'dan büyük olamaz ve negatif olamaz. Bu kombinasyon sihirli bir kare vermeyecektir. x 1 == 10 veya X 1 = 7 alsak bile var olmayacaktır .

Meydanın gelecekteki dört çeşidi için.

29

Saniye:

X 1'in hesaplanan değerleri serbest sayılarla örtüşmüyor. Sonuç olarak 179 kombinasyondan 155'i kayboldu ve sadece 24 kombinasyon uygun çıktı. Ancak uygun kombinasyonlar kendi aralarında karşılaştırılmaya başlandığı anda bunların yarısının diğer yarısını tekrar ettiği ortaya çıktı. Gelecekteki iki sihirli karenin birbirinin varyantı olmadığı gerçeğine yol açan böyle bir tesadüf örneği:

Bu nedenle, 179'dan yalnızca 12 kombinasyon kaldı:

30

Her uygun kombinasyon, tam merkezi simetriye sahip 4 bağımsız ikiz sihirli kare oluşturmayı mümkün kılar. Çeşitli türlerdeki 880 4×4 sihirli kare arasında tam merkezi simetriye sahip 48 ilgili sihirli kareden oluşan kompakt bir grup olduğunu iddia etmek, herhangi bir yapı oluşturmadan bile mümkündür. Orta sıraların - veya sıraların, sütunların veya her ikisinin aynı anda - basit ve simetrik bir şekilde yeniden düzenlenmesiyle her biri kuzenine dönüştürülebilir. İki satırın asimetrik bir permütasyonunu gerçekleştirirseniz ne olur? Örneğin, ikinci ve dördüncü sütunlar yer değiştirsin mi?

Kendine özgü bir iç yapıya sahip yarı sihirli bir kare olduğu ortaya çıktı. İki özdeş figüre ayrıldı. Köşegenlerdeki sayıların toplamının 34 olmasını sağlamak zor değil. Bunun için çizgilerin aynı asimetrik hareketi yeterli. Yeni meydan büyülü çıktı ve çok ilginç bir yapıya sahip. “Dört eğik haç” olarak adlandırılabilir ^[6]. Yeni sihirli karenin ve tam merkezi simetriye sahip orijinal karenin sayısal kombinasyonlarının karşılaştırılması, bunların aynı olduğunu gösterir.

Bir orijinal kareden, bir kare “4 eğik haç” elde edildi. Bu nedenle, bu karelerin sayısı tam olarak merkezi simetriye sahip karelerin sayısı ile aynıdır. Herhangi bir hesaplama gerektirmeyen ve sanki henüz kimse tarafından not edilmemiş gibi ilginç bir sonuç.

Satırların asimetrik permütasyonu, elde edilen sihirli kare “4 eğik haç” dönüştürülerek devam ettirilebilir. Atom yeni bir kare elde edildiğinde 3) yine tam merkezi simetriye sahip olur. Üçüncü asimetrik dönüşüm, "4 eğik haç" yapısına sahip yeni bir sihirli kare 4) verir. Dördüncü dönüşüm 1) karesine geri döner. Dönüşüm halkasının kapalı olduğu ortaya çıktı.

Bu dönüşüm halkası göz önüne alındığında, kare 1)'in hemen kare 3)'e dönüştürülebileceği ve karenin ortaya çıktığı ortaya çıktı.

2. kare 4'e). Bunu yapmak için, karelerin çeyreklerini - kadranlarını çapraz olarak hareket ettirerek değiştirmek yeterlidir. Dikkat çeken ikinci şey, 1) ve 3) kareleri ve dolayısıyla 2) ve 4) için sayısal kombinasyonlardaki farktır. İlk durumda, kombinasyon 1.1) 1 415 ־4 14 ־4 4 ־ gruplarını içerir ve

1. 9) 1413 ־4 12 ־4 8 ־. İkinci - V.7) VE + 5 410 ־4 8 ־ ve

2. 8) 11 47 ⅛ 14 ־4 2 ־. Bu, tam merkezi simetriye ve "4 eğik çarpı"ya sahip sihirli karelerin sayısının ikiye katlanarak 48'den 96'ya çıktığı anlamına gelmiyor mu? Kombinasyonlar arasındaki fark gerçek olsaydı durum böyle olurdu. Aslında, apaçık olduğu ortaya çıktı.Bu, kareleri karşılaştırırken ortaya çıktı 2) ve

3. , daha doğrusu, değişken olmayanlarını karşılaştırırken. Her iki karenin de gruplar dahil bir kombinasyon içerdiği ortaya çıktığından, 6 rakamının bulunduğu ilk sağ alt hücreyi almak yeterliydi: III.6) 6 415 ־4 10־4 3 ־ ve VI.2) 6 4,12 ־־ 4 9 ־4 7 ־

־׳-י

(Bu kombinasyon, 12 numaranın altındaki plakaya kaydedilir.) Aynısı, 4) ve 1) numaralı kareler karşılaştırılarak elde edilir. Burada ilk sayı 16 olarak çıkıyor. Bu nedenle, kare 3) kare 1)'in başını çektiği 48 sihirli kare grubuna dahildir ve kare 4) kare 2 ile aynı ilişkidedir).

4×4 sihirli kareleri sıraları yeniden düzenleyerek dönüştürmek için tüm olasılıklar tükendi mi? Geriye tek bir şey kalıyor: <<4 eğik haç” yapısına sahip bir karede orta sıraların (satırlar ve sütunlar) eşzamanlı simetrik permütasyonu”. Başarılı olur ve üçüncüsü olan yeni bir sihirli kare verir.

İç yapıya göre. Görünüşe göre grafik gösterimi ayrıca 4 eğik haç içeriyor, ancak öncekinden daha büyük. (Tam merkezi simetriye sahip bir yapının çizimine yakından bakarsanız, ayrıca 4 eğik haç vardır, ancak üç boyutta). Haç sayısını ve eğik olduklarını belirtmenin yeterli olmadığı ortaya çıktı. Boyutları önemlidir. Ancak bu tür isimler uygunsuz olacaktır. Üç yapıya sahip olmak ve bunlardan biraz daha fazlasını beklemek, onlara sayısal bir seri numaralandırma verebiliriz. Anlaşılır olması için, burada bu sayılar köşeli parantezler içine alınmış olup, bunlar için olağan "büyük-küçük" işaretleri kullanılmıştır: <1>; <2>; <3>.

Sihirli kareleri <2> sihirli karelere <3> dönüştürme yöntemi, bir kareden (2> bir kare <3> elde edilecek şekildedir. Bu nedenle, ayrıca 48 kare <3> vardır. Sayı sihirli kareler <2> ve <3> Bu, gruplar tablosunun, kombinasyonlar tablosunun derlenmesi ve <1> karelerinin sayısının hesaplanması işinin göreli boyutunu üç kat azaltır.

880 4×4 sihirli kareden 3 X 48 = = 144 kare tüm bağlantıları ve gruplamalarıyla tanındı. Geriye 736 sihirli kare 4×4 bulmak kalır. Bunun için öncelikle iç yapılarını öğrenmek gerekir.

Giderek daha fazla

Tüm 4×4 sihirli karelerin iç yapıları nasıl bulunur? Tek kaynak Frenicle tablolarıdır. Ancak Frenicle, sihirli karelerin iç yapısını dikkate almamış ve sol üst hücrede yazılan artan sayılar sırasına göre tablolara yerleştirmiştir. Önceden bilinen 144 kareyi önceden seçmek imkansız değil ve 880'in tamamına bakmanız gerekecek, aynı zamanda her kareye bakmanız, 8 çiftin tümünü oluşturan sayıların nasıl yerleştirildiğine dikkat etmeniz, çizimi hatırlamanız gerekiyor. iç yapıyı, özet tablosunda, önceden karşılaşılan tüm yapıların çizildiği bir defterde bulun ve böyle bir karenin daha bulunduğunu not edin. Ve eğer ilk kez böyle bir yapıyla karşılaşılıyorsa, ayrı bir satıra minyatür bir çizimle girin. Çalışma tekniği en ilkel olmasına rağmen, hızlı başlayan eğitim, görüntülenen her karenin iç yapısını birkaç saniye içinde anlamanıza olanak tanır. İlk bakışta iki veya üç çiftin dizilişi netleşiyor. Hemen yapının türü hakkında bir varsayım var. (Bazı yapılar, birkaç düzine karenin deneme görüntülenmesiyle önceden açıklığa kavuşturulmuştur.) Varsayım, birkaç çiftin daha konumu görüntülenerek kontrol edilir. Sonra bir not defterine bir not ve bir sonraki kareye bir adım. Yani kare kare, sayfa sayfa, saat saat. İş neredeyse mekanik, ancak görünüşe göre dikkat zayıflamadı: birkaç karede bulun! yazım hataları Onlarda elbette tüm çiftlerin yeri kontrol edilir.

Son olarak tabloların son sayfası görüntülendi. Tamamlanmış ve tamamen yeniden yazılmış özet levha. Görüntülenen karelerin toplam sayısı hesaplanmıştır. 880'e kadar sadece birkaçı eksik, ancak onları aramanın bir anlamı yok, genel resmi değiştirmeyecekler. Bulunan iç yapıların sayısı sayıldı ve işte cevap: İncelenen tüm sihirli karelerde sadece 12 iç yapı bulundu. Bu sayı, <1> gibi zaten bilinen yapıları içerir; <2>; <3>.

12 yapının tamamında ilk fark ettiğiniz şey sadelikleri. En basiti <4> yapısıdır. Diğer <11> ve <12> yapılarından daha karmaşıktır.

İkincisi simetridir. <11> ve <12> yapıları haricinde, tüm yapı kalıpları simetriktir: karelerin sağ yarısı soldakinin ayna görüntüsüdür, üst yarılar alttakilerin ayna görüntüsüdür ^[7]. <11> ve <12> yapıları bir istisnadır. Sadece birbirini yansıtan üst ve alt yarıları vardır 2 .

Üçüncü özellik, sayı gruplarını birleştiren çiftlerin sayısı ve düzeni ile belirlenir. Şekilde, bu çiftler daha kalın çizgi parçaları olarak gösterilmiştir. <7> ve <8> yapılarının bu tür bağlantılara sahip olmadığı ortaya çıktı. <9> ve <10> yapılarının her biri, I ve II kirişlerini birbirine bağlayan 2 çifte sahiptir. <4>, <5>, <6> yapıları ve tamamen simetrik olmayan yapılar (11> ve <12>'nin her biri birer çift bağlantı kirişi I ve II'ye sahiptir. Son olarak, ilk üç yapının da her biri birer çifte sahiptir, ancak kirişleri birleştirir. I ve III Bu, ilk üç yapıda II. ışının iki çift sayı ile dolu olmasının, diğer tüm yapılarda ise iki çiftin IIL ışını boyunca yer alması gerçeğinin bir sonucudur.

Tamamen simetrik olmayan <11> ve <12> yapılarının bir özelliği daha vardır. 180° döndürülürlerse, ışınları birleştiren çiftlerin sayısı üç olur; I ve II, II ve III, III ve L ışınlarının çiftler halinde bağlı olduğu ortaya çıkar, bu durumda bu ışınların hiçbirinin iki çifti yoktur.

Kirişlerin çiftler halinde aynı bağlantıları ve yapılarının modellerinin benzerliği, sıraların bir yapıdan diğerine yaklaşık olarak yapılar için mümkün olduğu gibi hareket etme olasılığı varsayımına yol açar <1>, < 2> ve <3>. Onlar için <1> *→ <2> *→ <3> zincirinin olasılığı kanıtlanmıştır. Benzer dönüşümlerin olasılığını bulmak gerekir: <4> → <5> <→ <6>; <7> *→ <8>; <9> <→ <10> ve <1 1 1> <→ <12>. Bu yapılabilseydi, o zaman her türden sihirli kare sayısı için yapılan hesaplamalar azalırdı. Ama asıl mesele bu değil. Asıl mesele, 880 Frenicle sihirli karesinin şekilsiz kütlesinin, içinde bir yapıdaki karelerin başka tipteki karelere basit dönüşümlerinin mümkün olduğu bazı gruplara veya ailelere bölünebilmesidir. 4×4 sihirli karelerin tüm kütlesine yeni ve daha derin bir bakış olurdu.

İşçiliği azaltmak için sayılarla yazmaktan kaçınılmalı ve yalnızca cebirsel biçimde yazılmış karelerle çalışılmalıdır. Dönüşümler elde edilirse, sayıların herhangi bir değişkeni için uygun olacaktır. Başlamak için, <1> *→ <2> <→ <3> karelerinin dönüşümlerini tekrar yazabilirsiniz.

Her zaman olduğu gibi, tüm satırları taşırken yalnızca satır ve sütunlardaki sayıların düzeni değişti. Sayıların kendileri aynı kalır. Bu nedenle miktarları değişmemiştir. <1>, <2> ve <3> karelerinin köşegenlerinde 2 çift var. Bu nedenle toplamlar

o = 2σ'ye eşittir . Bu üç karenin sayısal bileşimi aynıdır. Aynı grupları içerir: a 1 + b 1 + c 1 + d 1 ve a 1 + e 1 + A 2 + ⅛.

Sonraki kare <4> şaşırtıcı derecede basit bir yapıya sahiptir. İçindeki tüm çiftler paraleldir ve 2 sıra halinde sütunlara yerleştirilmiştir. (Ya da değişken olmayan haliyle, sıralar halinde, birbiri ardına.) Elbette, sayısal kombinasyonlar kullanarak kareleri (4) hesaplamaktan kaçınmak ve kendimizi <1> karelerinden herhangi birini bir kareye dönüştürmekle sınırlamak isteriz. <4>, <2> veya <3>. Simetrik ve asimetrik sıra hareketleri bunun için uygun değildir. Başka bir yöntem uygularsanız, ilk kare olarak <2> karesini almak daha iyidir. İç yapısı <4> karesinin yapısına en yakın olanıdır. <2> karesinde bağdaş kurarak oturan sayı çiftleri ayaklarını düzleştirmeye zorlanabilirse, <4> yapısına sahip bir kare elde edilir. Aynı zamanda, <2> karesinde kullanılan sayısal grupları korumaya çalışmalıyız: a 1 + d 1 + c 1 + b 1 ve "1 ÷ ⅛ ÷ ⅛ ÷ ¾∙ <2> karesinde bunlar I. ve III. ışınlarda, <4> karesinde I. ve II. ışınlarda olmalıdırlar. Ancak, I. ışın üzerindeki (2>) karesinde bulunan birinci grup <4> karesine hem I. ışın hem de II. ışın üzerinde eşit hakla yazılabilir. İki sihirli karenin bir sihirli kareye karşılık geldiği ortaya çıktı. <2>: < 4'> ve <4">.

Bu nedenle, iç yapısı <4> olan sihirli karelerin toplam sayısı 96'dır. Bunu doğrulamanın başka bir yolu var mı? Dahili türleri ararken36

Frenicle tablolarındaki yapılar için, her yapının kare sayıları kabaca hesaplanmıştır. Şimdi işe yarayacaklar. Frenicle'ın tablolarının aslında 96 <4> tipi kare içerdiği ortaya çıktı. (Bu arada, <1>, <2> ve <3> tipindeki karelerin sayısını kontrol edebilirsiniz. Burada da her şey doğru - her türden 48 kare.)

<4'> ve <4"> kareleri dahil olmak üzere herhangi bir 4 X 4 karenin hücrelerini doldururken, her iki grubun numaralarını ve onları tamamlayan sayıları bir çift olarak yerleştirdikten sonra, her karede 4 hücre boş kalır. Konumları iç yapı tarafından belirlenir. <4 , > ve <4 ,, > karelerinde sol alt kadranda bulunurlar. Gelecekteki sakinleri 4 hala boş sayıdır: ∕ 1 ; ∕ 2 ; Sv S2∙ ∏P ≡ artan köşegendeki sayıların toplamı şuna eşit olacak şekilde yerleştirilmeleri gerekir: o < 4 , > karesinde bu köşegenin iki hücresinde zaten b 1 4־ C 2 4־4 sayıları var ? ־ <4 , > karesinin köşegeni <2> karesinin sağ sütunundaki sayıların aynısını içeriyorsa gerekli miktar elde edilecektir: b 1 4־ c 2 4־ g 2 4־ + ∕ 1. Yani bu köşegen karede (4 , > hala boş olan g 2 4 1 ∕ ־ sayılarını girmelisiniz. Ayrıca <4 ,, > karesinde e 1 4 ־־ 4-⅛ 1 4 ־ + ? karenin alt satırını kullanarak g 1 4 1 ∕ ־ sayılarını toplamanız gerekir <2> Son iki boş sayıyı hem <4 , > hem de <4״> karesinde bulun iç yapının desenine göre yerleri. Bu , <2> karelerini kullanarak <4 , > ve <4״> sihirli karelerini elde etme olasılığının genel kanıtını tamamlar .

Bundan sonra, <5> tipindeki kareleri oldukça basit bir şekilde elde etmek mümkün hale gelir. Orta satırları değiştirerek, <4 , > karesinden <5 , > karesini elde ederiz ve <4 ,, > karesinden <5 ,, > elde ederiz . Toplam <5> kare sayısı bu nedenle 96'dır. (Ya Frenicle? Ayrıca 96). <5> kareleri için sayısal kombinasyon önceki <1>, <2>, <3> ve <4> kareleri ile aynıdır.

Bir sonraki adım <5> karelerini karelere (6>) dönüştürmek, ancak sıraların simetrik permütasyonu burada uygun değil. Asimetrik bir permütasyon seçebilirsiniz. Üçüncü ve dördüncü sıraları ve aynı anda üçüncü ve dördüncü sıraları değiştirmek yeterlidir. dördüncü sütun Bu durumda, <6 , > ve <6 ,, > türünde iki sihirli kare, her türün 48 çeşidi. Sayısal kombinasyonları önceki karelerle aynıdır (bkz. sayfa 45).

Sihirli kareler (6 , > ve <6 ,, > orta sıraların simetrik olarak yeniden düzenlenmesiyle bir kez daha dönüştürülebilir. Bu durumda, aynı yapıda yeni sihirli kareler <6 , "> ve <6 ιv > elde edilir. ve aynı sayıda - her biri 48 seçenek <6> türündeki toplam sihirli kare sayısı 192 olarak çıkıyor. (Peki ya Frenicle? ancak 304, 112 kare daha.)

Hiç şüphe yok ki, önceden derlenmiş 179 sayısal kombinasyondan sadece 12 kombinasyon sihirli kareler elde etmeye uygundur ve her biri 11 türden 48 varyant vermiştir: <1>; <2>; <3>; <46> ;<׳״6>;<״6> ;<׳6> ;<״5> ;<׳5> ;<״4> ;<׳ ιv > . Görünüşe göre, bazı gizemli kareler aramak gerekiyor <6v> . önceki <6> tipi karelerle aynı yapıya sahip olan, ancak hesaplama için önceki 12 sayısal kombinasyonun uygun olmadığı, ancak yeni kombinasyonlara ihtiyaç duyulan ve hatta <1> ila <6 kareleri oluşturmak için uygun olmayanlar vv > . <6> yapısıyla kareyi yeniden hesaplamanız gerekecek, art arda farklı sayısal kombinasyonları deneyecek, ancak daha önce kullanılan kombinasyonlardan kaçınacaksınız.

x 1 sayısını karelerde (6 v >) hesaplarken daha önce <1> karesini hesaplarken olduğu gibi y 1 ve y 2 sayılarından kurtulmak mümkün değildir . Yalnızca toplamı belirleyen bir koşul yazabilirsiniz. iki bilinmeyenin ikinci satırından şunu elde ederiz:

- ;20 - 20 -         + 1/ ־1־ ⅞ +

*1 + г/1 = 2σ - e 1 - ∕ 1 = (σ - e 1 ) + (σ - f 1 ) = σ — e 1 + f 2 . 38

e 1 ve ∕ 2 sayıları , çapraz olarak yerleştirilmiş ve örnek için bir sonraki kombinasyon seçilir seçilmez bilinen sayılar grubuna dahil edilir. e 1 ve / 2 sayıları karenin orta hücrelerinde, X 1 ve y 1 sayıları ise dört serbest sayıdan ikisi olmalıdır . Bu koşullar, birbiri ardına bir kombinasyonun uygunluğunu hızlı bir şekilde test etmeyi mümkün kılar. Toplamda 179-12 = 167 kombinasyon kontrol edilmelidir. Aslında, önceden uygun olmayan bu 167 kombinasyon arasında, <6> tipinde yeni sihirli kareler oluşturmayı mümkün kılan 14 kombinasyon bulmayı başardık.

Örnek. IV.3) 4+5+I+14;

IV.4) 4 + 6 + 8 + 16. Ücretsiz: 2, 7, 10, 15.

Meydanın köşelerinde sayılar var: 4, And, 6 (ve tabii ki 13).

σ - e 1 + / 2 \u003d 17 - 5 + 14 \u003d 26 veya

17 - 14 + 5 = 8 veya

17 - 8 + 16 = 25 veya

17 _ 16 + 8 = 9.

Bir çift oluşturmayan iki serbest sayının toplamları dört şekilde yazılabilir:

Z ben +         = 2 + 7 = 9 veya

2 + 10 = 12 veya

7 + 15 = 22 veya 10 + 15 = 25.

Uygun:

1. e1 = 8 ; / 2 = 16; x 1 + y 1 = 10 + 15 veya = 15 + 10;

2. e1 = 16 ; ∕ 2 = 8; x 1 + y 1 = 2 + 7 veya = 7 + 2.

İki kabul edilebilir çözümün her biri, <6> sihirli karenin 4 çeşidini oluşturmanıza izin verir.

Bu nedenle, bir yeni sayısal kombinasyondan, <6> tipinin 8 varyantı elde edilir. Yeni 14 kombinasyon, 14-8 = 112 sihirli kare verir - tam olarak eksik olan kadar.

Şimdiye kadar, hesaplama nispeten sorunsuz gitti. <7> karesi nasıl olacak? Yeni bir sihirli kareler ailesine ait. <7> ve <8> kareleri için, sayısal kombinasyonların grupları bağlayan çiftleri yoktur. Bu kombinasyonlar, her biri 4 rakamdan oluşan bilinen 116 gruptan yeniden yapılmalıdır. Bu işte yeni zorluklar yok.

Tamamlandığında 88 yeni kombinasyon alındı. Yeni kombinasyonlarda yer alan sayıları hücrelerine yerleştirirsek (önceki durumlarda olduğu gibi cebirsel biçimde) ve onları bir çifte tamamlayan sayıları eklersek, o zaman karenin 16 hücresinden 14 hücre çıkıyor. dolu. Bir çift boş sayı için yalnızca 2 boş hücre kalır.

<7> M-

V/

B.

bkz.

D,

־<—

BEN/

b1

bkz.

dt_ _

<־■—

O'1

erkek arkadaş

01

d t

«г

d z

ÖZ

Cz

⅛

А

bkz.

eğer

91

X f

4

91

92

bZ _

92

X 2

bZ _

Cz

92

x 1 çözümünden değil , örneğin üstteki iki satırın sayılarının toplamından elde edilebilir:

a 1 + fe 1 +         + d 1 - ∑ o - 2σ

fl⅛ 4־ e 2 42 = 0∑ ~ ⅛ ־4 2/ ־σ

0 4־4         ־ e 2 + s! + /2 4־ σ = 4σ;

⅛ 4־4 ¾ ־ е 2 42 = 2/ ־σ;

⅛ 1 ÷ c 1 = σ - e 2 + σ - ∕ 2 = σ - e 2 + ∕ 1 .

Ancak, bu koşulun yerine getirilmesi, bir sonraki varyantın başarıyla tamamlanacağını henüz garanti etmez. Örneğin, 1.1)1 415 ־4 14 ־4 4 ־ ve 1.12) 1 4־4 10 ־ VE 412 ־ gruplarını içeren bir kombinasyonu denerken, toplamın 1 4־ olduğu 3 durum bulmak mümkündür. c 1 , σ - e 2 4־ /! toplamına eşittir :

	A)	B)	v)
B! + Ci σ-e∙24^∕1	4+14 17—10+11	4+14 17—11+12	4+15 17—10+12

Seçenek a) başarısız olur. Öte yandan, hesaplamanın kalan iki varyantı, <7> tipinde dört çeşit sihirli kare oluşturmamıza izin verir:

88 kombinasyondan sadece sekizi seçilebilir. I. 1) 4 414+ 15 + 1 ־ ve IV gruplarından oluşan kombinasyon için farklı bir sonuç elde edilmektedir. 9) 4 4- 7 4־ VE 412 ־. Burada <7> sihirli karesinin yalnızca iki çeşidi elde edilir:

88 kombinasyondan on iki tane vardı. Toplamda 88'den 8 420 = 12 ־ kombinasyonun uygun olduğu ve <7> yapısına sahip toplam sihirli kare sayısının 8-4 456 = 12-2 ־ olduğu ortaya çıktı. (Ya Frenicle? Yine başka bir şey mi var? Ama hayır, her şey yolunda, ayrıca 56.)

Bir kareden <7> bir kare <8> almaya çalışmak zorlanmadan başarılı olur. Bunu yapmak için orta sütunları ve orta satırları değiştirmeniz yeterlidir.

41

Aynı zamanda, 1 sayısal kombinasyonu ve satırlar, sütunlar ve köşegenlerdeki sayılar korunmuştur. Bu nedenle, <8> karesinin, orijinal <7> karesi gibi sihirli olduğu ortaya çıkıyor. Dönüşüm yöntemi, bir kareden <7> yalnızca bir kare <8> elde edilecek şekildedir. Bu nedenle, <8> karelerin sayısı da 56'dır.

iki çift, bağlantı grupları içerdiği bir iç yapıya sahiptir . <7> veya <8> karesinden <9> karesini elde etme girişimi, yalnızca sayısal kombinasyon değişirse başarılı olur. (Şimdiye kadar, gereklilik tam tersi olmuştur.) Ancak <7> ve <9> karelerinin iç yapısının kalıpları birbirine o kadar yakın ki, dönüşüm sadece mümkün değil, aynı zamanda basit görünüyor: siz sadece sütunları değiştirmeniz gerekiyor - birinci ile ikinci ve üçüncü ile dördüncü. Ardından şekil <7>, şekil <9>'a indirgenir. Bu durumda köşegenlerin değişeceği zaten biliniyor ve bunu düzeltmenin bir yolu biliniyor - aynı permütasyonu satırlarda yapmanız gerekiyor. Bu koşullar altında, <7>'den <9>'a dönüşüm başarılı olur, <9> karesi sihirlidir ve <9> karelerinin sayısı 56'ya eşittir - <7> karelerinin sayısı.

Bunu şu şekilde ifade etmek daha iyidir: <8> karesi, <7> karesinin temelini oluşturan aynı sayısal kombinasyondan elde edilebilir.

bir kare <9> oluştururken, orta sıraların bir permütasyonu uygun olur. <8> karesinin dönüşümünün <10> karesinin tam olarak aynı varyantını vermesi için, tıpkı sütunlarda olduğu gibi, birinci satırı üçüncüyle ve ikinciyi dördüncüyle değiştirmek gerekir.

<7>, <8>, <9>, <10> sihirli karelerinin birbiriyle ilişkili olduğu ve her birinin 56 çeşidi olduğu ortaya çıktı. (Frenikl ile aynı.)

Son iki tür <11> ve <12> için yalnızca 16 sihirli kare kaldı. Bu çok az; bu çok garip (gerçi Frenicle tamamen aynı numaraya sahip). Görünüşe göre, eksik simetriye sahip 4 × 4 sihirli kareler, benzerleri arasında bile son derece nadirdir. Daha önce, <11> ve <12> kareleri için, bu iki yüzlü Janusların bir sırayla ele alınırsa, I ve II ışınlarının bir çift tarafından bağlandığı ve III. ışın boyunca olduğu açıklığa kavuşturulmuştu 1 . iki çift sayı. 180° döndükten sonra, herhangi bir ışın üzerinde iki çift olmadığı, ancak üç ışının da üç çift sayı ile birbirine bağlı olduğu ortaya çıktı. Bu durumda, her iki kiriş bir çift ile bağlanır. Hangi kisvede analiz edilmelidirler? Test daha iyi olduğunu gösterdi ... Ancak bu ne tür bir test? İki versiyonda iki hesaplama yapıldı. Bu ikilik çok merak ediliyordu ve hesapların sonuçlarının örtüşüp örtüşmeyeceği belli değil miydi? İlk olarak, kombinasyonlar iki değil, çiftler halinde bağlı üç gruptan oluştuğunda ikinci yol denendi. Böyle bir kombinasyon Sayfa 41 ila 42'deki yapılara bakın.

1 iyon vardı . Her kombinasyon bir sihirli kare <11> oluşturmaya çalışıldı. Bu sadece sekiz vakada başarılı oldu. (Bu arada, önceki tüm durumların aksine, 8'den büyük sayılarla başlayan kombinasyonlarla çalışmak zorunda kaldık. Bu, yapının eksik simetrisinin bir sonucudur.)

Kombinasyonun eski yöntemde bir çiftle birbirine bağlanan iki gruptan oluştuğu ikinci yolda, 48 değil 179 kombinasyonun uygunluğunun test edilmesi gerekiyordu. 179 kombinasyonla yeniden uğraşmak özellikle hoş değil, ancak ilk başta 179 kombinasyondan yalnızca <1> karesinin ve tüm akrabalarının temelini oluşturan 12 kombinasyonu denemek mümkün oldu. Hesaplamalar daha önce yapılanlara benzer ve oldukça basittir. Ama hiçbiri başarılı olamadı. Daha sonra sihirli kareler <6v> elde etmek için gerekli olan bu ek 14 kombinasyon denenmeye çalışıldı . Aynı sayısal kombinasyonların (bu 14'ün 8'i, özel olanlar) ayrıca <6 v > ve <11> türlerinin sihirli karelerini verdiği ortaya çıktı . İlk - sekiz versiyonda, ikincisi - sadece birinde. Örnek:

Sihirli kareden <11> sihirli kareye <12> gitmek çok kolaydır. Orta sıraları değiştirmek yeterlidir, yani daha önce uygulanan yöntemi kullanın ^.#, s.52). Bu durumda <12> karelerinin sekiz çeşidi elde edilir. (Frenicle ile aynı.)

44

Böylece, iç yapının 12 varyantı, Frenicle tarafından hesaplanan 880 4 × 4 sihirli kare varyantının tümünü verir. Ancak, asıl mesele bu değil. Yalnızca 4 × 4 sihirli karelerin toplam sayısını kontrol etmeye çalışırsak, kendimizi daha önce bahsedilen F. Fitting çalışmasıyla sınırlayabiliriz. Amacı bu karelerin sayısını saymaktı ve amacına ulaştı. Onun için 4x4 sihirli karelerin tümünün gruplara ayrıldığı merak ediliyor. İlki, mükemmel olanlar da dahil olmak üzere 528 kare içeriyordu. İkinci 352 = 192 -|- 112 -|-48 kare. Ancak bu bölme, hesaplamanın yalnızca bir yan ürünüydü ve sihirli karelerin değil, Fitting tarafından kullanılan sözde "yardımcı" karelerin sınıflandırmasını yansıtıyordu. (Bu karelerden bahsetmek gerekiyor ama sonra.)

Burada farklı bir şekilde ortaya çıktı: Sihirli karelerin analizi, iç yapılarının değerlendirilmesine yol açtı. İç yapıya göre sınıflandırma, her biri 48, 32, 24 ve 8 kare içeren nispeten küçük sihirli kare grupları veya aileleri belirledi. (Yalnızca <6 v > tipi kareler ailesi 112 temsilci içerir.) 4×4 sihirli karelerin toplam sayısı, sınıflandırmalarının bir yan ürünü olarak elde edildi.

Her türden 4×4 sihirli kare örnekleri vermek kalır, ancak çok fazla olmadığında örnekler iyidir. Her bir 4x4 sihirli kare türü için kendimizi yalnızca bir örnekle sınırlamaya çalışabiliriz. Bu durumda, özet levhası yalnızca 22 örnek içermelidir (bkz. sayfa 53).

Bu küçük tabletin tek başına 4 × 4 sihirli * kareler hakkında tüm Frenicle tablolarından daha az ve hatta belki de daha fazla işlenmiş bilgi içerdiğine inanmak zor. Bu etiket için açıklamaya ihtiyacınız var mı? Her durumda, birkaç.

<7>, <8>, <9> ve <10> karelerine neden iki örnek veriliyor? Daha önce, her türün 56 varyantından 32 varyantın 8 sayısal kombinasyonla ve 24 diğer varyantın 12 diğer kombinasyonla belirlendiği bulunmuştur.

22 örneğin tamamını tamamlamak için kaç tane sayı grubu ve bu grupların kombinasyonu gerekti? Sayması kolay: sadece 7 grup, sadece 6 kombinasyon.

Bazı karelerin köşelerindeki küçük dikdörtgenler ve üçgenler ve diğerlerinin üzerindeki küçük artılar ne anlama geliyor? Sadece bu tablet, hakkında henüz hiçbir şey söylenmemiş olan Sihirli Kareler hakkında biraz daha bilgi içeriyor.

Doğru, söylenmedi ama şimdi yapabilirsiniz.

Yunan Harfleri

Frenicle, tablolarında, bazı 4×4 sihirli karelerin üzerine Yunanca harfler koydu - a, β, y, S. Bazılarında bu harfler yoktur. Neden bunu yaptı? Neyi temsil ediyorlar? Cevap, 4x4 kareler tablosundan önce gelen sihirli kareler üzerine kendi çalışmasında saklıdır. Belli sayıda sihirli kareler yaptığında, Frenicle'ın bunları birbirinden ayırma arzusu içinde olduğu oldukça açıktır. Bu tamamen doğaldır ve bu koşullar altında herkes aynı şekilde düşünürdü. Frenicle muhtemelen şu şekilde mantık yürütmüştür: 4x4 sihirli kare, her biri 4 hücreden oluşan 10 düz sıra içerir (satırlar, sütunlar, köşegenler) ve bu sıraların her birindeki sayıların toplamı 34'tür. Bunda, tüm 4x4 sihirli kareler birbirine benzer diğer. bir arkadaşta. Neden birbirlerine benzemiyorlar? Sihirli karenin ana hatları içinde ayırt edilebilen 4 ve 9 hücreli küçük karelere dikkat çektiğinde aralarındaki fark netleşti. Frenicle bu tür 14 iç kareyi ayırt etti:

A grubunda, Frenicle, 14 iç karenin köşelerinde bulunan sayıların toplamı 34'e eşit olan bu tür sihirli kareleri dahil etti. Yirmi dört (10 -f-14) eşit toplamlı 4×4 sihirli karelerin tümü <3> tipi iç yapıya sahip çıktı. Hatta harika. Şimdiye kadar pek dikkat çekmeyen Kare <3>, bir anda Frenicle'ın sınıflandırmasına göre en yüksek puanı aldı.

β grubu, 12 iç karede toplam 34'ün elde edildiği sihirli kareleri içeriyordu. Bu grup, <6 v > kareleri hariç, <4> tipindeki tüm kareleri ve <6> tipindeki tüm kareleri içerir .

γ grubu, 10 iç karesi toplamı 34 olan sayıları içeren sihirli kareler içerir. Hepsinin <1>, <2> ve <5> türünden sihirli kareler olduğu ortaya çıktı. "Puan"ın dörde eşit olduğu S grubunda <6 v ), <7>, <9> ve <12> türlerinin tüm sihirli kareleri yer almaktadır. Frenicle'ın herhangi bir Yunanca harf harcamayı gerekli görmediği "puan" ikiye eşit olan son grupta, <8>, <10> ve <11> türünde tüm sihirli kareler vardır.

Frenicle, 4 × 4 sihirli karelerin "kalitesini" bu şekilde - iç karelerin köşelerinde bulunan eşit toplam sayıların sayısına göre değerlendirdi. Bu sınıflandırma kendi içinde ilginçtir, ancak uzun süredir yerini eşit toplamların sayısını da dikkate alan bir başkası almıştır, ancak onları oluşturan sayılar farklı düzenlenmiştir.

İç meydanları terk etmeden ve onlara bir daha geri dönmeden önce, bunlardan birini düşünmek ilginç olurdu. 880 sihirli karenin (4×4) tümü için içteki dört hücrede (iç kare "a") bulunan sayıların toplamının mutlaka 34'e eşit olduğu iyi bilinir. Neden böyle? Bu, iç yapı kadar basit bir şey kullanılarak açıklığa kavuşturulabilir mi?

o = 2σ karesinin “sabitine” eşitse , bu sayılar ya 2 çifte ayrılır ya da zaten bilinen 58 gruptan birini oluşturur. İki çift hakkındaki varsayımı kontrol etmek çok kolaydır. 12 iç yapının tümünün çizimleri, orta hücrelerdeki iki çiftin <1>, <6>, <7> ve <8> türlerinin tüm sihirli karelerinde bulunduğunu hemen gösterir. Böylece sorunun bir kısmı kolayca çözülür.

a 2 ' t b 2 ', β 2 sayıları içerdiği açıktır ; ∕ 2 . θ τ0 sayılar sihirli kare <1> içinde, üçüncü (sağ alt) çeyreğin hücrelerindedir. Bu sayıların toplamını bulabilir misiniz?

3 (çeyrek sayısına göre), ikinci çeyreğin (sağ üst) ile s 2 arasındaki sayıların toplamını ve dördüncü çeyreğin (sol alt) toplamını belirtirsek bu mümkün ve oldukça kolaydır. ) s 4'e kadar . Bu gösterimde: s 3 4-s 4 = 2∑ o çünkü bu 8 sayı 2 alt satırı tamamen dolduruyor; s 3 4- s 2 = = 2∑ o çünkü sağ sütunda 8 sayı var. Toplam (s 2 4- ψs 4 ) 4- (s 3         s 2 ) = 2s 3 4-(s 2 4- s 4 ) = 4Σ 0 . Ama şöyle bir karede

<1> İkinci ve dördüncü kadrandaki 8 sayı 4 çift oluşturur. Bu nedenle S 2 4- s 4 = 4σ = 2∑ o . Bu nedenle, <1> türündeki tüm kareler için 2s 3 4- 2∑ o = 4Σ 0 ve s 3 = ∑ o , ancak <2> ve <3> türündeki tüm sihirli karelerin orta hücrelerinde aynı sayılar var.

Orta hücrelerdeki <4 , > ve <5׳> karelerinde c 2 sayıları bulunur ; d2 ; _ g2 ; _ / g2 ; ve <4 ,, > ve <5 ,, > karelerinde — c 1 sayıları ; d1 ; _ g1 ; _ ft 1 _ <1> gibi bir kare içinde de bulunabilirler. İlki ikinci kadranda, ikincisi dördüncü kadranda bulunur. <1> karesinin kadranlarındaki sayıların toplamlarının önceki analizinden, s 3 = s 1 = s 2 = s 4 = ≡= ∑ 9 olduğu açıktır . Bu nedenle <4> ve <5> tüm kareleri için problem çözülmüştür.

Hala <9>, <10>, <11> ve <12> kareleri var. Analizleri için, <1> karesi ve ilgili kareler, diğer sayısal kombinasyonlara dayandıkları için uygun değildir.

1 sayıları <9> ve <10> karelerinin orta hücrelerine yazılır ; d1 ; _ ∕ι 2 ; g2._ _ _ Toplamları gerekli olandır. S a olarak gösterilebilir ("a" iç karesine göre). <9> karesinin köşe hücrelerindeki (iç kare "e") sayılar 2 çift oluşturur. Bu nedenle Sq = ∑ o . Ancak 8 adet iç kare a) ve e) her iki köşegeni de doldurur. Bu nedenle, s a 42 = ⅜ ־∑ o . O zaman s a == 2Σ 0 - s d ≡ = 2∑ o - ∑ o = ∑ o . Problem <9> ve <10> kareleri için yani toplam 864 kare için de çözüldü.

<11> ve <12> tipindeki son 16 kare öncekilerin hepsinden daha zordur. <11> karesinde ortadaki hücreler fe 2 sayılarıyla doldurulmuştur ; d2 ; _ ∕ 1 ; g1._ _ _ Toplamları s a gerekli olandır. Bunu çözmek için, e) iç dikdörtgenini kullanmalıyız .

Köşelerinde bulunan sayıların toplamı, s e \u003d a 2 -f- e l - ∖ -h 1 4- 4- ile 2 . a) karesinin numaralarıyla birlikte ikinci ve üçüncü sıraları doldururlar. Bu nedenle, s a 4- s e = 2∑ o . Eğer s e'nin değerini bulabilirsek veya s a = s e olduğunu ispatlayabilirsek problem çözülecektir. Ama bu nasıl yapılır?

Birçok denemeden sonra bazı şeyler netleşmeye başlar. <11> karesinin azalan köşegeninin sayılarının toplamı: a 1 4־ f 1 4־ d 2 4- g 2 = = ∑ o . Onları bir çift olarak tamamlayan sayıların toplamı aynıdır: a 2 -f-∕ 2 + +         ÷ Si - 2 0 . Artan köşegen için: e 2 -f- fe 2 ÷ Si + ⅛ =

= ∑ o . Son iki toplamın farkı:

•0 = 2& ~ 2* ־־־ 2/ + 2"

Üçüncü sütun için: c 1 4- g 1 4- d 2 4-∕z 2 = ∑ o .

Son iki toplamın ikinci farkı:

Şimdi - parantezleri açmak, gruplamak, bir çifti tamamlayan sayılarla değiştirmek:

a) karesinde ve e) dikdörtgeninde bulunan sayıları parantez içinde toplamak mümkün oldu .

s a - 3σ - s e + σ = - ∑ o 1! s a - s e = 2σ - ∑ o = ∑ o - - ∑ o = O veya s a = s e (istendiği gibi) ve dolayısıyla s a = ∑ o . Şimdi sorun tamamen çözüldü. s a - ∑ o koşulunun 880 4 × 4 sihirli karenin tümü için iç yapı tarafından belirlendiği ortaya çıktı .

Sq = ∑ o olduğunu belirleyen koşullar araştırılabilir ; s β = ∑ o , vb. belirli 4 × 4 sihirli kare türleri için, ancak bu daha az ilginç. Bir sonraki adım, sihirli karelerin "kalitesini" belirlemenin başka bir yoludur, şimdilik 4×4 ve gelecekte de diğer boyutlar. İçinde, iç kareler yerine, 18. yüzyıldan başlayarak, sözde "kırık" köşegenler daha sık kullanılmaktadır. Bunlar, 4 × 4'lük bir karede içlerindeki hücrelerin toplamı dörde eşit olacak şekilde iki çapraz sıradır. (5×5 karelerde beş hücre vardır, genellikle 1r hücreleri vardır.) Her iki sıra da karenin köşegeninin karşılıklı kenarlarında kendilerine paralel olarak yer alır.

Kırık köşegenler bir kontura kapatılırsa, zemin 4 üçgen kırık köşegen ve 2 dikdörtgen köşegen öğrenir. (5x5 karede 4 üçgen ve 4 yamuk olacaktır. 6x6 karede 4 üçgen, 4 yamuk ve 4 kırık dikdörtgen köşegen olacaktır.) Kırık köşegenlerin avantajı sadece daha az köşegen olması değildir (6, 8, 12) ) 4x4, 5x5, 6x6 sihirli karelerdeki 14, 26, 51 iç kareye kıyasla. Kırık köşegenlerin, sihirli karelerin ana köşegenleriyle yakından ilişkili olduğu ortaya çıktı. Bu çalışmanın sonunda tartışılacak olan harika bir genelleme kullanarak, kırık köşegenler ana köşegenlere ve ana köşegenler kırık köşegenlere dönüşebilir. Şimdilik görev

49

cha, sayıları toplamı ∑ o = 34 sabitine eşit olan bu tür kırık köşegenleri aramaktan ibarettir.

bu tür "iyi" kırık köşegenleri belirlemenizi sağlar. Her şeyden önce, bu, kırık köşegenin sayılarının iki çift oluşturduğu tüm durumlar için geçerlidir. Buna bir örnek, <1> tipi ve <2> tipi tüm sihirli karelerin hem dikdörtgen kırık köşegenleridir:

(Karenin köşelerindeki iki küçük dikdörtgen, başarılı dikdörtgen kırık köşegenleri gösterir.)

köşe köşegenleri iki çift içerir.

(Şanslı üçgen kırık köşegenler, karenin köşe köşelerinde üçgenlerle işaretlenmiştir.) Kırık köşegenler kullanılarak sihirli karelerin kalitesini değerlendirirken,

Gotsal, <3> kareleri en yüksek puana sahiptir ve ilk sıradadır. Kareler <3> mükemmel sihirli karelerdir. Eski terminolojiye göre "süper büyü", "pan-sihir", "şeytani" ve benzerlerinin kareleridir. Yapılarının <3> sayısal tanımının uygun olmadığı durumlarda, böyle bir yapı haklı olarak mükemmel olarak adlandırılabilir.

<4>, <5>, <6> türündeki sihirli karelerin kalitesinin analizi biraz farklıdır.

Bu karelerin dikdörtgen kırık köşegenleri iki çift içermez. İlk kare <4> için, sırayla her köşegenin sayılarının toplamı alınarak problem çözülür:

β l “Ve ^2 + ^2 4־ e l = ¾

B! 4־ c 2 + S2 + fl ~ ^0•

Bu sekiz sayı, kırık dikdörtgen köşegenlerde yer alan sayıları çiftler halinde tamamlar. Bu nedenle, toplamları da ∑ o : a 2 + ⅛ +         + e 2 = ∑0'a eşittir

VE

⅛2 - ∣ ~ C 1 4־ Sl + /2 ~ ∑0∙

<4> ve <5> karelerinin dikdörtgen kırık köşegenleri aynı sayıları içerir. Bu, <5> karesindeki her iki kırık dikdörtgen köşegenin kalitesini ayarlar. <6> karesinde bir köşegen / 2 4־ c 1 4 2 ^ + 1? ־, <4> ve <5> karelerinde aynı köşegenin tekrar eden ־ sayıları ve ikinci dikdörtgen kırık köşegenin 2'sinden ⅛ + ?« ÷∕1 ÷ sayıları bunları çiftler halinde tamamlar . Bu nedenle, toplamları eşittir ∑ o .

v > tipi kareler için tamamen uygun değildir . <4> tipindeki karelerin dayandığı diğer sayısal kombinasyonlara dayalıdırlar; <5>; <6 , >; <6 ,, >; <6'">; <6 ιv >. Bu nedenle, cebirsel notasyon yardımcı olamaz ve sayısal örneklerle uğraşmak gerekir. <7>, <8>, <7>, <8>, <9>, < 10>, <11>, <12> Sayısal örneklerden <6 v >, <11>, <7 , >, <8>, <9 , >, < karelerinde olduğunu öğrenmek mümkündür. 10> tüm kırık köşegenlerin sayılarının toplamı ∑ o'ya eşit değildir (Bu tür kareler üstte küçük bir eğik çarpı ile işaretlenmiştir.) Yalnızca <79> ,<״"> ve <12> karelerinin her birinin iki "iyi" değeri vardır " üçgen kırık köşegenler. Bu, özet tablosundaki örneklerde belirtilmiştir. Ancak iki istisna vardır. (Şaşırtıcı değil 51

istisnalar, ama çok azı olduğu için. Sihirli karelerin sinsi doğası ve kuralların vesayeti dışına çıkma eğilimleri bilindiği için, daha fazla istisna beklenebilir . ) ve <9 , > vakaların yalnızca yarısında geçerlidir. Sadece üst ve alt sıralardaki orta sayıların düzenlenmesinde birinciden farklı olan bu karelerin varyantlarının ikinci yarısında iki "iyi" kırık köşegen vardır. Ters resim <7 , '> ve <9 ,, > kareleri için görülebilir .

X

1)         2)

Frenicle örneğini izleyerek kalitenin bir özetini derlersek, aşağıdakileri elde ederiz: 1) tüm kırık köşegenlerin yalnızca 48 tam karede "iyi" olduğu ortaya çıktı <3>; 2) 2 "iyi" dikdörtgen köşegen, <6 v > dışında <1>, <2>, <4>, <5>, <6> türünde 480 sihirli kareye sahiptir ; 3) <7'>, <7 ,, > , <9 , >, <9">, <12> türünde 64 sihirli karenin 2 "iyi" üçgen köşegeni vardır; 4) "iyi" kırık köşegen yoktur 288 başka sihirli kare.

4 × 4 karelere son bir göz atarsak, o zaman, elbette, mükemmel <3> kareler en çok dikkati çeker ve bunlarda, herhangi bir aşırı sırayı yeniden düzenlerken iç yapının modelini korumak için olağanüstü bir yetenek vardır. karenin karşı kenarına. Bu durumda, hem üçgen hem de dikdörtgen olan kırık köşegenler , karenin ana köşegenleri haline gelir ve daha önce kırık ve ana köşegenler arasında daha önce not edilen derin bağlantıya tanıklık eder.

Mükemmel bir sihirli karenin satırlarını hareket ettirme özgürlüğü, böyle bir karenin, ilk sol üst hücrede herhangi bir sayı ile 16 çeşit mükemmel kare elde etmesine olanak tanır.

4 × 4 48 tam kare vardır. Ancak bu, bunlardan bazı 3 temel karenin ayırt edilebileceği anlamına gelir ve geri kalan her şey, uç sıraları yeniden düzenleyerek elde edilebilir. Üstelik 45 erkek kardeşinin en büyüğü olan bu 3 tam kare herhangi bir sayı ile başlayabilir, örneğin bir. Bu tür üç kareyi bulma sorunu basit görünüyor ve çabucak cevaba götürüyor:

Bu üç kareyi birbiriyle karşılaştırmak ilginç. a) karesinin sütunlarına yerleştirilen sayılar 6 1 ) ve b 2 ) karelerinde kadranların içindedir. 6 1 ) ve b 2 ) karelerinin köşe hücrelerinde a) karesinin üst sırasından sayılar vardır . 6 1 ) ve b 2 ) kareleri , şekilde gösterilen a) karesinin dönüştürülmesiyle elde edilebilir .

48 tam kareyi eşit büyüklükteki üç gruba bölme olasılığının, <2> ve <1> kareleri için (ters dönüşümle) aynı bölme olasılığı anlamına gelmesi daha az ilginç değildir. Ve <2> üç kare grubu, aynı dönüşümle <6 v > dışında <4>, <5>, <6> üç eşit kare grubuna indirgenir . r Tenepb Tüm bu kareler için seçenek sayısının üçe bölünebilir olması şaşırtıcı değildir.

Ama hepsi bu kadar değil. Orijinal karenin satırlarını kaydırarak tam karelerin varyantlarını elde etme olasılığı, sihirli karelerle ilgili yeni fikirlerin ortaya çıkmasına neden olur, ancak bunların ötesine geçer. Bu gösterimler o kadar şaşırtıcı ve tuhaftır ki, daha sonra, hatta belki de çalışmanın sonunda, farklı büyüklükteki sihirli kareler söz konusu olduğunda, diğer büyüklüklerin tam karelerini elde etmenin mümkün olduğu anlaşıldığında, ayrı ayrı ele alınmalıdır. boyutlar.

BÖLÜM

SÜRPRİZLER

Her şey uzun zamandır biliniyor!

Hepsi bu? Elbette 5×5 sihirli karelerin münferit örnekleri yüzlerce yıl önce biliniyordu. Bunları oluşturmanın bazı yolları da bir o kadar eskidir. Modern sayı teorisi, en eski üç 5×5 sihirli kare türü için genel bir açıklama sağlamıştır. Bir çerçeve şeklinde çerçevelenmiş dördüncü tip, biraz ayrı olmasına rağmen, aynı derecede eskidir. Bunlar, buradaki tüm soruların gerçekten akılda kalıcı olduğuna dair işaretler değil mi?

Garip olan tek bir şey var: 5 X 5 sihirli karelerin sayısı bilinmiyor, tam sayıları bilinmiyor değil. Hayır, sayıları yaklaşık olarak bile bilinmiyor. Doğru, Frenicle teras yöntemini ve çerçeve yöntemini kullanarak bir dizi 5×5 kare hesapladı , ancak bu çalışma onun tam 4×4 kare tablolarıyla karşılaştırılamaz.

Belki bu kareleri 4 X 4 karelerde olduğu gibi iç yapılarına göre gruplara ayırmaya çalışırsak, dolaylı olarak 5x5 sihirli karelerin sayısı hakkında bazı yeni bilgiler elde edilecektir? Ve sonra her grup için ayrı ayrı numaralarını arayın. Doğru olmasına izin vermeyin. Bu sayının sırası bile ilginç olurdu. Ancak asıl görev, bireysel grupların veya 5 × 5 karelik "ailelerin" incelenmesi olarak kalacaktı.

Görünüşe göre elde edilen sihirli kareleri sadece dört şekilde ayırmanın gerekli olması meseleyi basitleştiriyor. Bunlardan üçü, en eski ^[8], ortak, önemli bir özelliğe sahiptir: hücrelerde sayıların düzenlenmesinin zorunlu sırasını gösterirler. Dördüncü yol, çerçeve yolu, buna sahip değildir. Ancak fikri olağanüstü derecede basit: kareyi bir dış çerçeveye ve bir iç 3x3 kareye bölün, bu kare sihirli olduğu ortaya çıkacak şekilde sayılarla doldurulabilir .

Bu görev ikiye, hatta üçe bölünür. İlk olarak, iç kare için 3 × 3 sihirli kare oluşturmayı mümkün kılacak sayıları seçmek gerekir. İkincisi, böyle bir kare yapın. Üçüncüsü, çerçevenin hücrelerinde kalan sayıları, 5 × 5 karenin tamamı sihirli olacak şekilde düzenleyin.

Henüz bu üç problemden herhangi birini çözmeden, çerçeve yöntemi kullanılarak inşa edilirse gelecekteki 5×5 sihirli karenin iç yapısının nasıl olacağını doğru bir şekilde tahmin edebilirsiniz. 3x3 sihirli karenin yalnızca bir iç yapısı vardır - tam merkezi simetri. (Bu daha önce açıklanmıştı.) Bu nedenle, 5x5 çerçevesinden çıkarılan 3x3 sihirli iç karenin yalnızca aşağıdaki yapıya (a) sahip olması gerekir:

Çerçevedeki sayıların dizilişi, içteki 3x3'lük karenin satır, sütun ve köşegenlerindeki eşit toplamları bozmayacak şekilde olmalıdır. Bunu yapmak için kalan 8 çift sıra, sütun, köşegen (b) yönünde yerleştirilmelidir. Bu nedenle, çerçevenin tüm satırlarındaki toplamlar (yalnızca çerçeveler!), en dıştaki satırlar hariç, σ'ya eşit olacaktır. 1, 2, 3,..., 23, 24, 25 dizilerinin sayılarının yerleştirileceği 5×5'lik bir karede, o'nun değeri, her zaman olduğu gibi, dizinin iki üyesinin toplamına eşittir. uçlarından eşit uzaklıkta olan dizi, örneğin, birinci ve son: σ = l -f-25 = 26. ∑ o toplamı iyi bilinen formülle hesaplanır:

∑ 0 = 4 ∙ nσ = 4 ∙5 ∙ 26 = 65. Z         Z

Bu nedenle, iç sihirli karenin satırlarında 65 - 26 = 39 = Σ 3'e eşit sayıların toplamı olmalıdır .

Böyle sihirli bir kare nasıl yapılır? Sınırlayıcı koşullar nelerdir? Sadece iki tane var:

1. İç kare için 9 rakam 1, 2,..., 24, 25 sıralarından alınmalıdır;

2. 3 = 39 olmalıdır .

Bu koşullar, 25 sayıdan 9'unu uçlara eşit uzaklıktaki terimlerin toplamının 26 = o olması gereken bir dizi oluşturacak şekilde seçersek karşılanabilir. O zaman Σ 3 = = !.S. 26=39.

Bu tür sadece 18 satır var.

1), 11), 18) satırları, sonraki her sayının bir öncekinden 1, 2, 3 daha büyük olduğu aritmetik ilerlemelerdir. Diğer tüm satırlar için, üçüncü ve dördüncü sayılar ile altıncı ve yedinci arasındaki bu fark farklı olduğu ortaya çıkıyor.

Bu sıraların uygunluğunu test etmenin en kolay yolu, 3x3 sihirli karelerin 18 çeşidini de yapmaya çalışmaktır. Aynı zamanda, bir yerine satırın ilk numarasını, iki yerine - satırın ikinci numarasını vb. yazın (bkz. sayfa 66).

Tüm karelerin yapımı hiç zorlanmadan başarılır. Hepsinin büyülü olduğu ortaya çıktı ve sıralara göre 3 gruba ayrıldı. Her grup içinde sihirli kareler aynı köşegenleri içerir: I) 12 414־4 13 ־; II) Ve 4־ 413 ־ -f-15; III) 10416 ־4 13 ־. Tüm kareler için ortalama sayı aynıdır ve aynıdır - 13.

Şimdi - çerçeve hakkında. İç karelerin 18 varyantından her birinin, çerçeveye yerleştirilmesi gereken kendi 16 numarası vardır. Bu 16 sayı, iç kısımda yer alan dokuz sayının 1, 2, 3, ..., 24, 25 doğal dizisinden çıkarılmasıyla belirlenir.

Çizgi, doğal dizilerin doğal sıralarındaki mp sayılarıyla dolu 5×5'lik bir karenin ortasıdır.

56

Bu sayılardan bir çerçeve nasıl oluşturulur? Her orta için kaç çerçeve yapılabilir? Tüm çerçeve numaralarının yerleşimi tamamen üst sıradaki ve sol sütundaki sayıların yerleşimi ile belirlenir. Sayısal kombinasyonu biliyorsanız, burada her şeyin netleştiği ortaya çıktı. İki sayı grubu içerir: 1) a 1 + b 1 + C 1 + d 1 + e 1 = ∑ o = 65 (I ışınında) ve 2) a 1 4√ 1 -J- + g 1 + h l + e2 = S 0 = 65 (Işın III'te).

57

Sayısal gruplarınız için 18 seçeneğin her biri için 5'er sayı olacak şekilde derleyerek işe başlamalısınız. Numaralar 16 numaranın karşılık gelen sıralarından alınmalı ve toplam 65 olmalıdır. Grubun hiçbir numarası, aynı grubun başka bir numarasının çiftini tamamlamamalıdır. Seri 3) için bu tür 33 grup seçmek mümkündür. Örneğin: 1.1) 1 43 ־ -f-15 4- 22 4- 24; 1.2) 1 -f- 424 ־4 21 ־4 16 ־4 3 ־ vb. en küçük sayı, ancak başka bir sayı. Bu tür 52 durum vardır ve bu, toplam grup sayısını 85'e çıkarır. Bunlardan, seçenek 3) için sadece 17 kombinasyon yapılabilir. İki grubu birleştirme olasılığını belirleyen koşul, birlikte bir çift oluşturan her birinin bir sayı içermesidir. (Cebirsel gösterimde bunlar e 1 ve e 2 sayılarıdır .)

İç 3x3 karenin 18 varyantının her biri için, kutuda kullanılan her bir geçerli kombinasyon, sihirli karelerin 288 alt varyantının oluşturulmasına izin verir. Bu nedenle, 17 uygun kombinasyona sahip yalnızca bir seçenek 3) 17 × 288 = 4896 - neredeyse 5 bin alt seçenek içerir.

Neden tam olarak 288? Bu sayı biliniyor ve kolayca açıklanıyor. En üst sıradaki 5 sayıdan yalnızca a 1 ve e 1 sayıları kesin olarak sabitlenmiştir . Sayılar δ1 ; c1 ; _ d 1 herhangi bir sırayla yerleştirilebilir: 1) b 1 4־ 4־ С 1 4 2 ⅛ ־) b 1 4־ d 1 4־ q; ' 3) c 1 44 ⅛ +         ־ ) c 1 4־ d 1 4־ b 1 ∖

5) d 1 4- b 1 4- c 1 ; 6) d 1 4- c 1 4- b 1 . 6 seçeneğin tümü eşit derecede uygundur. ∕ 1 sayısının sol sütununda ; g1 ; _ h 1 ayrıca 6 farklı şekilde yazılabilir. Bu nedenle, ortadaki bir varyantın ortaya çıktığı ortaya çıktı.

3. 6 -6 =36 çerçeve seçeneklerine eklenebilir 3). Ama içeride! Erken kare çerçeveye herhangi bir dönüşte gömülebilir, başka bir deyişle, burada 8 olmayan seçenekten herhangi biri uygundur. Bu nedenle, tek başına kombinasyon için 36 •8=288 seçenek vardır.

18 sıranın tamamı için kaç tane sihirli kare olduğunu bulmak için her sıra için kombinasyon sayısını bilmeniz gerekir. Tek tek sıralar için kombinasyon sayısı arasındaki fark küçükse, birkaç satır için kombinasyon sayısını bilmek yeterli olacaktır.

Bu çalışma, seçenek 3) ile aynı yolları izler ve aşağıdaki sonuçları verir: 7) serisi numaralarından 34 grup ve 22 kombinasyon yapılabilir; 13. sıra) 36 grup ve 19 kombinasyon verir: 16. sıra) 28 grup ve 19 kombinasyon verir. Dört durumda kombinasyon sayılarının birbirine yakın olduğu ortaya çıktı. 18 sıranın dördü 77 kombinasyon veya ortalama olarak 1 sıra başına yaklaşık 19 kombinasyon verdi. Burada gereksiz olan kesinliği göz ardı ederek, 18 sıranın tümü için çerçeve yöntemiyle oluşturulan toplam sihirli kare sayısının yaklaşık olarak şuna eşit olduğunu varsayabiliriz: .Bir düşünün■— 10000! Tüm 4×4 sihirli karelerin sayısından 120 kat fazla.

Çerçeveyle aynı şekilde yapılmış, ancak farklı boyutlarda kaç tane sihirli kare vardır? 6×6 kareler için 1, 2, ..., 35, 36, 30 sıra 16'şarlı sıralar iç karelere (4X4) ve 20'şerli 30 sıra yapılabilir. sırasıyla çerçeveleri doldurun. 16 sayıdan oluşan her satır 880 iç kare ve 20 sayıdan oluşan her satır 17.280 çerçeve oluşturacaktır. (Her 20 sayı yaklaşık 30 geçerli kombinasyon verir ve bir kombinasyon içinde en üst satırdaki ve sol sütundaki sayıların sıralanması (4∙2∙3∙1) X (4∙3∙2∙1) = 24 XX 24'ü verir. = 576 alt seçenek Toplam 30 X 576 = 17280.) Kutu yöntemiyle oluşturulan 6×6 sihirli karelerin toplam sayısı 30 X (880 X 8) X 17 280         3 650 000 000 —

üç buçuk milyardan fazla. Bu hesaplamadan sonra, 7 X 7, 8 X 8 vb. çerçeve yöntemi kullanılarak oluşturulan sihirli karelerin sayısıyla ilgilenme arzusu yoktur. Orada oldukça fazla var.

Kutu yönteminde yapılan 5×5 sihirli kareler hakkında son bir soru: bunların kalitesi nedir? İçlerinde toplamları 65 olacak şekilde 5 sayı içeren kırık köşegenler bulmak mümkün müdür? Bu tür kareler arasında, tüm kırık köşegenlerin ∑ o verdiği tam kareler var mı ?

Öncelikle 5×5 sayısal karelerin kırık köşegenlerinin ne olduğunu görmemiz gerekiyor? Sekiz tane var: 4 üçgen ve 4 yamuk. Çerçeve yöntemine göre oluşturulan sihirli karelerin iç yapısının çizimi, kırık köşegenin sayıları toplamının ∑ o'ya eşit olup olmadığını belirlememizi sağlayacak herhangi bir işaret içermiyor mu ?

Seri 3) için 17 uygun sayısal kombinasyon yapılabilir. 13. satır için bu tür 19 kombinasyon vardır. Her geçerli kombinasyon, çerçeve tarzında oluşturulmuş 288 sihirli kare verir . Aralarında "iyi" kırık köşegenler içeren kareler olacak mı? 3. sıraya karşılık gelen 17 kombinasyondan biri şu grupları içerir: 1) 1 -|- 5 424 -|- 20 ־4 15 ־ ve 2) 1 4- 4 44 21 ־4 16 ־- -p 23. bu kombinasyona dayalı sihirli karelerin hesaplanması iki kanala ayrılır. Her biri, yalnızca bir "iyi" üçgen kırık köşegen içeren 8 çeşit sihirli kare verir.

a) tipinde bir köşegendir , diğer dördü için b) tipindedir . 4×4 karelerde olduğu gibi “iyi” bir kırık köşegenin varlığı ve konumu sihirli karenin köşesindeki üçgenle gösterilir. 8 seçenekten birini diğerlerine çevirmeyi sağlayan dönüşüm meraklı. Bunu yapmak için, sadece 15 ve 24, 16 ve 23, 19 ve 17 sayılarını değiştirin.

13. satır için, 1) 34־84 ־ IO-[-19425־ ve 2) 3 421־4 18 + 14 ־4 9 ־ gruplarından oluşan sayısal bir kombinasyon seçildi. Ve burada hesap ikiye ayrılıyor. İlk durumda, her biri yalnızca bir "iyi" kırık üçgen köşegen içeren 8 çeşit sihirli kare elde ederiz. İkinci durumda, yamuk köşegen "iyi" çıkıyor ve varyant sayısı 16 çıkıyor. Sadece 19 ve 10, 14 ve 21 sayılarının permütasyonları ile değil, aynı zamanda dört olmayan tarafından da belirlenir. -iç 3x3 karenin varyantları, bu karenin köşegenlerinin yakınında 180 ° üç kez döndürülmesiyle elde edildi.

Gerçekleştirilen kontrol, çerçeve yöntemiyle oluşturulan bu tür yüz bin kareden yalnızca 2 X 288 = 576 sihirli kareye dokundu. Bu 576 kare geri kalanının kalitesini değerlendirmek için yeterli değil. Henüz ortak bir çözüm yok ama kim düşünmeyi ve tahmin etmeyi yasaklayacak? İncelenen 576 sihirli kare arasında, bir "iyi" kırık köşegeni olan yalnızca 48 tane vardı ve "iyi" iki veya üç köşegeni olan tek bir sihirli kare yoktu, sekiz kırık köşegenden bahsetmiyorum bile. Bir önsezi onların burada olmadığını gösteriyor ama elbette bunu kararlı bir şekilde iddia etmek imkansız. Muhtemelen burada tam kareler yoktur, ancak bu bile mükemmel 5×5 karelerin nasıl yapıldığını öğrendikten sonra daha net hale gelecektir.

Basit kurallar

ve bariz istisnalar

5 × 5 karelere ilk sayıyı - bir - yerleştirmek için 25 değil, yalnızca 6 hücre kullanılabilir. Diğer tüm kareler, karenin döndürülmesi veya aynalanmasıyla elde edilebilir, yani bunlar değişken değildir.

5×5 karelerin tamamı ünitenin konumuna göre 6 gruba veya ana seçeneklere ayrılabilir. Bunları A, B, C, D, D, E harfleriyle belirtmek uygundur.

İkinci sayının - iki - yerleşimi, 1'den 2'ye kadar olan adımla belirlenir. 5 × 5 sihirli kareleri derlemenin ünlü antik "klasik" yolları, 2'den 3'e, 0m3k4 ve 0m4k5'ten adımların aynı olması bakımından farklılık gösterir. 1'den 2'ye adım. (Aynı kural farklı büyüklükteki tek kareler için geçerlidir.) Kural gerekli tüm durumlarda uygulandıktan sonra, bu kurala aykırı davranarak sihirli kare yapmaya çalışmak merak uyandırır. Bu gelenek ihlalinin başarılı bir sonuca yol açmayacağını düşünmek gerekir, ancak eski kuralın bir kez daha onaylanması büyük bir sorun olmayacaktır.

"Klasik" kuralları uygulamaya yönelik ilk girişimlerde, istisnalar ve yasaklarla karşılaşmak gerekir. İkisini bir satıra (üst üste, sütuna, çapraz olarak) koymanın imkansız olduğu ortaya çıktı. Bunun nedeni 3, 4 ve 5 sayılarının da aynı satıra girilmesi gerekeceğinden 1, 2, 3, 4, 5 sayıları hangi sırayla yerleştirilirse yerleştirilsin toplamları 15 değil 15 olacaktır. 65. Böyle bir dizi içeren bir kare büyülü olmayacaktır. Bu nedenle, A)'dan E)'ye kadar olan tüm durumlar için 1, 2, 3, 4, 5 sayılarının düzenlenmesi yalnızca eğik sıralarda, örneğin azalan (a) veya artan (b) köşegenine paralel olarak yapılabilir.

Bir karenin hücrelerindeki sayıları düzenlerken, sayıların bir kısmı karenin dışında kalıyor. orada olabilirler

bir satır veya sütun veya köşegen boyunca 5 boşluk taşınırlarsa döndürülürler. Sayıdan sayıya diyagonal paralel geçiş bir sonraki hücrede değil, hücre (c) aracılığıyla gerçekleşirse aynı şey gereklidir. 2 hücreden (d) çapraz bir adım kullanarak sayıları düzenleme girişimi,

bir hücre aracılığıyla, ancak ters yönde bir düzenlemeye yol açar. Bir satranç atının hareketiyle, köşegene paralel olmayan sayıdan sayıya geçmek mümkündür. Satranç şövalyesinin uzatılmış hamlesi, ortaya çıktığı üzere, ya bir pulun normal hamlesine yol açar

Tüm bu koşullar nedeniyle, sıralı bir sayı düzenlemesiyle, sayıdan sayıya bir adım için yalnızca üç seçeneğin mümkün olduğu ortaya çıktı: 1) köşegene paralel komşu hücreye, 2) hücre boyunca, yine köşegen, 3) satranç atını herhangi bir yöne hareket ettirerek. Bu nedenle, yüzyıllar önce ampirik olarak tek sihirli kareler oluşturmak için yalnızca üç "klasik" yöntem bulundu. Dördüncü bir yol yok. (Belki de kimse sayılar arasında eşit adımlardan vazgeçmek istemediği için orada değildir ? Bunu ileride düşünebiliriz.)

5 sayısından 6 sayısına (10'dan I'e, 15'ten 16'ya, 20'den 21'e) geçerken karenin hücreleri boyunca adımın ne olabileceğini (veya olması gerektiğini) bulmaya devam ediyor. İlk olarak, 5-6 adımı, 1-2-3-4-5 adımlarına eşit olamaz. Ve adım boyutu ve yönü açısından. Üç "klasik" yoldan herhangi birinde, eşit bir adımla, 6 sayısı, birinin zaten bulunduğu aynı hücreye gelir. İkinci olarak, 6 sayısı için 2 sayısı ile aynı kısıtlamalar geçerlidir. 6 sayısı da 5 hücre (sıra, sütun, köşegen) içeren bir düz satırda bir birim ile olamaz. Aksi takdirde, 11, 16, 21 sayıları da mutlaka aynı satırda görünür ve hepsinin toplamı 1 -|- 6 -[-11 -J- 16 -(- 21 \u003d 55, 65'e eşit olmaz ve bu nedenle sihirli gökyüzü karesi için uygun olmaz.

Gelecekte, 2 veya 6 rakamının girilebileceği hücreleri ararken, onlar için yasak olan hücre sıralarını (dalgalı bir çizgi ile) geçmek uygun olacaktır.

Bu, 5 × 5 sihirli kareleri üç "klasik" şekilde çizme hazırlığını tamamlayabilir, sonraki çalışmayı büyük ölçüde basitleştirir ve kolaylaştırır.

Her adımda ve adım boyunca

Köşegene paralel olarak bir sonraki hücreye bir adım atılarak sayıların sıralı düzenlenmesiyle elde edilen sihirli kareler, çerçeve yöntemiyle oluşturulan karelerle aynı bağımsız gruptur. Onların numarası? Karşılaştırma teorisi , komşu hücreye 1 çapraz bir adımla inşa edilmiş yalnızca beş adet 5×5 sihirli kare elde etmenin mümkün olduğu sonucuna götürür . Çok az varsa, bu tür karelerin tüm değişkenlerini sırayla hesaplamak ve sayılarını doğrulayabilmek o kadar kolay olacaktır.

İlk kareler elbette A) seçeneğine göre inşa edilecektir. Birim sol üst hücreye yerleştirilir. İkili, ya bir adım yukarıda ya da bir adım aşağıda olmalıdır. Ancak ikinci durum, birincinin yalnızca bir varyantı değildir. Bu nedenle ilk beş rakamı yerleştirmek için tek bir seçenek kalmıştır: A.a).

onları yerleştirdikten sonra^[9] [10]6 rakamının yazılabileceği sadece 8 hücre boş kalır, ancak iki hücrenin daha reddedilmesi gerekir. 6 sayısı karenin yükselen köşegeninde olsaydı 7, 8, 9, 10 sayıları aynı köşegen üzerine yazılması gerekirdi sayıların toplamı 65 değil 40 olurdu. dördüncü yasak sıra , ancak yalnızca 6 sayısı için. İlk üç yasak sıradan ayırt etmek için, ilkini Yunanca a harfiyle ve bu köşegeni β harfiyle işaretleyebiliriz.

Son hesaplama için, 6 sayısının konumu için yalnızca 6 seçenek kaldı.Bunlara karşılık gelen sihirli kareler, eğer başarılı olurlarsa, A olarak belirlenebilir. a. 1), A.a. 2), A.a. 6).

A seçeneğinde a. 1) 5 numaradan 6 numaraya giden adımın, hücre boyunca sola doğru çizgi boyunca yönlendirildiği ortaya çıktı. (Aynı geçişler 10'dan 11'e, 15'ten 16'ya, 20'den 21'e olmalıdır.) 6 rakamının nerede olduğunu bilerek 7, 8, 9, 10 numaralarını işaretlemek kolaydır; sonra 10'dan I'e geçiş yapın; 12, 13, 14, 15 yaz, 15'ten 16'ya git, 17, 18, 19, 20 rakamlarını yaz. Ancak 16, 17, 18, 19, 20 sayıları karenin ana köşegeninde bitiyordu. . Toplamları 65 değil 90'dır. Böyle bir dizi sihirli kareye uygun değildir. Bu nedenle A seçeneği a. 1) kaybolur ve bitirmenin bir anlamı yoktur.

Bu başarısızlıktan bir şeyler öğrenilmelidir. Toplamlarının 65 olması için hangi 5 ardışık sayının seçilmesi gerektiğini önceden belirlemek mümkün müdür? Örnekler bizi yalnızca bu türlerin uygun olduğuna ikna ediyor: Ve ψ 12 -|- 13 + 14 -|- 15 = 65. Bu nedenle, eğer And sayısı karenin serbest köşegenine düşüyorsa ve hareketler aynı köşegene paralel gidiyorsa, o zaman böyle rastgele bir çay, sihirli bir kare elde etmenin garantilerinden biridir. Bu ilk.

İkincisi: İlk altı sayıyı yazdıktan sonra, Ve sayısının köşegen üzerinde olup olmayacağını hemen öğrenmek mümkün mü? 6'dan AND'ye geçiş, 1'den 6'ya geçişle aynı olmalıdır. Bu nedenle 1 → 6 adımını ikiye katlayarak AND sayısını içerecek hücreyi bulabilir ve karenin köşegeninde olup olmadığını görebilirsiniz. A.a durumunda. 1) Ve sayısı köşegen üzerine düşmedi ve bu nedenle sihirli kare başarısız oldu. Sayı yerleştirmek için diğer beş seçenek arasından yalnızca ikisi başarılıdır: A. a. 4) ve A.a. 6).

Tüm sihirli kareler A) ailesinin sadece iki kareyle temsil edildiği ortaya çıktı. Burada ilgili seçenekler veya alt seçenekler yoktur. Ve çerçeve yöntemi kullanılsaydı kaç tane olurdu? yüzlerce...

Şimdi B) seçenekleri hakkında. İkilinin buraya yerleştirilmesi dört şekilde mümkündür. (Diğerleri değişken değildir.)

Bu nedenle, 1, ..., 5 sayılarını yerleştirmek için hemen dört seçenek ortaya çıkar: B. a), B. b), B. c), B. d). Her birinde yasak satırlar a ve β elendikten sonra 9 serbest hücre kalır. Bu, 6 sayısı için 4 × 9 olası yerleştirme olduğu anlamına gelir. Ancak bunlardan yalnızca dokuzu 11 sayısını köşegen üzerine yerleştirir. Bu, B tipinin dokuz varyantını tanımlar): B. a. 2), B.a. 6), B. b. 3), B.b. 4), M.Ö. 3), M.Ö. 4), B. g. 2), B. g. 4), B. g. 6) (77. sayfanın başına bakın). B tipi sihirli karelerin sayısı sadece dörttür (77. sayfanın en altına bakın). D tipinde sadece iki sihirli kare vardır). Seçenek E) 5 sihirli kare verir (bkz. sayfa 78).

E) seçeneğinde birim karenin orta hücresine yerleştirilmiştir. Tüm çapraz yönler yasaktır. İki tane koyacak yer yok. Bu nedenle, komşu hücreye çapraz adım atan E) seçeneği tek bir sihirli kare vermez.

Böylece karenin köşegenine paralel bir sonraki hücreye geçilerek toplam 2422 = 5- ∣ -2~4-44 9־ sihirli kare elde edilir. Çerçeve yönteminin kullanılması durumunda olduğu gibi IOO 000 değil, yalnızca 22. Yaklaşık olarak değil, tam olarak. Sonuç o kadar basit bir şekilde elde ediliyor ki bunun yüz yıl önce neden yapılmadığını anlamak mümkün değil.

Ama afedersiniz, sonuçta, 22 değil, yalnızca 5 sihirli kare çıkmalıydı. Belki de 22 kare arasında 17'si değişken değildir? Böyle bir soru mümkündür. Gerekli

17

22 sihirli karenin hepsini birbiriyle karşılaştırın. Bunun kısaltılmış bir gösterimde bile yapılabileceği değil, aynı zamanda yol boyunca bazı ilginç durumlar da bulabileceğiniz ortaya çıktı.

İlk olarak, 22 kareden altısı tam merkezi simetriye sahiptir. İsimleri: B. in. 4), V.b. 3), G.a. 1), D.b. 7), B. g. 4), D. a. 2). Her birinin orta hücresinde 13 - sıranın ortalama sayısı. Ayrıca, 22 sihirli karenin tümü için, ana köşegenlerden biri aynı sayıları içerir: 11, 12, 13, 14, 15 ..., 15, eşittir 65. Bu 20 kare, 5 kareden oluşan 4 gruba ayrılır. Her beşte, karelerden biri tam merkezi simetriye sahiptir. İsimleri zaten verilmiş. İki simetrik kare - B. g. 4) ve D. a. 2) yalnız kalmak. Görünüşe göre bu iki karenin "iyi" kırık köşegenleri hiç yok.

Bir "ailenin" 5 karesinin her birinde, birbirine paralel ana ve "iyi" kırık köşegenler aynı sayılardan oluşur. Örneğin simetrik kare B. c. 4) ve asimetrik akrabaları D. b. 3), D.a. 6), A.a. 6) ve B. b. 3) bu tür 25 köşegen içerir. Her karede, sayılar sarılır: 1) 4 + 7 + 15 + 18 + 21, 2) 3 + 6 + 14 + 17 + + 25, 3) 2+ 10+ 13+ 16+ 24, 4) 1 + 9 + 12+ 20 +23.5) 5 + + 8 +11 +19 +22. Görünüşe göre bu çok önemli değil, ancak B. c'nin simetrik karesinin konturunun yer değiştirmesiyle. 4) Bir hücreyi sola doğru, I, ..., 15 sayılarıyla köşegen yönünde

, D'nin sihirli karesini elde ederiz. a. 6). Bu tür ikinci kaydırma, D karesinin bir değişkenini verir. b. 3). Bir ve iki hücrenin sağa doğru aşağı doğru benzer bir kayması, A karelerinin değişken olmayanları tarafından verilir. a. 6) ve B. b. 3). B simetrik karesinin aynı anda kırılmış köşegenleri. c. 4) D. b'nin kendisiyle ilişkili asimetrik karelerinin ana köşegenlerine dönüştürülür. 3) vb.

Karelerin asimetrik iç yapıları D. b. 3) ve ilgili olanlar, kare konturun çapraz yer değiştirmesi ile tam merkezi simetrinin çiziminden doğrudan elde edilebilir. Bu asimetrik yapıların tamamen simetrik bölümlerden oluşması merak ediliyor.

Simetrik karelerin karşılıklı iki köşesindeki oklar B. c. 4), V.b. 3), G.a. 1) ve D.b. 7) asimetrik muadillerinden 4 tane daha elde etmek için karenin konturunu hareket ettirmenin gerekli olduğu yönleri belirtin. Bunu akılda tutarak, bu simetrik karelerin her birinin gizli bir biçimde 4 tane daha simetrik olmayan sihirli kare içerdiğini varsayabiliriz. Aynı zamanda biz-

Genel olarak, 4 + 2 karelik bir tablet, bitişik hücreye çapraz bir adımla oluşturulmuş 22 adet 5×5 sihirli karenin tümünü içerir. Hiçbiri diğerini tekrarlamıyor.

Sonuç nedir, bu sihirli karelerden kaç tanesi? Şimdi oldukça açık: sonuçta 22, 5 değil.

Bir sonraki hücreye çapraz bir adım atmanın tüm olasılıkları çoktan tükenmiş gibi görünüyor, ancak bir kez daha D.a karesine dönmeliyiz. 2). Teras yöntemi olarak adlandırılan tuhaf sihirli kareler inşa etmenin eski yönteminin gerçekte ne olduğunu anlamak için bu gereklidir. Neden tam olarak D. a'nın karesine ihtiyacınız vardı? 2)? Bu karenin dönüşümü en görsel sonucu verir. Meydanın konturuna dışarıdan dört teras eklersek ve bunlara karenin karşı tarafından aktarılan sayıları yazarsak, o zaman tüm sayılar köşegene paralel düzenli sıralar halinde düzenlenir. Ve 12, 13, 14, 15.

Teras yönteminin bağımlı olduğu ortaya çıktı. "Klasik" formunda, sayıların bir sonraki hücreye çapraz bir adımla düzenlendiği sihirli kareler 5 X 5'in yalnızca bir kısmını almanıza izin verir. Bununla birlikte, frenicle'ın yaptığı gibi sadece sıraların permütasyonunu değil, aynı zamanda sıralardaki sayıların permütasyonunu kullanarak teraslar yöntemini karmaşıklaştırırsak, o zaman 22 sihirli karenin hepsini elde edebiliriz. Ancak bu tür işlemler elverişsizdir. İlk "klasik" yönteme göre, köşegene paralel bir sonraki hücreye bir adım kullanarak sihirli kareler oluşturmak daha kolaydır.

Şimdi, sayıların sıralı düzenlenmesi için karenin köşegenine paralel bir hücrede bir adımın kullanıldığı ikinci "klasik" yolu yapabilirsiniz. Bu yöntem, bir sonraki hücreye geçmek için önceden denenmiş çapraz adıma o kadar yakındır ki, tüm argümanlar ve hesaplamalar neredeyse tam olarak önceden yapılmış olanları tekrar eder. Aynı A), B), C), D), E) seçenekleri uygundur. E seçeneği de hariç tutulur. Geçerli dört seçeneğin her birinde 2 ve 6 sayıları için satır, sütun ve birli hücreden geçen köşegen yasak, 6 sayısı için 2 rakamlarından sonra serbestse artan köşegen de yasaklanmıştır. , 3, 4, 5 zaten yerine yerleştirildi. Daha önce olduğu gibi, 1, 2, ..., ..., 5 sayıları yerleştirildikten ve yasak satırlar elendikten sonra boş kalan hücre sayısı, altının yerleştirilmesi için seçenek sayısını belirler. Ancak, öncekinden farklı olarak, burada daha önce bulunan koşulu hemen kullanabilirsiniz, buna göre 1 ve 6 sayılarının düzenlenmesi ve 1 → 6 116 → 11 adımlarının eşitliği, 11 sayısının olması gereken hücreyi belirler. sadece VE sayısının tamamen serbest bir köşegen üzerine düştüğü değişkenler üzerinde çalışmaya devam edeceksiniz (bkz. s. 82).

Gelecekteki sihirli karelerin sayısını doğru bir şekilde belirleyebilmek için 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11 rakamlarını yerleştirmek yeterlidir. A) seçeneğinde iki tane olacak, B) dokuz verecek, C) - beş, D) - iki ve E) - dört. Toplamda 22 olacak, önceki durumda olduğu gibi. Bunların arasında simetrik bir yapıya sahip sihirli kareler olabilir (veya olmalı mı?). Böyle bir yapının işareti, 13 sayısının meydanın ortasındaki konumudur. 13 sayısının karenin merkezinde olup olmayacağını önceden öğrenmek mümkün müdür? 13 sayısının gerçekten karenin merkezinde olması için, VE sayısının mutlaka 13 numaralı hücreye çapraz olarak bitişik bir hücrede olması gerekir (bkz. sayfa 82'nin alt kısmı ).

Bu, simetrik yapının, 1-6-I çift adımının, merkezi hücreye bitişik karenin köşegenine ve zorunlu olarak sayıları yazma yönüne götürdüğü karelerde olacağı anlamına gelir. Komşu hücreye çapraz bir adım atarken olduğu gibi, bu tür yalnızca 6 kare vardır. Tüm bu kareler tam bir merkezi simetriye sahiptir. Aralarında sadece iki - B. b. 8) ve V.a. 6) - "iyi" kırık köşegenlere sahip değildir ve kontur yer değiştirmesi ile dönüştürülemez. Diğer dördü A.a. 4), B.a. 6), V.b. 8), D.b. 3) daha önce olduğu gibi dönüştürülebilir ve belirlenebilir, dört

82

ilgili beş sihirli kareden oluşan yeniden gruplar.

Bu yöntemle ilgili her şey bu kadar, ancak iki açıklama daha gerekiyor.

İlk olarak, V.a'nın karesi hakkında. 6). Sadece onları sevmen gerekiyor. Onun

yapı, düzenlilik ve güzellik açısından olağanüstüdür. Tüm tek sayılar, orta çaprazda düzenli çapraz sıralar halinde düzenlenmiştir: 1, 3, 5-7, 9-11, 13, 15-17, 19-21, 23, 25. Tüm çift sayılar köşelere yerleştirilmiştir. Tek ve çift sayıların aynı düzenlemesi 3x3 sihirli karedeydi.

İkincisi, garip bir yanlış anlama hakkında. Literatürden, bir hücrede çapraz bir adımın yalnızca bir veya birkaç, iki veya üç sihirli kare oluşturmanıza izin verdiği bilinmektedir. Bununla birlikte, bu tür sihirli karelerin bir, iki, üç değil, tam olarak yirmi iki olduğu güvenilir bir şekilde netleşti. Böyle bir yanlış anlaşılmanın, tam olarak eski kuralda belirtilen yolu izleme arzusundan kaynaklanmış olması mümkündür. Birimin ikinci hücreye dış sıra boyunca köşeden girilmesi ve ardından sayıların hücre boyunca çapraz adıma göre düzenlenmesi gerçeğinden oluşur. Birimin bu yerleşimi zaten bilinen B) varyantına karşılık gelir. Ancak bu seçenek 2-3 değil, 9 sihirli kare verir: B. a. 2), B.a. 6), B. b. 3), B.b. 4), B.b. 8), M.Ö. 2), M.Ö. 6), B. g. 3), B. g. 4).

Şövalye hamlesi

Sıra, sıralı bir sayı düzenlemesi kullanan, satranç şövalyesinin hareketine eşit sayıdan sayıya geçişle - iki hücre ileri ve bir - tek sihirli kareler oluşturmanın üçüncü, son "klasik" yönteminin sırası.

yan yan. Komşu hücreye ve hücre boyunca çapraz adım için hesaplanan hesaplama yöntemini tekrar kullanmamak için hiçbir neden yoktur. Üniteyi yerleştirmek için aynı 6 seçenek uygundur - A)'dan E). Her birinde ikiliye geçiş,

bir satranç şövalyesinin hareketiyle gerçekleştirilen, 8 hücrede bir ikili düzenlemenizi sağlar. E) varyantı hariç, diğer tüm varyantlarda, bir ikiyi kaydetmek için hücrelerin yalnızca bir kısmı karenin konturu içindedir, ancak karenin dışındaki ikisi kontur içinde bilinen bir şekilde hareket ettirilebilir, onları 5 hücre ile istenen yönde kaydırmak.

Sadece karenin konturu içindeki birimlerden değil, kontur dışındaki birimlerden de başlayarak ilk adım atılırsa aynı sonuç hemen alınabilir. Karenin sağında, solunda, üstünde, altında ve çaprazında ona bitişik aynı kareler olduğunu ve bunların içine, aynı hücrelere bir tane yerleştirildiğini hayal edersek yerleri belirlenir. (Bu kural daha önce kullanıldı, ancak şimdi özellikle yararlıdır.)

Üçüncü işlem, varyant olmayanları ortadan kaldırmaktır. Bu durumda A), C), D) ve E) durumlarında ikili koymanın gerekli olacağı hücre sayısı yarıya iner, B) durumunda aynı kalır ve E) durumunda sadece bir sekiz kalıntıdan herhangi biri.

Son olarak, her durumda 6 sayısı için yasak olan β satırları işaretlenebilir. Yasaklanma sebebi çapraz adımdaki ile aynıdır: eğer 1 ve 6 sayıları aynı sırada ise o zaman I, 16, 21 sayıları mutlaka orada olacaktır. 65 değil, 55 olacak ve kare büyülü olmayacak. Numaraların sıralı kaydı herhangi bir varyantta gösterilebilir. A seçeneği olsunlar. a.). İkili yerini bulduktan sonra atın aynı yönde hamlesi 3, 4, 5 rakamlarını yerleştirir.

6 rakamının girilebileceği hücreleri bulmak için, β satırlarıyla çizilen 12 hücreyi hariç tutmak gerekir. Ama hepsi bu kadar değil. Deneme hesaplamaları, A tipi varyantlarda 6 sayısının y satırındaki dört hücreden hiçbirine girilemeyeceğini göstermiştir. 6 sayısını yazmak için sadece 4 hücre uygun kalır. Bu nedenle, A tipinde yalnızca dört sihirli kare elde etmek mümkündür. a.): A. a. 1), A.a. 2), A.a. 3) ve A.a. 4).

75

Bu sihirli karelerin "iyi" kırık köşegenleri var mı? Kareyi kontrol etme A. a. 1) aşağıdaki sonucu verir:

8 kırık köşegenin tümü "iyi" çıktı. Ancak bu, A.a karesinin olduğu anlamına gelir. 1) — mükemmel! Kardeşleri A.a'nın kareleridir. 2), A.a. 3) ve A.a. 4) - aynı nedenlerle birbiri ardına tam kareler de çıkıyor. Bir A varyantından a) hesaplamasının en başında, hemen 5 × 5 4 tam kare elde edildi.

Şimdi, A. a) versiyonunda 6 sayısını γ satırının dört hücresinden herhangi birine yerleştirmenin neden imkansız olduğu açık hale geliyor. Bu sıra, birim ile birlikte kırık bir köşegendir. Bir tam karede içindeki sayıların toplamı 65 olması gerekir ve 55 olur çünkü 6 sayısından sonra I, 16, 21 sayıları bu seriye girer, henüz belli değil. neden bu reddedilen 4 seçenek mükemmel değil de basit sihirli karelerin temeli olabilir? Bunun daha sonraki hesaplamalarda açıklığa kavuşturulması gerekecektir.

Elde edilen dört tam kare A.a) arasında tam merkezi simetriye sahip olan yoktur, ancak her biri böyle bir kareye dönüştürülebilir. Bunu yapmak için, karenin ana hatlarını 13 rakamı merkezi hücrede olacak şekilde kaydırmak yeterlidir. Mükemmel bir sihirli karenin konturunu herhangi bir yönde herhangi bir sayıda hücre ile kaydırmanın kabul edilebilirliği, 4×4 tam kareler analiz edilirken bile açıklığa kavuşturuldu. Mükemmel bir 5x5 karenin konturunun bu tür yer değiştirmeleri ile 24 tane daha mükemmel 5x5 kare elde edilecektir. Bu nedenle, A.a'nın dört karesi. 1),..., A.a. 4) her biri 25 seçenekli, toplam 100 mükemmel 5x5 kareden oluşan dört grubun temsilcisidir.

A) seçeneklerinden ayrılarak, artık önceki tüm işlemleri tekrarlayarak B), C), D), E), F) seçeneklerini kullanmak ve bunlara karşılık gelen sihirli kareleri bulmak mümkündür. Doğru, aynı yoldan birkaç kez tamamen geçmek çok eğlenceli değil, başka bir yol var mı? Belki B)'den E)'ye kadar seçenekleri hesaplamaya başlamayın, ama önce kaydırarak elde edilebilecek mükemmel sihirli karelerin neler olduğunu öğrenin.

karenin konturu A. a. 1), Bunun için bu 24 seçeneğin tamamını yazmak gerekli değildir. Karenin konturunu kaydırarak A.a. 1) her seferinde bir hücre (önce - dört kez sağa, sonra - bir kez aşağı ve tekrar dört kez sağa, vb.), bu yeterlidir

Onlara dayanarak, karenin tüm hücrelerini sayılarla doldurmak kolaydır, ancak çoğunlukla bu gereksizdir. Ünitenin konumuna göre ana değişkeni (A'dan E'ye) ve nasıl yerleştirildiğini - tablodakiyle aynı veya döndürülmüş ve bu nedenle tablodaki örneklerin bir varyantı değildir. 2 sayısının konumu a), b), c), vb. alt seçenekleri belirler. Son olarak, 6 sayısının konumu karenin gösterimindeki üçüncü işareti bulmamızı sağlar. Aynı zamanda, her seferinde 6 sayısını yerleştirmek için sadece 4 boş hücre olduğunu hatırlamak gerekir. Bunun nedeni, karenin 5 hücresinin 1, 2, 3, 4, 5 ve 16 sayıları tarafından işgal edilmesidir ve 16 numaralı hücreler, yasak satırlar β (satır, sütun, birimli hücreden geçen köşegen) ve satırlar γ (birimli aynı hücreden geçen bir veya iki kırık köşegen).

A karesinin konturunun 24 kat yer değiştirmesiyle elde edilen 24 sihirli kare arasında A. a. 1), aynı grup A'dan 3 seçenek, B grubundan 8 seçenek, her biri 4 seçenek C), D) ve E) ve bir E seçeneği). Hiçbiri eşleşmiyor

bir başkasıyla verir ve onun varyantı değildir. Bu 25 kareden sadece biri - D.'a. 1) - tam merkezi simetriye sahiptir.

1 Kare, tablodaki (sayfa 84) örneğe göre döndürülür ve bu nedenle değişken değildir.

A. ve karelerinin konturlarının yer değiştirmesinden sonra. 2), A.a. 3) ve A.a. 4) ve benzer tabletleri derleyerek, 4 × 25 = 100 varyant arasında tek bir eşleşme olmadığı ortaya çıkıyor. Bu da B), C), D), E), F) seçeneklerinin art arda daha uzun kullanılması durumunda aynı sonucun elde edileceğini göstermektedir.

Dört özet tabletin her birinde, 25 mükemmel sihirli kare arasında tam merkezi simetriye sahip bir kare vardır. Asimetrik bir karenin dönüşümü A. a. 1) simetrik bir kare verdi D. a. 1); kare A. a. 2) G. c verdi. 3); A.a. 3) - A.c. 4) ve A.a. 4) - V.c. 3). Cmmetrik kareler yan yana yazılırsa, bu kompakt gösterimde 100 seçeneğin tümünü görebilirsiniz.

Belki de dört simetrik olanın içine gizlenmiş bu yüz mükemmel kare, mümkün olan tüm mükemmel 5x × 5 kareleri temsil ediyor?

78

A. a) seçeneğindeki 6 sayısı için yasak olduğu ortaya çıkan γ serisini hatırlamanın zamanı geldi. Sıralı aramalar, L. b) ve A. c) seçenekleri için aynı sonucu verir, ancak A. d) seçeneğinde, 6 sayısını γ satırının herhangi bir hücresine yazmak ve 4 sihir daha elde etmek mümkün olur. bu şekilde kareler:

Bunlardan sadece biri tam merkezi simetriye sahiptir—A. g. 7). Hepsi mükemmel değildir çünkü kırık 1-γ köşegenleri 1, 6, I, 16, 21 sayılarını içerir ve toplamları 55'tir. Ancak kırık köşegenler, 3, 8,13 sayılarını içeren ana köşegene diktir. , 18, 23, başarılı. Örnek - kare AG 5): 23 -|- (14 -|- 5 ־ן־ 16 ־ן־

+ 7) = 65; (20 + 6) + (22 + 13 + 4) = 65; (12 + 3 + 19) ψ

+ (10 + 21) = 65; (9 + 25 + Ben + 2) + 18 = 65.

Bu özellik, karenin köşelerinde ok başları ile işaretlenmiş 3, 8, ..., 23 köşegenleri yönünde yeni karelerin konturlarını kaydırmayı ve kaydedilen karelerin her biri için 4 kare daha elde etmeyi mümkün kılar. Bu durumda asimetrik olanlar simetrik olanlara dönüşebilir ve tam tersi de olabilir.

B), C), D), E) seçeneklerinde çalışmanın devamı, 8 seçenek daha verir, kırık köşegenleri 6 sayısını yerleştirmek için uygundur: B. b), B. c.), B. g) , C.b), C.d), D.a), D.b), D.c).

Seçenek B.b), iki alt seçeneğe ayrılması bakımından diğerlerinden farklıdır. Bunlardan birinde, 6 rakamının yerleştirilmesine uygun kırık bir köşegen, yükselen ana köşegene paraleldir; diğerinde - azalan. Bu nedenle B seçeneği b) 8 verir

Seçenek E) sihirli kareler vermez.

79

-ן sihirli karelerin her birinin 3, 8,..., 23 sayılarını içeren bir ana köşegeni vardır. 3 rakamı. Her karede 3, 8,..., 23 numaralı ana köşegene dik kırık köşegenler “iyi” çıkar ve 4 sihirli kare daha elde edilmesini sağlar. A.d) seçeneğiyle birlikte sihirli karelerin toplam sayısı (4 -|- 36) • 5 = 200'e eşit olmalıdır. Ancak, burada olağan soru ortaya çıkıyor: Bu 200 kare arasında birbirini tam olarak tekrarlayan herhangi biri var mı? diğer veya değişken olmayan? 200 karenin tamamını oluşturmak ve sonra bunları karşılaştırmak yerine, yalnızca dört "iyi" kırık köşegen içeren simetrik kusurlu kareleri hesaplamanın basitleştirilmiş bir yolunu bulmaya çalışabilirsiniz. Basit sihirli karelerin toplam sayısı, simetrik olanların sayısından 5 kat daha fazla olacaktır.

A. g. 7) karesinin bir örneği, sayılar satranç atının hareketiyle düzenlendiğinde, 13 sayısının orta hücreye düştüğünü gösterir, eğer I sayısı hücrelerin dış satırındaysa, bir saniye içinde köşeden hücre. (Basit bir analiz, atın hamlesiyle oluşturulan herhangi bir varyasyon için bu kuralı doğrular.) Aynı zamanda, And sayısının konumu 1 → 6 → And çift adımıyla belirlenir.

zaten iyi bilinen A karesi de dahil olmak üzere 36 vakadan sadece 8'inde köşeden ikinci hücredeki I sayısının konumunu bulun. a. 7). Bu 8 durum aslında tam merkezi simetriye sahip 8 sihirli kare verir.

Her birinin 3, 8, 13, 18, 23 numaralarından oluşan bir köşegeni vardır. Her birinde, 3, 8, ..., 23 köşegenine dik olan kırık köşegenler, toplamı 65 olan sayılar içerir. simetrik karelerin sekizi 4 asimetrik verir ve atın hareketiyle oluşturulan basit sihirli karelerin toplam sayısı 200 değil, sadece 8 × 5 = 40'tır.

Şövalyenin hareketinin yardımıyla elde edilen sihirli karelerin görünümü ve sayısı sorununu çözmek çok kolaydı. 100 mükemmel ve 40 basit olmak üzere 140 tane vardı. Bunlardan 12'si tam merkezi simetri ile simetriktir ve bunlardan 4'ü mükemmel ve 8'i basittir.

3 "klasik" yolun tümü 22 -|- 22 +140 = 100 mükemmel kare dahil 184 sihirli kare verdi. Aksi düşünüldüğünde 6 24 = 8- ∣ - 4 ־ן־ 6 ־ן־ simetrik ve 160 simetrik olmayan sihirli kare elde edilir. Buna, çerçeve yöntemiyle inşa edilen ve tüm komşuları kütleleriyle ezen yaklaşık yüz bin sihirli kare eklenmelidir. Ve komşular onlardan daha ilginç, özellikle tam kareler.

Bu arada, ne çerçeve yönteminin ne de köşegen adımların neden mükemmel kareler vermediği şimdi anlaşıldı. Bunları elde etmek için öncelikle atı her beş sayı içindeki sayılar arasında hareket ettirmek gerekir; ikinci olarak, genellikle karenin dış çizgisinin dışında bulunan bir attan 6 numaraya bir at hareketine ihtiyacımız var ve üçüncü olarak, aynı türün her dört varyantı için 6 numaralarının böyle bir düzenlemesine ihtiyacımız var, böylece bir at da var. arasında hareket edin.

Кроме указанных	перемещений, во;	вможны более сложные.
Вместе с первыми четырьмя получается		15 вариантов перемеще-
нии:

5 × 5 sihirli kareleri derlemenin üç bağımsız "klasik" yolunun analizi sona erdi. Bazıları değil, ortaya çıkan karelerin kesinlikle tüm varyantları çok zorlanmadan kabul edilir. Onları saymayı başardım. Buradaki 5x5 kareleri bitirmenin zamanı gelmedi mi? Elbette öyle ama...

"Klasik" yöntemlerle elde edilen 5×5 simetrik sihirli kareler neden satırların bazı permütasyonlarıyla dönüştürülemiyor? Simetrik 4x4 karelerdeki sıraların permütasyonları mümkün müydü? Neden burada mümkün değiller?

Kendini üç "klasik" yöntemle ve çerçeve yöntemiyle sınırlamak neden gerekli? Neden "yardımcı" kareler dışında 5x5 sihirli kareler elde etmenin başka yolları olamıyor?

altı yüzük

İşte bazı deneme yanılmalardan sonra öğrendiklerim. Sihir ve simetriyi koruyan, tam merkezi simetriye sahip 5 × 5 sihirli karelerdeki paralel sıraların permütasyonu gerçekleştirilebilir. Bu ana şey. İki şekilde mümkündür. Birincisi: ikinci ve dördüncü sütunları (veya satırları) değiştirmek. (Uç satırların yerlerini değiştirmek aynı sonucu verir, ancak döndürülür, yani değişmez.) İkinci yol: birinci sütunun (veya satırın) yerlerinin ikinciyle ve aynı zamanda dördüncünün yerlerinin de beşinci. Sütunlara uygulanan bu iki yöntem ve

Bazı "klasik" karelere uygulanan üçü, daha önce "klasik" yöntemlerle de elde edilen, zaten bilinen sihirli karelere yol açar. Bunlar hareketlerdir 1) 4-3); 2) 4-4); 1) 4-2) 4-3) 44־).

İki örnek:

İlk örnekte, 20 eşit toplam içeren A.c.4) tam karesi, 1) 43 ־) gibi bir permütasyonla, ardışık sayıların atın hamlesiyle değil, bir a ile ayrıldığı basit bir sihirli kare B.b.8)'e dönüştürülür. hücre boyunca çapraz adım. B.b.8) karesinde "iyi" kırık köşegenler yoktur ve bu nedenle yalnızca 12 eşit toplam içerir. 2) 44 ־) türünde bir permütasyonla, aynı orijinal tam kare A.c.4) sihirli kare B.a.4)'e dönüşür (komşu hücreye çapraz hareket, 12∑ o ). Bir permütasyonla!) 44־4 (3 -|- (2־) aynı A.c.4 karesi) bir G.c.3 karesine dönüşür), yine mükemmel, dolayısıyla 20Σ o .

İkinci örnekte, sihirli kare B.g.4) dönüşümlere uğrar (komşu hücreye çapraz hareket, dört "iyi" kırık köşegen, yani 16∑ o ). Tip 1) -f- 3) ve tip 2) -|- 4) dönüşümleri altında sihirli kareler А.г.7) ve Г.а.і) elde edilir (atın hareketiyle sayıların yerleştirilmesi, 16∑ o ) . 1) -f-2) 4-3) 44־) gibi bir dönüşüm sihirli kare B.a.6) ile sonuçlanır (hücre boyunca çapraz hareket, 16∑ 0 ).

Nitekim 1) 44 (2 -4 (1 ;(4 -4 (2 ;(3 ־- 44 ־4 (3 ־))) dönüşümleri yeni sihirli kareler vermiyor. Diğer 12 dönüşümün ne vereceği hala bilinmiyor. , ancak şu ana kadar ilginç bir durum ortaya çıktı: Üç "klasik" yöntemden herhangi biri tarafından elde edilen sihirli karelerin , satırların üç paralel permütasyon yolundan biri ile birbirine dönüştürülebileceği ortaya çıktı 1 .׳) ψ3) ; 2) - ∣ -4); 1 ) -]-2) 43־) -f-4). Bu, üç "klasik" yolun birbiriyle derin bir iç bağlantıya sahip olduğu anlamına gelir.

Görünüşe göre her şey çok basit: henüz denenmemiş 12 dönüşümden herhangi biri ile tam iç simetriye sahip her sihirli kare 5 X 5, keşke gerçekten sihirli karelerse 12 yeni sihirli kare verecektir. Ama yine aynı soru: Tesadüfler olamaz mı, iki farklı şekilde dönüştürülen iki sihirli kare aynı sihirli kareyi verir mi? Daha sonra yeni sihirli karelerin sayısı, her orijinal kare için 12'den az olacaktır.

Böyle bir davanın şeması çok basittir:

Bazı "klasik" simetrik A karesi , örneğin 1 tipi bir yer değiştirmeyle aynı yapıdaki bir a karesine dönüştürülür . Yöntem 3'e göre dönüştürülürse, başka bir "klasik" B karesinin aynı a karesini vereceği varsayılabilir ). Bu durumda A ve B kareleri arasındaki bağlantı çift yer değiştirme 1) -f- 3) ile belirlenir. Başka bir deyişle, B karesi keyfi olarak seçilemez. Sadece A karesinden 1)         3) hareket ettirilerek elde edilebilecek böyle bir J5 karesi uygundur ve bu mümkündür.

Ancak aynı iki "klasik" kare A ve B , başka bir şekilde, A'dan 3) yer değiştirmeyle ve B'den 1 ) yer değiştirmeyle elde edilirse, yeni bir kare b aracılığıyla bağlanabilir .

Aynı başarı ile diğer iki yer değiştirme alınabilir: 2) ve 4); 1) ve 2) 4-3) 4-4); 2) ve 1) 4-3) 4-4); 3) ve 1) 4-2) 4-4); 4) ve 1) + 2) + 3); 1) + 2) ve 3) + 4); 1) + 4) ve 2) + 3). Önceki iki

şema birleştirilebilir:

Diğer dönüşümleri kullanmak mümkündü: 2) ve 4), vb. Önceki sayısal örneğe dayanarak daha eksiksiz bir grafik şema oluşturmaya çalışırsak, en ilginç dönüşüm halkasını elde ederiz:

Halihazırda bilinen A.c.4), B.6.8), G.c.3) ve B.a.4) karelerine ek olarak, bu dönüşümler bazı yeni a, b, c, d, e , f, g, 3 karelerini içerir . Onlara bakmadan önce , bu dönüşüm halkasının tüm olası dönüşümleri gizli bir biçimde içerdiğini görebiliriz. Örneğin a karesi A.c.4) karesinden 1) dönüşümüyle ve B.b.8 karesinden 3) dönüşümüyle elde edilir. B.a.4) karesinden 2) -|- 4) -|-1) dönüşümüyle veya G.v.Z) karesinden 2)         4)         3) dönüşümüyle de elde edilebilir. Yani kullanılabilir

tüm olası çoklu dönüşümler. Peki bu yeni kareler neyi temsil ediyor? Bunları, en azından A.c.4), B.b.8), G.c.3) ve B.a.4) hazır karelerini alarak bazı sayısal örnekler kullanarak düşünmek en kolayıdır. İlkinden, a karelerini elde etmek uygundur,

6 י c, d İkinci - e ve e karelerinden Kalan iki - g ve 3 - • kare G.v.Z) veya B.a.4). 8 yeni karenin tamamı hazırlanıp incelendiğinde bunların basit sihirli kareler olduğu ortaya çıkıyor. Hiçbirinin tek bir "iyi" kırık köşegeni yoktur. Onların iç yapısı,

dönüşümlerin başlamasından önce sağlanır - tam merkezi simetri. Onlarla ilgili en ilginç şey, 1-5, 6-10 vb. içindeki ardışık sayıların belirli bir sırada düzenlenmesidir. 5'ten 6'ya geçişler, 10'dan I'ye geçişler de farklıdır, bu nedenle bu 8 yeni kare "klasik" yöntemlerin hiçbiriyle oluşturulamaz. Görünüşe göre şimdiye kadar bilinmemelerinin nedeni bu.

Ama sadece sekiz yeni kare var mı? Her biri 12∑ 0 olan diğer iki "klasik" tam karenin ve köşegen adımlı (büyük ve küçük) iki "klasik" sihirli kusurlu karenin dönüşümleri henüz kullanılmadı . Onlardan, 8 yeni "klasik olmayan" sihirli karenin daha görüneceği bu tür ikinci dönüşüm halkasını oluşturmak mümkündür.

o olan "klasik " kareler, ikisi atın hamlesiyle ve ikisi farklı boyutlarda çapraz adımlarla oluşturulmuştur - A.г.7), E.1), B.g. 4), B.a.6). Benzer karelerden oluşan üç benzer grup kullanılmadı. Birlikte, 4 tane daha dönüşüm halkası oluşturmamıza izin veriyorlar.

Toplamda, daha önce elde edilen ve tam merkezi simetriye sahip 24 "klasik" karenin tümünü birbirine bağlayan 6 dönüşüm halkası elde edilir. Bu 6 halka, 6 X 8 = 48 yeni "klasik olmayan" sihirli kare içerir.

86

aynı yapılar. Bu nedenle simetrik sihirli karelerin sayısı üç katına çıkar: 24 ψ 48 = 72 ve dikkate alınan 5 × 5 sihirli karelerin toplam sayısı 184 4232 = 48־'e yükselir (çerçeve yöntemiyle elde edilen 100.000 5 × 5 sihirli kareyi saymaz). .

Beklenmedik bir sonuç aldık: Yeni 5×5 sihirli kareler olmadığını kanıtlamak yerine, tüm bir grup bulundu. Üç "klasik" şekilde inşa edilen sihirli kareler arasında bulunan bağlantı çok ilginçtir.

"Klasik olmayan" yöntemlerle daha fazla sihirli kare elde etmenin olasılığı veya daha doğrusu imkansızlığı hakkındaki ikinci soruyu çözmeye devam ediyor. Yeni sihirli karelerin bulunmasını beklemek garip olurdu. Bu olası değil. Bu sadece inanılmaz! Her şey farklı olsaydı, "klasik" yolların hiçbirine uymayan birçok 5 x 5 sihirli kare örneği olurdu.

Sağlıklı bir dozda kurtarıcı karamsarlıkla donanmış olarak, 5 × 5 karelerle ilgili son keşifimize başlayabiliriz.

İnanılmaz buluntular

Uzun zaman önce, geçen zamana göre değil, harcanan emeğe bakılırsa, bu çalışmada çeşitli iç yapıların 4 × 4 sihirli kareleri araştırıldığında, o zaman bile böyle bir 5 × 5 sihirli karenin olup olmadığını bulma arzusu vardı. 4×4 karelerin en basit yapılarına benzeyecek bir yapı mümkündür.Birincisi tüm çiftlerin birbirine paralel olduğu ve masadaki askerler gibi iki sıra halinde durduğu yapıya, ikincisi ise “4” küçük haçlar” yapısı.

5×5 kare için paralel çiftlerle simetrik bir yapı çizmek çok kolaydır:

Böyle bir sihirli karenin imkansız olduğunu kanıtlamak da kolaydır. Mümkün olsaydı, karenin sol sütunundaki sayıların toplamı karenin sabitine eşit olmalıydı: a! ÷ a 2 ÷ L ÷Λ 1 - ∣ -ft 2 = ∑ 0 = 2,50 veya σ-f-∕ 1 - ∣ -σ = 2,50. İtibaren87

f 1 = 0.5σ = ω = 13 çıkar , ancak bu imkansızdır. Çift sayıları arasında farklı bir mesafe olan 2) ve 3) seçeneklerini alırsak sihirli kare yoktur.

4 X 4 kare “4 küçük haç” yapısına benzer şekilde, ikinci örnek için iç yapının çizimini zorlanmadan yapmak mümkündür. Yapısına göre, çıkıyor

cebirsel gösterim. Analizi, böyle bir karenin imkansız olduğuna dair işaretleri hemen ortaya çıkarmayı mümkün kılmaz. Öte yandan, bu mümkün olduğu anlamına gelmez. Bu yapının karesinin sıralı bir hesaplamasını yapmamız gerekecek. Ancak bu hesaplama, sayı grupları tabloları ve sayı kombinasyonları tabloları gerektirir. Şimdiye kadar tablolar derlenmedi. Bu zahmetli işin başlamasını geciktirmek için, sadece bir karenin deneme hesabı için, daha önce tam karede kullanılan hazır bir kombinasyon alınmıştır A.a.3): 1) 1 + 8 -f-15 -p 17 -p 1 (2 ;65 = 24 ן -f- 9 ψ 12 -f- 20 4- 23 = 65. Sol üst köşedeki ilk 4 hücreye hemen iki çift sayı girebilirsiniz: a 1 = 1; 2 = 25 ; b1 = 17; b 2 \u003d 9 ve orta hücrede - ω \u003d 13 serisinin ortalama sayısı.

Her iki grupta kalan 6 sayı üst sıradaki ve sol sütundaki boş hücrelere yerleşecektir. Kaydedilme sırası hala bilinmiyor. Bu nedenle, satır başına 6 düzenleme seçeneği ve bir sütunda aynı sayı olasılığını hesaba katmak gerekir. Ancak acil sınırlamalar var. e 1 = 8 olsun. O zaman d 1 = 15 veya 24 ve bu nedenle d 2 = σ - 15 = 26 - 15 = Ve veya d 2 = σ - 24 = 2. Seçim keyfi, örneğin d 2 = Ve. O zaman sağ sütundaki sayılar için bir kısıtlama vardır: g 2 -f- m 1 -f- 1 2 = ∑ o - (e 1 - ∣ -d 2 ) = ≈ 65 -- (8 4־ Ve) = 46. Bu sayı üç terimin toplamıdır. Seçimleri için serinin 25 - (4 -f- 6 -f- 6 -f-1) = 8 sayısı yine boştur.

Alt satırdaki sayıların seçimi ⅛ 2 ; n 2 ; I2 iki yeni gereksinimle sınırlıdır: I2 sayısı aynı anda sağ sütundaki sayı grubuna (g 2 ; 7n 1 ; Z 2 ) ve alt satırdaki sayı grubuna (⅛ 2 ; τn) dahil edilir. 2 ;Z2 ) ; 7n 1 H7n 2 sayıları bir çift oluşturmalıdır (7n 1 -f-τn 2 = σ). Bu kısıtlamalar olası seçeneklerin sayısını dörde düşürür.

İlk olarak, sağ sütunun ve alt satırın hücreleri doldurulur (şimdiye kadar bir sürümde), ardından onları bir çift olarak tamamlayan sayıları yazabilirsiniz ve son olarak, son 4 sayı son dörde yerleştirilir. hücreler. Şimdi karenin tüm hücreleri doldu ve sonunda ne olduğunu anlayabilirsiniz.

Doğrulama zor değil. İlk olarak, çiftlerin düzenlenmesiyle, belirli bir iç yapının elde edildiği ortaya çıkıyor. Ardından satırlardaki sayıların toplamlarını kontrol etmek, ortaya çıkan karenin sihirli bir kare olduğunu gösterir...

Ne kadar büyülü? / Ne sürpriz /

Duygusuz tipografik harfler, böyle bir buluntu karşısındaki tüm şaşkınlığı nasıl ifade edebilir? Bu, en azından notlar gerektirecektir. Evet ve notalar yalnızca (radyo yorumcularının dediği gibi) "tüm orkestranın güçlü bir akoruyla desteklenen timpani'nin beklenmedik bir vuruşuyla melodinin sakin gelişimini" kesintiye uğratan notalar için uygun olacaktır. (Bu, Haydn'ın "Sürpriz" senfonisine atıfta bulunuyor.) Ancak burada orkestra ve akor yok ama sakin bir gelişme şüphesiz ...

5×5 sihirli karelerin yokluğunu kanıtlamak yerine, uzun süredir bilinenlere ek olarak bir anda önceden belirlenmiş yeni bir yapıya sahip yeni bir sihirli kare bulundu. Üstelik bu sadece ilk seçenek. Üç hesaplama daha yarım kaldı. Sihirli kareler 2), 3) ve 4) verirler.

Dördü de akrabalık belirtisi olarak ilginç bir özelliğe sahiptir: Sol üst köşeye bitişik 9 hücreli kareler aynı sırayla düzenlenmiş aynı sayılarla doldurulmuştur.

Ardışık sayıların düzenini kontrol etmek, 4 yeni karenin hepsinin "klasik" yollardan herhangi biriyle inşa edilemeyeceğini gösterir. Bu karelerin kalitesi nedir?

ESKİ Tılsımın GİZEMİ        2

Çağların karanlığından        4

Sadece eğlenceli mi!        6

Eğlence ya da bilim!        8

İlk buluşma        12

tek seçenek        17

Görev        21

Giderek daha fazla        33

Yunan Harfleri        46

Her şey uzun zamandır biliniyor!        54

∑ 0 = 4 ∙ nσ = 4 ∙5 ∙ 26 = 65. Z         Z        55

Basit kurallar        60

ve bariz istisnalar        60

Her adımda ve adım boyunca        63

Şövalye hamlesi        73

altı yüzük        82

İnanılmaz buluntular        87

Geleneğe haraç        105

Şaşırtıcı İstisnalar        112

...gökteki yıldızlar gibi        124

Üçüncü toplantı        128

Ne garip bir soru!        135

Bu, 2) ve 3) numaralı karelerin her birinin 2 asimetrik değişkene sahip olduğu anlamına gelir. "İyi" kırık köşegen ana köşegen olacak şekilde karenin ana hatlarını kaydırarak elde edilirler. Kare 4), bu tür 8 asimetrik değişken verir. 4 simetrik olana 12 asimetrik varyant eklenir. Yapıları, karşılık gelen kontur ofseti ile belirlenir:

Seçilen iç yapı ile, yamuk "iyi" kırık köşegenin küçük tabanındaki sayıların toplamı zorunlu olarak σ'ya ve büyük tabanda - 1,5 σ'ya eşittir.

Yeni bir soru ortaya çıkıyor. Sayısal kombinasyon mükemmel bir 5×5 kare örneğinden ödünç alınmıştır Mükemmel merkezi simetriye sahip sihirli kareler ile yeni bulunan kareler arasında herhangi bir bağlantı var mı? Üç sütun ve üç sıra hareket ettirilerek tam merkezi simetriye sahip bir yapıdan yeni bir yapı elde edilebileceği ortaya çıktı. Bu hareketin özelliği asimetrik olmasıdır.

Yeni bir kare elde etmenin bu yolu, doğrudan hesaplamadan çok daha hızlı ve basittir, ancak sorunun çözülebilir olması nasıl beklenebilir?

Varyantlar 2), 3), 4) karenin hoboγo'su, a), b), a) + b) yöntemlerine göre sıralar hareket ettirilerek elde edilebilir. Altılı yer değiştirme, a 1 sayıları ; c1 ; _ Z 1 ve ω yerinde kaldı. Farklı bir şekilde söylenebilir: yer değiştirme, a 1 numaralı açıya bağlıydı ve bu nedenle bu açıya yaslanan iç 3 × 3 karenin köşelerindeki sayılar yerinde kaldı. Ancak e 1 sayıları ile diğer üç açıya göre aynı hareket yapılabilir ; 2 ve 2 . _ Bu durumda ω sayısına ek olarak c 1 ve Z 2 sayıları yerinde kalacaktır ; 2 ve Z2 ile ; Z1 ve c2 . _ Bu şekilde elde edilen aynı yapıya sahip üç yeni sihirli kare a), b), a) -|- b) yer değiştirmelerine tabi tutulabilir ve 9 yeni kare daha elde edilebilir. Tam merkezi simetriye sahip olan yalnızca bir sihirli karenin 5 × 5 dönüşümünün, bir isim veya atama zamanı olan 16 yeni sihirli kare oluşturduğu ortaya çıktı. Herhangi bir uzun ad yerine kısa bir ad vermek daha iyidir: 1.1.a). Bu atama, bulunup bulunamayacakları hiç bilinmese de, aranacak diğer yeni sihirli kareler arasındaki önceliğini doğrular. Tabii ki, artık rastgele kabul edilen ilk verilerden söz edilemez. Yeni 5x5 kareler arayışında bir tür sisteme ihtiyaç vardır. Belki de aramaya olası asal ve simetrik olanları seçerek başlamak en uygunudur. iç yapılar. Öncelikle 1.1.a) karesinin iç yapısına bir kez daha bakmamız gerekiyor. İçinde bulunan 12 çiftin tamamı 3 gruba ayrılır. Birinci grupta, çiftler karenin köşegenleri boyunca yer almaktadır.

oran. İkincisi - karenin kenarlarına paralel orta çizgiler boyunca. Üçüncü olarak - çiftler kalan sayıları birbirine bağlar. Bununla birlikte, iç yapıyı karmaşıklaştırmadan, her gruptaki çiftler farklı şekilde düzenlenebilir. Birinci ve ikinci gruplarda, çiftleri yerleştirmek için üç seçenek ve üçüncü grupta - beş seçenek mümkündür.

1.1.a) karesinin iç yapısı, I) + 1) + a )” yapısının üç elemanından oluşan bir set ile elde edildiği gibi, 3∙3∙5 = 45 basit ve simetrik çizimler elde etmek mümkündür. 3 + 3'ten yapılar 411 = 5־ elemanlar 5×5. Her çizim dikkate alınmalıdır; çünkü her biri , sihirli bir kare için temel teşkil edip edemeyeceğini cevaplamak zorunda kalacak . Cevap "evet", diğer durumlarda cevap "hayır" dır.

45 seçeneğin tümünü birbiriyle karşılaştırmayı daha kolay hale getirmek, halihazırda düşünülenleri görmek ve hala çalışılması gerekenleri hatırlamak için tabak severlerin başka bir özet levhaya ihtiyacı vardır. Hücreleri yavaş yavaş dolacak; simetrik yapıların tüm olası uygulamaları hemen görünür olacaktır.

Burada geçmişin ve geleceğin eşit derecede konu olduğu gerçeğinden yararlanarak, geleceğe, henüz geliştirilmemiş ve yavaş yavaş doldurulması gereken özet tabloya bakmak daha uygundur. Ancak o zaman her şeyin nasıl olduğunu yavaş yavaş anlayabiliriz (bkz. s. 104).

Bazı hücreler hemen ve aynı yanıtlarla dolduruldu - “evet”. İlk olarak, 1.1.a) tipinde sihirli kareler olduğu biliniyordu. Daha sonra, tip II.2.c)'nin iç yapısına yakından bakarsak, "klasik" yöntemlerle elde edilen 24 sihirli kare ve 48 yeni tarafından sahip olunan tam merkezi simetriyi tanımak zor değildir. 1) + 3) ve 2) +4) tipi serilerin permütasyonları ile elde edilen sihirli kareler. Ayrıca, II.2.e) tipindeki kareler için tasarlanan tablonun üçüncü hücresi, çerçeve yöntemiyle oluşturulan 100 bin karenin tamamını içermelidir, çünkü yapıları tam olarak tip II.2.e)'ye karşılık gelir. Ancak bunlar tablodaki 45 hücreden sadece üçü.

Bazı yapıların karşılaştırılması, beklenmedik bir şekilde işi neredeyse 2 kat azaltma olasılığını ortaya çıkardı. Paralel sıraların simetrik permütasyonunun yalnızca bir "klasik" kareyi diğerine dönüştürmek için değil, aynı zamanda bir "klasik" kareyi dönüştürmek için de uygun olduğu ortaya çıktı. Aynı permütasyonlar, simetri ve sihri korurken 45 yeni yapıdan birinin aynı tablodan diğerlerine dönüştürülmesine olanak tanır.

Böyle bir dönüşümle birbirine bağlanan iki yeni yapımız varsa, o zaman sadece birinin sihirli kareler verip vermediğini bulmak yeterlidir. İkinci yapı da aynı sonucu verecektir.

Paralel serilerin permütasyonlu dönüşümlerinin yapının üç elemanının her biri için ayrı ayrı izlenebilmesi çok uygundur. Tip dönüştürme 1) veya 2) elemanlar I); III); 1); 3); A); b) burada ele alınmayan asimetrik bir yapıya yol açar. Öğelerin aynı dönüşümleri II); 2); c) bir danstaki eşler gibi içlerindeki sayılar yer değiştirse de yapılarını değiştirmeyin. En önemlisi, I) öğesini III), 1) öğesini 3), öğesine dönüştüren 1) + 2) çift dönüşümüdür.

a) ila b) ve tersi III ila I) vb.

Tip 3) veya tip 4)'teki bir dönüşüm, I) öğesini a), II) öğesini c) öğesine ve III öğesini b) öğesine dönüştürür ve bunun tersi de geçerlidir.

Son olarak, çift dönüşüm 3) -|_ 4) d) öğesini e)'ye dönüştürür ve bunun tersi de geçerlidir.

Bu basit düşünceler, sıralar değiştirildiğinde ortaya çıkan 5x5 sihirli karelerin simetrik yapılarının daha sonraki çalışmalar için uygun dönüşüm tablosunu derlemeyi mümkün kılar.

1. Bunlar tam merkezi simetriye sahip karelerdir.

2. Çerçeve yöntemi kullanılarak oluşturulan kareler.

Bu tablete bakılırsa, kendimizi yalnızca sol sütunda kayıtlı 25 yapıyı incelemekle sınırlayabiliriz. 25 bile değil, 22 çünkü zaten 3'ü araştırıldı. İlki, 1.1.a), bulunan yeni karelerdir. İkincisi, II.2.c), üç "klasik" yöntemle elde edilen tam merkezi simetriye sahip kareler ve bunların "klasik olmayan" eşlerinden oluşur. Üçüncü - P.2.d) - çerçeve yöntemiyle elde edilen kareler.

97

Yapı IL2.b) 72 sihirli kareye sahiptir. 1.1.a) yapısına sahip sihirli karelerin sayısı 16 kat daha fazladır ve 16 × 72 = 1152'ye eşittir. 1.1.a) yapısıyla eşleştirilen III.3.b) yapısı zorunlu olarak ^[11]sihirli kareler verecektir. Sayıları aynı 1152 —־ olacaktır. Çerçeve yöntemi (II.2.e) kullanılarak oluşturulan karelerin sayısı yaklaşık 100.000'dir. II.2.d) yapısı II.2.e) ile eşleştirilir, dolayısıyla II.2.d) tipindeki sihirli karelerin sayısı da yaklaşık 100 bin olacaktır.

İşte bazı şaşırtıcı haberler daha! Sadece iki tür II.2.r) ve II.2.e)'nin toplam 5 × 5 sihirli kare sayısının yaklaşık olarak 200 bin olduğu ortaya çıktı.

Tabletin sol sütununda kaydedilen 25 yapıdan, ilişkileri LI.a), II.2.c), II.2.e) ve II.2.d) yapılarının çıkarılmasından sonra netleştirildi, daha fazla çalışma için 21 yapı kaldı. Bunlardan 8 yapının daha bağlantıları kolaylıkla belirlenmektedir. Birinci -

1. e) permütasyon 3) -J- 4) ile 1.1.d) ile bağlantılıdır. Saniye -

2. e) 1.2.d) ile aynı şekilde ilişkilidir. Üçüncü - I.3.b) - permütasyon 3) ile III.3.a) ile bağlantılıdır ve bu, ID.b) ile eşleştirilmiştir. Dördüncü - І.З.e) - 3) -J- 4) permütasyonuyla І.З.d) ile bağlantılıdır. Beşincisi, II.I.a), permütasyon 3) ile 1.1.c) ile ilişkilidir. altıncı -

2. 1.6), III.1.c) ile aynı permütasyonla ve ayrıca

3. V). Yedinci - ILl.e) - II.I.d) ile 3) -J- 4) dönüşümü ile bağlantılıdır. Sekizinci - II.2.b) - ∏.2.a) ile eşleşir.

Şimdi 45 yapıdan sadece 13'ü daha fazla analiz için kaldı Dönüşüm tablosu kendini haklı çıkardı. Gelecek hesaplamalar üç kat azaltıldı.

Bu 13 yapının her birinin analizi, sihirli kareler oluşturmaya temel teşkil edip edemeyeceğinin açıklığa kavuşturulması hala devam ediyor. 7 vaka ve bir çift yapı keşfedilmemiş durumda.

Paralel çiftlere sahip yapı incelendiğinde (s. 07 ve 98), yapının sihirli kare oluşturmaya uygun olmadığını kanıtlamanın uygun bir yolu bulundu.

o verdiğini varsayarak birkaç satırın sayılarını toplamaktan ibaretti . Hesaplama sonunda elde edilen ifade sadeleştirildikten sonra serinin bir sayısının diğerine eşitliğini vermiştir ve bu imkansızdır. Bu yöntemin başarılı kullanımına bir örnek, 1.2.a yapısının analizidir):

Üstteki iki sıranın numaralarının eklenmesi yeterlidir ve yapının uygunsuzluğu ortaya çıkar:

1 = i 2 olması imkansızdır .

Yapı 1.2.a)'nın uygunsuzluğuyla eş zamanlı olarak, 1) -|- 2) permütasyonu ile onunla bir çift olarak ilişkilendirilen yapı III.2.b)'nin uygunsuzluğu netleşti.

Aynı şekilde 1.1.d) ve I.3.a) yapılarının uygunsuzluğu.

II.1.c) ve II.1.d) yapılarının uygunsuzluğu, ikinci ve dördüncü sıraların (veya birinci ve beşinci sıraların) sayıları toplanarak ispatlanır. Aynı zamanda II.I.d), P.Z.c), II.Z.d), P.Z.d) yapılarının uygunsuzluğu ortaya çıkar.

1.1.b) ve 1.1.c) yapılarını kontrol ederken, dört sıranın numaralarını eklemek gerekliydi: üst ve ikinci sıralar, sol ve ikinci sütunlar. Aynı zamanda III.3.a), III.3.c), II.1.a.), II.3.b), III.1.a) ve I.3 yapısının uygun olmaması .b).

Bu işlemler oldukça sıkıcıdır ve dikkat gerektirir, ancak bunlardan sonra hesaplama için sadece 5 yapı kalır. Dördü sihirli kareler verecek ve biri incelenmemiş kalacak. İyi şanlar-

Bu 4 yapı 1.2.c), I.2.r), I.3.c) ve I.3.d). İşte nasıl göründükleri ve bu tür sihirli karelerin cebirsel biçimde nasıl göründüğü. Böyle bir kayıt, elbette, sihirli kareler elde etme olasılığının bir kanıtı değildir. Gerçek olasılık, deneme hesaplamalarıyla belirlenir. Bu hesaplamalar, yeni kare 1.1.a) için daha önce yapılanlara benzer. Fark, karenin sayısal kombinasyonunun

1. a) üst sıranın ve sol sütunun sayısal gruplarını birleştiren bir çift içeriyordu ve bu dört yeni karenin sayısal grupları çiftler halinde bağlı değil. Bu nedenle, hesaplamalarına başlamadan önce, grupların çiftler halinde bağlı olmadığı yeni bir sayısal kombinasyonlar listesi derlemek gerekli olduğu ortaya çıkıyor. Derlenmesi sadece zaman alır.

Dört karenin hepsinin hesaplamaları başarılı ve aynı zamanda III.2.c), III.2.d), I.2.e), III.2 yapılarıyla sihirli kareler elde etmenin mümkün olduğu netleşiyor. .e), IIIl.c),

1. r), I.3.e), IIIl.e), II.I.b), II.3.a), II.2.a), A.2.6). Buna, 1.1.a) yapısıyla bir çift olan yapı III.3.b) temelinde elde edilen sihirli kareler eklenir.

simetri 5 × 5 sihirli karelerin bir özet tablosunu elde etmek uygundur (el*, s. PO, 111).

Tablo basittir ve ayrıntılı açıklamalar gerektirmez. 21 türden sihirli kareler içerdiği ortaya çıktı. Bunlardan, "klasik" yöntemlerle oluşturulmuş tam merkezi simetriye (I.2.c) ve çerçeve yöntemiyle elde edilen II.2.e tipi karelere sahip olanlar uzun zamandır bilinmektedir. Tip II.2.c) kareler, "klasik" karelere eşlik eden ve altı halkada yer alan aynı yapının ara karelerini içerir. Tablo, G.a.1) tipindeki karenin bağlantılarını göstermez.

2. c) komşu "klasik" karelerle, çünkü tablodaki komşuları altı halkadan birine dahil edilir ve altına çizilen "klasik olmayan" kare ile birlikte başka bir halkaya dahil edilir.

20 kare 10 çift halinde birleştirilmiştir ^[12]. Dört durumda, iki yapı çifti 3) veya 3) -|-4) permütasyonu ile birbirine bağlanır. Bu nedenle, tüm bu sihirli kareler, kareler 1.1.a) tarafından yönetilen yedi büyük gruba veya aileye ayrılabilir.

2. c), 1.2.d), I.3.c), I.3.d), II.2.e) ve tam kare II.2.c).

Tabloda kaydedilen karelerin kalitesini kontrol etmek ilginçtir.

Kalite açısından ilk sırada, tabii ki II.2.c tipi bir iç yapıya sahip olan tam kare A.c.4) yer alır.

(Tablonun devamı, bkz. sayfa 111)

ve 20Σ o içeren ; ikincisi, aynı grubun (16Σ 0 ) sihirli karesi G.a.1); ağaca göre, “iyi” kırık köşegenler 1.1.a), III.3.b), І.З.d), ІІІ.І.e) (14Σ 0 ); her biri 1.2.d), III.2.e) (13∑ o ); kalan 18 kare, yani çoğu yalnızca zorunlu 12∑ o'ya sahiptir .

880 sihirli kareden 4×4, 864 kare 10 tip simetrik iç yapıya sahipken, sadece 16 kare <11> ve <12> tip asimetrik yapıya sahipti.

“Klasik” yöntemlerle oluşturulan 5 χ 5 sihirli kareler arasında çok sayıda asimetrik şekil bulundu ancak bunların tamamı simetrik sihirli karelerin konturu kaydırılarak elde edildi. 100 tam kareden sadece 4'ü simetrik, 96'sı asimetrikti. Şövalyenin hareketiyle oluşturulan 40 basit sihirli kareden 32'si simetrik değildir. Bir sonraki hücreye çapraz bir adımla ve hücre boyunca oluşturulan sihirli kareler, 6 simetrik ve 16 asimetrik kare içeriyordu. Toplamda, 184 "klasik" kare arasında 96 - ∣ -32 - ∣ -16 - ∣ -16 = 160 simetrik olmayan vardı .

Özet tablosunda bulunan ve kaydedilen 19 türe ait yeni sihirli simetrik kareler arasında, yalnızca 6'sında bir veya iki "iyi" kırık köşegen vardır ve konturları kaydırılırsa simetrik olmayan şekiller verebilir.

Görünüşe göre simetrik olmayan pek çok 5×5 sihirli kare yok. Sihirli karelerle ilgili kitaplarda bunlara örnek bulmak zordur. Böyle bir örnek, Riollo'nun 1907'de yayınlanan bir kitabında bulundu. İlginç bir örnek:

Bu kare (a) 3 "iyi" kırık köşegen içerir: (5 -|- 22         2) ψ (19 + 17) = 65;         (2 + 13 + 23) +

-J- (24         3) = 65; (9 + 20 + 7 +17) +12 = 65.

13 rakamı orta hücrede olacak şekilde konturu artan köşegen boyunca hareket ettirebilirsiniz. Bu durumda yapının 3 elemanı buna göre dönüştürülür. Dönüştürülen Riollo karesinin, daha önce mantıklı bir şekilde sentezlenen III.3.b) tipi simetrik karelere ve ilgili kareler 1.1.a)'ya ait olduğu ortaya çıktı.

Riollo'nun örneği, Tip III karelerin kalitesi kavramını düzelttiği için de yararlıdır. Zb). Riollo karesi üç "iyi" kırık köşegen içerirken kare III. 3. b) Tabloya kaydedilmiş, sadece iki tane vardı.

Bu, kırık köşegenlerin sayısı ve düzeninin (yani karelerin kalitesi ve simetrik olmayan seçeneklerin sayısı) tablodaki örneklerden farklı olabileceği anlamına gelir. Riollo örneğinde bir yönde ve diğer yönde iki "iyi" kırılmış köşegen, 2 -fl - ∣ -2 ∙1 = = 5 asimetrik değişken elde etmemizi sağlarken, örnek III.3.b) masa sadece iki tane verdi. Yukarıdakilerin tümü, 1.1.a) tipindeki kareler için de geçerlidir.

Sadece kısaca bahsedilen iki gizemli yapı - 1.2.6) ve III.2.a), 1) -f-2) tipi bir dönüşümle birbirine bağlanır. Sihirli kareler verip veremeyecekleri bilinmiyor l . Diğer tüm örneklerde başarıyla kullanılan yöntemlerin hiçbiri bu iki karenin analizi için uygun olmadı. Bu nedenle, şimdilik kendimizi yalnızca cebirsel notasyonla sınırlamak zorundayız:

X 5 sihirli karelerin hepsi kaç tanedir ? Şimdiye kadar, "klasik" yöntemlerle oluşturulan sihirli karelerin sayısı (184), 6 halkaya dahil edilen simetrik "klasik olmayan" uyduların sayısı (48), 11.2 tipi çerçeve yöntemiyle oluşturulan karelerin sayısı .e) ve ilgili kareler II.2.d) (her biri yaklaşık 100 bin). Diğer sihirli kareler 5 χ 5 arasında, 1.1.a) ve III.3.b) karelerinin tam sayısı bulundu: simetrik seçenekler - U 52'ye göre ve asimetrik - her biri 2304. Bu verileri yuvarlamak daha uygun olur 1150 ve 2300'e. Bu ikili gruptaki toplam kare sayısı 6900'e eşittir - yaklaşık 7 bin. 16 türden diğer yeni sihirli karelerin sayısı - 1.2.c)'den III.І.d)'ye kadar - yaklaşık olarak 23 bin olarak tahmin edilebilir. Bu sayı, grupların aynı şekilde bağlandığı sayısal kombinasyonların, her biri 5 sayı olan sayısal grup sayısının tahmin edilmesiyle elde edilir.

En son anda yazar, 1.2.6) n 111. 2. a) tipi bir yapıya sahip 5 × 5 sihirli karelerin imkansız olduğunu belirleyerek hesaplamayı tamamlamayı başardı. Bu çalışmanın bir yan sonucu, asimetrik bir iç yapıya sahip 5×5 sihirli kareler grubunun keşfedilmesiydi.

104

çift, iki çift ve bağlantısız çiftler (bu aynı zamanda doğrudan hesaplama ile elde edilebilen 5 χ 5 sihirli karelerini ve kontur yer değiştirmesi vb. ile elde edilebilenleri de içerir).

Tüm sihirli karelerin sayısı 5 χ 5 şu şekilde çıkıyor:

1. "klasik" ve onların ׳ arkadaşları - tam olarak 232;

2. 1.1.a)'dan III.І.d)'ye yeni kareler - yaklaşık 7000 + + 23.000 = 30.000;

3. çerçeve yöntemiyle inşa edilen kareler II.2.e) ve ilgili kareler 11.2.d) - yaklaşık 200 bin.

5x5 sihirli karelerin toplam sayısı çeyrek milyona yaklaşıyor. 5 χ 5 sihirli karelerinin sayısı o kadar büyük çıktı ki, 6 χ6, 7 χ 7, 8 × 8 ve hatta daha büyük sihirli karelerin toplam sayısını arama arzusu yok.

Orada oldukça fazla var.

BÜYÜK FİNAL

Geleneğe haraç

5 X 5'ten büyük sihirli kareler nelerdir? Çoğu çerçeve yöntemiyle elde edilen karelerdir. Milyonlarca böyle kareler var ve hepsi aynı yapıya sahip. Herkesin ortasında, tabanı dolu olandan iki kare daha küçük olan sihirli bir kare vardır. Hepsinin çok az "iyi" kırık köşegeni vardır veya hiç yoktur. Herkes herhangi bir yeni özellik görmüyor veya en azından yeni değil ama yeni bir şekilde ilginç.

Çerçeve yöntemi kullanılarak oluşturulan milyonlarca sihirli kare arasında, diğer yöntemlerle oluşturulan nispeten az sayıda sihirli kare vardır. Onlardan daha azı var ve sırf bu nedenle daha ilginçler. Ancak küçük bir miktar da binlerce, on binlerce ve hatta daha fazladır. Zaten hepsini gözden geçiremezsin. Peki, her türden en az bir örnek yaparsanız.

İlk olarak, “klasik” yöntemlerle inşa edilen kareler vardır. Garip demektir. Bunların arasında birçoğu tam merkezi simetriye sahiptir. İşte bu tür karelere 4 örnek. İlk olarak, bitişik bir hücreye çapraz bir adımla elde edilen 7 × 7 sihirli kare.

İkinci örnek: hücrede çapraz bir adımla elde edilen 9 × 9 sihirli kare.

, atın hamlesiyle elde edilen kusurlu, 11 × 11 sihirli kare olacaktır .

Yine satranç atının hamlesiyle oluşturulan dördüncü örnek, 13 × 13'lük bir tam karedir (bkz. s. 117).

Tıpkı 5 χ 5 sihirli kareler gibi, daha büyük tek kareler de böyle bir yapının "klasik" yöntemlerin hiçbiriyle elde edilemeyecek pek çok çeşidine sahiptir. Bunların arasında, paralel sıraların basit veya daha karmaşık bir permütasyonu ile tam merkezi simetriye sahip "klasik" karelerin dönüştürülmesiyle elde edilebilecek olanlar vardır. Daha önce elde edilenle aynı şekilde

106

1.1.a tipindeki ilk yeni kare 5×5), yeni kareler 7×7 ve 9×9 şimdi elde edildi. Diğer yeni daha büyük tek sihirli kareler de elde edilebilir (bkz. s. 118 ).

5 × 5 sihirli kareler arasında, yeni kare 1.1.a)'ya ek olarak, simetrik yapıya sahip 20 yeni sihirli kare ve ilki ile ilgili olmayan birkaç asimetrik kare bulundu. Hiç şüphe yok ki, daha büyük boyutlu, simetrik ve simetrik olmayan çok sayıda yeni tek sihirli kare bulunabilir ve birileri tarafından bulunacaktır.

Şimdi 4 × 4'ten büyük sihirli kareler hakkında . Tabandaki hücre sayısının dördün katı olduğu ( n ≡ = 8, 12, 16, 20, vb.) Sihirli karelerin yapımını birbirinden ayırmamız gerekiyor. ) ve dördün katı olmadığı kareler (n = 6, 10, 14, 18, vb.). Bunları ve diğer kareleri oluşturmak için çerçeve yöntemi kullanılabilir. Ancak çerçeve yöntemi 5×5 karelerle ilgili olarak biraz ayrıntılı olarak ele alınmış ve yine onu ele almak ilginç değil. Daha önce bahsedilen 4 × 4 kareler için çok basit olan Routh-Ball yöntemine dönmek daha iyidir, 6 X 6 kareler ve 8 × 8 kareler için biraz daha karmaşık olduğu ortaya çıktı, hatta daha büyük karelerden bahsetmiyorum bile . Sadeleştirmek için, Routh-Ball yöntemini uygulamanın detaylarına girmek yerine, 6×6 sihirli karelerden oluşan iki hazır örnek alıp bunları aynı boyutta 1, 2, 3 sayılarıyla dolu bir kare ile karşılaştırabiliriz. ,..., 35, 36 doğal sıralarında. Böyle bir karşılaştırma ile

107

Bu durumda, numaraları aktarma sırası, aktarımı kendisi gerçekleştirmek zorunda kalmadan netleşir. Sihirli karenin ilk örneği (5×6) Akademisyen Uspensky'nin kitabından, ikincisi ise Riollo'dan alınmıştır.

Her iki örnekte de 36 sayıdan sadece 24'ü taşınmıştır çünkü her iki köşegende bulunan sayılar eski yerlerinde kalmıştır. Yani 4×4 karelerdeydi: en başından beri köşegenlerdeki sayıların toplamı karenin “sabitine” eşitti.

ן

(Bu durumda ∑ o = •у 6• (1 ψ 36) = 111.) Yeniye geçiş

108

köşegenler arasındaki boşluklarda bulunan sayıların yerleri 4 × 4 karelere göre daha karmaşıktır, bunlar için sadece bir çifti oluşturan 2 sayı yer değiştirir, ancak burada her değiş tokuşa 2 çifti oluşturan 4 sayı katılır. Örnekler: 1) a) 2 → 5 → 32 → 35; 2) a) 2 → 32 → 5 → 35, vb.

Her iki varyantın iç yapıları birbirine yakındır ancak birbiriyle örtüşmez.

6×6 sihirli karelerin iç yapılarının sayısı çok fazladır. Bunların arasında 4 χ 4 karelerde bulunanlara yakın yapılar var, örneğin Weidemann'ın kitabında 4 hücre uzunluğundaki çiftlerin her birinde 3'er sıra halinde birbirine paralel olarak düzenlendiği sihirli bir kare vardı. Bu kare 2 "iyi" dikdörtgen kırık köşegen içerir.

Tabanı dördün katı olan sihirli kareler bile birçok şekilde inşa edilir, ancak en basiti aynı Routh-Ball yöntemidir. 8 × X 8 kareler için, 6 × 6 kareler için olduğundan daha zor değildir.Sayıları taşıma yöntemlerindeki farklılıklar, 8 × 8 karelerde sihirli karelerin farklı versiyonlarını elde etmeyi mümkün kılar. Biri Kordemsky'nin kitabından, diğeri Riollo'nun kitabından iki örnek:

İlk örnekte 4×4 kare gibi görünmesi için 8×8 karenin tüm alanı her biri 4 hücre olan 16 küçük kareye bölünmüştür. Hareket ederken, bireysel sayılar değil, 8 küçük kare değiş tokuş edilir. Yer değiştirirken 180° dönerler. Köşegenler boyunca yer alan kalan 8 küçük kare, 4 × 4 karelerdeki karşılık gelen sayılarla aynı şekilde yerlerinde kalır, ikinci örnekte, tek tek sayılar değiştirilir, ancak daha karmaşık bir şekilde. Bir karenin (çeyrek) her çeyreğinde, çeyreğin köşegenleri boyunca yer alan 8 sayının tümü yerlerini korur. Kalan 8 sayı değiştirilir ve başka bir çeyreğe taşınır. örneğin ? sol üst kadrandaki 2 ve 3 sayıları, sağ alt kadrandaki 62 ve 63 sayıları ile değiştirilir ve bu böyle devam eder.

6 × 6 sihirli karelerin aksine, 8 × 8 sihirli karelerin her ikisi de tam merkezi simetriye sahiptir. Kare 1) 2 "iyi" dikdörtgen kırık köşegen içerir. 2) karesinde 3'ü birbirine paralel olmak üzere aynı köşegenlerden 6 tane var. Birinci karenin konturunu biri ve ardından diğer ana köşegen yönünde kaydırarak, 8 × 8'lik 2 asimetrik sihirli kare elde etmek mümkündür. İkinci kare, kontur kaydırıldığında 3 -f-3 - verir. f-3∙3 = 15 asimetrik değişken.

8 × 8 sihirli kareler arasında, 4 × 4 karelerde bulunan 12 yapıdan birine benzer bir iç yapıya sahip olanlar olmalıdır.İlk durum zaten ele alınmıştır - bunlar tam merkezi simetriye sahip 8 × 8 karelerdir. Yapıları <1> kareler 4 χ4'ün yapısına benzer. İkinci örnek Riollo tarafından bulundu: <4) tipi 4 X 4 sihirli karede olduğu gibi, sayı çiftlerinin birbirine paralel ardışık zincirler halinde düzenlendiği 8 × 8 sihirli kare. Bu sihirli karede iki "iyi" var 111

dikdörtgen kırık köşegenler. Dış çizgiyi ana köşegenlere paralel 4 kare kaydırmak, tamamen aynı yapıya sahip 2 yeni sihirli kare verir.

Tek ve çift, 5 x 5'ten büyük basit sihirli karelere aşinalık üstünkörü ve sınırlıydı. Bunları daha ayrıntılı olarak ele almak kitabın kapsamı dışındadır. Onları hiç dikkate almamak mı? Üstünkörü bir tanışıklık geleneğe saygıdan başka bir şey olmasa da bu yanlıştır.

Bu geleneksel görevi yerine getirirken, 5 χ 5'ten büyük tam sihirli kareler hakkında hiçbir şey söylenmedi. Kusurlu akrabalarından daha ilginç ve belki de daha erişilebilir olacakları düşünülmeli.

Şaşırtıcı İstisnalar

5 χ 5 tam kareleri arasında sadece dört ana simetrik form vardır. Kontur kaydırıldığında, her biri 25 seçenek sunar. Mükemmel 4×4 karelerin üç temel şekli vardır. Her biri kontur kaydırma için 16 seçenek sunar. Hiç mükemmel bir 3 × 3 kare yoktur, tüm bunlar daha önce açıklığa kavuşturuldu.

4 × 4'ten büyük çift tam kareler ve 5 × 5'ten büyük tek tam kareler olduğu bilinmektedir. Ancak, tabandaki hücre sayısı dördün katı değilse, çift tam karelerin olmadığı da bilinmektedir. . Yani, 6 χ 6, 10 χ 10, 14 × 14, 18 × 18, 22 × 22 gibi tam kareler yoktur. Tabandaki hücre sayısı üçün katıysa, mükemmel tek karelerin olmadığı da bilinmektedir. Yani, 9 × 9, 15 × 15, 21 × 21 vb. tam kareler de yoktur.

İlk olarak, tam kareler hakkında. Neden mükemmel bir 6×6 kare olamaz? Mükemmel bir 4x4 karenin yüksek kalitesini sağlayan harika iç yapısını hatırlarsak, o zaman 6×6 karenin benzer bir iç yapısının neden uygun olamayacağını anlamak isteriz.Bu amaçla, iç çizime benzer şekilde 4 × 4 mükemmel bir sihirli karenin yapısı, üst sıradaki hücreleri dördüncü sıradaki hücrelerle, ikinci sıradaki hücrelerle birleştirerek gelecekteki mükemmel kare 6 × 6'daki sayı çiftlerinin konumunu işaretlemek yeterlidir ve beşinci sıralar, eğik çarpılarla üçüncü ve altıncı sıraların hücreleri. Pce basit ve iyi çıkıyor. Başarılı bir sonuç kesin görünüyor, ama... bu imkansız. Bunu anlamayı kolaylaştırmak ve bireysel sayısal kombinasyonlara bağlı kalmamak için cebirsel biçimde hesaplayabilirsiniz. Her zaman olduğu gibi önce sayısal cesetler yazılır.

I ve IIL ışınları boyunca yer alan py Daha sonra, amaçlanan iç yapıya göre, dördüncü sıranın ve dördüncü sütunun hücrelerine, grup sayısını bir çifte tamamlayan 9 sayı girebilirsiniz. 6×6 kare ile 4×4 kare arasında daha büyük, en azından biçimsel bir benzerlik için, 6×6 karenin tüm alanı farklı boyutlarda da olsa 16 bölüme ayrılabilir ve yalnızca bir sayı girilebilir. her birinde. a 1 sayıları bir hücrenin alanlarında kalır ; bir 2 ; d1 ve d2 ._ _ _ 2 hücreli alanlara ״a 1 ve a 2 rakamlarını girebilirsiniz ; β 1 ve β 2 ; y1 ve y2 ; _ δ1 ve δ2 . _ Her biri 6 × 6 karedeki iki sayının toplamı olmalıdır:

Ayrıca a 1 4־ a 2 = 2σ = β 1 β 2 = γ 1 -f- γ 2 = δ 1 4־ δ 2 .

Kalan boş 4 hücreli karelere A 11 A 21 B 11 B 2 sayıları girilir . Her biri, daha önce adlandırılmış olanları tekrar etmeyen dört sayının toplamı olmalıdır. kendi yolunda

113

Düzenlemeye göre A 1'de yer alan sayılar ile 24 2'de yer alan sayılar 4 çift oluşturuyor. B 1 ve B 2 sayıları ile aynı . Bu nedenle, A 1 + 4- L 2 = 40 ve jB 1 + ⅛ 2 = 40. A ve B'de yer alan sayılar hala bilinmemekle birlikte, bu kesin olarak söylenebilir .

Bu hazırlık çalışmasından sonra, daha fazla analiz için bir yöntem seçmek gerekir. Serinin sayılarını tekrar özetlemek yardımcı olmaz mı? 4 × 4 karelerin hesaplamalarına benzer şekilde yapılan deneme hesaplamaları, dört sıranın sayılarını toplamanın gerekli olduğunu gösterdi: üst sıra, sol sütun, sıra ve sütun, A sayısıyla karede kesişiyor (onlar) üçgenlerle işaretlenmiştir ) .

Her zaman olduğu gibi, satır sayılarını toplamadan önce, amaçlanan yapının karesinin sihirli ve bu nedenle mükemmel olabileceğini varsayarsak, o zaman bir hücre genişliğine sahip satırların sayılarının toplamı zorunlu olarak ∑'ye eşit olmalıdır. o = y •

↑

∙n∙σ ve 2 hücre genişliğinde - 2∑ o = 2• y by = by.

Dört satırın sayılarını 2 adımda toplayın:

Ancak herhangi bir çift sihirli kare için, çiftteki sayıların toplamı her zaman tek sayıdır. Burada o \u003d 1 + 36 \u003d 37. Bu nedenle, 4.50 \u003d 166.5.

1 Eşit başarı ile A 2 veya B 1 veya B 2'yi alabilirsiniz . Durum böyle çıktı! Eşitliğin sol tarafı, elbette bir tam sayıya eşit olan tam sayıların toplamını içerir ve sağ taraf bir kesirli sayı içerir. Bu elbette imkansız. Böylesine cezbedici ve görünüşte umut verici bir yapı, mükemmel bir 6×6 sihirli kare oluşturmak için uygun değildir . Bunu kanıtlamak için, dördün katı olmayan herhangi bir çift n için önceki hesaplamayı tekrarlayabiliriz.

1 , a 2 , β 1 , β 2 1 T sayıları ! 2 ? י δ 1 , δ 2 2 hücreyi değil, ״ hücreleri işgal eder. A 11 A 2 IB 1 ve B 2 numaralı karelerin alanı dört değil, — — = ג— hücrelerdir. Sayıların toplamı buna göre değişir: a 1 ψa 2 = 9 ־ -- • ZU

∙σ = β! + β2 , vb.; A 1 + A 2 = ( -~ 2) - ∙ σ = B 1 + B 2 . 2∑ o yerine ikinci satır veya ikinci sütunun .sayılarının toplamı şuna eşit olacaktır:

∙ ∑ o . Tüm hesaplamayı tekrarlayarak zaman kaybedemezsiniz, ancak hemen denklemin sağ tarafında ne olduğunu hesaplayın: tam sayı mı yoksa kesirli mi olacak?

Çift kareler için 1r : 2 bir tam sayıdır, ancak n 2 : 8 yalnızca 1r dördün katıysa bir tam sayı olabilir .

Yapılan analiz, <3> tipi 4 x 4 karelerin yalnızca iç yapısına atıfta bulunur, ancak basit, erişilebilir ve görsel bir temsil sağlar.

6×6 kareler için uygun olmayan <3> tipi yapı, 8×8 sihirli kareler için tam olarak uygulanabilir, karenin her iki ana köşegeninde ve 16 kırık köşegeninin tamamında gerekli sayı toplamını sağlar. Her biri 4 çift içerir ve bu nedenle içlerindeki sayıların toplamları aynıdır ve 4 σ'ya eşittir.

Bu yapıya sahip mükemmel bir 8 × 8 karenin bir versiyonu, sayfa 120'deki kusurlu sihirli kare 2)'nin alt yarısını basitçe dönüştürerek oluşturulabilir . Alt yarıdaki sayıların dizilişi, iç yapının çizimine göre son derece basittir. Yarı116

bu şekilde elde edilen kare sihirdir ve belirli bir yapıya sahip olması zorunlu olarak mükemmel olur. Ama bu sadece bir seçenek. Tabii ki, bir yerine 64 seçenek elde etmek için mükemmel bir karenin konturunu herhangi bir yönde herhangi bir sayıda hücre kaydırma fırsatını kullanarak ana varyant olarak kabul edilebilir. Böyle bir dönüşüm iç yapıyı değiştirmez. Bu nedenle, yeni 63 seçeneği pek ilgi çekici değil.

Başka bir şey, varyant 2), yeni yapının modeline karşılık gelen, aynı orijinal karenin alt yarısında farklı bir sayı düzenlemesiyle elde edilen 8 X 8,׳ asimetrik bir tam karedir. Örnek 2), orijinal karenin kullanılan üst yarısı için mümkün olan tek ikinci seçenektir. Yalnızca bir <3> yapısına sahip olan tam 8 X 8 kareler ile tam 4 x 4 kareler arasındaki temel farka işaret ediyor.

8 X 8 tam kare yapısının olası dönüşümleri, seçenek 2 ile sınırlı değildir). İlk kare olarak Riollo'nun kitabından 8 x 8 tam karesini alırsak, üst yarısı iki değil sekiz varyantın temeli olabilir. Bunlardan üçü gösterilmiştir (bkz. s. 128). İlk—!)—orijinal. İç yapısı, önceki örnek 1)'de olduğu gibi, birbirine paralel, eşit boyutta 16 eğik haçtan oluşur. İkinci örnek, önceki örnekteki varyant 2)'ye benzer altı asimetrik varyanttan biridir. Bu 6 seçenek, bu şekilde elde edilen tüm simetrik olmayan yapıları tüketir. Üçüncü örnek, benzer yapı dönüşümleri zincirindeki sekizinci ve son örnek, simetrik çıktı ve sadece simetrik değil, aynı zamanda mükemmel 4x4 kareler için imkansız olan tam bir merkezi simetriye sahip oldu.

Bir süre için dikkate alınan 5 dönüşüm örneğini bir kenara bırakırsak ve sonra onlarla tekrar ilgilenirsek, onlarda daha önce fark edilmeyen yeni bir şey görebiliriz. Bölünebilecekleri kadranların, satır ve sütunlardaki sayıların toplamı 8 x 8 karenin "sabit" inin yarısına, yani 260'a eşit olan yarı sihirli kareler olduğu ortaya çıktı: 2 = 130. 6x6 sihirli karesini hatırlayarak, bu tür kadranlara sahip olamayacağı not edilebilir, çünkü 6x6 sihirli karesinin bir "sabit" ∑ o = Ill vardır ve ikiye bölünemez.

Yapısının 16 büyük eğik haç içeren yapıyla hiçbir ilgisi olmayan mükemmel 8x8 kareler var mı? Sıralı hesaplama ile onları aramaya çalışmak karmaşık ve zaman alan bir iş olacaktır. Onları literatürde aramaya mı çalışıyorsunuz? Bu, bir beyaz top torbasından, aralarında kaybolan aynı boyuttaki tek siyahı hemen çıkarmaya çalışmakla aynı anlama gelir. Çok şanslı değilsen...

Ama tam da böyle bir tesadüf olmalı: Weidemann'ın kitabında yer alan çok az sayıdaki 8×8 sihirli kareler arasında, sol üst hücrede garip bir çarpık yapının mükemmel bir 8×8 kare örneği vardı, ortaya çıktı ki dönüştürülmüş, yine mükemmel kare, simetrik bir yapı kazandı. Ancak hiçbir şekilde 16 eşit eğik haçtan oluşan bir yapıya dönüştürülemeyecek şekilde. Elinde tek bir siyah top vardı...

Bu tam karede, birinci çeyreğin sayıları çiftler halinde dört çeyreğin de sayıları ile birleştirilir. Böyle bir konum

118

Tek başına mükemmel bir 8×8 karenin beklenmedik keşfi, tekrar mükemmel 6×6 kareler arayışına geri dönmek için bir sebep olamaz. Umutsuz. Bununla birlikte, eğitim veya eğlence amaçlı bu tür herhangi bir girişim, yapı için birkaç seçenek çizmeyi mümkün kılacaktır.119

6×6 tur, 8x8 yapısının son örneğine benzer.Karşılık gelen kareleri cebirsel olarak yazdıktan sonra, birkaç satır ve sütun sayısını (3+3) toplamak imkansızlığı ispatlamak için yeterli olacaktır. böyle sihirli kareler inşa etmek.

6 x 6, 10 x 10, 14 x 14 ve benzeri tam kareler yapma girişimleri umutsuzsa, o zaman 12 x 12, 16 x 16, 20 x 20, 24 x 24 ve benzeri tam kareler mümkündür ve yayınlandı . Ancak, serilerindeki sayıların toplamları çok büyük olduğu için onlarla çalışmak sakıncalıdır: 870, 1028, 2005, 6912, vb. Bunların en küçüğü olan 12 × X 12 tam karesinin yalnızca bir sürümünü test etmek için, 12 sıra, 12 sütun, iki köşegen ve 22 kırık köşegen halinde toplam 48 kez 870 vererek 12 sayı eklemeniz gerekir. . Bu nedenle, burada ele alınan en büyük tam kare, 8x8 kare olarak kalır. Bu tür kaç tane kare olduğunu belirtmek gerekir. Matematikçi F. Fitting'in daha önce adı geçen çalışmasının ikinci yarısı olmasaydı, bu konuda kesin bir fikir oluşturmak zor olurdu. 4×4 sihirli karelerin toplam sayısını hesapladığı gibi, mükemmel 8×8 karelerin sayısının 100.306.130.042.880 olduğunu gösterdi, IO 14'ten daha fazla, okunması bile zor bir sayı: yüz bin milyar . Kimse kaç tane farklı şekle ve türe sahip olduğunu bilmiyor.

Bu kadar çok sayıda çift tam kareden sonra, tek tam karelerin tüm hesaplamaları hem basit hem de uygun hale gelir. 5x5 karesi ayrıntılı olarak incelenmiştir ve bu nedenle daha fazla analiz için ilk adım olabilir. Buna dayanarak, tek tam karelerin ancak sayıdan sayıya geçişin bir satranç atının adımıyla gerçekleşmesi durumunda elde edilebileceğini bulmak mümkün oldu. Bu geçişin yönü önemsizdir. Şimdi aşağı ve sağda olmasına izin verin. Farklı bir yön seçmek, bir değişkene yol açar. Herhangi bir tam kare (tek ve çift) bir ile başlayabilir. Bu koşullar, farklı boyutlarda aynı türden tam karelerin örneklerini oluşturmaya başlamak için yeterlidir. Her şeyden önce, zaten tanıdık olan 5x5 kare olacak:

120

5×5'lik bir kareye üç sıra a ve 6 rakamı için yasak olan bir sıra işaretlendikten sonra geriye sadece 6 rakamının yerleştirilebileceği 4 boş hücre kalır.(Bu hücreler nokta ile işaretlenmiştir.) 4 ana hücre bu şekildedir. tam karelerin varyantları X 5 (biri gösterilmiştir). Kalan 96, kontur yer değiştirmesi ile elde edilir.

Neden tam kareler 5 × 5'te temel seçeneklerin sayısı tam olarak dörttür?

6 sayısının yazılabileceği hücreleri işaretleyen noktalar dört satır üzerindedir. Beşinci, üst satırın yanında yasaktır. (Karenin tabanındaki hücre sayısı 7r ise, izin verilen satır sayısı her zaman n - 1'dir.) İzin verilen satırların her biri 4 hücreye sahiptir. İkisi a satırı, biri γ'nın yanında ve biri 2, 3, 4, 5 grubundan bir sayıdır. Bu nedenle, her satırda (7r = 5 için), 6 sayısı için yalnızca bir hücreye izin verilir. (Genel olarak, bir satırdaki boş hücre sayısı 7r - 4'tür.)

Herhangi bir boyuttaki tek tam karelerin temel varyantlarının sayısının çok basit bir formülle ifade edilebileceği ortaya çıktı:

N q \u003d (7r -1). (7g-4)1.

Bu nedenle, herhangi bir boyuttaki tüm mükemmel tek karelerin sayısı:

N = N q ∙π 2 = (7r - 1) • (7r - 4) • 7r 2 .

Tek tam karelerin sayısı sorusu hemen ve nihayet çözüldü.

7×7 kare için 8 rakamının yazılabileceği satır sayısı altıdır. Her satırda, 3 hücre 8 sayısını yerleştirmek için serbesttir.

1 Tam merkezi simetriye sahip aynı sayıda mükemmel tek kareler.

121

Bu nedenle, 7x7 tam karelerin temel varyantlarının sayısı şuna eşittir: TV 0 = (7-1) (7 - 4) = 6-3 = 18. (Biri gösterilmiştir.) Tüm mükemmel karelerin toplam sayısı 7'dir. × 7 kare N = 7V 0'dır . n 2 = 18∙7 2 = 18.49 = 882.

9×9 karesini ayrı ayrı ele almak gerekecek çünkü mükemmel olamaz, tıpkı tabandaki hücre sayısı üçün katı olan diğer kareler gibi: 15×15, 21×X21, 27×27, vb. Açık. (Örneğin Riollo bunun hakkında yazıyor.)

Mükemmel tek karelerin sayısı, boyutları arttıkça hızla artar:

Aynı zamanda karenin "sabiti" de büyüyor. Yeni oluşturulan 13x13 karenin kalitesini kontrol etmek, 12x12 kare ile aynı zorluklardan geçmek zorunda kalacak, bu nedenle, büyük meblağların tekdüze hesaplamalarında takılıp kalma riskini almanın bir anlamı yok. I × I, 13 × 13 vb. tam kareleriyle tanışmaya devam etmemek, bunun yerine 9 χ 9 karesine dönmek daha iyidir. Bu boyutta tam kareler olmasın, ama görmek ilginç olurdu kendi gözlerinizle mükemmel bir kare 9x9 elde etmenizi ne ve nasıl engelliyor? Bazen iyi bir çözümden daha ilginçtir. Ek olarak, satranç şövalyesinin hareketi boyunca hücreleri sayılarla doldurmak o kadar basittir ki, birkaç seçeneğin hesaplanması önemli bir zaman gerektirmez.

Sayıların düzenlenmesine sol üst hücreden başlayıp aşağı ve sağa doğru giderseniz, 9 sayısı sağ sütun ile alttan ikinci satırın kesişme noktasındadır. 10 sayısını kaydetmek için 48 hücre boş kalır. (9, 1, 2,..., 8, 9 sayıları tarafından işgal edilmiştir; 24 hücre yasak satırlardır.) Birinci değişken için, önceki örneklerde geçiş için kullanılan 9'dan 10'a aynı geçişi seçersek 5'ten 6'ya, 7'den 8'e ve VE xI karelerinde I'den 12'ye gitmek için, 13 X 13 karelerinde 13'ten 14'e gitmek için vb. kullanılabilir, ardından 9x9 karesinde bu geçiş başarısız olur ve karenin tüm hücrelerini sayılarla doldurmanın bile mümkün olmadığı gerçeğine yol açar. 1 → 10 → 19 → 28 geçiş zinciri yaparsanız bunu doğrulamak kolaydır. 9 → 10 geçişi yapılır yapılmaz ve ortaya çıkar 122

adım 1 → 10, burada satranç atının adımı olduğu ortaya çıktı, 10'dan 19'a ikinci adımı atabilir ve 19 numara için bir yer bulabilirsiniz. 19'dan 28'e kadar olan üçüncü aynı adım, 4 numaranın işgal ettiği hücre.

2) seçeneğindeki bir sonraki başarısızlık, sağdan dördüncü sütun ile alttan üçüncü satırın kesiştiği bir hücreye 10 rakamı girilirse oluşur. Bu durumda, karenin tüm hücrelerinin doldurulması engellenmeden sonuna kadar ilerler, ancak kare sadece mükemmel değil, aynı zamanda büyülü de değildir. En üst sıradaki sayıların toplamı 369 değil 360'tır.

İki seçenek bu kadar kolay denendikten sonra, 48 seçeneğin hepsini test etme isteği var. 10 numara 48 boş hücrenin hepsini tek tek ziyaret ettikten sonra ne olur? 12 durumda tüm hücreleri doldurmak mümkün değildir.

123

kare, örnek 1'deki gibi 1 ) . Örnek 2'de olduğu gibi, 36 durumda karenin sihirli olmadığı ortaya çıktı)^[13] [14]. Ayrıca, sıralardan birinde (I. ışın veya II. ışın veya III. ışın boyunca) sayıların toplamı 369 değil 360 olur. Bu satırların sayıları arasında her durumda üç özdeş sayı vardır: 1; 28 ve 55. Böylece 48 deneme hesaplamasının tümü sona erdi. Bu kadar basit bir şekilde elde edilen sonuç, 9×9'luk bir karenin mükemmel olamayacağının ispatıdır.

Benzer bir durum 15×15'lik karelerde de bulunur: ya karenin tüm hücrelerini doldurmak imkansızdır ya da sihirli kareler elde edilmez. İkinci durumda, başarısız satırlarda üç "önemli" sayı görünür: 1; 76 ve 151. Üçe bölünebilen keyfi bir kare n × n için "ölümcül" sayıların da bulunacağı tahmin edilebilir : 1) bir; 2) 1 + ÷ y J 3)         ÷ 2 -y.

Şimdi, üçe bölünebilen herhangi bir sayısal karenin neden mükemmel bir forma sahip olmadığı oldukça açık. Bunda hiç şüphe yoktu, ama şimdi şüphe yokluğunun yerini kesinlik aldı. Aynı değil.

...gökteki yıldızlar gibi

Mükemmel kareler de dahil olmak üzere sihirli kareleri dönüştürürken birçok kez kare konturunun yer değiştirmesi uygulandı. Aynı zamanda, bazı sayı satırlarının tamamen veya tamamen karenin konturunun dışında olduğu ortaya çıktı, kesildi ve konturun içinde karşılık gelen sayıda boş hücre belirdi. Serbest hücreler, kesme satırlarından aktarılan sayılarla dolduruldu ve sayılar birbirine göre aynı sırada yerleştirildi. Sağda ve solda, yukarıda ve aşağıda ve çapraz olarak belirli bir sayısal kareye tam olarak aynı sayısal karelerden herhangi bir sayı eklenirse, bu tür bir sayı transferi basitleştirilebilir.

Bu durumda, orijinal karenin sınırları kaybolur ve sayılarla eşit olarak noktalanmış, belirli bir sınırsız düzleme yayılır. Bu sayısal düzlemde, onu kaplayan kare hücrelerin ızgarasında, herhangi bir yerde orijinal kareyle aynı boyutta bir kare konturu bindirildiyse, ortaya çıkan yeni sayısal kare orijinaliyle tamamen aynı olabilir. yeni kontur, orijinal karenin konturuna çok yakınsa veya n hücre tarafından (veya n hücre tarafından birkaç kez) ondan uzaklaştırılırsa . .

Sayı düzlemi sihire dayalıysa

kare, o zaman sihirli bir uçak olacak. Sihirli olmayan sayı düzleminden farkı, bazı belirli yerlere yerleştirilmiş hareketli bir kare konturun, bu düzlemde orijinaliyle aynı veya ondan farklı bir sihirli kare kesmesi gerçeğinden oluşacaktır. İkincisi, orijinal sihirli karenin en az bir "iyi" kırık köşegeni varsa ve hareketli kontur kaydırılırsa, "iyi" kırık köşegenin sayıları yeni karenin ana köşegeninde olacak şekilde kaydırılırsa mümkündür.

Bir tam kare temel alınarak bir sayı düzlemi oluşturulursa, o zaman bu tam bir sihirli sayı düzlemi olacaktır. (İsim uzun ama doğru.) Mükemmel bir düzlem üzerinde hareket edebilen bir kontur nereye yerleştirilirse yerleştirilsin, mükemmel bir kareyi kesecektir. Örnekte, 4 × 4 tam kare temel alınarak mükemmel bir düzlem oluşturulmuştur:

Böyle bir düzlem, mükemmel 4 × 4 karelerin 16 çeşidini içerir.Dört sayıdan oluşan herhangi bir köşegen, bazı kareler için ana köşegendir veya bir başkası için "iyi" kırık köşegendir.

4×4 tam kareler arasında sadece 3 tam kare olduğuna göre 3 tane de 4×4 tam kare vardır.Her biri 16 farklı 4×4 tam kare içerir.5x5 tam kareler arasında sadece 4 tane tam kare vardır. Bu nedenle, yalnızca 4 tam 5 × 5 düzlemi vardır ve her birinin 25 tam karesi vardır.

Mükemmel bir 3×3 düzlemi yoktur. Üçün katı olan karelere dayalı tek mükemmel düzlemler olmadığı gibi, dördün katı olmayan çift düzlemler de yoktur. Kusursuz uçak sayısı, tek125

çift, her zaman tam karelerin temel değişkenlerinin sayısına eşittir.

Bir sayı düzlemi kavramının ardından, bir sayı satırı ve bir sayı alanı ortaya çıktı. Bir düzlem gibi, çizgi ve boşluk sayılarla eşit şekilde noktalanmıştır.

Sayı düzleminin bir kısmı, hücrelere bölünmüş bir sayı karesiydi. Sayı doğrusunun bir kısmı, bazı paylara bölünmüş bir segmenttir. Sayı uzayının bir kısmı, temel küplere bölünmüş bir sayı küpüdür. Bir küpün yüzleri hücrelere bölünmüş kareler ise, o zaman temel küp bir tabanda olduğu gibi bir karenin hücresi üzerine inşa edilmiştir.

Sadece sayısal değil, sihirli bir çizgi ve sihirli bir küp nasıl hayal edilir?

2 - 1) bir düzende düzenlenmelidir n 2 ; 2) bölüm sırasında sayılar tekrarlanmamalıdır; 3) Ardışık gruplarda alınan her n sayının toplamı ״ v 1'e eşit olmalıdır

"KALICI" Zj 0 = סימיץ.

Böyle bir problem, örneğin, n = 4 için, basit bir şekilde, hatta çok basit bir şekilde çözülür: sihirli veya hatta yarı sihirli bir kare almak, onu satırlar veya sütunlar halinde şeritler halinde kesmek ve bu 4 şeridi yukarıdan katlamak yeterlidir. herhangi bir sırada biter. Ardından, sihirli bir segmentin bir modelini veya düzenini elde ederiz, örneğin şöyle:

Her biri 4 vuruş içeren bu sihirli bölümün yalnızca belirli bölümleri, toplamı 34'e ulaşan sayılar içerir. Sonsuz bir sihirli çizgi elde etmek için, böyle bir bölümün sağına ve soluna aynı sihirli bölümleri süresiz olarak eklemeniz gerekir. çok sayıda.

Sihirli kareden sihirli bölüme geçişte her şey ne kadar basitleşiyorsa, sihirli kübe geçişte de her şey daha karmaşık hale geliyor. Her şeyden önce, 3 × 3 tam karesi olmadığı gibi, 3 X 3 X 3 sihirli küpünün de olmadığı ortaya çıkıyor. (Belki bu iki durum birbiriyle ilişkilidir?) Sihirli küp 4 χ 4 × 4 vardır. Herhangi bir örnekte onunla tanışmak daha uygundur. (Casalas'ın bahsi geçen kitabından alınmıştır.) Şekilde bu sihirli küpün sadece 3 yüzü görünmektedir ancak böyle bir küpün modelini elinizde tutup her yönden inceleseniz bile

126

Bu durumda, küpün tam bir resmini oluşturmak imkansız olacaktır çünkü ortasında bulunan 8 temel küp görünmeyecektir. Bu nedenle, küpün içerdiği tüm sayıların nasıl yerleştirildiğini tam olarak bilmek için, küpü bir değil üç kez dilimlere ayırmak gerekir: a) sol dikey kenara paralel, b) sağa paralel dikey taraf, c) üst kenarlara paralel.

Bu tür dilimlerin her biri sayısal bir karedir. Bu karelerin hangi niteliklere sahip olduğunu anlamak zor değil ama önce olağan yardımcı hesaplamaları yapmamız gerekiyor.

Küpteki tüm sayılar 4 × 4 × 4 = 4 3 = 64. 1, 2, 3, ..., 62, 63, 64 doğal serilerinin elemanları temel küplere yerleştirilir. Herhangi bir sayı çiftinin toplamı serinin uçlarına eşit uzaklıkta st = 1         64 = 65. “Sabit” küp ∑ o = ~∙n∙σ = y • 4• 65=

= 130. Bu değer a), b) iv) adlı 12 bölümün satır, sütun ve köşegenlerindeki sayıların toplamına eşit olmalıdır. Mutlak? Ve aslında? a) ve b) bölümlerinde satır ve sütunlardaki sayıların toplamı 130'a eşitken köşegenlerdeki sayıların toplamı 130'a eşit değildir. (Bu “talihsiz” köşegenler kırık oklarla işaretlenmiştir.) İlk 8 karenin yarı büyü olduğu ortaya çıktı. Öte yandan, c) yatay olarak kesilmiş karelerin sadece büyülü değil, aynı zamanda mükemmel olduğu da ortaya çıktı. İç yapılarının, 4 × 4, yani <3> tipindeki sıradan mükemmel karelerle tamamen aynı olduğu ortaya çıktı. Bu, küpün içerdiği tüm sayı çiftlerinin c) yatay bölümlerinde yer aldığı ve a) ve b) dikey bölümlerinde tek bir çift olmadığı ve bu nedenle örüntü anlamında bir iç yapıya sahip olmadığı anlamına gelir. Sıradan sihirli karelerde olduğu gibi sayı çiftlerinin düzenlenmesi . Bu şaşırtıcı değil: İçlerinde bulunan sayılar aritmetik bir ilerleme oluşturmuyor. (Daha doğrusu, uydukları düzenliliğin basit bir aritmetik ilerlemeden daha karmaşık olduğunu söylemek gerekir. Ancak merak edilen başka bir şey daha var: Büyülü veya yarı sihirli kareler olabileceği ortaya çıktı. dikkate alınan “klasik” kareler. )

1	56	13	60
3,4	23	46	27
25	36	21	48
10	51	6	63

47	26	35	22
16	57	4	53
7	62	И	50
24	45	28	33

1	30	52	47
12	23	57	38
40	И	21	58
33	14	20	63

60	39	9	22
49	46	4	31
17	62	36	15
24	59•	37	10

1	43	64	22
61	23	4	42
44	62	21	3
24	2	41	63

47	5	18	60
19	57	46	8
54	36	И	29
10	32	55	33

Küpün bir kenarından karşı kenara geçen küpün köşegen düzlemlerinde hangi sayısal karelerin olduğunu kontrol etmek kalır. Bir küpün on iki kenarı vardır. Bu nedenle, küpün 6 çapraz bölümü vardır. İlk dört bölümde sadece satırlardaki sayıların toplamı 130'a eşittir; geri kalanlar "kötü"dür (ve kırık oklarla işaretlenmiştir). Bu kareler yarı büyülü bile değil. 5) ve 6) numaralı kareler için yalnızca köşegenler "kötü"dür. Bu kareler yarı büyülü.

Son olarak, bir küpün bir köşesinin tepesinden karşı köşenin tepe noktasına uzanan dört ana (doğrusal) köşegeni nedir ve köşegen bölümlerin köşegenleri nelerdir? İçlerindeki sayıların toplamlarının 108, 112, 148 ve 152 olduğu, ancak 130 olmadığı ortaya çıktı.

Bu görünüşte basit sihirli küp, karmaşık bir sayısal yapıdır.

Üçüncü toplantı

İki kez tesadüfen "garip" denilen sayısal kareler vardı ama bunlarla uğraşacak zaman yoktu. Ve böylece, bir isim olmadan bile, kabul edilen tüm sihirli karelerle bağlantılarını açıklamadan sıralarını beklemeye bırakıldılar. Ancak bir isimleri vardı. Literatürde "yardımcı" olarak adlandırılırlar. Neden ve ne ölçüde “yardımcı”dırlar?

Daha önce karşılaşılan "garip" veya "yardımcı" kare örneklerinde, özellikleri açıkça görülüyordu. "Garip" karedeki bir sıra n 2 terim yerine , sayılar n kez tekrarlanan n özdeş satırdır . Ancak her satırda, her sütunda, köşegenlerde genellikle bir kez, bazı durumlarda birkaç kez ortaya çıkarlar. "Garip" karelerdeki sayı sıraları aritmetik ilerlemelerdir, örneğin 0; 3; 6 veya 2; 4; 6; 8 veya bir doğal sayı, örneğin 1; 2; 3. Bütün bunlar, daha önce karşılanmış olan "garip" karelere atıfta bulunur, ancak başkaları da vardır. n 2 : 2 kez tekrarlanan sadece 2 sayı içerirler . (Genellikle bu sayılardan biri sıfırdır.) Doğal olarak, bu tür çok garip kareler çift olmalıdır, aksi takdirde 2 : 2 מ kesirli bir sayı olur.

Birinci türden “garip” karelerin eskiliğine rağmen, sıradan sihirli karelerden bağımsız olarak bulunmalarına ve eski günlerde herhangi bir yardımcı rol oynamamalarına rağmen, şimdi genellikle inşaat için uygun bir ara yapı olarak kabul ediliyorlar. sıradan sihirli kareler, sihirli kareler. Uygulamada bu, bu durumda gerçekten "yardımcı" olan iki veya daha fazla karenin eklenmesine indirgenir. Aynı büyüklükteki "yardımcı" (veya herhangi bir) kareyi eklerken, sayılar eklenir,

eşit aralıklı hücrelere kaydedilir. Böyle bir işlemin olasılığı, sayılar teorisinden gelen ilginç bir kurala dayanmaktadır.

Bir aritmetik ilerlemede ve dolayısıyla doğal bir dizide yer alan her sayının, diğer iki düzenli dizinin üyesi olan iki sayının toplamı olarak temsil edilebileceği ortaya çıktı. Örneğin, 3×3 kare için:

1, 2, ..., 8, 9 doğal dizisinin üyelerinin genişletilmesiyle elde edilen sayılar, A) 1; 2; 3 ve aritmetik ilerleme B) 0; 3; 6. 4 × 4 kare için: A) 1, 2, 3, 4 ve B) 0, 4, 8, 12; 5×5 kare için: 4) 1, 2, 3, 4.5 ve B) 0, 5, 10, 15, 20 vb.

Her zamanki sihirli karenin ayrışmasının sonucu olan A) veya B) serisi sayılarını içeren kareler , "garip" veya "yardımcı" olarak ortaya çıkıyor.

Ancak, "yardımcı" kareler elde etmenin bu yolu gerekli değildir. Aksine, matematiksel teori "yardımcı" kareleri doğrudan derlemek için yöntemler sağlar. Bununla birlikte, "yardımcı" karelerin toplamı örneklerine bakarsak ve literatürde bu tür pek çok örnek varsa, o zaman çoğunlukla kişi bunların doğrudan değil, tam olarak bazı iyi bilinen büyüleri genişleterek elde edildiği izlenimini edinir. kare. Nadiren, ancak başka örnekler de var. M. Postnikov tarafından iki "yardımcı" kare eklenerek ilginç bir asimetrik sihirli kare 5 × 5 oluşturuldu. Kitabı, "yardımcı" kareleri hesaplamanın genel yolunu ayrıntılarıyla anlatıyor. Yöntem haklı, ancak karmaşık, ancak diğer benzer yöntemlerden daha fazla değil.

" Yardımcı" karelerin çeşitli değişken olmayanlarını toplarken, 1'den n2'ye kadar sayılarla sıradan bir sihirli kare elde etmek nadir bir istisnadır. Çok daha sık olarak, toplam kare "tuhaf", daha az sıklıkla büyülü, daha sıklıkla büyülü değildir.

130

"Yardımcı" adı bu toplam karelere hiç uymuyor. Burada yanlışlıkla "garip" olarak adlandırılan sihirli (veya yarı sihirli, sihirli olmayan, mükemmel sihir) karelerin, daha önce ele alınan sihirli karelere eşit haklara sahip özel bir sayısal kareler grubunu temsil ettiğini düşünmek daha doğru olmaz mıydı? ? Eski "garip" karelere bu yaklaşımı vurgulamak ve kökenlerini (sıradan sihirli karelerin ayrışması) belirtmek için, bundan sonra "yardımcı" olarak anılmayacaklar, ancak şartlı olarak (ve daha kısaca) LB olarak adlandırılacaklar - kareler.

Yukarıda elde edilen 3 × × 3 LB kareleri hakkında her şey söylenmedi.L karesindeki ve B karesindeki sayıların (çiftler değil, sayılar) düzenlenme şekli tamamen aynıdır:

Ancak bu şekillerin L) karesindeki ve B) karesindeki konumu farklıdır: eşit sayıları (2, 2, 2 ve 3, 3, 3) içeren köşegenler birbirine dik açıdadır. Köşegenlerin bu şekilde dizilişi, 9 farklı sayı ile 3 x 3 toplam kare elde etmenin tek koşuludur. Daha önce, bu tür karelerin örnekleri ele alındı - bir büyü ve 8 yarı büyü (bkz. s. 27).

4 × 4'te LB karesi 10׳'yi analiz ederken LB kareleri 3x3 ile ilgili olarak söylenen her şeyi tekrar etmemek için, sayıları terimlere ayırmanın iyi bilinen ikinci yöntemini kullanabiliriz. Sayının ikiye değil, dizinin üyeleri olan birkaç terime ayrıştırılmasından oluşur: 1, 2, 4, 8 vb. Bu sayıların her biri ikinin kuvvetidir:

131

1 ≈ 2 0 ; 2 = 2 1 ; 4 = 2 2 ; 8 = 2 3 , vb. LB-kareleri 4 X 4'ü elde etmek için, önce doğal seriler 1, 2,... ..., 15, 16'nın her bir üyesinden bir çıkarılır. Yine doğal olan yeni seri sıfırla başlayıp 15 sayısıyla bitiyor. Bu operasyon sıfırı genişlemeye sokmayı amaçlıyor. Bunun uygunluğu daha sonra netleşecektir. Bu yönteme göre sayıların ayrıştırılması,

Dört LB karesindeki sayıların düzeni farklıdır. Bu kareler özgün olmalarına rağmen bilinen yöntemlerle analiz edilebilirler. Koşullu olarak her karenin 4 sayısal satır içerdiğini varsayabiliriz. Her satır yalnızca iki sayıdan oluşur: 1) 0; 8; 20; 4; otuz; 2; 4) 0; 1. Bu nedenle her satır bir çift sayıdan oluşur. Bu nedenle σ 1 = 0 -|- 8 = 8; σ 2 = 0-(-4 = 4; σ 3 = 0- ∣ -2 = 2; σ 4 = 0- ∣ -l = l. 1 1 seçebilirsiniz

say "sabit": 1) ∑ o = y∙n∙σ = y 4 • 8 = 16; 2) ∑ o = 8; 3) ∑ o = 4; 4) ∑ o = 2. Dört karenin de satır ve sütunlardaki sayıların toplamları "sabit"e eşittir, ancak çaptaki sayıların toplamları Bu dört LB-karesini "LBBG-kareleri" olarak adlandırmak beceriksiz bilgiçlik olur.

132

ilk üç karenin köşeleri başarısız: 1) 8 ve 24; 2) 4 ve 12; 3) 0 ve 8. Bu kareler yarı sihirlidir. Kare 4) büyülüdür. Dört karenin de "iyi" kırık köşegenleri var. Şekilleri ve konumları, karenin köşelerindeki simgelerle gösterilir.

Aynı A5 kareleri 4x4 farklı yazılabilir. Her birinde yalnızca birler ve sıfırlar olacak, ancak ilk üçünün ihtiyacı var

Bu yazı biçimi özeldir. O. muhtemelen pek çok okul çocuğuna, özellikle de programcı olmaya hazırlananlara aşinadır ve muhtemelen pek çok kişiye, hatta okul yaşının ötesinde, elektronik hesaplama makinelerinde hesaplamalarla bağlantısı olmayan pek çok kişiye aşina değildir. Böyle bir gösterim, herhangi bir sayının yalnızca iki işaret kullanılarak yazıldığı sözde ikili sayı sistemine tamamen karşılık gelir: sıfır ve bir. 0, 1, 2,..., 14, 15 serisi için şöyle görünür:

İkili sistemde sayıların dört L5 karesine yazılmasını kolaylaştırmak için her sayı dört basamaklı olarak yazılır. Bu durumda 8 - 15 sayılarını yazma şekli değişmez ve ilk sekiz şöyle görünür:

İkili sistemi kullanan L/e-kare ayrışımına bir örnek olarak, a) formunun 4 × 4'lük mükemmel bir karesi alınır (bkz. s. 62 ve s. 144'ün başı). Ayrıştırma ile elde edilen AB- kareleri 1), 2), 3), 4) de mükemmeldir. 1)-4) karelerindeki sayıların düzeni, 1930'da F. Fitting tarafından ve hatta daha önce, 1885'te Profesör V. Ermakov tarafından bulunanlarla örtüşüyor.

133

6 1 ) ve b 2 ) biçimindeki 4 × × 4 tam karenin ayrıştırılması sırasında aynı A5 karelerinin elde edilmesi dikkat çekicidir, ancak

ben prof. Ermakov ve 45 yıl sonra F. Fitting, yardımcı kareler 4 χ × 4'ün olası kombinasyonlarının sayısını hesapladı. (Bu isim burada uygundur 1 .) Bu tür kombinasyonlar

1 F. Fitting bunları bileşenler olarak adlandırdı.

tam olarak I. Bu temelde, yardımcı karelerin içindeki sayıları yeniden düzenleyerek yardımcı karelerin toplanmasıyla elde edilebilecek 4 × 4 sihirli kare sayısını hesapladılar. Bu şekilde 528 sihirli kare 4 χ 4 elde edilebileceği ortaya çıktı.Her iki bilim adamı da kendilerini 528 sihirli kare elde etme olasılığını araştırmakla sınırladılar ve bunları hesaplamaya çalışmadılar. Yapsalardı, bu 528 sihirli kare arasında 48 tane mükemmel 4×4 kare olduğunu fark edebilirlerdi.

F. Fitting, aynı yöntemi, ancak farklı türde yardımcı karelerle kullanarak, 4 × 4 sihirli karelerden oluşan üç grubun daha sayısını hesaplayabildi ve bunların 192, 112 ve 48 olduğu ortaya çıktı. . Uydurma olması gerektiği gibi 528 4880 = 112+48 + 192 ־ 4×4 sihirli kare aldı. Ne yazık ki bu hesaplamalarda F. Fitting bu 4×4 kareleri herhangi bir gruba ayırmaya çalışmamış; o sadece yardımcı karelerin şekliyle ilgileniyordu.

Ne garip bir soru!

Sadece garip değil, aynı zamanda beklenmedik. Ayrıca, önceki tüm çalışmalar tamamlandığında ortaya çıktı. Ama yine de, "perdenin altında" olmasına rağmen:

sihirli karenin ağırlık merkezi nerede!

Doğrusu garip. Tamamen matematiksel imgelerin, temsillerin, yapıların analizinde hangi ciddiyet tartışılabilir?

Yine de ... Sayılar soyuttur, ancak ağırlık dahil herhangi bir miktarı ifade edebilir. 7 rakamının 7 gramı mı yoksa 7 tonu mu ifade edeceği bu durumda fark etmez. Bunların ikisi de ağırlıktır. Karenin hücrelerine dizilmiş sayıları, bu hücrelere sığan bazı yüklerin ağırlıkları olarak düşünmek neden imkansızdır? Ve eğer mümkünse, karenin konturu tarafından sınırlanan tüm yüklerin ortak ağırlık merkezi nerede olacak?

Böyle bir görev oldukça kabul edilebilir. Mekanik (statik) formülleri kullanılarak çözülebilir. Mümkün ama gerekli değil. Görev zor değil ve daha basit bir şekilde çözülebilir. Sihirli karede her çizgi aynı ağırlığa sahiptir: ∑ o gram veya ton. Eşit ağırlıktaki n sıradan oluşan bir sütun bir karenin dış hattında toplandığında , bunların ortak ağırlık merkezi karenin yüksekliğinin ortasında bir yerde olacaktır.

Sihirli karedeki her sütun aynı ağırlığa sahiptir: ∑ o gram veya ton. Bir karenin konturunda eşit ağırlıkta n sütundan oluşan bir paket toplandığında , ortak ağırlık merkezleri, karenin tabanının ortasına dayanan dikey bir çizgi üzerinde herhangi bir yerde olacaktır.

Satır ve sütunların eşit ağırlıklara sahip olduğu bir sihirli karenin ortak ağırlık merkezi, karenin yüksekliğinin yarısı ile tabandan yukarı kaldırılan yatay bir çizgi ile tabanın ortasında duran dikey bir çizginin kesiştiği noktada olacaktır. meydanın. Bu iki çizgi karenin merkezinde kesişir.

Tam olarak aynısı yarı sihirli karede olacak. Köşegenlerin ağırlıklarındaki fark burada bir rol oynamaz.

- Aynısı elbette tam bir karede olacak.

Yanıt şudur: Yarı büyü, büyü ve herhangi bir boyuttaki tam karelerin ağırlık merkezi her zaman geometrik merkezlerindedir.

Bu arada, mükemmel bir sayısal düzlemin hücrelerindeki sayılarla aynı şekilde bir düzlem üzerinde düzenlenmiş bir aritmetik ilerlemenin üyeleriyle orantılı yüklerin, elbette desteklerine farklı şekillerde baskı uygulayacağı ortaya çıktı. yollar, ancak hep birlikte, ortalama olarak, taban düzlemini eşit olarak yükleyeceklerdir.

Şimdi şu sorulabilir: Sihirli küpün ağırlık merkezi nerede? Tartışma tekrarlanır. Küp, bir hücre kalınlığında plakalara bölünebilir. Her plakada sayılar, yarı sihirli veya tam bir kare elde edilecek şekilde dağıtılır. Bu nedenle, her plakanın ağırlık merkezi geometrik merkezindedir. Tüm plakaların "ağırlığı" aynıdır. Bu nedenle, tüm plakaların ortak ağırlık merkezi, yani tüm küpün ağırlık merkezi, tüm plakaların geometrik merkezlerini birleştiren düz bir parçanın ortasında yer alacaktır. Bu nokta küpün geometrik merkezinde bulunur.

SONRAKİ SÖZ YERİNE

Bunun bir unutkanlık itirafı olduğunu düşünebilirsiniz. Ancak bu böyle değil: her şey için suçlanacak iki soru işareti - s.

Bu sorun çözülemedi. Çözümün ne kadar süreceği belli değildi. Ay? Yıl? Bir noktaya değinmem gerekiyordu. Ancak son belirlendiğinde, bu görevle ilgili yeni çalışmalar hemen başladı. Gün be gün, hafta hafta, ay be ay. Yüzlerce seçenek hesaplandı, beklenmedik keşifler yapıldı ve ana soru hala çözüme meydan okudu.

Başlangıçta, 1.2.6 tipi bir sihirli karenin imkansız olduğunu (zaten denenmiş ve test edilmiş bir yöntemle, serilerin toplamı ile) kanıtlamak için çok sayıda girişimde bulunuldu. Kaderi otomatik olarak kareye bölünecekti III.2.a) Bu girişimler başarısız oldu. (Artık sonuç bilindiğine göre, belki birisi doğrudan bir yol bulacaktır.) İkinci olasılık kaldı - akla gelebilecek tüm varyantlarda sihirli kare 1.2.6'yı aramak). Ancak bu olasılık aslında imkansız hale geldi çünkü hesaplama seçeneklerinin sayısı çok fazla olacaktı. Şimdi beş sayının değil de dört sayının toplamını ele alacak olursak. 4 X 4 sihirli karelerinin hesaplanması tam da bu nedenle mümkün oldu. Açıkçası, sadece dört sayıdan toplamları seçmenin gerekli olacağı farklı bir yapıya sahip 5 × 5 sayısal karelerini bulmak ve incelemek gerekliydi. Simetrik yapı dönüşümü 1.2.6) bu amaç için uygun değildi. Asimetrik bir dönüşüm aramak gerekliydi. Bu belirleyici koşuldu. Aksi takdirde çalışmaya devam etmek imkansızdı.

Hemen uygun bir dönüşüm bulundu. Yalnızca birinci ve dördüncü sütunları, birinci ve dördüncü sıraları değiştirmek gerekliydi. Yapı 1.2.6)'dan, karenin her bir köşesindeki bitişik dört hücredeki sayıların toplamının mutlaka 2σ=52'ye eşit olması özelliğine sahip bir tür asimetrik yapı elde edilmiştir. 4 × 4 karelerden farklı olarak, burada ortalama 13 sayısı hariç, burada her 4 numaralı grup 25 numaralı bir satırdan seçilmelidir. Her grupta (her köşede) çift olmamalıdır. Hao- turn, bir grubun tüm numaraları karşı köşede diğer grubun numaraları ile çift olmalıdır. Böyle bir sayısal kare, G olarak belirlenmiş! büyülü olabilseydi, başka ilginç özellikleri olurdu.

Böylece hesaplamaların temeli oluşturuldu. Sihirli kare Γ 1'in en az bir varyantı bulunur bulunmaz, dört sıranın ters permütasyonu ile dönüştürülebilir ve sihirli kare 1.2.6) [ve III.2.a)] elde edilebilir.

Çalışmanın ikinci aşaması Σ 4 = 52 olmak üzere 1,2...,12, 14,...,24,25 numaralı gruplardan seçim yapılmasından oluşmuştur. kombinasyonlar. Bunlardan 979 kombinasyon yapıldı. Meydanın hücrelerini doldurmak mümkün olmadığı için kombinasyonların çoğu ortadan kalktı. Kalan 195 kombinasyon, sihirli kareler elde etmek için kullanılabilirdi, ancak hiçbiri Γ 1 türünde bir sihirli kare vermedi . Bu şekilde 1.2.6) ve III.2.a) yapılarının akıbeti belirlenmiş oldu. Sorun çözüldü ve soru işaretleri artık "hayır" ile değiştirilebilir.

Ancak, G karesinin hesaplamaları üzerinde çalışma! durmadı Γ 1 karesini bulmaya çalışırken , yapısı Γ 1'in yapısına çok yakın olduğu ortaya çıkan ve bu nedenle Г 2 olarak adlandırılan asimetrik bir sihirli kare 5 × 5 bulundu .

2 karesi , ortaya çıktığı gibi, paralel sıraları değiştirerek Г 2 karesinden elde edilen, kendisiyle ilgili sihirli karelere sahiptir . Sihirli kare Г 2'nin dikkate değer bir özelliği, diziyi bilinen veya burada bulunan simetrik sihirli kareler 5 × 5'e yeniden düzenleyerek dönüştürmenin imkansızlığıdır. Bu, ayrı bir simetrik olmayan sihirli kareler 5 × 5 grubunun olasılığını kanıtlar. Çalışmalarına devam edilmelidir.

Daha sonra 110 ve 111. sayfalardaki tabloda yer alan karelerin simetrik olmayan dönüşümleri ile hangi 5×5 sihirli karelerin elde edilebileceği sorusu ortaya çıktı. Bu problem kolayca çözüldü. Sadece 2 asimetrik dönüşüm, Г3 ve Г4 tipinde 2 grup kare verdi . 6 grup kare tipi D1 - Önce, 4 grup kare tipi E 1 - E 4 . Tüm bu simetrik olmayan sihirli kareler, 5 × 5 simetrik sihirli kareler ile Г2 tipi simetrik olmayan kareler arasındaki ara bağlantılardır .

Beklenmedik ve merak uyandıran, düğümlerinde simetrik ve simetrik olmayan sihirli karelerin doğru sırayla yerleştirildiği ve bunları birbirine bağlayan çizgilerin transfer yoluyla simetrik veya simetrik olmayan dönüşümleri gösterdiği kare hücrelerle düz ızgaralar oluşturma olasılığıydı. paralel sıralardan

Frenkel eserinin sonunda şöyle yazmıştır:

Onun örneğini takip etmesi için dua edilemeyecek kadar çok soru çözülmemiş, düşünülmemiş, ihmal edilmiş durumda kaldı. Araştırma asla bitmez.

EDEBİYAT

MAGIC SQUARE HAKKINDA^[15]

1. B. Frenicle de Bessy. Des quarrez ve sihirli tablolar. Sihirli tablolar için genel yöntem. De Tattachement des Figures Parties Interiures. Çeşit çeşit taşlar bozar, ve özellikle taş, qui a 5 de cote. Table generale des quarrez de quatre (cτp. 209-374 benzersiz ciltler: Resolution de quatres Drincipaux Problemes d , Ar-Chiteeture par M. Blondel et ouvrages de Matnematique de M. Frenicle). A la Hfite chez P. Gosse & J. Neaulme. MDCCXXXI.

2. M. F r 0 1 0 w t Le probleme d'Euler et les carres magiques. Atlas. St. Petersburg, 1884.

3. B.∏. Yermakov. Sihirli kareleri tamamlayın. 16 hücreli orta sihirli kareler. 16 hücreli düzenli sihirli kareler. "İlköğretim Matematik Dergisi". Kiev, 1884-1885.

4. G. Arnold ve X. Arithmetique grafiği. (Les espaces aritmetiques hypermagiques). Gauthier - Villars. Paris, 1894.

5. I. A. Ve 3 ve yaklaşık ile yaklaşık olarak. Sihirli kareler hakkında. (Arnoux'nun kitabıyla ilgili olarak.) Izvestia Fiz'den yeni baskı. Mat. Kazan Üniversitesi'ndeki Adalar. Kazan, 1894.

6. I. A. Ve 3 N yaklaşık ile yaklaşık olarak. Sihirli kareler kullanarak birçok bilinmeyenli denklemleri çözme. Deneysel Fizik ve Temel Matematik Bülteni. Odessa, 1886-1916.

7. I. A. Ve 3 N yaklaşık ile yaklaşık olarak. Sayısal kareleri tamamlayın. (Ayrı baskı.) Kazan, 1914.

8. J. R i o 1 1 o t. Büyülü arabalar. Katkı bir öğrenci etüdü. Gautier - Villars. Paris, 1907.

9. H. Weidemann. Zauberquadrate ve andere magische Zanlenfiguren der Ebene und des Raumes. Leipzig, 1922.

10. Ya. V. Uspensky. Seçilmiş matematiksel eğlenceler, ∏r., Sower Yayınevi, 1924.

И . W. A h г е п s. Matematiksel Oyunlar. Beşinci, gözden geçirilmemiş baskı. Leipzig ve Berlin, 1927.

12. F. Uydurma. 16 ve 64 alanlarının sihirli kareleri probleminin tamamen matematiksel olarak ele alınması. «Alman Matematikçiler Derneği Yıllık Raporu». Leipzig. 1931

13. E. Caza 1 a s.Carres magiques au degre «п». (Seri rakamları de G. Tarry). Paris, 1934.

14. Macdonald. Tek tip adım küpleri olan sihirli küpler. «Kaliforniya Üniversitesi basını. Matematik Yayınları», 1934.

15. W Kar. Sihirli kareler ve doğrusal örgü noktası problemlerinde. Acad.—VerL Berlin, 1951.

16. Ç. H ecce льшт pay с. Albert Dürer. M., изд-во «Искусство», 1961.

17. V. JI ve tcman. Sayılar ve şekiller hakkında eğlenceli ve eğlenceli. (Almanca 8. baskıdan çevrilmiş ve I. B. Pogrebyssky tarafından düzenlenmiştir). M., Fizmatgiz. 1963.

18. B. A. K veya r dem s k i y. Matematiksel zeka. Ed. 7. M., Fizmatgiz, 1963.

19. M. M. Postnikov. Sihirli kareler. "Bilim" yayınevi, 1964

İÇİNDEKİLER

Bölüm 1

Antik dünyanın habercileri

ESKİ Tılsımın GİZEMİ        2

Çağların karanlığından        4

Sadece eğlenceli mi!        6

Eğlence ya da bilim!        8

İlk buluşma        12

tek seçenek        17

Görev        21

Giderek daha fazla        33

Yunan Harfleri        46

Her şey uzun zamandır biliniyor!        54

∑ 0 = 4 ∙ nσ = 4 ∙5 ∙ 26 = 65. Z         Z        55

Basit kurallar        60

ve bariz istisnalar        60

Her adımda ve adım boyunca        63

Şövalye hamlesi        73

altı yüzük        82

İnanılmaz buluntular        87

Geleneğe haraç        105

Şaşırtıcı İstisnalar        112

...gökteki yıldızlar gibi        124

Üçüncü toplantı        128

Ne garip bir soru!        135

Efim Yakovleviç Gureviç

Eski tılsımın gizemi

 

---

[1]"Burada ironi yok. Avusturyalı Ber, bir buçuk asır sonra sadece 5 hatayla logaritma tabloları üretmeyi başardı. Hatasız ilk tablolar Alman matematikçi Bremiker tarafından oldukça yakın bir zamanda yayınlandı - 1857'de, sadece 110 yıl önce.

[2]400'den fazla yazarın 500'den fazla kitabı.

[3]        Kitabın sonundaki literatüre bakın.

[4]        Routh-Ball yöntemi, Akademisyen Ya. V. Uspensky ve M. M. Postnikov'un daha önce bahsedilen kitaplarında anlatılmıştır *

[5]16 sayısı meşgul olduğu için (ve bu nedenle 1 sayısı meşgul, onu bir çift olarak tamamlıyor); 2 (ve 15); 13 (ve 4); 5 (ve 12); 11 (ve 6); 7 (ve 10).

[6]İç yapının minyatür bir temsiline sahip olmak genellikle arzu edilir. Kare bir çerçevede "dört eğik haç"ın küçültülmüş bir görüntüsünü yapmak kolaydır. Tam merkezi simetri için bunu yapmak zordur. Bu nedenle, bunun için sembolik, grafiksel olarak basit bir görüntü kullanılacaktır: merkezinde bir nokta bulunan kare bir çerçeve içinde bir daire.

[7]Aksi takdirde: <1> ila <10> yapılarının her biri, karenin merkezinden geçen ve kenarlarına paralel 2 simetri eksenine sahiptir.

a Aksi takdirde: bir yatay simetri ekseni.

[8]Bu üç yöntem ve bu yöntemlerle elde edilen sihirli kareler, kısa olması açısından uygun olan yerlerde "klasik" olarak adlandırılacaktır.

[9]        M. M. Postnikov. Sihirli kareler. M., "Nauka" yayınevi, 1964, s. 33.

[10]        Burada çok önemli bir not, 1,2,3,4,5 sayıları üçgen kırık köşegenlerden birinin üzerinde yer almaktadır. Toplamları 65'e eşit değil. Sonuç olarak, gelecekteki A tipi sihirli kareler arasında a) tek bir tam kare olmayacak.

[11]Her iki yapının da sıraların permütasyonu ile birbirine dönüşmesi anlamında.

[12]Aynı anlamda, paralel sıraların permütasyonu ile karşılıklı dönüşüm olasılığı.

[13]        Karşılık gelen hücreler eğik haçlarla çizilmiştir.

[14]        Bu hücreler üçgenlerle işaretlenmiştir.

[15]Moskova'daki V. I. Lenin Devlet Kütüphanesi'nin fonlarından.

Not: Bazen Büyük Dosyaları tarayıcı açmayabilir...İndirerek okumaya Çalışınız.

Benzer Yazılar