İsmail Hakkı Altuntaş

Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım adlı kitapta aklımızdakini önermeye çalışıyoruz . Solomon ve DeVidi'nin atmayı sevdikleri sloganlardan biri şuydu çünkü neredeyse inanıyorlardı: "Eğer felsefenizi doğru yapıyorsanız, er ya da geç cebir yaparsınız." (Gerçi cebirin tamamının felsefe olmadığında ısrar eden ilk kişiler onlardı .) Biraz daha doğru bir ifadeyle Graham, biçimsel mantığın yöntem ve sonuçlarının, en azından son zamanlarda felsefenin ilerlemesinde merkezi olduğu görüşündeydi. iki yol.

Birincisi, geleneksel felsefi problemlerde kaydedilen önemli ilerlemelerin çoğu, resmi yöntemlerin uygulanmasına bağlıydı . Pek de iyi gizlenmemiş bir mantıksal pozitivizm çizgisine sahipti, bu yüzden dikkatli bir resmi araştırma, felsefi bir anlaşmazlığın bir kafa karışıklığının sonucu olduğunu gösterdiğinde şaşırmadı. Aslında onu bundan daha fazla memnun eden hiçbir şey yoktu. Ancak pozitivistlerin metafizik konusunda haklı olmalarını dileyebilirdi ama onların öyle olmadığını fark etti. Metafizikteki bazı problemlerin çözümden ziyade çözümü gerektirdiğini düşünüyordu . Bu, onun biçimsel yöntemlerin verimliliğini kabul etmesiyle birleştiğinde, Dummett ve diğerleri tarafından ifade edilen bir görüşe genel sempati duymasına yol açtı: Gerçekçilik ve karşıtlık hakkındaki tartışmalar gibi geleneksel metafizik tartışmalarda esaslı ilerlemeyi mümkün kılmanın yolu. Belirli bir alandaki gerçekçilik, bunları felsefi mantıktaki tartışmalar olarak yeniden şekillendirmektir . Belki daha açık bir şekilde, bilimsel teorilerin doğasını anlamadaki ilerleme, araştırmaya önemli ölçüde mantıksal ve matematiksel karmaşıklık getirilmesini gerektirdi.

İkinci olarak, çağın en ilginç felsefi davalarının çoğu, şaşırtıcı teknik sonuçlarla uzlaşma ihtiyacından kaynaklanmaktadır. En iyi felsefenin çoğu, ama aynı zamanda en kötülerinin de çoğu, Gödel, Tarski, Cohen ve diğerlerinden kaynaklanan önemli teoremlerden veya Russell paradoksundan veya niceliksel modal mantığın oldukça açık bazı teoremlerinden alınan dersleri çözmeye çalışmaktan gelir. . Felsefe genellikle resmi kanıtın bittiği yerde başlar.

Konferans ve katkıda bulunmaya davet ettiğimiz cilt için

Önsöz

Bize göre bu tanımlamaya giren felsefe yapıyor gibi görünen bazı filozofların çalışmaları - yani onların çalışmaları biçimsel mantığın yöntemleri ve sonuçlarıyla şekillenmiştir, ancak açıkça felsefi çalışmadır. Bazıları teoremlerin kanıtlanmasını içeren çalışmalar yapar, ancak bu durumlarda teoremler yalnızca matematiksel kaygılardan ziyade felsefi kaygılarla motive edilen araştırmanın ürünüdür. Bazıları tipik olarak daha geleneksel söylemsel felsefe yaparlar , ancak araştırmalar biçimsel mantığın yöntem ve sonuçlarını tartışmalarının merkezine getirir. Üstelik, yayınlanmış eserlerinden Graham'ın büyük hayranlık duyduğunu bilebileceğimiz filozofların katkılarını da davet ettik.

Ayrıca editörlerden biri olan David DeVidi'nin bir makalesini de buraya ekliyoruz, çünkü kendisi Solomon'un en sık birlikte çalıştığı kişiydi; o halde, muhtemelen Solomon, DeVidi'nin yayınlanmış çalışmasının esas olarak kendisinin sorumlu olduğu kısımlarına en azından hayranlık duyuyordu ! Ayrıca DeVidi'nin ölmeden sadece iki hafta önce Regina, Saskatchewan'daki Batı Kanada Felsefi Derneği toplantılarında okuduğu, Graham'ın ortak yazarı olduğu bir makaleyi de ekliyoruz . Süleyman'ın felsefe alanındaki son yayını olarak yasal olarak görünebilmesi için onu o zamana göre biraz daha gösterişli bir biçimde yayınlıyoruz.

Graham Solomon için herhangi bir sayıda konu hakkında bir anma konferansı düzenlemek uygun olurdu. Doktora tezi Leibniz ve topolojinin tarihi üzerineydi ve bununla ilgili ilginç çalışmalar yayınladı. Ayrıca Hume ve Hobbes üzerine de yayınlar yaptı. Felsefe tarihine olan ilgisi 20. yüzyıl felsefesinin merkezi isimlerine kadar uzandı ve Russell ve Carnap üzerine önemli çalışmalar yayınladı. Bilim Felsefesi ile ilgilendi ve ilk yayını uzay-zaman teorileri üzerineydi. Matematiğin tarihi ve felsefesiyle ilgileniyordu ve model teorisi ile grup teorisinin tarihçelerine özel bir hayranlığı vardı. Bu konularda birçok farklı filozofla birlikte makaleler yazdı. Parametreyi ayarladığımız için kendilerinden özür dileriz.

Bu cildin bölümleri bu konulara ilişkin katkıları içeremeyecek kadar dardır. Ekleyebildiğimiz sunumların kalitesinin onları bu cildin Graham'a uygun bir saygı duruşu olduğu konusunda hemfikir kılacağını umuyoruz.

Bu cildin hazırlanmasında Wilfrid Laurier Üniversitesi Sanat Dekanı Ofisi'ne maddi destek için minnettarız; ve kısmen dayandığı konferans için Humphrey Konferans Fonu'ndan. Dizini hazırladığı için Windsor Viney'e ve kopyanın düzenlenmesine yardımcı olduğu için Nancy Davies'e teşekkür ederiz. Her ikimiz de bu cildin hazırlanması sırasında Kanada Sosyal Bilimler ve Beşeri Bilimler Araştırma Konseyi'nin desteğini minnetle kabul ediyoruz.

David DeVidi ve Tim Kenyon

Waterloo, Haziran 2005

GİRİİŞ

David DeVidi ve Tim Kenyon

Bu koleksiyondaki makaleler, felsefedeki birçok geleneksel soruna yönelik en üretken çağdaş yaklaşımlarda mantığın oynadığı çeşitli rolleri göstermektedir . Bunların tarzı, John Bell'in, felsefi önem açısından zengin bir dizi yeni teknik sonuç içeren son derece resmi "Sezgisel Küme Teorisinde Seçim İlkeleri"nden, B. Jack Copeland'ın kipsel mantık için tamlık kanıtlarının tarihine ilişkin büyüleyici tartışmasına kadar uzanır. Bazıları, örneğin Allen Hazen'in "Doğru Sınırlayıcı Teoremlerimiz Var mı?" Stewart Shapiro'nun “Dışsalcılık, Gerçekçilik Karşıtlığı ve KK Tezi” ve William Demopoulos'un “Teorik Bilgimizin Rasyonel Yeniden Yapılanması Üzerine” gibi diğerleri onu felsefenin diğer alanlarını araştırmak için bir araç olarak kullanırlar. .

Bu makalelerde benimsenen yaklaşımlar ve açıkça ele alınan sorunlar çok geniş ve çeşitli olsa da, bunlar arasında yinelenen bir takım temalar yer almaktadır. Bu girişin amacı, bu ortak temalardan bazılarını belirtmek ve makaleleri biraz daha geniş bir bağlama oturtmaktır, böylece yazarların bazı hedefleri, incelenen belirli konularla henüz yakından ilgilenmeyen okuyucular için daha açık olacaktır.

David DeVidi ve Tim Kenyon

1 Epistemoloji ve Epistemik Mantık

Mantıksal tekniklerin epistemolojiye ışık tuttuğu gözleminde şaşılacak bir şey yok . Stew art Shapiro'nun anlaşılır makalesi asıl katkısını bu alanda yapıyor . Shapiro'nun makalesinde şaşırtıcı olan şey, ulaştığı sonuçtur: epistemik dışsalcılık sözde KK teziyle uyumludur.

KK tezi, genellikle (4) olarak adlandırılan tanıdık bir modal mantık ilkesi uyarlandığında ortaya çıkan tezdir.

□P - DD P,

epistemik duruma gelince. Bu prensip birçok modal sistemde geçerlidir, ancak en çok S4 modal sisteminin temel prensibi olarak bilinir. En azından, standart formülasyonlarda (4) ilkesi, bazen KT olarak adlandırılan ve genellikle (T) olarak adlandırılan ilkenin bulunduğu çok zayıf sisteme eklenen şeydir.

□P - P

uğraştığımız normal bir modal mantık olduğundan emin olmak için gerekli olanların ötesindeki tek aksiyom şemasıdır . ¹Bu ilkeler ve bunların oluşturulacak şekilde birleştirilebileceği çeşitli modal sistemler, kişi epistemik bir mantık formüle etmeye çalıştığında , başka bir deyişle, bir şekilde bilgiyle ilgili olarak yorumlamaya karar verdiğinde, epistemolojiyle ilgili hale gelir . Örneğin, DP'yi " X kişisi P'yi biliyor " şeklinde yorumlayabilir ve □ yerine K yazmaya karar verebilir. O halde (T) ilkesinin epistemik mantıkta geçerli olması gerektiği nispeten tartışmasızdır, çünkü bu, bilginin olgusal olması - bilinenin doğru olması gerekliliğinden başka bir şey değildir . Örneğin epistemik mantığın ilk araştırmaları (Hintikka 1964), bilgi operatörünün uygun bir şekilde yorumlanması durumunda KK ilkesinin şöyle olduğunu savundu:

^{1 Normal bir sistem, Ü}(P — Q) — (UP — UQ) şemasının ve Ü P'nin P'den takip ettiği zorunluluk kuralının geçerli olduğu sistemdir. Zorunluluk kuralı elbette ki ilginç modal sistemlerde nadiren geçerli olan P - □P şemasından ayrılmalıdır .

aynı zamanda geçerlidir. Hala birçok kişi tarafından idealleştirilmiş bilinebilirliğin doğru mantığının bir parçası olarak görülüyor .

içselciler tarafından kabul edilebilir olduğunu söylemek muhtemelen yeterince adil olacaktır . Bu bağlamda içselcilik, bir inancın bilgi olarak sayılması için, diğer şeylerin yanı sıra, bilenin inanç için bir gerekçeye sahip olması gerektiği görüşüdür . Açıkçası, "sahip olmak", gerekçelendirmenin bilenin şu anda veya gelecekte farkında olduğu bir şey olduğu anlamına gelmez, ancak içselci, gerekçelendirici materyalin en azından bilenin erişimine açık olması gerektiğinde ısrar eder . Yani, bilen kişi, uygun koşullarda, gerekçelendirici materyali farkındalığa getirebilmelidir. Bunun ne anlama geldiği tam olarak açık değildir ve ayrıntılar içselci epistemologlar arasında yoğun tartışmaların konusudur. Bununla birlikte, bir içselcinin neden KK tezini kabul etme eğiliminde olabileceğini anlamak yeterince kolaydır. Çünkü eğer bilen kişi < inancının altında yatan gerekçenin farkına varabilecek konumdaysa . p'ye göre , muhtemelen bilen de aynı şekilde materyalin bir gerekçe oluşturduğunu fark edecek ve dolayısıyla q>' nin bilindiğini bilecek konumdadır .

yalnızca içselcilerin sevebileceği bir prensip olduğu yaygın bir görüştür . Aslında kendisinin de belirttiği gibi, Oxford Encyclopedia of Philosophy'de Simon Blackburn , dışsalcılığı kişinin KK (^) olmadan Ku p)' ye sahip olabileceği görüşü olarak tanımlamaya yaklaşmaktadır . Shapiro bunun yerine, hem içsel hem de dışsal açıklamalarla uyumlu olan K(ty) formundaki bir ifadenin doğru olabileceği koşulların genel yapısına ilişkin bir açıklamayı düşünmeyi önerir : K(ty) şuna eşittir : q> A B( ty) A Cq.qp'i AC e (ty), burada Cfity), K(ty)'nin _doğruolması için gerekli olan içsel koşullardır , C _e(ty) ise dış koşullardır. ( Tüm q> için C _e(ty)' yi 0'a ayarlayın ve içsel bir bilgi açıklamasına sahip olun. Aksi takdirde, bir çeşit dışsalcılıkla karşı karşıyayız.) Böyle bir analiz altında KK (^)'nin doğru olması gerekliliklerini analiz ederek , Shapiro, "sağduyunun" aksine, dışsal olmanın mümkün olduğunu göstermeyi başarıyor.

ist ve henüz KK tezini savunmuyorum. Aynı zamanda bunun ancak dışsalcının C _e(ty) dış koşullarının varsayılan olarak bilinebilir olduğunu kabul etmeye istekli olması durumunda mümkün olabileceğine dair makul bir örnek sunuyor; örneğin , kişinin durumunun bu koşulları oluşturmadığını varsaymak için bir nedenin yokluğunda. normal bir durum, durumun normal olduğu biliniyor .

Shapiro, böylesine dışsal bir bakış açısının ne kadar kabul edilebilir olduğuna dair çok az gösterge sunuyor. Ancak çok az kişinin şüphelendiği böyle bir görüş için mantıksal alanın var olduğunu göstermiş ve bu alanı işgal etmek için ödenmesi gereken felsefi bedeli açıkça belirtmiştir.

2 Seçim İlkeleri ve Mantığı

Bu koleksiyondaki iki makale, filozofların şimdiye kadar olduğundan daha fazla ilgiyi hak eden bir grup yeni sonuca oldukça dikkat ediyor. Bu sonuçlar, seçim ilkeleri ile klasik olarak geçerli ancak yapıcı olarak geçersiz bazı "mantıksal ilkeler" arasındaki yakın ilişkiyi açıkça ortaya koymaktadır . Burada, bu makalelerde açıkça belirtilmeyen nedenlerden birinin, bu sonuçların dikkate değer olduğunu belirteceğiz.

Sanıyoruz ki, Michael Dummett'in, gerçekçiler ile gerçekçilik karşıtları arasında felsefede bol miktarda bulunan çeşitli tartışmalarda neyin tehlikede olduğuna dair bir açıklama getirdiği oldukça yaygın olarak biliniyor; gerçekçiler ile maddi dünya hakkındaki fenomenalistler, gerçekçiler ile gerçekçiler karşıtları. zihinsel durumlar hakkında davranışçılar, evrenseller hakkında realistler ve nominalistler, matematiksel nesneler hakkında realistler ve yapılandırmacılar vb. Kabaca ifade edersek Dummett'in iddiası, bu tartışmaların herhangi birindeki gerçekçiliğin , tartışmalı varsayılan varlıklar hakkındaki söylemde iki değerliliğin kabulüyle ilişkilendirilebileceği yönündedir . Biraz daha kesin olarak iddia, realistlerin ve yalnızca realistlerin, ele alınan konuyla ilgili iyi formüle edilmiş (örneğin belirsiz olmayan, belirsiz olmayan) her ifadenin kesinlikle doğru veya kesinlikle yanlış olduğunu savunması gerektiğidir.

Ancak Dummett'in görüşünün değişmez olan başka yönleri de var.

daha az biliniyor. Metafiziğin Mantıksal Temeli gibi çalışmalarında Dummett'in, sezgisel mantığın aslında en genel türden mantık olduğunu öne sürdüğü görülür . Yani, sezgisel mantığın ilkeleri, herhangi bir söylemde ve kişinin metafiziksel varsayımlarından bağımsız olarak geçerli olan ilkelerdir. Bir bakıma metafiziksel olarak tarafsızdır. Bazen "mantıksal" olarak adlandırılan ilkeler, örneğin klasik mantığın sezgisel olarak geçerli olmayan ilkeleri, bazı sınırlı alanlarda pekala doğru olabilir. Ancak bu gibi durumlarda ilkeleri kabul etmenin gerekçeleri mantıksal olmaktan ziyade metafiziksel olacaktır.

Bununla birlikte, ister Dummett ister onun yorumcuları tarafından sunulsun , metafizik bir olgunun bir akıl yürütme ilkesini nasıl haklı çıkarabileceğinin açıklaması biraz zayıf görünebilir. Argüman bazen şu şekilde ilerler: Eğer belirli bir söylem uygun şekilde zihinden bağımsız olan bir alan hakkındaysa , o zaman bu zihinden bağımsız gerçeklik , alandaki ifadelerin doğruluk değerlerini sabitlemek için mevcuttur . Bu nedenle, ifadeler uygun şekilde formüle edildikleri sürece, belirli bir ifadenin hangi doğruluk değerine sahip olduğunu belirlemek prensipte bile bizim yeteneğimizin ötesinde olsa bile, ya doğru ya da yanlış olacaktır. Dolayısıyla, belirli bir konuya ilişkin gerçekçilik, tartışılan şeyin uygun bir anlamda zihinden bağımsız bir gerçeklik olduğu inancıyla eşitlenir ve o konuyla ilgili ifadeler için iki değerliliği ima eder. Son olarak, iki değerliliğin mantığın klasik olduğunu ima ettiği iyi bilinmektedir (yalnızca mevcut tartışmayla açıkça ilgisi olmayan birkaç teknik şarta tabidir).

Daha önce bahsedilen sonuç sınıfı bize metafizik parayla "mantıksal" ilkelerin nasıl satın alınabileceğine dair çok daha sıkı bir açıklama olanağı sunuyor. Belki de bu sonuçlardan en iyi bilineni , ilk olarak topos teorisinde kanıtlanmış, ancak daha sonra örneğin sezgisel küme teorisinde de geçerli olan versiyonlara sahip olduğu gösterilen Diaconescu Teoremi'dir . Teorem, bu tür sezgisel matematiksel teorilerde Seçim Aksiyomunun dışlanan orta yasasını ima ettiğini belirtir.

Son yıllarda Bell ve diğerleri konuyu takip ettiler.

mantıksal ilkeler ile seçim ilkeleri arasındaki ilişkiler . Çünkü klasik mantıkta geçerli olan ve sezgisel mantıkta başarısız olan bir dizi ilginç ilke vardır. Bazı ünlü örnekler, her a ve 3 cümlesi için - (a A 3) ^ - a v — 3 ilkesini, (a ^ /3) v (3 -^ a) ilkesini ifade eden De Morgan yasasıdır ; buna bazen Dummett şeması da denir. , veya doğrusallık ve — V xa(x) ^ 3 x — a(x) ve 3 x( 3 ya(y) --+ a(x)) gibi niceleyici yasalar . Tam Seçim Aksiyomunun yanı sıra birçok seçim ilkesi de vardır . İlginç bir örnek , Hilbert'in her yüklem için < kuralına tabi olan mantıksal seçim operatörü e'dir . p , eğer herhangi bir nesne y'ye sahipse epsilon operatörü <'ye sahip bir nesneyi tanımlar. s . (Bell 1993 a )'da bu prensibin bu yasalardan bazılarını ima ettiği, ancak bazı ilave kapsam varsayımlarının bulunmadığı, bazılarının ise olmadığı gösterilmiştir.

Bell'in mevcut koleksiyondaki makalesi, bu araştırmalardaki mevcut en ileri durumu temsil etmektedir ve daha önce yayınlanmamış birçok sonucu içermektedir. Özellikle Bell, sezgisel ve klasik mantık arasında aracılık eden en ilginç "mantıksal" ilkelerin neredeyse tamamının, şu veya bu seçim ilkesine eşdeğer olduğunu (ve yalnızca onun tarafından ima edilmediğini) gösterir.

Seçim ilkeleri, belirli bir varlık tipinin (çoğunlukla belirli türden bir işlev, ancak e durumunda, varlıktaki özelliğe uygun türde bir nesne) varlığını garanti etmeye yeterli olan koşulların genelleştirilmiş ifadelerinin mantıksal yapısına sahiptir. sorusu), metafizik önvarsayımları karşılık gelen “mantıksal” ilkelerden çok daha şeffaf bir şekilde kodladıkları makul bir öneridir . En azından, Dummetti'nin sezgisel mantık için metafiziksel tarafsızlık iddiası kabul edilirse, bu sonuçlar kişinin belirli bir prensibi benimsemedeki metafizik taahhütleri sorununu büyük ölçüde hassaslaştırabilir . Dolayısıyla bu sonuçların gerçekçilik ve gerçekçilik karşıtlığı hakkındaki çağdaş tartışmalar için önemli sonuçları vardır.

3 Epistemoloji ve Gerçekçilik Karşıtlığı

DeVidi'nin makalesi hem Shapiro hem de Bell'in gündeme getirdiği konuları ele alıyor. Timo thy Williamson'ın Bilgisi ve Sınırları kitabında bulunan bir argümanla başlıyor . Williamson'ın kitabı, büyük ölçüde, farklı türden dışsalcılığın, yani anlamsal dışsalcılığın felsefi içerimlerine ilişkin sürekli bir araştırmadır.

Semantik dışsalcılık, anlamın (sadece) kafada olmadığı görüşüdür. Biraz daha faydalı olan görüş, en azından bazı dilsel öğeler için, bu öğelere yüklenen anlamın, dilin kullanıcılarının erişimine açık olması gerekmeyen ve genel olarak erişilemeyen faktörler tarafından belirlendiği görüşüdür. En ünlüsü, Putnam'ın İkiz Dünya düşünce deneylerinden alınan ders olarak, çevrenin "su" gibi terimlerin anlamlarını belirlemede çok önemli bir rol oynadığı anlaşılmaktadır. İngilizce konuşan bir kişinin mucizevi bir şekilde Dünya'dan yüzeysel olarak ayırt edilemeyen, göllerin ve akarsuların suya benzer ancak kimyasal olarak farklı maddelerle dolu olduğu bir gezegene nakledildiğini varsayalım. Putnam'ın argümanı, böyle bir konuşmacının yeni çevresinde "Aman Tanrım, bu canlandırıcı bir bardak suydu" gibi şeyler söylediğinde sahte bir laf söylediği sezgisine dayanıyor . Dünya İngilizcesi konuşan birinin ağzındaki "su"nun anlamı, kısmen dünyevi göller, akarsular ve su tesisatındaki maddelerin doğası tarafından belirlenmiş gibi görünüyor. Ve suyun kimyasal yapısı da kesinlikle "su" sözcüğünü kullanarak anlamlı iddialarda bulunan her konuşmacının genel olarak anlayabileceği bir şey değildir.

Williamson, anlamsal içerikle ilgili bu dışsalcılığın birçok sonucu olduğunu savunuyor; bunlardan biri, aynı zamanda epistemik dışsalcılar olmamız gerektiğidir. Ancak yol boyunca Michael Dummett'tan kaynaklanan etkili bir argümana karşı bir argüman sunuyor. Dummett'in argümanı, anlamsal dışsalcılar tarafından tercih edilen anlam teorilerinin türleri hakkında şüphe uyandırıyor gibi görünüyor. Dummett, "koşullu hakikat" anlam teorileri olarak adlandırdığı teorilerin , bir dili yetkin bir şekilde konuşanların dilsel anlayışlarını açıklayamayacağını savunuyor;

Bir ifadenin doğruluk koşulları, iddialara ilişkin olası her türlü delilin ötesine geçebiliyorsa , o zaman bu koşulların ve dolayısıyla söz konusu anlamların konuşmacı tarafından nasıl kavrandığına ilişkin bir açıklama olanağı kalmaz.

Dummett, bir ifadenin anlamının, iddianın garanti edildiği koşullar tarafından belirlendiği iddiaya ilişkin teorik bir açıklamanın, yetkin konuşmacıların anlam hakkında sahip olduğu kavrayışı açıklamak için daha iyi yerleştirildiğini öne sürmektedir . Williamson bunun böyle olmadığını savunuyor. Aslına bakılırsa , herhangi bir X için "X -koşullu" bir anlam açıklaması, Dummett'in doğruluk koşullu açıklamasını yapmak istediği standardı karşılamada başarısız olacaktır. Dummett'in talebi karşılanamaz, çünkü bu, belirli psikolojik durumların parlak olması talebine tekabül eder ; yani, eğer kişi bu durumların içindeyse, o durumda bulunduğunu "bilecek konumda" olmalıdırlar. . Williamson , önemsiz olmayan parlak durumların olmadığını savunuyor . Dummett'in talebi hiçbir X -koşullu anlam teorisinin sağlayamayacağı bir şeye yönelik olduğundan , sorun talepte olmalı, onu karşılamada başarısız olan anlam teorilerinde değil.

Williamson'ın argümanına karşı bir örnek sunuyor . Bir matematiksel ifadenin anlamının , onun iddia koşulları tarafından verildiği fikrini muhtemelen en ciddiye alan matematikçiler , Dummett gibi, anlam ve kanıt koşulları arasında sıkı bir bağlantı göreceklerdir . Çünkü hemen hemen herkesin kabul edeceği gibi, iddia etme yetkisi ve bir ispata sahip olmak matematik olgusunda yakından ilişkilidir. Bunu en ciddiye alan görüş muhtemelen her matematiksel önermeyi o önermenin kanıtlarının türüyle eşitleyen Tür Olarak Önermeler görüşüdür. DeVidi, bu görüşün, Dummett'in kısıtlamasını karşılayan bir matematiksel anlam teorisi olasılığını sunduğunu, ancak aynı zamanda üzerinde iddia edilmesinin garanti olduğu durumun ( önemsiz olmayan bir şekilde) parlak olmasının gerekmediğini savunuyor.

DeVidi'nin makalesinin ikinci yarısı, matematiksel anlamın teorik bir iddiasını umut edenlerin, kitabın ilk yarısından çok fazla cesaret almamaları gerektiğini öne sürüyor.

kağıt. Makalenin ilk yarısı, Williamson'ın, Dummett'in anlam teorisine ilişkin gerekliliklerinin, parlak zihinsel durumlara başvurmadan tatmin edilemez olduğunu göstermediğini ileri sürüyor. Ancak Tür Olarak Önermeler görüşü, kişiyi klasik bir matematikçinin memnun olacağından çok daha seyrek bir matematiksel önerme stokuyla karşı karşıya bırakır. Elbette, eğer doğruluk ve kanıtlanabilirlik denkleminden yola çıkılırsa, bir tür matematiksel yapılandırmacılığa varılması çok da şaşırtıcı değil. Ancak DeVidi, Seçim Aksiyomu örneğini kullanarak, Tür Olarak Önermeler görüşüne çok fazla bağlı kalındığında, çoğu yapılandırmacının bile kabul edemeyeceği kadar az sayıda anlamlı matematiksel iddiaya sahip bir matematiksel önermeler teorisiyle karşılaşılacağını göstermektedir. mutlu.

4 Mantık, Mantık Tarihi ve Felsefe

Koleksiyondaki makalelerden üçü makul bir şekilde tarihi olarak tanımlanabilir. Ancak felsefe tarihindeki ve özellikle de mantık tarihindeki mükemmelliği üç çarpıcı biçimde farklı şekilde gösterirler.

4.1 Modal Mantık Tarihinde Bir Bölüm

B. Jack Copeland'ın bu kitaba katkısı çok özel bir tarihsel soruyu ele alıyor: Montague'un 1955 gibi erken bir tarihte model-teorik modal tamlık kanıtı var mıydı? 1960 yılında yayınladığı bir çalışmada 1955'te yapılan çalışmalarla ilgili söylediklerine dayanarak Montague'nin en azından böyle bir şeye sahip olduğunu iddia ettiğini düşünmek için bazı nedenler var.

Cevabın hayır olduğu ortaya çıktı, ancak nedeninin incelikli olduğu ortaya çıktı . Daha kesin olarak, Copeland, Montague'nin nachlass'ında ortaya çıkan , Montague'un 1955'te belirli önermesel kipsel mantık için gerçekten de bir tamlık kanıtı iddia ettiğini, ancak nicelikselleştirilmiş kipsel mantık için olmadığını bildiren kanıtları rapor eder. Ancak burada bile dikkatli olmak gerekiyor. Şimdilik modal için ilk tam anlambilim

önerme durumu için bile ilk model teorik tamlık kanıtlarına sahip olduğu iddiasına ikna edici bir şekilde karşı çıkıyor . Montague aslında kip operatörlerini yorumlarken modeller arasında bir ilişki kullanmış olsa da , hiçbir yerde modellerin dünyalar, referans noktaları veya buna benzer herhangi bir şey olarak yorumlanabileceğini öne sürmedi ve bu ilişkinin herhangi bir yorumunu da önermedi. kullandığı modeller arasındaki ilişki - yalnızca (K) şeması □A ^ A'nın geçerli olmadığından emin olmak için teknik bir araç olarak hizmet etti. Dolayısıyla uygun sonuç, Montague'nin 1955 tarihli çalışmasının "Tarski'nin model teorisinin kip operatörlerini içeren dillere basit bir uzantısı" olduğudur .

Bu tarihsel dedektiflik çalışması, modal mantığın tarihini önemseyenlerin ilgisini çekecektir. Ancak bugünlerde bu muhtemelen beklenenden daha geniş bir filozof sınıfıdır. Kripke'nin katı tanımlayıcılar hakkındaki fikirlerinin daha önceki modal mantıkçılar , özellikle de Ruth Barcan tarafından büyük ölçüde önceden tahmin edildiği yönündeki son iddialar, öfkeli suçlamalarla karşılandı . Bizim izlenimimiz şu ki, öfke ve sert sözler havadan temizlendiğinde, Kripke'nin özgünlük iddiası temelde sağlam kaldı, ancak onun felsefi içgörüsünde tam olarak neyin çarpıcı ve yeni olduğuna dair çok daha net bir resimle baş başa kaldık. Copeland'ın makalesi Kripke'nin başarısıyla ilgili benzer bir öncelik sorusunu sadece onu ezmek için gündeme getirmiyor . O, pisliğin arasından sapmaya gerek kalmadan aydınlatmayı sağlıyor ve aynı zamanda Kripke'nin başarısında bu kadar özel olan şeyin ne olduğu sorusuna, modal mantık için tamlık kanıtlarında, diğer pek çok kişi zaten Kripke'nin ne olduğuna dair parçalara ve parçalara sahipken ikna edici bir yanıt sağlıyor. daha sonra toplanabildik.

4.2 Mantık ve Tarihin Taranması

Copeland'ın makalesi, bir kişinin belirli bir sorunun dikkatli bir şekilde araştırılmasından nasıl çok şey öğrenilebileceğinin bir örneği ise

Teorik Bilgimizin Rasyonel Yeniden İnşası Üzerine” adlı eserinde , neredeyse bir asırlık felsefi gelişim boyunca belirli bir fikrin izini keskin bir şekilde sürüyor. Demopoulos öyküsüne Russell'ın mantıksal keşiflerini felsefi sorunları çözmek için uygulama girişimlerinden biriyle başlıyor : Felsefe Sorunları zamanında, içinde bulunduğumuz nesnelere gönderme yapma yeteneğimizi açıklamasında açıklamalar teorisinin uygulanması. tanışmıyorum. Günümüzde boş isimlerin kullanımımızı açıklamak için tasvirler teorisinin kullanılmasına çok fazla ilgi gösterilse de, bunların Tanıdıklık İlkesinin savunulmasında kullanılması da en azından Russell için aynı derecede önemlidir: yapabileceğimiz her ifadenin mümkün olduğu iddiası . Anladığımız kavram, Russell'ın bu terime verdiği teknik anlamda, tamamen aşina olduğumuz bileşenlerden oluşmalıdır. Ancak , görünüşe bakılırsa, genellikle tanımadığımız kişilerin isimlerini anlaşılır bir şekilde kullanırız. Russell, özel isimleri tanımlama olarak alarak ve bunlarla ilgili çok iyi bilinen teorisine başvurarak, bunun mümkün olduğunu çünkü başka bir şeyi bildiğimizi iddia edecek bir konuma getirdi: (muhtemelen karmaşık) bir önerme işlevi, yalnızca bireyin anlayabileceği (muhtemelen karmaşık) bir önerme işlevi . soru tatmin edici. Dolayısıyla açıklamalar teorisi, Russell'ın, deneyimimizle ilgili yalnızca asgari varsayımlara dayanarak maddi dünyaya ilişkin bilgimize ilişkin açıklamasının merkezinde yer alır.

sey'in hem de Carnap'ın teorilerin içeriğine ilişkin açıklamalarında benzer motivasyonların iş başında olduğunu buluyor . Şimdi bir teorinin Ramsey cümlesi dediğimiz şey iyi bilinmektedir: teorinin cümlelerini birleştirerek, teorik kelime dağarcığını ilgili nitelik ve türdeki değişkenlerle değiştirerek, sonra ortaya çıkan cümleyi bağlamak için sonuca uygun varoluşsal niceleyicileri ekleyerek bulunur. değişkenler. Sonuç, tümdengelimsel olarak orijinaline eşdeğerdir; en azından, yalnızca gözlemsel sözcük dağarcığı içeren hangi cümlelerin türetilebilir olduğunu ve hangilerinin türetemeyeceğini belirleme açısından eşdeğerdir. Russell'ın kendi tanımlamalar teorisini uygulamasının paralelliği yeterince açıktır: gözlemsel sözcük dağarcığı.

Muhtemelen tanışıklık olasılığıyla bir ilgisi vardır ve Ramsey, görünüşe göre aşina olmadığımız ya da olamayacağımız şeylere gönderme yapan terimlerin vazgeçilebilirliğini gösteriyor. Demopoulos'un öne sürdüğü gibi, Ramsey ve Russell, Ramsey'de bir teorinin Ramsey cümlesinin ve orijinal teorinin mantıksal olarak eşdeğer olduğuna dair hiçbir önerinin bulunmaması bakımından farklılık gösterir.—A fortiori, Ramsey cümlesi , orijinalin ifadesinin ne olduğuna dair bir analiz sağlamaz. Teori şu anlama gelir. - Ancak yine de konulara ilişkin bilgimizin nasıl teorik olarak tanıdık yoluyla bilinen şeylere dayandığına dair bir açıklama için muhtemel bir aday gibi görünüyor.

Carnap'ın teorik bilgimize ilişkin olgun açıklaması doğal olarak bu geleneğin bir sonraki adımı olarak görülüyor. Carnap da Ramsey cümlelerini kullanıyor ve bunları bir teorinin "gerçek" içeriğini özetlemek için kullanıyor. Teorisindeki temel öneri, “Carnap cümlesi” olarak adlandırılmaya başlanmasının, bir teorinin teorik içeriğini kapsadığıdır . Eğer 9 orijinal teoriyi veren cümle ise ve R(9) onun Ramsey cümlesi ise, R(9) ^ 9 teorinin Carnap cümlesidir. Bu, herhangi bir varlığın Ramsey cümlesinde belirtilen koşulları karşılaması durumunda , teorinin teorik sözlüğünde atıfta bulunulan varlıkların bunu yaptığı ifadesine tekabül etmektedir .

sell'in maddi dünyaya dair bilgimize ilişkin açıklaması ve Ramsey ile Carnap'ın teori teorileri açısından birden fazla hedefi var . İlk olarak, açıkladığımız gibi, bu yazarların motivasyonları paylaşma yollarına işaret ediyor. Ancak bunu yaparken aynı zamanda bu yazarların akıllarında olan felsefi hedefleri de açıklığa kavuşturur. Tüm bu yazarların aklında, aşina olmadığımız şeylere dair bilgimizle ilgili temel bir epistemolojik sorunu ele almak var. Bu, onların çalışmalarına ilişkin yorumcular tarafından her zaman kabul edilmiyor gibi görünüyor. Örneğin, Carnap'ın tartışmaları genellikle aksiyomatikleştirmeye hazır bilim alanlarının felsefi analizine özel bir katkı olarak kabul edilir.

Bu girişimler önemli olsa da Demopoulos, bu girişimlerin neden şu şekilde sınıflandırılması gerektiğini açıklamak istiyor:

ilginç ama yanlış. Bu amaçla, Carnap'ın teorimizin içeriğine ilişkin açıklamasının, bir teorinin doğru olmasının ne anlama geldiğine dair teori öncesi fikrimiz için temel olan bir şeyi dışarıda bıraktığını göstermek için yalnızca model teorisinin temel sonuçlarına başvuran akıllıca bir argüman sunuyor. Demopoulos, teori 9'un tutarlı olduğunu varsaymak için teorinin "amaçlanan alanı"nda 9 modelinin olması gerektiğini gösteriyor . Ancak Demopoulos, bunun 9'un doğru olmasının anlamını önemsizleştirdiğini öne sürüyor . Dolayısıyla Carnap'ın açıklaması çok önemli bir şeyi hesaba katmıyor.

Son olarak Demopoulos, bunların daha sonraki bilim felsefecilerinin başarıyla geride bıraktığı endişeler olduğu izlenimini bizde bırakmak istemiyor. Özellikle Bas van Fraassen'in yapıcı ampirizminin tamamen paralel zorluklarla karşılaştığını ileri sürüyor . Dolayısıyla bu sorunların sadece Carnap ve Ramsey'in modası geçmiş sözdizimsel teori anlayışına bağlılığından kaynaklanması meselesi değildir: Carnap ve Ramsey'in temel motivasyonlarından bazılarını paylaşan model teorik açıklamalar aynı sorunları karşılamaktadır. Sonuçta Demopoulos, yalnızca Russell, Ramsey ve Carnap tarafından verilen açıklamanın " iç tutarlılığa ve zarafete sahip olduğunu değil, aynı zamanda daha da önemlisi, rakipleriyle karşılaştırılamayan bir düzeyde felsefi motivasyona sahip olduğunu" gösterdiğini düşünüyor .

4 .3 Tarih Neden Farklı Bir Yönden Gelmedi?

AP Hazen'in makalesi aynı anda birçok görevi üstleniyor. (Tennant 2000)'de Neil Tennant şu şekilde tartışmaktadır: Artık aksiyomatikleştirmenin iki temel şartının, yani kategoriklik ve tümdengelimsel bütünlüğün, ilginç durumlar için birlikte gerçekleştirilemeyeceğini biliyoruz. Bu, Gödel'in Eksiklik Teoremlerinin ardından matematikçiler ve mantıkçılar için açıklığa kavuşmuş bir şeydir . Ancak söz konusu kavramların oldukça temel özelliklerine dayanarak kanıtlanabilirdi . O halde Tennant neden matematikçilerin bu gerçeği daha önce keşfetmediklerini soruyor? Hazen'in makalesinin görünürdeki amacı Tennant'ın kışkırtıcı sorusuna yanıt vermektir. Gerçekten Hazen teklif ediyor

sorusuna üç farklı yanıt. Bunları burada dağıtarak onun gök gürültüsünü çalmak istemiyoruz.

Ancak Tennant'a verilen yanıt, bağımsız olarak ilgi çekici olsa da, aslında Hazen'in bu makalede başardıklarının yalnızca küçük bir kısmıdır. Makale açıkça uzman olmayan bir okuyucu kitlesi düşünülerek yazılmıştır ve büyük ölçüde Tennant'ın iddiasını ve Hazen'in cevabını anlamak için gereken anahtar kavramların ve sonuçların olağanüstü anlaşılır bir tanımına ayrılmıştır. Makale şunları içermektedir: Aksiyomlaştırmanın tarihine kısa ama net bir giriş; tümdengelimli bütünlük ve kategoriklik kavramlarının ve bunların neden önemli olduğunun açıklanması ; birinci dereceden aksiyomatiğin doğuşuna ilişkin bir açıklama; Lowenheim-Skolem teoremine giriş; Kompaktlık Teoreminin neden bu kadar önemli olduğuna dair net bir açıklama; ve standart dışı bir model kavramına net bir giriş. Açıklamaların netliği ve parçaların akıllıca iç içe geçmesi, Hazen'in makalesini mantık öğretmenlerinin öğrencilerinin okumasını isteyecekleri güzel bir şey haline getiriyor. (“Bu nedenle Kompaktlığı kanıtlamak için bu kadar çok zaman harcadık!”)

Hazen, Tennant'a verdiği yanıtta, çok sıralı birinci dereceden bir dil olarak yorumlanan tip teorisinden ilham verici bir şekilde yararlanıyor. Burada yine sadece Tennant'ı tartışmakla kalmıyor, birçok mantıkçının bile kendileri için açıklığa kavuşturmuş olabileceği konuları ele alma fırsatını değerlendiriyor; bunlar arasında üst düzey ve çok sıralı birinci düzey diller arasındaki ilişki ve bunların ne olduğu sorusu yer alıyor. Çok sıralı birinci dereceden bir dilden tek sıralı bir dile standart çeviri yapıldığında kaybolan şey korunur .

5 Klasik Olmayan Mantık ve Çoğulculuk

sezgisel sistemler arasındaki farklarla ilgilidir . Bu koleksiyondaki diğer makalelerin birçoğu klasik olmayan mantıkla ilgili diğer konuları ele almaktadır.

5.1 İfade Gücü, Paradoks ve Olumsuzluklar

2. bölümde, Michael Dummett'in realistler ve çeşitli türlerdeki anti-realistler arasındaki anlaşmazlıklar ile klasik veya klasik olmayan mantıklara bağlılık arasındaki ilişki hakkındaki görüşlerini kısaca anlattık . Metafizik ve mantıksal konular arasındaki bağlantı, Dummett'in bazı geleneksel metafizik tartışmaların , bu tartışmalı alanların her birindeki tartışmalarda kullanılan dil için doğru anlam teorisine ilişkin tartışmalar olarak kabul edilmesi gerektiği yönündeki iddiasından kaynaklanmaktadır . Görüşü ilginç kılan ayrıntıları atlayan Dummett, gerçekçilik savunucularının, doğruluk-koşullu anlambilimde, bir anlam teorisinin neye benzemesi gerektiğine dair nispeten net bir fikre sahip olduklarını ileri sürer (her ne kadar Dummett böyle bir teorinin böyle bir teori olduğu fikrine ciddi itirazlar olduğunu düşünse de). anlam teorisi işe yarayacaktır). Öte yandan anti-realistler, tipik olarak, söz konusu alan için anti-realist bir anlam teorisinin nasıl görünmesi gerektiği konusunda net bir fikre sahip değiller. Dummett, sunulan iyi geliştirilmiş anti-realist anlam teorisinin yapılandırmacı matematik tarafından sağlandığını öne sürüyor. Dummett'e göre bu, anti-realistlerin, matematiksel olmayan temeller açısından, kendi alana özgü anti-realist anlam teorilerinin yapılandırmacılığa benzer görüneceği ve bu nedenle de benzer modifikasyonlara ihtiyaç duyacağı olasılığını ciddiye almaları gerektiği anlamına gelir. mantık.

Solomon ve DeVidi, yapıcı mantığı, başlangıçta geliştirildikleri tamamen matematiksel temel amaçlardan başka bir şey için kullanmayı ümit edenlerin karşılaştığı bir zorluğu ele alıyorlar. Eğer mevcut operatörler yalnızca sezgisel mantıktaki operatörlerse, o zaman açıkça ifade edebildiğimiz şeyleri ifade etmekten aciz kalıyoruz gibi görünüyor ve aslında, klasik mantıktan ziyade sezgisel mantığın savunuculuğunun Bunun için felsefi bir kazanç talep edildi. Yapıcı matematik açıklamalarında bile, yalnızca matematiksel ifadelerde ortaya çıkan sezgisel olumsuzlamayı değil, aynı zamanda bir tür "ampirik olumsuzlamayı" da dikkate almanın gerekliliği konusunda Dummett'tan alıntı yapıyorlar.

"n aşkındır" ifadesinin kanıtlanmadığını ancak yine de kanıtlanabilir olduğundan doğru olduğunu söylememize olanak tanır. Sezgisel olumsuzlama, kanıtlanmamışlık iddiasına dahil edilemez, çünkü sezgisel olumsuzlama, bir tür imkansızlık imasını beraberinde getirir ve açıkça yukarıdaki iddianın , kanıtın 1892'den önce imkansız olduğunu ifade etme amacı taşımadığı açıktır.

Üstelik sezgisel mantık, şu ya da bu paradoksun neden olduğu felsefi sıkıntıyı hafifletmek için sıklıkla tavsiye edilmiştir. Örneğin, belirsizlik paradokslarına çözümün bir parçası olarak (Put nam 1983, DeVidi ortaya çıkacak) önerilmiş ve (Read & Wright 1985, Williamson 1996)'da buna karşı çıkılmıştır. (DeVidi & Solomon 2001)'de "bilinebilirlik paradoksu" olarak adlandırılan duruma bir çözüm olarak önerilmektedir. Bu paradoksun temelinde, klasik mantık göz önüne alındığında ve bilgi ve zorunlulukla ilgili tartışmasız bazı ilkeler varsayıldığında, tüm doğruların bilinebilir olduğu iddiasının, tüm doğruların bilindiğini ima etmesi yatmaktadır. Herkes sonsuza kadar bilinmeyen gerçeklerin varlığını kabul ettiğinden, ikinci iddiaya bağlılık muhtemelen herkes için üzücüdür. Ancak tartıştığımız gerçekçilik karşıtı görüşler, hiçbir gerçeğin prensipte bilinemez olmadığı iddiasıyla büyük ölçüde bağlantılıdır. Anti-realizm ile sezgisel mantık arasındaki bağların bugünlerde tanıdık olduğu göz önüne alındığında, istenmeyen sonucun türetilmesinin, sezgisel mantıkta başarısız olan klasik bir prensibin uygulanmasını gerektirmesi, anti-realistler için cesaret vericidir.

yalnızca sezgisel olumsuzlama operatörü mevcutsa , "sonsuza kadar bilinmeyen gerçekler vardır" iddiasını ifade etmek mümkün olmayacaktır, tıpkı belirli zamanlarda belirli ifadelerin kanıtlanmadığının söylenememesi gibi. ama kanıtlanamaz değil. Sezgisel mantık, bilinebilirlik tezini, sonsuza dek bilinmeyecek gerçeklerin olmadığı yönündeki can sıkıcı klasik sonuçlarından kurtarır , ancak bunu, endişenin kendisini ifade edilemez hale getirme pahasına yapıyor gibi görünmektedir.

Solomon ve DeVidi, sezgiye eklenebilecek ikinci, "ampirik" bir olumsuzlama için bir anlambilim taslağı çizmeye çalışıyorlar.

mantığı kullanır ve böylece sisteme, yokluğunda eksik olan ifade gücünü sağlar. Açıkçası, bu olumsuzlamanın, paradoksu yeniden canlandırmak pahasına, alışılagelmiş klasik olumsuzlamadan farklı bir şey olması gerekiyor. Ayrıca, yapılandırmacılığın savunulmadığı durumlarda yapıcı mantık uygulanmaya çalışıldığında ortaya çıkan diğer bazı felsefi konuları da tartışırlar.

, çeşitli paradoksların varlığına oldukça farklı bir yanıt veren filozoflar için ortaya çıkan felsefi sorunlara değiniyor . Paradoksa nasıl tepki verileceği konusundaki standart açıklama şuna benzer: Görünüşte makul varsayımlar, görünüşte geçerli argümanların görünüşte absürd sonuçlara doğru inşa edilmesine izin verdiğinde bir paradoks ortaya çıkar; dolayısıyla paradoksa yeterli bir yanıt, hangi varsayımın yalnızca görünüşte doğru olduğunu veya neden argümanlardan yalnızca birinin geçerli göründüğünü veya sonucun neden yalnızca saçma göründüğünü teşhis etmeyi içerir. Üçüncüsü de dahil olmak üzere her türlü teşhis felsefi açıdan tanıdıktır; Quine'ın onlarca yıl önce belirttiği gibi, bir sonuç bir nesil tarafından paradoksal, sonraki nesil tarafından ise bir teorem olarak kabul edilebilir. Ancak bazı paradoksal sonuçlar açısından bu üçüncü tür çözüm çok radikal göründü ve temel anlaşılırlığın kalbinde yer alan ilkelerin reddedilmesini gerektirdi. Bunun bir örneği , ancak ve ancak yanlış olması durumunda doğru gibi görünen Yalancı cümlesidir (Bu cümle yanlıştır) . Yalancının hem doğru hem de yanlış olduğunu kabul etmek, geleneksel olarak açıkça işe yaramaz olarak görülüyor; bu, doğruluk kavramının (ve dolayısıyla gerçeğin korunması ve inkarının da) içini boşaltan bir olasılık olarak görülüyor. Bu nedenle Yalancı ve benzeri anlamsal paradokslara verilen yanıtlar, ilk iki türden yanıtlara odaklanmıştır. Beall'in makalesinde araştırdığı görüşe göre, diyaleteizmin temel motivasyonlarından biri, on yıllardır süren yoğun çabalara rağmen anlamsal paradoksların tatmin edici bir çözümünün ortaya çıkmamasının nedeninin, bu türden herhangi bir teşhisin ortaya çıkmaması olduğu şüphesidir . Aslında Dialetheistler bizden anlamsal paradokslara bile üçüncü türden bir yanıt olasılığını düşünmemizi istiyorlar - belki de varılan sonuç yalnızca görünüşte saçmadır.

Dialeteizm , daha doğrusu, bazı P cümleleri için hem P hem de -P'nin doğru olduğu görüşüdür . Elbette, eğer kişi tüm cümlelerin doğru olduğu yönündeki feci sonucu kabul etmeden bir diyaleteist olacaksa, bazen patlama olarak da adlandırılan, her şeyin bir çelişkiden kaynaklandığı ilkesini reddetmek gerekir. Patlamayı reddeden bir mantık tutarsızdır, ancak tutarsız mantığın tüm savunucuları diyaleteist değildir. Örneğin ilgililik mantığı tutarsızdır, ancak Stephen Read'in makalesinin açıkça ortaya koyduğu gibi, ilgililik mantığının tüm savunucuları diyaleteist değildir.

olumsuzluğunun oluşturulmasında neyin rol oynadığını tartışmak ve klasik olumsuzlamanın işleri tam olarak doğru götürmediğini tartışmak için bolca alan var gibi görünüyor . Örneğin , dürüstçe düşünürsek çoğumuz patlamayla ilk karşılaştığımızda tuhaf bir prensip bulduğumuzu hatırlayacaktır. Dolayısıyla, eğer patlama olumsuzlamanın klasik anlamının bir parçasıysa, alaka mantıkçıları en azından kendi olumsuzlamalarının sağa daha yakın olduğu yönünde ilk bakışta bir delile sahip olurlar. Öte yandan, klasik , sezgisel ve minimal olumsuzlamaların tümü, " P değil" ifadesinin P ile uyumlu en zayıf ifade olması gerektiği sezgisini güzel bir şekilde yakalar ; yani, P ile uyumsuz herhangi bir ifade, " P değil " anlamına gelir; böylece yararlı bir şekilde ifade edilebilir. P ile bağdaşmayan tüm olası ifadelerin bir tür ayrılığı olarak kabul edilebilir .

Ancak olumsuzlamanın ne içerdiğine ilişkin bu ikinci açıklamanın sezgiselliği, diyaleteizme yönelik bariz itirazın kaynağıdır. Çünkü olumsuzlamayla ilgili herhangi bir sezgi en sağlam görünüyorsa, o da P'nin P ile uyumsuz olması gerektiğidir ve bu da tam olarak diyaleteistin inkar etmesi gereken şeydir. Standart diyaleteizme yönelik ilgili bir itiraz da yukarıda sezgisel mantık için özetlenenlere benzer "ifade sınırlamalarına" maruz kalmasıdır: örneğin, bir diyaleteist, bizim kesinlikle yapıyor gibi göründüğümüz gibi, belirli bir cümlenin doğru olduğunu nasıl söyler , ama Mevcut tek olumsuzlama, bir olumsuzlamanın salt doğruluğunun, olumsuzlananın doğruluğunu dışlayamadığı diyalektik bir olumsuzlama ise yanlış değil midir ?

Beall, diyalektik olumsuzlamanın yeni bir "çift yönlü" açıklamasını sunuyor ve bunun, bu itirazlara karşı bir miktar ilerleme kaydetmemize olanak sağladığını savunuyor. Temel fikir, olumsuzlama normunun

"paradoksal kurulumlar" sınıfında farklı özellikler sergiler - Beall'in kesinleştirmeye çalıştığı anlamda "serbest dalgalanmadır". Bu, örneğin ifadelerin uyumsuzluğu ve bunların olumsuzlanması hakkındaki sezgilerimizin gücünün açıklanmasına izin verir , çünkü olumsuzlama hakkındaki sezgilerimiz paradoksal kurgulara değil normal durumlara yanıt olarak gelişir. Yani, olumsuzlama anlayışımız, birkaç "tuhaf paradoksal cümleden" değil, klasik olarak davranan durumlara yanıt olarak ortaya çıkar; salt dilbilgisel zorunluluktan (veya tuhaf koşullu ifadelerden) ortaya çıkan cümleler . ilişki durumu)." Ve Beall, bunun, diyalete uzmanına, diyalektik bir dilin "P hem doğru hem de yanlış değildir" gibi iddiaları ifade edemediği yönündeki itirazı atlatmasına olanak tanıdığını öne sürer.

5.2 Birden Fazla Mantık mı ?

mantıksal çoğulculuğun bir versiyonunun , yani önemli bir anlamda daha fazla şeyin olduğu görüşünün savunulmasına adanmış bir dizi makalenin (Beall & Restall 2000, Beall & Restall 2001) ortak yazarıdır. birden fazla doğru mantık. Benzer şekilde Bell, DeVidi ve Solomon, başlığı çoğulcu eğilimlerini gösteren Mantıksal Seçenekler (Bell, DeVidi & Solomon 2001) başlıklı bir kitabın ortak yazarıdır . Bu derleme, Stephen Read'in karşıt görüşü, yani tek bir doğru mantığın olduğu görüşünü güçlü bir şekilde savunmasıyla sona ermektedir .

Read'in makalesinin bu açıklaması, kitaptaki konumundan bahsetmeye bile gerek yok, Read'e, kabul edilen görüşü savunmak için bir artçı eylemle mücadele etme rolünü veriyor gibi görünüyor. Makalede Beall ve Restall'ın çoğulculuk versiyonuna doğrudan bir saldırı yer alıyor ve bunun tutarsız olduğu öne sürülüyor. Mantıksal tekçiliği "alınan görüş" olarak adlandırmak muhtemelen hâlâ doğrudur. Ve Read'in, Beall ve Restall'ın raydan çıktığı noktayla ilgili -bu tür çoğulculuğun savunucularının, klasik olmayan çeşitli sistemlere ilişkin analizlerinde gayri meşru bir şekilde klasik bir üst-dili varsaydıkları yönündeki- teşhisinin ana itici noktasının belli bir kökeni var. Savunuculuk girişimine bir tür folklor itirazı olmasının yanı sıra

Herhangi bir felsefi amaç için klasik olmayan mantık, çoğulculuğun önceki parlak döneminden kalma en iyi bilinen çoğulculuk türüne ısrarlı bir itirazdır. (Carnap 1937, § 17)'de, Carnap'ın felsefi kariyeri boyunca öyle ya da böyle savunduğu bir ilke olan hoşgörü ilkesinin en özlü ifadesini alıyoruz :

Mantıkta ahlak yoktur. Herkes kendi mantığını, yani kendi dil biçimini dilediği gibi oluşturmakta özgürdür. Ondan istenen tek şey, eğer tartışmak istiyorsa yöntemlerini açıkça belirtmesi, felsefi argümanlar yerine sözdizimsel kurallar vermesidir.

Michael Friedman, (Friedman 1999, s.230)'da bu konumun istikrarsız olduğunu ileri sürmektedir. Friedman, klasik bir dilin "sözdizimsel kurallarını" Carnap'ı tatmin edecek şekilde formüle etmek için , Carnap'ın açıkça yapmamızı istediği gibi, klasik bir üstdilin kaynaklarını varsaymamız gerektiğini öne sürüyor . Ancak bu , mantıksal sistemleri karşılaştırdığımız meta dilde yalnızca herkes tarafından kabul edilebilir ilkeleri kullanmamızı gerektiren hoşgörü ilkesinin ruhuyla bağdaşmaz .

Ancak Read'in argümanını esasen muhafazakar olarak görmek bir hata olur. Çünkü Read, tek bir doğru mantığın olduğu görüşünü savunurken, gerçek mantığın ilgi mantığı olduğunu savunur. Belirli bir klasik olmayan mantığı doğru olarak almanın (ilgi mantığının savunucularının doğru yaptığını düşündüğü ve yapılandırmacılığın savunucularının yanlışlıkla yaptığı bir şey) kişinin meta-dilsel araştırmalarını bu mantığın ilkelerinin kullanıldığı araştırmalarla sınırlaması gerektiğini savunuyor. Bu metodolojik ilkenin yerinde olmasıyla, alaka mantıkçılarının, örneğin kendi sistemlerinin olumsuzlama operatörü için tatmin edici bir biçimsel anlambilim vermede neden bu kadar zorluk yaşadıklarını açıklayabilmektedir. Bu tür açıklamalar klasik üstdilde verildiğinde elde edilecek doğru geçerlilikleri elde etmek, hem A'nın hem de - A'nın geçerli olabileceği şüpheli "durumların" icat edilmesini gerektiriyor gibi görünüyor. Bu hamle, ihtiyacı da beraberinde getiriyor.

A'nın hem de - A'nın tek bir olası dünyada tutunmasına izin verecek acı diyalektik hapı yutmak . Eğer kişi bunun yerine "inandığı mantıkta anlambilimini yapmak" konusunda ısrar ederse, olumsuzluk cümlesi mantıktaki ilk derslerden aşina olunan homofonik cümle olabilir: - P ancak ve ancak P doğru değilse doğrudur. Karışıklık, sanki sağdaki klasik "değil" kastediliyormuş gibi konuşmaya karar verildiğinde ortaya çıkıyor. Bu eğilimin, öğrenilmiş klasisizmin kişinin üst diline geri dönmesi olarak düşünülebilir ; klasik mantığın sezgiselliğine yönelik bir tür döngüsel onaylama önyargısı.

6 Mantıksal Bir Yaklaşım

Bu koleksiyondaki makaleler, felsefenin uygulanmasında mantığa merkezi bir rol vermektedir. Bu az sayıdaki makalenin ulaştığı alanların çeşitliliği ve buralara yapılan katkıların niteliği, böyle bir felsefe yaklaşımının verimliliğine ve önemine işaret etmektedir. Bu muhtemelen bu kitabı okuyan çoğu insan için yeni bir haber olmayacaktır, çünkü biçimsel mantığın son 150 yıldaki evriminin o dönemde felsefede (ve diğer alanlarda) itici bir güç olduğu yeni bir haber değildir. Ancak, bazen mantığın felsefede harcanmış bir güç olduğunun, hatta etkisinin bir şekilde iyilikten çok kötülük için olduğunun iddia edildiğinin duyulduğu bir dönemde, apaçık olması gereken şeye işaret etmek belki de değerlidir. Bu koleksiyondaki birkaç makale, mantık felsefesi ve mantık tarihi gibi, mantığın merkezi rolünü söylemeye gerek olmayan bazı alanlara katkıda bulunmaktadır. Ayrıca biçimsel anlambilim, matematiğin temelleri ve bilim felsefesi gibi çok az sürpriz olması gereken alanlara da katkıda bulunurlar . Ama aynı zamanda felsefenin her dalına dallanan alanlara da katkıda bulunurlar: epistemoloji, anlam teorileri, gerçekçilik ve gerçekçilik karşıtlığı, hakikat teorileri. Bu nedenle, tercih ettiğiniz felsefi çalışma alanı ne olursa olsun, felsefeye mantıksal yaklaşımı size tavsiye ediyoruz.

Bölüm

BİR

DIŞCILIK, ANTİ-GERÇEKÇİLİK VE KK-TEZİ Stewart Shapiro

1 KK tezi _

Bu makalenin amacı “KK-tezi” olarak adlandırılan görüş ile dışsalcı epistemoloji arasındaki bağlantıyı incelemektir. Odak noktası bilgi üzerindeki dış koşulların epistemik durumudur. Dış koşulların geçerli olduğunu (ne zaman geçerli olduğunu) biliyor muyuz? Ne tür bir izin belgesine ihtiyaçları var? Bu nokta genel olarak mantıklıdır ve bu yüzden epistemologların üzerinde anlaşamadığı karmaşık ve incelikli konular üzerinde spesifik olmamaya (ve dolayısıyla tarafsız olmaya) çalışacağım.

Burada dikkatimizi “Karl” adını vereceğimiz tek bir konu üzerinde yoğunlaştırın. Karl, normal epistemik güçlere (ne olursa olsun) ve normal deneyim aralığına sahip sıradan bir insandır. Biz Karl'ın belirli bir zamandaki bilgisiyle ilgili teoriler ve tezlerle ilgileniyoruz . $ keyfi bir cümle veya önerme olsun . Şimdilik, "Karl $'ı biliyor" ifadesinin $'ın doğru olduğunu, Karl'ın $'a inandığını ve Karl'ın inancının haklı olduğunu gerektirdiği şeklindeki standart görüşleri takip ediyoruz. Hiç şüphe yok ki Gettier tipi vakaları ve diğer patolojik durumları ele almak için gerekli başka koşullar da vardır. Epistemologlar onları meşgul ediyor.

D. Devidi ve T. Kenyon (ed.), Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım, 22-35.

Dışsalcılık, Gerçekçilik Karşıtlığı ve KK Tezi 23 Karl'ın bilgisi için gereken gerekçelendirmenin doğası ve $ 'ın gerekçelendirilmesi ile onun doğruluğu arasındaki ilişki. Dışsalcılar ve içselciler arasındaki anlaşmazlık bunun bir örneğidir.

KK tezi modal mantık S4'ün ana ilkesidir. Sembollerde öyle

K ( $ ) ■ KK ( $ ).

Epistemolojik bir tez elde etmek için elbette K operatörünü yorumlamamız gerekir. Bir seçenek, K'yi ( $ ) "Karl bunu $ biliyor" olarak anlamak olabilir . Yani KK tezi şu olabilir: Eğer Karl $'ı biliyorsa o zaman Karl da Karl'ın $'ı bildiğini bilir. Bu, bazı bilenler ve bazı cümleler için açıkça yanlıştır. Örneğin, Karl, Yankees'in 1929'da Dünya Serisini kazandığını biliyor olabilir, ancak bunu, Yankees'in 1929'da Dünya Serisini kazandığını bildiğine dair açık bir inanç formüle etme zahmetine girmemiş olması gibi basit bir nedenden dolayı bunu bildiğini bilmiyor olabilir.

en dıştaki “K”yi idealleştirmemiz gerekir. Buradaki fikir şu ki, eğer Karl $'ı biliyorsa, o zaman Karl $'ı bildiğini anlayabilir veya başka bir deyişle, Karl'ın $'ı bildiğinin (Karl tarafından) bilinebilir olduğudur . Burada başvurulan yöntem nedir? Mümkün olduğu kadar tarafsız ve tarafsız kalmak, yine de epistemoloji için makul bir çerçeveye sahip olmak isterim . Diyelim ki, eğer Karl $'ı olağan akıl yürütme (belki tümdengelim ve tümevarım) ve iç gözlem yoluyla öğrenebilirse, $'ın bilinebilir olduğunu varsayalım. Buradaki can alıcı fikir, eğer Karl dış dünya hakkında daha fazla bilgi almadan $'ı öğrenebilirse $'ın bilinebilir olduğudur.

KK tezindeki iç K operatörünü de idealize edeceğiz, çünkü bu şekilde işleri tekdüze tutmak zararsız ve kullanışlıdır. Dolayısıyla tez şu ki, herhangi bir $ cümlesi için, eğer $ bilinebilirse, o zaman $'ın bilinebilir olduğu da bilinebilirdir. Olası dünyalar jargonunda, KK tezi şunu söylüyor: Eğer Karl'ın $'ı bildiği erişilebilir bir w dünyası varsa, o zaman Karl'ın $'ı bildiğini bildiği w'den erişilebilen bir w' dünyası vardır .

Buradaki erişilebilirlik ilişkisi geçişlidir. Dünya w2'ye w1'den erişilebildiğini ve w3'e _{de şuradan}erişilebildiğini varsayalım _.

w ₂. Varsayıma göre, w _{2'de Karl,}wi'de bildiklerinden bazı akıl yürütme ve iç gözlem yapmış ve w _{3'te ,}w _2'debildiklerinden bazı akıl yürütme ve iç gözlem yapmıştır . Yani birleştirerek, w _3'tew _1'debildiklerinden biraz akıl yürütme ve iç gözlem yaptığını görüyoruz .

KK tezi birçok filozof ve mantıkçı tarafından savunulmaktadır. Örneğin epistemik mantıkta, S4 genellikle ya matematikte ya da genel olarak idealleştirilmiş bilinebilirliğin mantığı olarak kabul edilir (bkz. (Shapiro 1985)). Sezgisel dillerin modal çevirisinde mantık kullanılır (Gödel 1933). Geçişli Kripke yapıları S4 için tamamlandı.

KK tezi genel anlamda anlamsal gerçekçilik karşıtlığı açısından önemlidir. Anti-realistler tüm gerçeklerin bilinebilir olduğunu iddia eder. Bilinen ya da bilinebilen her şey doğru olduğundan, anti-realistler için şunu biliyoruz: $, ancak ve ancak $ bilinebilirse doğrudur . Eğer $ doğruysa, o zaman $'ın da doğru olduğu basmakalıp bir sözdür . Eğer bu bu kadar önemsiz olmasaydı ona "TT-tezi" gibi süslü bir isim verebilirdik. Gerçeğin bilinebilirlikle özdeşleştirilmesi göz önüne alındığında, anti-gerçekçi, eğer $ bilinebilirse , o zaman $'ın bilinebilir olduğunun da bilinebilir olduğunu savunmak zorundadır. Dolayısıyla anti-realist KK tezinin bir biçimini kabul etmelidir.

ilk bakışta anti-realizmde başvurulan bilinebilirlik, KK tezinin olağan tartışmalarında yer alan bilinebilirlik değildir, ne de hemen yukarıda ifade edilen idealleştirmedir. KK tezi için, eğer $ akıl yürütme ve iç gözlem temelinde (zaten bilinenden) bilinebiliyorsa, $'ın bilinebilir olduğunu öne sürdüm . Anti-gerçekçi, tüm doğruların bilinebilir olduğunu iddia ederken, herhangi bir doğruluk için $, eğer $ doğruysa, o zaman $'ı yalnızca akıl yürütme ve iç gözlem yoluyla öğrenebileceğimiz şeklindeki (açıkça yanlış) teze kendini adamıştır . Elbette doğruluğunu tespit etmek için daha fazla gözlem yapmamız gereken bazı gerçekler var.

Ancak matematikte böyle bir boşluk olmayabilir. Matematiğin a priori olduğu yolunda yaygın olarak (ancak evrensel olarak değil) kabul edilen tez, eğer $ bilinebilir bir matematiksel önerme ise, o zaman $'ın yalnızca akıl yürütme temelinde bilinebileceğini öne sürer. Matematikte epistemik standart kanıttır. İle ilgili

Dışsalcılık, Gerçekçilik Karşıtlığı ve KK Tezi 25 Elbette mantık başarısız olursa her şeyi kanıtlayamayız, ancak geleneksel görüş, temel matematik teorilerinin aksiyomlarının a priori bilindiği yönündedir. Geri kalanların hepsi olmasa da çoğu bu aksiyomlardan yapılan çıkarımlardır. Öyle görünüyor ki bilinebilir matematiksel önermeler akıl yürütme (ve iç gözlem) temelinde bilinebilir. Yani geleneksel matematik anlayışına göre , anti-realistin hemen hemen mevcut haliyle KK tezine bağlı olduğu görülüyor .

2 İçselcilik

Cambridge Felsefe Sözlüğü'nün ikinci baskısındaki epistemoloji girişinde Paul Moser şunu formüle ediyor:

.. .bir inanca yönelik gerekçeli desteğin bir anlamda inananlar için erişilebilir olması gerekliliği. Kaba fikir , kişinin inançlarının altında yatan gerekçelere erişebilmesi veya bunları farkındalığa getirebilmesi gerektiğidir . ... Gerekçelendirmeyle ilgili içselcilik, neyin gerekçelendirdiğine ilişkin erişilebilirlik gerekliliğini korurken, epistemik dışsalcılık bu gereksinimi reddeder. (s. 276)

Moser şunu ekliyor: "İçselciler henüz erişilebilirlik konusunda tek tip ve ayrıntılı bir açıklamayı paylaşmıyorlar ." Burada ihtiyacımız olacağını düşünmüyorum.

KK tezi çoğunlukla içselci gerekçelerle gerekçelendirilir. Örneğin matematikte, eğer bir $ matematiksel önermesinin ispatına sahipsek, o zaman ispatı inceleyebileceğimiz (veya iç gözlem yapabileceğimiz) ve onun bir ispat olduğunu fark edebileceğimiz yaygın olarak savunulur. Sezgisel olarak bu inceleme, orijinal bilgi iddiası için gereken erişilebilirliktir.

Çok basit, belki de naif bir içselcilikle başlayalım . Diyelim ki patolojik, Gettier tipi vakaları bir kenara bırakıyoruz ve bilginin gerekçelendirilmiş gerçek inanç olduğunu savunuyoruz. Zaten matematikte beni en çok ilgilendiren Gettier vakası olduğundan emin değilim.

Dışsalcılık, Gerçekçilik Karşıtlığı ve KK Tezi 27

B$'ın "Karl $'a inanıyor" ifadesini kısaltmasına izin verin ve J$'ın "Karl $'a inanmakta haklı" ifadesini kısaltmasına izin verin. Yani "Karl biliyor $" $ A B$ A J$' a gelir .

Herhangi bir $ önermesi için , içselcimiz, Karl'ın iç gözlem ve akıl yürütme yoluyla $' a inanıp inanmadığını ve bu inancında haklı olup olmadığını değerlendirebileceğini savunuyor. İkincisi için ise fermanının ilim için yeterli olup olmadığını kontrol eder. Matematikte sadece ispatının iyi olup olmadığını kontrol eder. Böyle bir kontrol, Moser'in "erişilebilirliği " konusunda makul bir açıklama gibi görünüyor ve bu kavramı yukarıda özetlenen erişilebilirlik ilişkisine uygun hale getiriyor.

Saf içselcimizin KK tezine bağlı olduğunu göstermenin iki yolu var. Öncelikle K ( $ ) olduğunu varsayalım . Yani $ bilinebilir . w ile gerçek dünya arasındaki tek farkın Karl'ın w'de biraz daha akıl yürütme ve iç gözlem yapması olduğunu hatırlatarak, Karl'ın $'ı bildiği bir dünya olsun . w'da Karl $ ' a inanıyor ve bu inanç haklı. Yani w cinsinden $ a B$ A J$ tutar. İçselcilik yoluyla, Karl daha sonra bazı akıl yürütme ve iç gözlem yaparak $'a inandığını ve bu inancında haklı olduğunu öğrenebilir. Yani, KB$ ve KJ$' ın her ikisinin de bulunduğu, w'den erişilebilen bir dünya vardır. Muhtemelen, w' içinde K$'nın da tutulduğuna sahibiz . Karl, ilgili iç gözlem ve muhakeme yoluyla kesinlikle bilgisini kaybedemez (içe bakış ve akıl yürütme onun kafasını karıştırmadığı sürece, ancak olağan idealleştirmelere başvurarak bunu görmezden gelelim). Yani bunu w' cinsinden elde ettik , K$ A KB$ A KJ$. Bu , w ' de Karl'ın $ A B$ A J$ olduğunu bilmesini gerektirir. Yani K ( K$ ) w'de kalıyor .

A B$ A J$ 'a eşit olması nedeniyle K ( $ )' ın K [ $ A B$ A J$ ]' ya eşdeğer olduğunu varsayar . Bu, genel olarak geçerli olmayan $ = Y i= K$ = K$ çıkarım şemasının bir örneğidir . Ancak mevcut davada bu çıkarımı kabul etmek için nedenler vardır. İlk olarak, bilginin gerekçelendirilmiş gerçek inanç olduğunu Karl'ın kendisinin bildiğini veya (iç gözlem ve akıl yürütme yoluyla) bilebileceğini varsayabiliriz. Yani, K [ K$ = $ A B$ A J$ ] olduğunu varsayabiliriz . O zaman yukarıdaki mantık yoluyla K ( K$ ) = K [ $ A B$ A J$ ] olduğu sonucuna rahatlıkla varabiliriz .

Karl bilginin gerekçelendirilmiş, gerçek inanç olduğunu bilmese bile söz konusu çıkarım iyi olabilir. Söz konusu saf içselcilik, yalnızca K$'ın maddi olarak $ a B $ a J $'a eşdeğer olduğuna dair bir ifade değildir . Teori, bilginin sadece gerekçelendirilmiş, gerçek inanç olduğu yönündedir. Dolayısıyla, söz konusu teoriye göre KK$, bilinebilir olanın $ a B$ a J$ olduğunu söylüyor, çünkü K$ budur.

Konu bu kadar basit olmayabilir. Bir üçgen “sadece”, açılarının toplamı iki dik açıya eşit olan bir düzlem şeklidir. "Karl bloğunun bir üçgen olduğunu biliyor"dan "Karl bloğunun açılarının toplamı iki dik açıya eşit olan bir düzlem şekil olduğunu biliyor" sonucu çıkmaz. Belki $ a B $ a J $ formülünün K$ ifadesinin anlamsal içeriğini veya anlamını verdiği söylenebilir . O halde eğer Karl K$'a inanıyorsa, o zaman K$'ın $ a B$ a J$ olduğunu bilmelidir . Aksi halde Karl'ın anlamadığına dair bir inancı vardır. Ancak bu son derece mantıksız bir tezdir. Bu, bir şeyi bildiklerine inananların yalnızca bilginin gerekçelendirilmiş, gerçek inanç olduğunu anlayan kişiler olduğunu gerektirir. Yani, saf bir içselci dışında hiç kimse kendi bildiğine inanamaz.

a B$ a J$ ile denklemi önerilen bir felsefi analizdir. Felsefi analizler muhtemelen anlam eşdeğerliği iddiaları ile zorunlu eşdeğerlik iddiaları arasında bir yerdedir . Buradaki mesele, felsefi analizin iddiasından K ( $ ) 'nın K [ $ a B$ a J$ ]' ya eşdeğer olup olmadığıdır . Görünüşe göre bu, analizin yalnızca akıl yürütme ve iç gözlem yoluyla elde edilip edilemeyeceğine bağlı . Eğer analiz a priori ise, o zaman yukarıdaki çıkarım geçerlidir, ancak daha ileri bir görüşte bulunmaya cesaret edemiyorum.

Bu alıştırmayı yaptım çünkü benzer bir durum daha sonra dışsalcılıkta (ve daha az saf bir içselcilikte) ortaya çıkacak. Ancak mevcut durumda söz konusu çıkarımdan kaçınılabilir. Tekrar, Karl'ın $'ı bildiği bir dünya olsun , böylece $ a B$ a J$ w'yi tutsun . Karl, iç gözlem yoluyla $' a olan inancının haklı olduğunu fark edebilir ve K$'ı bildiğine dair bir inanç formüle edebilir (eğer bilmediyse).

Dışsalcılık, Gerçekçilik Karşıtlığı ve KK Tezi 29

bu inancı zaten çürüttüm). Yani BK$'nın geçerli olduğu, w'den erişilebilen bir dünya var . Dahası, bu son inanç haklı gösterilebilir: İç gözlem üzerine Karl'ın $'a ilişkin teminatı, $'ı bildiğine dair inancının garantisi haline gelir. Yani BK$ ve JK$'nın geçerli olduğu bir dünya var . Yukarıdaki gibi Karl'ın w' cinsinden $'ı hala bildiğini varsayarsak, o zaman w ' cinsinden K$'ın doğru, inanılan ve haklı olduğu sonucunu elde ederiz . Yani w'de Karl K$'ı biliyor. Yani KK$ w'yi tutar .

3 Dışsallık

Belki de KK tezinin altında yatan sezgiler içseldir . Eğer öyleyse, eğer dışsal bir epistemolojiyi tercih edersek, KK tezinin temel motivasyonunu kaybederiz. Elbette bu, KK tezinin belirli bir dışsalcılık konusunda başarısız olduğu anlamına gelmiyor. Bununla birlikte, KK tezinin dışsal epistemolojiler açısından başarısız olduğuna dair yaygın bir görüş vardır. Simon Blackburn'ün Oxford Felsefe Sözlüğü'nün "dışsalcılık" ile ilgili girişinin bir kısmında şunlar yazıyor:

ona göre uygun bir konumda bulunarak ve bu ilişkinin hiçbir şekilde onun görüş alanına girmeden bilebilebileceği görüşüdür . Bu görüş, bildiğinize inanmanız konusunda gerekçelendirilmeden bilmenizi sağlar. (s.133)

O halde Blackburn'e göre dışsalcı, Karl'ın $'ı bildiğini haklı çıkarmadan $'ı bilebileceğini savunuyor. En azından bazen Karl'ın $'a olan inancının sadece muhakeme ve iç gözlem yoluyla haklı olduğunu anlayamadığını da eklersek, KK$ olmadan da K$'a sahip olabiliriz. Başka bir deyişle KK tezi başarısız oluyor.

Ancak bu, “dışsalcılığı” “KK tezinin başarısız olduğu bir epistemoloji” olarak tanımlamaya oldukça yakındır. Dışsalcılığı bağımsız olarak karakterize etmek ve ardından belirli bir epistemolojinin KK tezini onaylaması veya reddetmesi için neyin gerekli olduğunu araştırmak daha öğretici olacaktır.

Bilgi için genel bir formül üzerinde duralım. Karl'ın $'ı ancak ve ancak şu durumda bildiğini söyleyin:

$ A B$ A C j ( $ ) A C _e( $ ),

burada C _i( $ ) bilgi için “dahili olarak mevcut” koşulları (varsa) verir ve C _e( $ ) bilgi için dış koşulları (varsa) verir. Eğer C _i( $ ) geçerliyse, o zaman Karl rutin akıl yürütme ve iç gözlem yoluyla bunun geçerli olduğunu belirleyebilir. Koşulların içsel olarak mevcut olduğunu söylemekle kastettiğimiz budur . C _e( $ ) ile elbette buna sahip değiliz. Koşullar, Karl'ın haberi olmadan da gerçekleşebilir ve hiçbir iç gözlem veya akıl yürütme, C _e( $ ) için yeterli bir garanti sağlayamayabilir .

Elbette C _ive C e'nin ayrıntıları epistemolojiden epistemolojiye _{değişir .}İçselci, C _e'ninboş veya anlamsız olduğunu savunurken, dışsalcı, C _{e'ye önemli koşullar yerleştirir}. Dışsalcılığın bazı versiyonlarında, C _iboştur veya neredeyse tamamen boştur ve C _e( $ ), genellikle bazı nüansların eklendiği "Karl'ın $'a olan inancı güvenilir bir mekanizma tarafından üretilmiştir " gibi bir şeydir . Muhtemelen Karl, yalnızca akıl yürütme veya iç gözlem yoluyla mekanizmalarının güvenilir bir şekilde çalıştığını söyleyemez . Dolayısıyla durum dışsaldır. Belki de Gettier tipi vakalarla ilgilenen diğer dışsal epistemolojiler , içselcilerin gerekçesine çok benzeyen C _i( $ )' ye sahiptirler; "Karl'ın güçlü, yenilmez, içten erişilebilir bir inanma hakkı vardır ." Eklenen dışsal C _ecümlesi şuna benzer bir şey olabilir: "Karl'ın farkına varsaydı, $'a ilişkin teminatını yeterince baltalayacak hiçbir gerçek yoktur." Standart bir örnek vermek gerekirse, $' ın "burada bir ahır var" olduğunu ve Karl'ın emrinin algı olduğunu varsayalım: Ahıra benzeyen bir şey görüyor ve önünde gerçekten de algıya neden olan bir tane var. Şimdi civarda çok sayıda sahte ahır olduğunu varsayalım. O halde eğer Karl bunu keşfederse, $'a ilişkin emri baltalanacaktır ($ doğru olsa bile). Çevrede çok sayıda sahte ahır bulunduğuna inanmak için iyi bir nedeni olan herkes, Karl'ın algısının bu durumda $ için yeterli bir garanti olmadığını görecektir. Yani dış bağlantı

dition C _e( $ ) yalnızca civarda çok fazla sahte ahır yoksa geçerli olacaktır. Benzer şekilde, C _e( $ ) Karl'ın rüya görmediğini, kimsenin sabah kahvesine LSD koymadığını ve bizim çevremize çok benzeyen ikiz bir dünyaya gizlice nakledilmediğini gerektirir.... Yine, Karl, yalnızca akıl yürütme ve iç gözlem yoluyla rüya görmediğini, halüsinasyon görmediğini ve ikiz dünyayı ziyaret etmediğini belirleyemez.

Matematiğin epistemolojisindeki bazı konular da bizim kalıbımıza uymaktadır. C i ( & ) "Karl'ın T teorisinde $ ' dan türevi var ." olsun . Karl'ın (iç gözlem ve akıl yürütme yoluyla) T'deki belirli bir türetmenin aslında T'deki bir türetme olduğunu belirleyebileceğini varsayabiliriz . Dışsal bir koşul , kişinin matematik felsefesine bağlı olarak T teorisinin doğal, sezgisel, tutarlı, doğru, muhafazakar vb. olması olabilir . Eksiklik teoremleri göz önüne alındığında, Karl'ın T'nin tutarlı veya muhafazakar olduğuna dair dahili olarak erişilebilir bir kanıta sahip olmasını talep etmek çok fazla olur .

w dünyasında $'ı bildiğini varsayalım , yani w'de $ , B$, C _i( $ ) , C _e( $ ) hepsinin geçerli olduğunu varsayalım. KK tezi, Karl'ın yalnızca akıl yürütme ve iç gözlem yoluyla $'ı bildiğini anlayabileceği anlamına gelir . Öyleyse w', Karl'ın $'ı bildiğini bildiği, w'den erişilebilen bir dünya olsun . O halde w'de Karl $ A B$ A C _i( $ ) A C _e( $ ) olduğunu biliyor. Muhtemelen, Karl'ın w ' de $ bilmesinde bir sorun yoktur , çünkü o bunu w olarak bilmektedir ve Karl'ın $'a inandığını bilmesinde veya Cj ^ ( $ ) ' ı bilmesinde bir sorun yoktur , çünkü bunlar dahili olarak erişilebilirdir. Burada bir sorun varsa, o da Karl'ın w' içindeki C _e( $ ) değerini bilmesidir .

Önerilerden biri, eğer diğer şeyler eşitse, o zaman Karl'ın $ (yani, C _i( $ )) için orijinal varantının otomatik olarak C _e( $ ) için bir varant olacağıdır . Örneğin, C _e( $ ) 'nin, dünya hakkında Karl'ın Gettier tipi patolojiler için standart bir çare olan $ (eğer farkına varsaydı) garantisini zayıflatacak hiçbir gerçek olmadığını veya bunu gerektirdiğini varsayalım. . O halde Karl'ın $ (yani, C _i( $ )) için dahili varantının kendisinin bir garanti olduğu (ya da bir varant içerdiği) ve bu varantı ciddi şekilde baltalayan hiçbir olgu olmadığı iddia edilebilir . Makul bir şekilde, eğer Karl bir gün

Dışsalcılık, Gerçekçilik Karşıtlığı ve KK Tezi 31 Q ( $ ) emrinin zayıflatıldığının farkına varırsa (başka bir emir almadığı sürece) $' ı bilmez . Bu nedenle, C i ( & ) ancak Karl'ın, varantın zayıflatılmadığını düşünmek için her türlü nedeni varsa iyi bir varanttır. Yani Karl $'ı yalnızca C _e'ye( $ ) (bu yönüne) inanmak için her türlü nedeni varsa biliyor . Bu, Crispin Wright'ın (Wright 1992b , s. 48-57) "süper-iddia edilebilirlik" olarak adlandırdığı kavram için KK-teziyle ilgili daha incelikli argümanının hızlı ve kaba bir versiyonudur. Mevcut şartlarda öneri, tartışmasız bir C _i'nin( $ ) kendisinin C _e( $ ) için bir garanti olduğu yönündedir . Aksine bir kanıt olmadığı sürece, Karl'ın koşulların normal olduğunu (örneğin etrafta sahte ahırların bulunmadığını) varsayma hakkı var.

Bu öneri, yanılabilir gerekçeleri dışsal epistemolojiyle çürütüyor gibi görünüyor . Söz konusu görüşe göre, belirtilen C _e( $ ) koşulu gerçekte dışsal değildir, çünkü Karl (kaçınılmaz olarak) C _e( $ )' nin geçerli olduğunu yalnızca iç gözlem yoluyla belirleyebilir. Sadece durumun gerçekleştiğinden şüphe etmek için bir neden olup olmadığını kontrol ediyor . Teklif şu ki, eğer diğer şeyler eşitse, o zaman $'a ilişkin iç garantisinin kendisi C _e( $ ) için yeterli fakat mümkün olmayan bir garantidir ve dolayısıyla $'ın bilinebilirliği için. Ancak bu yeterli ve geçersiz kılınabilir emir aslında, her ne kadar yanılabilir olsa da, dahili olarak erişilebilirdir. Öneriyi yanılabilirliği barındıran bir içsellik olarak düşünmek daha iyi olabilir. Eğer Karl $'ı hatalı olarak biliyorsa, o zaman $'ı aynı yanılabilirlikle bildiğini de bilebilir. Aslına bakılırsa öneri, Karl'ın aslında aynı izin belgesiyle bildiğini öğrenebilmesidir. C _e( $ ) dediğimiz şey C _i( $ ) ' ın bir parçası olmalıdır .

erişilebilir herhangi bir dünyada Karl'ın C _e( $ ) dış koşulu için bir iç yetkiye sahip olduğunu göz ardı edebilmeliyiz. , en azından bazı önermeler için $. Yukarıda belirttiğimiz gibi, C _e( $ )' ı dışsal bir kısıtlama yapan _özellik, Karl'ın C _e( $ ) 'ın geçerli olduğunun farkında olmasına gerek olmaması ve hatalı bir şekilde veya başka bir şekilde benimkini belirleyemeyebilmesidir . $ ) yalnızca akıl yürütme ve iç gözlem yoluyla geçerlidir. Böyle bir bakış açısına göre, hiçbir sıradan akıl yürütme ve iç gözlem yeterli bir gerekçe üretmeyecektir.

Dışsalcılık, Gerçekçilik Karşıtlığı ve KK Tezi 33

C _e( $ ) için . Açıkçası, C _e( $ ) için yeterli bir varantın şirket içinde erişilebilir olması mümkün değil.

w dünyasında) bildiğinde , C _e'nin( $ ) geçerli olduğunu bilebileceğini savunmalıdır : Karl'ın w'den erişebildiği bir w' dünyası vardır. $ biliyor . Özellikle, şemamızı uygularsak, içinde C _e( $ ) , Q [C _e( $ )] ve C _e[C _e( $ )] 'nin bulunduğu erişilebilir bir w' dünyası vardır . Elbette, C _e( $ ) bilgisinin iç ve dış koşulları $'ın bilgisinin koşullarıyla aynı olmayabilir (yukarıdaki, yanılabilirliği kabul eden önerinin aksine). Bununla birlikte, az önce gördük ki, C _e( $ ) 'ı dışsal yapan kısıtlamalar, Karl'ın C _e( $ ) için dahili olarak erişilebilir bir garanti elde etmesini imkansız kılıyor. W ve w' arasındaki tek farkın ikincisinde Karl'ın biraz akıl yürütme ve iç gözlem yapması olduğunu hatırlayın. Hipoteze göre, iç gözlem ve muhakeme, C _e( $ ) için bir garanti elde etmek için yeterli değildir .

Dolayısıyla KK tezini savunan bir dışsalcı, C _i[C _e( $ )]' ın sıfır olduğunu kabul etmelidir. Yani Karl, bu inanç için dahili olarak erişilebilir herhangi bir garantiye sahip olmadan C _e( $ )' yi bilebilir. Bu nasıl mümkün olabilir? Anlayabildiğim kadarıyla, dışsalcımız C _e( $ ) 'yi varsayılan olarak - en azından kaçınılmaz olarak - bilinen veya bilinebilir olarak kabul etmelidir. Slogan şu olabilir: C _e( $ ) suçlu olduğu kanıtlanana kadar masumdur. Örneğin, Ce ( $ )' _ninkısmen Karl'ın algısal mekanizmalarının iyi çalıştığını gösterdiğini varsayalım . Karl, algı mekanizmalarının düzgün çalışmadığını düşünmek için hiçbir nedeni olmadığını anladığında, onların düzgün çalıştığını anlıyor . Yukarıda ele alınan durum da benzerdir. Varsayalım ki C _e( $ ) , Karl'ın farkına varsaydı, $ için C _i( $ ) 'in (dahili) garantisini zayıflatacak hiçbir olgu yoktur veya bunu gerektirir . Yani, ne kadar bilgi edinirse edinsin, Karl'ın izni geçerliliğini koruyacaktı. Mevcut öneri, Karl'ın bunu varsayılan olarak bilmesidir. Eğer C _i( $ ) $ bilgisi için gerçekten yeterliyse ( C _e( $ ) geçerli olduğu sürece), o zaman normal durumlarda hiçbir zayıflatıcı gerçek yoktur. Ve eğer zayıflatan gerçekler yoksa, o zaman Karl bunu kaçınılmaz da olsa biliyor.

C _e'nin( $ ) ilgili bilginin bir ön varsayımı olduğu iddia edilebilir . Belki de Karl'ın $'ı bildiğini ancak ön varsayımın geçerli olduğunu biliyorsa veya bilebilirse iddia etmek akla yatkındır . Karl'ın $'ı bildiğini ancak ön varsayımların ($'ın bilgisi için ) geçerli olduğunu bildiği takdirde bildiğini ileri sürmek daha makuldür. Söz konusu öneri, Karl'ın ikincisini varsayılan olarak bilmesidir. Aksinden şüphelenmek için bir nedeni olmadığı sürece ön varsayımın geçerli olduğunu biliyor . Yani, Karl'ın C _e( $ ) 'e olan inancı, C _e( $ ) 'ın yanlış olduğundan şüphelenmesi için hiçbir nedeni olmadığı ölçüde haklıdır . Elbette, eğer Karl'ın C _e'den( $ ) şüphe etmek için bir nedeni varsa , bu onun $ hakkındaki bilgisinin zayıflamasına katkıda bulunacaktır . Bu, ön kabullerin yoludur .

C _e'den( $ ) şüphe etmek için hiçbir nedeni olmadığını belirleyebilir . Bu, C _e( $ ) için bir tür (yenilmez) dahili ancak negatif garanti olarak kabul edilebilir ve $'ın bilgisi için harici C _e( $ ) bileşeninin yalnızca bu negatif garantiye sahip olduğunu ve yalnızca buna ihtiyaç duyduğunu söyleyebiliriz . Ancak yine de etiketler veya negatif varantların varant olarak sayılıp sayılmayacağı konusunda tartışmamalıyız. C _e( $ ) 'den şüphe etmek için hiçbir nedenimiz olmadığına dair iç gözlemsel olarak belirlenmiş bir inancın, C _e( $ ) için içsel bir garanti olarak sayılıp sayılmayacağını belirlemeyi okuyucuya bırakıyorum .

Matematiksel bilgiyi bu çerçeveye zorlayabilir miyiz, emin değilim. C _i( $ ) 'ın "Karl'ın T teorisinde $'dan türetilmesi var" gibi bir şey olduğu fikrini hatırlayın . Dış koşul C _e( $ ) " T teorisi doğaldır , sezgiseldir, tutarlıdır, doğrudur, muhafazakardır, vb." gibi bir şeydir. Yine ikinci eksiklik teoremi ışığında, Karl'ın T'nin tutarlı , doğru, muhafazakar vb. olduğuna dair dahili olarak erişilebilir bir kanıta sahip olmasını talep etmek muhtemelen çok fazla olacaktır. Burada ele alınan önermeye göre , Karl'ın T'yi bildiğini söyleyebiliriz. varsayılan olarak doğal, sezgisel, tutarlı, doğru, muhafazakar vb.'dir. Tutarlılık ve tutuculuk en azından matematiksel meseleler olduğundan, öneri matematikteki standardın ispat olduğu sloganına aykırıdır. Bir teorinin tutarlı olduğuna dair bir şey bildiğimizi iddia ediyoruz ama

Dışsalcılık, Gerçekçilik Karşıtlığı ve KK Tezi 35

buna dair hiçbir kanıt yok. Ama elbette her şeyi kanıtlayamayız . Alternatifler, Karl'ın T'nin tutarlılığını vb. varsayılan olarak bildiğini savunmak veya matematikte bildiğini bilmediğini ve bilemediğini savunmak gibi görünüyor, yani KK tezi başarısız oluyor. Bu haplardan hangisinin yutulmasının daha zor olduğu konusunda spekülasyon yapmayacağım.

Şu ana kadar varılan sonuç, dışsalcının, bilgi için C _e( $ ) dış koşullarının varsayılan olarak bilinebilir olduğunu savunarak -ya da sadece iddia ederek- KK tezini savunabileceğidir. Ya Karl'ın C _e( $ ) için hiçbir gerekçeye ihtiyacı yok, ya da sadece C _e( $ ) 'den şüphe etmek için hiçbir neden olmadığını bildiği olumsuz yetkiye ihtiyacı var . Dışsalcılar için KK tezine giden başka bir yol göremiyorum.

Yukarıdaki saf içselcilik durumunda olduğu gibi, yukarıdaki değerlendirme, Karl $'ı ancak ve ancak $ A B$ A C j ( $ ) A C _e( $ ) ise bildiğinden , KK$ ancak ve ancak K [ $ A B ise olduğunu varsayar. $ A C i ( $ ) A C _e( $ )] . Bunun genel olarak geçerli olmayan $ = Y 1= K$ = KY çıkarım şemasının bir örneği olduğunu hatırlayın . Bununla birlikte, eğer Karl $'ı ancak ve ancak ( $ A B$ A C j ( $ ) A C _e( $ ) ise bildiğini biliyorsa veya bilebilirse, buradaki çıkarım iyidir . Yani, eğer Karl akıl yürütme (veya iç gözlem) yoluyla bilginin doğru analizini öğrenebilirse, yukarıdaki akıl yürütme geçerlidir. Epistemolojinin a priori bir girişim olduğu ölçüde bu tamamen mantık dışı değildir .

Son önerinin, Karl'ın C _e( $ ) dış koşullarını varsayılan olarak bildiği yönünde olduğunu hatırlayın. Buna göre Karl'ın K $ için ihtiyaç duyduğu tek (iç ) teminat , normal durumlarda C _e( $ ) dış koşullarının geçerli olması ve mevcut durumun normal olmadığını düşünmesi için hiçbir nedenin olmamasıdır. Belki de Karl, dış koşulların ne olduğunu ayrıntılı olarak bilmeden bu olumsuz izni alabilir. Yani Karl, yalnızca normal koşulların ne olduğuna dair genel bir kavrayışla menfi tutuklama emrini elde edebilir . Durum gerçekten normalse, Karl'ın ihtiyacı olan tek şey, $'a yönelik emrinin zayıflatılmadığına dair genel bir inançtır.

Her durumda, daha zayıf bir çıkarımla yolun çoğunu elde edebiliriz. Yukarıdaki formülün geçerli olduğunu varsayalım. Tekrarlamak için:

( Karl $ )' ı ancak ve ancak ( $ A B$ A C _i( $ ) A C _e( $ ) ise bilir.

KK tezini varsayalım. Karl'ın $'ı bildiği bir dünya olsun . O halde , Karl'ın $'ı bildiğini bildiği, w'den (yani yalnızca iç gözlem ve akıl yürütme yoluyla) erişilebilen bir dünya vardır . Yani w' cinsinden:

Karl biliyor ( K$ A B ( K$ ) A C _i(K $ ) A C _e(K $ )).

Yine, K$ için iç ve dış koşulların $'ın kendisi ile aynı olması gerekmez. İhtiyacımız olan şey aşağıdaki biçimde bir çıkarımdır:

t, P için bir emirdir ; P = QAR (analiz yoluyla ) ; dolayısıyla R için bir garanti vardır ( ya da en azından biraz akıl yürütme ve iç gözlem eklersek R için bir garantiye dönüştürülebilir ) .

C _e( $ ) için bir varant olması gerektiğini ileri sürmek makul görünüyor , çünkü bu sonuncusu K$'ın bir bileşenidir (Karl bunu bilse de bilmese de). Hipoteze göre C _e( $ ) için herhangi bir iç varant mevcut değildir . Dolayısıyla, yukarıdaki öneride olduğu gibi, C _e( $ )' nin dahili bir varant gerektirmediği sonucuna varmalıyız . Varsayılan olarak veya en iyi ihtimalle olumsuz bir emir yoluyla bilinebilir. ¹

¹Bu makale Sarah Sawyer ve Crispin Wright ile yapılan görüşmelerden sonra yazılmıştır, ancak onlar henüz doğru bilgiye sahip olduğumu düşünmeyebilirler. Ayrıca 9-10 Mayıs 2003'te Waterloo Üniversitesi'nde Graham Solomon anısına düzenlenen "Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım" çalıştayındaki dinleyicilere de teşekkür ederiz.

Bölüm

İKİ

SEZGİSEL KÜME TEORİSİNDE SEÇİM İLKELERİ John L. Bell

Sezgisel küme teorisinde, ortanın dışlanması yasasının, boş olmayan kümelerden oluşan her ailenin bir seçim fonksiyonuna sahip olduğunu söyleyen Seçim Aksiyomunun standart versiyonundan türetilebileceği bilinmektedir. Bu makalede, dışlanmış orta yasası da dahil olmak üzere, sezgisel olarak geçersiz bir dizi mantık ilkesinin her birinin, sezgisel küme teorisinde, Seçim Aksiyomunun uygun şekilde zayıflatılmış bir versiyonuna eşdeğer olduğu gösterilmektedir. Dolayısıyla bu mantıksal ilkeler seçim ilkeleri olarak görülebilir.

1ST'de çalışıyoruz (bir sunum için bkz. (Grayson 1979), burada ZF'1 olarak adlandırılmaktadır ). Bazı gösterimleri düzelterek başlayalım. Her A kümesi için, A'nın kuvvet kümesi için P (A) 'yı ve A'nın yerleşik altkümeleri kümesi için , yani A'nın X altkümeleri kümesi için Q(X) yazıyoruz; bu küme için 3 x ( x g A ) bulunur . A'dan B'ye fonksiyonlar kümesi B A ^ilegösterilir ; A etki alanına sahip işlevlerin sınıfı Fun (A) ile gösterilir . Boş küme 0, { 0 } 1 ve { 0 , 1 } 2 ile gösterilir.

mantıksal şemaları tablolaştırıyoruz ¹:

^{1 Bu mantıksal şemalara ek olarak, (Lawvere ve
Rosebrugh 2003)}yüksek dağıtım yasası olarak adlandırılan şema da vardır .

HDDL ^ x[a(x) v fi(x)] ^ 3 xa(x) v ^ x^(x)

D. Devidi ve T. Kenyon (ed.), Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım, 36-44.

Sezgisel Küme Teorisinde Seçim İlkeleri

SLEM ( V v - a ( herhangi bir cümle)

Lin (a — p) v (p — a) (a, p herhangi bir cümle)

Taş - a v - - a ( herhangi bir cümle)

Örn 3 x[ 3 a(x) — a(x)] (a(x) en fazla x içermeyen herhangi bir formül )

Un 3 x[a(x) — V xa(x)] (a(x) en fazla x içermeyen herhangi bir formül )

Dis V x[a v p(x)] — a v V xP(x) ( herhangi bir cümle, P(x) en fazla x içermeyen herhangi bir formül )

Sezgisel mantık üzerinden Lin , Stone ve Ex , SLEM'in sonuçlarıdır ; ve Un Dis anlamına gelir . Bu şemaların tümü, elbette, ortanın hariç tutulması kanununun tamamından, yani keyfi formüller için SLEM'den kaynaklanmaktadır.

seçim ilkelerini formüle ediyoruz - burada X isteğe bağlı bir kümedir ve ty(x, y), en fazla x , y serbest değişkenleriyle IST dilinin isteğe bağlı bir formülüdür :

AC _X V x e X 3 yw(x,y) — 3 f e Eğlence (X) V x e Xty(x,fx)

AC X f e Eğlence (X)[ V x e X 3 yw(x,y) — V x e X<p(x,fx)]

DACX _{_} V f e Eğlence (X) 3 x e Xty(x,fx) — 3 x e X V yw(x,y)

DAC X f e Eğlence (X)[ 3 x e Xty(x,fx) — 3 x e X V y<p(x,y)]

Bunlardan ilk ikisi X için Seçim Aksiyomunun biçimleridir ; klasik olarak eşdeğer olsa da, IST'de AC X, AC _Xanlamına gelir , ancak tam tersi değildir. DAC _Xve DAC X ilkeleri, X için Seçim Aksiyomunun ikili biçimleridir : klasik olarak her ikisi de AC _Xve AC X'e eşdeğerdir , ancak IST'de DAC X, DAC _X'iifade eder ve bunun tersi geçerli değildir.

Un'un HDDL'yi ima ettiğini ve bunun da Dis'i ima ettiğini göstermek zor değil . Aşağıda gösterildiği gibi hem Un hem de Dis seçim ilkelerine eşdeğerdir; ancak aynı durumun HDDL için de geçerli olduğunu gösteremedim .

Sezgisel Küme Teorisinde Seçim İlkeleri

, a(x) ve f(x)' in en fazla x serbest değişkenine sahip herhangi bir formül olduğu , zayıf genişlemeli seçilim ilkesi diyeceğimiz şeyi de formüle ediyoruz :

WESP X x g 2a(x) a X x g 2f(x) - Xx g 2 X y g 2[a(x) a f(y) A [ V x g 2[a(x) ~ f(x) ] — x = y]] .

Bu ilke, 2'nin üyelerinin herhangi bir örneklenmiş özellik çifti için , örneklerin, özelliklere yalnızca uzantılarına bağlı olacak şekilde atanabileceğini ileri sürer. WESP , AC q ( 2 ) 'nin doğrudan bir sonucudur . AC q ( ₂) 'de ty(u,y)'yi ygu u olarak almak , Q ( 2) tanım kümesine sahip bir f fonksiyonunun varlığını verir , öyle ki her u g Q ( 2 ) için fu g u olur . a(x), f(x) formülleri verildiğinde ve WESP'nin öncülü olduğu varsayıldığında , U = { x g 2 : a(x) } ve V = { x g 2 : f(x) } kümeleri Q'nun üyeleridir (2), böylece a = fU g U ve b = fV g V, dolayısıyla a(a) ve f(b). Ayrıca, eğer V x g 2[a(x) ~ f(x)] ise, o zaman U = V , dolayısıyla a = b ; WESP sonucunun geçerli olduğu sonucu çıkar .

1ST üzerinden ) bir seçim ilkesine eşdeğer olduğunu göstereceğiz . Listenin en başından başlayarak ilk olarak şunu görüyoruz:

Önerme 2.1 WESP ve SLEM, 1ST'ye göre eşdeğerdir .

Kanıt. WESP'yi varsayalım . A herhangi bir cümle olsun ve tanımlayın

a(x) = x = 0 v a f>(x) = x = 1 v a.

a ve f örnekleriyle WESP'nin öncülü açıkça karşılanmıştır, yani 2'nin a , b üyeleri vardır, bunlar için (1) a(a) A f(b) ve (2) V x g 2[a( x) « b(x)] — a = b. (1)'den a v (a = 0 A b = 1 ) olduğu sonucu çıkar , dolayısıyla (3) a v a = b. Ve açıkça a — V x g 2[a(x) ~ f(x)] olduğundan (2)'den a — a = b sonucunu çıkarırız , dolayısıyla a = b — — a olur . Bunu (3) ile bir araya getirmek, a v — a sonucunu verir ve bunu SLEM takip eder.

Tam tersi, gayri resmi olarak tartışıyoruz. SLEM'in geçerli olduğunu varsayalım . WESP'in öncülünü varsayarak , a(a) olan bir g2 seçin . Şimdi ( SLEM kullanarak) b g 2 öğesini şu şekilde tanımlayın:

takip ediyor. Eğer V x g 2[a(x) -- b(x)] geçerliyse, b = a olsun ; değilse b'yi seçin, böylece 3(b) olur. Artık a ve b'nin a(a) A 3(b) a [ V x g 2[a(x) ~ 3(x)] — a = b]' yi sağladığını görmek kolaydır . WESP onu takip ediyor. □

Açıklama 2.1 WESP - SLEM argümanı , Diaconescu'nun teoreminin bir başka “soyulmuş ” versiyonudur; bir toposta seçim aksiyomu, ortanın hariç tutulması yasasını ima eder. Sonuç, (Bell 1993 a ) 'nınkiyle, kapsamsal e -terimlerin varlığının sezgisel mantığı klasik kıldığı etkisi açısından karşılaştırılabilir.

AC i'nin (önemsiz olarak) IST'de kanıtlanabilir olduğunu gözlemliyoruz .

Önerme 2.2 AC * ve Ex, IST üzerinde eşdeğerdir .

Kanıt. AC * olduğunu varsayarsak , ty(x,y) = a(y)' yi öncül olarak alın . Bu, V ya(y) — a(f 0 ) olan bir f g Fun ( 1 ) verir ve 3 y[ 3 ya(y) — a(y)] verir , yani Ex .

Tersine, a(y) = ty(0,y)'yi tanımlayın. O zaman, Ex varsayarsak , 3 ya(y) — a(b) olan bir b vardır , yani V x g 1 3 yw(x,y) — V x g 1ty(x,b). f g Fun ( 1 ) ' in f = {( 0,b) } ile tanımlanması V x g 1 3 yw(x,y) — V x g 1ty(x,fx) sonucunu verir ve AC * bunu takip eder. □

Ayrıca DAC 1'in IST'de kolayca kanıtlanabilir olduğu görülse de ,

Önerme 2.3 DAC * ve Un, IST üzerinden eşdeğerdir .

Kanıt. a verildiğinde ty(x,y) = a(y)' yi tanımlayın . Daha sonra, f g Fun ( 1 ) için , 3 x g 1&(x,fx) « a(f0) ve 3 x g 1 V y&(x,y) « V ya(y). DAC * sonra verir

3 f g Eğlence(1)[a(f0) — V ya(y)],

Un'un kolayca takip ettiği .

Tam tersi, < verilmiştir. p , a(y) = ty(0,y)'yi tanımlayın . Daha sonra Un'dan, a (b) — V ya(y) olan bir b'nin var olduğu sonucunu çıkarırız .

Sezgisel Küme Teorisinde Seçim İlkeleri 41

yani w(0,b) — V y<p(0,y). f e Fun ( 1 ) ' in f = {{ 0,b) } ile tanımlanması ty(0,f0) - 3x e 1 V yw(x,y) sonucunu verir , dolayısıyla 3 x e 1ty(x, fx) — 3 x e 1 V yw(x,y) ve Un bunu takip eder. □

Daha sonra, AC 2, 1ST'de kolayca kanıtlanırken , bunun tersine, elimizdeki

Önerme 2.4 DAC 2 ve Dis, 1ST üzerinde eşdeğerdir .

Kanıt. DAC 2'nin öncülü iddiaya eşdeğerdir

V f e Eğlence ( 2 )[^( 0 ,f 0 ) v q>(1,f 1 )],

( 2 ) üyeleri ile sıralı çiftler arasındaki doğal korelasyon göz önüne alındığında , bu iddiaya eşdeğerdir

V y V y'[<&(0,y) v &(1,y')].

DAC 2'nin sonucu iddiaya eşdeğerdir

V y e Yty(0,y) v V y' e Yty(1,y').

Yani DAC 2'nin kendisi şuna eşdeğerdir:

V y V y' M0 ,y) v &(1,y')] - V yy(0,y) v V y'&(1,y').

Ancak bu açıkça şemaya eşdeğerdir

V y V y'[a(y) v f(y')] ■ V ya(y) v Vy' f(y'),

burada y f'de serbest olarak oluşmaz , a'da da y' oluşmaz . Ve bu sonuncunun Dis'e eşdeğer olduğu kolaylıkla görülebilir . □

Şimdi DAC 2'yi düşünün . Bunun hızla iddiaya eşdeğer olduğu görülüyor

3 z 3 z'[^(0,z) v v(1,z') — V y^(0,y) v V y'<p(1,y')],

a(x), f(x) için iddiaya göre ,

3 z 3 z'[a(z) v f(z') — V ya(y) v V y'f(y')].

a cümlesi için iddiaya eşdeğerdir ,

3 y[a v f(y) — a v^ yPiy)]. ( * )

Şimdi ( * ) açıkça Un'u gerektirir . Tersine, Un verildiğinde , f(b) — V yf(y) olan b vardır . Dolayısıyla a v f(b) — a v V yf(y), dolayısıyla ( * ) . Yani bunu gösterdik

Önerme 2.5 IST üzerinden DAC * , Un'a ve dolayısıyla DAC *' a eşdeğerdir .

Lin ve Stone'a eşdeğer seçim şemaları sağlamak için tanıtıyoruz

ac X 3 f e 2 ^X[ V x e X 3 y e 2ty(x,y) — V x e Xty(x,fx)].

wac X 3 f e 2 ^X[ V x e X 3 y e 2ty(x,y) — V x e X<p(x,fx)] sağlanan 1— _IST V x[v(x, 0) — —< p(x, 1 )] .

Açıkça ac _X^*eşdeğerdir

3 f e 2 ^X[ V x e X[<p(x, 0) v <p(x, 1 )] — V x e X<p(x,fx)]

ve benzer şekilde wac _X^*
için.

Daha sonra

Önerme 2.6 IST üzerinden ac * ve wac * sırasıyla Lin ve Stone'a eşdeğerdir .

Kanıt. a ve f'nin birer cümle olmasına izin verin ve ty(x,y) = x = 0 A [(y = 0 A a) v (y = 1 A b)] tanımlayın . O zaman a — ty(0, 0 ) ve f — ty(0, 1 ) , ve böylece V x e 1 [^(x, 0 ) v ^(x, 1 )] ■ ty(0,0) v ^( 0, 1 ) ■ a v f. Öyleyse

3 f e 2 ¹ [ V x e 1 [^(x, 0 ) v <p(x, 1 )] -^ V x e 1ty(x,fx)]

- 3 f e 2 ¹[av p - v(0,f0) ]

~ [a v P — ty(0, 0 )] v [av f — ty (0, 1 )]

■ ■ [ av f — a] v [ av f — f]

— f — a v a — f.

Bu, ac * --+ Lin sonucunu verir . Bunun tersi için, a = ty(0, 0 ) ve f = ^( 0 , 1 ) tanımlayın ve argümanı tersine çevirin.

Belirtilen ikinci eşdeğerliği oluşturmak için, ty(x,y) yukarıdaki gibi tanımlandığında, ancak f yerine - a yazıldığında, wac *' da belirtilen hükümleri karşıladığına dikkat edin . Yukarıdaki gibi, bu prensip ( - a -+ a) v (a -+ - a), yani - a v -- a'yı verir . Yani Stone wac *' dan gelir . Tersine, y'nin wac *' da belirtilen koşulu karşıladığını varsayalım . Sonra W(0,0) -^ - y(0, 1 ) 'den -- y(0, 0 ) -^ - y(0, 1 ) ; şimdi, Stone'u varsayarsak , elimizde - ty(0,0) v -- y(0, 0 ) , bu nedenle - ty(0, 0 ) v - ty(0, 1 ) . Çünkü - y(0, 0 ) — [^( 0 , 0 ) — <&(0, 1 )] ve - y(0, 1 ) -+ [^( 0 , 1 ) — ty(0, 0 )] [^( 0 , 0 ) ^ y(0, 1 )] v [ty(0, 1 ) --+ ty(0, 0 )] sonucunu çıkarırız . Yukarıdaki argümandan şu sonuç çıkıyor: 3 f g 2 ¹[ V x g 1 [^(x, 0 ) v y(x, 1 )] ^ V x g 1ty(x, fx)]. Buna göre wac * Stone'un bir sonucudur . □

terim oluşturma operatörlerinin varlığında nasıl türetilebileceğini gösteriyoruz .

f - ve t - operatörleri, a(x) formülleri için , x değişkeninin artık serbest olmadığı 8 _xa ve T _xa terimlerini veren terim oluşturan operatörlerdir ; aksiyomlarla ( f ve t şemaları) birlikte tanıtılırlar :

3 xa(x) --+ a(c _xa) a(T _xa) --+ V xa(x).

T'nin yalnızca en fazla bir serbest değişkenli formüller üzerinde hareket etmesine izin verildiğinde, Un'u t - düzeninden türetmek kolay bir konudur . t'nin eylemi iki serbest değişkenli formüllere genişletildiğinde, 1ST'de uygulanan t şeması tam ikili Seçim Aksiyomu V X DAC _{X'i verir}. Çünkü bu koşullar altında herhangi bir y(x,y) formülü için elimizde ,

V x g X[<p(x, T y ty(x,y)) -+ V yy(x,y)]. ( ** )

t g Fun (X), x ~ T _yy (x,y) haritası olsun . V f g Y ^x3 x g Xy(x,fx) olduğunu varsayarsak , a g X'in y(a, ta)'yı sağlamasına izin verin . Biz

Sezgisel Küme Teorisinde Seçim İlkeleri 43 ( ** )' dan V y g Yty(a, y) sonucunu çıkarın, dolayısıyla 3 x g X V y g Yty(x,y). İkili Seçim Aksiyomu aşağıdadır.

E -operatör durumunda , operatörün üzerinde işlem yapmasına izin verilen formüllerdeki serbest değişkenlerin sayısı daha da hassas bir konudur. Eğer e'nin yalnızca en fazla bir serbest değişkene sahip formüller üzerinde işlem yapmasına izin verilirse (böylece yalnızca kapalı terimler elde edilir), 1ST'de uygulanan karşılık gelen e -düzenin hem Ex hem de ac *' yi ve dolayısıyla Lin'i sağladığı kolayca görülür . Ancak (özünde) (Bell 1993 b)' de gösterilmiştir ki, eğer sadece kapalı e terimleri kabul edilirse, SLEM türetilemez ve dolayısıyla WESP de olamaz . E'nin iki serbest değişkenli formüller üzerinde çalışmasına izin verildiğinde durum önemli ölçüde değişir . O zaman karşılık gelen e -düzenlemeden tüm X kümeleri ve özellikle AC q ₂ve dolayısıyla SLEM için AC _X'itüretmek kolaydır .

e -düzenini SLEM verimini sağlayacak şekilde güçlendirmenin veya değiştirmenin üç yolunu buldum . Orijinal olarak (Bell 1993 a ) 'da sunulan ilki , e -şema Ackermann'ın Genişleme İlkesi'ne eklemektir , yani,

V x[a(x) « 3(x)] ■ e _xa = e _x&.

Bunlardan WESP kolaylıkla türetilebilir ve dolayısıyla daha da önemlisi SLEM.

e aksiyomunu (klasik olarak eşdeğer) formda almaktır.

a(e _xa) v V x - a(x). (T)

SLEM'i sezgisel olarak şu şekilde türetebiliriz : Bir 3 cümlesi verildiğinde , a(x)'i formül olarak tanımlayın .

(x = 0 A 3) v (x = 1 A - 3).

O zaman (t)'den şunu elde ederiz:

[fe a = 0 A 3) v ([(e x a = 1 A - 3)] v
V x - [(x = 0 A 3) v (x = 1 A - 3)],

Hangi ima

[3 v - 3] v [ V x - (x = 0 A 3) AV x - (x = 1 A - 3)],

nereden

[p v- p] v [ - p A-- p],

bitirmek

Pv - p.

e'nin her biri tek bir serbest değişkene sahip formül çiftleri üzerinde işlem yapmasına izin vermektir . Burada, her a(x), p(x) formül çifti için "görelileştirilmiş" e -terim e _xa/p ve "görelileştirilmiş" e -aksiyomlarını tanıtıyoruz

( 1 ) 3 xp(x) — p(8 _xa/p)

( 2 ) 3 x[a(x) A p(x)] — a(S x a/P).

Yani, x a/p, herhangi bir şey varsa P'yi karşılayan ve ayrıca hem a'yı hem de p'yi karşılayan herhangi bir şey varsa a'yı _{da karşılayan}bir birey olarak düşünülebilir . Bu durumda olağan e -terim e _xa'nın exa/x = x olduğuna dikkat edin. Klasik e -hesapta e _xa/p şu şekilde tanımlanabilir:

e x a/p = E y [[y = e x (a A p) A 3 x(a A p)] v

[y = e x p a -3 x(a A p)]].

Ancak görelileştirilmiş e -şema, SLEM'i ima ettiği gösterilebildiği için sezgisel e -hesapta türetilemez . Bunu görmek için, tanımladığınız bir formül verildiğinde

a(x) = x = 1 p(x) = x = 0 v y.

e _xa/p için a yazın . O zaman kesinlikle 3 xp(x) 'imiz var , yani (1) p(a)'yı verir, yani

( 3 ) a = 0 v y.

Ayrıca 3 x(a A p) ~ y , yani (2) y — a(a)'yı verir, yani

Y — a = 1 ,

nereden

a = 1 — - Y,

böylece

a = 0 — - y.

Ve bunun (3) ile birleşimi iddia edildiği gibi y v - y'yi verir .

Bölüm

ÜÇ

İDDİA, KANIT VE SEÇİM BELİRTİSİ David DeVidi

, o yüksek lisans öğrencisiyken, ben de Carleton Üniversitesi'nde lisans birinci sınıftayken, aldığım ilk felsefe dersinde Öğretim Asistanıydı . O sıralarda onunla ilgili hatırladığım en önemli anım şuydu: Küçük bir grupla yapılan eğitim seansı sırasında , derslerden ödünç aldığım argümanları kullanarak (şüphesiz ağırlaştırıcı) şüpheci bir tavır takınıyordum . Özellikle sınıf arkadaşlarımı, benim (ve onların) masanın üzerinde duran belirli bir tebeşir parçasının varlığından gerçekten emin olamayacağımıza ikna etmeye çalışıyordum. Pling, tebeşir başımın üstünden sekti. "Bu, durumu biraz açıklığa kavuşturdu mu?" Graham sordu.

Birkaç yıl sonra, Western Ontario Üniversitesi'nde yüksek lisansıma başladığımda, Graham doktorasını yazmanın son aşamalarındaydı. O yıl onunla yaşadığım tek önemli karşılaşma, kendisi, David McCallum adında bir öğrenci arkadaşımın (o yıl McAnimal olarak biliniyordu) yer aldığı bir akşamdı ve benim Londra sokaklarında dolaşırken, Tario'da, orada burada durup birkaç tane fazla yemek tüketmemdi . favori yerel işletmelerimizden bazılarında serinletici içecekler . Bu benim için önemli bir geceydi çünkü

D. Devidi ve T. Kenyon (ed.), Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım, 45-76.

ikisi beni Pynchon ve Elias Cannetti'nin çok iyi olduğuna ikna etti ama benim gerçekten Don DeLillo, Philip Roth ve Joan Didion'u okumam gerekiyordu. Yıllar geçtikçe serinletici içecek tüketimi hepimiz için oldukça azaldı, ancak Graham'ın edebi tavsiyeleri benim için ikame bağımlılıkları seçerken güvenilir bir rehber olmaya devam etti. Adam her şeyi okudu ve harika bir zevki vardı.

Yollarımız birkaç yıl sonra, doktora tezimin son aşamalarına geldiğimde yeniden kesişti. Eşim orada iyi bir iş bulduğu için Waterloo, Ontario'ya taşındım. Mantık alanında bir tez yazıyordum, ancak başlangıçta Carnap'in Dilin Mantıksal Sözdizimi üzerine bir tez yazmayı amaçladığım için bu program ortasında bir plan değişikliğiydi . Graham, diplomasını tamamladıktan sonra Waterloo'daki Wilfrid Laurier Üniversitesi'nde işe başladı . Londra'ya geri döndüğünde arkadaşı ve eski amiri Bill Demopoulos ile Carnap hakkında konuşurken Bill, benim aynı şehirde olduğum ve aynı doğrultuda iş yaptığım için ikimizin bir araya gelip Sözdizimi hakkında konuşmamızı önerdi . Graham ve ben çok geçmeden birlikte çok iyi çalıştığımızı anladık ve sık sık iş birliği yapmaya başladık. Terk edilmiş Carnap projemin prototipi olan makaleyi yayınlanabilir bir şeye dönüştürerek başladık. Birlikte çalışmayı o kadar keyifli bulduk ki başka projeler üzerinde çalışmaya yöneldik. Bu süreçte çok iyi arkadaş olduk. Onun metanetli mizacı bizim iyi bir takım olmamıza yardımcı oldu; benim işim, kontrolden çıkma ihtimali yüksek olan kişi olmaktı. İster bir öğretmen, ister bir akıl hocası, bir arkadaş ya da sadece edebi konularda bir danışman olarak olsun, her zaman birlikte vakit geçirmenin güzel olduğu biriydi. O özlendi ve onunla tanışamayanlar neyi kaçırdıklarını bilemeyecekler.

1 Giriş

Bu yazıda yapmayı umduğum şey, görünüşte oldukça ayrı ama (umarım) bağımsız olarak ilginç olan iki gelişmeyi göstermektir.

Felsefedeki görüşler birbiriyle önemli ölçüde bağlantılıdır ve özellikle ikincisinin, birincisinin değerlendirilmesi açısından önemli çıkarımları vardır.

İlk konu şudur: Timothy Williamson'ın Knowl edge and its Limits (Williamson 2000) kitabındaki pek çok ilginç ve önemli yeni argüman arasında, Michael Dummett'in doğruluk-koşullu anlam teorilerine karşı etkili ve sıklıkla sunulan argümanını baltalamak için kullandığı bir argüman vardır. iddia edilebilirlik koşullu anlam teorilerinin lehine. Bu, Dummett'in, anti- gerçekçiliğin, tabiri caizse, belirli tartışma ana konuları için varsayılan konum olduğu ve gerçekçiliğin, gerçekçi doğruluk koşullarının nelerden oluşabileceğini açıklayarak kişinin "kazanılması" gereken bir şey olduğu yönündeki ünlü argümanının temel taşı olduğundan, Belirli bir alanda, eğer Williamson haklıysa, çağdaş metafizik tartışmalar açısından önemli sonuçlar doğuracaktır.

İkinci gelişme ise matematiğin temellerinde ortaya çıkıyor . 1990'ların başlarında matematiksel mantık literatüründe her biri kendisini en azından bazen "Sezgisel tip teorisi" olarak adlandıran iki farklı araştırma programı bulunabilir (örneğin, (Martin-Lof 1984), (Bell 1993 h) ) . Aynı isme sahip olmalarına rağmen bu programların felsefi başlangıç noktaları oldukça farklıdır. Bunlardan biri, adındaki “sezgisel”in sizi beklemeye yönlendireceği, tanınabilir yapılandırmacı hedeflerle başlar ve matematik için uygulanabilir yapılandırmacı temeller tasarlamaya yönelik açık bir girişime dönüşmüştür. Diğer yaklaşım ise cebirsel topoloji, küme teorisi ve kategori teorisinin gelişiminin arkasındaki diğer alanlar ve temel topos kavramının izolasyonu dahil olmak üzere matematiğin en az yapıcı alanlarından gelişir. Temel topozların mantığının , yani her toposta doğru olan ilkeleri içeren sistemin, sezgisel tipte bir teori olduğu ortaya çıktı . Ancak burada isimdeki "sezgisel", yapılandırmacı motivasyonları değil , mantığın, Arend Heyting tarafından geliştirilen ve "sezgisel mantık" adıyla anılan biçimsel mantığa tanınabilir bir şekilde benzer olduğu gerçeğini belirtir. çeşitlilik

(Yapılandırmacı olmayan) felsefi ve matematiksel uygulamalar . Benzer şekilde adlandırılan bu tür teorileri arasındaki en çarpıcı zıtlık, göreceğimiz gibi, her birinin Seçim Aksiyomu gibi seçim ilkelerine atadığı statüdedir.

Aşağıdaki gibi ilerliyoruz. İlk olarak, Dummett'in iddia teorik anlambilimine ilişkin argümanına karşı Williamson'ın iddiasının taslağını çizeceğim. Özellikle Williamson'ı bu tür anlambilimlerin "parlak" durumların varlığına bağlı olduğu sonucuna götüren varsayımları ortaya koymaya çalışacağım . İkinci olarak, sezgisel tip teorisinin iki versiyonunu kısaca tanıttıktan sonra, ilkinin, yani yapılandırmacılığın Tür Olarak Önermeler versiyonunun bazı önemli noktalarını tekrarlayacağım. Bu bizi Williamson'a karşı, iddia teorik anlambiliminin ışıklı durumların varlığına bağlı olmadığını veya en azından gerekli ışıklı durumların onun argümanının uygulanamayacağı türden olduğunu iddia edecek bir konuma getirecek ve buna açıkça izin veriyor. Ancak makalenin üçüncü bölümünde Tür Olarak Önermeler görüşünü, topos teorisinde ortaya çıkan sezgisel tip teorileri olan Yerel Küme Teorileri ile karşılaştıracağız. ¹Özellikle, iki tür teorideki seçim ilkeleri hakkında söylenmesi gerekenleri karşılaştırarak, teorik anlambilimin kesin bir iddiasını savunan birinin matematikte bile karşılaşabileceği bazı sınırlamalara işaret edebileceğiz. başarı için en iyi beklentilere sahip olduğu zemin olması gerekiyordu. Böylece, bunun matematik için bile yeterli bir anlam teorisi sağlayamayacak kadar kısıtlayıcı bir bakış açısı olduğunu varsaymak için genel olarak yapılandırmacı görüşe içsel alternatif nedenlere ulaşıyoruz.

2 Parlaklık

Williamson'ın Dummetti karşıtı argümanı, "parlaklık" olarak adlandırdığı şeye karşı genel bir argümanın uygulanmasıdır. O

' Bu tartışmanın çoğu, (DeVidi 2004)'te bulunabilecek çok daha detaylı araştırmadan alınacaktır.

"Felsefede, bizden hiçbir şeyin gizli olmadığı bir fenomenler alanını varsaymanın sürekli cazibesine" (Williamson 2000, s. 92) dikkat çekiyor ve argümanı, bu ayartmaya teslim olmanın her zaman bir hata olduğu yönünde. O, yalnızca geleneksel "verili" veya "şeffaf" durumları (örneğin acı çekmek veya öyleymiş gibi göstermek) değil, bazı filozofların bizim yanılmaz veya her şeyi bilen olduğumuzu varsaydığı durumları da kastetmektedir . Aksine, Williamson , örneğin kendimiz veya başkaları tarafından aldatılmışsak, içinde bulunduğumuz durum hakkında yanılmış olabileceğimiz veya örneğin biz de öyleysek, bu durumda olduğumuzun farkında olmadığımız daha karmaşık açıklamaları da dikkate almak istiyor. gerçeği yansıtmak için başka bir şeyle meşgul olmak. Bu nedenle O , eğer içindeyseniz (uygun bir "yapabilir" anlamında) onun içinde olduğunuzu bilebileceğiniz herhangi bir durumu "parlak" olarak kabul eder. Resmi tanımı olarak aşağıdakileri önermektedir: A koşulu C ancak ve ancak şu durumlarda aydınlıktır :

( * ) Her a durumu için , eğer C a'yı elde ediyorsa , o zaman a'da C'nin elde ettiğini bilecek konumdadır . (s. 95)

Geleneksel olarak kabul edildiği şekliyle acı çekmek ve benzer zihinsel durumlar bu tanımı karşılamaktadır, ancak bazı yazarlara göre diğer bazı durumlar da aynı şekildedir. Williamson, Dummett'in bir örnek verdiğini aktarıyor:

Bu, anlam kavramının yadsınamaz bir özelliğidir - bu kavram ne kadar karanlık olursa olsun, anlamın şeffaf olması , eğer birisi iki kelimenin her birine bir anlam yüklerse, bu iki anlamın aynı olup olmadığını bilmesi gerektiği anlamındadır. ((Dummett 1978, s. 131), alıntı: (Williamson 2000, s. 96))

yanılmaz ya da her şeyi bilen gibi bir şeyi kastetmiyor çünkü iki terimin aynı anlama gelip gelmediği sorusunun sıklıkla ya sözlü beceriksizlikle ya da boş bakış. Dummett muhtemelen yeterince dikkatli düşünüldüğünde birisinin iki terimin aynı anlama gelip gelmediğini anlayabileceğini kastediyor.

, ( * )' ı karşılayan C koşullarının önemsiz olmayan durumları olmadığı , yani ilginç ışık koşulları olmadığı yönündedir. Önemsiz olmakla Williamson , kişinin bazen içinde bulunduğu, bazen olmadığı, bazı durumlarda koşulun sağlandığı, diğerlerinde ise sağlanmadığı ve kişinin bu durumda olmaktan o duruma geçebileceği anlamında bir durumu ifade eder. durumda olmaktır. İddia, bu tür herhangi bir koşulun aydınlık olamayacağıdır, çünkü parlaklığın önemsiz olmamayla birleştiği varsayımı saçmalığa indirgenir. Ayrıntılar ilginç olsa da mevcut projeyle doğrudan alakalı olmadığından, argümanı sadece kısaca ele alacağız. (Biz Williamson'ın bu sonuçtan çıktığını iddia ettiği sonuçlarla ilgilendiğimiz için , onun argümanıyla değil.)

Mümkün olduğunu varsaydığımız gibi, bir failin C durumunda olmaktan bu durumda olmamaya doğru bir değişim geçirdiğini ve bu geçişin sonlu sayıda aşamaya bölündüğünü hayal edin. C ışıklı olduğundan , fail her aşamada C'nin elde ettiğini bilecek konumdadır . Her aşamada temsilcinin bunu bilmesi için gereken her şeyi yaptığını varsayalım.

Bir sonraki önemli öncül şu genel iddiadır:

( I ) Eğer i aşamasında C'nin elde edildiği biliniyorsa , o zaman i + 1 aşamasında C elde edilir.

bir şeyler bildiğini söylemenin ne anlama geldiğiyle ilgili nedenlerden dolayı savunuyor . Özellikle, kişinin inançlarının bilgi olarak sayılması için bu vakanın tanımının belirli özellikleriyle birlikte güvenilir bir şekilde temellendirilmesi gerektiği gerekliliğinden çıkarmaktadır . Yine bu ayrıntıların peşine düşmeyeceğiz.

I ) tanımı verildiğinde sorunlar ortaya çıkar. Çünkü etmen ilk aşamada C'nin elde ettiğini bilmek için gerekeni yaptığından , bunu yaptığını biliyor. ( I )'den, aracının C'de olduğu sonucu çıkar ve biz, aracının hala bunu bilmek için gereken her şeyi yaptığını varsayıyoruz. Ve benzeri. Buradan C'nin her aşamada elde edildiği sonucu çıkar ve varsayımla bir çelişki elde ederiz.

C'de olmaktan C'de olmaya bir geçiş durumudur .

2 .1 Anti-Gerçekçilik Karşıtı

Williamson vardığı sonucu, gerçekçilik karşıtı bir anlam teorisine ilişkin Dummetti'nin etkili iddiasını baltalamak için çıkarıyor. Dummett'in argümanı, bildirimsel bir cümlenin anlamının kendi doğruluk koşulları açısından açıklanacağı teorilerin gerçekçi anlamının kabul edilemez olduğunu göstermek için tasarlanmıştır . Bunların yerini, bir cümlenin anlamının , ifadenin ileri sürülmesinin garanti altına alınacağı koşullar açısından verilmesini gerektiren teoriler almalıdır . Williamson, Dummett'in (önemsiz olmayan) aydınlık koşullara başvuramaması durumunda, onun iddia-koşullu semantiğinin , Dummett'in ikincisi için ölümcül olduğu yönündeki suçlamaya yanıt verme konusunda doğruluk-koşullu anlambilimden daha iyi bir konumda olmadığını savunuyor. Eğer Williamson haklıysa, önceki argüman önemsiz olmayan parlak koşulların olmadığını gösterdiğinden, iddia koşullu anlam teorileri, doğruluk koşullu olanlardan daha iyi durumda değildir. Üstelik, X'in parlak bir duruma başvurmadığı herhangi bir X -koşullu anlambilim, Dummett'in doğruluk-koşullu anlambilime karşı argümanının kurbanı olacaktır . Yani, muhtemelen sorun, Dummett'in doğruluk koşullu semantiğin karşılayamadığı gereksinimdedir (çünkü başka hiçbir anlam teorisi de bunu karşılayamaz) ve bunu karşılayamayan çeşitli anlam teorilerinde değil.

Doğruluk koşullu anlam teorilerinin gerçekçi versiyonlarına karşı Dummetti'nin şikâyeti nedir? Bir dilin bir kısmına ilişkin anlam teorisinin , dilin o kısmını yetkin bir şekilde konuşan kişi tarafından ne anlaşıldığını açıklaması gerektiği önerisinden yola çıkar . Ve anlamak, manayı bilmeyi gerektirir. Eğer anlamlar doğruluk koşullarıysa, o zaman örneğin bir cümleyi anlayan kişinin onun doğruluk koşullarını bilmesi gerekir. Bu gerçekçi doğruluk koşullarını oluşturan şey, bu doğruluk koşullarının herhangi bir şeyin ötesine geçebilmesine izin verilmesidir.

olası deliller - cümlelerin doğruluk değerleri, bizim aklımızdan oldukça farklı, akıldan bağımsız bir gerçeklik tarafından sabitlenir . Bu durum, bu türden bazı iddiaların geçerli olup olmadığını belirlemenin prensipte dahi imkansız olması ihtimalini açık bırakıyor. Realist için sorun, bir cümlenin bu tür bir doğruluk koşuluna sahip olduğuna dair konuşmacının bilgisinin nelerden oluşabileceğini açıklamaktır. İki durumu birbirinden ayıracak olası bir kanıt olmadığında, bir cümlenin alternatif doğruluk koşulu yerine belirli bir doğruluk koşuluna sahip olduğunu bilmek özellikle ne anlama gelir ? Eğer herhangi bir şey bu tür bir bilgiyi oluşturabiliyorsa , bunun bir dil topluluğunda dilin ilgili parçalarının kullanımıyla belirlenen herhangi bir şey olması pek olası görünmüyor ; anlam ve kullanım arasındaki bağları koparmak , Dummett'a göre, önerilen bir bilgi teorisi oluşturmak için yeterlidir. anlamı kesinlikle solukluğun ötesinde.

Doğruluk koşullarının iddia edilebilirlik koşullarıyla değiştirilmesinin bu sorunu önlemesi beklenir. Yani, bu bakımdan, bildirim niteliğindeki bir cümlenin anlamı, iddiasının garanti altına alınacağı koşullar tarafından belirlenir. Bu nedenle cümleyi anlamak, iddiasının garanti altına alınacağı koşulları bilmeyi gerektirir . Buradaki iddia, doğruluk koşullarının bilgisinin nelerden oluştuğunu açıklayamayan realistten farklı olarak, iddia edilebilirlik koşullarının bilgisinin nelerden oluştuğunu - kabaca, yalnızca ve sadece iddianın garanti edildiği zaman cümleyi öne sürme eğiliminde - açıklamanın mümkün olduğudur. , diğer şeyler eşittir.

, ancak iddia edilebilirlik koşullarının parlak olması durumunda gerçekçi anlambilimden daha iyi durumda olduğunu söyleyerek itiraz ediyor . Fakat eğer Williamson haklıysa, parlaklığa karşı olan argüman iddia edilebilirlik koşullarına kadar uzanır; dolayısıyla iddia edilebilirlik teorisyeni, Dummett'in meydan okumasını karşılama konusunda realistten daha iyi bir konumda değildir. Sonuç olarak kabul edilemez olan şey Dummett'in gerekliliğidir; yani eğer sistematik anlam teorileri olacaksa, bunlar bir cümleyi anlamanın onun anlamını bilmeyi gerektirdiği koşulunu karşılamayan teoriler olacaktır; en azından bilerek yapılıyorsa . anlam

anlamın elde edilmesini belirleyen koşulların ne zaman olduğunu fark edebilmeyi içerir . Eğer Williamson haklıysa, bu durum, belki bazı nedensel teorisyenlerin memnuniyetle yapabileceği gibi, "anlam kullanımla belirlenir" mantrasını reddeden ya da en azından bunu Dummett'tan çok farklı yorumlayan semantik teorilere yer açar . ²

3 Tip Teorisinin İki Çeşitleri

Şimdi ikinci ilgi konusu olan sezgisel tip teorisinin iki versiyonunu ele almak için vites değiştiriyoruz. Başlamak için yararlı bir yer, WW Tait'in 1994 tarihli makalesi "Hariç Kalan Orta ve Seçim Aksiyomu"nda (Tait 1994) yapıcı matematiğin bazı temel kavramlarına ilişkin araştırıcı ve aydınlatıcı araştırmasında meydana gelen ilginç bir şeydir . Tait, Seçim Aksiyomunun "aslında bir mantık yasası" olduğunu, en azından matematiğin temelleri için doğru kabul ettiği inşa kuramı bakış açısından, savunuyor . Seçim Aksiyomu'na ilişkin bu görüş göz önüne alındığında, onun bu ilkenin statüsüne ilişkin 20. yüzyıldaki kapsamlı tartışmayı büyük ölçüde yanlış yönlendirilmiş olarak görmesi şaşırtıcı değildir. Çoğunlukla Seçim Aksiyomuna atfedilen çeşitli felsefi tuhaflıkların arkasında yatan şeyin aslında dışlanmış orta (LEM) yasası olduğunu ve bu nedenle reddedilmesi gereken şeyin Dışlanmış Orta' olduğunu ileri sürer . Tait, kendi inşa teorisi görüşünü yansıtması beklenen bir tip teorisinin taslağını sunuyor; bu teoride Seçim Aksiyomunun geçerli olduğunu, ancak LEM'in buna ihtiyacı olmadığını iddia ediyor.

Klasik kafalı bir mantıkçı için LEM bir mantık ilkesidir, Seçim Aksiyomu herkesin bildiği gibi tartışmalıdır, bu yüzden bazı klasik kafalı mantıkçılar şüphesiz şaşıracaktır.

²Williamson en azından bazı yerlerde ikinci yolu izliyor. Mesela muğlak yüklemlerin prensipte tespit edemeyeceğimiz kesin sınırları olduğu iddiasına ilişkin bazı savunmalarında anlamın kullanımla belirlendiği görüşünü savunurken bir yandan da "Anlam kullanımla ortaya çıkabilir" gibi şeyler söylüyor. tartışmasız kaotik bir yol.” (Williamson 1997, s. 175).

Tait'in ilkelerin statüsünü tersine çevirmesiyle, muhtemelen Tait'in amaçladığı da buydu. Ancak Tait'in iddiası, bazen "yerel küme teorileri" olarak da adlandırılan bir tür tip teorilerle çalışan bir grup mantıkçı tarafından muhtemelen şaşıracaktı. Yerel küme teorileri topozların iç dilleridir ve topos teorisindeki en ilginç sonuçlardan biri Diaconescu'nun teoremidir ve sıklıkla şu şekilde ifade edilir: Seçim Aksiyomu, Dışlanan Orta Yasayı ima eder.

Tait'in makalesi 1990'ların başında meydana gelmiş gibi görünen ilginç bir şeyi gösteriyor. Hareket halindeyken iki ayrı araştırma programı varmış gibi görünüyor; her ikisi de bazen "sezgisel teori türü" adı altında seyahat ediyor (örneğin, (Martin-Lof 1984) ve (Bell 1993 b ) başlıklarını karşılaştırın ) Seçim Aksiyomu geçerli bir mantıksal ilkedir, diğerinde ortanın hariç tutulması yasasını ve dolayısıyla tüm klasik mantığı ima eder (ve dolayısıyla, eğer gerçekten inluilionislik tipte bir teori ise, genel olarak geçerli olamaz). Dahası, Tait'in itibarına sahip birinin " Dışlanmış Ortanın Yasası ve Seçim Aksiyomu" adlı bir makaleyi çok fazla düşünmeden yazması gerçeğinin de gösterdiği gibi, her grup diğerinin çalışmasından sadece belirsiz bir şekilde haberdarmış gibi görünüyor. Diaconescu'nun sonucundan bahsediyor.

, Martin-Lof tipi teori diyebileceğimiz veya burada söyleyeceğimiz gibi Tipler Olarak Önermeler Teorisi (genellikle PAT olarak kısaltacağımız bir şey ) diyebileceğimiz şeyin bir örneğidir. ³

³'Martin-Lof tipi teorisi' gevşek bir şekilde tanımlanmış bir kavramdır, özellikle de Martin-Lof'un birden fazla tip teorisi öne sürmesi nedeniyle. Dahası , bu tür bir tür teorisi devam eden bir araştırma programının bir parçasıdır ve dolayısıyla onu çeşitli amaçlara uygun hale getirmek için değişikliklere tabidir; çoğu, onu bilgisayar bilimlerinde bir programlama dili olarak daha uygun hale getirmekle ilgilidir. (Thompson 1991), özellikle bkz. Ch. 7 ve 9 ve (Bridges & Reeves 1999). Bu tür tip teorisinin tanımlayıcı bir özelliği, bazen Curry-Howard İzomorfizmi olarak da adlandırılan "Tür Olarak Önermeler" görüşüne bağlılığıdır . Bakınız (Howard 1980). İlkelerin, yaratıcısı tarafından anlaşıldığı şekliyle okunması kolay bir girişi (Martin-Lof 1984)'te verilmiştir. Biraz amorf bir sınıfı genel bir şekilde ele almaya çalışmaktan ziyade, genellikle Tait'in (ara sıra referanslarla) çizdiği spesifik sistemle ilgileneceğim.

PAT teorilerini mevcut kaygılarla ilgili kılan şey, Tür Olarak Önermeler görüşünün, çeşitli kisveleriyle, karşıtlığı karakterize eden yapılandırmacı anlambilimin merkezinde yer alan fikirlerin sonuçlarını çözmeye yönelik sistematik ve sürekli girişimler için en son teknolojiyi temsil etmesidir. Dummett ve Williamson'a göre gerçekçi anlam teorileri. Çünkü ana fikir, bir matematiksel önermenin "kanıtlarının türü" ile özdeşleştirilmesi gerektiğidir. - Uygun türde bir nesne varsa, yani ancak ve ancak bunun için bir kanıt varsa, bu tam olarak doğrudur. önerme.—Yani doğruluk, kanıtlanabilirliğe eşdeğerdir . Ancak bu bir koşullandırma meselesi ya da doğru bir matematiksel önerme olarak saymaya istekli olacağımız şeyi sınırlandırma kararı değildir. Daha ziyade, matematiksel iddiaların anlamlarının neleri içerebileceğine dair bir analizden yola çıkılması beklenir. Martin-Lof, matematiksel önermeleri matematiksel yargılardan ayırma konusunda özellikle kararlıdır . Önermeler türlerdir, yani üzerinde daha ileri matematiksel işlemlerin gerçekleştirilebileceği (kurulabilir) sözdizimsel nesnelerdir. Öte yandan yargılamalar, düşünen öznelerin eylemleridir ve anlama ve anlamını kavramaya ilişkin zihinsel kavramları içerir . Özellikle, eğer A bir önermeyse, " A bir önermedir" ve " A bir doğru önermedir " ifadelerinin her ikisi de yargıdır. İlk yargı yalnızca A'nın ( kanonik) kanıtı olarak neyin sayılacağı bilindiğinde garanti edilirken , ikincisi yalnızca böyle bir kanıtın nasıl bulunacağı bilindiğinde garanti edilir. Dolayısıyla, Tait'in belirttiği gibi, “gerçeği kanıtlanabilirlikle özdeşleştirmenin gücü, basitçe A'yı iddia etmek için tek gerekçenin A'nın kanıtı olmasıdır ” (Tait 1994, s. 52).

Bu nedenle Türler Olarak Önermeler görüşlerinin bazı temellerini kısaca özetleyeceğiz. Daha sonra nasıl bir şey olduğunu ele alacağız

sınıfın yararlı, felsefi açıdan motive edilmiş bir örneği olarak hizmet edeceğini varsayarak . Tait'in uzun süredir bu alanda önde gelen araştırmacılardan biri olması nedeniyle, Tait'in Martin-Lof'tan ilham aldığını veya görüşlerinin bir şekilde Martin-Lof'tan türetildiğini öne sürmek istemediğimi unutmayın. 'Martin-Lof tipi teori' adı literatürde belli bir geçerlilik kazanmış gibi görünüyor. Örneğin popüler dergilerdeki tarihsel tartışmalara bakın (Lambek & Scott 1986).

bu temelde Seçim Aksiyomunun geçerli bir mantıksal ilke olduğunu savunur . Çünkü aslında niceleyicilerin, özellikle de varoluşsal niceleyicinin yapılandırmacı yorumuyla ilgili olan her türlü seçim ilkesini kabul etmek için iyi yapıcı nedenlerin olduğu oldukça yaygın olarak ileri sürülmektedir . Bu argümanlardan bazıları diğerlerinden daha iyidir. Ancak daha sonra PAT teorilerini, "Seçim Aksiyomunun" dramatik biçimde yapıcı olmayan sonuçlara sahip olduğu Yerel Küme Teorileri ile karşılaştırmaya döndüğümüzde, böyle bir argümanı masaya koymak zaman harcamamıza değecektir.

3.1 Tür Olarak Önermeler

Bu konular hakkında mantıklı bir şekilde konuşabilmemiz için önce bazı notasyonlara giriş yapmamız gerekecek. Resmi olmaya devam edecek olsak da, gerekli oldukça bunu parçalar halinde tanıtacağız . Çoğunlukla Tait'in terminolojisini takip edeceğiz, ancak onun notasyonunu biraz değiştireceğiz.

A tipinin kendi değişken stokuna sahip olduğunu varsayacağız : x _A,y _A,z _A. ..,böylece, örneğin, V x _A ' A türündeki tüm x nesneleri için' anlamına gelir . Bununla birlikte, bağlam bir değişkenin türünün ne olduğunu açıkça belirttiğinde kolaylık olması açısından alt simgeleri atlayacağız.

Tür Olarak Önermeler görünümünde , adından da anlaşılacağı gibi, önermeler türlerle tanımlanır . Yapılandırmacı bir görüşten beklenebileceği gibi, bir önermeyi ileri sürmeye yönelik bir gerekçe , önermenin bir kanıtı olmalıdır ; o da o türden bir nesneyle özdeşleştirilmelidir ; yani, tıpkı tür ve önermenin olabileceği gibi. Aynı şeye bakmanın iki yolu olarak düşünüldüğünde , tipin nesneleri ve önermenin ispatları tek bir nesneye (yani yapıya) bakmanın iki yoludur.

Bu da önermeler üzerindeki mantıksal işlemler ile türler üzerindeki matematiksel işlemler arasında bir yazışmaya yol açar. Örneğin, A A B'nin c kanıtları ile a'nın A'nın bir kanıtı ve b'nin B'nin bir kanıtı olduğu {a, b) çiftleri arasındaki açık yazışma , önermeyi tanımlayabildiğimizi gösterir.

A ve B türlerinin AxB çarpımı ile A A B. _ _ Benzer şekilde, v'nin yapıcı anlayışı göz önüne alındığında , A v B'nin bir kanıtı, ya birinci ya da ikinci ayrıklığı kanıtladığı ve her iki ayrıklığın kanıtının bir sonuç verdiği bilgisiyle birlikte ya A'nın bir kanıtıdır ya da B'nin bir kanıtıdır . ayrılığın kanıtı. Bu nedenle A v B'yi ayrık birleşim (yani ortak ürün) A + B ile tanımlayabiliriz .

A — B'nin kanıtı , yapıcı bir bakış açısıyla, A'nın kanıtı verildiğinde B'nin kanıtını veren bir yöntemdir . Yani şimdiki bakış açısından A — B'nin bir f kanıtı A'dan B'ye bir fonksiyondur . Dolayısıyla bu koşullu önerme, A'dan B'ye kadar olan fonksiyonların A ^ B (ayrıca B ^Aolarak da yazılır ) türüyle tanımlanır . Elbette kanıtlanamayan saçma bir önermenin varlığını varsayıyoruz . Bu nedenle ±'yi boş tip 0 ile tanımlıyoruz . Daha sonra, sezgisel mantığın geleneksel tarzıyla ' A'yı A- ± ile ve dolayısıyla A ^0 tipiyle tanımlarız .

Son olarak niceleyicileri ele alıyoruz. V'nin yapılandırmacı anlayışı - anlayışına paraleldir (oysa klasik mantıkçının a'ya bir paralel tanımlaması daha olasıdır ). V x _A<fi x) 'in bir kanıtını sağlamak , verilen herhangi bir x _{A için
$}(x)' in kanıtını sağlayabilecek bir yöntem vermektir . Tür Olarak Önermeler sistemlerinde bu, böyle bir kanıtın , her x _{A için}f(x) $ (x) türünde olacak şekilde A etki alanına sahip bir f fonksiyonu olduğu anlamına gelir . Yani V x _A<sabit x) tüm bu fonksiyonları içeren türdür ve n _x_{A çarpımı da
(izomorfiktir)} $ (x) . Varoluşsal niceleyiciye gelince, 3 x _A$ (x)' in bir kanıtı iki parçadan oluşur: A tipi bir c nesnesi ve <b(c)'nin bir kanıtı, yani $ (c) tipinde bir nesne . çifti 3 x _A$ (x) 'in kanıtını verir . Dolayısıyla 3 x _A$ (c), bu tür tüm çiftlerin türüdür ve bu, eş-çarpım (yani ayrık birleşim) X x _{A'dır (izomorfiktir).} $ (x) .

Artık Türler Olarak Önermeler düzenlemesinde Seçim Aksiyomu adı verilen ilkeyi formüle edebiliriz:

V x a 3 y B $ (x,y) - 3 f A ^ B V x A $ (x,f(x)). (AC)

AC kanıtlanabilir. Bunu görmek için öncelikle işlemin

verilen iki a ve b bireyini alıp sıralı {a,b} çiftini oluşturma ve belirli bir sıralı çiftin (a,b) a ve b bileşenlerini "dışarı yansıtma" işlemi açıkça yapıcı olarak kabul edilebilir ve yani sistemde mevcut olduğu varsayılmaktadır. (Bu, A ve B tipleri verildiğinde, A x B çarpım tipinin bulunduğunu varsaymak anlamına gelir; bu, mevcut düzenekte gördüğümüz gibi, önermelerin bağlaçlarını oluşturma ve basitleştirme işlemlerine sahip olduğumuzu varsayma anlamına gelir.) n yazacağız . Projeksiyon işlemleri için 1 ve n _{2 .}

Yani, eğer u, V x _A3 y _B^ (x,y)' nin bir kanıtıysa , o zaman her x _Aiçin , u(x) 3 y _B$ (x,y) türündedir , dolayısıyla u(x) şu şekildedir : b _Bve c ile bir (b,c) çifti $ (x,b)' nin kanıtıdır . Yani n 1 (u(x)) B tipindedir ve n ₂(u(x)) tipindedir (yani, $ (x, n 1 (u(x))) tipindedir (yani kanıtıdır ). Yani bir fonksiyonumuz var

x ~ n 1 (u(x))

A ^ B tipine s(u) adını verin . Ayrıca, fonksiyon

x ~ n ₂(u(x))

V x _A$ (x,n 1 (u(x)))' in bir kanıtıdır . Bu fonksiyona t(u) adını verin. Daha sonra fonksiyon

u ~ (s(u), t(u)}

(AC)'nin bir kanıtıdır.

4 PAT ile İlgili Sorunlar: Parlaklık?

Gördüğümüz gibi, özellikle Martin-Lof, yargılar ve önermeler arasında onu doğrudan Williamson'ın görüş alanına sokan bir ayrım yapıyor. Çünkü o, tüm yargılara , anlamlarının tam bir açıklamasının eşlik etmesini talep etme konusunda oldukça açıktır ve " A bir önermedir" yargısının, yalnızca A'nın kanonik bir kanıtının ne olacağının bilinmesi durumunda doğrulanmasını talep eder. Eğer Williamson'ın sık sık söylediği gibi, yargı yalnızca içsel bir karşılıksa

İddia konusunda, burada esasen bir iddia teorik anlam teorisine sahibiz. Martin-Lof'u parlaklığa bağlıyor mu? Eğer herhangi bir parlaklık söz konusuysa, bunun Williamson'ın izin verdiği türden, yani önemsiz bir parlaklık olduğunu ileri süreceğim.

Bana öyle geliyor ki meselenin özü, Williamson'ın tercih ettiği iddia edilebilirlik açıklaması hakkındaki bu açıklamada doğal olarak yakalanıyor; bu, kişinin p'yi ancak ve ancak p'yi bildiği takdirde iddia etme yetkisine sahip olduğu yönündedir :

p'yi iddia etme yetkisine sahip olup olmadığımızı bilecek konumda olmadığımızı ima eder [çünkü p'yi bildiğimizi her zaman bilemeyiz ]. Her konuda olduğu gibi, emir konusunda da hata ve bilgisizlikten mesulüz . Bu garantili iddia edilebilirlik görüşü, cümlelerin iddia edilebilirlik koşulları kavramının çok önemli olduğu anti-realist anlam teorilerindeki yaklaşımıyla keskin bir tezat oluşturuyor. Bu tür teoriler karakteristik olarak kişinin p'yi iddia etme yetkisine sahip olup olmadığını bilmede hiçbir zorluk yaşamadığını varsayar . Bilgi açıklamasından bağımsız olarak, anti-realist teorilerin öne sürdüğü türden bir normun olabileceğinden şüphe etmek için nedenler var. (Williamson 2000, s. 258)

Bağımsız sebep elbette parlaklık karşıtı argümandır. Ve meselenin özü , Williamson'ın görüşünde olduğu iddia edilen ancak anti-realistler için geçerli olmayan, garantiyle ilgili hata ve bilgisizlik sorumluluğudur .

Bilgi hesabı için emirle ilgili hata ve bilgisizliğe izin verme payı nereden geliyor?

.. .İlk yaklaşım olarak, matematikte kişinin p'yi iddia etme yetkisi ancak ve ancak p'nin bir kanıtı varsa vardır . Bilgi açısından bakıldığında, ilk yaklaşıma göre, matematikte kişi p'yi ancak ve ancak p'nin bir kanıtı varsa bilir . .Bunlar yalnızca ilk yaklaşımlardır, ancak nerede

p'yi iddia etme yetkisine sahip olmak, p'nin bir kanıtına sahip olmaktan farklıdır , aynı şekilde p'yi bilmek de öyle . Tersine, p'yi bilmenin p'nin bir kanıtına sahip olmaktan farklı olduğu durumlarda , p'yi öne sürmek için bir gerekçeye sahip olmak da aynı şekilde farklılık gösterir . P'yi iddia etme yetkisine sahip olmak ile p'yi bilmek birbirinden farklı değildir; bilgi hesabı onaylandı. (s.263)

bilgi hesabının tercih edileceğini iddia etme yetkisine sahip olmadan bir kanıta sahip olabileceğimiz olası koşullar olduğu içindir . Williamson, bu durumlarda, matematiksel bilgiye sahip olmadan da bir kanıta sahip olduğumuzu , ancak p'yi iddia etme yetkisine sahip olmadan p bilgisine sahip olduğumuz hiçbir olası durum olmadığını ileri sürer .

P'yi iddia etme yetkisine veya p bilgisine sahip olmadan nasıl p'nin kanıtını elde edebiliriz ? Williamson, bunun nasıl böyle olabileceğini görmenin anahtarının, p için bir gerekçenin feshedilebilirliği ile p'nin bir kanıtı olmaktan çıkması arasındaki ayrımı kabul etmektir : yeni bilgi, kişinin bir iddiayı değiştirmeden bir iddiada bulunma yetkisini ortadan kaldırabilir . p'nin kanıtını kanıt olmayana dönüştürün. “Bir kimse, bir matematiksel önermenin kanıtını yakalayarak onu ileri sürme yetkisine sahip olabilir ve daha sonra, hiçbir şeyi unutmadan, yalnızca uzman matematikçilerin ifadeleri hakkında yeni deliller elde etmek sayesinde o önermeyi ileri sürme yetkisine sahip olmaktan çıkabilir” (s. 265). Yani, eğer kişi kendisinden daha iyi birçok matematikçinin, p'nin iddia edilen bir kanıtının (belki de çok uzun ve karmaşık olan ) doğru olup olmadığı konusunda şüphelerini dile getirdiğini duyarsa, o zaman bu, birinin p'yi iddia etme yetkisini ortadan kaldırması için yeterli olabilir. Kanıt doğru olsa ve kişi onu anlasa bile kişinin p olduğu bilgisini ortadan kaldırmak.

Ancak belirsiz olan şey, Williamson'ın Martin-Lof ya da Tait gibi birinin bu fenomeni açıklayamayacağını düşünmek için gerekçe sağlayıp sağlamadığıdır. Tait, iddia edilebilirlik ve garanti arasındaki ilişki hakkında şunları söylüyor : “ A'yı iddia etmenin tek garantisi, A'nın kanıtıdır .” Bu ifade onu, A'nın iddiasının ancak ve ancak A'nın bir kanıtı varsa garanti altına alınacağı iddiasına açıkça bağlamaz , dolayısıyla şu açık değildir:

Williamson'ın tanımladığı türden bir vakanın onun için bir sorun olması gerekiyor, bunu onun dikkate aldığı görüşün doğru bir ifadesi olarak kabul etsek bile. Ancak daha da önemlisi, iddia edilebilirlik ile bir kanıta sahip olmanın eşdeğerliği muhtemelen Williamson için olduğu kadar bir yapılandırmacı için de bir "ilk yaklaşım" olacaktır. Martin-Lof'un " A doğru bir önermedir" şeklinde yargılamanın ne zaman garanti edildiğine ilişkin standardı, bir yapılandırmacı için iddia edilebilirlik koşulları görüşünün daha doğru bir ifadesi gibi görünmektedir: A'nın kanonik bir kanıtını nasıl bulacağını bildiğinde bunu yapabilir. . Bunun , kanonik olmayan bir kanıta sahip olmanın, kanonik olmayan bir kanıtın kabaca, kanonik bir kanıtın var olduğunu gösteren bir kanıt anlamına geldiği durumda, iddianın temeli olarak sayılmasına izin verdiği iyi bilinmektedir . Ama aynı zamanda "kanıtın nasıl bulunacağını bilme" konusunda da çeşitlilik sağlar: Bir lisans öğrencisi bir ders kitabında belirtilen ve kanıtlanan bir teoremi görür ve bir arkadaşına şöyle der: "Vay canına, Bob, sonsuz sayıda asal sayı var . Bunu biliyor muydun?" Teoremi okuyup ispatı okumamış olmasına rağmen, kesinlikle onun iddiası haklıydı. Ve eğer bilgi, Williamson'ın da kabul ettiği gibi, inancı ima ediyorsa, eğer diğer matematikçilerin ifadeleri artık inanmamanıza neden olacak kadar yeterliyse , kanıt doğrudan önünüzde dursa bile, kişi A'nın kanıtını nasıl bulacağını pekala bilemeyebilir. A'nın uygun bir kanıtıdır .

O halde kısacası, " A'nın kanonik kanıtını nasıl bulacağını bilir " iddia edilebilirlik standardı, Williamson'ın öne sürdüğü iddia edilebilirliğin bilgi açıklamasına çok daha yakındır. Gerçekte, matematiksel bilgiyi "kanonik bir kanıtın nasıl bulunacağını bilmek" ile eşitleme yönündeki bariz hareket , ki bu bir yapılandırmacının savunmaktan mutluluk duyacağı bir görüşün ilk yaklaşımı olabilir, bunu Williamson'ın görüşünün bir versiyonu haline getirir; Muhtemelen onaylamayacağı matematik bilgisi hakkında bir hikaye ile. Dahası, "tıpkı diğer her şeyde olduğu gibi, emir konusunda da hataya ve bilgisizliğe eğilimli olmamıza" olanak tanıyor. Çünkü delil önümüzde dursa bile, şartlar aleyhimize komplo kurarsa, delili nasıl bulacağımızı bilip bilmediğimiz konusunda yanılabiliriz. Burada yapılandırmacının aydınlığa kendini adamış olmasının açık bir nedeni yok.

Ama belki de parlaklığa olan bağlılığın nerede saklandığını bulmak için biraz daha çalıları dövmek gerekiyor. Tür Olarak Önermeler literatürü ince ayrımlarla doludur; bunlardan biri temel ve temel olmayan kümeler arasındadır. Temel bir küme, (Bridges & Reeves 1999) ifadesiyle "bir öğenin kendisine ait olduğunu göstermek için hiçbir hesaplamanın gerekli olmadığı bir kümedir", yani örneğin "0'ın bir doğal sayı olduğunu" kanıtlamaya gerek yoktur. iddia edilmeden önce, ^{4
temel olmayan kümeler için ise}x g A ancak ispatlandıktan sonra iddia edilebilir . Bu, en azından bu temel kümelerle ilgili atomik ifadelerin bir sınıfı için, parlaklık taahhüdünü ele veriyor mu?

Burada iki şeyin söylenmesi gerektiğini düşünüyorum. Birincisi, bir kanıta ihtiyaç duyulmamasının, kişinin iddiada bulunma yetkisine sahip olup olmadığı konusunda yanılmanın imkansız olduğu anlamına geldiği açık değildir . Örneğin, bir kişi yanlışlıkla doğal sayıların bir temel küme olduğunu anlayamayabilir ve bu nedenle, bunu iddia etmeden önce "17'nin bir doğal sayı olduğunu" kanıtlaması gerektiğini, ancak böyle bir kanıtın neye benzeyeceği hakkında hiçbir fikrinin olmadığını varsayalım. . İkinci olarak, bu temel kümeler için “doğal sayı” ve “17” kelimelerinin anlamlarını gerçekten kavrayan herkes, bu temel kümeler için “doğal sayı” ve “17” kelimelerinin anlamlarını gerçekten kavrayan bir kişi, yani şunu anlayacak konumdadır: gibi bir şey söylemek istesek bile, "17 bir doğal sayıdır" ifadesinin doğru olmasına dikkat ediyor ve bu iddialar için bir çeşit parlaklık savunuyor, bu Williamson'ın izin verdiği bir tür parlaklık.

Her durumda elde edilen bir koşul, gerekli koşul da parlak mıdır? Eğer vakalar öznenin totolojiyi formüle edecek kavramlara sahip olduğu vakalarla sınırlıysa, basit bir totolojik görünümde sunulduğu şekliyle aydınlıktır. A posteriori bir zorunluluk ya da kanıtlanmamış bir matematiksel gerçek kisvesi altında sunulduğunda ya da uygun kavramların bulunmadığı bazı durumlar içeriyorsa, parlak değildir . (s. 108)

⁴Bu iddianın nitelendirilmesi gerekiyor: eğer unsurlar kanonik biçimde sunuluyorsa böyle bir gösterinin yapılmasına gerek yoktur. Bundan sonraki bariz nitelikleri bir kenara bırakıyoruz .

Williamson bu tavizin zararsız olduğu ve gerçekçilik karşıtlarına "bilişsel bir yuva" sağlayamayacağı konusunda ısrar ediyor. Ancak yukarıda söylediklerimiz doğruysa, en azından yapılandırmacı matematikte anti-realistin böyle bir yuvaya ihtiyacı yoktur. Ve kendilerini adadıkları sınırlı parlaklık türleri, çoğu insanın hikayesinde matematik uygulamalarında bol miktarda bulunan koşullu iddialardır.

5 Sorun: Seçim Yapıcı mı?

, genellikle Seçim Aksiyomu olarak adlandırılan bir ilkenin doğal olarak kabulüne nasıl yol açtığını gördük . Tait aslında yukarıda verdiğimiz kanıtın aynısını sunuyor. Bunu yaparken, bunu vererek "Lebesgue'nin bu prensibi kabul etmesi gerektiğine dair daha önce verilen argümanı daha da güçlendirdiğini " söylüyor (s. 59). 49. sayfada yer alan bu argüman şu şekildedir:

İlk olarak, eğer [ 3 y B Y (y)]' nin bir kanıtı bir b tanığını (yani Y (b)) ve Y (b)' nin bir kanıtını tanımlamayı gerektiriyorsa , o zaman AC'nin öncülünün bir kanıtı:

[ V x A 3 y B $ (x,y)] (1)

A tipindeki her x için karşılık gelen y tanığının bir tanımını ve $ (x,y) kanıtı vermelidir .

x için , [ 3 y B $ (x,y)]' nin bir kanıtını vermelidir . Ama o zaman f(x), bu kanıtın tanımladığı y tanığı olsun . O zaman x'in bir fonksiyonu olarak [ $ (x,f(x))]' in bir ispatına sahibiz . Böylece (1)'in herhangi bir kanıtını B ^atüründe bir f fonksiyonunun tanımına ve her x için [ $ (x, f(x))]' in bir kanıtına dönüştürmenin bir aracına sahibiz . Başka bir deyişle, (1)'in herhangi bir kanıtını f'nin tanımına ve [ V x _A$ (x, f(x))]'in kanıtına dönüştürmenin bir aracına sahibiz . Önceki olayın keyfi bir kanıtını dönüştürmenin bir yolunu tanımladık.

AC'nin sonucunun bir kanıtı olarak:

3 f A ^ _B' VX A ^ (x,f(x') ' )].

Ancak AC kanıtı için daha ne gerekli olmalıdır?

Bana öyle geliyor ki, eğer bu, yapılandırmacıların Seçim Aksiyomunu kabul etmesi gerektiği görüşünün bir argümanı olarak alınırsa, bu akıl yürütmede ince bir hata vardır. ⁵Bu, Tür Olarak Önermeler bakış açısına göre AC'nin geçerli olduğuna dair biçimsel kanıtta yanlış bir şey olduğunu iddia etmek değildir; daha ziyade Tür Olarak Önermeler akıl yürütmesinin, İngilizce'de yürütülen benzer akıl yürütmeyi tam olarak yansıtmadığını iddia etmektir . ⁶

Evrensel niceleyicinin herhangi bir yapılandırmacı anlayışına göre , AC'nin öncülünün bir kanıtına sahipsek sahip olmamız gereken yöntem, aslında her x _{A için}, bir y _{B ve}$ (x) kanıtından oluşan bir çift vermelidir. , y). Bununla birlikte, şu ana kadar , elimizdeki yöntemi x'e uygulayarak sağlanan B tipi terimin f(x) olduğunu belirterek A ^ B türünde bir f elde edebileceğimizi garanti edecek yeterli bilgiye sahip değiliz . A ^ B bir fonksiyon türüdür , dolayısıyla böyle bir f'nin fonksiyonel olması gerekir. O zaman özellikle x _A'yıispatlayabilirsek = z _Aise f(x) = f(z)'yi de kanıtlayabilmemiz gerekir . Ve evrensel niceleyicinin yapılandırmacı okuması tek başına durumun böyle olacağını garanti etmez.

Tait bu sorunun farkında ve kendisi de güzel bir örneğe dikkat çekiyor: “[O]ne örnek şu ki, her x gerçek sayısı için x'ten büyük bir y tamsayısı vardır . Aslında, herhangi bir Cauchy dizisi [x] için, x'ten (ile temsil edilen gerçek sayı ) büyük bir y tamsayısının bulunduğunu yapıcı bir şekilde kanıtlayabiliriz . Ancak ispat , aynı gerçel sayıyı temsil eden x ve x' dizileri için aynı y'yi vermez.

⁵Bu bölümde ve sonraki bölümde verilen argümanın daha ayrıntılı bir sunumu (DeVidi 2004)'te bulunabilir.

⁶(Martin-Lof 1984, s. 50)'de “aynı fikri” sundukları iddiasıyla birlikte bu argümanın hem resmi hem de resmi olmayan versiyonlarının çok benzer sunumları bulunur.

(Tait 1994, s. 59). Ancak Tait, bunun "AC'nin yapıcı mantığın bir prensibi olduğuna dair önceki argümanımıza gerçekten bir karşı örnek olmadığını" savunuyor . Bunun nedeni, “x bir Cauchy dizisidir” sayısal fonksiyonların yapısal olarak karar verilebilir bir özelliği olmadığından, “her Cauchy dizisi için daha büyük bir tamsayı vardır” ifadesini Tait'in tipinin dilinde formüle etmenin bir yolu yoktur. Bize AC'nin öncülüne dair bir örnek verecek şekilde teori. Kısaca bunda, verilebilecek diğer sözde karşı örneklerde olduğu gibi , “ x'in kapsamı bizim anladığımız anlamda bir tür değil, bir kümedir” (Tait 1994, s. 59).

Bu konuda söylenmesi gereken bir iki şey var. İlk olarak, 'kümeler' ile Tait , belirli bir türdeki nesnelerin koleksiyonlarını kastediyor ve bu kavramı desteklemek için Gödel'e atfettiği şu iddiayı aktarıyor: "kümenin orijinal kavramı, bazı türdeki nesnelerin bir kümesidir" ( Tait 1994, s.46). Ancak Tait bu kullanımda tutarlı değildir. Çünkü aynı zamanda her A tipi için A tipinin tüm alt kümelerinin P ( A ) tipini de sistemine dahil eder . Tait, sisteminin ilkel türü olarak iki değerli türü 2 = { t , ±} alır . Daha sonra P ( A ) 'yı A- + 2 haritalarının türü olarak tanımlarız , yani A'nın bir alt kümesi, A'daki nesneler üzerinde tanımlanan ve bu türden her nesnenin ya T değerini ya da ± değerini alacağı şekilde tanımlanan bir haritadır . Yani, eğer f P ( A ) tipindeyse , o zaman şunu tanımlarız:

X A g f iff f(x) = T .

Kısacası, bu tanım, klasik karakteristik işlevlere sahip altkümelerin alışılagelmiş tanımlanmasıyla tam olarak aynı biçime sahiptir, ancak elbette yapıcı ortamda bu tür işlevlerin popülasyonu oldukça seyrek olacaktır. P ( A ) 'nın elemanları yalnızca $ (xA ₎karar verilebilir yüklemler tarafından belirlenecek , dolayısıyla onun örneğindeki x'in kapsamı bu anlamda bir küme bile olmayacak . Açıkçası, Tait'in tartışmasında, kümelerin P ( A ) tipi nesnelerle tanımlanmasının ne kadar ciddiye alındığına bağlı olarak, hareket halindeyken "kümenin" en az iki anlamı vardır ve bu anlamlardan birinde x'in kapsamı bir a değildir . Tait'in anlamında yazın ve bir küme de değildir.

David David

buna benzer herhangi bir şeyin takip ettiğini gösterdiği fikrine kesinlikle bir karşı örnektir. niceleyicilerin yapıcı bir anlayışından. Çünkü karşı örnek, en azından tartışmaya açık bir şekilde, bu tür bir teoride yapıcılık ve kanıtlanabilirlik kavramlarının birbirinden ayrıldığını gösteriyor. V x _AB(x)' in n _x_{A ile}tanımlanması için B(x), ilkinin, yani ikincisinin elemanlarının fonksiyon olduğunun kanıtları alınarak gerekçelendirilir . Ancak bu, yalnızca bir yöntem gerektiren ve mutlaka işlevsel bir yöntem gerektirmeyen, evrensel bir önermenin yapıcı kanıtına ilişkin olağan kavramın bir uzmanlaşmasıdır. Sonuç olarak, eğer PAT perspektifini yapıcılığın mihenk taşı olarak alırsak, yapıcı olarak kabul edilebilir olarak sınıflandırma eğiliminde olunabilecek bazı kanıtlar bu şekilde sınıflandırılamaz. Eğer bu doğruysa, öyle görünüyor ki AC'nin geçerliliğinin bir bedeli var, yani neyin meşru matematik olarak kabul edildiği konusunda oldukça ciddi bir kısıtlama.

Burada tanıdık bir dersin gizlendiğini düşünüyorum. Tait, Lebesgue'nin matematiksel varoluş anlayışının onu AC'ye bağlaması gerektiği yönündeki gayri resmi argümanını retorik bir şekilde sorar: "AC'nin kanıtından başka ne istenebilir?" Görünüşe göre cevap, evrensel bir iddiayı ortaya koyan her "yöntem"in işlevsel olması gerektiğini varsaymak için bir nedendir. Bu, PAT görüşünün mekanizmasına yerleştirilmiş bir varsayımdır, bu nedenle PAT'taki AC'nin resmi kanıtı doğrudur. Ancak AC'nin geçerliliğine ilişkin bu ek gerekliliği gözden kaçırmak ve dolayısıyla PAT'ta AC'nin geçerliliğinin, kişinin bunu yapmadığı şekillerde tartışmaya izin verdiğini düşünmek çok kolaydır. AC, bir PAT ilkesi olarak, ilk bakışta göründüğünden daha zayıf bir iddiadır; LEM'in varlığında bile, bu ismin genellikle anlaşıldığı şekliyle Seçim Aksiyomunun kabulünü muhtemelen garanti etmez . Eğer bu doğruysa, o zaman bilindik ders , tüm dünyayı onun basit bir yeniden ifadesi olarak gören doğal dilde resmi bir kanıtın parlatılması durumunda bu tür niteliklerin gözden kaçırılmasının kolay olduğu ve böylece kişinin kendisini yanıltmasının oldukça kolay olduğudur.

5.1 AC ve Seçim Aksiyomu

, kendi kısıtlamalarının bazı meşru matematiğin yanlış olarak gayri meşru olarak sınıflandırılması etkisine sahip olduğu fikrinden habersiz değiller . Dolayısıyla şu soru düşünülebilir: Bu, PAT görüşünün cazibesine kapılan birinin yaşayabileceği bir kısıtlama mıdır?

Bana öyle geliyor ki cevap: muhtemelen hayır. Dolaylı kanıtlardan biri de Tait'in kendi savunmasını yaparken bu çerçevenin dışında kalan argümanlar sunmaktan kendini alamamasıdır. Örneğin Tait'in, Lebesgue'in Seçim Aksiyomunu reddetmesinin onun görüşünü tutarsız hale getirdiği yönündeki argümanını düşünün . Tait, AC'yi Zermelo tarafından formüle edilen ve ZAC adını vereceğimiz Seçim Aksiyomundan ayırır;

Boş olmayan kümelerin her u kümesi için, u için bir seçim fonksiyonu vardır , yani f , u üzerinde tanımlanır ve tüm x g u için f(x) g x.

sadece türlere değil kümelere de atıfta bulunduğunu ve Tait'in AC'nin yapıcı olarak geçerli olduğunu düşünmesine rağmen ZAC için herhangi bir brifing vermediğini unutmayın .

x'in her değeri için f(x) ' in nasıl tanımlanacağını belirtmeden, bir f fonksiyonunun varlığını kabul edilemez bir şekilde ileri sürmesi şeklindeki bilinen şikâyettir . Bunda Tait, niceleyicilere ilişkin yapılandırmacı bir anlayışa bağlılığı tespit ediyor. Dolayısıyla yukarıdaki resmi olmayan argümana göre kendisi de AC'ye bağlı. Ancak başka yerlerde Tait, yapısal olarak LEM'e eşdeğer olan çift olumsuzluğun ortadan kaldırılmasına yönelik bir taahhüt tespit ediyor. Ve AC + LEM'in ZAC'a eşdeğer olduğunu savunuyor. Dolayısıyla Lebesgue'nin görüşü tutarsızdır.

Burada bir şeylerin ters gittiğinden şüphelenmek için oldukça zorlayıcı dolaylı nedenler var gibi görünüyor. Eğer Tait'in argümanı doğruysa, ZAC'ın başarısız olduğu klasik modellerin varlığına ne kadar yer kalıyor ? Cohen'in bağımsızlık kanıtlarının da gösterdiği gibi, birçok kişi bunların bol miktarda mevcut olduğunu düşünüyor. Tait kesinlikle öyle görünüyor

Yapıcı mantık ilkelerinin geçerli olduğunu kabul eden ve LEM'i kabul eden herkesin, tutarsızlık pahasına ZAC'ı geçerli tutmaya kararlı olduğu iddiasına bağlıyız . Bu nedenle, Lebesgue'nin LEM'i kabul edebileceğini düşünmesi konusunda söyleyebileceğimiz en azından, kabul ettiğini varsayarsak, ZAC'ı sorgularken tutarsızlığında çok fazla arkadaşının olduğudur.

Muhtemelen eğer kişi Lebesgue'e tutarsızlığı konusunda bu kadar eşlik etmek istemiyorsa, "yapıcı ilkeleri kabul etme"nin iki anlamını birbirinden ayırması gerekecektir. Yapıcı mantığın her geçerli ilkesi aynı şekilde klasik olarak geçerli olduğundan, klasik mantığı kabul eden herkesin bunu yaptığının açık bir anlamı vardır . Ancak kişinin yapıcı akıl yürütmeyi ancak yapıcı matematik savunucularının savunduğu kısıtlamaları da kabul etmesi durumunda kabul ettiği daha katı bir anlayış da vardır. Belki de Lebesgue, varoluş iddialarının meşruiyeti için bir tanığın sunulmasını gerektirdiğinde ısrarcı görünerek , bu daha katı anlamda yapıcı akıl yürütmeyi benimsiyor gibi görünüyor. Ve yalnızca bu tür insanlar AC'yi kabul etmeye kararlı olacaklardır ve eğer onlar da LEM'i kabul ederlerse ZAC'a bağlı kalacaklardır. Ancak Tait'in görüşü buysa, o zaman AC ve ZAC üzerinden geçen dolambaçlı yolun Lebesgue'de ortaya koyduğu tutarsızlık suçlamasına ne katacağını görmek kolay değil; çünkü yapıcı mantığa eklenen LEM, bizim destekleyebileceğimiz varoluşsal iddiaların geçerliliğini ima eder. hiçbir tanık sunamazlar ve bu anlamda LEM'le birlikte varoluşa ilişkin bu tür bir gerekliliği savunmak tutarsızdır ve seçim aksiyomlarının tartışılması yanıltıcıdır.

Tait'in, eğer LEM'i varsayarsak, AC'nin ZAC'yi ima ettiğine dair argümanı şudur: Varsayalım ki V x _P( B ) (x g u ^ 3 y _B(y g x)), yani u boş olmayan kümelerden oluşan bir küme olsun. O zaman V x _P( B ) 3 y B $ (x,y), burada $ (x g u --+ y g x) formülüdür . (Tait burada diyor ki

LEM gereklidir.) ⁷Yani AC'ye göre ^ x _A$ (x, f(x)) yani f , u için bir seçim fonksiyonudur .

AC ve LEM'den çıktığı yönündeki argümanı hakkında ne söylemeliyiz ? Kanıt, $ x g u -+ y g x olmak üzere, AC örneğinin bir öncülünü oluşturarak çalışır ; burada u bir güç türünün alt kümesidir, yani bir kümeler kümesidir. Ancak gördüğümüz gibi, Tait'in yazılarında iki "küme" kavramı iş başındadır. Eğer A tipi için P ( A ) 'nın bir elemanını “ayarlamak”la kastediyorsak , o zaman bu iddia, x g u'nun karar verilebilir bir formül olması gerektiğine dair 'örtük varsayımı' içeriyordu . Yani u bu güç tipinin karar verilebilir bir alt kümesi olmalıdır ve bu nedenle Tait'in AC ve (t)'den takip ettiğini gösterdiği şey ZAC değildir, bu kesinlikle boş olmayan kümelerin keyfi kümeleri hakkında bir ifadedir, fakat daha az genel bir prensiptir. . Öte yandan, eğer "küme" ile u'nun bazı güç türlerinin elemanlarının keyfi bir koleksiyonu olduğunu kastediyorsak, o zaman gerekli AC örneğini oluşturabileceğimizi varsaymak için hiçbir nedenimiz yoktur. Bunun sonucu olarak ne Lebesgue'nin ne de başkasının, yapıcı mantık ve LEM ilkelerini kabul etmenin bir sonucu olarak ZAC'ı kabul etmesine gerek yoktur.

Buradan dolaylı bir ders alınabilir. Bana öyle geliyor ki, burada tespit edilebilen iki "küme" kavramı arasındaki ileri geri kayma, "kümeler"i tamamen PAT görüşünde lisanslanan "küme" kavramına uygun olarak düşünme girişiminin muhtemel ürünüdür. Böyle bir görüşün savunucularının bile anlamlı olarak kabul ettiği, bu çerçeve içinde formüle edilemeyecek kadar çok sayıda iddia vardır .

⁷Bu kanıtın gerçekte yalnızca şu ilkeye başvurduğuna dikkat edin: Eğer y $ cinsinden serbest değilse o zaman,

$ - > B y Y (y), 3 y( $ ^ T (y)) anlamına gelir . (B

Bu ilke LEM'den kesinlikle daha zayıftır ve bu da Tait'in formüle ettiği eşdeğerlik iddiasına bazı şüpheler düşürmektedir. Ancak (b'nin kolaylıkla ( 3 x( 3 y $ (y) ^ $(x)) ile eşdeğer olduğu görülebilir , bunun yapıcı olmadığı gayet iyi bilinmektedir (bu ilkenin tartışılması için bkz. (DeVidi 2004)), dolayısıyla Tait'in argümanları doğruysa, mesele şu ki, ZAC yapıcı olarak AC'yi ima ederken, AC yalnızca bazı yapıcı olmayan ilkeleri varsayarsak ZAC'yi ima eder.

5.2 PAT ile İlgili Sorunlar: Seçim Yapıcı Değildir

sezgisel küme teorilerinde LEM'i ima ettiğine dair kanıtının kanıtının taslağına dönelim . Kanıtın neden bazı teorilerde geçerli olup diğerlerinde geçmediğini düşünmek istediğimiz için, John Bell tarafından (Bell 1993 a)'da sunulan kanıtın "sadeleştirilmiş" versiyonuyla başlamak faydalı olacaktır . Herhangi bir sezgisel teoride: (1) i- d = c olacak şekilde iki d ve c terimi vardır ve (2) dilin herhangi bir A formülü için iki s ve t terimini bulabiliriz:

ben- (s = c v A) A (t = d v A) ( * )

I- A -+ s = t, ( ** )

LEM geçerlidir (Bell 1993 a, s. 7). Çünkü dağıtım yasası sezgisel mantıkta geçerli olduğundan, ( * ) şunu verir:

ben- (s = c A t = d) v A.

c = d varsaydığımıza göre ,

ben- s = t v A.

Ama ( ** )'dan i— s = t -> - A elde ederiz ve böylece

i- - A v A.

her A için ( * ) ve ( ** ) örneklerini kanıtlamamıza izin veren şeyin ne olduğunu düşünmek yeterlidir . Sezgisel bir küme teorisini ele alalım. Bu taslak için sezgisel küme teorisine gerçek bir aşinalık gerekli değildir; bunu basitçe küme teorisinin olağan ilkelerinin (tabii ki Seçim Aksiyomu hariç) geçerli olduğu bir teori olarak düşünebiliriz, ancak altta yatan mantık klasik olmaktan ziyade sezgiseldir.

Dolayısıyla, sezgisel bir küme teorisinde, i— 0 = 1 olduğundan, 0 ve 1 açıkça d ve c terimleri olarak görev yapacaktır. A v - A'yı kanıtlamak için , A'da serbest olmayan bir y seçin ve B(y) = A'yı tanımlayın. v y = 0

ve C(y) = Av y = 1. Bu bir küme teorisi olduğundan, { 0 , 1 } kümesinin varlığını garanti eden Sırasız Çiftler Aksiyomu ve Ayırma Aksiyomuna benzer bir şey olacaktır : z = { y g { 0 , 1 } | B(y) } ve w = { y g { 0 , 1 } | C(y) } . f , { 0, 1 } ' in kuvvet kümesi olan P ( { 0 , 1 } ) üzerinde bir seçim fonksiyonu olsun . Genişletilebilirlik Aksiyomuna göre açıkça i— A - + z = w . Üstelik z ve w'nin her ikisi de { 0 , 1 }' in boş olmayan alt kümeleridir . Dolayısıyla f(z) ve f(w)'yi s ve t terimleri olarak kullanarak şunu elde ederiz: ( ** ), yani, i— A -- + f(z) = f(w); ve ( * ), çünkü - A hem z = { 0 } hem de w = { 1 } anlamına gelir .

PAT'ta yapılamadığı sorusunu ele alalım . Bu konuyu, kabaca sırasıyla Martin-Lof ve Tait'in PAT'ye yönelik yaklaşımlarını ele almaya karşılık gelen iki farklı şekilde ele almak yararlı olacaktır. İlk olarak, tartışma sırasında hem z'nin hem de w'nin boş olmadığını kanıtladığımızı ^{varsayalım .}A genel olarak kanıtlanamayacağından ve 3 xx g z'nin bir kanıtı z'de olduğunu gösterebileceğimiz bir tanığın sunulmasını içerdiğinden , bu kanıt genel olarak o tanık olarak 0'ı kullanacaktır. Benzer şekilde, 3 xx g w'nin ispatında normalde 1 tanık olarak kullanılacaktır. Bu argümanın PAT'ın Martin-Lof versiyonlarında gerçekleştirilememesinin nedeni, f'nin yalnızca bir türün boş olmayan altkümelerini veren özelliklerin bir fonksiyonu değil , aynı zamanda özelliğin bunu yaptığının ispatına da bağlı olmasıdır. Böylece s = f(z, 0) ve t = f(w, 1 ) ' i ayarlayabilir ve ( * )'yi ispatlayabiliriz (dipnot 8'deki yeterlilik modulo). Ama şimdi elbette z = w'nin s = t'yi gerektirmesine gerek yok ve dolayısıyla ( ** ) türetemeyiz . Bu nedenle AC, bu tür PAT teorisinde LEM'i ima etmez çünkü alt kümelerin kimliği kapsamsal bir konu değildir. Ve Bell'in belirttiği gibi (Maietti & Valenti 1999) bu tür PAT'a genişlemeli güç kümeleri eklenirse mantığın klasik hale geldiği gösterilmiştir.

Öte yandan, Tait'in PAT versiyonu kümelerin kimliğini kapsamsal bir konu olarak ele alıyor. Bu durumda şunu hatırlamamız gerekir:

⁸Konunun bu çok yararlı sunumu (Bell'den alınmıştır)'den alınmıştır. Bell ayrıca, en azından Martin-Lof'un sisteminde ( * ) ifadesinin türetilemez olabileceğini, zira bunun kanıtının a g { x | # (x) l ^ $(a) , bu sistemde başarısız oluyor.

A tipinin alt kümelerinin P ( A ) tipinin üyeleriyle tanımlanması gerektiğine dair terminolojik şartı; burada P ( A ), Tait'in anlamında anlaşılmaktadır. Resmi olarak, P ( A ) 'nın elemanları yalnızca karar verilebilir yüklemler $ (xA ₎tarafından belirlenir . O halde Diaconescu'nun oreminin ispatıyla ilgili sorun açıkça z ve w'nin genel olarak 2'nin alt kümelerini belirlemeyeceğidir , çünkü $ genel olarak karar verilebilir olmayacaktır. Öte yandan, gördüğümüz gibi, Tait bazen x _{A kümesinden bazı özelliklerle bahsetmek meşruymuş gibi konuşuyor gibi
görünüyor; bunun}P ( A) elemanına karşılık geldiğine dair hiçbir kanıtımız olmasa da ) . 'Küme' terimini bu daha gevşek anlamda kullanmamıza izin verirsek, Diaconescu teoreminin kanıtını kullanarak AC'nin LEM'i ima ettiğini gösteremememizin nedeni, onun yalnızca AC'ye değil ZAC'a da hitap etmesidir . Çünkü bu durumda AC'ye {{ z } , { w }} üzerinde bir seçim fonksiyonu bulması için gerçekten başvuruyoruz , çünkü z ve w gerçekten de mevcut anlamda boş olmayan kümelerdir ve bu konuda bir seçim fonksiyonuna ihtiyacımız var. Kanıtın geçmesi için boş olmayan kümelerin kümesi. AC böyle bir seçim fonksiyonunun varlığını garanti etmez çünkü z ve w'yi tanımlayan yüklemler kararlaştırılabilir olmadığı sürece, Tait'in sözde karşı örneği reddederken gösterdiği nedenlerden dolayı AC'nin öncülünün bir örneğini elde edemeyiz. AC yukarıda tartışıldı. Ve gördüğümüz gibi ZAC, AC'den kesinlikle daha güçlü bir prensiptir.

O halde bu tür PAT teorilerinin her ikisinde de alt küme kavramı büyük ölçüde revize edildi ve Diaconescu teoreminin türetilmesi engellendi. Yani, ya kendimizi karar verilebilir alt kümelerle sınırlandırırız ya da alt kümelerin özdeşliğinin kapsamsal bir mesele olduğu fikrinden vazgeçeriz. Bu açılardan Yerel Küme Teorilerini PAT ile karşılaştırmaya değer.

Birincisi, Yerel Küme Teorilerinde Martin-Lof PAT teorilerinden farklı olarak alt kümeler genişlemeli olarak belirlenmektedir. Öte yandan, bazen sezgisel sistemlerde 2'nin kuvvet kümesinin çok büyük olabileceğinin söylendiğini duyarız ve bunun nedeni tam olarak tip 2'deki serbest değişkene sahip kanıtlanabilir eş-uzamlı yüklemlerin her sınıfının 2'nin bir alt kümesini belirlemesidir. , yani { x ₂ ben $ (x) } . Ancak Tait için 2'nin tek alt kümesi 0 , { 0 } ,

{ 1 } ve { 0 , 1 } , tıpkı klasik matematikte olduğu gibi ve dolayısıyla P ( { 0 , 1 } ) üzerinde bir seçim fonksiyonunun varlığı da aynı şekilde Tait için klasik küme teorisinde olduğu gibi aynı önemsizliktir. Ancak z ve w'nin bu kümeler arasında olduğu kanıtlanamadığı sürece, z ve w'den elemanları seçmek için P ( A ) üzerinde bir seçim fonksiyonu kullanamayız ve bu nedenle ispatı sonuna kadar gerçekleştiremeyiz.

5 .3 Bazı Felsefi Dersler

Tüm bunlardan alınacak en bariz dersler, yapılandırmacılık tartışmalarında tartışılan bazı iddiaların ne kadar incelikli ve yanıltıcı olabileceğiyle ilgilidir. Zira yukarıda öne sürdüğüm şey doğruysa, varoluşsal niceleyicinin yapıcı bir okumasında yer alan 'tanık olma' şartının, seçim ilkelerini yapıcı bir şekilde doğru hale getirdiğini düşünmek bir hatadır. ⁹Aslında Seçim Aksiyomunun yapıcı olarak geçerli olduğu argümanı yalnızca varoluşsal niceleyicinin yapıcı anlayışına değil aynı zamanda evrensel niceleyiciye de hitap etmektedir. Ve gördüğümüz gibi, evrensel bir iddianın yapıcı bir şekilde gösterilmesinin gerektirdiği yöntem ile Seçim Aksiyomunun gerektirdiği işlevsel yöntem arasındaki ayrımı akılda tutmamak gibi bir eğilim vardır.

Ayrıca, AC'nin geçerli hale gelmesi için gereken kısıtlamaların, bunun, doğrusunu söylemek gerekirse, Seçim Aksiyomu'nun bir versiyonu olarak görmemiz gereken bir şey olmadığı sonucuna varmamızı sağlaması gerektiğini de öne sürmek isterim . Çünkü gördüğümüz gibi, AC'nin geçerli olabilmesi için standart küme kavramında bazı önemli değişiklikler yapılması gerekmektedir. Martin-Lof ile birlikte genişlemeli olmayan bir altküme kavramına geçebiliriz . Veya Tait'le birlikte, eğer küme kavramını onun PAT versiyonunun içsel bir kümesi olarak alırsak, alt kümelerin yalnızca karar verilebilir yüklemler tarafından belirlendiği bir küme kavramına geçebiliriz . Her iki hareketin de, doğal formülasyonunda varoluşa ilişkin bir iddia olan Seçim Aksiyomunun orijinal anlayışına çok fazla zarar verdiğini öne sürmek istiyorum.

⁹Bu (DeVidi 2004) kitabının ana temasıdır.

Boş olmayan kümelerin keyfi bir koleksiyonu için bir seçim fonksiyonunun varlığı ; burada kümeler tam olarak kimlikleri uzamsal olarak belirlenen ve paradokstan kaçınmanın izin verdiği ölçüde kavrama ilkesiyle belirlenen türden varlıklardır .

özelliklerin bir şekilde "küme kavramının analitiği" olduğu iddiasına indirgenmesini istemiyorum , ancak bunun doğru olabileceğinden şüpheleniyorum. Bu küme kavramının teorisyenlerin Seçim Aksiyomu hakkındaki anlayışlarını şekillendirdiğini belirtmek yeterlidir . Oldukça farklı kavramlara dayanan adlandırılmış aksiyomlar gibi, kaçamaklara ve hatalı sonuçlara davetiye çıkarırlar. Üstelik bu küme kavramının , ister yapılandırmacı olalım ister klasik matematikçi olalım, matematik yaparken söylemek istediğimiz pek çok şeyi söylemesi açısından her durumda kaçınılmaz olduğunu düşünüyorum . Bunu, Tait'in tüm Cauchy dizilerini en azından İngilizce olarak nicelleştirirken bu tür bir koleksiyona başvurma ihtiyacında görüyoruz. Bunu , yapıcı varoluşsal niceleyicinin doğasına ilişkin herhangi bir açıklamada, tanık olma zorunluluğunun ifadesinde, bir dildeki tüm terimlerin üzerinden nicelik belirleme ihtiyacımızda görüyoruz . Bunu aslında Bridges ve Reeves gibi yapılandırmacıların yaptığı gibi "temel kümeleri" diğer kümelerden ayırma ihtiyacında görüyoruz. Bu tür koleksiyonları "matematiksel olmayan" olarak yönetmek çok fazla kısıtlamadır. O halde bana öyle geliyor ki, eğer araştırmamızın ana konusu olmasalar bile, bu tür koleksiyonlarla ilgili bazı tartışmaları kabul etmemiz gerekiyorsa, bunları set olarak adlandırmak ve diğer koleksiyon türleri için başka bir isim bulmak en uygunudur. örneğin kapsamsal olarak belirlenmeyenler veya yalnızca karar verilebilir yüklemler tarafından belirlenenler vb.

Ancak kümeler buysa ve kaçınılmazlarsa , o zaman AC gibi bir ilke başka sınıf varlıklar için kabul edilse bile, benzer bir ilkenin boş olmayan keyfi kümeler için de geçerli olup olmadığı konusunda her zaman doğal bir soru vardır. Setler . Bunun yapılandırmacıların memnun olmayacağı bir prensip olması belki de şaşırtıcı değildir . Ancak Seçim Aksiyomunu çoğu insanın yapıcı olmayan ilkesi haline getirerek her şeyi doğru düzenine kavuşturur.

her zaman öyle olduğunu düşündüm. Ve Diaconescu'nun teoremi, onun ne kadar yapıcı olmadığı konusunda kayda değer bir keşif olmaya devam ediyor; çünkü bu, doğru şekilde adlandırılan ve yapıcı olarak geçerli olan benzer görünümlü sınırlı seçim ilkeleriyle karıştırılmaması gereken Seçim Aksiyomunun, tüm klasik mantığı ima ettiğini gösteriyor. .

Bir anlam teorisi, hatta matematiksel anlam teorisi olarak görülen Tür Olarak Önermelerle ilgili problemler, Williamson'ın işaret ettiği problemler değildir. Aksine, Seçim Aksiyomu tartışmasında gördüğümüz gibi, Tür Olarak Önermeler görüşü, matematiksel söylemin sınırlı alanında bile tatmin edici bir anlam teorisi olamayacak kadar az sayıda önermeye sahiptir . Gördüğümüz gibi, eğer önermeler tür ise , yapılandırmacılar bile karşılık gelen önermelerin olmayacağı pek çok şey söylemek isteyeceklerdir . Matematiksel anlamın bir açıklaması olarak PAT görüşünün savunucusu, bu tür iddiaların sonuçta anlamsız olduğunu söyleyebilir, ancak bu oldukça sert görünmektedir. Öte yandan, bunların anlamlı olduğunu ancak matematiksel olmadığını söyleyebilir ve sunulanın yalnızca matematiksel önermelerin bir açıklaması olduğunda ısrar edebilir. Ancak "matematiğin" bu tür ikna edici tanımının da kimseyi tatmin etmesi pek olası değildir. Tür Olarak Önermeler görüşünün savunucusunun şuna benzer bir şey söylemekten kaçınamayacağı sonucuna varmaktan kaçınmak zor görünüyor : anlamlı matematiksel iddiaların tümü önerme değildir. Ancak bu, en azından PAT sistemlerinde dile getirildiği şekliyle, kanıtlanabilirlik koşulları tarafından verilmeyen anlamlı matematiksel iddiaların bulunduğunu kabul etmek anlamına gelir.

6 Sonuç

Bu bizi nereye bırakıyor? Birincisi, Williamson, anlamla ilgili teorik bir açıklamanın , aydınlığa bağlılık nedeniyle imkansız olduğunu göstermedi . Çünkü PAT görüşünün varlığının gösterdiği gibi, bir önermenin anlamının iddia koşulları tarafından belirlendiği görüşünü, dolayısıyla kendini bu iddiaya bağlamadan savunmak mümkündür.

Montague'nin 1955 Tamlık Teoremi

bu iddia koşullarının parlaklığı. Dummett'in ısrar ettiği ve gerçekçi, doğruluk koşuluna dayalı bir anlam teorisinin açıkça açıklayamayacağını iddia ettiği şey, bir konuşmacının anlaşılan cümlelerin anlamlarını bilmesi gerektiğidir. O halde gerekli olan bu cümlelerin iddia koşullarının bilinmesidir. Bu, gördüğümüz gibi, Martin-Lof ve Tait'in kullandığı şekilde formüle edilebilir; burada bu tür bir bilgi parlaklık gerektirmez; yani bir konuşmacının beklenen tüm şekillerde yanılmasının mümkün olduğu bir yaklaşım. belirli bir durumda bu koşulların sağlanıp sağlanmadığı hakkında.

Ancak yine de gördüğümüz gibi PAT'in matematiksel anlamda bir açıklama olarak sunulması halinde ciddi eksiklikler var. Özellikle, tüm önermelerin anlamlarının kanonik bir kanıt olarak kabul edilen şey tarafından verildiği varsayımının, bize anlamlı bir matematiksel ifade olarak sayılması gereken her şeyin anlamı hakkında bir hikaye vermesi pek mümkün görünmüyor. Matematiksel cümlelerin anlamına ilişkin iddia teorik açıklamasının bu versiyonu Williamson'ın itirazlarına yenik düşmese de, sanırım yukarıda incelenen gerçekler, bunun matematiksel anlamın bazen kabul edildiğinden çok daha ciddi şekilde kısıtlanmış bir açıklaması olduğunu gösteriyor .

Bölüm

DÖRT

MONTAGUE'NİN MODAL TAMLIĞI

1955 TEOREMİ B. Jack Copeland

Graham Solomon ve ben, 1996 yılında Yeni Zelanda'da kısa bir izinli tatil geçirdiğinde tanıştık. Graham'ın ilgisi, Güney Alpler'in eteklerindeki Erewhon'un Yapay Zeka tarihiyle ilgilenen herkes için önemli bir yer olduğu yönündeki iddiamla daha da arttı. Erewhon'un ilk sahibi, Avrupa yerleşiminin ilk günlerinde orada koyun yetiştiren romancı ve Darwin eleştirmeni Samuel Butler'dı. Küçük bir kulübede tamamen izole bir şekilde yaşayan Butler, zamanını öküz arabasıyla vahşi doğaya taşıdığı piyanoyu yazıp çalarak geçiriyordu. Erewhon'u ; veya Over the Range ve özellikle de "Makinelerin Kitabı" bölümü, yapay zeka felsefesi veya tarihiyle ilgili her dersin okuma listesinde belirtilmelidir.

Erewhon, birçok nehir geçişinin olduğu uzun ve engebeli bir dağ yolunun sonunda yer almaktadır. Graham soğukkanlı bir seyahat arkadaşı olduğunu kanıtladı. Bir defasında rotayı kaçırdım ve dört tekerlekten çekişli aracımızın kapılarının dibine kadar su yükseldi, ancak Graham Demopoulos ve Newman'ın Russell (Demopoulos) hakkındaki tartışmasına pek ara vermedi.

B.Jack Copeland

ve Friedman 1985). Hedefimiz ne olursa olsun sohbetimiz çoğunlukla mantık tarihiyle ilgiliydi. İkimiz de Richard Montague'nin 1960 tarihli “Mantıksal Gereklilik, Fiziksel Gereklilik, Etik ve Niceleyiciler” (Montague 1960) makalesiyle ilgileniyorduk. Bu, Montague'nin 1955'te UCLA'da yaptığı bir konuşmaya dayanmaktadır. Makalesinde Montague, modal tümdengelim sisteminin tamamlandığını belirtir (s. 264) ve bir dipnotta makale hakkında şunları söyler:

Ben ... başlangıçta yayınlamayı planlamamıştım. Ancak aynı olmasa da birbirine çok benzeyen bazı fikirler yakın zamanda Stig Kanger ("Sabah Yıldızı Paradoksu" (Kanger 1957 a ) ve "Nicelik ve Modaliteler Üzerine Bir Not" (Kanger 1957 b ) ve Saul Kripke ( Kanger 1957 b ) tarafından duyuruldu. "Kipke Mantıkta Tamlık Teoremi" (Kripke 1959 a )).Bu gerçek göz önüne alındığında, daha fazla araştırmayı teşvik etme olasılığıyla birlikte, ilk katkımı yayınlamak artık tamamen uygunsuz görünmüyor.(s. 269)

Montague'nin düzenlemesi, bütünlük iddiasının 1955 tarihli materyalin bir parçası mı olduğu yoksa bu dipnotla aynı zamanda mı eklendiği konusunda belirsizliğe yol açtı. Montague'un 1955 gibi erken bir tarihte, yani Kripke'den yaklaşık üç yıl önce model-teorik bir modal tamlık kanıtı var mıydı? Graham, Montague'nin öğrencisi Charles Silver ile tanışıyordu ve Erewhon'dan dönerken Silver'ın bu büyüleyici soru hakkında bize neler söyleyebileceğini öğrenmeye karar verdik. (Kripke, niceleyicilerle birlikte S5 modal sistemi için tamlık kanıtını 1958 baharında Journal of Sembolik Mantık'a sundu (Kripke 1959 a ) ve o yılın yazında niceliksel S4 için bir tamlık sonucu elde etti; 1963'e kadar yayınlandı (Kripke 1963); ayrıca "Olası Dünyalar Semantiğinin Doğuşu" başlıklı makaleme bakın (Copeland 2002).)

Silver'dan öğrendiklerimiz:

Richard Mon Tague, Kripke'nin çalışmasını bir kez övdükten sonra kendisinin de modal bir sistemi olduğundan bahsetti.

1955 gibi erken bir tarihte, bu da Kripke'ninkine benziyordu. Bunu söyledikten sonra durakladı, üzgün bir şekilde masaya baktı ve yumuşak bir sesle şöyle dedi: "Ama tam olduğuna dair bir kanıt yok."

Bir yıl sonra, daha fazlasını öğrenme umuduyla, birkaç günümü UCLA'da Montague'nin nachlass'ını inceleyerek geçirdim. Montague'nin 1955'teki konuşması için el yazısıyla yazılmış notlarını buldum. Bu müsvedde, aradan geçen zaman aralıklarıyla, 1960'da yayınlanan versiyonla henüz aynı değildir. Farklılıklar arasında, 1955 elyazmasında, " Etik" ve "Nicelik Belirleyiciler" başlıklı, 1960 tarihli makalede yer almayan iki kısa bölümün bulunması ve bu metinde yer alması yer almaktadır. 1955 tarihli elyazmasında yer almayan “Eksik Bir Kanun” başlıklı bölümün 1960 tarihli makalesi .

- + A'nın eklenmesiyle S5'e eşdeğer hale gelen modal bir sistemle ilgilenir. (Montague, "Eksik Bir Yasa"da M ilkesini neden atladığını açıkladı: D A - + A, hem etik zorunluluk hem de fiziksel gereklilik (s. 268). Montague'nin 1955'teki konuşmasındaki amacı, Tarski'nin bir modelden tatmin tanımını modal duruma genişletmekti. Bir modeli sıralı bir üçlü (D,R,f ) olarak tanımladı ; burada D bir etki alanıdır, R , her yüklem ve bireysel sabite uygun bir uzantı ( D' den) atayan bir fonksiyondur ve f , her bir yüklem ve bireysel sabite atayan bir fonksiyondur. her bireysel değişken D' nin bir üyesidir . Mantıksal zorunluluk gereği önerdiği tedavi şudur:

q>'nin, q>'nin kendi tanımlayıcı sabitlerine [yüklem ve bireysel sabitler] yapılan her genişletme atamasında geçerli olduğunu iddia etmesi mantıksal olarak gereklidir " şeklinde düşünmek makul görünmektedir .

Montague, atomik ifadeler ve doğruluk-işlevli bileşiklere ilişkin tatmin hükümlerini "değişmeden " Tarski'den ödünç aldı. Tarski'nin “ V x ” için tatmin şartının , modeller arasındaki Q ikili ilişkisini içerdiğinin düşünülebileceğini belirtti. (D,R,f }Q{D',R',f Q ancak ve ancak D = D', R = R' ve f '(a) = f(a) her a değişkeni için

B.Jack Copeland

farklı . “□”, “tüm x'ler için ” olarak okunduğunda, evrensel niceleyicinin tatmin cümlesi şöyle olur:

(D,R,f ) D v'yi ancak ve ancak, her M modeli için (D,R,f }QM , M <p'yi karşılıyorsa ) karşılar .

Montague, modeller arasında keyfi ikili ilişkilere izin vererek bu fikri genelleştirdi. X'in böyle bir ilişki olduğu durumlarda , Doğruluk fonksiyonlarına ilişkin maddelerde "tatmin eder" ifadesinin "tatmin eder _{X " ile değiştirilmesi ve}□ operatörü için aşağıdaki maddenin eklenmesiyle Doyum _Xtanımlanır :

(D,R,f ) _X'ikarşılar (D,R,f )XM , M X V'yi karşılayacak şekilde her M modeli için D v iff

ikili ilişkisinin koşulları açısından bir sağlamlık teoremi ifade etti . V'nin tümdengelimli sisteminde türetilebilen herhangi bir formül olduğu yerde , her model _{X'i karşılar} v , yalnızca X'in aşağıdaki koşulları karşılaması koşuluyla :

1 . her M için öyle bir N vardır ki MXN

2 . tüm M , N , P için , MXN ve NXP ise MXP ve

3 . tüm M , N , P için , MXN ve MXP ise NXP .

1955 tarihli el yazmasının incelenmesi, Montague'nin önermelere dayalı tümdengelim sistemi için gerçekten de bir tamlık kanıtı iddia ettiğini ortaya çıkardı (her ne kadar kanıt göstermemiş olsa da):

Bir formül ancak ve ancak bir teorem ise geçerlidir. Dahası , geçerli formüller sınıfı için bir karar yöntemi vardır ...

Taslağın kısmen daktiloyla yazılmış daha sonraki bir versiyonu, şu genişletmeyi içerir:

Sistemin bütünlüğünün ve karar verilebilirliğinin bir kanıtı, Wajsberg'in yukarıda alıntılanan makalesindeki fikirlerden çok fazla zorluk çekmeden elde edilebilir.

Montague'nin 1955 Tamlık Teoremi

(Wajsberg'in bu makalesi (Wajsberg 1933), modal mantık S5'e eşdeğer genişletilmiş bir sınıflar hesabı içeriyordu . Wajsberg, hesabında zorunluluk operatörünü bir | X I ifadesi aracılığıyla simüle etti ; bu gösterim, orijinal olarak (Hilbert & Ackermann 1928), X yükleminin "tüm nesneler için geçerli olduğunu" belirtir .)

Montague'un iddia etmediği şey , sistemin sayısallaştırılmış biçiminin tamlık sonucu olduğudur . 1955 tarihli elyazmasının “Nicelik Belirleyiciler” başlıklı bölümünde (1960 tarihli belgeden çıkarılmıştır ) şunları belirtmiştir:

İkinci derece yüklem hesabında [□]'nin niceleyiciler lehine elimine edilebileceği görülmüştür . ...Aslında, niceleyiciler ve [□] içeren (ve başka modal operatörler içermeyen) teori, ifade gücü açısından birinci dereceden ve ikinci dereceden yüklemler hesabının arasında yer alıyor gibi görünüyor. Birinci dereceden analiz tamamen aksiyomatize edilebilir; ikinci dereceden hesap bunu yapamaz. [□] ile gösterilen teorinin tamamen aksiyomlaştırılabileceği umudu vardır .

1960 tarihli makalenin daha önce bahsedilen 5. dipnot'u ilave ışık tutmaktadır. Orada Montague, tamlık sonucunun aşağıdakine eşdeğer olduğunu söyledi:

Bir q> formülü ( S diline ait ), ancak ve ancak q>'nin her tam model tarafından karşılanması durumunda bir teoremdir .

(s. 269)

S dilinin "niceleyiciler içermediğini", yalnızca bireysel değişkenleri ve sabitleri, yüklemleri, doğruluk fonksiyonel bağlaçlarını ve modal operatörü □ içerdiğini açıkça ortaya koyuyoruz . Daha sonra 1955 tarihli elyazmasında Montague, niceleyiciler ve özdeşlik ekleyerek ve birden fazla ilkel modal operatöre izin vererek dili çeşitli şekillerde genişletti; ancak tamlık iddiası yoktu.

Modal sistemler için en erken tamlık sonuçları (Montague'nin konuşmasından önce) model-teorik değil cebirseldi. ¹

¹Cebirsel literatürdeki bazı önemli makaleler şunlardır: (McKinsey & Tarski 1948, Scroggs 1951, Jônnson & Tarski 1951, Jônnson & Tarski 1952)

B.Jack Copeland

Bu nedenle Montague, olası dünyalar ve dünyalar arasındaki erişilebilirlik ilişkisi açısından yorumlanan model-teorik anlambilime göre önermesel kipsel mantık için en erken tamlık kanıtına sahip miydi ? Kripke'nin 1963 tarihli "Kipsel Mantığın Semantik Analizi I" adlı makalesinin ünlü incelemesinde Kaplan, 1955'te "Montague'nin dünyalar arasındaki ilişki açısından modal hesaplamaların yorumlanmasını önerdiğini" belirtti (Kaplan 1966, s. 122). Bu son derece yanıltıcıdır, çünkü Montague'nin ikili ilişkisi modeller arasındaki bir ilişkidir ve 1955 tarihli elyazmasının hiçbir noktasında Montague bu ilişkinin dünyalar arasında bir ilişki olarak anlaşılmasını önermemiştir. Olası bir dünya kavramı kesinlikle yoktu . (Montague, Carnap'ın 1946 tarihli yorumundan devlet tanımlamaları açısından bahseder (Carnap 1946), yalnızca Carnap'ın açıklamasını modeller açısından yeniden formüle etmek için.)

□A ^ A'nın her zaman karşılanmamasını sağlamak için çalışır (ve S5'ten daha zayıf diğer sistemlere ilişkin bir tartışma yoktur). Montague , ne 1955 elyazmasında ne de 1960 versiyonunda ikili ilişkiye ilişkin herhangi bir yorum sunmuyordu . Montague daha sonraki çalışmalarında 1955'teki konuşmasındaki ikili ilişkinin "referans noktaları" arasındaki bir ilişki değil, modeller arasındaki bir ilişki olduğunu vurguladı (Montague 1974, s. 109). (Montague şöyle devam etti: "referans noktaları arasındaki erişilebilirlik ilişkileri... ilk kez Kripke [(Kripke 1963)] tarafından açıkça ortaya konmuş gibi görünüyor." Ancak bu doğru değil. Referans noktaları arasındaki ikili ilişki dünyalar olarak yorumlanır. daha önceki çalışmada yer almıştır (Meredith & Prior 1956). indexPrior, AN

David Lewis bana (1996'da) Montague'un modeller ve dünyalar hakkındaki görüşleri hakkında şunları yazmıştı:

1955-60'ı bilmiyorum ama daha sonraki yıllarda Montague'nin tanıdık bir teknik nedenden dolayı modelleri dünya olarak kabul etmeye karşı çıkacağını düşünüyorum. İki

Montague'nin 1955 Tamlık Teoremi

Dünyalar, etki alanları ve yüklemlere atadıkları uzantılar açısından ( model olarak benzer) aynı olabilir , ancak erişilebilirlik ilişkilerinde aynı olmayabilir . Aynı şekilde, daha da açık bir şekilde, zamanlar söz konusu olduğunda; ve dünyalara ve zamanlara aynı şekilde davranılacağı düşünülüyordu. Dolayısıyla dünyaları (ya da zamanları) tanımlamak , model yapıları üzerinde zahmetli ve amaçsız bir kısıtlama empoze etmek anlamına gelebilirdi .

O halde Montague'nin 1955 teorisinin olası dünyalar anlambiliminin erken bir örneği olarak değil, Tarski'nin model teorisinin modal operatörleri içeren bir dile genişletilmesi olarak kabul edilmesi daha doğru olacaktır . Takip eden yıllarda Montague, Kalish2 ile birlikte önermeli modal mantık için tamlık problemi ^üzerindeçalıştı . İkisi "birçok kısmi sonuç" elde etti. Bu sonuçlar Aralık 1959'da bir APA toplantısında sunulacaktı . Toplantıdan kısa bir süre önce Montague ve Kalish, Journal of Sembolic Logic'in Aralık sayısında Kripke'nin geniş bir yelpazedeki modal sistemler için tamlık sonuçlarını duyuran bir özetini gördüler. öğeler (M, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8, E2, E3, E4, E5', M ve S2 arasında orta düzeydeki ilgili sistemler, Brouwersche aksiyomunu kullanan sistemler ve çeşitli deontik mantık sistemleri dahil ) (Kripke 1959b ) . Şaşıran Montague ve Kalish makalelerini geri çektiler. Kaplan, Montague'un S. Kripke'nin erkek mi kadın mı olduğunu merak ettiğini hatırlıyor; Kripke'nin çocuk olduğu ortaya çıkınca herkes şaşırdı.

²Bu paragraf Kalish (1998) ile yaptığım konuşmalara ve yazışmalara dayanmaktadır. Tırnak işaretleri Kalish'in sözlerini gösterir.

Bölüm

BEŞ

TEORİK BİLGİLERİMİZİN RASYONEL YENİDEN İNŞASI ÜZERİNE William Demopoulos

1 Giriş

Bu makaledeki odak noktam, başlangıçta FP Ramsey tarafından geliştirilen ve daha sonra Rudolf Carnap tarafından detaylandırılan fiziksel teorilerin rasyonel olarak yeniden yapılandırılmasıdır. Aşağıda açıklığa kavuşturulacağı gibi, Carnap-Ramsey'in teorik bilginin yeniden inşası, klasik ampirist fikirlerin doğal bir gelişimidir; Russell'ın felsefi mantığı ve onun önermesel anlayış ve madde bilgisine ilişkin teorileri tarafından şekillendirilen bir fikirdir; bu haliyle, yalnızca ampirik bir teori kavramının şematik bir temsili değil, aynı zamanda fiziksel dünyaya ilişkin bilgimizin genel bir açıklamasının omurgasıdır. Bu sadece bilim felsefesi tarihindeki ilginç bir olay da değildir ; Carnap-Ramsey, elimizde kalan epistemolojik sorunlara, nihai olarak tatmin edici olmasa da, aydınlatıcı bir yaklaşımdır.

Başlangıç niteliğinde bir genel bakış sunmak gerekirse, klasik epistemolojik

William Demopoulos, "Teorik Bilgimizin Rasyonel Yeniden Yapılanması Üzerine " British Journal for the Philosophy of Science, 54(3) (2003), s. 371-403. Oxford University Press'in izniyle yeniden basılmıştır.

D. Devidi ve T. Kenyon (ed.), Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım, 84-127.

Russell'ın mantıksal keşiflerini uygulamaya çalıştığı konu , deneyimimizin kapsamına ilişkin asgari varsayımlar temelinde , maddi dünyaya ilişkin bilgimizin bir açıklamasının nasıl ifade edilebileceğini göstermekti. Çözüme doğru atılacak ilk adım , deneyimlerimizin sınırlarını aşan önermeleri anlamada başarılı olduğumuz gerçeğini ele almak zorunda kalacak . Bundan sonra gelecekler için asıl ilgi çekici olan, Russell'ın bu ilk adımı nasıl ele aldığıdır. Carnap ve Ramsey'in yeniden yapılandırma programında Russell'ın sorunu, teoriler teorisindeki bir meseleye dönüştürülür: mantıksal olmayan minimal bir kelime dağarcığının belirli bir seçimine dayanarak, teorik bilgimizi ifade açısından eşdeğer bir çerçeve içinde kurtarmak , Mantıksal sonuç, referans ve doğruluk kavramlarına ilişkin analitik öncesi uygulamalarımızın karakteristik özelliklerini koruyan bir çerçeve. Teorik bilgimizle ilgili birçok pre-analitik sezgiyi kurtarmaları her iki program tarafından da kabul edilen bir yeterlilik koşuludur. Bu nedenle, hem klasik hem de yeniden inşacı programların temelci imaları olmasına rağmen, onları teorik inançlarımıza ilişkin şüpheci şüpheler tarafından motive edilmiş olarak görmek bir hata olacaktır.

Carnap-Ramsey yeniden inşasının aşırı genelliği ışığında, onu fiziğin yeniden inşası olarak nitelendirmek taraflı görünebilir . Aslına bakılırsa, yaklaşımın örneklediği son derece şematik ve soyut tarz, yerini fiziksel teorilerin belirli sınıflarına ilişkin daha uzmanlaşmış temel araştırmalara bırakmıştır . Ne yazık ki bu değişim, inceleyeceğimiz yeniden yapılanma programının neyi başarmaya çalıştığı yeterince takdir edilmeden gerçekleştirildi . Carnap-Ramsey yeniden inşasının amaçları, bunun büyük bir genellikle ifade edilmesi gerektiğini gerektiriyordu; Her ne kadar yeniden yapılanma herhangi bir özel fizik teorileri sınıfının özelliklerine bağlı olmasa da , fiziğe uygulanabilirliği epistemolojik açıdan esastır. Carnap-Ramsey yeniden yapılandırma programının aşılmaz zorluklarla karşı karşıya olduğuna inanıyorum ve bunu göstermeye çalışacağım. Ama aynı zamanda Carnap ve Ramsey'in yeniden görüştüğünü de açıklığa kavuşturmayı umuyorum.

Yapılar yalnızca iç tutarlılık ve zarafete sahip olmakla kalmıyor, daha da önemlisi, rakip açıklamalarla karşılaştırılamayan bir düzeyde felsefi motivasyona da sahip. Araştıracağım programa ilişkin Russellcı arka planın gözden geçirilmesiyle başlayayım.

2 Russell'ın Önermelere Dayalı Anlama Teorisi

Russell'ın açıklamalar teorisini geleneksel bir epistemolojik soruna - yani maddeye ilişkin bilgimizin doğasını ve kapsamını belirleme sorununa - makul ölçüde iyi ifade edilmiş ilk uygulaması, teorinin aşağıdakilerin eklenmesiyle genişletildiği Felsefenin Sorunları'nda ortaya çıkar : İsimlerin açıklama teorisi ve istisnai basit bir önermesel anlayış teorisini veya anlam teorisini desteklemek için kullanıldı. Boş isimler meselesini bir kenara bırakacak olursak, Russell'ın anlam teorisi bize eğer bir S(n) cümlesi tanımadığımız bir bireyin n adını içeriyorsa , cümlenin ifade ettiği önermenin bu ismi taşıyanı içeremeyeceğini söyler. bileşenleri arasında yer alan isim. Bunun yerine ismin bir açıklamanın kısaltması olduğunu hayal etmeliyiz . Bu açıklama, sırasıyla, açıklamalar teorisi tarzında 'bağlamsal olarak tanımlanmış' olarak, ifade edilen önermenin uygun bileşenleri olan bireylere ve önerme işlevlerine yönelik ifadeler halinde analiz edilir. Bireyler ve önerme işlevleri öyle seçilmiştir ki sonuçta ortaya çıkan önerme Russell'ın Problemler'de "açıklamalar içeren önermelerin analizinde temel prensip" olarak adlandırdığı şeyi karşılar : Anlayabildiğimiz her önerme tamamıyla aşina olduğumuz bileşenlerden oluşmalıdır. Russell 1912, s.58).

Sorunlar teorisinin amacının, boş olmayan bir ismin ne anlama geldiğini ortadan kaldırmak değil, temel prensiple uyumlu olarak bir duyunun nasıl olduğunu açıklamak olduğuna dikkat edin.

ismi içeren cümle anlaşılmaktadır. ¹Örneğin, 'Bismarck zeki bir diplomattı' cümlesini anlıyorum çünkü yalnızca Bismarck'ın karşılayabileceği bir önerme işlevine aşinayım. Konuyu ortaya koymanın yararlı bir yolu, bu cümleyle öne sürdüğüm önermenin bir bileşen olarak Bismarck'ı içermesine ve onun hakkında bir şeyler söylemeyi başarmama rağmen , onun ifade ettiğim önermenin bir bileşeni olmadığını söylemektir . ²Varsayıma göre, 'Bismarck' isminin taşıyıcısı mevcuttur ve bazı (muhtemelen karmaşık) önermesel işlev ifadelerini karşılayan benzersiz bireydir. Nasıl-

¹Russell'ın 'bağlamsal tanım' kullanımı konusunda her zaman tutarlı olmaması bu noktanın açıklanmasını zorlaştırmaktadır. Aslında Russell, tamamlanmamış bir sembolün bağlamsal analizi ile bir varlığın veya 'tam sembolün' açık tanımı arasındaki ayrım konusunda oldukça net olmayabilir; hatta bazen iki kavramı eşitleyebilir . Bakınız, örneğin Mantıksal Atomizm'den aşağıdaki pasaj : 'Dr. Whitehead ve benim deneyimlerimiz sonucunda matematiksel mantığa uygulanabilir olduğunu bulduğumuz ve o zamandan beri diğer çeşitli alanlara uyguladığımız çok önemli bir buluşsal düstur, Ockham'ın teorisinin bir biçimidir. Ustura. ... İlke şu şekilde ifade edilebilir: "Mümkün olan her yerde, bilinmeyen varlıklara yapılan çıkarımlar yerine bilinen varlıklardan yapılan yapılar koyun." İlkenin çok önemli bir örneği, Frege'nin belirli bir terim kümesinin asal sayısını, verilen kümeye “benzer” olan tüm kümelerin sınıfı olarak tanımlamasıdır. . Dolayısıyla bir asal sayı, belirli bir sınıfa benzeyen tüm sınıfların sınıfıdır. Bu tanım, asal sayıların yer aldığı tüm önermelerin doğruluk değerlerini değiştirmeden bırakır ve aritmetiği anlaşılır kılmak dışında hiçbir zaman ihtiyaç duyulmayan ve artık kullanılmayan "asal sayılar" adı verilen bir varlıklar kümesine yönelik çıkarımlardan kaçınır. bu amaç için gerekli. . Bir başka önemli örnek, benim "kesin açıklamalar" dediğim şeyle ilgilidir, yani "en çift", "İngiltere'nin şimdiki Kralı", "Fransa'nın şimdiki Kralı" gibi ifadeler. Bu tür önermeleri “Fransa'nın şu anki Kralı yoktur” şeklinde yorumlamak her zaman zor olmuştur. Zorluk, bu önermenin konusunun “Fransa'nın şimdiki Kralı” olduğunu varsaymamızdan kaynaklanıyordu. ... Gerçek şu ki, "falanca" kelimeleri bir önermede geçtiğinde, önermenin karşılık gelen tek bir bileşeni yoktur ve önerme tam olarak analiz edildiğinde "falanca" kelimeleri “kayboldu .” (Russell 1924, s. 326-28) Russell burada, bir şeyi tamamlanmamış bir sembol olarak ele almak için bazı bağımsız motivasyonların olması gerektiği gerçeğini gözden kaçırmıştır; bu, bağlamsal tanımlama yönteminin salt uygulanabilirliğinden daha fazlasıdır.

^{2 Bu ayrımın daha kapsamlı bir incelemesi ve bunun
Rus}sell'in önermesel anlayış teorilerinde

oynadığı rol için bkz. (Demopoulos 1999).

Tanıdık olarak tanınmayan Bismarck, hiçbir zaman bizzat ifade edilen önermenin bir parçası değildir. O, hiçbir zaman yalnızca kendisinin sahip olduğu bir mülkü tanıdığımız için başvurabileceğimiz, hakkında iddialarda bulunabileceğimiz biri değildir. Örneğin, Bismarck, Alman İmparatorluğu'nun ilk Şansölyesi olarak tanımlanırsa, o zaman Bismarck hakkında iddialarda bulunmayı başarabilirim çünkü diğer şeylerin yanı sıra, 'x , y'nin Şansölyesidir ' ile ifade edilen ilişkiyi biliyorum .

Problemler'in ana derslerinden biri- onun isimlerin tasvir teorisine ilişkin az önce incelediğimiz gözlemlere dayanmaktadır . Russell'ın yeniden inşasında Berkeley yanıltıcı bir şekilde temel prensibin ne hakkında bilgi sahibi olabileceğimizi, hangi önermeleri öne sürebileceğimizi kısıtladığını varsaydı; ama aslında sadece ifade edebileceğimiz önermeleri kısıtlıyor. Russell'ın yeni önerme teorilerinin ve maddi dünyaya ilişkin bilgilerimize uygulanması, üç açık varsayımdan ve bir örtülü varsayımdan kaynaklanmaktadır. Açık varsayımlar şunlardır: ( i ) maddeyi tanımıyoruz; ancak (ii) atıfta bulunmayı düşündüğümüz maddi nesne tarafından benzersiz bir şekilde tatmin edilen bir tanımlamayı formüle etmek her zaman mümkündür; ve ( iii ) bu açıklamalar yalnızca önerme işlevlerini ve aşina olduğumuz bireyleri içerir . Örtülü varsayım, (iv ) aşina olduğumuz önerme fonksiyonlarının, mantıksal olarak ilkel bileşenlerinin yalnızca aşina olduğumuz terimlere uygulanacağı şekilde seçilebileceğidir. Örtülü varsayım ( iv ) olmasaydı, Berkeley'in eleştirisi ve Russell'ın teorisinin epistemolojik önemi ciddi şekilde sınırlı olurdu, çünkü bu görüşün maddi dünyanın yalnızca bir kısmı hakkındaki gerçekçiliği, diğer kısmı hakkındaki gerçekçiliğe göre güvence altına aldığına itiraz edilebilir.

Örtük varsayımın tam olarak nasıl karşılanacağı, Problems'in yalnızca ima ettiği bir şeydir, örneğin Russell şunları yazarken:

... eğer bir alay adam bir yol boyunca yürüyorsa,
alayın şekli farklı görünecektir

Farklı bakış açıları var ama erkekler her açıdan aynı sırayla düzenlenmiş gibi görünecek. Dolayısıyla düzenin fiziksel uzayda da doğru olduğunu düşünüyoruz, halbuki şeklin yalnızca düzenin korunması için gerekli olduğu ölçüde fiziksel uzaya karşılık gelmesi gerekiyor. (Russell 1912, s. 32-33)

onun 'yapısalcılığının' uzun uzadıya ifade edildiği Maddenin Analizi'nde verilmektedir . ³Berkeley'e verilecek yanıtın gerektirdiği şey, aşina olmadığımız herhangi bir şeyi adlandıran veya gösteren ilkel, mantıksal olmayan sözcük dağarcıklarından vazgeçmemize izin verecek bir kuramdır - ve ilkel yüklemler söz konusu olduğunda, yalnızca bunları kabul eden bir kuramdır. aşina olduğumuz şeyler için doğru olan ilkel, mantıksal olmayan yüklemler; aynı zamanda tanıdıklarımızın alanı dışında kalan şeyler hakkında bilgi sahibi olmamıza izin verir. Özellikle, maddeye ilişkin bilgimize uygulanmasında, maddi dünya hakkındaki gerçekleri ifade eden önermeleri formüle etme yeteneğimizin, hiçbir şekilde o dünyayla tanışmamızı gerektirmediğini açıklayacak bir teori talep ediyoruz. Russell'ın yapısalcılığının gerçekleştirmeyi amaçladığı şey işte bu arzulardı.

Prin cipia Mathematica'nın 'ilişki aritmetiği'ndeki detaylandırılması açısından yapının genel karakterizasyonunun ne olduğunu hatırlayalım . Russell'ın yapı tanımının dayandığı model, bire bir yazışma ilişkisi altında benzerlik sınıfları olarak asal sayıların Frege-Russell tanımıdır. Frege'nin Grundlagen'de algıladığı ve Russell'ın birkaç yıl sonra keşfedeceği gibi, tamamen mantıksal terimlerle tanımlanabilen bire-bir örtüşme kavramı, uzay-zamansal sezgiden bağımsızdır. Buradan, bunun yapısal benzerlik için de geçerli olması gerektiği sonucu çıkar , çünkü

³Russell'ın yapısalcılığı (Demopoulos 2003) ve (Demopoulos & Friedman 1985)'de daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

yalnızca bire bir uygunluk kavramına ve genel ilişki kavramına dayanır. Dolayısıyla Russell'a göre yapısal benzerliğin felsefi ilgisi, saf mantığın bir kavramı olarak deneyime veya Kant'ın sezgisine hiçbir şey borçlu olmadığı gerçeğinden kaynaklanmaktadır .

Çok erken bir dönemden itibaren Russell, kendi yapı açıklamasını, felsefecilerin görünüş ile gerçeklik arasında veya Kantçı terminolojiyi kullanırsak, görünüş ile gerçeklik arasında var olduğunu varsaydıkları benzerliğin doğasını ifade etmenin mümkün olabileceği bir çerçeve sağlamaya muktedir olarak görmüş gibi görünüyor. fenomenal ve noumenal dünyalar - bu noktanın önemi Russell'da kaybolmadı ve sanırım, doğuşunu mantıkçılığa borçlu olan bir kavramın Kant'ın öğretisinin ifade edilmesine yararlı bir şekilde katkıda bulunabilmesi ironisi de değildi. Daha önceki girişimleri yenilgiye uğratan şey, aralarında var olduğu varsayılan uçurumu ortadan kaldıracak kadar büyük olmayan ve önemli bir benzerlik duygusu olarak kabul edilemeyecek kadar da hafif olmayan bir benzerlik kavramının eksikliğiydi . . Russell, yapısal benzerlik kavramının keşfiyle bu metafizik ve epistemolojik sorunu çözdüğüne inanıyordu.

Russell'ın Kant'a başvurmanın nasıl olması gerektiğine dair tablosu şuna benziyor: Bize sezgi yoluyla verilmeyen numenal dünyanın, görünüşe göre, fenomenal dünyayla ortak özelliklere sahip olması istenemez . Bu bizi numenal dünyanın neye benzediğine dair herhangi bir anlayışın nasıl formüle edileceğini ve onun nasıl bilinebileceğini anlama sorunuyla karşı karşıya bırakıyor. Ancak yapısal benzerliğin salt mantıksal bir niteliğe sahip olması nedeniyle sezgiden bağımsızdır. Dolayısıyla numenal dünya, fenomenal dünyanın izomorfik bir kopyası olarak ortaya çıkar; bu kopyanın fenomenler dünyasıyla gerekli benzerliğe sahip olduğunu varsayabilir, ancak bu şekilde kendimizi fenomenal dünyanın herhangi bir sezgisel özelliğini paylaştığı fikrine teslim edemeyiz. Bu benzerlik kavramını salt mantıksal araçlarla yakalamak mümkün olmasaydı, bu düzeyde bir benzerliği varsaymamız bile engellenirdi.

Noumena ve fenomen arasındaki ilişki ve dolayısıyla fenomenlerin ardındaki dünyaya ilişkin bir tür idealizme yönelmiş olabilir. Tamamen mantıksal olan yapısal benzerlik kavramı bizi idealizme doğru olan bu eğilimden korur, çünkü bu, numenal dünyayı düzenleyen ilişkiler hakkında, bu ilişkilerin sezgisel bilgisini varsaymaya gerek kalmadan nasıl bilgi sahibi olabileceğimizi gösterir. ⁴

Şekil ve düzene ilişkin Sorunlar kitabından yaptığımız alıntının altında da yattığı açıktır : buna gerek yok

⁴Metinde belirtildiği gibi, yapısalcılık Maddenin Analizi'nde uzun uzadıya geliştirilmiştir, ancak bu görüşün bu uygulaması Matematiksel Felsefeye Giriş'te zaten duyurulmuştu : 'Geleneksel felsefede, bu konuyla ilgili olabilecek pek çok spekülasyon olmuştur. Eğer yapının önemi ve onun arkasına geçmenin zorluğu fark edilmiş olsaydı, bundan kaçınılırdı. Örneğin, sıklıkla uzay ve zamanın öznel olduğu söylenir ancak bunların nesnel karşılıkları da vardır; ya da fenomenlerin öznel olduğunu, ancak kendi başlarına şeylerden kaynaklandığını ve bunların, yol açtıkları fenomenlerdeki farklılıklara karşılık gelen kendi aralarında farklılıklara sahip olması gerektiğini. Bu tür hipotezlerin ileri sürüldüğü durumlarda, genellikle nesnel karşılıkları hakkında çok az şey bildiğimiz varsayılır. Ancak gerçekte, belirtilen hipotezler doğru olsaydı, nesnel karşılıklar, fenomenal dünyayla aynı yapıya sahip olan ve soyut terimlerle ifade edilebilecek tüm önermelerin doğruluğunu fenomenlerden çıkarmamıza izin veren bir dünya oluştururlardı. ve fenomenler için doğru olduğu bilinmektedir. Eğer fenomenal dünyanın üç boyutu varsa, fenomenlerin ardındaki dünyanın da öyle olması gerekir; eğer fenomenal dünya Eukleidesçi ise , diğeri de öyle olmalıdır; ve benzeri. Kısacası, iletilebilir bir öneme sahip olan her önerme, her iki dünya için de doğru olmalıdır ya da hiçbiri için geçerli olmamalıdır: Tek fark, her zaman kelimelerden kaçan ve tanımlamayı şaşırtan, ancak tam da bu nedenle bilimle ilgisi olmayan bireyselliğin özünde yatmalıdır. Felsefecilerin fenomenleri kınarken göz önünde bulundurdukları tek amaç, kendilerini ve başkalarını gerçek dünyanın görünüş dünyasından çok farklı olduğuna inandırmaktır. Böylesine çok arzu edilen bir öneriyi kanıtlama isteklerini hepimiz anlayışla karşılayabiliriz, ancak başarılarından dolayı onları tebrik edemeyiz. Birçoğunun fenomenlerin nesnel karşılıklarını öne sürmediği doğrudur ve bunlar yukarıdaki argümanın dışındadır. Benzerlerini ileri sürenler, kural olarak, bu konuda çok suskundurlar, çünkü muhtemelen içgüdüsel olarak takip edilirlerse bunun gerçek dünya ile fenomenal dünya arasında çok fazla yakınlaşmaya yol açacağını hissederler. Eğer konuyu takip edecek olsalardı, bizim öne sürdüğümüz sonuçlardan kaçınmaları pek mümkün olmazdı. Bu gibi açılardan, diğer pek çok açıdan olduğu gibi, yapı kavramı da önemlidir. (Russell 1919, s.61-2)

izin verdiği şekilde, bu ilişkinin yapısını ifade edebildiğimiz sürece, alayın üyeleri arasındaki ilişkiyi bildiğimizi varsayabiliriz . Benzer şekilde, maddi dünyadaki olaylar arasında var olan ilişkilerin yapısını da ifade edebilmemiz gerekir ve bu temelde, fenomenlerin ardındaki dünyaya uygun tüm 'uzay-zamansal' çerçevenin inşa edilmesi umut edilebilir. Bu çerçeve aracılığıyla, aşina olmadığımız, ancak haklarında birçok önermede bulunmak istediğimiz tüm maddi olayları tanımlamaya devam edebiliriz. Ancak bunu başarmak için bu çerçeveyi oluşturan ilişkilere aşina olmamıza gerek yok.

mantıktaki teknik bir fikrin felsefi bir probleme zarif bir uygulamasıdır . Ancak önemli bir sınırlamaya tabidir. Eğer numenal dünyanın fenomenal dünyayla eşbiçimli olduğu ifadesinin onun tanımının bir parçası olmaktan öte bir şey olmasını amaçlıyorsak -yani bunun aynı zamanda numenal ve fenomenal dünyaların yapısal olarak benzer olduğuna dair anlamlı bir iddia olmasını da amaçlıyorsak- o zaman üstü kapalı olarak, şeylerin kendi içlerinde var olan ilişkilere , onların fenomenal ilişkilerle benzerliklerinin karakterize edildiği tekabüllerden bağımsız olarak erişebildiğimizi varsayıyoruz . Aksi takdirde, yapısal benzerliğin noumenal ve fenomenal dünyaların karşılaştırılabilirliğini korumamıza izin verdiği yönündeki gözlem, yalnızca bir şarta dayanmaktadır; numenal dünyanın karakteri izomorfizm açısından tanımlanmıştır . Sezgiye hiçbir şey borçlu olmadığından yapısal benzerlik, şeylerin kendi içlerinde söylenebilecek hiçbir şey olmadığı yönündeki itirazı gidermek için kullanılabilir . Ancak yönlendirildiğimiz numenal dünya anlayışında, onun fenomenal dünyaya olan benzerliğinin bir tanımın sonucu olduğu akılda tutulmalıdır.

benzerliklerini oluşturan haritalamadan bağımsız olarak verildiğinde anlamlı bir iddia olur . Bunun için bir aplikasyondan daha fazlasına ihtiyacımız var.

uygun şekilde genel benzerlik kavramı; ayrıca aralarında benzerliğin olduğu varsayılan ilişkiler hakkında da bağımsız bilgiye sahip olmalıyız. Kendi başlarına şeyler arasındaki ilişkilere dair bilgi tamamen yapısal olamaz; bunlar sadece uygun bir haritalama altında fenomenler arasındaki ilişkilerin görüntüleri olarak bilinemez ; çünkü bu onların fenomenler arasındaki ilişkilere benzerlik iddiasını bir totoloji haline getirir. . Ancak kendinde şeyler 'kendilerinde' olduklarından sezgisel de olamazlar. Bu nedenle numenal dünya, yakalanması zor karakterinin neredeyse tamamını korumuş gibi görünüyor . Mutatis mutandis, iki ilişkiler sisteminin birbiriyle bağlantılı olduğu tezinin önemsizliğini korumayı amaçlıyorsak, fiziksel dünyadaki olaylar arasındaki ilişkiler, aşina olduğumuz olaylar arasındaki ilişkilerin eşbiçimli imgesi olarak tanımlanamaz. benzer. Göreceğimiz gibi, bu zorluk oldukça yaygındır ve daha sonraki gelişmeler bağlamında daha keskin bir biçimde yeniden ortaya çıkan bir zorluktur.

Son olarak, sonuç olarak şunu belirtelim ki, Russell'ın tanıma ve tanımlama arasındaki ayrımı kullanması, şu ya da bu varlık hakkında bilgi sahibi olmamız için aşinalık yoluyla bilgiye ihtiyaç duyulmamasına rağmen, bir önerme fonksiyonunun bilgisinin benzersiz bir şekilde karşılandığı varsayımına dayanmaktadır . söz konusu varlığın kendisine atıfta bulunulmasını sağlamak için yeterlidir. Referans bilgisini, neyi kastettiğimize (veya kimin vb .) bilgisini beraberinde getiren bir şey olarak düşünürsek, bu varsayım sorgulanabilir . Aslında Russell, referansın başarılı olması için böyle bir bilginin gerekli olduğunu düşünmüyor . Bunun yerine, böyle bir bilgiye -benim "ne-bilgisi" diyeceğime- sahip olmanın tanışıklık yoluyla bilgi gerektirdiği görüşünü destekliyor. Ancak, eğer bilgi ile referans bilgisi arasındaki analitik öncesi bağlantı korunacaksa, tanıdıklık, bilgi için çok güçlü bir gereklilik gibi görünüyor. Dolayısıyla bilgi -tanıdık-açıklama bölümü tarafından kapsanmayan bir bilgi türü gibi görünüyor : Amerika Birleşik Devletleri'nin bir sonraki başkanının Seçici Kurul'da en fazla oyu alan kişi olacağını biliyorum ve ben x'in en fazla Seçimi aldığını

biliyorum

2000 ABD seçimlerindeki kolej oyları , tatmin edildiğinde benzersiz bir şekilde tatmin edilen önermesel bir işlevdir, ancak bunları bilerek ve bu ifadeyi kullanarak herhangi birine atıfta bulunmayı başarabildiğim en azından sorgulanabilir. ⁵Her ne kadar George W. Bush'u tanımıyor olsam da, onun kim olduğunu bildiğimi ve dolayısıyla bazen ona başarılı bir şekilde atıfta bulunabilmek için bir şartı yerine getirdiğimi varsaymak akla yatkındır. Kısacası, bize referans bilgisinin nelerden oluştuğunu söylemek için, tanımlama yoluyla bilgi çok 'zayıf' ve tanışıklık yoluyla bilgi çok 'kalın' görünüyor . Belki de Russell , atıfta bulunduğumuz önerme bileşenlerini daha da kısıtlamanın daha da kısıtlanacağını düşünmüştür. aşina olduğumuz bileşenlerle tanışıklığımız dışında olan şeyler, bilginin tanımlama yoluyla bu şekilde kullanılmasındaki zorluğu arttırmaktan ziyade, üstesinden gelir. Eğer öyleyse, yanılıyordu ve yanılgısının boyutu, onun fikirlerinin kuramlar kuramına kadar genişletilmesine ilişkin tartışmamızda açıkça görülecektir.

3 Ramsey'in Birincil ve İkincil Sistemleri

, Ramsey tarafından yapılan daha sonraki bir gelişmeyle bağlantısı şeffaf olacak şekilde sunmaya özen gösterdim . Russell'ın teorisinin bahsettiğim bir özelliği, tanıdık olmayan bir şey için bir ismin - ya da daha genel olarak mantıksal açıdan basit herhangi bir ifadenin - kullanılmasından kaçınma tekniğidir . Ramsey'in, ölümünden sonra yayınlanan 'Teoriler'inde, fiziksel bir teorinin 'içeriğinin', şimdilerde adlandırılacak olan şey tarafından yakalanabileceğini öne sürerken taklit ettiği, Russell'ın kendi tanımlamalar teorisini kullanmasının bu sonucudur. 'Ramsey cümlesi'. Gözlemsel yüklemleri O 1,... olan 0 = 0(O ₁,...,O _m; T 1 ,..., _Tn) teorisinin Ramsey cümlesi R(0) olduğu hatırlanacaktır . ,O _mve teorik yüklemler

⁵Bu noktanın detaylandırılması için bkz. (Cartwright 1987, s. 117).

T1 _{_} ,...,T _nsadece sonuçtur

3 X 1 ... 3 X n 9(O i ,...,O _m;X i ,...,X n )

Varoluşsal olarak teorik terimlerle nicelikselleştirme ve bunları uygun nitelik ve türdeki X1 ,...,Xn _{değişkenleriyle}yerleştirme _{( veya}R(9)' un temel mantığı birinci dereceden alınırsa sıralama). 9'un R(9) ile değiştirilmesi, Ramsey'in 9'un 'birincil önermeler sistemi ' dediği, gözlemsel sözcük dağarcığını içeren türetilebilir sonuçlar sınıfını korur ; Ramsey'e göre R(9)'un 9'un içeriğini yakaladığı söylenebilir . ⁶Fakat elbette R(9) teorik kelime dağarcığını (Ramsey'in sözde 'ikincil önermeleri' veya 'ikincil sistemi' olarak adlandırılan) içeren sonuçlar açısından 9'dan zorunlu olarak ayrılmalıdır .

Şimdi Ramsey'in önerisinin amacı, teorik terimlerin rolünü yalnızca 9'un tümdengelimli yapısında ele almak ve daha sonra onların rolünü yalnızca tümdengelimli yapısının birincil önermelerin türetilmesiyle ilgili olan kısmında ele almaktır. Aslında Ramsey, eğer 9, birincil önermelerinin yeterince açık çıkarımlarını içeriyorsa, o zaman bu çıkarımların R(9)'da bir temsiline sahip olduğunu gözlemledi. Ancak R(9) 'da ikincil önermelerin dönüşümleri olan 'önermeler', orijinal önermelerin teorik terimleri içerdiği her yerde değişkenler içerdiğinden , bunların anlamları , içerdikleri gözlemsel sözcük dağarcığının katkısıyla tükenir . Ramsey'in de belirttiği gibi,

[w]e, bu nedenle, eksikliğinin olduğunu söyleyebiliriz.

⁶R(9) 'un 9'un olgusal içeriğini izole ettiği fikri, 9'un bazı yüklemleri Ramsification'dan muaf tutulmadıkça savunulamaz ; aksi halde herhangi bir tutarlı birinci dereceden teorinin 'Ramsey cümlesi' tüm modellerde doğru olacaktır (L-doğru), bireylerin tanım kümesinin sonlu bir kardinal n için önem derecesi n olan her modelde doğru veya bireylerin tanım kümesinin belirli bir kardinal n olduğu her modelde doğru olacaktır . sayılamayacak kadar sonsuzdur. Bu, 9'un hiçbir yükleminin Ramsification'dan muaf olmaması durumunda, R(9) dili için modellerin hepsinin M = {M, P (M ^x),..., T (M) biçiminde olacağı gerçeğinden çıkar. ⁿ)}, P (Ml ⁾M'nin i'inci Kartezyen çarpımının kuvvet kümesi ve aşağıda ele alınan Newman'ın gözleminin basit bir uygulaması. Bu yorumu önerdiği için Aldo Antonelli'ye minnettarım.

sabitlerin değişkenlerle değiştirilmesinden kaynaklanan R(G) 'deki dönüşümlerinin tamamlanmamış olması ] tartışmalarımızı etkiler ama akıl yürütmemizi etkilemez. (Ramsey 1960, s. 232)

Ve Ramsey'e göre, yeniden yapılandırmamız gereken yalnızca bizim muhakememiz olduğundan, bu eksiklik konu dışıdır. Bir Ramsey cümlesi fikri, mantıksal türetmenin biçimsel karakteri hakkındaki bu temel gözlemden daha tartışmalı hiçbir şeye dayanmaz . Ancak elbette bunu kabul etmek, onun geliştirdiği -birincil önermelerin türetilmesinde yalnızca yardımcılar olarak- 'ikincil önermeler' görüşünün doğruluğunu kabul etmek anlamına gelmez.

_T1ve T2 _ikincilönermelerinde çatışırsa, bu çatışmanın 'Ramsifikasyon' altında korunmasına gerek olmadığı, ancak pekala 'varoluşsal olarak genelleştirilerek ortadan kaldırılabileceği' açıktır . Bununla birlikte, (English 1973)'deki bir gözlemi hatırlayarak işleri bir adım daha ileri götürmek mümkündür: Ayrık T-kelime dağarcıklarına sahip ancak çakışan O-sözcük dağarcıklarına sahip iki birinci dereceden teorinin bir tanesiyle tutarsız olması Craig İnterpolasyon Teoreminin bir sonucudur. bir başkasıysa, o zaman ortak O-kelime dağarcığında _{onları 'ayıran' bir a}cümlesi vardır , yani T1 bir şeyi _imaederken T2 -a'yı ima eder . Dolayısıyla _T1ve T2 _aynı'veri' ile uyumlu olamaz. Kanıt basittir: Eğer T _{1 ise} u T ₂tutarsızsa , Kompaktlık Teoremine göre sonlu Si alt kümeleri vardır _. ç T i (i = 1 , 2) öyle ki S ₁ u S ₂tutarsızdır. S _i'dekicümlelerin birleşimi a olsun . O halde 1 _,- a ₂anlamına gelir . Craig Enterpolasyonuna göre, a _1'ina'yı ve a'nın - a _2'yiima ettiği bir cümle vardır ; burada a , a ₁ve a _2'ninortak sözlüğündedir , yani a, ortak gözlemsel sözlüğünde formüle edilmiş bir O cümlesidir . T1 ve _T2'nin. _{_}Ancak o zaman T 1 ve T 2'nin her ikisi de tüm gözlemlerle uyumlu olamaz : eğer a geçerliyse o zaman T 2 yanlıştır ve eğer geçerli değilse T 1 yanlıştır. ⁷

⁷English'in tartışması bir dizi uygunsuzluk nedeniyle gölgelendi: English'in iddia ettiğinin aksine, onun gözleminin dayandığı argüman

Her ikisi de tüm gerçek O cümleleriyle uyumlu olan uyumlu Ramsey cümlelerinde iki tane olamaz . Orijinal teorilerimizin birinci dereceden olması koşuluyla, birinci dereceden model teorisinin uygulanması açısından Ramsey cümlelerinin ikinci dereceden olmasının bir önemi yoktur. Daha önce de belirttiğimiz gibi, Ramsey cümlesinin kullanımının ardındaki temel fikir , teorik terimlerin yalnızca mantıksal kategorisinin, birincil önermelerin çıkarımındaki rolleriyle ilgili olmasıdır. Değiştirme, orijinal kelime dağarcığının mantıksal kategorisini koruduğu sürece, bir teorinin Ramsey cümlesinin onun 'içeriğini' kapsadığını düşünen birinin, T 1 ve T 2'nin teorik kelime dağarcıklarının yenileriyle tek tip bir şekilde değiştirilmesine hiçbir itirazı olamaz. mantıksal olmayan sabitler, teorik sözcük dağarcıklarını ayrık hale getirir ve dolayısıyla T 1 ve T 2'nin Craig İnterpolasyonuna göre sonuç hipotezimizi karşılamasını sağlar. Dolayısıyla bir teorinin Ramsey cümlesiyle özdeşleştirilmesinin bir bedeli vardır: İki teorinin aynı verilerle uyumlu olabileceği ama yine de birbiriyle çatışabileceği fikrinden vazgeçilmelidir; böylece teoriler Ramsey cümleleriyle özdeşleştirildiğinde, Bazı ikincil önermelerdeki çatışmanın birincil önermede yansıtılması gerekir.

kavramının ele aldığı genel metodolojik konular, Ramsey'in 'gereksiz unsurların' ortadan kaldırılmasına yönelik ilgisini tüketmez . 'Teoriler' ile birlikte bulunan bir parça, Ramsey'in dikkate değer belirli vakalarla ilgilendiğini gösteriyor. Bu parçanın Ramsey'in makalelerinin herhangi bir yayınlanmış baskısında yeniden basılmamış olması talihsiz bir durumdur çünkü Ramsey'in Newton uzay-zamanını karakterize etme konusundaki temel sorunu dikkate değer bir netlikle algıladığını göstermektedir. ⁸Metin değerlidir

Robinson Tutarlılık Teoremini kullanmaz, ancak metinde verilen argümanın gösterdiği gibi, bu teoremin Craig teoreminden iyi bilinen bir türetilmesinin bir kısmını kullanır.

8 Konu, bilim felsefesi literatüründe kesin formülünü (Stein 1967) yayımlanmasıyla almıştır.

tam olarak alıntı yapıyorum:

Tamamen tatmin edici bir teoride, sanırım

( a) eksiksiz bir sözlüğe sahip olmak

( b) gereksiz unsurları yoktur.

(b) tam olarak tanımlanamaz: bu, daha basit bir eşdeğer teori elde edemeyeceğimiz anlamına gelir. Ancak bir parçayı olduğu gibi dışarıda bırakarak bunu başaramadığımızda, küçük bir dönüşümle bunu başarabiliriz. Weyl'in gereksinimleri (Weyl 1922, s. 87) Einstimmigkeit [oy birliği] ve no überflüssen gestandteile'dir [ifade fazlalığı].

, prensipte her teorik niceliğin değerlendirilebileceği ve onu değerlendirmenin tüm yollarının aynı sonuca yol açacağı anlamına geliyor gibi görünüyor . Prensip olarak burada yalnızca belirli olası deneyim süreçlerinin onun değerini belirleyeceği anlamına gelmelidir.

Değilse elbette gereksiz bir şey var (E.)g. mutlak uzaydaki hızımız belirlenemedi ve bu nedenle teorik fonksiyonların bazı doğruluk olasılıkları eşdeğer bir teori verir. (Dolayısıyla) bir miktar ekonominin mümkün olması gerekir, ancak çok fazla düşünmeden bunun nasıl olacağı açık değildir. Bu gerçekten iyi bir egzersiz olur.

Newton Mekaniğinin doğru formu nedir? Bu da mutlak ivmeye bir anlam verir(;) mutlak hız(,) yok.

Düz çizgiler ve sabit bir yön içeren bir tür geometri olmalı. Böyle bir geometrinin aksiyomatik bir tanımını vermek gerekir . ⁹

9 Bilimsel Felsefe Arşivi, Hillman Kütüphanesi, University of Pitts burgh, ms.numarası: 005-17-01, tarih Ağustos 1929. Pittsburgh Üniversitesi'nin izniyle alıntılanmıştır . Her hakkı saklıdır. Değişikliklerim (, ) arasına alınmıştır.

Ramsey'in ortaya koyduğu sorun -Newton Mekaniği için dört boyutlu afin geometrinin formülasyonu- Ramsey cümlesinin işaret ettiği genel metodolojik sorundan çok önemli bir açıdan farklıdır. Newton Mekaniğinin R'ye ( Newton Mekaniği) dönüşümü, ikincil önermeler sisteminin teorik formülasyonunu verili kabul eder , ancak Newton Mekaniğinin mutlak uzay olmadan yeniden formüle edilmesinin altında yatan fikir, onun teorik taahhütlerinin iyileştirilmesine yol açmasıdır. belirli varsayılan birincil önermeleri, yani mutlak hız ölçümünü bildirenlerin tümünü ortadan kaldırarak . Bunun aksine, 'Ramsify' yaptığımızda, birincil önermelerin doğru bir şekilde sınırlandırıldığını varsayarız, çünkü Ramsey cümlesine dönüşümde eğer bu yapılmadıysa sorunları düzeltebilecek hiçbir şey yoktur . Ancak bu sadece Ramsey'in birincil ve ikincil önermeler arasındaki ayrımının gerçekte Newton Mekaniği'ndeki mutlak uzay ve mutlak hıza atfedilen "fazlalık" türüne değinmediğini söylemek anlamına gelir , çünkü bunların gereksizliğinin kaynağı evrenin dinamik yapısıdır. teori: farklı dinamik yapıya sahip bir teoride mutlak uzay ve mutlak hız gereksiz olmayacak ve onların durumlarını bildiren önermeler böyle bir teoride tam olarak ortaya çıkacak ve teorinin temel önermeleri arasında yer alacaktır.

Karşıladıkları diğer kriterlere ek olarak, Ramsey'e göre uygun şekilde formüle edilmiş bir teorinin temel önermeleri Russell'ın temel ilkesini karşılar - hatta Ramsey deneyim adlarının açıklamalar olduğunu söyleyecek kadar ileri gider (Ramsey 1960, s. 213). adı geçen deneyimler mevcut deneyimler olmadığı sürece. Dolayısıyla isimlere karşı değişkenlerin epistemik önemi Ramsey için Russell için olduğu gibi hemen hemen aynıdır: isimler nasıl anlaşıldıklarının açıklanmasını gerektirir , değişkenler ise böyle değildir. Elbette Ramsey, birincil önermelerin kelime dağarcığını (gözlem veya O-kelime bilgisi) anlamamızın sorunsuz olduğunu varsayar . Ve yalnızca O-kelime dağarcığı sorunsuz olarak kabul edildiğinden , Ramsey'in açıklaması doğal olarak O-kelimelerinin bir uzantısı olarak görülüyor.

Bildiğimizin dışında kalan şeylerin isimlerinin anlamlarına ilişkin Russell'ın analizinin teorik yüklemleri durumu. Ramsey, teorik yüklemleri ortadan kaldırarak ve onları değişkenlerle değiştirerek, bunların varlığının ampirist bir önermesel anlayış teorisi için yaratabileceği zorluklardan kaçınır.

Ramsey, teorik yüklemlerin göndergelerinin tanıdık yoluyla bilinmediğini ve bu nedenle teorik yüklemlerin temel ilkeye uygun olarak anlaşılmadığını varsayar , ancak teorik yüklemlere ilişkin bilgimizin karakterine ilişkin olumlu bir açıklama sunmaktan kaçınır. Russell'ın yapısalcılığının çizgileri. Ramsey bu soruyu görmezden gelir ve bir başka soruya odaklanır: Russell'dan önemli ölçüde ayrılan Ramsey, dikkatini teoriyi oluşturan önermeler derlemesine çevirir ve ardından ikincil önermelerin içeriğini birincil sistemdeki sonuçlarıyla tanımlamanın etkisini değerlendirir. ¹⁰Yalnızca birincil sistemin kelime dağarcığının tamamen içerikli olduğu ve ikincil önermelere ilişkin anlayışımızın , mantık anlayışımız artı birincil sisteme ait kelime dağarcığından oluştuğu yönündeki örtülü varsayım, özünde Russell'ın görüşüdür. Yeni olan, Ramsey'in teorik sözcük dağarcığının tek tek terimlerinin anlamı meselesini, bunları değişkenler lehine ortadan kaldırarak atlaması, çünkü bunu başaran teknik aygıt bu fikre yol açıyor (daha sonra şu şekilde bulundu: Bir bütün olarak teorinin içeriğini birincil önermeler dizisiyle ifade etmeyi Carnap'ta göreceğiz. ¹¹

¹⁰Aşağıdaki pasajı karşılaştırın: 'Dış dünya hakkındaki bir önermenin anlamı, normalde onun doğruluğunun kriteri veya testi olarak kabul etmemiz gereken şeydir. Bu, ikincil sistemdeki önermeleri birincil sistemdeki kriterlerine göre tanımlamamız gerektiğini gösteriyor' (Ramsey 1960, s. 222-23).

¹¹'... akıl yürütme söz konusu olduğunda, [ ikincil önermelerin R(9)' daki dönüşümlerinin ] tam önermeler olmaması hiçbir fark yaratmaz, yeter ki tüm mantıksal bileşimleri [tek bir önermenin kapsamı içinde yer alıyormuş gibi yorumlayalım. varoluşsal] öneki. ... Çünkü söylediklerimizin bir kısmını bir hikaye hakkında, bir kısmını başka bir hikaye hakkında olarak almadığımız sürece, bir hikayedeki karakterler hakkında tıpkı gerçekten tanımlanmışlar gibi mantık yürütebiliriz' (Ramsey 1960, s. 232) ).

Daha sonraki gelişmelere geçmeden önce, Ramsey ile Russell arasındaki karşılaştırmanın dikkat çekici noktalarını kısaca özetleyeyim. Birincisi, Ramsey, teorik veya "T-kelime dağarcığı"nın göndergesel olduğu fikrini korumaya hazırdır; bununla birlikte, ilişkilerin "düzenini" (dallandırılmış hiyerarşi anlamında) zorunlu olarak korumaz; T-kelime öğeleri için 3'e bağlı değişkenler yalnızca d(O ₁,...,O _m; X ₁,...,Xn ₎matrisinin uygun basit türdeki varlıklar tarafından karşılanmasını gerektirir. Ramsey'in (Ramsey 1960, s.231) ifadesinin anlamının bu olduğunu düşünüyorum : '[sınırlı değişkenlerin değerlerinin] tamamen kapsamsal olarak alınması gerektiği açıktır. Uzantıları gerilimlerle dolu olabilir veya olmayabilir, ancak bunun birincil sistemden çıkarılabilecek sonuçlarla ilgisi yoktur.' İkinci olarak Ramsey, ikincil sistemin söz dağarcığının açık veya örtülü tanımlarını (örtük tanım kavramı Ramsey tarafından tartışılmamaktadır) verdiğini iddia etmez. Makale, ikincil sözcük dağarcığını birincil sözcük dağarcığı açısından açıkça tanımlamak için çeşitli olası genel stratejileri ele alıyor ancak 'ikincil sistemin daha yüksek bir çoğulluğa , yani birincil sözcük dağarcığından daha fazla serbestlik derecesine sahip olması nedeniyle bunun olası olmadığı sonucuna varıyor ... ve bu gibi. çeşitliliğin artması ... [muhtemelen] yararlı teorilerin evrensel bir özelliğidir' (Ramsey 1960, s. 222). Bu son noktaya göre , Ramsey'in yaklaşımı, açık tanımlar sunmayarak, Russell'ın sorunlu isimlere ilişkin bağlamsal tanımını yansıtmaktadır. Ancak T-terimlerini Russell'ın kullandığı anlamda bağlamsal olarak analiz etme sorunu yoktur, çünkü R(d), birincil sistemden alınan cümleler üzerinde d' ye yalnızca 'zayıf' eşdeğerdir . Bunun tersine, Russell'a göre, isimlerin açıklama teorisi tarafından gerçekleştirilen bir cümlenin [S(n)] ^{T dönüşümünün}, orijinal S(n) cümlesine eşdeğer olduğu varsayılmaktadır . Son olarak, Ramsey ve Russell arasındaki karşılaştırmamızın tamamen Russell'ın kendi tanımlamalar teorisini bizim tanıdıklarımızın dışında kalan şeylerin adlarına genişletmesini uygulamasına - onun tanımlamalar ve tanımlamalar teorisinden ortaya çıkan önermesel anlama teorisinin yönlerine - dayandığına dikkat edin. isimlerin açıklama teorisi - ve henüz

Sahip olduğumuz bilginin tanışıklık yoluyla bilgi olmadığı yönündeki minimalist iddianın ötesinde, maddeye ilişkin bilgimizin doğası ve fiziğin teorik ilişkilerine ilişkin Ramsey'in görüşüne her noktada başvurdu . Bu nedenle, Ramsey'in önermeli anlayış teorisini geliştirmesi, Russell'ın bunu kendi yapısalcılığı açısından detaylandırmasının geçerli olmadığı bir bakıma geçerli gibi görünebilir . Bir sonraki bölümde Carnap'ın ortaya attığı teorinin geliştirilmiş hali altında bile durumun böyle olmadığını göreceğiz.

4 Carnap'ın Bilim Dilini Yeniden İnşası ve Newman'ın Gözlemi

Gözden geçirmekte olduğum gelenekteki bir sonraki büyük gelişme, Carnap'ın, ilk olarak ^1959'dakiSanta Barbara Konferansı'nda sunduğu ve daha sonra (Carnap 1963) geliştirdiği 'bilim dili'nin olgun yeniden inşasıdır. Car nap'ın öncelikli hedefi , fiziksel bir teorinin gerçekleri gerçek olmayan varsayımlarından açıkça ayıran bir yeniden yapılandırma sağlamaktı . Carnap sık sık bilim dilinin ve günlük yaşamın yeniden yapılandırılmamış ^hercümlesinin hem olgusal hem de olgusal olmayan yönleri bulunduğunu, dolayısıyla dilimizin olgusal ve olgusal olmayan cümlelere keskin bir şekilde ayrılmasının yalnızca o dil. Önerilen yeniden inşası çok basit. Ramsey gibi o da bir bütün olarak teorinin gerçek içeriğine odaklandı. Ve Ramsey gibi o da bunu Ramsey cümlesine bağladı.

9'un olgusal içeriğini R(9) 'da konumlandırmayı haklı çıkaran belirleyici düşünce, R(9) 'un 9 ile aynı O-sonuçlarına sahip olmasıdır . Ancak Carnap,

¹²Yakın zamanda Stathis Psillos tarafından düzenlendi ve son derece bilgilendirici bir girişle birlikte (Psillos 2000) yayınlandı. Daha fazla tarihsel bilgi için (Psillos 1999)'un 3. bölümüne bakınız.

¹³Bakınız, örneğin, (Carnap 1963)'in 24. maddesindeki indirim cezaları ve Ramsey cümleleri hakkındaki tartışması, bunun onun görüşlerinin ilk formülasyonlarının bir özelliği olduğunu göstermektedir.

Teorinin olgusal içeriğinin Ramsey cümlesiyle tüketilmesiyle, 9'un koşullu veya olgusal olmayan bileşenini teorik yeniden yapılandırmanın uygun bir kısmına izole etmek için genel bir prosedür uygulamak. Carnap'ın yeniden inşasında, olgusal olmayan veya analitik bileşen, teorinin 'Carnap cümlesi' olarak adlandırılan, C(9) (=R(9) — 9) olarak adlandırılan, düşünceyi ifade eden bir cümle tarafından verilir. eğer herhangi bir şey teorinin Ramsey cümlesinin matrisini karşılıyorsa, o zaman yeniden yapılandırılmamış teorinin terimlerinin referansları da tatmin eder. Carnap, C(9)' un, R(C(9))'un L-doğru olma özelliğine sahip olduğundan ve dolayısıyla L-doğru olanlar dışında hiçbir O-sonucuna sahip olmadığından, bunun uygun bir şekilde olgusal olmadığını ileri sürer.

9 , R(9) ve C(9) arasında kaydetmemiz gereken bir takım basit bağlantılar vardır . 9 açıkça C(9) ve R(9)' un birleşimine eşdeğerdir . Ramsey'in 9 numaralı R(9) cümlesinin doğru olduğu varsayımı altında ,

9R (9 ) -9 ;

9'u karşıladığı 'olgusal' hipotez altında , 9 onun Carnap cümlesine eşdeğerdir. Daha da önemlisi, Carnap cümlesinin analitik olarak doğru (Carnap için 'olgusal olmayan') varsayımı altında, şu sonuç ^çıkıyor:

9R (9),

yani 9'un Ramsey cümlesine eşdeğer olduğu sonucu çıkar - Ramsey'in terminolojisini kullanırsak yalnızca birincil sistem üzerindeki eşdeğer değil, aynı zamanda eşdeğerdir . Ancak Carnap cümlesi analitik ve dolayısıyla zorunlu bir gerçek olduğundan, 9'un hiçbir şart olmaksızın Ramsey cümlesine eşdeğer olduğunu söyleyebiliriz . Sezgisel olarak, Carnap cümlesini analitik olarak kabul ederek -C(9)' un geçerli olduğunu şart koşarak- Carnap cümlesinin başarısız olduğu tüm modelleri kavramsal olarak mümkün olduğu kadar hariç tutuyoruz ; R(9)' un geçerli olduğu ancak 9'un başarısız olduğu bir model kesinlikle olası bir model değildir.

¹⁴Bkz. (Winnie 1970, s. 294).

Carnap'ın önerdiği yeniden yapılandırma ne kadar basit ve zarif olsa da, bunun fiziksel dünya hakkındaki teorik bilgimize ilişkin preanalitik anlayışımızın doğru bir yansıması olarak kabul edilemeyeceğini düşünüyorum . Bunu yapma girişiminin açıkça kabul edilemez sonuçlara yol açması, sanırım, Hilary Putnam'ın en eski ve en basit formülünün formülasyonunun temelinde yatan eski bir gözlemden (Newman 1928) çıkarılacak derstir. 'model-teorik argümanlar.' ¹⁵Newman'ın benim geliştireceğim gözleminin uygulanması -Putnam'ın 'metafiziksel gerçekçiliğe' karşı argümanını kullanmasının aksine- tamamen basittir. Sunum Newman'ınkinden yalnızca model-kuramsal terminolojinin kullanımı açısından farklılık gösterir; kavramsal olarak mesele tamamen aynıdır.

tüm gözlemsel sonuçları doğru olan bir teori (9) verildiğini varsayalım ; bu varsayımdan 9'un ampirik olarak yeterli ve tutarlı olduğu sonucu çıkar . Ayrıca 9'un gözlemsel sonuçlarının, belirli bir O-kelime dağarcığından üretilen cümlelerin bir alt kümesi olarak nitelendirilebileceğini varsayalım . Ayrıca, 9'un L (9) dilinin yorumunun yalnızca O-kelime dağarcığı için belirlendiğini ve T-sözcük dağarcığının yorumunun yalnızca T-terimlerinin mantıksal tipine ve türüne göre sabitlendiğini varsayalım; L (9) 'un 'kısmen yorumlandığı' söyleniyor. Kısmi yorumun, Russell'ın madde hakkındaki bilgimize ilişkin teorisini tartışırken, onun zımni varsayımı (iv) olarak tanımladığımız şeyin teoriler teorisindeki yansıması olduğuna dikkat edin: anladığımızı varsayma hakkına sahip olduğumuz mantıksal olarak ilkel yüklem ifadeleri , olası tanıdık nesnelerle sınırlıydı . Bu varsayım olmasaydı, O- ve T-kelime dağarcığı ve dolayısıyla Ramsey'in birincil ve ikincil sistemleri arasında ayrım yapmaya yönelik ampirist motivasyon kaybolacaktı. ¹⁶Ayrıca bunun ayrımlara bir itiraz olmadığına da dikkat edin.

¹⁵İlk kez (Putnam 1977)'de sunulmuştur.

¹⁶Tanınmış makale (Lewis 1970) sıklıkla incelemekte olduğumuz Carnap-Ramsey programının bir parçası olarak temsil edilmektedir. Bu asimilasyon bir hatadır. Lewis'in resmi aygıtı benimsemesi dışında

bilim dilinin yeniden yapılandırılmamış sözlüğü içinde tatmin edici bir şekilde ifade edilemeyeceğini gözlemlemek . Araştırdığımız teorileri yeniden inşa etmenin amacı, gözlemsel olan ile teorik olan arasındaki ayrımın amaçlanan işini yaptığı bir yeniden yapılanma içerisinde, sahip olduğumuzu düşündüğümüz teorik bilgiye ulaşmanın mümkün olduğunu göstermektir. -bildiğimizi düşündüğümüz şeyin aslına sadık bir temsilini verebiliriz. 9'un amaçlanan herhangi bir modelinin gözlemlenebilir kısmını izole edebildiğimiz sürece , yeniden yapılandırılmış 9 adet gözlemsel yüklemi, yeniden yapılandırılmamış kelime dağarcığının yüklemlerinin yorumlanmasının kısıtlamaları cinsinden tanımlanan yüklemleri yeniden yapılandırılmış dile dahil etmek her zaman mümkündür. etki alanının gözlemlenebilir öğelerinin alt kümesi. (Aslında, daha sonra göreceğimiz gibi, bu olasılık Carnap-Ramsey ile 'yapıcı ampirizm' arasında bir bağlantı kurar.)

Yukarıdakilerden açıktır ki Carnap için 9, Ramsey cümlesinin matrisiyle etkili bir şekilde özdeşleştirilmiştir ve bu tamamen onun görüşüne uygundur, çünkü Carnap, 9'un Ramsey cümlesi hakkında şunu söyler :

gerçekten de soyut değişkenlerin kullanımı yoluyla teorik varlıklara atıfta bulunur
... şunu belirtmek gerekir ki

Ramsey ve Carnap cümlelerine bakıldığında hem olumlu katkısı hem de ele aldığı felsefi kaygılar Carnap-Ramsey'e diktir. Lewis'in kendisi merkezi noktayı açıkça ifade ediyor, yani O-sözlüğü, Carnap-Ramsey yeniden inşasının iddia edilen epistemolojik ilgiye sahip olması için olması gerektiği şekilde kısıtlanmamıştır. Lewis'in makalesinin yakından incelenmesi, katkısının tamamen mantıklı olduğunu gösterecektir: Lewis, analizinin uygulandığı teorilerin, O-terimlerinin, bir modelin her otomorfizminin olması anlamında, T terimlerini örtülü olarak tanımlayacak şekilde olduğunu varsayar . O terimleriyle gösterilen ilişkileri koruyan teorinin dili, T terimleriyle gösterilen ilişkileri de koruyacaktır. Lewis'in başlıca katkısı, bu varsayımı ve Ramsey ile Car nap'ın açıklamasının biçimsel özelliklerini, altta yatan mantığı, anlamsız terimlerin olasılığına izin veren bir çerçeveye yerleştirmekten ibarettir. Bu başlı başına bir ilgiden yoksun olmasa da, Carnap-Ramsey'in yeniden inşasına yol açan felsefi motivasyondan yoksundur. (Lewis'in makalesinin konuyla ilgisini sorduğu için Philip Percival'e teşekkür ederiz.)

bu varlıklar… tamamen mantıksal-matematiksel varlıklardır, örneğin doğal sayılar, bunların sınıfları, sınıfların sınıfları vb. Bununla birlikte, R(9) açıkça olgusal bir cümledir. Dünyadaki gözlemlenebilir olayların, olaylarla önceden belirlenmiş bir şekilde ilişkilendirilen ve kendi aralarında belirli ilişkilere sahip olan sayılar, sınıflar vb. olduğunu söylüyor ; ve bu iddia açıkça dünya hakkında gerçeklere dayalı bir ifadedir. (Carnap 1963, s. 963)

Yani Carnap, Ramsey ile teorinin 'olgusal içeriğinin' birincil sistemin dilindeki sonuçlarından oluştuğu fikrini paylaşıyor; Kendi başlarına öne sürülen teorik iddialar karakter olarak 'tamamen mantıksal-matematiksel'dir . İdeal gazlar teorisi gibi yalnızca idealleştirme olarak geliştirilen bir teorinin Ramsey cümlesine geçmenin, orijinal teorinin sezgisel içeriğini kaybettiğimiz, çünkü Ramsey cümlesinin onu teoriyi ilerleten bir teori olarak temsil ettiği iddiasıyla itiraz ^{edilmiştir17}. İdeal gazlar teorisine ilişkin analitik öncesi anlayışımıza aykırı olan, örneğin ideal bir gazın var olduğu yönündeki yanlış iddia. Ancak Carnap'tan yaptığımız alıntının gösterdiği gibi, bu ön-analitik sezginin dayandığı idealleştirmeyi içeren teoriler ile idealleştirmeyi içermeyen teoriler arasındaki ayrımın anlaşılması, onun Ramsey cümlesini kullanımının tam olarak reddettiği şeydir. Carnap için korunması gereken tek şeyin uygun mantıksal kategorideki varlıklara gönderme olduğu ve bu varlıkların 'somut' ya da 'ideal' (soyut) olmasının bir önemi olmadığı çok güçlü bir şekilde vurgulanamaz . İdealleştirme durumu, bir teorinin olgusal içeriğini Ramsey cümlesinin içeriğiyle eşitlemede bir zorluğa işaret etse de, zorluk bu denklemin ideal sistem teorilerine ilişkin analitik öncesi anlayışımızı yakalamadaki başarısızlığından çok daha derinlere iner. . Şimdi göstereceğimiz şey budur.

9 tutarlı olduğundan , denklemin 'soyut' bir M modeli vardır.

¹⁷Bakınız (İngilizce 1973).

9'un T-cümleleri , ancak eğer doğrudan 9'un böyle bir 'soyut' modele sahip olduğu varsayımından yola çıkmak zorunda kalsaydık ve bunu çıkarsamasaydık felsefi açıdan ilgi çekici hiçbir şey kaybolmazdı (örn. 9'un formüle edildiği dil ) yalnızca 9'un tutarlılığından kaynaklanmaktadır . Herhangi bir genellik veya felsefi ilgi kaybı olmadan, 9'un amaçlanan alanıyla aynı önem derecesine sahip bir model olan bir M seçebiliriz . W'nin soyut M modelinin alanını değil , hakkında iddialarda bulunmak için 9'u aldığımız alanı, yani 9'un 'amaçlanan alanını' gösterdiğine izin verin . Hipoteze göre W , M ile aynı önem derecesine sahiptir . Bu nedenle, teorik söz dağarcığının her yükleminin M ve W arasındaki herhangi bir bire bir yazışma altında M'deki yorumunun W'deki görüntüsünü belirtmesine izin vererek kısmi yorumu 9'un teorik sözlüğüne genişletmek mümkündür . Örneğin T'nin 9'luk ikili teorik bir ilişki olduğunu varsayalım . ^Dahasonra T ^W'ninW'deki yorumu , M'deki T M yorumunun ty altındaki görüntüsü , M'den W'ye bir - bir olarak tanımlanır . Yapı gereği ( ^a, b) T ^M'deolduğundan ancak ve ancak tya, tyb} TW'de ise , ty bir izomorfizmdir; ve dolayısıyla, eğer M 9'un bir modeli ise W de öyledir .

9'un W'deki T-kelimesinin az önce tanımladığımız yorumuna ' 2 ' adını verin. I'e göre hakikati hakikatten ayırt edemeyen herhangi bir bilgi ve referans teorisi, I'e göre 9 doğruysa 9'un da doğru olduğu imasına kendini adamıştır . Ancak kardinalite hakkındaki varsayımımızın modulo, I altında 9'un doğru olduğu bir model teorisi meselesidir. Ben keyfiyim; onu kullanan yapı açıkça kabul edilemez çünkü 9'un doğru olup olmadığı sorusunu önemsizleştiriyor. Teorik bilgimizin, 9'un doğru olduğunu varsaydığımız yorumu yeterince kapsayan dilin bir yorumu olarak I'i dışlayamayan herhangi bir açıklaması , teorilerimizin, eğer doğruysa, içerdiği inancına olan saf güvenimizi açıklayamaz. dünyayla ilgili önemli teorik gerçekler. Gerçeği I kapsamındaki gerçekle eşitleyerek, teorik iddialarımızın doğruluğuna ilişkin

bilgimizi a posteriori karakterinden mahrum bırakıyoruz : modülo, kardinalite hakkında tek bir varsayım,

ampirik olarak yeterli bir teorinin teorik ifadeleri metalojik bir mesele olarak doğru çıkar. Ancak biz 9'un amaçlanan alanı üzerindeki doğruluğunu, neredeyse tamamen mantıksal bir argümanla güvence altına alınan bir gerçek olarak değil, önemli bir gerçek olarak kabul ediyoruz . Carnap'ın yeniden inşasında I'e göre hakikatin hakikatle özdeşleştirilmesini dışlayacak hiçbir şey bulunmadığından , teorilerimizin doğruluğunun temel bir özelliği kaybolmuştur ve bu nedenle Ramsey ve Carnap'ın yeniden inşalarının başarılı olduğu değerlendirilemez. ¹⁸

Az önce ulaştığımız sonuç John Winnie tarafından kısmen tahmin edilmişti (Winnie 1967). ^{19 Bununla birlikte Winnie'nin
vurgusu bizimkinden farklıdır, çünkü onun için göze çarpan nokta şudur: Eğer
bize}9'un doğru çıkacağı 'fiziksel' bir yorum verilirse , soyut olduğu için bir başkasını bulmanın hemen hemen her zaman mümkün olması , aritmetik ve kasıtsız bir yorum, bu da 9'u doğru kılıyor. Winnie'nin vurguladığı sorun bu nedenle, bunu sağlayacak koşulların bulunmasıdır.

¹⁸'Model-teorik argümanın' dayandığı gözlemin oldukça basit olduğuna dikkat edin. Özellikle, bu argüman, bırakın Lowenheim-Skolem Teoremi kadar karmaşık bir şeyi, herhangi bir önemli metalojik sonuca bile hitap etmemektedir . Bazı şeyleri, argümanın model-varoluş lemmasını gerektirecek şekilde formüle etmek mümkündür, ancak bu yanıltıcıdır çünkü 9'un anlamsal tutarlılığı Carnap -Ramsey tarafından kesinlikle verili kabul edilecektir ve bu nedenle türetilmesine pek gerek yoktur. Burada sunulduğu gibi argümanın bir permütasyon argümanı olmadığına da dikkat edin; bu tür argümanlar Putnam tarafından başka bağlamlarda kullanılmaktadır (aşağıdaki not 19'a bakınız), ancak bunlar bizim buradaki endişelerimiz açısından önemli değildir.

¹⁹Aritmetik bir modelin varlığı, Winnie'nin ikinci teoreminin içeriği ve makalesinin ana odağıdır. İlk teoremi, eğer W 9'un bir modeliyse , W *' nın da öyle olduğunu , bazı T-yüklemlerinin yorumlanması haricinde W *' nın W'ye benzediğini , modulo önemsiz bir kısıtlama olduğunu (aşağıda belirtilmiştir) gösterir. Winnie'nin tartışması, 9'un herhangi bir modelinin alanının, (sırasıyla) gözlemlenemeyen ve gözlemlenebilir varlıkların W _uve W _Oalt alanlarının ayrık birleşimi olduğunu ve T yüklemlerinin yorumunun W _{u
ile sınırlı olduğunu varsayar}. Önemsiz kısıtlama, eğer bir T yüklemi tekli ise , W u'da bir u vardır, öyle ki u , T'nin T ^Wyorumunda değildir ve eğer T n -adik ise , W u'da _şöyle
biru vardır _:u'nun TW'deki ^bazın -tuple'ların bir bileşeni olmadığı . Putnam (Putnam 1981, s. 217) bu türden bir mutasyon başına argümana başvurur , ancak argümanın geçerli olduğu koşulları doğru bir şekilde tanımlamaz. Putnam'ın iddiasına karşı bir örnek için bkz. (Keenan 2002, Bölüm 1).

yeniden yapılanmanın ifade edildiği çerçevenin varsayımlarından ödün vermeden bu tür kasıtsız yorumları hariç tutun . Ancak zorluğun bu şekilde sunulması yanıltıcıdır. Carnap-Ramsey yeniden inşası kabul edilemez çünkü 9 için soyut bir modelin varlığının, d' nin amaçlanan alanı üzerindeki doğruluğu için yeterli olduğunu ima ediyor . Yeniden yapılanmada gözden kaçırılan şey, doğruluk anlayışımızı yöneten preanalitik bir sezgidir ve bu, d' nin amaçlanan alanını sabitlemedeki herhangi bir zorluğu bir kenara bıraktığımızda bile gözden kaçırılır.

5 Yapıcı Deneyciliğin Genişletilmesi

Newman'ın gözleminin amacına ilişkin yaygın bir yanlış algı vardır ve bundan büyük ölçüde Putnam sorumludur. Yanlış algı, önceki 'model-teorik argümanın' ilgisinin, 'metafiziksel gerçekçiliği' ne kadar başarılı bir şekilde çürüttüğüne bağlı olarak ayakta kalması veya düşmesi gerektiğidir. Belki de bu karakterin argümanın çürüttüğü ilginç bir konumu vardır. Ancak bunu göstermek için gerçekçiliğin doğasına ilişkin oldukça kapsamlı bir araştırmaya girişmemiz gerekir ve eğer metafizik gerçekçiliğin argüman için uygun bir hedef olarak hizmet edecek makul bir versiyonunu bulmayı başaramazsak, şunu varsaymaya yönlendirilebiliriz: dayandığı gözlem, felsefi açıdan ilgi çekici hiçbir şey göstermemektedir. ²⁰Hiçbir şey gerçeklerden bu kadar uzak olamaz. Az önce incelediğimiz Carnap-Ramsey yeniden inşasıyla ilgisinin yanı sıra, Newman'ın gözleminin neredeyse doğrudan uygulandığı bir 'bilim epistemolojisi' de var. Bas van Fraassen'in 'yapıcı ampirizmi' esas olarak merkezi bir ilke ve bir çift tanımla karakterize edilir. Temel ilke , bir teoriyi ampirik olarak yeterli olarak kabul etmenin , onun doğru olduğuna inanmaktan her zaman daha rasyonel olduğudur . Tanımlar şunlardır : (i) bir teoriyi ampirik olarak yeterli kabul etmek, ' olguların', aşağıdaki modeller sınıfına ait bir modelin altyapısını oluşturduğunu savunmak anlamına gelir:

²⁰Örneğin bkz. (Chambers 2000).

teori ; ve (ii) bir teorinin doğru olduğuna inanmak, onun modelleri arasında dünyayı da içerdiğini kabul etmektir. ²¹Yapıcı ampirizmi, daha az ihtiyatlı ve ampirist olmayan muhalefetinden ayıran şey, hakikate ilişkin bilinemezciliği ve gözlemlenebilir olan ile gözlemlenebilir olmayan arasındaki ayrımın kelime dağarcığı temelinde çizilmemesi, fakat bilginin alt yapılarının sınırlarının çizilmesiyle ilgili olmasıdır. Teoriyi oluşturan modeller. Yapıcı ampirizm, teorilerin (yani teorilerin içerdiği modellerin) amaçlanan alanlarında gözlemlenemeyenler içerdiğini inkar etmez; bir teorinin onlar hakkındaki iddiaları yalnızca agnostiktir . Carnap-Ramsey ile ortak noktası -formülasyonların anlamsal teori görüşünün tercih ettiği çerçeveye aktarılması durumunda- bir teorinin doğru olduğunu iddia etmenin, teoriye ait bir modelin var olduğunu söylemek olduğu fikridir (hatırlayın). Van Fraassen'e göre bir teori, dünyaya 'karşılık gelen' bir model sınıfıyla tanımlanır:

Benim görüşüme göre, fiziksel teoriler aslında gözlemlenebilir olandan çok daha fazlasını tanımlamaktadır, ancak önemli olan, gözlemlenebilir fenomenlerin ötesine nasıl geçtiklerinin doğruluğu veya yanlışlığı değil, ampirik yeterliliktir. bir yapı ailesini ve modellerini tanımlamak ; ve ikincisi, bu modellerin belirli kısımlarını ( ampirik altyapıları) gözlemlenebilir olguların doğrudan temsiline aday olarak belirlemek. Deney ve ölçüm raporlarında tanımlanabilecek yapılara görünüş diyebiliriz; Teori, tüm görünümlerin o modelin ampirik alt yapılarına eşbiçimli olmasını sağlayacak bir modele sahipse ampirik olarak yeterlidir . (van Fraassen 1980, s. 64)

Ancak bir teori, doğru önem alanlarına sahip ampirik olarak yeterli modellerden oluştuğu sürece, yapıcı ampirizm, bir teorinin doğru olduğu görüşüne bağlı kalır.

²¹Bkz. (Ladyman 2000) ve (Alspector-Kelly ortaya çıkacak).

ampirik olarak yeterli olması koşuluyla. Sorun, yapıcı deneyciliğe karşı gerçekçilik değil, yapıcı deneyciliğin ifade edildiği çerçevenin (teorilere anlamsal bakış açısı) teorik iddialarımıza doğruluk atfetmemize yüklediğimiz sezgisel duyguyu başarılı bir şekilde kurtarıp kurtarmadığıdır. Yapıcı ampirizm bu duyguyu yakaladığını varsayar ve teorilerimizin doğru olduğu inancına karşı çıkmaya devam eder. Buradaki zorluk, fenomenlerin ötesine geçen teorik iddiaların doğruluğuna ilişkin kendi açıklamasında, gerçek ile ampirik yeterlilik arasında seçim yapılacak neredeyse hiçbir şeyin olmamasıdır. Bu, bir teoriyi yalnızca ampirik olarak yeterli olarak kabul etmekten ziyade doğru olduğuna inanmanın önemli bir felsefi bağlılık olduğu fikrine (analitik öncesi sezgiye ve görünüşe göre yapıcı deneycilere açıktır) aykırıdır . Tartışmalı olan, teorilerimizin doğru olduğuna inanıp inanmamamız gerektiği değil -her ne kadar bu önemli bir konu olsa da- ancak yapıcı ampiristlerin böyle bir inancın nelerden oluştuğunu yakalayıp yakalamadıklarıdır, çünkü daha önceki yapımızı kullanarak her zaman herhangi bir varsayımın doğru olduğunu garanti edebiliriz . fenomeni kurtaran teori, dünyayı da içerdiği modeller arasında içerir : Hipotez olarak, teorinin ampirik olarak yeterli ve kısmen soyut modellerinden biri, dünyayla veya gözlemlenebilir ve gözlemlenemeyen varlıkların 'amaçlanan alanı' ile birebir örtüşmektedir . Carnap-Ramsey'e karşı argümanımıza tam bir benzetme yaparak, bu amaçlanan alan üzerindeki teorik ilişkileri tanımlayın , öyle ki, örneğin T ^W{a, b)' yi ancak ve ancak (q> ¹a, q> ^[b'/) ise tutar TM'ye aittir , burada q>, M'den W'ye birdir ve M n W'nin ( M ve W'nin gözlemlenebilir kısmı) kimlik haritasıdır . Bu , yalnızca fenomeni kurtaran ^birteoriyi gerçeğe dönüştürür, çünkü dünyanın teori olan modeller sınıfının bir üyesi olmasını sağlar, ama sonra, bir teoriyi ampirik olarak yeterli olarak kabul etmenin her zaman daha rasyonel olduğunu söyleyen yapıcı ampirizmin temel ilkesine ne oldu? Bunun doğru olduğuna mı inanıyorsunuz? Bu , amaçlanan alanın önemine ilişkin bir bilinemezcilikten başka bir şeye dayanmıyor gibi

görünüyor .

böylece 'yapıcı ampirizm + teorilere anlamsal bakış açısı' kombinasyonunun doğası gereği istikrarsız bir pozisyona yol açtığını gösterir.

6 Putnam'ın Model-Teorik Argümanı ve Teorilere Anlamsal Bakış

Gözden geçirdiğimiz düşüncelerin Carnap'a karşı gücünü, van Fraassen'in (van Fraassen 1989, Bölüm viii, Bölüm 6 ve Bölüm ix, Bölüm 3) 'sözdizimsel' görüş olarak adlandırdığı şeye olan bağlılığından kaynaklanıyormuş gibi görünebilir. Van Fraassen'in teorilere ilişkin kendi 'anlamsal' görüşünün aksine teoriler. Anlambilimsel açıdan açıkça şunu varsaydığımızı hatırlayın:

9 9 doğrudur 9 amaçlanan modellerin bir sınıfına sahiptir ,

böylece bu görüşe göre 9'un doğruluğu her zaman 'amaçlanan' bir modele göre anlaşılmaktadır . Aslında anlamsal bakış açısından bir teori, amaçlanan modeller sınıfıyla tanımlanır ve bir teorinin doğruluğu, dünyanın amaçlanan modeller sınıfından biri olan teori olmasından oluşur. Belki de anlamsal görüşün ısrarla üzerinde durduğu amaçlanan modellere yönelik kısıtlama, Carnap'ın sözdizimsel açıklamasının maruz kaldığı zorluklara karşı onu savunmasız kılmamaktadır.

Ancak burada 'amaçlanan model'in (veya ' amaçlanan yorumun') iki anlamı söz konusudur. Birinci anlam, bazen 'gerçek' ikinci dereceden mantık olarak adlandırılan şey ile Leon Henkin'in tamlık kanıtlarında ele aldığı mantıksal sistemler arasındaki ayrımla ilgilidir . Bu tür sistemler genel veya Henkin modellerine izin verir ve bu, bir teorinin özellik alanının kapsamına ve ilişki değişkenlerine bağlı olan teoriler arasında bir ayrıma yol açar. Bu, anlamsal görüşün savunucularının kendi konumlarını açıklarken vurguladıkları 'amaçlanan model' duygusudur, çünkü bir teori bu anlamda bir amaçlanan modeller sınıfıyla tanımlanmadıkça - dolayısıyla temel bir şekilde teori kavramına başvurulur . tamamen resmi değildir (ancak bazen buna denir)

'yarı-formal') - semantik yaklaşımın metamatematiksel metodolojiye karşıt olarak matematiğe yaptığı ayırt edici vurgu sürdürülemez. Semantik yaklaşım, aksiyomatiklerin kesin bilimlerdeki temel çalışmalarda kullanımının metalolojik araştırmalardaki kullanımından oldukça farklı olduğunu doğru bir şekilde gözlemlemektedir. Kabaca söylemek gerekirse, ilk durumda biz şu ya da bu özelliği -örneğin Öklid uzayı olma özelliğini- karakterize etmekle ilgileniyoruz ve bunu, istenen özellikleri sergileyen bir yapılar sınıfını ("izomorfizme kadar") yakalayarak sürdürüyoruz. mülk. İkinci durumda, aksiyomlaştırmaya olan ilgimiz, örneğin belirli bir dizi doğrunun yinelemeli olarak numaralandırılabilirliğine olan ilgimiz gibi tamamen farklı düşünceler dizisi tarafından motive edilir.

Bu metodolojik gözlem ne kadar ilginç olsa da, Putnam'ın argümanından kaçınmak için ele alınması gereken 'amaçlanan model' anlamı, dilimizin bir parçasının anlamını tanımlarken, olmayanın bir yorumunu ayırt ettiğimizde söz konusu olan şeydir. bu parçanın mantıksal sabitleri amaçlananla aynıdır. Bu sorun, temel mantığın değişkenlerinin yorumlanmasına özgü sorunlar tarafından en iyi ihtimalle yalnızca kısmen ele alınmaktadır ; bu, özelliklerin ve ilişkilerin alındığı alanı sabitlerken, alandaki hangi ilişkilerin teorinin konusu olduğunu belirsiz bırakır. Putnam'ın, amaçlanan modeli bu ikinci anlamda R(9) tarafından seçilemeyeceği yönündeki gözlemi aynı zamanda semantik görüşün bir teoriyi amaçlanan modeller sınıfıyla tanımlaması için de geçerlidir, çünkü bu tanımlama yalnızca 'amaçlanan model'in ilk anlamı. 'Amaçlanan model'in ikinci anlamını, sabit terimleri de dahil ederek ele almak, 9'un dilinin anlamının bir analizine girişmek olacaktır; bu, onun vazgeçmemize izin verdiği semantik görüşün vaadinin aksinedir. tamamen bu tür sorularla. Dolayısıyla anlamsal görüşe başvurmak bizi teorik bilgimizin tatmin edici bir açıklamasına yaklaştırmıyor gibi görünüyor .

Yakın tarihli bir makalesinde van Fraassen, Putnam'ın model-teorik argümanını, herhangi bir açıklama yapmadan, uzun uzadıya ele alıyor.

bunun yapıcı ampirist teori teorisinin formülasyonu üzerindeki etkisini gözlemlemek . Analizinin özü, Putnam'ın yeni bir 'pragmatik paradoksu', kendi dilimizin yorumunu sorguladığımızda ortaya çıkan bir paradoksu ortaya çıkarmasıdır. Van Fraassen'in düşüncesi şu: Bir dil hakkında tutarlı bir şekilde soru sorabilirken , o dilin bir yükleminin (diyelim ki) yeşil şeylere gönderme yapıp yapmadığını anlayamayız, ancak ' yeşil'in yeşil şeylere gönderme yapıp yapmadığını anladığımız bir dilden tutarlı bir şekilde soramayız. 'Yeşil'in dilimizin bir yüklemi olduğu fikrinde örtülü olduğundan onun yeşil şeylere gönderme yaptığını biliyoruz. ^{22
Teorilerin sözdizimsel görüşü Putnam'ın argümanının kurbanı oluyor çünkü}L (9) 'un yorumunu tamamen biçimsel araçlarla düzeltme sorununu çözmeye çalışıyor ; model-teorik argümanın özellikle açıkça bir hata olduğunu gösterdiği bir şey. Buna karşılık, her ne kadar anlamsal görüş L (9)' un yorumunun nasıl sabitlendiği sorusunu ele almasa da bu bir kusur değildir çünkü amaçlanan yorumun doğruluğu anlamsal görüşün hak ettiği bir ön varsayımdır; teori olan modellerin verildiği ve anlamsal görüşün ifade edildiği pragmatik arka planın bir ön varsayımı .

Putnam'ın L (9)'un amaçlanan yorumuna ilişkin argümanının ne tür bir epistemolojik soru ortaya çıkardığı konusunda açık olmanın önemli olduğunu düşünüyorum . 'Yeşil'in yeşil şeyleri ifade ettiğini nasıl biliyoruz?' sorusunun şüpheci bir yorumunu ayırt edebiliriz. Bu sorunun tamamen farklı ve şüpheci olmayan bir yorumundan yola çıkarak, 'yeşil'in yeşil şeylere atıfta bulunduğunu bildiğimizi varsayıyoruz ve bu gerçeğe ilişkin bilgimizin doğru temsilini talep ediyoruz. ²³Açıkçası, ikinci yoruma göre bu, herhangi bir dil hakkında sorabileceğimiz bir sorudur:

²²Putnam, kendi 'içsel gerçekçiliğini' motive etmek için bu gözlemi kullanarak argümanın orijinal formülasyonunda benzer bir gözlemde bulunur. Van Fraassen'e göre gözlem, metafiziği bırakıp pragmatik alana girdiğimizi gösteriyor.

²³İlgili bir gözlem için bkz. (Frisch 1999).

kendi anladığımız diller de dahil - pragmatik veya başka herhangi bir paradoks ipucu yaratmadan. Bir kişinin dilinin referansının alışılagelmiş yorumuna göre doğru bir şekilde sabitlenip sabitlenmediğini sorgulamak meşru olmasa bile , bunun nasıl sabitlendiğini sormak kesinlikle meşrudur . Carnap-Ramsey , teorik sözcük dağarcığının ortadan kaldırıldığı bir yeniden yapılanmanın yeterliliğini savunarak bu soruyu çözmeye çalışır ; eğer böyle bir yeniden yapılanma başarılı olsaydı, teorik kelime dağarcığının referansının nasıl sabitlendiği sorusu bir kenara bırakılabilirdi. Carnap-Ramsey yeniden inşasının tuhaf yanı, ampirist taahhütlerini, teorik sözcük dağarcığının terimlerini, referans açıklamasının özellikle acil olduğu terimler olarak yalıtarak ifade etmesidir. Carnap-Ramsey'in gözlemsel sözcük dağarcığının referansının nasıl sabitlendiğine ilişkin açıklamasını yeterince eleştirmediğine inansak bile, yine de teorik sözcük dağarcığının referansının nasıl sabitlenebileceği konusunda kafa karışıklığının olması anlaşılırdır: Russell'ın bilgi ve önermeye dayalı anlayış teorisiyle paylaştığı ortak bilgiler, teorik duruma açık bir uygulaması olmayan gözlemsel kelime dağarcığının referansını ele almak için bir model sağlar. Böylece sorun, teorik söz dağarcığının referansını açıklama - ya da açıklama - sorunu haline gelir; dolayısıyla Carnap-Ramsey stratejisi az önce gözden geçirildi. Ancak anlamsal görüş, sorunu çözmekte tamamen başarısız oluyor.

7 Sorun Açıklığa kavuşturuldu ve Çözüldü

d' nin teorik cümlelerinin doğru olduğu iddiası, teorik cümlelerin kendisinin doğruluğundan bağımsız olarak verilebilen 9 dilinin bir yorumuna göre anlaşılmalıdır . Preanalitik olarak, teorik söz dağarcığının amaçlanan yorumunun böyle bir yorum olduğunu ve buna ilişkin gerçeğin, bir çıkarımla çözülebilecek bir şey olmadığını

varsayıyoruz.

tamamen mantıksal argüman. Göz önünde bulundurduğumuz rasyonel yeniden yapılandırmalar, teorilerimizin tümdengelimli yapısının tamamen yeterli açıklamaları olsa da, hakikat atfetmelerimizin bu özelliğini barındırmaktan acizdirler . Newman'ın gözleminin ana dersi budur.

Neyin yanlış gittiğini anlamak ve ortaya çıkardığımız sorunun doğasını ve çözümünü daha iyi görmek için Russell'ın 'yorumlama' sorunu olarak adlandırdığı formülasyona bakmak öğretici olacaktır. Sorun ve önemi Maddenin Tahlili'ne Giriş'te şöyle anlatılıyor:

Tanımlanmamış nesnelerle ilgili hipotezlerden başlayan tümdengelimli bir matematik sistemimiz olduğu ve bu hipotezleri karşılayan nesnelerin var olduğuna inanmak için nedenlerimiz olduğu, ancak başlangıçta bu tür nesneleri kesin olarak işaret edemediğimiz sıklıkla görülür . Genellikle bu tür durumlarda, hipotezleri karşılayan birçok farklı nesne kümesi soyut olarak mevcut olsa da , diğerlerinden çok daha önemli olan böyle bir küme vardır. ... Tanımlanmamış nesnelerin yerine böyle bir kümenin ikamesi 'yorumdur'. Bu süreç fiziğin felsefi öneminin keşfedilmesinde esastır. (Russell 1927, s. 4-5)]

Russell'a göre uzay-zaman teorisinin nokta-anları, Peano'nun aritmetiğin aksiyomatizasyonundaki sayıların ortaya çıkardığı soruna tamamen benzer bir sorun teşkil ediyor. Peano aksiyomları söz konusu olduğunda herhangi bir c c dizisinin aksiyomların uygun bir modelinin temelini oluşturduğunu hatırlayın. Ancak c- dizileri arasında öne çıkan bir tanesi vardır, yani asal sayılardan oluşan bir tanesi, çünkü Russell'ın söylediği gibi bu, 'sayılarımızın yalnızca belirli bir anlama sahip olmaları değil, belirli bir anlama sahip olmaları' gerekliliğini yerine getirir . belirli biçimsel özelliklere sahiptir . Bu kesin anlam şu şekilde tanımlanır:

aritmetiğin mantıksal teorisi' (Russell 1919, s. 10). ' Aritmetiğin mantıksal teorisi' '0'ı tüm boş sınıfların sınıfıyla, '1'i tüm tekillerin sınıfıyla, '2'yi tüm çiftlerin sınıfıyla vb. ilişkilendirir. ilerlemenin sayı adlarına 'kesin bir anlam' vermeyi başaracağını savunan Russell, kendisinden önceki Frege gibi, çeşitli olası belirli anlamlar arasında belirtilenin, bizim metinlerimizde sayısal adları kullanımımızı yakalaması gerçeğiyle ayırt edildiğini savundu. kardinalite kararları. Frege-Russell kardinalleri belki de mantıksal inşa yönteminin Russell'ın kullandığı anlamda bir 'yorumlama' problemine başarılı bir şekilde uygulanmasının en basit örneğidir. Bugün bunu Frege-Russell kardinallerinden oluşan küme teorik yapısının herhangi bir Peano aksiyom modelinin temsilinin temelini oluşturduğunu söyleyerek ifade edebiliriz. Sayı-kuramsal aksiyomların soyutluğu , tüm olası diziler arasında , en baştaki uygulamalarıyla ilişkili olanı ayırt etmekte başarısız olmalarından kaynaklanmaktadır . Mantıksal teorinin başardığı şey budur.

Russell'ın nokta-anları inşasını düşünmenin yolu, Frege-Russell kardinallerinin tanımının sayı teorisi için başardığını uzay-zaman teorisi için gerçekleştirme girişimi olarak görmektir. Her durumda, aksiyomatik olarak ilkel sayı ve nokta-an kavramları, bu kavramların içinde yer aldığı teorilerin kanonik uygulamalarını göstermek için başka bir şeyle (sırasıyla eşit sayıdaki sınıf sınıfları ve maksimum ortak noktalı olay sınıfları) değiştirilmelidir . meydana gelmek. ²⁴Aritmetik durumda, bizim gibi

^{24 (Russell, 1927)'de geliştirilen
mantıksal inşa programını tam olarak anlamak için,}kitabın geliştirdiği ortak noktasallık kavramına ve 'mantıksal yapılara' ayrıntılı olarak bakmak gerekir . Eksiksiz bir çalışma büyük bir girişim olacaktır, ancak belki de temel fikir en azından belirtilebilir. (Russell 1927)'de , sınıftaki her beşli veya beşli olay 'ortak bir örtüşmeye' sahip olduğunda, bir olaylar sınıfının eş dakik olduğu söylenir . Beşli olay ortak bir örtüşmeye sahip olduğunda Russell, beş olayın ortak dakiklik ilişkisi içinde bulunduğunu söyler (Russell 1927, s. 299). 'x gerçek dışıdır' yüklemi olay sınıflarının bir özelliğini ifade ettiği için terminoloji potansiyel olarak kafa karıştırıcıdır , oysa ortak dakiklik bir

Gördüğümüz gibi, teorinin kanonik uygulaması sayıların asal sayılar olarak kullanılmasıydı. Eddington'un etkisi altında25 Russell, uzay-zaman teorisinin kanonik uygulamasını, onun ölçümde kullanımı olarak ele aldı ; fiziksel büyüklüklerin ölçümünde uzunluk ve zamanın temel rolü onları bu görüşe yönlendirdi ^.Rus sell'in olaylar açısından nokta anları oluşturması, olayların yalnızca sonlu hacimlerden oluştuğu varsayımıyla uyumlu olduğundan, nokta anların olay sınıflarına göre temsili, kesinlik konusunda herhangi bir sınır olmamasına rağmen, gözlemle motive edilmiştir. Herhangi bir gerçek ölçümde elde edebileceğimiz değerler her zaman sonlu niceliklerle sınırlıdır.

Ancak olaylar arasındaki beş sıra ilişkisi arasında önemli bir fark var. Başka sayıda olay yerine beşlilerin kullanılması, noktaları (nokta-anları) mantıksal yapılar (bugünkü küme-teorik yapılar) olarak karakterize edilen uzayın boyutluluğuyla ilgili teknik nedenlerden dolayı ortaya çıkar. olayların dışında. Russell'ın nokta anları, olayların maksimum ortak-dakiklik sınıfları olarak tanımlanır - yani sınıfa dahil olma açısından maksimum. Olayların ortak noktasal sınıfları olduğunu varsayarsak, (Russell 1927)'nin xxviii. Bölümünü kaplayan uzay-zaman noktalarının varlığının kanıtlanmasının başarısı, bu türden her ortak noktasal sınıfın maksimuma kadar genişletilebileceğini göstermeye başlar. dakik sınıf. Russell'ın kanıtı, tüm olayların alanına uygulanan İyi Sıralamayı kullanır ve onun oremi, Boolean Cebirleri için Ultrafiltre (veya Maksimal İkili İdeal) Teoremi ile açık bir benzerliğe sahiptir; buna benzer bir rol oynayan ortak bir sınıf olma özelliği ile Boole cebirlerinin temsil teorisi bağlamında 'sonlu kesişim özelliği' tarafından oynanır. Aslına bakılırsa, benzetme, Russell'ın yapısı ile Whitehead'in 'çevreleme serisi' açısından daha önceki, ancak daha sınırlı yapısı arasındaki farkı aydınlatmak için daha da geliştirilebilir . Whitehead'in uzamsal noktalar inşası, bir noktayı iç içe geçmiş hacimler sınıfıyla (uzaysal içerme ilişkisiyle 'yuvalanmış') tanımlamaktan ibarettir. Karşılaştırma amacıyla mekansal duruma aktarıldığında, Russell'ın yapısı yalnızca nokta olan hacimler sınıfına ait hacimler arasında ortak bir mekansal örtüşmenin varlığını gerektirir . Russell'ın kavramı, filtre kavramının iç içe geçmiş bir dizi veya zinciri genelleştirmesi ile aynı anlamda Whitehead'in çevreleme serisini genelleştirir.

²⁵Russell'ın Genel Görelilik anlayışı büyük ölçüde (Eddington 1924)'ten türetilmiş gibi görünüyor. Bu, Russell'ın Eddington okumasının eleştirel olmadığı anlamına gelmiyor; Eddington'un operasyonelizminin bir değerlendirmesi için örneğin bkz. (Russell 1927, s. 90-92).

aritmetik ve uzay-zamansal durumlar, bunların çok farklı nitelikteki teorilerin uygulamalarını içermelerinden kaynaklanmaktadır . Russell'ın mantıkçılığı bağlamında, aritmetik durumun ortaya çıkardığı temel soru şudur: ' Doğru kardinalitedeki bireylerin ana yapısı verildiğinde, sayıların yapısını Principia'nın bir teoremi olarak ortaya çıkarabilir miyiz ?' George Boolos'un (Boolos 1994) gözlemlediği gibi, bunu yapabildiğimiz dikkate değer ve yeterince takdir edilmeyen bir gerçektir. Cevap açık değil çünkü Russell, sayıların bireylerin etki alanının unsurları arasında değil , daha yüksek bir türde ortaya çıktığını varsayıyor. Bir ön tanım: Russell, boş bireyler sınıfını içeren her sınıfa aitse ve tekillerin eklenmesiyle kapalıysa ( veya eşdeğer olarak, eğer bu sınıfla bire bir örtüşüyorsa) bireylerden oluşan bir sınıfa tümevarımlı adını verir. bazı n tam sayıları için n'den küçük tamsayılar ; bu terminoloji açıkça matematiksel tümevarım ilkesi ve sonlu sayıların tanımıyla olan analojiden kaynaklanmaktadır). Bir sınıf tümevarımlı değilse , tümevarımsal değildir . Whitehead ve Russell'ın Sonsuzluk Aksiyomu, Tip 0'daki bireyler veya varlıklar sınıfının tümevarımsal olmadığını belirtir. Bu varsayıma dayanarak, Frege -Russell kardinallerinin -Seçim Aksiyomu olmadan ve bu nedenle yalnızca mantıksal akıl yürütme tarzlarını kullanarak pekala savunulabileceğini kanıtlamak mümkündür (White head & Russell 1912, *124.57) Basit tip hiyerarşisinde Tip 2'nin varlıkları olan , 'reflexive ' veya Dedekind -sonsuzdur ve dolayısıyla Peano aksiyomlarının bir modelinin alanını oluşturur.

Russell'a göre maddenin analizi, mantıksal inşa yönteminin genel olarak fiziğe, özel olarak da uzay-zaman teorisine genişletilmesidir . Dikkatimizi uzay-zaman durumuyla sınırlandırırsak, burada Russell'ın programının başarılı bir şekilde uygulanması ve yorum problemine ilişkin formülasyonunun tatmin edici bir çözümü, teorinin her soyut modelinin, aşağıdaki terimlerle oluşturulan bir izomorfik temsile sahip olmasını gerektirir: Sayı-teorik durumda Sonsuzluk Aksiyomunun kullanımına benzer şekilde olayların maksimum ortak nokta sınıfları;

somut bireylerin sayılabilir bir koleksiyonunu içerdiği varsayılır (Russell'a göre olaylar 'maddi dünyanın nihai bileşenleri'dir). Oluşturma programı, oldukça doğru bir şekilde ve yine sayı-teorik durumuyla paralel olarak, olaylar sınıfının , uzay-zaman teorisinin herhangi bir modelinin izomorfik bir temsiline yol açtığının kanıtlanabilir olmasını gerektirir . Bu şekilde formüle edildiğinde mantıksal inşa programı, temsil teoremlerinin doğasının ve metodolojisinin tanıdık bir parçasıdır ve Russell'ın çok iyi anladığı bir kısımdır.

Mantıksal inşa programının başarılı bir şekilde uygulanmasını, Russell'ın yapısalcılığının merkezi epistemolojik iddiasının doğrulanmasıyla karıştırmamak önemlidir: herhangi bir uzay-zaman modelinin temsilinin tamamen yapı koruyucu olduğu gerçeğinden yola çıkarak, pekala Orijinal teorinin (bu durumda uzay-zaman teorisinin) ifade ettiği bilginin, bir anlamda Russell'ın bilgi teorisine uygun, 'tamamen yapısal' olduğu sonucu çıkıyor . Russell'ın anladığı şekliyle, maddenin analizi ve (daha spesifik olarak) uzay-zaman teorisinin yorumlanması sorunu, hiçbir şekilde uzay-zaman ilişkilerinin yapısal olmayan bilgisini gerektirmez. Bu bir gözden kaçırma değil, Russell'ın dahil olduğu analiz kavramının temel bir özelliğidir. Yapısal olmayan bilgi gerekli değildir, çünkü yorumlama programının kendisine belirlediği görev, şu veya bu fiziksel teorinin uzay-zamanının izomorfik bir temsilini, uygun şekilde oluşturulmuş, nokta-anları üzerinde tanımlanan bir temsili oluşturmak gibi tamamen matematiksel bir görevdir. sonlu boyuttaki olayların maksimum ortak noktasal sınıfları olarak.

Yorumlama yönteminin veya mantıksal inşanın yapısalcılığa yardımcı olacak şekilde başarıyla uygulanmasının önünde pek çok engel vardır . ²⁶Ancak asıl zorluk şu olgudan kaynaklanmaktadır:

²⁶Örneğin, nokta-an'lar düzeyinde zaten bir zorluk vardır, çünkü bunların inşasında kullanılan olayların yalnızca bir kısmı algıların mekânıdır . Yapı, bir nokta-an oluşturacak olayların tamamının ortak dakiklik ilişkisi alanında olmasını gerektirir. Böylece, hatta

Russell'a göre uzay-zamansal kavramların başarılı bir yorumu, Principia'nın kullandığı aritmetik kavramların analizi ve yorumlanmasından esasen farklı değildir. meşgul. Her iki proje de, inşanın gerçekleştirildiği alanın doğası ve önemine ilişkin mantıksal olmayan bir varsayıma göre ilerlemektedir ve her iki durumda da sorun, mümkünse tamamen mantıksal akıl yürütme yöntemleriyle, belirli bir matematiksel Yapı -doğal sayı sistemi veya uzay-zaman yapısı- mantıksal bir yapıyla temsil edilebilir. Böyle bir yorumlama kavramı, matematiksel bir çerçevenin "uygulanabilirliği" problemini anlamanın bir yolunu ele alır; bu, Russell için çerçevenin temel nesneleri oluşturulduktan sonra -uzay-zaman durumunda, nokta-zaman söz konusu olduğunda- çözülür. Anlar 'algılardan' veya daha genel olarak sonlu boyuttaki olaylardan inşa edilir ve bunlar üzerinden uygun ilişkiler tanımlanır.

Varsayalım ki Russell'ın nokta-anları inşa etmesi için ihtiyaç duyduğu varsayımların başarılı olmasına izin veriyoruz ve örtüşmenin ve ortak dakikliğin hem algılanabilir hem de algılanmayan olaylar arasında geçerli olan ilişkiler olduğunu kabul ediyoruz . O halde, bunun onun bilgi teorisi açısından ( maddi dünyayla ilgili olarak bilmeye muktedir olduğumuz şeyin yapısı/nitelik ayrımı açısından) ortaya çıkardığı çatışmayı bir kenara bıraksak bile, Russell'ın yorum anlayışında önemli bir zorluk var; fizik felsefesinin ve teorik bilgi teorisinin yeterliliğine . Uzay-zaman teorisi, uzay-zaman ölçümü için a priori veya 'yarı-a priori' arka plan olarak düşünüldüğünde Russell'ın yaklaşımı son derece mantıklıdır. Ancak bizim post-Einsteincı bakış açımıza göre, üzerinde uzay-zamansal yapının tanımlanacağı alanın belirlenmesi, algılar olmayan olaylar arasındaki ilişkilere ilişkin yapısal olmayan bilginin varlığını örtülü olarak varsayar. Bu varsayım bir kenara bırakıldığında, nokta-anların manifoldu tanımının, bir ortak-dakiksel sınıfın, algı olmayan olayların eklenmesini içeren, azami bir ortak-dakiksel sınıfa genişletilmeden gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceği açık değildir.

uzay-zaman teorisinin ölçümdeki rolünü anlamaktan daha fazlasıdır . Bu ek öğeye uyum sağlamak için, uzay-zamansal kavramların yorumlanmasına ilişkin analizimiz, dünyanın uzay-zamansal yapısının a posteriori bir teorisi olarak uzay-zaman teorisini ortaya çıkarabilecek kapasitede olmalıdır. Russell'ın mantıksal yapı olarak yorumlama anlayışı bu görevi yerine getirmekte başarısız oluyor. Uzay-zaman yapısına ilişkin bilginin yorumlayıcı bir iddiaya dayandığı kesinlikle doğru olsa da, bu yorumlayıcı iddianın doğası Russell'ın yorum kavramıyla aydınlatılmıyor. Bunu görmek için, uzay-zaman teorileriyle ilgili en az üç yorum kavramının bulunduğuna dikkat edin; Russell'ın bunlardan yalnızca ilk ikisini desteklediği anlaşılmalıdır.

1 . Russell'ın yapısalcılığının ona hak verdiği resmi fikir var. Bu anlamda yorumlama, teorinin normalde niceleyici olarak yorumlandığı nesneler alanını inşa etmeye çalışır. Uzay-zaman teorileri söz konusu olduğunda nokta anlarının inşasının güvence altına almaya çalıştığı şey budur. Ancak bu alandaki ilişkilere erişememek , bir 'yorum' sağlamak , teorinin bir modelinin temelini oluşturan inşa edilmiş nesneler üzerinde tanımlanabilir bir ilişkiler ailesi bulma gibi tamamen matematiksel bir soruna indirgenir . Doğası gereği böyle bir yorum, bir teorinin teorik iddialarının epistemik statüsünü aydınlatmayı başaramaz çünkü her zaman uygun yapıdaki bazı ilişkiler ailesi olacaktır . Bu aslında sadece Newman'ın gözlemidir .

2 . Yapısalcılığın kısıtlamalarını göz ardı edersek ve aralarında yer aldıkları nesnelerin alanını belirtmenin yanı sıra teorinin ilişkilerine de erişmemize izin verirsek, ikinci bir 'yorum' duygusu ortaya çıkar. ²⁷O halde yorumlama sorunu

²⁷Russell'ın bu yöndeki soruşturmalarına ilişkin yetkin bir tartışma için bkz. (Anderson 1989).

modelin ilişkilerine ilişkin bir dizi varsayımın yeterliliğini göstermenin tamamen mantıksal görevi -varsayımlar orijinal teorinin temel gerçeklerini yakalıyor mu?- ve epistemolojik görev olan 'doğallığı' motive etme postulatların dayattığı özelliklerden biridir . Her ne kadar bu anlamda yorum, doğası gereği teorik iddiaların epistemik statüsünü aydınlatma konusunda yetersiz olmasa da -aslında teorinin iyi motive edilmiş bir aksiyomlaştırmasını dile getirmekten pek farklı değildir- başarısı tamamen belirli durumlarda nasıl detaylandırıldığına, sunulan bireysel aksiyomatikleştirmenin ikna ediciliği ve yeterliliği açısından .

3 . Ancak önceki kavramların hiçbirinin kapsamadığı tamamen farklı bir 'yorumlama' kavramı vardır . Özel göreliliğin uzay-zaman yapısına ilişkin bilgimizin temelinde yatan analizi kısaca gözden geçirerek belki de açıklığa kavuşturabileceğimiz bir anlamda, yorumlayıcı iddiaların teorik taahhütlerimizin doğasını ve epistemik durumunu açıklığa kavuşturmasını beklediğimizde ortaya çıkar. Varlık ve onun Newton uzay-zamanından farklılığı. ²⁸

Genel olarak konuşursak, ilişkili ilişkinin ortaya çıktığı yapıya ilişkin iddialarımızın preanalitik olarak sahip olduklarını varsaydığımız epistemik statüye sahip olduğunun görülebilmesi için teorik bir yüklem veya ilişki ifadesini kullanmamızın gerektirdiği uygulama kriterlerini keşfetmeyi isteriz . Teorik yüklemlerimizin gönderme yaptığı ilişkilerin ne olduğunu bilmemiz, teorik ilişkilere başarılı bir şekilde referans vermemizin bir önvarsayımıdır . Belirli bir yüklemin hangi ilişkiye gönderme yaptığına dair bilgimizi olduğu gibi kabul etsek bile, bu, gönderime ilişkin bilgimizle ilgili sorulabilecek ilgi çekici her şeyi varsaymak konusunda yetersiz kalır.

²⁸Aşağıdaki tartışma, okuyucunun daha fazla ayrıntı, uzay-zaman teorisinin diğer yönlerine uygulamaları ve bu konuların tarihsel arka planına ilişkin bir açıklama için yönlendirildiği (DiSalle 2002)'ye büyük ölçüde borçludur.

dilimizin yüklemlerindendir. Bu tür bilgilerin içeriği ne olursa olsun, Carnap ve Ramsey'in Russell'dan miras aldığı basit ampirist model içerisinde kurtarılamaz olduğunu gördük. Sorun, fikirlerimizin kökenine ilişkin psikolojik bir araştırmayla ele alınmaz ; genel olarak teorik bilgimizin ve özel olarak da fizik bilgimizin kavramsal bir analizini gerektirir; bu analizde örtülü olan varsayımları açıklığa kavuşturur ve ortaya çıkarır . teorik kelime dağarcığını içeren temel yargılarımız. Teorik yüklemlerin amaçlanan göndergelerine atıfta bulunduğunu varsayarsak, bu tür yüklemlerin uygulanmasını hangi kriterlerin kontrol ettiğini belirtmek istiyoruz ve bu tür uygulama kriterleri için yeterlilik koşullarının neler olabileceğini belirtmek istiyoruz . Bu doğrultuda başarılı bir analiz için temel gereklilik -ve böyle bir analizin ortaya çıkaracağı teorik yüklemlere ilişkin anlayışımızın başarılı bir şekilde açıklanması- bunun, teorik iddialarımızın, doğru olduğunda, dünya hakkındaki önemli gerçekler olduğunu ima etmesi gerektiğidir . Ne Carnap-Ramsey'in yeniden inşası ne de onun yapıcı ampirist alternatifi bu koşulu karşılıyor.

'x , y ile eşzamanlıdır ' varsayımını alırsak açıklığa kavuşturulabilir . Bu yüklem hem Newtoncu hem de Einsteincı durumlar için temeldir, çünkü uzaysal ölçümler bile dolaylı olarak mesafelerin aynı anda karşılaştırılmasını varsayar ve bu da eşzamanlılık için bir uygulama kriteri üzerinde karar kılmamızı gerektirir . Eşzamanlılık, olaylar arasında gerçekte geçerli olan veya olmayan ampirik bir ilişki olduğundan, olay çiftlerinin (uzak olaylar da dahil olmak üzere) eş zamanlı olup olmadığını söyleyebileceğimiz bir kriter belirleyebilmemiz gerekir. eşzamanlılık ilişkisi içinde. Bunu kabul etmek, "anlam doğrulamadır" demek değildir: hem teorileştirmemizde hem de teorileştirmemizin değerlendirilmesinde " x "i kullanmamızın y ile eşzamanlı olduğu ön varsayımı her fizik görüşünün bir parçası olmalıdır . uzay-zamanla ilgili olarak, bunun bir

mekansal ve zamansal tahminlerin uygulanması için ampirik temelli kriter. Eşzamanlılık içeren olağan kararlarımızı , başlangıçta kapsamak üzere tasarlanmamış olabilecekleri durumlara kadar genişletmemize olanak tanıyan uygulama kriterlerini bilmek istiyoruz ; ve bu süreçte uzay-zamansal yüklemleri yöneten uygulama kriterlerinin yeni kısıtlamalara tabi olup olmayacağını bilmek istiyoruz . Uzay-zaman teorisinin 'yorumu ' bu görevleri çözmeye çalışır. Eşzamanlılığın özel göreli analizinin bu konulara ilişkin anlayışımıza ne gibi katkılar sağladığını daha spesifik olarak ele alalım.

görülen iki uzak olayı eşzamanlı olarak saydığımızda, örneğin nesnenin konumu gibi . bir saatin elleri. Bu sadece tartıştığımız teorik çerçeveler (özel görelilik ve Newton Mekaniği) tarafından paylaşılan bir kriter değildir, aynı zamanda teorilerimiz tarafından kullanılan sinyalizasyon kriterlerinin aşağıdaki gibi olduğu varsayımı göz önüne alındığında, eşzamanlılık için sağduyuya dayalı uygulama kriterlerimiz arasında da bulunur . yalnızca bilim öncesi bağlamlarda uyguladığımız şeylerin iyileştirmeleri. Ancak Newton teorisi sonsuz hızlı sinyalleri kabul ettiği için 'x , y ile eşzamanlıdır ' için hızdan bağımsız bir uygulama kriterine izin verir . Newtoncu çerçeve içerisinde bu kriter, uygun bir anlamda 'mutlak' olma gerekçesine de sahiptir , çünkü sonlu olarak iletilen herhangi bir sinyalden bağımsız olduğundan, aynı zamanda referans çerçevesinin göreli hızından da bağımsızdır ve dolayısıyla uygulama koşullarının özelliklerine bakılmaksızın formüle edilebilir.

sonlu sinyallerin kullanımına dayanmasına ve dolayısıyla hıza bağlı olmasına rağmen aynı anlamda mutlak olan başka bir uygulama kriteri daha vardır. Bu, Maxwell'in teorisinden ortaya çıkan ışık sinyaline dayalı kriterdir, çünkü bu teoriye göre ışığın hızı tüm 'gözlemciler' için, yani tüm eylemsiz çerçeveler için aynıdır. Açık

Işık sinyallerini kullanan bir sinyalleşme kriteri olan Maxwell teorisi, dolayısıyla gözlemciden bağımsız - mutlak - Newton kriteri gibi ' x , y ile eşzamanlıdır ' için bir uygulama kriteridir. Ancak Newton kriterinin aksine, ışık sinyali aynı zamanda eşzamanlılık için pratik uygulama kriterlerimizi de , örtülü olarak bir tür sonlu sinyalizasyon prosedürüne dayandıkları sürece desteklemektedir. Dolayısıyla bu , uzamsal ve zamansal ilişkilerle ilgili gerçek yargılarımızda tipik olarak güvendiğimiz kriterlere çok daha yakın bir kriterdir ; ancak Maxwell'in teorisi bağlamına yerleştirildiğinde, Newton'un teorisi kadar mutlak bir uygulama kriteri - referans çerçevesinden bağımsız - olma avantajına da sahiptir.

Az önce özetlenen eşzamanlılık analizinin gösterdiği şey, uygun şekilde mutlak bir kriterin olduğu, bunun yaygın sinyal verme uygulamasına dayandığı, ışık iletimine ilişkin en başarılı teorik anlayışımıza uyduğu ve bu koşullar altında Newton perspektifinden bile kabul edilebilir olmalıdır . Einstein'ın metodolojisine ilişkin standart anlayışın aksine , bu uygulama kriteri seçiminin temelinin, bu nedenle, özgür bir karardan başka hiçbir şeye dayanmadığı kabul edilemez. 'Seçimimiz' açıkça oldukça kısıtlıdır ve analiz öncesi uygulamamızın bir yansımasıdır; Çarpıcı olan şey bunun aynı zamanda hem Newton hem de Maxwell çerçeveleri tarafından büyük ölçüde paylaşılan bir metodolojinin yansıması olmasıdır. Ancak Maxwell'in teorisinde örtük olarak yer alan ışık sinyali kriterini benimsemek, yönettiği eşzamanlılık ilişkisinin 'göreli' olması gibi beklenmedik bir sonuca sahiptir; yani, birbirlerine göreli hareket halindeki 'gözlemcilerin' bu konuda fikir ayrılığına düşecekleri sonucunu doğurur . Hangi olaylar birbiriyle eşzamanlıdır? Bizim amaçlarımız açısından en önemlisi, bu uygulama kriterine göre, eşzamanlılık ilişkisinin ürettiği uzay-zamanın Newton'a göre değil, Minkowski'ye göre olduğu sonucunu doğurmaktadır. Ve bu yeniden yapılanmada, bu yapısal iddianın doğruluğu, fiziksel dünyaya ilişkin önemli a posteriori bir gerçek olarak doğru bir şekilde temsil ediliyor.

Teorinin Rasyonel Yeniden İnşası

8 Teşekkür

Bu makalenin konuları hakkındaki sohbetleri ve makalenin son şekli ve organizasyonu hakkındaki tavsiyeleri için Michael Friedman, Robert DiSalle ve Peter Clark'a özellikle minnettarım. Ayrıca yorumları için David DeVidi, Paul Humphreys, Tim Kenyon, James Ladyman, Gregory Lavers, Adele Mercier, Christopher Pincock ve Edward Stabler'a teşekkür etmek istiyorum; Bristol, Queen's, Glasgow ve USC Felsefe Bölümlerine ve Irvine Kaliforniya Üniversitesi Mantık ve Bilim Felsefesi Bölümüne fikirlerimi onlara sunma fırsatı verdiği için ve Kanada Sosyal Bilimler ve Beşeri Bilimler Araştırma Konseyi'ne teşekkür ederim. finansal destek. Bu makale 1 Kasım 2001'de ölen arkadaşım Graham Solomon'un anısına ithaf edilmiştir.

Bölüm

ALTI

DOĞRU SINIRLI TEOREMLERİMİZ VAR MI?

AP Hazen

Asıl niyetim bunu 2000 yılının Ağustos ayında Melbourne Üniversitesi Felsefe Bölümü Konferans Toplantısı'nda bir konuşma olarak yapmaktı . Çoğu zaman olduğu gibi, saatin yeterince uzun olmadığını fark ettim: mantıkçı olmayanlar için her şeyin açık olmasını sağlamaya çalışıyordum. Seyirciler, öğle yemeğine gitme zamanı gelmeden önce yarısını geçtim. Tully'yi taklit ederek dışarı çıktım ve keşke yapmış olmayı dilediğim konuşmayı yazdım. ¹

1 Geçmiş

1900 civarındaki on yıllar, aksiyomatik yöntem üzerine yapılan çalışmaların, Aris'in toto'sundan bu yana eşi benzeri olmayan bir yoğunlukta yoğunlaşmasına tanık oldu . Almanya'daki (Dedekind, Hilbert, Frege), İtalya'daki (Peano'nun okulu) ve Amerika Birleşik Devletleri'ndeki (bkz. (Scanlan 1991)) matematikçiler ve mantıkçılar, bir denklemin aksiyomatik tanımlarını formüle ettiler.

¹Bunları şimdi Graham Solomon'a ithaf edilmiş bir cilde dahil ediyorum. Graham Solomon'la hiç tanışmamış olsam da, birkaç yıl boyunca onunla e-posta yoluyla yazıştım. Felsefe sevgisi samimi ve tarafsız olan biri hakkında edindiğim izlenim , adından söz ettirmek kadar bana çalışmalarımda yardımcı olmaktan da mutlu olan biriydi.

128

D. Devidi ve T. Kenyon (ed.), Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım, 128-150.

çeşitli matematiksel sistemler ve aksiyom sistemlerinin genel teorisini inceledi. Aksiyomatizasyon için iki farklı hedef belirlendi. Biri açıklayıcıydı. Bir aksiyomlaştırma, bir sistemi benzersiz bir şekilde belirtmek için yeterli ayrıntıda tanımlamalıdır: amaçlanan sistem, aksiyomlarla uyumlu tek sistem olmalıdır . Bu hedef doğaldır ancak bazı açıklamalar gerektirir. Bir anlamda, bir şeyi basitçe adlandırarak benzersiz bir şekilde belirtebilirsiniz: Hangi sistemle ilgileniyorsunuz ? doğal sayılar (örneğin). Bu önemsizdir ve aksiyomatikleştiricilerin ilgisini çekmeyen bir şeydir: Belirleme , yalnızca bir ismin uzlaşımıyla değil, aksiyomatik tanımlamanın içeriği aracılığıyla yapılmalıdır . Bu kavram , bir dizi aksiyomun (mantıksal olmayan) söz dağarcığının (mantıksal) biçiminden ayırt edilmesiyle kesinleştirilir . Okuyucu aksiyomlarda kullanılan tanımlayıcı terimlerin (nokta, çizgi,..., sayı...) anlamından habersiz olsa bile, bu terimlerin kullanımıyla tanımlanan yapı, aksiyomların kesin olarak tanımlanmasına izin verecek kadar karakteristik olmalıdır. dava konusu. Şimdi bir sorun var: Dille ilgili genel bir gerçek olarak, hiçbir açıklama, tanımlayıcı sözcük dağarcığının yorumlanmasından bağımsız olarak benzersiz bir nesne kümesini seçemez. Tanımlamak istediğiniz nesneler sisteminin, toplama ve çarpma işlemleriyle düzenlenen doğal sayılar sistemi olduğunu varsayalım. Tanımlayıcı terimlerinizi yeniden yorumlamama izin verilirse, numaranızı çift sayılara atıfta bulunacak şekilde, x + y'nizi toplamaya atıfta bulunacak şekilde ve x x y'nizi x'in y ile çarpımının yarısına atıfta bulunacak şekilde yeniden yorumlayabilirim . Tanımlamanızı, amaçladığınızdan farklı bir nesneler sistemini tanımlıyor olarak yorumlayacağım (benimki tüm tek sayıları hariç!), ancak sisteminizi belirlemeye çalışırken söyleyebileceğiniz her şey benimkini de kapsayacaktır: diyorsunuz ki , örneğin, 2 x 3 = 6, ama kabul ediyorum, 2'nizi 4'e, 3'ünüzü 6'ya, 6'nızı da 12'ye atfedersiniz, çünkü 4 x 6'nın yarısı 12'dir !

Bu yüzden doğru hedefin biraz daha ihtiyatlı olması gerekiyor. Aksiyomatik bir tanımlama, amaçlanan sistemin yapısını benzersiz bir şekilde tanımlamalıdır : Tanımı karşılayan başka sistemler de olacaktır , ancak bunların bir yapıyı paylaşması gerekir.

Teknik terimi kullanırsak, amaçlanan sisteme izomorfik olun. Az önce verilen örnek işe yarayacaktır. Çift sayılar sistemi (artı ve "yarı çarpı" ile düzenlenmiş) doğal sayılar sistemiyle (artı ve çarpılarla düzenlenmiş) izomorfiktir : iki sistemin nesneleri ( bir nesne) arasında bire bir yazışma vardır. tüm doğallar sisteminde kendisinin yarısına karşılık gelen çiftler sistemi ) ve bu uygunluk -izomorfizmin tanımlayıcı özelliği budur - "yapıyı korur." Yani, bir sistemdeki nesneler o sistemin düzenleyici işlemleri veya ilişkilerinden biriyle ilişkiliyse, o zaman bunlara karşılık gelen diğer sistemdeki nesneler de diğerinin işlemi veya ilişkisiyle aynı şekilde ilişkili olacaktır. Örneğimizde olduğu gibi: Eğer üç doğal sayıdan biri diğer ikisinin çarpımı olacak şekilde ilişkiliyse, o zaman çiftler sistemindeki karşılık gelen nesneler de benzer şekilde birinin diğerlerinin çarpımının yarısı olmasıyla ilişkili olacaktır.

Bu tanımlayıcı hedefi karşılıyorsa, bir aksiyom kümesinin kategorik olduğu söylenir. Resmi olarak tanımlamak gerekirse, bir aksiyomlaştırma, ancak ve ancak kendisi tarafından tanımlanan herhangi iki sistemin her ikisinin de izomorfik olması durumunda kategoriktir. (Bu kavramın ve gelişiminin açık ve felsefi açıdan yetkin bir tartışması için bkz. (Corcoran 1980, Corcoran 1981).)

Büyük başarılar elde edildi. Veblen, Huntington ve Hilbert'in hepsi Öklid geometrisinin açıkça kategorik aksiyomatizasyonlarını verdiler. Dedekind , doğal sayılar sistemi için günümüzde Peano Postülaları olarak bilinen önermeyi verdi ve bunların kategorikliğini kanıtladı. Cantor ve Dedekind, sürekliliği (büyükten küçüğe olan ilişkilerinde gerçek sayılar sistemi) kategorik aksiyomatik açıklamalar verecek şekilde analiz ettiler.

1.1 Küme Sorunlu Kavramı

Ancak bu kategorik aksiyomlaştırmaların tümü Yüksek Düzeydeydi. Aksiyomlar yalnızca sistemdeki nesnelere değil , aynı zamanda bu nesnelerin kümelerine de atıfta bulunuyordu ve kategorik-

Aksiyomlaştırmanın uygunluğu nedeniyle küme kavramının mantıksal bir sistem olarak ele alınması gerekiyordu: aksiyomlarla tanımlanan iki sistem (bir parça daha jargon eklemek gerekirse bunların modelleri ) ancak nesne kümeleri hakkındaki genellemeler yorumlanırsa izomorfik olduğu garanti edilebilirdi. , her iki sistemde de sistemdeki nesneler kümesinin tüm alt kümelerine atıfta bulunur. Şimdi, set kavramı çok geçmeden sorunlu görünmeye başladı. Bir yandan küme kuramı paradoksları, kavramın tutarlılığı konusunda şüphe uyandırıyor gibi görünüyordu. Öte yandan, genel bir epistemolojik değerlendirme vardı : Genel küme kavramını sezgisel olarak, doğal sayı veya (Öklidyen) nokta gibi kavramlara kıyasla çok daha az sezgisel bir kavrayışa sahip görünüyoruz . (Daha az açık bir şekilde ifade edilse de, muhtemelen daha önemli olan endişe ikincisiydi: küme-kuramsal paradokslar, alıntı yapılan kategorik aksiyomlaştırmalarda olduğu gibi, nesnelerin bağımsız olarak verili bir alanının yalnızca alt kümeleri dikkate alındığında ortaya çıkmaz. ) Kümeler sisteminin , aksiyomatikleştirmenin mantıksal "makinesinin" bir parçası olarak kabul edilmesi gereken bir şey değil, aksiyomatik olarak karakterize edilmesi gereken bir matematiksel nesneler sistemi olduğu hissedilecektir . (Bu düşünce çizgisi , küme teorisine yapısalcı yaklaşımlar olarak adlandırılan yaklaşımlara yol açar : bkz . tartışmalar (Parsons 1990, Lewis 1990, Lewis 1993). İronik bir şekilde, küme teorisinin ZF aksiyomatizasyonu, Yüksek Düzeyden anlaşılan bir şekilde, heyecan verici bir şekilde yaklaşır. kategoriklik için: bkz. (McGee 1997).... Elbette, karışıklığı önlemek için, sistem kümelerinin alt kümelerine genellikle başka bir şey denir: sınıflar veya belirli Eigenschaften.)

1.2 Birinci Dereceden Aksiyomatizasyonlar

Aksiyomatik hedefin daha da geliştirilmesi yavaş yavaş kabul edilmeye başlandı . Aksiyom sistemleri , küme kavramını toplamadan sistemleri tanımlamalıdır . Aksiyomatik bir sistemin dilini yeniden yorumlarken, aksiyomların amaçlanan sistemin yapısını ne kadar yeterli şekilde tanımladığını belirlemek için, yalnızca niceleyicilerin, bağlayıcıların ve özdeşliğin dar mantıksal söz dağarcığının sabit olduğu varsayılacaktı. Baltanın bu versiyonu-

Birinci Dereceden aksiyomlaştırma olarak adlandırılan şeydir : aksiyomlar, Birinci Dereceden mantıksal bir dildeki cümleler olarak düşünülür ve yalnızca nesneler sisteminin tüm modellerde ortak olan yapısal özelliklerini tanımladığı kabul edilir. Birinci Dereceden Mantığın aksiyomların model teorisinin anlamı. Kategoriklik hedefine ulaşmak artık çok daha zor. Birinci Dereceden bir aksiyom, sonlu bir sistemin kategorik bir tanımını verebilir: cümleye 3 x 3 y 3 z... ile başlayın ( sistemdeki nesneler kadar varoluşsal olarak nicelleştirilmiş değişkenler ) ve devam edin ((x = y A x = z A- • • A y = z A ...) (değişkenlerin farklı nesneleri temsil ettiğini varsayarsak ) AV w(w = x v x = z v ...) (olanlardan daha fazla nesne yok varoluşsal olarak niceliksel değişkenler) ve sistemi tanımlamada kullanılan çeşitli yüklemlerin ve operatörlerin uzantılarını - kapsamlı bir listeyle - veren varoluşsal olarak niceliksel değişkenlerdeki (pozitif ve olumsuz) atom formüllerinin birleşimiyle bitirin. Bununla birlikte ilginç matematiksel sistemler , sonsuzdur....

1 .3 Löwenheim-Skolem

yüzyılın büyük sınırlayıcı teoremlerinden ilkiyle karşı karşıyayız : Modern mantıkçıları ve matematikçileri, aksiyomatikleştirme hedeflerine ulaşılabilme derecesi üzerinde ciddi sınırlar olduğunu kabul etmeye yönlendiren cezalandırıcı metateo remler dizisi. . Cantor, sonsuzluğun daha önce araştırılmamış vahşi doğasında, sonsuzluğun farklı "boyutlarını" tanımlayarak ayrımlar çizmişti. Örneğin, rasyonel sayılar kadar -doğal anlamda, hem sonsuz hem de sonlu koleksiyonlara uygulanabilecek kadar- doğal sayıların olduğunu gösterdi . (Negatif olmayan) bir rasyonel sayı, pay ve paydası doğal sayılar olan bir kesir olduğundan , rasyonel sayılar doğal sayı çiftleriyle bire bir örtüşür . Bununla birlikte, doğal sayı çiftleri tek sayılarla "kodlanabilir" ("kod numarası" ((m + n) x (m + n)) + n verildiğinde, iki "kodlanmış" sayı m

ve n hesaplanabilir). Böylece iki adımda rasyonel sayılar belirli doğal sayılarla bire bir ilişkilendirilebilir. Buna karşılık, "boyut"un aynı doğal anlamında, gerçek sayıların doğal sayılardan daha fazla olduğunu gösterdi : doğal sayılar gerçek sayılara dahildir, yani en azından doğal sayılar kadar gerçek sayılar vardır, ancak Gerçekler ve doğallar arasında olası bire bir korelasyon yoktur, dolayısıyla gerçekler kadar doğal da yoktur . Lowenheim-Skolem Teoremine göre, herhangi bir sonsuz boyuttaki sonsuz bir sistemi tanımlayan herhangi bir Birinci Derece aksiyomlaştırma , yalnızca doğal sayılar kadar nesne içeren bir sistemi tanımlayacak şekilde yeniden yorumlanabilir. O halde hiçbir Birinci Derece aksiyomlaştırma, boyutu Cantor'un daha yüksek sonsuzluklarından biri olan bir sistemi kategorik olarak tanımlayamaz. (Farklı boyutlardaki sistemler eşbiçimli değildir: eğer bir sistemdeki nesnelerin diğerindekilerle bire bir korelasyonu yoksa, o zaman yapıyı koruyan bire bir yazışma da yoktur.) Bazıları - Skolem, örneğin -bu sonucun aksiyomatik küme teorisinin yorumlanmasıyla ilgili ciddi felsefi problemler ortaya çıkardığını hissettik : bkz. (Hart 1970, Benacerraf 1985). Tek başına aksiyomatik programında büyük bir krize yol açması gerekmezdi . Cantor'un yüksek sonsuzlukları sıradan matematikten çok uzak görülüyordu ( yüksek sonsuzluklarla ilgili varsayımların "temel" matematikte ilginç sonuçlara sahip olduğu ancak çok sonraları ortaya çıktı: bkz. (Harrington ve diğerleri 1985)'deki araştırmalar). Lowenheim-Skolem Teoremi, dikkatin doğal sayı serilerinin büyüklüğündeki sistemlerle sınırlandırılması durumunda aksiyomlaştırmanın tüm hedeflerine ulaşılabileceği olasılığını açık bıraktı. Teknik terimlerle ifade edersek, sağladığı kategorikliğe karşı örnekler, aksiyomları yeniden yorumlarken açıklanan sistemin önem derecesini (boyutunu) değiştirmeyi içerdiğinden, ilginç bir matematik sistemine kategorik Birinci Dereceden aksiyomlaştırma verilebilmesi olasılığını açık bıraktı : doğal sayıların boyutuna ilişkin modellerin tümü izomorfiktir.

Sıralama ilişkilerine göre düzenlenen rasyonel sayılar sisteminin

œ -kategorik Birinci Dereceden açıklama. ( Mantıksal olmayan tek yüklemi < olan Birinci Dereceden dilde , şunu söyleyen aksiyomları ele alalım:

1 . alan doğrusal olarak sıralanmıştır,

2 . ilk veya son üyesi yoktur ve

3 . Etki alanındaki herhangi iki nesne arasında bir üçüncüsü vardır.

Bu şekilde oluşturulan aksiyom sistemi -kategoriktir ; sayılabilir modelleri doğal düzenleri altındaki rasyonellerle eşbiçimlidir . Sonuç Cantor'a geri dönüyor; bunun temel model teorisinin standart bir uygulaması olduğunu kanıtlıyor.) Ancak bu çok basit bir sistemdir. Toplama ve çarpma işlemlerindeki doğal sayılar gibi daha zengin sistemler için böyle bir başarının beklenmemesi artık mantıksal bilginin tanıdık bir parçasıdır; ancak bunu "ortak" sistemin bir parçası haline getirmek için Lowenheim-Skolem Teoreminden daha fazlası gerekti . algı."

1.4 Tümdengelimsel Tamlığın Hedefi

aksiyomatikleştirmenin tanımlayıcı amacına, ilginç sistemlerin yapısının aksiyomatik karakterizasyonuna odaklandı . Aynı derecede önemli bir başka hedef daha var . Aksiyomlar, Öklid'in zamanından bu yana kanıtların başlangıç noktaları olarak görülüyordu. Matematiğin bir dalının iyi bir aksiyomlaştırılması, matematikçinin o dalın teoremlerini aksiyomlardan mantıksal olarak çıkarmasına olanak tanıyan bir aksiyomlaştırmadır. O halde, kategoriklik hedefine karşılık olarak, tümdengelimli bütünlük hedefimiz var. Bir aksiyomlar dizisi - Birinci Dereceden bir dilde en çok ilgileneceğimiz örneklerdeki cümleler - ancak ve ancak dildeki her cümlenin ya kümedeki aksiyomlardan mantıksal olarak türetilebilir olması ya da mantıksal olarak çürütülebilir olması durumunda tümdengelimsel olarak tamamlanır (örn. olumsuzlaması mantıksal olarak onlardan türetilebilir). Aksiyomlar belirli bir nesneler sistemini tanımlıyorsa, tümdengelimli bütünlük, o sistem hakkındaki tüm doğruların ( dilde) aksiyomlardan mantıksal olarak türetilerek oluşturulabileceği anlamına gelir.

Bu hedef doğrultusunda yine kayda değer başarılar elde edildi. Gödel'in (1930) Birinci Mertebeden Mantık için Tamlık Teoremine göre, daha önceki -kategorik aksiyomlaştırma örneğimiz aynı zamanda tümdengelimli olarak tamamlanmış bir aksiyomlaştırmanın da bir örneğidir. Presburger, 1929'da, toplama işlemi ("Presburger Aritmetiği") tarafından düzenlenen doğal sayılar sisteminin tümdengelimli olarak tam bir aksiyomatizasyonunu verdi . Tarski, İkinci Dünya Savaşı'ndan bir süre önce, Öklid Geometrisinin büyük bir kısmının tümdengelimli olarak tamamlanmış Birinci Derece sistematizasyonunu buldu. ( Geleneksel lise geometri dersinde kapsanan teoremlerin çoğu, Tarski sisteminin diline çevrilebilir. Erişilebilir bir tartışma için bkz. (Tarski 1959).)

Ancak yine ve meşhur olarak sınırlamalar var. Sınırlayıcı teoremlerin en büyüğü ve en iyi bilineni olan Gödel'in Eksiklik Teoremi (Gödel 1931), az önce bahsedilen başarıların mümkün olan en iyi başarı olduğunu gösterir. Herhangi bir epistemik kullanım için, bir aksiyomlaştırmanın aksiyomlarının bu şekilde tanınabilir olması gerekir. Bu koşul, yalnızca sonlu bir aksiyom listesine sahipsek karşılanır , ancak birçok faydalı aksiyomatik sistemde sonsuz sayıda aksiyom bulunur: aksiyomatik küme teorisi sistemleri tipik olarak aksiyom anlama şemaları , sayı teorisi sistemleri tümevarım şemaları ve Tarski'nin aksiyomlarıyla formüle edilir. geometri için az önce uzayın sürekliliğini ifade eden bir aksiyom şeması içerdiğinden bahsedildi . Dolayısıyla, kullanılabilirliğin daha liberal bir kriteri, aksiyomların iki sonlu liste biçiminde verilmesi gerektiği olacaktır: biri aksiyomatik olarak alınan belirli cümlelerden oluşan bir liste, ikincisi ise sonsuz sayıda cümleden herhangi birinin oluşturulduğu şemalar, kalıplar listesi . içlerindeki uygun alt formüllerin değiştirilmesiyle aksiyom olarak sayılırlar . Daha liberal bir koşul şu olabilir: Belirli bir cümlenin aksiyom olup olmadığını belirlemek için bir bilgisayar programı yazmanın mümkün olması gerekir. Gödel'in gösterdiği şey, bu kriterlerin en liberali altında bile "Temel Sayılar Teorisi" için hiçbir gerçek aksiyom dizisinin tümdengelimsel olarak tamamlanamayacağıydı.

Yukarıda bir başarı olarak bahsedilen Presburger Aritmetiği

Hikaye, Birinci Dereceden bir teori olarak formüle edilebilir: niceliksel değişkenlerin doğal sayıların üzerinde olduğu düşünülmelidir ve mantıksal olmayan kelime dağarcığı, 0 ve 1 rakamlarını, özdeşliğin yüklemlerini ve ilişkilerden küçükleri içerebilir . ve toplama ve ardıl ( +1 ) fonksiyonlarına ilişkin semboller . Presburger'in vardığı sonuç, bu dilde ifade edilen ilişkiler ve işlevler tarafından düzenlenen doğal sayılar sisteminin tümdengelimsel olarak eksiksiz bir açıklamaya sahip olduğuydu . Gödel'in düşüncesine göre, çarpma fonksiyonunu da dikkate alarak elde edilen biraz daha zengin sistemi düşünürsek (yani biçimsel dile bir ikili fonksiyon simgesi daha eklersek), bunun artık mümkün olmadığıdır. Whitehead ve Russell'ın Principia Mathematica'sından beri bu açıktı. (1910-1913), o zamandan beri olmasa da (Zermelo 1909), doğal sayılar ve bunlar üzerindeki toplama ve çarpma fonksiyonlarının aksiyomatik küme teorisinin görünüşte tutarlı sistemleri içerisinde tanımlanabildiğini ortaya koydu. (Teknik jargonda: Temel Sayılar Teorisi, küme teorisi sistemlerinde yorumlanabilir.) Dolayısıyla Gödel'in sonucu, Whitehead ve Russell veya Zermelo tarafından tanımlanan küme sistemlerinin tümdengelimli olarak tam bir tanımının olamayacağını ima eder . Tarski'nin işaret ettiği gibi, gerçel sayıların toplanması ve çarpımı teorisine, onun geometrik aksiyomları dilinde geometrik bir yorum verilebilir ; bunun sonucunda, eğer Tarski'nin geometrisi ek bir yüklemle desteklenirse (örneğin, kavram ifade edilir), x ve y noktaları arasındaki mesafenin z ve w noktaları arasındaki mesafenin tam katı olması durumunda , bu da tamamen aksiyomlaştırılabilir olmaktan çıkacaktır.

Gödel'in sonucunun sağlam ve mutlak olduğu deneyimle giderek daha açık hale geldi: seçilen biçimlendirmelerin rastlantısal özelliklerine bağlı değil, tüm makul alternatifler için geçerli. (Görünüşe göre Gödel, "Karar Verilemeyen Önermeler Üzerine .. ..bölüm I"ini, bunu tartışan bir "bölüm II" ile takip etmeyi planlamıştı. Bunu yapmak zorunda değildi çünkü mantıksal topluluk, sonuçlarının genelliğini hızla kabul etti.) Büyük ölçüde şu şekilde : Sonuç olarak, aksiyomatizasyonun iki hedefine ancak ciddi bir şekilde bağlantılı olarak ulaşılabileceği artık genel olarak kabul edilmektedir.

Matematiksel nesnelerin sınırlı sistemleri.

2 Tennant

Neil Tennant yakın zamanda bu kabulün çok daha önce gerçekleşmesi gerektiğini, ilgili kavramların oldukça temel özellikleri üzerine düşünmenin Gödel'in ünlü teoremlerinden önce bile kategoriklik ve tümdengelimli bütünlük gibi iki amacın birbiriyle örtüşmediğini göstermesi gerektiğini savundu (Tennant 2000). önemli durumlarda ortaklaşa başarılabilir. Onun temel argümanı tanıdık bir argümandır; model teorisine giriş dersinin müfredatındaki standart bir maddedir .

Gödel'in Tamlık Teoremi (ünlü Sınırlayıcı Eksiklik Teoremi değil, ancak bir yıl önce kanıtladığı "pozitif" sonuç) aracılığıyla, Birinci Derece aksiyomlardan oluşan bir setin sonucu olan herhangi bir cümle , Birinci Dereceden standart biçimsel sistemlerde onlardan türetilebilir . Mantık. Ancak bir türetme , sonlu bir formüller dizisidir. Dolayısıyla herhangi bir türetmede yalnızca sonlu sayıda aksiyom yer alabilir. Böylece tamamen anlamsal olan ve Gödel'in tamamladığını gösterdiği biçimsel kanıt prosedüründen hiç söz etmeyen Birinci Dereceden Mantık için Kompaktlık Teoremi sonucuna ulaşıyoruz :

Teorem 6.i (Kompaktlık)

kümedeki bazı sonlu sayıda cümlenin sonucudur .

Şaşırtıcı bir şekilde bu bize olumsuz bir sonuç veriyor: Temel Sayılar Teorisine kategorik bir aksiyomlaştırma verilemez. Elementary Number Theory'nin Birinci Derece diline tekrar bakın . 0 için sabiti (isim) ve ardıl fonksiyonun simgesini kullanarak, her doğal sayıyı belirten bir terim veya sayı oluşturabiliriz : 1, 0'ın ardılıdır, 2, 0'ın ardılının ardılıdır, 3 ise 0'ın halefinin halefinin halefi vb. Bu dilde formüle edilen çok zayıf aksiyom kümeleri bile tüm bunların geçerli olduğunu ima eder.

sayılar birbirinden farklıdır. Çok zayıf aksiyomatik sistemlerde bu sayıların doğru sırada geldiği de kanıtlanabilir: 0'ın ardılının ardılı, 0'ın ardılının ardılından küçüktür , vb. Şimdi dile yeni bir bireysel sabit (isim) a ekleyin . Temel Sayılar Teorisi için favori aksiyom dizinizi seçin ve sonsuz sayıda yeni aksiyom ekleyin: a , 0 ile aynı değildir, a , 0'ın ardılıyla aynı değildir, a, 0'ın ardılının ardılıyla aynı değildir ve dolayısıyla on: her doğal sayı için, yani “ a ” ile adlandırılan nesnenin o sayıyla aynı olmadığını söyleyen bir aksiyom ekleyin. Kompaktlık Teoremine göre, bu genişletilmiş aksiyomlar dizisinden hiçbir sayı teorik yanlışlığı türetilemez (tabii ki orijinal aksiyomlarınızın doğru olduğu varsayımıyla!). Çünkü genişletilmiş aksiyom kümesinin bir yanlışlığı ima ettiğini varsayalım . Sıkıştırma yoluyla, aksiyom kümesinin bazı sonlu altkümeleri (a nesnesinin kimliğine ilişkin sonlu sayıda "sorumluluk reddi" ile birlikte aksiyomlarınızın sonlu bir sayısı) da bu yanlışlığı ima eder. Ancak bu tür herhangi bir sonlu küme için bir doğal sayı seçmek mümkündür - örneğin, dahil edilen sonlu sayıdaki sorumluluk reddi beyanlarından birinde belirtilmeyen en küçüğü - öyle ki, " a " yı o sayının adı olarak yorumlarsak , her biri sonlu kümedeki cümle doğrudur. Dolayısıyla sonlu kümeden hiçbir yanlışlık çıkarılamaz.

Şimdi, Gödel'in Tamlık Teoremine göre, herhangi bir tutarlı Birinci Derece cümle kümesinin bir modeli vardır. (Eğer hiçbir model tüm cümleleri doğrulamıyorsa, o zaman mantıksal olarak keyfi bir çelişkiyi ima ederler, ancak kümenin tutarlı olduğunu söylemek, ondan biçimsel olarak hiçbir çelişkinin türetilemeyeceğini söylemektir.) Yani büyütülmüş cümlenin her cümlesini yapan bir model var. aksiyom doğrulandı. Bu model, daha da önemlisi, sizin orijinal aksiyomlarınız tarafından tanımlanmaktadır. Ancak "gerçek" doğal sayılar sistemine izomorf değildir. (Her gerçek doğal sayıya, 0'dan başlayarak sonlu sayıda ardışık "sıçrama" ile ulaşılır. Yeni model, her sayıyla gösterilen bir nesneyi içermesi ve bu nesneleri uygun şekilde sıralaması gerektiğinden, her gerçek sayıya karşılık gelen nesneleri içerecektir.

bunlardan biri olmayan ve 0'a karşılık gelen nesneden sonlu sayıda atlamayla ulaşılamayan "a" ile adlandırılan bir nesneyi de içerecektir. ) Doğal sayılar sistemini bir İlk'te tanımlamak için en sevdiğiniz aksiyomlar kümesi Düzen dilinin izomorfik olmayan en az iki modeli vardır: gerçek sayılar sistemi ve " a " ile gösterilen "sahte" sayıya sahip yeni model . Dolayısıyla tanımı gereği kategorik değildir.

Tennant bu kanıttan özetler çıkarıyor. Daha önce belirttiğim gibi, Birinci Dereceden Mantık için Kompaktlık Teoremini kullanıyor, ancak argüman bu özel mantıksal çerçevenin hiçbir özel özelliğine hitap etmiyor . Bu argüman, bir aksiyom kümesinin her mantıksal sonucunun bazı sonlu aksiyomlar kümesi tarafından ima edildiği herhangi bir çerçeveye uygulanır. Ancak bu, kullanılabilir ve eksiksiz bir resmi kanıt prosedürüne sahip herhangi bir çerçevenin özelliğidir . Bu, mantıksal çerçevelerle ilgili özel olarak matematiksel bir gerçek değil , daha ziyade genel bir epistemolojik gerekliliktir : Eğer aksiyomlardan takip edilenleri öğrenmek için biçimsel bir ispat prosedürünü kullanabileceksek, biçimsel türetmelerin sonlu diziler olması gerekecektir. semboller. Ama epistemolojik düşüncenin bu temel parçası Gödel'in dehasını pek gerektirmiyordu! Dolayısıyla Tennant, argümanın kavramsal temelinin, Gödel'in çarpıcı teoremlerinden bir süre önce mantıkçılar için mevcut olduğunu öne sürüyor.

Fakat bekle! Kompaktlık Teoremi, Gödel'in Tamlık Teoremi'nden bahsetmeden kanıtlanabilir , ancak genellikle değildir. Konuyu sunmanın doğal yolu, Birinci Dereceden Mantığın Yoğunluğunu, Tamlığının doğal bir sonucu haline getirir . Üstelik bu, Tarihin Rasyonel düzende gerçekleştiği durumlardan biridir: Kompaktlık Teoremi ilk kez Gödel tarafından 1930 tarihli makalesinde Tamlık Teoreminin tamamlayıcısı olarak ilan edilmiştir . Dolayısıyla, doğal sayılar sisteminin özelliklerinin Birinci Derece aksiyomatikleştirmelerinin kategorik olmadığına dair bir argüman olarak alınan argüman, Gödel Tamlığı kanıtlayana kadar mevcut değildi !

Bu noktada Tennant tekrar özetliyor. Argümanı sunarken tek bir varsayım vardır: gözlem sistemi.

Tanımlanacak nesneler (doğal sayılar gibi) sayılamayacak kadar sonsuz olmalıdır ve sistemdeki her nesne (yine doğal sayılar gibi) önerilen aksiyomlaştırmanın dilinde bir isme (veya başka bir atamaya) sahip olmalıdır . Onun versiyonunda, ayırıcı bir sonuç ortaya koyuyor: ya çerçeve kompaktlık özelliğinden yoksundur (ki bu durumda aksiyomatikleştirme tümdengelimsel olarak tamamlanmamıştır) ya da kompaktlık özelliğine sahiptir (ve dolayısıyla kategorik olamaz). En azından bu biçimde, Gödel'in sonuçlarından önce argümanın mantıkçılar için mevcut olduğunu ve bu nedenle aksiyomlaştırmanın ikiz hedeflerinin her ikisinin de ulaşılabilir olamayacağının açık olması gerektiğini ileri sürer .

O halde Tennant'ın sorusu şu: Bu neden bariz değildi ? Neden insanlar matematiğin tamamen aksiyomatikleştirilemeyeceğini ancak Gödel'den sonra fark ettiler?

Tennant'a 3 Yanıt

Bu soruya üç cevap önermek istiyorum. Birincisi belki de gerçek psikolojik ve tarihsel açıklamaya en yakın olanıdır , ancak bu ilginç değildir. Tennant'ın sorusunun aynı zamanda epistemolojik bir boyutu da var : Aksiyomlaştırma hedeflerinin ortaklaşa gerçekleştirilebilirliği neden açık değildi ?

3 .1 İlkini Yanıtlayın

Mantıkçılar neden Tennant'ın kanıtını daha önce bulamadılar? Çünkü onu aramıyorlardı! Frege, Tennant'a sunulsaydı muhtemelen onun argümanını takip etmekte hiç zorluk çekmezdi ; Russell da (iddia edildiği gibi resmileştirilmiş sistemler ile onların metateorisi arasındaki ayrım konusunda hiçbir şekilde kör değildi) bunu yapamazdı. Bunu kendileri için keşfetmek başka bir konuydu. Yoğunluğa aşinayız : Yarım yüzyıldan fazla bir süredir matematiksel mantık sahnesinde, önemli teoremlerin kanıtlarının ışığında yıldız bir performans sergiliyor. (Bkz. (Boolos ve Jeffrey 1989, bölüm 26)

kombin toriklerdeki ünlü bir sonucun ispatında bunu iş başında görmek için . Bu bölüm de 1980'deki ikinci baskıda yer alıyor, ancak ilkinde değil.) Ona aşina olduğumuz için, onun epistemolojik yönünün de tamamen farkındayız ve onu biçimsel aksiyomatiklere yönelik dilsel çerçevelerin önemli bir genel özelliği olarak görebiliyoruz. . Tennant'ın argümanını görmeye hazırız. Gödel'den önceki mantıkçılar kompaktlık konusunu hiç düşünmemişlerdi. Onun olası kullanımlarına uyum sağlayamamışlardı. Kavram tanımlandıktan sonra bile (Gödel'in Tamlık Teoremi makalesinde), mantıkçıların bunun ilginç sonuçları kanıtlamak için kullanılabileceğini keşfetmesi birkaç yıl aldı. Aslında Gödel , 1934'te Skolem'in Birinci Dereceden doğal sayılar teorileri için izomorfik olmayan modellerin varlığını kanıtladığı bir makaleyi gözden geçirerek , bu tür modellerin varlığının onun Eksiklik Teoreminin bir sonucu olduğu yorumunu yaptı , ancak gözden kaçırdı. yukarıda verilen daha kolay argüman (tartışma için bkz. Vaught'un Gödel'in incelemesine (Vaught 1986) giriş kısmı (Tennant da alıntı yapıyor)).

Ve her neyse, Tennant'ın zayıf ayırıcı sonucu matematiksel mantıkçıların denediği türden zarif bir sonuç değil!

3 .2 İkinciyi Cevaplayın

İki hedef eşit derecede ilgi çekici değildir. Kategorikliğin ilk, tanımlayıcı amacını formüle ederken bile modellere gönderme yapılır : soyut, ilginç durumlarda sonsuz nesne sistemleri. Gödel, felsefi gerçekçiliğe olan güçlü sempatisiyle , bu tür Platoncu kavramları ciddiye almaya belki de alışılmadık derecede hazırlıklıydı . Zamanın daha pragmatik düşünceye sahip mantıkçıları kategoriklik sorularını metafizikçilere bırakma eğiliminde olmuş olabilirler: "Bana aslında teoremleri türetebileceğim bir aksiyom seti verin ve platonik varlıkları Platon'un cennetine bırakın!" 1920'lerde aksiyom sistemlerini araştıran en aktif okul Hilbert'inkiydi ve onlar öncelikle tutarlılık sorularıyla ilgileniyorlardı. Hilbert'e göre meta matematik, sonlu yöntemler ve sonsuz modelleri ifade eden kategoriklik ile takip edilecekti.

tanımı itibarıyla sonlu bir dille bile ifade edilemez. (Gödel, Tamlık Teoremini ilk kez verdiği 1929 tarihli tezinin (Gödel 1930) girişinde, bunu kanıtlarken, (sonlu olmayan) “sonsuz kümeler için ortanın hariç tutulması ilkesinden temel olarak yararlandığını vurguladı. Tamlık sorununun , çeşitli güçlü aksiyomatik sistemlerin tutarlılığından farklı olarak , "matematiğin temellerine ilişkin tartışma" bağlamında ortaya çıkmadığından, buna gerek olmadığını ileri sürerek bunu haklı çıkardı . çözümünde kullanılan yöntemlere sonlu metamatematiğin kısıtlamalarını dayatmak için.) Mantığın araştırılmasında (sonsuz) model-teorik kavramlar ancak 1930'ların sonlarında kullanılmaya başlandı (örneğin, Tarski'nin doğruluk ve mantıksal sonuç üzerine çalışmasında) moda haline gelmek.

Dolayısıyla 1920'lerde mantıkçıların Tennant'ın kanıtını aramamasının bir başka nedeni de onun daha önemli olan tümdengelimli bütünlük hedefi hakkında hiçbir bilgi vermemesidir . Bunu görmek için, yukarıda verilen argümanın ilk versiyonunu bir kez daha düşünün; burada Birinci Dereceden Mantığın Tamlığını (ve dolayısıyla kompaktlığını) varsayarak, Temel Sayılar Teorisi için favori aksiyomlar dizinizin kategorik olmadığını kanıtladı. Bunu yapmak Gödel'in daha ünlü sonucunu, yani en sevdiğiniz aksiyomların tümdengelimsel olarak tamamlanmadığını kanıtlamadı. Bunu görmek için, aynı argümanın tümdengelimli olarak tamamlanmış olan Presburger Aritmetiğinin kategorik olmadığını gösterdiğine dikkat edin . Veya, "aksiyomlarınız" kümesi olarak, Temel Sayılar Teorisi'nin (Birinci Derece) dilindeki tüm doğru cümleler kümesini almış olsaydınız bile, aksiyomlaştırmanız yine de kategorik olmazdı . (Elbette, dildeki tüm doğru cümlelerin kümesi karar verilemez olduğundan, en liberal ölçütümüze göre bile kullanılabilir bir aksiyom kümesi değildir.)

Q sistemleri kadar güçlü olduğunu veya (Tarski, Mostowski & Robinson 1953)'te açıklanan daha da zayıf R sistemi kadar güçlü olduğunu varsayarak ) hemen hemen aynı özelliğe sahip olduğunu unutmayın. Kategori olarak tatmin edici . Aksiyomlar, belirli bir nesne sisteminin, amaçlanan veya standart modelin bir açıklaması olarak tasarlanmıştır.

(Gerçek) doğal sayıların Temel Sayılar Kuramı'nın bağıntıları ve işlevleri altında tanımlanması. Artık bu sistemdeki her nesne dildeki bir terimle belirtilir. (Kategorisizliğin kanıtlanmasında bu olgudan yararlandık.) Diyelim ki genel olarak modelleri değil, yalnızca dil terimleriyle verilen nesne sistemlerini ele alıyoruz. (Başka bir deyişle: anonim nesneleri olmayan modelleri düşünün .) Böyle bir nesne sistemini tam olarak adlandırılmış olarak adlandırın. Aksiyomlarınız, Temel Sayılar Teorisinin ilkel ilişkilerinin ve ilkel fonksiyonların grafiklerinin, tam olarak adlandırılmış herhangi bir modelin nesneleri üzerindeki uzantılarını belirler. Dolayısıyla tam olarak adlandırılmış herhangi iki model izomorfiktir. Açıkçası bu, kategoriklikten çok daha zayıf bir özelliktir. Bununla birlikte, tam kategoriklik ile "tamamen adlandırılmış modeller için kategoriklik" arasındaki farkın, hâlâ tümdengelimli bütünlük umudunu taşıyan bir mantıkçı için çok önemli görüneceği daha az açıktır.

3 .3 Üçüncüyü Cevaplayın

Gödel'den önceki mantıkçıların Tennant teoremini aramamalarının üçüncü nedeni, onun yanlış olmasıdır.

4 Karşı Örnek

Örneğin (Quine 1953) veya (Quine 1963)'ün 36. bölümünde formüle edildiği şekliyle Basit Tip Teorisini düşünün , ancak özdeşlik tanımlanmış bir yüklem yerine ilkeldir. Bu sistemin dili , mantıksal mekanizmanın kimlik yüklemi, doğruluk-işlevsel bağlaçlar ve niceleyicilerle sınırlı olması bakımından Birinci Dereceden Mantığın bir biçimi olarak düşünülebilir. Standart, ders kitabı, Birinci Derece dillerden, tek bir değişken türü yerine sonsuz sayıda farklı değişken "alfabesine" sahip olması bakımından farklılık gösterir: biri bireyler üzerinden nicelik belirlemek için kullanılır, diğeri ise birey kümeleri üzerinden nicelik belirlemek için kullanılır . bireyler, birey kümeleri için bir tane vb. (Olası bir karışıklık için bkz. § 5, yorum 1.) Her zamanki mantığı varsayıyoruz

bağlaçların olağan mantığı ( iki terimi farklı türden olan bir özdeşlik formülünün ya yanlış ya da iyi biçimlendirilmemiş olduğu koşuluyla) ve niceleyicilerin olağan mantığı ( her değişken türü için). Uygun aksiyomlar olarak Genişletilebilirlik Aksiyomlarını (“Aynı üyelere sahip iki küme bir kümedir”) ve bireylerinki dışındaki her tür için Anlama Aksiyom Şemalarını dahil ediyoruz. Bu, Prin cipia Mathematica'nın 1910-1913'te yayımlanmasından bu yana mantıkçıların ve biçimsel aksiyomatik öğrencilerinin temel özelliklerine aşina olduğu bir sistemdir , ancak az önce anlatıldığı gibi "temiz" bir formülasyon ancak 1930 civarında verilmiştir. Principia bunu -ek bir varsayımla birlikte , ihtiyaç duyulduğunda başvurulan bireylerin sonsuzluğunu- matematiğin temel çerçevesi olarak almıştı . (Gödel 1931) temiz bir aksiyomlaştırma verdi, bireylerin doğal sayılar olduğunu söyleyen aksiyomlar ekledi ve ortaya çıkan sistemin, Eksiklik Teoremlerini oluştururken Principia'nın sisteminin yerine geçmesine izin verdi. Ancak 1930'dan sonra, mantıksal çalışmanın birincil nesnesi olarak yerini, tek sıralı Birinci Dereceden Mantıkta formüle edilen sistemler aldı: değişkenlerin yalnızca tek bir alfabesinin ("sıralamasının") bulunduğu sistemler.

bireyin (1, 7 veya sizin favori numaranız) olduğunu söyleyen bir aksiyom ekleyin . (Birinci Dereceden Mantıkta böyle bir aksiyomun özdeşlikle formüle edilmesi , elbette mantığa giriş derslerinde standart bir alıştırmadır.) Ortaya çıkan sistem kategoriktir! İşin püf noktası, bunun çok sıralı bir Birinci Derece dil olması ve her sıralamanın değişkenlerinin (sistem yorumlandığında) sonlu sayıda nesneye yayılmasıdır. Birinci Derece aksiyomlar sonlu bir yapıyı izomorfizme kadar tanımlayabilir ve teorimiz sadece sonsuz sayıda sonlu yapının bir araya getirilmesinin sonucunu tanımlar. ... Ayrıntılı olarak: bireylerde (ilk tür değişkenin kapsadığı alandaki nesneler) tam olarak N tane olduğunu öngören aksiyomumuz, modelin bu kısmının yapısını sabitler - teorimizin herhangi bir modelinde N nesne bulunmalıdır. onun ilk alanıdır, dolayısıyla herhangi iki modelin ilk alanları bire-bir korelasyon içindedir . Ama şimdi Anlayışımız ve Kapsamlı-

uygunluk aksiyomları, ikinci tür değişkenlerin alanında tam olarak 2 ^{N nesnenin}bulunduğu ve bunların birinci alanın alt kümelerinin rolünü oynadığı (üyelik kümesinin yorumlanması yoluyla) sonucuna varan bir ifade türetmemize izin verir. yüklem). Bu yapı, daha büyük olmasına rağmen hala sonludur ve aksiyomlarımız onu kategorik olarak tanımlar: teorinin herhangi iki modelinde, modellerin birinci ve ikinci alanlardan oluşan kısımları ve birinci tür nesnelerle ilgili üye yükleminin yorumlanması. ikinci türe göre izomorfik olacaktır. Ancak şimdi daha yüksek türler için Kavrama ve Genişletilebilirlik aksiyomları devreye giriyor. Tam olarak 2 ( ²⁾olmalı ) üçüncü etki alanındaki nesneler, ikinci etki alanının alt kümelerinin rollerini oynarlar vb. (Ayrıntılı kanıtlar için bkz. (Gentzen 1936, Asser & Schroter 1958).) Teorimizin herhangi iki modeli izomorfik olacaktır. Her biri , dildeki farklı değişken türlerine karşılık gelen, sonlu bir dizi alana sahip olacaktır . İki modeldeki karşılık gelen alanlar aynı, sonlu sayıda nesneyi içerecektir: dolayısıyla, bir modelin alanlarının birleşimindeki nesneler ile diğer modelin alanlarının birleşimindeki nesneler arasında bire-bir yazışma vardır. , karşılık gelen nesnelerin karşılık gelen alanlarda olmasıyla. Ayrıca, bu yazışma (tümevarımsal olarak etki alanları serisi üzerinde) bir modeldeki iki nesnenin, ancak ve ancak diğer modeldeki karşılık gelen nesnelerin üyelik ilişkisinde olması durumunda o modelin üyelik ilişkisinde yer alacağı şekilde tanımlanabilir. diğer modelden.

Kategorik olduğu için (tek sıralı değişkenlerin yanı sıra çok sıralı değişkenleri de kapsayan Birinci Derece Mantığın tamlığı nedeniyle) tamdır. Tamamlandığı için karar verilebilir.

Birinci tür değişkenler (“bireyler ”) için etki alanındaki sonlu sayıdaki nesneler için dile adlar ekleyin. Sistem artık Tennant'ın argümanının tüm hipotezlerini karşılıyor : Her biri sistemin dilinde benzersiz bir şekilde belirlenebilen, sayılamayacak kadar sonsuz bir nesne sistemini tanımlıyor ve tam (ve dolayısıyla kompakt) bir ispat prosedürüne sahip. Tennant'ın kanıtındaki boşluk,

“standart dışı” modelin tanımlanmasında dile eklenen yeni ad olan a ile ilgilidir. Tennant üstü kapalı olarak aksiyomatik sistemlerin , sistemdeki sonsuz sayıdaki nesnelerden herhangi birine gönderme yapabilen terimler için gramer kategorisinin bulunduğu modern tek sıralı Birinci Derece Mantık gibi bir dilde formüle edileceğini varsayar. Bu varsayım nedeniyle, a'nın tanımının orijinal sistemdeki nesnelerin hiçbiriyle aynı olmadığını söylemek için sonsuz sayıda yeni aksiyoma ihtiyaç olduğunu iddia edebilmektedir ; eğer kompaktlık, a'nın varlığını tesis edecekse, bu gereklidir. “standart dışı” bir model. Bizim sistemimizde böyle bir kategori yoktur: her tür değişken yalnızca sonlu sayıda nesneyi kapsar. Bu nedenle, a için hangi tür seçilirse seçilsin , onun gösterimini bu tür değişkenlerin aralığındaki tüm nesnelerden ayırmak için yalnızca sonlu sayıda "aksiyom" gerekli olacaktır ve bu "aksiyomların" eklenmesi biçimsel çelişkiye yol açacaktır.

matematiksel ifadesi açısından (tabii ki sınırlı olsa da) önemsiz değildir . Russell'ın belirttiği gibi, yalnızca sonlu sayıda birey söz konusu olduğunda, herhangi bir türdeki tüm doğal sayıları elde edemezsiniz, ancak istediğiniz herhangi bir doğal sayı şu veya bu türde mevcut olacaktır (böylece tüm sayısal denklemler "doğru" doğruluk değerini alır) . Yeterince yüksek bir türe giderseniz). (Russell bu noktaya (Russell 1908)'in sonunda işaret ediyor; ifadeler değiştirildi ancak aynı noktaya Principia Mathematica'nın girişinde de değinildi.) Basit denklemlerin ötesine geçebiliriz: aritmetikle ilgili tüm S® cümlelerinin dilde çevirileri vardır. Bu sistemin ve herhangi bir doğru sistemin uygun bir tercümesi kanıtlanabilir. (Bu, matematik mantıkçılarının aşina olduğu, sayılarla ilgili tek sınırsız nicelemenin etkili bir şekilde varoluşsal olduğu , sayı-kuramsal cümlelerin kapsamlı bir sınıfıdır .)

Öyleyse Tennant'ın teoremine verdiğim karşı örnek ilginç mi , yoksa sadece merak mı? Sanırım artık Gödel sonrası bunun sadece bir merak olduğunu söyleyebilecek durumdayız. Kısa bir inceleme, sistemin ifade gücünün gerçekten çok ciddi biçimde kısıtlandığını ortaya çıkaracaktır.

® çevirisinde ne tür değişkenler kullanılmalıdır?

belirli bir cümlenin doğru çevirisini seçecek genel bir algoritma yoktur . Açık S ® formülleri genel olarak burada ifade edilemez. Eğer kişi neye bakacağını biliyorsa, bu zayıflıkları tespit etmek zor değildir. Bunu yapıyoruz, ancak yalnızca Gödel'in Eksiklik Teoremi bize, açık S® formüllerini ifade edebilen (doğru) teorilerin (klasik olumsuzlama işleçleri olan dillerde - bkz. (Myhill 1950)) tümdengelimsel olarak tamamlanmadığını söylemesi nedeniyle .

5 Yorumlar

1 . Birinci Dereceden Yüksek Dereceye Karşı. Burada felsefi kafa karışıklığından fazlasıyla payını alan bir terminolojik karmaşa var. Basit Tip Teorisi, Yüksek Dereceli Mantığın bir formülasyonu olarak adlandırılır, peki Yüksek Dereceli Mantık ile çok sıralı Birinci Derece Teorisi arasındaki fark nedir? Sözdizimsel olarak ele alındığında dil aynı olabilir. Matematiksel mantıkçılar Yüksek Düzey Mantık'tan bahsederken, bu dilin küme-kuramsal kavramları varsayan bir şekilde semantik olarak yorumlandığını düşünüyorlar: ikinci tür değişkenlerin (örn. ) etki alanı ilk sıralama aralığının üzerinde vb. Dili ve onun içinde formüle edilen biçimsel aksiyomatik sistemi Birinci Derece bakış açısından ele alıyoruz: Model olarak neyin sayılabileceğine koyduğumuz tek kısıtlama, Birinci Derece Teori modelinin ne olduğunu tanımlayan olağan kısıtlamalardır: her " Değişkenlerin "alfabesi" bazı (boş olmayan) alanlara göre değişmelidir, ancak daha sonraki türler için alanların hemen önceki alanın kuvvet kümeleri olmasını gerektirmek yerine, onların aksiyomların karşılanmasına izin verecek herhangi bir şey olmasına izin verdik. Matematiksel mantık jargonunda, "standart dışı" veya "Henkin" modellere izin veriyoruz: Yüksek Düzeyin dilini ele almanın anlamı budur.

Birinci Dereceden Mantık. Eğer "bireyler" alanı (birinci tür değişkenlerin alanı) sonsuzsa , Yüksek Düzey Mantığın aksiyomatik formülasyonu kategorik değildir : Henkin modellerinin standart modele izomorfik olması gerekmez. Bu bölümdeki karşı örneğimizin amacı, Birinci Derece teorilerin anlambilimini tartışırken izin verilen yorum çeşitliliğine bile izin vererek, sonlu sayıda bireyle kategorikliğin elde edilebileceğidir .

2 . Tek sıralı ve Çok sıralı. Şimdi işin eğlenceli yöntembilimsel kısmına geçelim. (Hailperin 1957) Herbrand-Schmidt Teoremi dediği şeyle, çok sıralı herhangi bir teori tek sıralı bir teoriye çevrilebilir. Bunu yapmanın standart yolu, her eski sıralamadaki değişkenlerin yer aldığı alan adının bir kısmını sınırlandırmak için yeni, tekli bir yüklem içerir, ancak burada bunun biraz daha zarif olabileceğini düşünüyorum (çünkü türleri varsayıyoruz) ayrıktır) tek bir ikili kotipiklik yüklemine sahip olmak. Aksiyomlar:

( a) Kotipiklik bir denklik ilişkisidir.

( b) Kotipik üyelere sahip olan şeyler kotiptir .

( c) Tipik şeylerin üyesi olan şeyler kopyadır.

( d) Üyeleriyle ilgili şeyler tipik değildir.

( e) Anlamanın uygun bir şekilde korunması: Tüm x için, x ile kopyalanan tüm z'ler için , z'nin y'nin bir üyesi olduğu bir y'nin olması durumu ancak ve ancak şu şekildedir:

, üyeleri olan herhangi bir şeye benzemeyen şeyler olarak tanımlayın .

( f) Bireysel olmayanlar için genişleme.

( g) Bireysel sayıların sayısıyla ilgili önceki ifadenin aynısı .

Çok sıralı teori tek sıralı olarak yorumlanabilir. (Her n için “ n tipindedir ” (Quine 1963)'in 37. maddesinde olduğu gibi tanımlanabilir.) Ancak metodolojik özellikleri bakımından tamamen farklıdır! Kategorik değildir. (Bu , 3. bölümün başında açıklandığı gibi, standart olmayan modelleri kompaktlık yoluyla elde etmek için standart hile aracılığıyla gösterilebilir - standart olmayan şeyler standart olmayan türlere ait olacaktır: hiçbir standart olmayan "küme" tipik değildir. herhangi bir standartla.) Buna karar verilemez . (Bu , bir cümledeki tüm terimlerin belirtilmesine izin verecek kadar geniş sınırların seçilmesi vb. gibi bazı titiz teknik özellikleri içerir, ancak gerçekte aritmetikteki tüm S® formülleri ifade edilebilir ve yalnızca ve hepsi doğru olanlardır, yani şu şekilde kanıtlanabilir: Gödel'in Eksiklik Teoremi ....) Yani tam değil. Yani tek sıralı ve çok sıralı Birinci Derece Mantık, insanların bazen fark ettiğinden çok daha ilginç bir şekilde farklıdır.

3 . Teorilerin ilginç bir özelliği. Tek sıralı versiyonun standart modeline biraz daha yakından bakın. Kendi alanındaki hiçbir nesne, ilkellerin ifade ettiği ilişkilerden (üyelik veya ortak tiplilik) herhangi biriyle sonlu sayıdaki birçok nesneden daha fazla ilişkili değildir. Formüllerin oluşturulmasında tümevarım yoluyla, m + n serbest değişken içeren herhangi bir formül için, herhangi bir m -delinin, sonlu çokluğa ya da sonlu sayıdaki n -tuplelar hariç hepsine ifade ettiği ilişkiyle ilişkili olacağını göstermek kolaydır. etki alanındaki nesnelerin sayısı. Bu, ilginç bir yorumlanmış teorinin sahip olması gereken dikkate değer bir özelliktir. (Bunun sonuçlarından biri için bkz. (Gaifman 1982).) Bununla birlikte, bir aritmetik modelinde her sayı diğer tüm sayılarla benzersiz toplamlar oluşturur: dolayısıyla üçlü toplama ilişkisi onu sonsuz sayıda sayı çiftiyle ilişkilendirir, aynı zamanda onu sonsuz sayıda başkalarıyla ilişkilendirmekte başarısız olur . Benzer şekilde, (tiplendirilmemiş) küme teorisi modelinde, her küme sonsuz sayıda başka kümenin üyesidir ve sonsuz sayıda başka kümenin üyesi değildir. Bundan şu sonuç çıkıyor ki, ne aritmetik

150 AP

ne de küme teorisinin herhangi bir olağan sistemi, tip teorisinin bu versiyonunda bir bütün olarak ve standart anlamda yorumlanamaz.

Bölüm

YEDİ

SEZGİSEL MANTIKTA DENEYSEL OLUMSUZLAMA Graham Solomon ve David DeVidi

1 Giriş

Sezgisel mantığı belirli amaçlar için benimsemenin birçok nedeni vardır. Elbette en çok, mantığa adını veren matematik felsefesindeki sezgiciler, özellikle de Arend Heyting ve LEJ Brouwer'den etkilenen diğerleri tarafından savunulmaktadır . Aynı zamanda Michael Dummett'in kabaca Wittgensteincı anlam kuramı temelinde savunduğu mantığın, mantığın metafizik açıdan tarafsız bir tür çekirdeği olduğu da iyi bilinmektedir. Yalnızca gerçekçilik doğruysa meşru olan varsayımlara dayanan akıl yürütme ilkelerinden (iki değerlik ilkesi gibi) ve dolayısıyla anti-gerçekçilik doğruysa belirli bir söylem türü için uygun olan mantıktan masum olduğu iddia edilir. bu söylem için doğru. ¹Felsefedeki kategori teorik temellerinin bazı savunucuları tarafından savunulmaktadır.

¹Ayrıntılar farklılık gösterse de aslında bu görüş Dummett tarafından pek çok yerde savunulmaktadır. Özellikle bakınız (Dummett 1991). Dummett'in bu konulara ilişkin görüşlerinin en erişilebilir sunumu (Dummett 1993)'tir.

151

D. Devidi ve T. Kenyon (ed.), Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım, 151-168.

Çünkü tüm topozlarda geçerli olan ilkelerin bir tür yüksek düzey sezgisel mantık oluşturduğu ortaya çıktı. ²Klasik mantık yerine sezgisel mantığın benimsenmesi, belirsizliğin paradokslarını etkisiz hale getirmenin bir yolu olarak savunulmuştur ; en ünlüsü Hilary Putnam tarafından (Putnam 1983) yapılmıştır. Ayrıca bakınız (Wright 1987), (Wright 1992 a ), (Read & Wright 1985), (DeVidi ortaya çıkacak). Bunlar (bizim için) daha iyi bilinen örneklerden sadece birkaçıdır.

Ancak klasik mantıktan sezgisel mantığa geçişin belirli maliyetler içerdiği iyi bilinmektedir. Bu tür bir maliyet, yalnızca sezgisel mantığın mantıksal sabitlerine sahip olmanın, kişiyi sıradan dilde açıkça ifade edebildiğimiz ve her zaman ifade ettiğimiz şeyleri ifade etmekten aciz bırakmasıdır; dolayısıyla, sezgisel mantık tek başına "sıradan söylemin mantığı" olamaz . Daha da önemlisi, yalnızca sezgisel mantığın operatörlerinin mevcut olması, bazen kişiyi analiz edilen konu için çok önemli görünen belirli fikirleri ifade etmekten aciz bırakır . Bu tür vakalar, birçok insanın tek bir mantık sisteminin oynayamayacağını düşündüğü bir rol olan "her şeyin mantığı" olarak sezgisel mantığın yalnızca uygunluğunu değil, aynı zamanda onun daha spesifik amaçlar için bile yararlılığını sorgulamaktadır. savunucuları tarafından övülüyor. Bu makaledeki amacımız, felsefi literatürde bazı tartışmalara konu olan bu sınırlamalardan biri olan , sezgisel mantığın “ampirik” olumsuzlamaları ifade edememesi ve özellikle de asla ifade edememesi sorununu ele almaktır.

Aklımızdaki duruma ilişkin birkaç örneği ele alalım. Sezgisel mantığı savunmanın en iyi bilinen nedeni, kişinin yapıcı matematiğin bazı veya başka versiyonlarına önceden bağlı olmasıdır. O halde bir

²Belki de bu görüşün en etkili savunucusu topos teorisinin mucitlerinden biri olan Bill Lawvere'dir. Ancak onun felsefi düzyazısı biraz anlaşılmaz olma eğilimindedir. (bkz. Lawvere (Lawvere 1976).) Bu doğrultuda daha erişilebilir bir argüman (Bell 1986)'dır. Bu filozofların felsefi başlangıç noktasının, sezgicilerin veya Dummett'inkinden çok farklı olduğuna dikkat edin.

Bilinen nedenlerden dolayı, ispatlar ile matematiksel gerçek arasındaki yakın ilişki hakkında bazı güçlü görüşleri benimser. Ancak kimse bir matematiksel ifadenin ancak ve ancak kanıtlanmış olması durumunda doğru olduğunu söyleyemez , çünkü kişi sonunda n'nin 1882'den önce aşkın olmadığını söylemek istemez. Daha ziyade bir matematiksel ifadenin şu durumda doğru olduğunu söyler: ve yalnızca kanıtlanabilirse . Ancak kanıtlanabilir ifadelerin doğruluk değerleri hakkında, bunlar kanıtlanmadan önce söyleyebilmemiz gerekenleri söyleyebilmek, alışılagelmiş sezgisel olumsuzlamaya ek olarak başka bir olumsuzlamayı da varsaymamızı gerektirir. Michael Dummett'in Inluilionism'in Öğeleri adlı eserinden aşağıdaki pasajı düşünün:

Pi'nin 1882'den önce aşkın olmadığını söylemekteki isteksizliğimiz veya daha da önemlisi, matematiksel ifadeleri önemli ölçüde gergin olarak yorumlamak, yalnızca Platoncu yanlış kavramların kalıcı bir etkisi değildir ; daha ziyade, bu şekilde konuşmak, matematiksel ifadelere sezgisel olmayan bir olumsuzlama biçimini kabul etmek anlamına geleceği için , "pi cebirsel değildir"e bir doğruluk değeri atamaya kalkışıldığında açıkça görüleceği gibi, "pi cebirsel değildir". Bu, "...doğru değildi" veya "...doğru değildi" ifadelerinde geçen "değil" ifadesinin yapıcı olmamasından kaynaklanmaz: makul bir şekilde bunu, bir ifadenin olup olmadığına karar verilebilir olarak görebiliriz. verilen ifade belirli bir zamanda kanıtlanmıştır. Ancak yapıcı olmasına rağmen bu, sezgisel matematiğin ifadelerinde ortaya çıkan olumsuzlama değil, ampirik bir olumsuzlama türüdür. İkincisi sabit tipte bir yapıyı gerçekleştirmenin imkansızlığıyla ilgilidir; birincisi ise değişken zamanlarda sabit bir gözlem veya araştırmanın sonucuyla ilgilidir. (Dummett 1977, S. 337)

Dummett, “Gerçekçilik ve Gerçekçilik Karşıtı” adlı makalesinde soruna daha genel bir çerçevede geri döner (Dummett 1993, s. 473):

Olumsuzluk... son derece sorunludur. Matematikte , “eğer .o zaman”ın [yapıcı] anlamı göz önüne alındığında, “A Değil”i “Eğer A ise 0=1” anlamında açıklamak önemsizdir; tersine, iki değerliliğin genel olarak kabul edilmediği ampirik ifadelere uygulandığında "değil"in tatmin edici bir açıklamasına ulaşmak çok zordur. .

Sezgisel mantığın kabulünü savunabilecek başka bir neden de, epistemik olarak kısıtlanmış hakikat kavramlarının tutarlılığının savunulmasının bir parçası olmasıdır. Birinin buna nasıl yönlendirilebileceğini görmenin kolay bir yolu, bilinebilirlik paradoksunu dikkate almaktır. Çünkü eğer doğruluk görüşü P — ♦ KP şemasının (buna (AR) adını vereceğiz) geçerliliğinin kabulünü zorunlu kılıyorsa, o zaman klasik mantık ve bilgi ve olasılık hakkındaki diğer asgari varsayımlar dikkate alındığında, P — K P gösterilebilir . 3 Birisi her gerçeğin bilinebilir olduğunu savunmak isteyebilir ama muhtemelen her gerçeğin bilindiğini kabul etmek istemez. Bilgi veya kiplikler hakkında bahsedilen asgari varsayımlardan vazgeçmek istenmediği varsayılırsa, bunun yerine klasik mantığı terk ederek sezgisel mantık lehine hareket etme eğilimine girilebilir, çünkü sezgisel mantıkta kişi yalnızca P — -- KP'yi gösterebilir ve P — KP değil . Sezgisel mantıkta P'nin kanıtlanabilir bir şekilde P'ye eşdeğer olması ve böylece uygun bir anlamda P'nin imkansız olduğunu ifade etmesi nedeniyle , ilki şuna benzer: "Eğer P doğruysa, bu doğrudur . "

³Bilgiyle ilgili varsayımlar onun olgusal olduğu , yani K P — P'nin geçerli olduğu ve bağlaç üzerinden dağıldığı, yani K (P a Q) — K P A K Q'nun geçerli olduğu yönündedir. (Aslında, olgusallıktan biraz daha zayıf bir koşul işe yarayacaktır, ancak bilginin olgusal olduğu genellikle verili kabul edildiğinden bu karmaşıklığı bir kenara bırakıyoruz.) Olasılıkla ilgili varsayımlar □ P - ♦ - P'dir ve eğer P kanıtlanabilirse Ü P de öyle (yani zorunluluk çıkarım kuralına sahibiz). O halde ispat şu şekilde ilerleyebilir: indirgeme için K (P a- K P) olduğunu varsayalım . O halde dağıtımcılık yoluyla K P a K - - K P elde ederiz , dolayısıyla sağ bağlaçta basitleştirme ve gerçekçilik yoluyla bir çelişki elde ederiz. Böylece - K (P a- K P) olduğunu kanıtlayabiliriz . Kutulu olumsuzlamalar ve olumsuzlanmış baklavalar arasındaki gereklilik ve belirtilen ilişki nedeniyle, - ♦ K (P A - K P) elde ederiz . (P A - K P) — ♦ K (P A - K P) , (AR) şemasının bir örneği olduğundan, modus tollens yoluyla - (P A - K P) elde ederiz ; bu , P — -- ' ye eşdeğerdir. KP . _ Klasik mantıkta bu da P — K P'ye eşdeğerdir .

P'yi bilmenin imkânsız olması imkansız ," epistemik olarak kısıtlı hakikat açıklamalarını savunanların muhtemelen kabul etme eğiliminde olacağı bir şey.

P ^ -- K P'nin geçerliliğinden P A - KP'nin imkansızlığı doğrudan çıkar ve dolayısıyla - (PA - KP) kanıtlanabilir. Bu çok ciddi bir sorun gibi görünebilir, çünkü klasik olarak okunduğunda P A - KP yalnızca P'nin doğru olduğunu ancak bilinmediğini söyler ve bu kesinlikle saçma çıkmaması gereken bir şeydir - elbette bu da aynı derecede paradoksal olacaktır. P-+ KP'nin geçerliliğini kabul etmek zorunda kalmak . Sorun, sezgisel mantığın olumsuzlanması olarak okumayı hatırladığında, KP'nin yalnızca P'nin bilinmediğini değil aynı zamanda bilinemez olduğunu söylemesi kadar ciddi değildir ve dolayısıyla P A - KP epistemik olarak sınırlandırılmış gerçeğin savunucusunun saçma olarak görmesi gereken bir şey. Ancak bu, muhtemelen daha az ciddi olan başka bir sorunu ortaya çıkarıyor. Sezgisel mantığın olağan araçları ve K operatörü göz önüne alındığında, öyle görünüyor ki, P'nin doğru olduğunu ancak bilinmediğini veya P'nin doğru olduğunu ancak asla bilinemeyeceğini söyleyemeyiz - çünkü hiçbir zaman bilinmemek , bilinemezlik anlamına gelmez. Sonuçta, bir gerçek bilinmeyen olarak kalabilir ; örneğin, ilgili bilginin mevcut olduğu sırada hiç kimse onun doğru olup olmadığı sorusuyla ilgilenmiyordu; bunun nedeni, onun üzerinde herhangi bir "prensipte" kısıtlama olmasıydı. bilinir hale geliyor. Bu araçları kullanarak bu tür tanımlamaları karşılayan ifadelerin varlığını öne sürme girişimleri, bunun yerine saçmalıkları öne sürmemize neden oluyor gibi görünüyor. Ancak muhtemelen tartışmaya katılan tüm katılımcılar, bu tür ifadelerin varlığını öne sürmenin saçma olmadığını kabul etmelidir, aksi takdirde bilinebilirlik "paradoksu", ilk etapta onlara paradoksal gelmeyebilirdi.

Amacımız, sezgisel olumsuzlamayla uyumlu ancak ondan farklı ikinci bir olumsuzlamanın nasıl eklenebileceğini göstermek, böylece yukarıda gösterilen türden iddiaları ifade edebilmektir. Aslında, "ampirik olumsuzlama" rolünü oynayabilecek tek bir resmi kavramı izole etmeye çalışmanın muhtemelen yanlış olduğunu düşünüyoruz. Pek çok farklı ve yararlı olumsuzlama kavramının mevcut olduğundan şüpheleniyoruz; bunların çoğu uygun bir şekilde ifade edilebilir.

“ampirik” olarak tanımlanabilir. Ancak böyle bir olumsuzlamanın nasıl işe yaradığını göstermenin faydalı olacağını düşünüyoruz. Bu nedenle açıklayıcı bir örnek olarak hizmet edebileceği düşüncesiyle "asla" kavramını yakalayan bir olumsuzlama üzerinde yoğunlaşıyoruz.

Bazı resmi ayrıntıların kısa bir taslağına geçmeden önce, bariz bir öneride neyin yanlış olduğunu görmek için biraz durmalıyız. Sezgisel olumsuzlamayı klasik olumsuzlama ile birleştirip klasik olumsuzlamanın "ampirik olumsuzlama" rolünü oynamasına neden izin vermiyoruz? Kısa cevap şudur: Eğer P'nin hem klasik hem de sezgisel bir olumsuzlaması varsa, o zaman bu iki olumsuzlama çakışır. Çünkü P'nin klasik olumsuzlaması benzersiz bir ~ P önermesidir, öyle ki P A ~ P bir çelişki iken P v ~ P bir totolojidir. P'nin sezgisel olumsuzlaması , P A - P'nin bir çelişki olduğu ve P v - P'nin mantıksal olarak mümkün olduğu kadar doğru olduğu benzersiz önerme - P'dir (yani, V ! x I x A P = 0 } ) . Açıkçası, eğer klasik bir ~ P mevcutsa, bu aynı zamanda P'nin sezgisel olumsuzlaması da olacaktır . Dolayısıyla, eğer her önermenin hem klasik hem de sezgisel bir olumsuzlaması varsa, gerçekte elimizde iki değil, tek tür bir olumsuzlama vardır.

2 Teklif

Amaç, standart sezgisel mantığa ek bir olumsuzlama operatörü eklemektir. Basitlik açısından, dikkatimizi önerme durumuyla sınırlandırıyoruz . Bu amaçla, A , v , ^ ve - işleçleriyle standart bir önerme diliyle başlıyoruz; bunların (gereksiz ama kullanışlı bir şekilde) bir yanlışlık simgesi ± içerdiğini varsayıyoruz ve buna tekli cümle işlecini ekliyoruz ~ (ve şu anda , bir ikili operatör = > ). Atom formülleri kümesini Atoms ile gösteririz ve L dilini ikili bağlaçlar - ^ , A ve v (ve şu anda = > ) ve tekli bağlaçlar - ve ~ için olağan özyinelemeli tümcelerle tanımlarız . L cümleleri üzerinde değişen değişkenler olarak P , Q ve R'yi , atomlar üzerinde değişen değişkenler olarak ise B ve C'yi kullanıyoruz .

~ P'nin amaçlanan yorumu , bunun yalnızca gerçek bir durum

olmadığı takdirde bazı bilgi durumlarında doğru olacağıdır.

P'nin doğru olduğu x'ten " sonraki" bilgi . Burada “sonraki”nin ne anlama gelmesi gerektiği sorusuna döneceğiz. İlk olarak aşağıdaki resmi makineleri tanıtıyoruz.

2 .1 Temel Anlambilim

Bir çerçeve bir üçlü ( W, <, A) 'dır ; burada ( W, O, sezgisel mantık için bir Kripke çerçevesidir, yani W bir kümedir ve <, W üzerinde bir ön sıradır (yani dönüşlü ve geçişli bir ilişkidir) ve A ç W. Buradaki fikir, W'nin bir bilgi durumları kümesi, A'nın (her zaman) gerçekleşen bilgi durumları kümesi olmasıdır . Eğer F bir çerçeve ise, F'ye ilişkin bir yorum W'den diğerine bir haritadır. Kalıcılık koşuluna tabi olan Atomların güç kümesi : eğer w < x ise, o zaman I(w) ç I(x) Kolaylık olması açısından sıklıkla y < x için xy , x < y için x < y A x = y vb. yazarız . .

W'de P doğrudur (ya da zorlanmıştır ) " ifadesini kısaltmak için w IF P yazarız . Bu kavramı F çerçevesindeki belirli bir I yorumu için şu şekilde tanımlarız :

• Eğer B atomikse, w IF B ancak ve ancak B g I(w) ise .

• w IF P v Q ancak ve ancak w IF P veya w IF Q .

• w IF P A Q ancak ve ancak w IF P ve w IF Q.

• w IF P -+ Q ancak ve ancak V x y w ise , eğer x IF P sonra x IF Q.

• w IF - P ancak ve ancak V x y w , x IF P ise.

• w IF ~ P ancak ve ancak V x[(xyw ve x g A ) x IF P] anlamına geliyorsa .

~ için tümce hariç, sezgisel mantık için standart Kripke semantiği için olağan olanlardır . Eğer P, I altında her w g W'de zorlanırsa, P'nin I altında geçerli olduğunu söyleriz . Eğer P, F üzerindeki her I altında geçerliyse, P'nin F içinde geçerli olduğunu söyleriz . F'nin her çerçevesinde P geçerliyse P'nin geçerli olduğunu söyleriz .

Öneri i

Eğer w IP P ise tüm x w için x IP P.

P'nin karmaşıklığı üzerindeki tümevarımla kolayca kanıtlanır. Bunun sezgisel mantıkta geçerli olduğu iyi bilinir, bu nedenle yalnızca ~ P ifadesini kontrol etmemiz gerekir . Ama eğer w IP ~ P ise ve x Ip ~ P olacak şekilde bir xw varsa , y g A ve y T P olacak şekilde bir yyx vardır . Ancak bu durumda <, w < y'nin geçişliliği ile w IP ~ P iddiasıyla çelişir .

Bu tür bir olumsuzlamanın bazı ilginç özellikleri vardır. Kolayca kesin delillere dönüştürülebilecek basit resmi olmayan argümanlar veriyoruz.

Öneri 2

Bu olumsuzlamayla ilgili birkaç ilginç gerçeği not ediyoruz.

1 . P v ~ P geçerli değil. Çünkü eğer x Ip P ama y > x , y g A ve y IP P ise, o zaman x Ip ~ P de olur.

2 . Benzer şekilde, klasik olarak geçerli ancak sezgisel olarak geçersiz olan diğer şemaların - ~ ile değiştirildiğinde geçersiz kaldığını gösterebiliriz . Bunun genel olarak doğru olduğunu görmek için A = W olan çerçeveleri düşünün ; bu durumda - ve ~ eşdeğer olacaktır.

3 . - P ^ ~ P geçerlidir. Çünkü eğer x IP - P ise , o zaman y T P olacak şekilde herhangi bir y y x yoktur . A fortiori, hem A'nın üyesi olan hem de P'yi zorlayan bir y y x yoktur .

4 . ~ P -^ - P geçerli değil. Çünkü y f A ve y IP P , dolayısıyla x Ip - P olacak şekilde bir y yx varken x IP ~ P olması mümkündür .

5 . Eğer x f A ise, o zaman bazı P için x IP P A ~ P olması mümkündür. Muhtemelen x IP P için, ancak y g A olacak bir yyx yoktur . Bu nedenle - (P A ~ P) geçerli değildir . Ancak ~ (P A ~ P) geçerlidir, çünkü P A ~ P, A'nın üyesi olan herhangi bir x için doğru olamaz .

6 . Ne - ~ P --+ P ne de ~ - P --+ P geçerli değildir. Çünkü - ~ P, her “sonraki” aşamanın daha sonraki bir gerçekliğe sahip olmasını gerektirir.

P'nin mevcut bilgi durumunda tutulmaksızın yerine getirilebilecek bir şey olduğu aşama . Benzer şekilde —-P , her gerçek sonraki aşamanın , P'nin içinde bulunduğu, zorunlu olarak gerçek olmayan, olası bir sonraki durumuna sahip olmasını gerektirir . Bunun bir kez daha P'nin mevcut gerçeğini içermesi gerekmez . Dolayısıyla (yukarıda verilen 2) bu sistemde çift olumsuzlamanın ortadan kaldırılmasının ilginç bir versiyonu yoktur.

7 . Bu olumsuzlamalar, altyapısal mantıkta kullanılan anlamda bir “bölünmüş olumsuzlama” oluşturmaz . Çünkü P A — P, hem P hem de — P anlamına gelir, ancak - (P A — P) anlamına gelmez . (Bkz. (Restall 2000), s. 62.)

Bu tür bir olumsuzlamanın eklenmesinin felsefi getirisinin, dile sağladığı ekstra ifade kapasitesinde olduğu varsayılır. Örneğin, P ^ -- KP'yi kanıtlanabilir kılan bir bilgi operatörünü yöneten ilkeleri benimsersek , P A - KP saçma olacaktır. Bununla birlikte, bu P A — KP'nin tutarlılığıyla oldukça uyumludur - kabaca, P A — KP, tüm y y x için y IF K P , y f A olacak şekilde x bilgisi durumunda zorlanabilir . Yani, biçimsel anlambilime verdiğimiz buluşsal okumayı kullanarak, x'in P'nin bilindiği ancak bunların hiçbirinin gerçekleşmediği uzantıları vardır . Dolayısıyla x'te P doğrudur ve bilinebilir, ancak hiçbir zaman bilinemeyeceği ortaya çıkar.

2.2 Olumsuzlamayı Neden Durdurmalısınız?

Bu makaledeki ana odak noktası bir tür olumsuzlama olsa da, önerdiğimiz biçimsel çerçeve bize açık bir soruyu gündeme getiriyor gibi görünüyor. Sezgisel mantık ve klasik mantık aynı birleşme ve ayrılma kavramlarını paylaşır. Kripke semantiğinde bu, bir bağlaç veya ayrıklığın w'de zorlanıp zorlanmamasının yalnızca onun dolaysız mantıksal bileşenlerinin w'de zorlanıp zorlanmadığına bağlı olduğu gerçeğinde yansıtılmaktadır . Diğer bilgi durumlarının varlığı yalnızca olumsuzlamaların ve koşul cümlelerinin yorumlanmasıyla ilgilidir. sınıfını kısıtlayarak yeni bir olumsuzlama ekledik.

dikkate alınması gereken bilgi durumları. Dolayısıyla bariz soru, aynı kısıtlamayı yaparak ilginç bir koşulluluk elde edilip edilmeyeceğidir.

Bu yeni tür koşulluyu belirtmek için ^' yi ve P ^ Q'yu , P'nin ilgili anlamda Q'yu ima ettiğini öne süren cümleyi (bu anlam ne olursa olsun) kullanalım . Bu tür cümleleri yorumlamaya yönelik cümle şu şekilde olacaktır:

• w lb P ^ Q ancak ve ancak V x[(x w ve x g A ve x lb

P ), x lb Q] anlamına gelir .

Eğer isim zaten başka bir kutuya tahsis edilmemiş olsaydı , bu kavrama "maddi ima" ismini önerebilirdik. Çünkü, mevcut olanı genişleten bilginin tüm gerçek durumlarında, eğer P zorlanırsa o zaman Q da zorlanır .

Öneri 3

1 . İlk olarak, ~ P = P => ± .

2 . P ^ Q ne ~ P v Q ne de - P v Q anlamına gelir, ancak bunların her biri P ^ Q anlamına gelir.

3 . P -> Q, P ^ Q anlamına gelir, ancak tam tersi değil.

4 . P ^ (Q ^ P) geçerlidir, ancak P A ~ P ^ Q geçerli değildir. İlki açıktır. İkincisi, daha önce bahsedilen, P A ~ P'nin doğru olduğu bilgi durumlarının tutarsız olmadığına, dolayısıyla burada Q'nun doğru olmayacağına dikkat edin (örneğin, Q = ± olarak ayarlayabiliriz ). Dolayısıyla bu ok, mantıkçılar açısından en rahatsız edici şemalardan birini geçerli kılarken diğerini geçersiz kılıyor. ⁴

5 . A doğrusal olarak sıralanmışsa (P ^ Q) v (Q ^ P) geçerlidir. Ancak A'yı bu şekilde (veya buna yakın bir şekilde) kısıtlamazsak bu geçerli olmayacaktır. Benzer şekilde, eğer doğrusallık uygularsak, hem - (P A Q) ^ - P v - Q hem de ~ (P A) elde ederiz.

S ) ^ ~ P v ~ S.

⁴Bu gözlem için Jeff Pelletier'e teşekkür ederim.

Bu imanın felsefi değeri, karşılık gelen olumsuzlamanın felsefi değerinden daha az açıktır. x T P ^ Q ve yine de x 1^ P --+ Q olan durumlar, P -- + Q ifadesine karşı örnekler olan x'i genişleten olası bilgi durumlarının olduğu durumlardır (yani, P'nin zorlandığı ve Q'nun olduğu durumlar ). hayır), ancak bu karşı örneklerin hiçbirinin asla gerçekleşmediği durumlarda. Ancak bunun kendi başına derin bir felsefi öneme sahip olmadığı ortaya çıksa bile, ^ gibi bir kavramın sezgisel mantığa eklenmesi olasılığı, sezgisel mantıkla uyumlu birçok potansiyel olarak yararlı operatörün olabileceği yönündeki öneriyi desteklemektedir.

2 .3 A'ya İlişkin Diğer Koşullar?

A'nın gerçek bilgi durumlarını temsil ettiği varsayıldığından , şu ana kadar yaptığımız gibi A'nın W'nin keyfi bir alt kümesi olmasına izin vermenin uygun olup olmadığı merak edilebilir . Gerçeklik kavramıyla ilgili olarak, ne tür bir alt kümenin A olarak hizmet edebileceğine ilişkin kısıtlamalara izin verecek bir şey var mı ?

A seçimlerimizi, x ve y bilgisinin iki gerçek durumunun varlığını dışlayacak şekilde kısıtlamanın , bazı P için x , P'yi , y ise - P'yi zorlayacak şekilde kısıtlamanın makul olup olmayacağını merak edebilir . W'de bu tür bilgi durumlarının varlığı, sezgisel mantık için olağan Kripke semantiğinin bir parçasıdır. Ve gerçekten de öyle olmalı. Çünkü eğer bu bir olasılık olmasaydı, o zaman "zayıflamış dışlanmış orta" -P v --P geçerli bir şema olurdu, çünkü zayıflamış dışlanmış ortanın tek karşı örneği, farklı y ve z'nin olduğu bir x durumudur . x < y ve x < z, y P'yi zorluyor ve z - P'yi zorluyor . Zayıflamış dışlanmış orta, sezgisel mantık açısından De Morgan yasası - (P A Q) ^ - P v- Q ile eşdeğer olduğundan, bu yasa da geçerli olacaktır. Ancak ısrar gerekliliği ışığında , biri P'yi zorlayan ve diğeri P'yi dışlayan iki gerçek bilgi durumunun nasıl olabileceğini anlamak zordur . Böyle bir gerekliliğin oluşturulması geçerlilik stokunu artıracaktır. Özellikle ~ P v ~ ~ P ve ~ P v ~ - P şemalarını doğrulayacaktır .

iki tuhaf tür dışlanmış orta ve De Morgan yasasının bu versiyonu: ~ (P A Q) ^ ~ P v ~ Q .

A'nın bir zincir olmasını, yani her x,y g A için ya x < y , y < x ya da x = y olmasını zorunlu kılmak olacaktır. . Bu herhangi bir fark yaratır mı? <'nin W'nin (sadece A'nın değil ) doğrusal sıralaması olmasını istediğimiz durumda , bu bir fark yaratır. Özellikle Dummett'in şeması (P - + Q) v (Q - + P) geçerli hale gelir. Çünkü eğer P hiçbir zaman herhangi bir yyx'te zorlanmıyorsa , o zaman P -> Q boş bir şekilde x'te zorlanır . Benzer şekilde, elbette, Q'nun asla zorlanmadığı durum için . Diyelim ki y IF P ve x IF Q olacak şekilde y,zyx var ve her birini en erken olan olarak kabul edin. Daha sonra, ısrar sayesinde, if zy , x IF P --+ Q , while if y < z , x IF Q --+ P . 5 Paralel bir argüman, eğer A'nın lin erken sıralı olmasını istersek , o zaman (P ^ Q) v (Q ^ P)' nin geçerli olduğunu gösterir. Bununla birlikte, bu koşulun bir öncekinden daha güçlü olduğuna dikkat edin: Bu şemaya karşı bir örnek, x < y ve x < z ile gerçek x, y, z durumlarını gerektirir; P y'ye zorlanırken Q öyle değildir ve Q zorlanır . z iken P değildir. Bu tür durumlarda, y'de - Q (nor ~ Q ) zorlanmasına veya z'de - P (nor ~ P )'ye zorlanmamıza gerek yoktur, dolayısıyla böyle bir durumun ~ P v ~ - P (veya ~)' ye karşı bir örnek olması gerekmez. Pv ~~ P ) .

2 .4 Kısaca Başka Bir Olumsuzluk

Mevcut anlambilimin bakış açısından, hem - hem de ~'yi daha temel bir olumsuzlama türünün evrensel nicelemeleri olarak görmek mümkündür. Yani hem -P hem de ~ P, P'nin belirli bir bilgi durumunda zorlanmadığı iddiasının genellemeleridir . Tekli operatörü tanıtabilir miyiz? Bu kavramı yakalamak için dilimize ⁶ve onu cümlecikle yorumlamak

5 Tabii ki, Dummett'in planı zayıflamış dışlanmış ortayı ve De Morgan yasasını - (P A Q) -^ - P v - Q ima ediyor . Ancak bunun tersi geçerli değildir: Zayıflamış ortanın dışlandığı ve De Morgan yasasının geçerli olduğu ancak Dummett'in planının geçerli olmadığı durumlar vardır.

• w \^?P ancak ve ancak w IE P ise.

Bu operatörün getirilmesinin bir etkisi, Önerme 1'in genel olarak artık geçerli olmayacağı anlamına gelmesidir. Üstelik - P I—? P geçerli olacak, ~ P i-? Gerçek olmayan bir x, x IE P olmasına rağmen ~ P'yi zorlayabileceği için P bunu yapmayacaktır .

?P'yi " P yanlıştır" şeklinde okumanın bir hata olduğunu unutmayın . Bunun yerine bunu " P'nin (henüz) doğru olmadığı", yani P'nin ya yanlış olduğu ya da ucu açık bir soru olduğu iddiası olarak okumak daha doğru olacaktır . Böyle bir olumsuzlamanın mevcut bağlamda faydası, bize çok önemli bir şeyi ifade etmemize izin vermesidir : yani P a K P x'te zorlanabilir . Böyle bir durumda P, x'te zorlanır , ancak (henüz) bilinmemektedir. Bu belki de Dummett'in 1882'den önce "pi aşkındır" iddiasının durumunu anlamlandırmak için ihtiyaç duyduğu "sezgisel olmayan olumsuzlama" gibi bir şeydir.

Bu olumsuzlamanın, ısrar koşulunu geçersiz kılmasına rağmen, sezgisel mantık karşısında olduğu gibi muhafazakar olduğuna dikkat edin . Bu açıktır çünkü yalnızca sezgisel mantığın operatörlerini içeren tüm formüllerin yorumları tam olarak standart Kripke semantiğinde olduğu gibi kalır . Bu makalede ele alınan örnekler, sezgisel mantıkla uyumlu olumsuzlama çeşitleri için birçok seçeneğin bulunduğunu açıkça ortaya koymalıdır.

3 A'yı Anlamak ve

~' yi tanıtmanın amacı , kişinin ifade edebilmesi gereken, ancak yalnızca olağan sezgisel operatörler mevcut olduğunda ifade edilemeyen belirli iddiaları ifade etmemize izin vermektir. Özellikle P a ~ KP'nin , P'nin doğru olduğu ancak hiçbir zaman bilinmeyeceği iddiasını ifade etmeye aday olduğunu ileri sürüyoruz . Böyle bir cümlenin gerçek doğruluğunu anlamak, Kripke semantiğinde kullanılan < sıralamasını almayı içerir.

6 Gösterim (Bell ve ark. 2001)'in 5. bölümünden alınmıştır, ancak burada ? üst dilde özel bir sembol olmaktan çok, nesne dili içinde bir operatör olarak alınır.

gerçekleşen bilgi durumları kümesiyle sınırlandırması . Bu noktada ortaya atılması gereken doğal bir soru, bu kadar sınırlı olan <'nin bu durumların zamansal düzeniyle nasıl ilişkili olduğudur .

Bu konuda bir şeyler söylenmesi gerektiği, eğer K gibi yüklemler, verilen anlambilimin uygulanacağı varsayılan yüklemler arasına dahil edilirse, özellikle açıktır. Çünkü bir anda sonradan sahip olunmayan bir bilginin sıklıkla bulunduğunu kabul etmek gerekir : Eloise ve Abelard birbirlerine verdikleri takma adları mezara taşımış olabilirler, yani "Eloise Abelard'ı çağırıyor" 'Ballı çörek' bir zamanlar biliniyordu, artık bilinmiyor. Ancak <, x < y'nin x'in geçici olarak y'den önce olduğunu ima ettiği şekilde anlaşılırsa, bu bilgi ifadeleri için kalıcılık gerekliliğini ihlal ediyor gibi görünüyor .

Bu görünen soruna yönelik bir yaklaşım, K'yi, bir failin bilmenin gerçekleştiği zamanda bilmeyi yapması ihtiyacını ima eden olağan anlamda bilgiden uzaklaştırmaktır; böylece bizim örneğimizde, şu ortaya çıkabilir: İddia, bunu bilenler artık ortalıkta olmasa da sorunun bilinmeye devam ettiği yönünde. Umut, kalıcılık koşuluna uygun bir “bilinen” duygusu üretmek olacaktır. Bu proje için bir soru, bu "bilinen" duygusunun olağan olanla nasıl ilişkili olduğudur. Örneğin, eğer kişi hakikatin epistemik olarak kısıtlı olduğu fikrini savunmak istiyorsa, bu hiç de küçük bir sonucu olmayan bir sorundur , çünkü eğer görüş çok fazla felsefi ilgi uyandıracaksa, muhtemelen hakikati sınırlamak istenen şey insan epistemik durumlarıdır. Ancak durum belki de umutsuz değildir: belki de "hiçbir birey bir gökdelenin nasıl inşa edileceğini bilmez (çünkü hiç kimse gerekli tüm çok yönlü becerilere sahip değildir)," gibi eski örneklerden bir fail gerektirmeyen bir bilgi duygusunu damıtabiliriz . ama gökdelenler yine de inşa ediliyor, dolayısıyla gökdelenlerin nasıl inşa edileceği biliniyor.” Eğer bomba evrendeki tüm duyarlı yaşamı yok ederse, bu tür bir bilginin var olmaya nasıl devam edebileceği daha az açıktır ve dağıtılmış bilginin

Eloise ve Abelard davasında gerçekten yardımcı olacak. Her halükarda, pek çok yazarın, bu tür sorunlardan kaçınmak için ölümsüz olması gereken idealize edilmiş etmenlere hitap etmek amacıyla, sezgisel mantık için Kripke semantiğini tartışmasına yol açan şey muhtemelen bu türden endişelerdir .

zamansal düzeni <'den ayırmaktır . Aslına bakılırsa, epistemik olarak makul düzeyde kısıtlanmış bir hakikat kavramını savunmak isteniyorsa, her halükarda bu gerekli görünmektedir. Her ne kadar o gün onları saymasa ve şu anda bunu yapmanın bir yolu olmasa da, "n yaya 15 Mart 2000'de King'de Weber Caddesi'ni geçti" şeklinde doğru bir ifadenin olması, makul bir gerçeklik hesabına dayalı olarak muhtemelen bir koşuldur. bilgileri kurtarın. Çünkü bu durumda veya aynı genel tipte durumlarda, bu doğru ifadenin bilindiği gelecekteki bir bilgi durumu yoktur. Ancak epistemik olarak kısıtlanmış gerçeğin savunucusu, onun bilinebilir olduğunu kabul etmelidir ve dolayısıyla , ifadenin bilindiği bilginin mevcut durumu olan bir y olmalıdır . Ancak hayali durumda bu durumun zamansal olarak mevcut durumdan daha erken olması gerekir. Dolayısıyla yyx, y'nin x'ten sonra olduğu anlamına gelmez .

A'nın < tarafından doğrusal olarak sıralanmasının istenebileceği önerisine şüphe düşürüyor . Çünkü aşağıdaki türden bir durumun neden ortaya çıkmayacağı açık değildir: Bilginin mevcut fiili durumu, daha önceki bir duruma ait bazı bilgilerin kaybolduğu durumdur. Ancak daha sonraki bir aşamada, daha önceki durumda mevcut olmayan başka bilgiler elde edilecektir. Dolayısıyla mevcut durumu genişleten iki farklı gerçek bilgi durumu vardır ve bunların hiçbiri diğerinin uzantısı değildir. Dolayısıyla söz konusu durumlar karşılaştırılamaz ve bu nedenle A doğrusal olarak sıralanmamıştır. ⁷Ancak yukarıda da belirtildiği gibi bunu talep etmemize gerek yok.

⁷Yani, eğer x bilginin mevcut gerçek durumu ise, örneğin bilginin bozulmasından dolayı y geçmişte olmasına rağmen x'e zorlanmayan ve y'ye zorlanan bir B ifadesi olabilir . Ayrıca, C'nin z'de zorlandığı , B'nin z'de zorlanmadığı ve C'nin y'de zorlanmadığı bir gelecek z varsa , ancak bunlar üç durum arasındaki bilgideki tek atomik değişikliklerse, biz

A, hem P'nin hem de P'nin gerçek bilgi durumlarına zorlanacağı şekilde P olamayacağından emin olmak için doğrusal olarak sıralanmalıdır .

4 Son Sözler: Bu Neden Daha Karmaşık Değil?

Bu öneri bize oldukça basit geliyor. Her halükarda, teknik açıdan bakıldığında bu ne özellikle zor, ne de özellikle ustacadır. Peki neden yaygın kullanımda değil? Elbette bu tür “neden olmasın” sorusu en kötü spekülasyonlara davetiye çıkarıyor. Artık bu daveti kabul edeceğiz.

Bunun bir nedeni, bu yazıda değindiğimiz soruların çeşitliliği dikkate alınarak en etkili yazarlardan biri tarafından açıkça ortaya konmuştur. Timothy Williamson, "Asla Asla Deme" adlı makalesinde, sezgicilerin bir şeyin doğru olduğunu ancak asla bilinmediğini söyleme araçlarına sahip olamayacakları yönündeki argümanının temel taşı olarak aşağıdaki akıl yürütmeyi kullanıyor:

- kadar güçlü olması gerektiğine inanmak için nedenler var . Çünkü eğer ~, sezgisel olarak herhangi bir tür olumsuzlama olarak sayılacaksa , ~ A'nın en azından sıradan sezgisel anlamda A ile tutarsız olması gerekir. A A ~ A için bir emir imkansız olmalıdır. Yani - (A A ~ A) olmalıdır . Sezgisel olarak geçerli şemaya göre - (A A B) -+ (B ^ - A), bu ~ A ^ - A sonucunu verir. ((Williamson 1994), s. 139)

~' nin ~ A ^ - A'yı karşılamadığına dikkat edin . Eğer Williamson'ın argümanı doğruysa, o zaman ~'ın "sezgisel olarak hiçbir tür olumsuzlama olarak sayılmadığı" sonucu çıkacak gibi görünüyor . Nasıl cevap vermeliyiz?

sezgicilerin ( yani x < y ve x < z'ye sahip olup olmadıklarını , ancak ne y < z'ye ne de z < y'ye) sahip olup olmadıkları sorusuna yönelttiğini görüyoruz .

Yeterince Brouweryen felsefi görüşleri savunan insanlar, P'nin doğru olduğu ancak asla bilinmediği iddiasını ifade etme araçlarına sahip olabilirler. Bu, bu tür araçların , daha önce belirttiğimiz gibi, bir tür yapılandırmacılığın yanı sıra çeşitli nedenlerle benimsenebilecek sezgisel mantıkla uyumlu olup olmadığı sorusundan farklı bir sorudur.

O halde Williamson'ın yorumu bizim önerimizle nasıl örtüşüyor ? Önerimizde - (P A ~ P)' nin geçerli olmadığını unutmayın . Williamson'ın iddiası geçerli olması gerektiği yönündedir, çünkü eğer ~ gerçek bir olumsuzlama ise P A ~ P , garanti edilmesi imkansız bir iddia olmalıdır. Bu konuda iki şeye dikkat ediyoruz. İlk olarak, kişi yapılandırmacıdan Sezgisel -'in Kripke anlamsal okumasına geçtiğinde, bir - cümlesinin geçerli olmasının ne anlama geldiği değişir. Özellikle, bunun anlamı artık doğrudan Williamson'ın iddiasının geçerli olması için gerekli olan bir tutuklama kararı olasılığına bağlı değildir . Bu da bizi ikinci noktaya getiriyor. Eğer x'te zorlanma ve x'te garanti edilme konusunda (basitleştirici?) bir denklem kurarsak , o zaman A A ~ A'nın mevcut öneriye göre garanti edilmesinin imkansız olduğu bir anlam vardır - aslında hiçbir zaman garanti edilemez. Hem P hem de ~ P'nin zorlandığı olası bilgi durumları vardır , ancak bunlar zorunlu olarak gerçek olmayan durumlardır. Bu tür bilgi durumlarının gerçek olmaması, paradoksun görünümünü ortadan kaldırır çünkü P , aslında P'nin, bilginin herhangi bir gerçek durumunda zorlanmadığını söyler. Dolayısıyla, belki de ilgili "temin edilmesi imkansız" anlamında, söz konusu bağlacın garanti edilmesi imkansızdır, ancak bu iddianın sezgisel olarak olumsuzlanması takip etmez. Dolayısıyla ~' ın en azından - kadar güçlü olması gerektiği sonucu çıkmaz . Bu iyi bir şey çünkü ~ için önerimiz -'den daha zayıf .

Ne sonuca varmalıyız? Ya: (1) Williamson'ın bir sezgici için neyin kabul edilebilir olduğuna ilişkin tanımlamasında haklı olması ve dolayısıyla bizim önerimizin bu tür filozoflar için gerçek bir olumsuzlama olmaması, ancak sezgici mantığı benimseyen diğerleri için aday bir olumsuzlama olarak kalmasıdır. başka bir neden oğlum; veya (2) Williamson'ın argümanı sezgiciler için bile doğru değildir çünkü o, olasılıkları yeterince dikkate almamaktadır.

mantıksal olumsuzluktan ziyade ampirik olması durumunda ilgili "temin edilmesi imkansız" kavramının değişebileceği gerçeği . Hangi ayrım doğru olursa olsun, sezgisel mantığa geçmenin sıradan söylemde açıkça ifade edilebilen şeyleri ifade etmeyi imkansız hale getirdiği suçlamasından endişe duyan filozoflar için bolca hareket alanı var gibi görünüyor.

Öte yandan, sezgisel mantığa geçişin kişinin, iyi felsefi nedenlerden dolayı ifade edebilmemiz gereken şeyleri ifade etme olanağından vazgeçmesini gerektirdiği doğru olmasa bile, yapılması gereken pek çok felsefi çalışma vardır . Burada tartışılan nedenlerden dolayı sezgisel mantığı savunmaya motive olan herkes tarafından. Örneğin, < ile zamansal sıralama vb. arasındaki ilişkiye gerekli tüm dikkat gösterilse bile, kalıcılık koşulunun KP'yi içeren ifadelere uygulanmasının mantıklı olmadığından endişe edilebilir . P'ye ilişkin bilgi , P'ye olan inancın garanti edilmesini gerektiriyorsa ve iyi bilgiye dayanarak bir inanca sahip olabileceğimize dair yaygın görüş, ancak daha fazla iyi bilginin bu garantiyi ortadan kaldırabileceği yönündeki yaygın görüş - yani, en azından bazı türden garantiler varsa yenilebilirdirler ve garanti eden inançların hiçbirinde yanılmamış olsak veya bunları P'ye olan inancı garanti altına almasak bile yenilebilirler - o zaman en azından ilk bakışta K P'nin bazı bilgi durumlarında doğru olabileceğine izin vermeliyiz , ancak bu durumun bir uzantısı artık P'yi bilmediğimiz anlamına gelebilir . Ancak bunları başka bir yerde ele alınacak ayrı konular olarak görüyoruz.

Bölüm

SEKİZ

OLUMSUZLAŞMANIN TATİLİ: ASPEKTİVAL DİYALETEİZM JC Beall

Yalancı bize İngilizce hakkında ne öğretiyor? Graham Priest'in ( LP tabanlı mantığını kullanarak ) benimsediği 'ortodoks' diyaleteizme göre, Yalancı bize bazı doğru İngilizce cümlelerin olumsuzlanmasının doğru olduğunu (ve dolayısıyla İngilizcenin tutarsız bir mantıkla yazıldığını) öğretir. ). Bu ders, çok basit olmasının yanı sıra, rakiplerinin ('tutarlılık') karşı karşıya kaldığı tanıdık ifade sorunlarından da kaçınır. Priest'in geliştirdiği versiyon olmasa da, diyaleteizmi kabul etme eğilimindeyim . Yalancıya benzer cümleler doğru ve yanlıştır; ama aynı zamanda olumsuzluğun da bir bakıma açıklanması gereken tatil olduğu cümlelerdir . Ben , olumsuzlamanın "çifte bir yön" sergilediğini öne sürüyorum; çoğunlukla "klasik" davranmak, ancak paradoksal yapılara dahil olduğunda klasiklikten çok uzak (aslında "serbest yüzen") davranmak. Bazı (birçok) filozof, 'sahtelik'in tam anlamının di aleteizmi dışladığını düşünüyor ; çift-yön hipotezinin böyle bir düşünceye dair güzel bir açıklaması vardır ve aslında bunun doğru olduğu bir anlamı da kabul eder. Buna ek olarak, çift yönlü görüş, 'ortodoks' diyaleteizme karşı (Field ve Shapiro tarafından yapılan) son zamanlardaki itirazları da ortadan kaldırır. Bu yazıda di-'nin yeni bir versiyonunu sunuyorum.

169

D. Devidi ve T. Kenyon (ed.), Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım, 169-192.

aleteizm - daha iyi bir isim olmadığı için 'çift yönlü diyaleteizm'. Alanla ilgili değerlendirmeler için, diyaleteizme ve sağladığı 'anlamsal kendine yeterlilik' de dahil olmak üzere onun çeşitli erdemlerine aşina olduğumu varsayıyorum.

1 Sahtekarlık ve Yalancı

Sahtelik nedir? Standart cevap, yanlışlığın olumsuzlamanın doğruluğu olduğu, yanlışlığın gerçeğe ve olumsuzlamaya indirgendiğidir; buradaki fikir, 'doğrudur'un tek ilkel anlamsal yüklemimiz olduğu, gerçeğin tek ilkel anlamsal 'doğruluk değerimiz' olduğudur.

Bu yazıda bu fikri ciddiye almak istiyorum (doğruluk bizim tek ilkel anlamsal değerimizdir); ama aynı zamanda diyaleteizmi, yani bazı doğruların gerçek olumsuzlukları olduğu fikrini de ciddiye almak istiyorum. Bu fikirlerin her ikisini de ciddiye alırsak, LP'yi (genellikle diyaleteizmle ilişkilendirilen mantık) değil, daha ziyade, açıklayacağım gibi, olumsuzlamanın 'çift yönü' teorisini yansıtan farklı bir tutarsız mantık elde ederiz.

Makalenin yapısı aşağıdaki gibidir. § 2 , gerçeğin tek ilkel doğruluk değeri olduğu klasik (ilişkisel) anlambilimin provasını yapar. § 3'te, klasik semantiğin 'dışlama' kısıtlamasının kaldırılması çağrısında bulunan Yalancı'nın tanıdık diyalektik dersini (kısaca) tartışıyorum. ¹§ 4 ise klasik anlambilimin dışlama kısıtlamasının kaldırılmasından kaynaklanan anlambilimi (ve olumsuzlama teorisini) sunar. § 4'teki olumsuzlama teorisinin, açık olacağı gibi, tek başına kabul edilmesi zordur ve § 5'te tartışılan nedenlerden dolayı, onun tek başına kabul edilmemesini öneriyorum. Benim önerim, § 6'da sunulduğu gibi, olumsuzlamanın "çifte bir yönü" olduğu, çoğu (tanıdık) durumda klasik olarak davrandığı, ancak olumsuzlama söz konusu olduğunda klasik olmayan bir şekilde davrandığıdır.

¹Paradoksa diyalektik bir yanıtın erdemlerine , özellikle de birçok rakibinin karşısına çıkan tanıdık "intikam" ve "dışavurumcu" sorunlara aşina olduğumu varsayıyorum. Dialeteizmin temel bir incelemesi Sainsbury (Sainsbury 1995) tarafından yapılmıştır ve kapsamlı bir inceleme ise Priest (Priest 1987) tarafından yapılmıştır. Beall ve van Fraassen (Beall & van Fraassen 2003) , diyaleteizmle ilişkili tipik, aslında 'ortodoks' mantıklar olan

FDE ve LP'nin temel bir incelemesini sağlar .

paradoksal cümlelere karıştı. 'Çift yön' olumsuzlama teorisi, § 6'da sunduğum monoton olmayan (uyarlanabilir) bir mantıkla modellenebilir. Son olarak § 7 , 'çift yön' teorisinin LP'ye göre sahip olduğu birkaç avantajdan bahseder, özellikle de 'yalnızca gerçek' veya 'dialetheia dışı' kavramı.

2 İlişkisel Klasik Anlambilim

Yukarıda olduğu gibi 'sahteliğin azaltılması' konusunu ciddiye almak istiyoruz; buna göre, hakikatin ötesinde hiçbir ilkel anlamsal değer (hakikat değerleri) tanımak istemiyoruz . Buna karşılık, yanlışlığı ilkel anlamsal değerimiz (doğruluk) ve olumsuzlama açısından tanımlamak istiyoruz. Bu görev, değerlemelerimiz için 'kısmi işlevler' kullanılarak yapılabilir. ²Şimdiki amaçlar doğrultusunda, daha genel bir ilişki kavramını kullanacağım; işlevsel karakterini (eğer varsa) ek kısıtlamalara bırakacağım.

2.1 Sözdizimi _

Pi (i g N )'nin herhangi bir atomik cümle (önerme parametresi ) ve ~ , A ve v bağlaçları olduğu klasik önerme mantığının sözdizimine odaklanacağım . S'nin tüm cümleleri kapsadığını varsayalım .

2.2 Değerlemeler _

S üzerinde ilişkisel bir değerleme (bundan böyle değerleme), bir R ç Sx{ 1 } ilişkisidir . 3 Kapsamlı ve özel değerlemeleri şu şekilde tanımlayın :

²Matematikte, N üzerinde kısmi bir fonksiyon, N'nin bazı elemanları için tanımlanmamış bir fonksiyondur . Bir f fonksiyonunun tanım kümesini , f'nin tanımlandığı tüm elemanları içerecek şekilde tanımlarsak (yani, kendi ortak alanında bir değer verir), o zaman matematiğe benzer şekilde, X'ten Y'ye kısmi bir f fonksiyonu şöyle olur : f'nin tanım kümesi X'in uygun bir alt kümesidir . Burada 'kısmi işlev' derken bunu kastediyorum.

³Elbette bu, R'yi basitçe S'nin bir alt kümesi olarak almak anlamına gelir . Bu yaklaşımın, hem doğruluğu hem de yanlışlığı ilkel doğruluk değerleri olarak alan ve ~ A'yı ancak ve ancak A yanlışsa doğru olarak tanımlayan yaklaşımlarla akrabalığını açıklığa kavuşturmak için çarpım gösterimine bağlı kalıyorum .

• Bir R yorumu, {A, 1) GR veya - A, 1) GR olmak üzere herhangi bir A için kapsamlıdır .

• Hiçbir A, {A, 1) g R ve - A, 1) g R olacak şekilde değilse , R yorumu özeldir .

Daha fazla terminoloji faydalı olacaktır:

• R if {A, 1 ) g R'de A doğrudur .

• R iff (~A, 1 ) g R'de A yanlıştır .

• R , r'nin her öğesinin R'de doğru olması durumunda r'yi karşılar .

• R, A'yı karşılarsa R , { A }' yı karşılar .

• R, r'yi karşılayan bir riff modelidir .

• R, A'nın bir modelidir , eğer R A'yı karşılıyorsa .

A R'de doğrudur' ifadesini kısaltmak için ' R 1= A ' yazacağım ve dolayısıyla ' A R'de yanlıştır ' yerine ' R 1= - A' yazacağım .

2.3 Kabul Edilebilir Değerlemeler ve Klasik Sonuç

kabul edilebilir bir değerlemeyi herhangi bir değerleme R olarak tanımlar, öyle ki

• R kapsamlıdır. (Buna Tükenme adını verin.)

• R özeldir. (Buna Hariç Tutma adını verin.)

• R 1= A A B ve R 1= A ve R 1= B.

• R 1= A v B ve R 1= A veya R 1= B .

Klasik sonuç IF _Cise her zamanki gibi tanımlanır:

• r IF _CA eğer r'nin her modeli A'nın bir modelidir .

Mantıksal doğruluk (geçerli cümle) belki de her (kabul edilebilir) değerlendirmede doğruluk olarak tanımlanabilir: R 1= A . Klasik anlambilim göz önüne alındığında eşdeğer bir açıklama mevcuttur: 0 IF _CA ise A mantıksal olarak doğrudur .

3 Paradoksa Diyaletheik Yanıt

Yukarıdaki gibi klasik anlambilim, gerçeği tek ilkel anlamsal değerimiz ("doğruluk değeri") olarak ele almamıza izin verir; ve klasik mantık, en azından yüzeysel olarak, en azından bağlaç, ayrıklık ve hatta olumsuzlama açısından her şeyi doğru buluyor gibi görünüyor. Öte yandan çeşitli olgular Tükenme ve Dışlanmayı sorgulamaktadır. Örneğin belirsizlik, Tükenme kısıtlamasını sorguluyor gibi görünürken, Yalancı Dışlama kısıtlamasını sorguluyor gibi görünüyor. Şu andaki amaçlarım doğrultusunda önceki konuyu görmezden geleceğim; Dışlama konusuna yoğunlaşacağım. ⁴

Yalancı bize İngilizce hakkında ne öğretiyor? Dialeteizme göre alınacak ders, bazı doğruların gerçek olumsuzlukları olduğudur ; özellikle 'bu cümle doğru değil' doğru ve yanlıştır; hem o hem de onun olumsuzlaması doğrudur. Diyalektik derse göre (ben bunu ilerletirken) dışlamanın reddedilmesi gerekir; hem doğru hem de yanlış olan bazı (kuşkusuz tuhaf) cümleler vardır.

Pek çok filozofa radikal (aşağılayıcı bir anlamda) görünse de , diyalektik dersin oldukça doğal olduğunu düşünüyorum . Dialeteizmin doğrudan bir avantajı, (saf) gerçeğin temel özelliğini korumamıza izin vermesidir: yani, A ve TA'nın karşılıklı ikamesi , burada T bizim doğruluk yüklemimizdir (veya en azından basit disquotational doğruluk yüklemimizdir) . . Yalancıya verilen diyaletheik olmayan tepkiler ya bu tür ikamelerden vazgeçmeye zorlanır ya da ifade gücünü azaltarak aynı sonuca ulaşırlar - daha zengin bir üst-dil gerektirir vb.

Kısaca genel sorun şöyle işliyor: Birinin amacı, gerçeğin (veya 'doğru'nun) İngilizcede nasıl davrandığına, yani mantıksal davranışına dair bir teori oluşturmaktır . Kişi kendi teorisini verirken, bazı önemli anlamsal kavramları tanıtarak tutarsızlığı önlemeye çalışır.

⁴'Boş' cümleler olduğunu düşünme eğilimindeyim; ancak aynı zamanda boşluğu kapatan bir olumsuzlamaya başvurarak sürekli olarak A'nın boşluklu olduğunu -A'nın ne doğru ne de yanlış olduğunu- iddia ettiğimizi düşünüyorum , bu durumda Dışlama meselesi yeniden ortaya çıkar. Şimdiki amaç için boşlukları bir kenara bırakıyorum. (Bildiğiniz gibi boşlukların tek başına Yalancı olgusunu çözmediğini unutmayın.)

(bağlam, aşamalar, boşluklar, istikrar veya benzeri). Tutarsızlık acısı üzerine , kişi -'intikam' sorunu- can alıcı anlamsal kavram(lar)ın 'nesne dilinde ' ifade edilemeyeceğini söylemek zorunda kalıyor. ⁵Sorun ortada: Teorinin kendisini ifade etmek için hangi dil kullanıldı? Cevap elbette İngilizcedir ; bu tür kavramları ifade edebilen bir dil. İngilizcenin tutarsız olduğu iddiasından kaçınma çabaları, kişiyi inkar edilmesi çok zor görünen bir şeyi inkar etmeye zorluyor: İngilizce önemli anlamsal kavramları ifade edebilir.

Elbette bazı filozoflar belirtilen (ifade edilebilirlik) gerilimlerle 'sadece yaşamaktan' mutlu olabilir; Böyle bir gerilimin Yalancıya verilen diyalektik olmayan tepkilere karşı bir argüman olarak hizmet ettiğini öne sürmüyorum. Benim açımdan diyalektik tepki daha basit ve sonuçta İngilizcenin görünürdeki ifade gücünü inkar etmekten daha doğal.

Paradoksa diyalektik bir yanıtın avantajları Graham Priest (Priest 1987) tarafından iyice belgelenmiştir ve bunları burada daha fazla incelemeyeceğim. Bir noktayı vurgulamakta fayda var : Doğru ve yanlış cümle türleri, yalnızca dilbilgisel zorunluluktan kaynaklanan tuhaf cümle türleridir. Bu kadar tuhaf, döngüsellikle dolu cümleler dışında herhangi bir şeyin doğru ve yanlış olduğunu düşünmek için hiçbir neden yok. Aslında klasik mantığın ve özellikle onun olumsuzlama teorisinin, yalnızca dilbilgisel zorunluluk nedeniyle dile giren 'birkaç' tuhaf cümle dışında yanlış olduğunu düşünmek için hiçbir neden yoktur . Bu noktaya geri döneceğim. Şimdilik diyalektik dersinin diğer yönlerine dönüyorum (en azından benim gördüğüm kadarıyla).

4 Dışlamanın Bırakılması: Mantık P

P (paradoks için), eklerken § 2'de yalnızca klasik anlambilimden dışlamanın çıkarılmasından kaynaklanan mantık olsun .

⁵Popüler bağlamsal teoriler söz konusu olduğunda, ifade edilebilirlik sorunu, kişinin bağlamlar, aşamalar vb. üzerinden, en azından 'üstdil'de ölçebildiği ölçüde nicelikselleştirilememesidir. Temsili teoriler ve bunların ilgili ifade edilebilirlik sorunları (diğer yerlerin yanı sıra) (Martin 1984, McGee 1991, Priest 1987, Simmons 1993)'te tartışılmaktadır.

Çift Olumsuzluk:

• R 1= A ve R 1= — A.

Ortaya çıkan mantık tutarlıdır: keyfi B, keyfi A ve - A'dan çıkmaz . (Hem A'yı hem de -A'yı 1 ile ilişkilendiren ancak B'yi 1 ile ilişkilendirmeyen herhangi bir değerlemeyi düşünün.) Buna göre, önemsizliğin acısını çekmeden, doğru ve yanlış olan cümleleri (örneğin, Yalancılar) tanıyabiliriz.

Klasik duruma göre (doğruluğun korunması) tanımlanan P'nin sonuç ilişkisi T _{p olsun. T p'nin}bir özelliğine dikkat edilmelidir:

• Eğer r lb _pA ise r T _cA .

P -değerlemeleri sınıfı, klasik olarak kabul edilebilir değerlemeler sınıfını tam olarak içerir; dolayısıyla, eğer doğruluk, kabul edilebilir tüm P - değerlendirmelerinde korunursa , bu tür değerlemelerin sınırlı klasik sınıfı üzerinde de korunur. Bunun tersi geçerli değil; Örneğin

- A,A y B lb _cB

Ancak

- A,A y B ^ p B.

olumsuzlama içermeyen parça için verilen tersinin geçerli olduğunu görmek kolaydır . Klasik mantık ile P arasındaki temel fark, olumsuzlamayla ilgilidir; ve fark önemlidir .

Klasik ve P -negasyonu arasındaki bazı farkları vurgulamadan önce Çift Negasyon konusuna değinmek gerekir. Dışlama kaldırıldıktan sonra Çift Olumsuzlama'nın eklenmesiyle ilgili geçici bir şeyler olduğu düşünülebilir. Sonuçta Çifte Olumsuzluk, Tükenme ve Dışlanmanın ortak çalışmasından kaynaklanır; ve Dışlama kaldırıldığına göre, Çift Olumsuzlama da bırakılmalıdır. Böyle bir düşünceye sempati duysam da, bunun kabul edilmesine gerek olmadığını düşünüyorum. Benim geliştirdiğim şekliyle Dialeteizm, Yalancı'nın doğru ve yanlış olduğunu kabul eder - öyle doğru bir A cümlesi ki - A da doğrudur. Böyle bir

cümle, olumsuzlamayı önemli ölçüde etkileyen Dışlamanın kaldırılmasını gerektirir ; ancak Çifte Olumsuzluğa doğrudan meydan okuyan hiçbir neden yok gibi görünüyor - hiçbiri Yalancı tarafından motive edilmiyor . Böyle bir motivasyon ortaya çıkana kadar Çifte Olumsuzlama'nın sürdürülmesini öneriyorum . ⁶

4 .1 P -Olumsuzlama Teorisi

P'ye göre olumsuzluk pek çok alışılmadık özellik sergiliyor. P'nin ardındaki motivasyon göz önüne alındığında , görünüşte doğru ve yanlış cümleleri barındırma motivasyonu oldukça doğaldır ve beklenen bir özelliktir; özellikle - (A A — A) - 'çelişmezlik yasası' - mantıksal olarak doğru değildir. Dediğim gibi beklenen bu kadar. ⁷Olumsuzlamanın diğer özellikleri şaşırtıcı olabilir:

• — A ^ _p— (A A B)

• — (A y B) Jh p — A A — B

• — A A — B Jh p — (A v B)

• — A v — B Jh p — (A A B)

Bu tür tanıdık ilkelerin 'başarısızlığı' şaşırtıcı olsa da, en azından düşünüldüğünde çok da şaşırtıcı olmamalıdır. Sonuçta , birleşme ve ayrılma davranışıyla birleştiğinde klasik olumsuzlama davranışını sağlayan şey kesinlikle Dışlama'dır. Gerçeği tek ilkel anlamsal ("hakikat") değerimiz olarak kabul edersek, tanıdık De Morgan "yasalarını" Dışlama olmaksızın elde edemeyiz . Dolayısıyla, söylendiği gibi, bu tür 'yasaların' 'başarısızlığı', en azından Dışlamanın önceden reddedildiği göz önüne alındığında, çok da şaşırtıcı olmamalıdır.

⁶Çifte Olumsuzlamayı bırakmanın benim önerdiğim temel 'çift yönlü' görüşü etkilemediğini belirtmeliyim; bu sadece P -negasyonunu Çift Negasyonda olduğundan daha az kısıtlı hale getirir. (Ne ölçüde 'kısıtlanmamış' olduğu aşağıda tartışılmaktadır.)

⁷Priest ve Sylvan (Priest & Routley 1989) aynı fikirde değiller; Bazı sözlerini § 5'te ele alacağım.

5 Peki P -olumsuzlama Olumsuzlama mıdır?

P'de yansıtılan olumsuzlama teorisi o kadar alışılmadık ki, filozoflar verili olumsuzlamanın 'gerçekten' olumsuzlama olup olmadığını sorgulayacaklar. Aslında Graham Priest ve Richard Sylvan (Priest & Routley 1989) bu tür itirazları dile getirdiler. ⁸Priest ve Sylvan, olumsuzlamanın P -teorisine karşı bir takım argümanlar öne sürüyorlar; Bu tür üç argümandan kısaca bahsedeceğim.

5.1 Çelişmezlik Yasası

, Priest'in LP'sinde mantıksal olarak doğru olan , en azından - (A A - A) olarak anlaşılan çelişkisizlik 'yasası' (LNC) ile ilgilidir . 9 Priest ve Sylvan LNC'yi reddetmek için bir neden arayarak başlıyorlar:

[P]muhtemelen [LNC] aleyhindeki herhangi bir dava, ikincil çelişkilerin istenmeyenliğine bağlı olacaktır. Çelişkilerin gereğinden fazla çoğaltılmaması gerektiği konusunda usturaya başvurabiliriz . Ancak bu doğru olsa bile (ve öyle mi?) 'gerekliliğin' ne olduğunu öğrenmeden bu bizi fazla ileri götürmez . (Priest ve Routley 1989, s 164)

Benim yaptığım gibi, bazı A'ların A A - A'nın doğru olduğunu varsayalım . ¹⁰LNC'nin devreye girmesi durumunda hemen bir 'ikincil çelişki' ortaya çıkar.

⁸_Priestve Sylvan itirazlarının çoğunu doğrudan farklı bir tutarsız mantığa, yani Da Costa'nın P'den biraz daha güçlü olan Cm'sine yönelttiler .

⁹Priest'in (Priest 1987) çelişkisizliğin 'başka' bir versiyonunu aslında reddettiğini belirtmekte fayda var; reddediyor - ( T A A - T A) . Priest'in LNC'nin T-ful versiyonunu (deyim yerindeyse) reddetmesi belki de anlamlıdır; çünkü T-ücretsiz versiyonu (deyim yerindeyse) kabul ederken T-ful versiyonunu reddetmek için Priest'in hakikatin ikame edilebilirliğini reddetmesi gerekir. Geliştirdiğim teoriye göre, hakikatin temel karşılıklı ikamesini reddetmeye gerek yok.

¹⁰Bu arada, Priest ve Sylvan A A - A'yı 'gerçek çelişki' olarak adlandırıyor. 'Çelişki' tamamen mantıksal biçim açısından, yani A A - A biçimindeki herhangi bir cümle olarak anlaşıldığı sürece bu etiket uygundur . Bazı fil-

kabul edildi, yani - (A a - A). Priest ve Sylvan'ın belirttiği gibi, bu tür ikincil çelişkilere karşı 'jilet' LNC'yi reddetmek için bir neden olabilir , ancak Priest ve Sylvan'ın belirttiği gibi bu yanıt, özellikle 'gereklilik' konusunda daha fazla çalışma gerektirir.

Neyse ki 'gereklilik' üzerine çalışmanın yapılmasına gerek yok; LNC'yi reddetme nedeninin ikincil çelişkilerle pek ilgisi yoktur . LNC'yi reddetmemizin nedeni (şu ana kadar), en azından doğru ve yanlış olan cümleleri (doğru ve gerçek olumsuzluğu olan cümleleri) tanıdığımız göz önüne alındığında, onu kabul etmek için hiçbir nedenimizin olmamasıdır. Sonuçta, (klasik) anlambilimimizde Dışlamayı empoze etmemizin nedeni, bazı doğruların gerçek olumsuzlukları olduğunu düşünmek için hiçbir nedenimizin olmamasıydı. Daha sonra şaşırtıcı Yalancı geldi ve bu, saf doğruluk teorisiyle birleşerek bazı (kuşkusuz tuhaf) cümlelerin hem doğru hem de yanlış olduğunu öne sürdü. Buna karşılık, A A - A biçimindeki doğru cümleleri tanıdığımızda Hariç Tutmayı ve dolayısıyla LNC'yi kabul etme gerekçelerimiz ortadan kalktı . Buna göre ikincil çelişkilerin LNC'nin reddedilmesiyle pek ilgisi yoktur.

5.2 Sadece Alt Karşıtlıklar

LNC Priest ve Sylvan'ın izinden giderek başka bir argüman öne sürüyorlar: ¹¹

A v B mantıksal bir doğruysa , geleneksel olarak A ve B alt karşıtlardır . A v B mantıksal bir doğruysa ve A A B mantıksal olarak yanlışsa A ve B çelişkilidir . Bu nedenle çelişkileri alt karşıtlardan ayıran ikinci koşuldur . Şimdi [ P ]'de A v - A'nın mantıksal bir doğru olduğunu görüyoruz . Ancak A A - A mantıksal olarak yanlış değildir. Dolayısıyla A ve - A çelişkili değil, alt karşıtlardır. Sonuç olarak, düşünürler 'çelişki'yi patlayıcı bir cümle, her cümlenin (mantıksal olarak) kendisinden çıktığı bir A cümlesi anlamında kullanırlar ; Patlayıcı 'çelişki' anlamında hiçbir diyaleteci gerçek çelişkilerin olduğunu düşünmez (her şeyin doğru olduğuna inanan ama bildiğim kadarıyla bunların gerçek olmadığına inanan önemsizciler hariç).

¹¹Aşağıdaki alıntıda 'Da Costa'yı 'P ' ile değiştiriyorum.

[ P -] olumsuzlama, olumsuzlama değildir, çünkü olumsuzlama, alt-karşıt oluşturan bir işlev değil, çelişki oluşturan bir işlevdir. (Priest ve Routley 1989, s 165)

Bu argüman da diğerleri gibi güçlü değil. Kabul edelim ki , A v B ve - (A A B) mantıksal olarak doğruysa geleneksel olarak A ve B çelişkilidir . Ancak bu , A A - A'nın patlayıcı olduğu geleneksel olumsuzlama teorisinden başka bir şey değildir ! ¹²Geleneksel olumsuzlama teorisine (ve dolayısıyla çelişkiye ) başvurmak, Dışlama kaldırıldıktan sonra LNC'nin kabul edilmesi için bir neden vermez. P'ye göre olumsuzlamanın yalnızca alt karşıtlıklar oluşturan bir araç olması, kendi başına P- olumsuzlamaya karşı bir argüman değildir ; ihtiyaç duyulan şey, dışlama bir kez bırakıldığında, olumsuzlamanın 'çelişki oluşturan' bir araç olduğu yönündeki geleneksel görüşü hâlâ kabul etmemiz gerektiğini düşünmek için akıldır. ¹³

5.3 'Gerçek Olumsuzlamanın' Geleneksel Özellikleri

LNC'yi bir kenara bırakan Priest ve Sylvan, P -olumsuzluğuna karşı son bir argüman öne sürüyor . Aslında argüman, P- olumsuzluğunun , § 4.1'de bahsedilenler de dahil olmak üzere , çok az sayıda geleneksel çıkarımsal özellik sağladığı yönündedir. Priest ve Sylvan bu tür 'başarısızlıkların'

P -] olumsuzlamanın, geleneksel olarak ilişkilendirilen çıkarımsal özelliklerin neredeyse hiçbirine sahip olmadığını gösterir.

¹²A v - A ve - (A A - A) 'nın mantıksal olarak doğru olduğu herhangi bir teorinin patlayıcı bir teori olduğunu söylemiyorum ; bu açıkça yanlıştır (Priest'in LP'sinin gösterdiği gibi). Yukarıdaki nokta, geleneksel olarak çelişkilerin patlayıcı olduğudur.

¹³Burada 'işlevsel' teriminden kaçındığımı unutmayın. Bunun nedeni, eğer hakikati tek ilkel anlamsal değerimiz olarak alırsak, bunun bir 'hakikat fonksiyonu' olarak yorumlandığını söylemek yanıltıcı olur . Elbette - , -cümleler için kişinin doğruluk koşullarında 'değil'i kullanmanın döngüselliğinden kaçınmak amacıyla -'doğruluk tabloları' tarafından tanımlanan- bir işlev olarak alınır; ancak, en azından bu tür doğruluk koşullarını verecek İngilizce'den 'daha zengin' bir dil olmadığı düşünüldüğünde, bu tür bir döngüsellikten kaçınmanın mümkün olmadığı oldukça açıktır diye düşünüyorum. § 2'nin esasen Tarski'ye dayanan ilişkisel semantiği bu döngüselliği gizlemiyor.

[ P -] olumsuzlamanın gerçekte olumsuzlama olmadığını gösteren başka bir kanıttır . Artık bu yönde güçlü kanıtlar topladık ve dava oldukça kesin görünüyor. (Priest & Routley 1989, s. 165)

Bu argüman ne kadar güçlü? Priest ve Sylvan'ın aksine, LNC'nin (ve dolayısıyla alt karşıtların) argümanları güçlü değil ve bu nedenle 'kanıtların' bir kısmının bir kenara bırakılması gerekiyor.

Çıkarımsal özelliklerden elde edilen argümana ne dersiniz? Bence bu argüman, LNC'yi kabul etmek (veya Dışlamanın orijinal reddini geri almak) için bir neden sunmuyor. Sonuçta, söz konusu olan çıkarımsal özellikler (geleneksel olarak olumsuzlamayla ilişkilendirilenler), çoğunlukla Dışlamanın empoze edilmesinden kaynaklanan özelliklerdir; ve bize, Dışlanmayı başlangıçta reddettiğimizi 'geri almamız' için hiçbir neden verilmedi.

O halde benim açımdan Priest ve Sylvan'ın argümanlarının hiçbiri P -olumsuzlama teorisini reddetmek için güçlü bir neden sunmuyor. O halde benim önerim, olumsuzlamanın P-kuramının tek başına olumsuzlamayı yeterince karakterize etmesi midir? Pek değil.

5.4 Çift Yönlü Hipotez

Durum gördüğüm kadarıyla şu şekilde. Yalancıya verilecek diyalektik tepki doğal ve basit bir harekettir; ve bu hareketle Dışlanmayı reddetmek doğaldır. Gerçeğin bizim tek ilkel 'doğruluk değerimiz' olduğu göz önüne alındığında, Dışlamanın reddedilmesi P sonucunu verir . Priest ve Sylvan'ın belirttiği gibi sorun, olumsuzlamanın P -kuramının çok alışılmadık çıkarımsal özellikler, yani çok anormal özellikler ortaya çıkarmasıdır.

P -olumsuzlamanın -ve genel olarak geleneksel özellikleri karşılamayan herhangi bir 'olumsuzlamanın'- yalnızca olumsuzluk olmadığını düşünmek geliyor . Ancak bu ayartmanın ilginç bir seçeneği göz ardı ettiğini düşünüyorum: Bu olumsuzlamanın ikili bir yönü var. Buradaki fikir, bir yandan, olumsuzlamanın normalde Dışlamaya göre davrandığı , normal olarak 'klasik davranış' sergilediğidir; diğer yandan paradoksal bir yapıya büründüğünde,

P'de görüldüğü gibi, birçok açıdan 'serbest yüzer' . Elbette, 'serbest dalgalanma' davranışı bize hala tuhaf geliyor, ancak bunun nedeni, bu tür davranışların nadir ve anormal olmasıdır. Aslında, Dışlama'yı reddetme motivasyonu çok anormal bir kaynaktan geliyordu; gramer gerekliliği (veya belki de olayların garip bir şekilde değişmesi dışında) olumsuzlamayı içeren normal çıkarım uygulamalarımızda çok az rol oynayan paradoksal cümleler. Ve ' normal olumsuzlama davranışı' hakkındaki 'sezgilerimizin' tanıdık vakalar tarafından oluşturulduğunu hatırlamak önemlidir ; Yalancı benzeri tuhaf cümlelerden oluşmazlar. ¹⁴

O halde benim önerim, olumsuzlamanın ikili bir yönü olduğudur . Normalde olumsuzluk klasik şekilde davranır; ancak 'paradoksal kurulumlar' söz konusu olduğunda olumsuzlama, P'de yansıyan 'serbest dalgalanma' davranışını sergiler . Bir sonraki bölümün görevi çift yönlü teoriyi kesinleştirmektir.

6 Çift Yönlü Olumsuzluk: Logic AP

Olumsuzlamanın çift yönlü teorisi monotonik olmayan bir mantıkla, özellikle de Diderik Batens'in (Batens 2000) uyarlanabilir mantık olarak adlandırdığı şeyle resmileştirilebilir. Hedef mantığını ' AP ' olarak adlandırıyorum ( P yönü için ). ¹⁵Temel fikirleri, ardından hedef felsefi yorumu sunacağım.

Görünüş Olumsuzluğu: AP

R'nin kabul edilebilir herhangi bir P değeri (§ 4'e göre) ve p'nin herhangi bir atomik cümle (önerme parametresi) olmasına izin verin . R'nin tutarlılık ölçüsü olan R * 'yi aşağıdaki gibi tanımlayın :

¹⁴Paradoksal cümlelerin keşfedildiğinde bu kadar şaşırtıcı olmasının nedeni büyük ölçüde budur: Bize normun istisnalarını gösterirler.

¹⁵AP'yi formüle ettikten sonra Batens'in çalışmalarını öğrendim . Görebildiğim kadarıyla ' P ' olarak adlandırdığım mantık, Batens'in CLuN ' dediği mantıktan biraz daha güçlü , hedef mantığım yani AP ise Batens'in 'ACLuN2 ' dediği mantıktan biraz daha güçlü . İsimleri gereksiz yere çoğaltmak istemesem de orijinal etiketlerime sadık kalacağım.

• R' = { p : R 1= p ve R 1= ~ p }

P değerlemelerine ilişkin aşağıdaki ilişkiyi tanımlayın :

• Ri _{_} < R _jiff R* c R*

R _i'ninR j'den daha az tutarsız olduğunu söylüyoruz, ancak R _i < R j . Buna karşılık, r'nin minimal tutarsız bir modelini (MI-modeli) şu şekilde tanımlayın:

• R '■ _mir iff R 1= r ve eğer R _i <R sonra R _i¥ r

Sezgisel olarak R , r'nin bir modeliyse ve R'den daha az tutarsız olan herhangi bir (kabul edilebilir) değerleme, r'nin bir modeli olamazsa, r'nin bir MI modelidir. Aslında fikir, MI modellerinin bir dizi cümleyi modellemek (tatmin etmek) için en az tutarsız yolu 'araması'dır; özellikle r'nin herhangi bir klasik modeli, r'nin bir MI modeli olacaktır. (Kabul edilebilir P değerlemelerinin, klasik olarak kabul edilebilir değerlemeler sınıfını içerdiğini hatırlayın.)

Mantıksal AP, minimum düzeyde tutarsız modeller üzerinden sonuçların tanımlanmasından kaynaklanır :

• r lh _apA r'nin herhangi bir MI modeli A'nın bir modeli ise .

Mantıksal doğruluk (geçerli cümle), her (kabul edilebilir) değerlendirmede doğruluk olarak tanımlanabilir: R 1= A , tüm kabul edilebilir R için . ¹⁶

6.1 Monoton olmama

AP'nin monoton olmadığı açıktır :

~ p,p v q Ibap q

Ancak

p, ~ p,p v q V ap q

¹⁶Mantıksal doğruluğun şu şekilde tanımlandığını varsayalım : A, AP iff 0 \^ _apA'da mantıksal olarak doğrudur. Bu işe yaramaz. Bu nedenle A , kabul edilebilir her değerlendirmede doğru olmasa da 'mantıksal olarak doğru' olabilir. Kabul edilebilir her R için doğru olmayan , ancak AP'deki 0'dan çıkan ~ (p A ~ p)' yi düşünün . (Kabul edilebilir her R, 0'ın bir modelidir ve herhangi bir klasik model, bir MI modelidir. Yani, 0 \^ _ap ~ (A A ~ A) şaşırtıcı değildir ancak söylendiği gibi mantıksal doğruluk için yetersizdir.)

AP'deki sonuçlarının, eğer r tutarlıysa , tam olarak r'nin 'standart' klasik sonuçları olduğudur ; aksi takdirde sonuçlar, yalnızca p'nin hem doğru hem de yanlış olması durumunda ortaya çıkan, serbest yüzen P olumsuzlama davranışını yansıtır .

6.2 Felsefi İthalat

AP'nin felsefi önemi çift yönlü hipotezdir : olumsuzlama görünüşseldir. Yalancının dersini hatırlayın. Dialeteistlere göre alınacak ders, bazı cümlelerin hem doğru hem de yanlış olduğudur. Bana göre bu, sonuna kadar doğrudur; ancak bu ders eksiktir. Buradan alınacak ders yalnızca doğru ve yanlış cümlelerin olması değildir; Buradan alınacak ders, olumsuzluğun görünüşsel olduğudur. AP, olumsuzlamanın görünüşsel doğasını kaydetmeyi amaçlamaktadır.

Buradaki fikir şudur ki, tuhaf paradoksal cümleler -salt gramer zorunluluğundan (ya da olumsal olayların ender rastlanan bükülmesinden) doğan cümleler- dışında, olumsuzlama tam olarak filozofların her zaman davrandığını varsaydığı gibi, yani klasik olarak davranır . Paradoksal bir yapıya - dilin genel işleyişine bağlı olarak yanlış olmadan doğru olmasının hiçbir yolu olmayan bir cümleye - dahil olduğunda (dilbilgisel zorunluluk veya nadir rastlanan rastlantısal olaylar nedeniyle) olumsuzlama özgürlük sergiler. yüzen davranış. Gerçek, tek ilkel anlamsal değerimiz olmaya devam ediyor; ve yanlışlık , her zaman olduğu gibi (görünüşsel) olumsuzlama ve hakikat terimleriyle tanımlanan türetilmiş bir kavram olarak kalır.

Çift yönlü hipotezin çekici yanı, olumsuzlamayla ilgili birçok 'sezgiye' saygı duymasıdır. Örneğin, LNC'nin mantıksal bir gerçek olduğuna dair standart sezgiyi düşünün. Bu sezgi, çoğu klasik sezgi gibi, normal olumsuzlama davranışı üzerine kuruludur . Yalancı elbette anormaldir; dilbilgisinin dilsel kalıntısıdır. Ancak Yalancı ciddiye alındığında, kısa sürede - ifade zorlukları nedeniyle - Yalancı'nın klasik sezgilerimize meydan okuduğu görülür. Çift yön hipotezi, bu klasik sezgilerin olması gerekmediğidir.

hafifçe değiştirildiği kadar reddedildi: olumsuzlamanın adeta ikili bir yaşam sürdüğünü kabul etmek gerekiyor. LNC (Priest ve Sylvan'ın aksine) geçerli bir basitleştirici değildir; ancak klasik sezgilerimizin üzerine inşa edildiği sınırlı cümle sınıfı üzerinde geçerlidir . Aynı düşünceler, olumsuzlamayla ilgili tüm klasik sezgiler için de geçerlidir: Bunlar, üzerinde oluşturuldukları (paradoksal olmayan) cümlelerin geniş bir yelpazesinde doğrudur. Ancak klasik sezgilerimizin üzerinde şekillendiği geniş cümleler yelpazesi, tüm cümleleri kapsamaz. Paradoksal yapılar el altındayken, olumsuzluk tuhaf davranır; haklı olarak tuhaf olduğunu düşündüğümüz davranışlar sergiliyor; en azından anormal olma anlamında tuhaf, sezgilerimizin üzerine inşa edildiği normal cümlelerden sapıyor .

Çift yönlü hipotezin bir başka avantajı da, filozofların paradoksa verilen diyalektik tepki karşısında neden çekindiklerini -ya da inanmaz bir bakışla baktıklarını- açıklamasıdır. Pek çok filozof, (bazen yumruk atarak) hiçbir cümlenin hem doğru hem de yanlış olamayacağını basitçe beyan eder; onlar sadece sahteliğin tam anlamıyla diyaleteizmi dışladığını ilan ederler. Çift yön teorisi bu tür bildirimlere güzel bir açıklama sağlar. Sonuçta 'yanlıştır' normalde olumsuzlamanın normal davranışıyla ilişkilendirilir ! Ve olumsuzlamanın bu normal yönünde verilen beyan tamamen doğrudur: Hiçbir cümle doğru ve yanlış olamaz, burada "yanlıştır", olumsuzlamanın normal şekilde davrandığı gibi olumsuzlamanın doğruluğu ile sınırlıdır. Olumsuzlamanın iki yönü birbirinden ayırt edildikten sonra, diyaleteciler verilen beyana katılabilir (ve katılmalıdır).

O halde sonuçta AP , olumsuzlamanın (ve dolayısıyla yanlışlığın) görünüşsel doğasını yansıtmayı amaçlamaktadır. Paradoksla ilgili nedenlerden dolayı Dışlamayı reddederken, tek, ilkel bir "gerçek değer"i koruyoruz . Ancak çift yönlü hipoteze göre Dışlamanın reddedilmesi, 'dışlayıcı sezgilerimizin' reddedilmesinden ziyade olumsuzlama teorimizin bir modifikasyonudur. Dışlama, normalde akıl yürüttüğümüz geniş cümle yelpazesinde hala geçerlidir; yalnızca serbestçe yüzen bir olumsuzlamayı haykıran tuhaf yapılar için başarısız olur—

ve dolayısıyla serbestçe yüzen bir sahtelik kavramı. AP, 'normal' ve 'serbest' sahtekarlık arasındaki böyle bir oyunu yansıtmayı amaçlamaktadır.

Çift Yönlü Dialeteizmin Diğer 7 Erdemi

Çift yönlü hipotezin bazı açıklayıcı erdemlerinden, özellikle de olumsuzluk ve yanlışlık hakkındaki klasik sezgilerle ilgili olarak daha önce bahsetmiştim . Bu bölümdeki amacım (çok kısaca) çift yönlü diyaleteizmin 'ortodoks' rakibine (burada onun veya todoks rakibinin Priest'in LP tabanlı versiyonu olduğu) karşı sahip olduğu birkaç avantajı belirtmektir .

7 .1 Field'ın Eleştirisi

Hartry Field (Field 2003), paradoksa diyalektik bir tepkinin sağladığı doğrudan avantajın, yani gerçeğin temel ikame edilebilirliğini korumanın farkına varır. T ve F doğruluk ve yanlışlık yüklemlerimiz olsun . Gerçeğin ikame edilebilirliği ve yanlışlığın salt türev 'doğası' göz önüne alındığında , -TA , F A'ya eşdeğer olan T - A'ya eşdeğerdir .

Dialeteizm , bazı cümlelerin doğru ve yanlış olduğu görüşüdür. 'Dialetheizm' genellikle bu şekilde tanımlanır; ve bu tam da diyaleteistlerin savunduğu görüştür. Field'ın eleştirisi, hakikatin karşılıklı ikamesi (ve bunun sonucunda ortaya çıkan sahtelik ile eşdeğerlikler) göz önüne alındığında, diyaletecilerin çok tuhaf bir durumda sıkışıp kaldıkları yönündedir. Field, her ikisi de diyaleteizmi karakterize etmenin tipik yollarıyla ilgili tuhaflıkları hedef alan iki eleştiri ileri sürüyor. İlk eleştiri şöyle:

belirli cümlelerin hem doğru hem de yanlış olduğunu öne süren doktrin (D) olarak tanımlamanın sorunu, bir dialeteistin kesinlikle sert olması gerektiğidir.

i ) T A F A

A için (örneğin Yalancı cümlesi), bunu da inkar etmelidir [yani onun olumsuzluğunu ileri sürmelidir]. Zira diyaleteist hem T A'yı hem de F A'yı ileri sürer . Ancak F A'dan [belirtilen eşdeğerlikler aracılığıyla] ~ T A ...; Bu yüzden

ii) F A A ~ T A

bu da kesinlikle (i)'nin olumsuzlanmasını gerektirir.

.Elbette bazı cümlelerin hem doğru hem de yanlış olması, diyaleteizmin bir sonucudur ve belirli bir cümlenin (D) bunların arasında olmasında özel bir sorun yoktur. Ancak tuhaf olan , diyaleteizmi tanımlayan doktrin olarak, diyaleteistin doğru olduğu kadar yanlış olduğunu da kabul ettiği bir şeyi almaktır . (Alan 2003)

(ii) 'kesinlikle (i)'nin olumsuzlanmasını gerektirir mi? LP tarafından yazılan diyaleteizmin ortodoks (tek yönlü) versiyonunda cevap ^evettir. AP tarafından garanti altına alınan çift yönlü görünümde cevap hayırdır.

O halde Field'ın hatalı varsayımı, olumsuzlamanın tek bir yönü olduğudur. 'Diyaleteizmin' standart tanımı Field'ın (D), olumsuzlamanın ve dolayısıyla sahteliğin çift yönlü karakteri göz önüne alındığında sorunsuzdur. Aslında, normal De Morgan özelliklerini içeren verili gereklilik tam olarak (ve yalnızca) bazı A'ların hem doğru hem de yanlış olması durumunda başarısız olur. Çift yönlü bir diyaleteistin, Priest'ten farklı olarak, kendi nihai öğretisinin yanlış olduğunu düşünmesine gerek yoktur .

Field'ın ikinci eleştirisi şu gözlemdir:

bunun hem doğru hem de yanlış olduğu görüşü (i) olarak karakterize etmek yanıltıcıdır ; oysa kişi onu aynı derecede pekâlâ ne doğru ne de yanlış olduğu görüşü (iv) olarak nitelendirebilirdi. false veya görünüm olarak (ii)

¹⁷Ya da, Priest'in kendi uyarlanabilir mantığı tarafından 'minimum derecede tutarsız LP ' (Priest 1991) tarafından garanti altına alınmıştır.

yanlış olduğu ve doğru olmadığı görüşü veya (iii) doğru olduğu ve yanlış olmadığı görüşü. (Alan 2003)

Field bir kez daha olumsuzlamanın normal şekilde davrandığını varsayıyor ; çünkü diyaleteistin tutumunu karakterize eden çeşitli listelenmiş yollar, yalnızca normal De Morgan ilkeleri geçerliyse "eşit derecede iyidir". Ortodoks di aleteizmi hedef alan Field'ın gözlemi önemlidir; ancak bu gözlem çift yönlü diyaleteizme karşı hedef dışıdır.

7 .2 Shapiro'nun Mücadelesi

Bahsettiğim gibi, diyaleteizm paradoksa çok çekici bir yanıttır çünkü (diğer şeylerin yanı sıra) rakiplerinin sürekli olarak karşı karşıya kaldığı ifade sorunlarından kaçınır. Stewart Shapiro (Shapiro 2004), diyaleteizmin (iddia edilen) erdemine karşı çıkıyor.

, diyaletheik olmayan rakiplerin karşılaştığı olağan ifade sorunlarından kaçındığı konusunda hemfikirdir ; 'esasen daha zengin bir meta dil' kullanmaya veya 'bağlamlar üzerinden nicelik belirlemeyi' vb. yasaklamaya gerek olmadığını kabul ediyor . (Sonuçta, bu tür tanıdık kısıtlamaların motivasyonu, bazı cümlelerin doğru ve yanlış olduğunu kabul etmekten kaçınmaktır.) Ancak Dialeteizm bu tür tipik sorunlardan kaçınırken Shapiro, en azından benzer bir ifade edilebilirlik sorunuyla karşı karşıya olduğunu ileri sürer; özellikle, dialetheistin görünüşte önemli olan dialetheia olmayan kavramını -hem doğru hem de yanlış olmayan bir cümleyi- ifade etme yolu yoktur.

Shapiro'nun makalesi tartışma açısından zengindir ve burada onun tüm argümanlarına değinmeye kalkışmayacağım; Aslında onun argümanlarından birini basitçe izole edeceğim ve çift yönlü diyaleteizmin eleştiriden nasıl kaçındığını göstereceğim. ¹⁸Shapiro'nun meydan okuması

¹⁸Elbette Shapiro'nun eleştirileri, Field'ınki gibi, ortodoks diyaleteizme yöneliktir. Field gibi o da diyaleteizmin görünürdeki erdemlerini kabul ediyor, ancak onun ortodoks versiyonunun yetersiz olduğunu düşünüyor. Bu makaledeki amacımın bir kısmı, çift yönlü diyaleteizmi masaya koymaktır; özellikle benim açımdan, diyaleteizmin çok daha doğal bir versiyonu olduğu için, 'klasik sezgilere' saygı duyan ve açıklayan, aynı zamanda da diyaleteizmin meyvelerini veren bir versiyondur. , Genel olarak.

şu şekilde çalışır: ¹⁹

A cümlesinin bir dialetheia olduğunu belirtmenin birkaç (belki de eşdeğer olmayan) yolu vardır . 'Nesne dilinde' (deyim yerindeyse), yalnızca A a~ A olduğu iddia edilebilir . Veya A'nın doğru ve yanlış olduğu ( T A a T ~ A ) veya A'nın doğru olduğu ve doğru olmadığı ( T A a ~ T A ) söylenebilir . Peki A'nın diyaletheia olmadığı nasıl söylenebilir ? Sadece ~ (A a ~ A) demek yeterli olmayacaktır . Çünkü bu sonuncusu Priest'in anlambiliminde [yani 'ortodoks diyaleteizm'de] mantıksal bir gerçektir. A cümlesi ne olursa olsun geçerlidir . Priest birkaç yerde A'nın bir dialetheia olması durumunda, yani A a ~ A'nın doğru olması durumunda ~ (A a ~ A)' nın başka bir dialetheia olduğuna işaret eder. Yani hem A a ~ A hem de ~ (A a ~ A) var. Yani eğer ' A , dialetheia değildir', ' ~ (A a ~ A) ' olarak tanımlanırsa, o zaman her cümle, her dialetheia da dahil olmak üzere, bir dialetheia değildir. (Shapiro 2004)

Shapiro'nun itirazının, en azından yukarıda formüle edildiği şekliyle, çift yönlü diyaleteizm için geçerli olmadığı açıktır. Shapiro'nun açıkça belirttiği gibi, ' A , dialetheia değildir' ifadesini A a ~ A'nın yanlışlığı olarak tanımlamanın sorunu ve dolayısıyla ~ (A a ~ A) 'nın gerçeği , her cümlenin bu nedenle bir dialetheia olmamasıdır, her türlü diyaletheia dahil. Ancak bu sorun (Shapiro'nun da belirttiği gibi), LNC'nin geçersiz olması ve AP'de geçersiz olması durumunda bir sorun değildir .

Shapiro'nun meydan okumasının daha fazlası var. A bir diyaletheia olsun . O halde tanım gereği A a ~ A doğrudur. Ancak, en azından AP verildiğinde, ~ (A a ~ A) 'nın da doğru olması 'mantıksal olarak mümkündür' - en azından 'mantıksal olasılık'ın AP modelleri açısından tanımlandığı yerde . Dolayısıyla, bazı diyaletheialar aynı zamanda dialetheia olmayanlar da olabilir ve dolayısıyla verilen 'dialetheia olmayan' tanımı, A'nın hem bir dialetheia hem de dialetheia olmayan olabileceği anlamında dışlayıcı değildir . ²⁰

¹⁹Tekdüzelik uğruna Shapiro'nun sembolizmini değiştiriyorum. Hiçbir şey değişime bağlı değil.

^{20 Her cümlenin doğru (ve
dolayısıyla aynı zamanda yanlış) olduğu bir}AP 'önemsiz modeli'nin var olduğuna dikkat edin . Bu özellik şu kişilerle paylaşılıyor:

'Dialetheia'nın ayrıcalıklı olmaması bir sorun mudur? En azından çift yönlü görünüm açısından bunun bir sorun olmadığını düşünüyorum. Sonuçta, "non-dialetheia"daki "olmayan"ın kendisi de görünüşsel olan olumsuzlama olduğu kadar, görünüşsel olacaktır. Buna göre, eğer (gramerin her zaman garanti ettiği gibi) 'dialetheia olmayan'daki 'olmayan'ın anormal (paradoksal) davranışı zorladığı bazı yapılar varsa, o zaman 'bir dialetheiadır' ve 'birdir' ifadelerinin genel kesişimi vardır . non-dialetheia' boş olmayacak . ²¹Bununla birlikte, çift yön hipotezi (görebildiğim kadarıyla) 'dialetheia olmayanın' aslında dışlayıcı olmadığı, aynı zamanda dialetheia olmayan dialetheia'nın olduğu iddiasını zorlamaz . Elbette, AP modelleri 'mantıksal olasılığı' temsil ettiği sürece , bu tür münhasır olmamanın mantıksal olasılığı da vardır; ancak gördüğüm kadarıyla verilen modelleri bu şekilde ele almaya gerek yok. ²²

Şimdiki amaçlar açısından önemli olan nokta, çift yönlü diyaleteizmin, ortodoks tek yönlü versiyonundan farklı olarak (LP'de veya uyarlanabilir muadili ile temsil edilir), Shapiro'nun meydan okumasından kaçınıyor gibi görünmesidir. Gerçekten de, AP göz önüne alındığında, kişi Shapiro'nun hedef iddialarını (belki zaman zaman pragmatiklerin yardımıyla) tam olarak ifade etmeyi başarabilir ve bunu doğal bir şekilde yapabilir:

LP (ve daha genel olarak FDE). Bu konuda bazı çekincelerim var, özellikle de 'bollukları' tanımaya yönelik tek motivasyonun çok tuhaf, anormal cümlelerden oluşan 'küçük' bir sınıftan kaynaklanması nedeniyle. Ancak bu konuyu daha büyük bir projeye bırakacağım. (Araştırdığım yollardan biri, atom cümlelerini ayrık sınıflara bölmek ve daha sonra kabul edilebilir değerlendirmeleri, iki sınıftan yalnızca birinin 'obur' olabileceği şekilde tanımlamaktır. Sezgisel olarak fikir, hedef dilimizin - yani biçimsel dil tarafından modellenen dil - sınıfları ayırt etmek için kararlaştırılabilir bir yöntem olmamasına rağmen zaten böyle bir ayrım sağlar (örneğin paradoksal cümleler ve diğerleri). Ancak yine de bu konuyu daha büyük bir projeye bırakıyorum.)

²¹'Boş olmayan'daki 'olmayan'a ve 'özel'deki örtülü 'değil'e dikkat edin! Normal durumlarda, bu tür 'değiller'in tümü klasik olarak çözülür, ancak çift yönlü bakış açısı, gramer kalıntısı nedeniyle anormal, serbestçe dolaşan davranışların da olabileceğini kabul eder.

²²Çok az filozof, Tarski'nin (klasik) mantığının sağlamlığına rağmen, çimenlerin kırmızı ama renkli olmamasının mantıksal olarak mümkün olduğunu söyleyecektir. (En azından İngilizcenin klasik mantığa standart 'çevirisi' veya düzenlenmesinde, çimlerin kırmızı olduğu ancak renkli olmadığı klasik Tarski modelleri vardır.)

Shapiro şunu öneriyor:

• A'nın doğru olduğu yalnızca A A ~ (A A ~ A) şeklinde ifade edilebilir .

• A'nın yanlış olduğu yalnızca - A a- (A a~ A) olarak ifade edilebilir .

Bahsedildiği gibi pragmatiğe bazen ihtiyaç duyulabilir, ancak bu bir sorun değildir; İngilizcenin herhangi bir nihai analizinde kaçınılmaz olarak pragmatiğe başvurulacaktır. Shapiro'nun iddia ettiği gibi, 'ortodoks' diyaleteizme ilişkin durum (en azından ilk bakışta) farklı görünmektedir : LP'de LNC'nin geçerliliği göz önüne alındığında pragmatiklerin faydası olmayacaktır . En azından bu açıdan çift yönlü diyaletizm tercih edilir. ²³

8 Kapanış Konuşması ve Diğer Talimatlar

AP'ye yansıyan olumsuzlama teorisini geliştirdim . Her ne kadar konuyu tartışmamış olsam da (bunun yerine diğer literatüre güvendim), diyaleteizm Yalancı paradoksundan (ve benzerinden) çıkarılacak doğal bir ders gibi görünüyor. Dialetheizmin önündeki engellerden biri her zaman, sahteliğin tam anlamının diyaletheik dersi dışladığı yönündeki "içten gelen his" olmuştur . Benim öne sürdüğüm gibi, bu tepki, olumsuzlamanın sonuçta görünüşsel olduğu, olumsuzluğun genellikle klasik davranış sergilediği, ancak tuhaf (gramer açısından gerekli) cümleler verildiğinde bazen klasik olmayan bir şekilde davrandığı - aslında oldukça serbest bir şekilde davrandığı - hipotezini göz ardı ediyor .

Çift yönlü hipotez, birçok filozofun olumsuzlamayla ilgili sahip olduğu güçlü, klasik düşünceli sezgilere saygı duyar; bu tür sezgilere onları koruyarak saygı duyar - en azından normal, paradoksal olmayan durumlar açısından,

²³Joachim Bromand (Bromand 2002), Shapiro'nun gündeme getirdiği ifade edilebilirlik sorununun aynısını gündeme getiriyor. Bromand, LP tarafından garanti altına alınan ortodoks diyaleteizmin , A'nın diyaletheia olmadığını ifade edemeyeceğini ileri sürer. Açık olması gerektiği gibi, çift yönlü diyaletizm, LP'nin 3 değerli semantiğini öne çıkaran Bromand'ın itiraz versiyonunun tuzağına düşmez .

bunlar tam olarak bu tür sezgilerin üzerine kurulduğu şeylerdir. Benim açımdan, paradoksa diyalektik bir yanıtın -özellikle ifade edici görünümlerin korunmasının- avantajları güçlüdür; ve çift yönlü diyaleteizmin erdemi, klasik mantığın içgörülerini korurken aynı zamanda bu tür avantajları muhafaza etmesidir. Üstelik, § 7'de (kısaca da olsa) belirtildiği gibi, çift yönlü diyaleteizm, ortodoks (tek yönlü) karşılığının aksine, di aleteizmi ciddiye alan kişileri rahatsız eden birçok tuhaflıktan kaçınıyor gibi görünüyor .

, olumsuzlamanın çift yönlü görüşünü (veya çift yönlü diyaleteizm) tanıtmaktı . Umudum, amaca ulaşılmış olması ve görüşün daha fazla düşünmeyi teşvik edecek kadar ilginç ve umut verici olmasıdır . Ancak kapatmadan önce çok az söylediğim bir konuya değineceğim: şart cümleleri.

AP'de (varsa) hangi koşul söz konusudur ? En azından 'materyal benzeri' bir koşul var. ²⁴Örneğin, A = B'nin ' orijinal ' klasik anlambilimde tanımlandığını varsayalım: R IF A = B , eğer ya R II - A ya da R IF B. Klasik anlam tiklerinde = yalnızca normal (klasik) kanca, maddi koşul olacaktır. Peki Yalancı ile yüzleştikten sonra Dışlama kaldırıldığında ne olur? Tartışıldığı gibi, olumsuzlama 'serbest yüzer' hale gelir ve dolayısıyla = , ~ ile tanımlandığında , kendisi anormal davranışlar sergileyecektir. A = A geçerliliğini korur, ancak yine de anormallikler bol miktarda olacaktır. Örneğin modus ponens, diğer birçok geleneksel çıkarımsal özellik gibi başarısız olacaktır; bununla birlikte =' nin bu tür anormallikleri ~' nin çifte yönüne bindirilir ; sonuçta = 'eğer' hakkındaki geleneksel sezgilerimizin dayandığı çok çeşitli cümleler için klasik şekilde davranacaktır . ²⁵

²⁴Bazıları 'maddi koşullu'yu gerçek bir koşullu olarak kabul etmez . Başka bir çalışmamda AP'yi yönelimsellikle desteklemeyi, böylece maddi koşulla ilgili bazı endişeleri hafifletmeyi umuyorum .

²⁵Güçlendirme = AP'ye modalite ekleyerek benzer sonuçlar vermelisiniz . O projeyi başka bir mekana bırakıyorum. (Şu anki düşüncemin aksine, koşula yönelik görünüşsel bir yaklaşımın uygulanabilir olmadığı kanıtlanırsa , işe yarayacak uygun koşul ifadeleri vardır. Bakınız (Priest 1987).

Bir endişeyi gidererek bitiriyorum. Modus ponens'in başarısızlığının tüm projeyi anında baltaladığı düşünülebilir, çünkü modus ponens'in başarısızlığıyla artık Yalancı paradoksunun ortaya çıkmadığı ve dolayısıyla bazı (kuşkusuz tuhaf) bir cümlenin doğru olduğu sonucunun artık çıkarılmadığı düşünülebilir. ve yanlıştır ve dolayısıyla olumsuzlamanın çift yönlü olduğunu düşünmek için hiçbir neden yoktur. Doğru olsaydı bu çok yıkıcı bir itiraz olurdu ; ancak bu doğru değil. İlginç olan (ve bazı açılardan oldukça şaşırtıcı olan) Yalancının katıksız ısrarıdır; paradoks çok zayıf mantık P'de bile varlığını sürdürüyor . A ^ A ve sırasıyla A -- ► A'nın AP'de , en azından verilen 'materyal benzeri' tanımında geçerli kaldığını hatırlayın . T {A) ve A'nın karşılıklı ikamesi göz önüne alındığında , T (A) -- * A'ya sahibiz. Yukarıdaki gibi, A ^ B, tanım gereği, - A v B'dir, bu durumda T (A) --* A ,

( ~ T( A) v A) A ( - A v T( A))

-T ( A ) olan Yalancı A'yı düşünün . T{ A) --* A'nın A örneği T( A) -- ► - T( A ) 'dir ve tanım gereği

( ~ T( A) v - T{A)) A ( —T( A) v T{A))

P'de (ve dolayısıyla AP'de ) bile , sol bağlaç - T( A)' yı verirken sağ bağlaç T{ A'yı verir . Dolayısıyla P'de bile modus ponens olmadan orijinal paradoks ortaya çıkar: A hem doğru hem de yanlış olan bir cümledir; olumsuzluğun tatilde olduğu bir cümledir. ²⁶

²⁶Yorumları ve tartışmaları için Otâvio Bueno, Mark Colyvan, Dave DeVidi, Hartry Field, Michael Glanzberg, Tim Kenyon, Phil Kremer, Daniel Nolan, Graham Priest, Stephen Read, Stewart Shapiro ve Greg Restall'a minnettarım. Bu makale, Waterloo Üniversitesi'nde Graham Solomon anısına düzenlenen felsefi mantık çalıştayında (2003) okundu. (Bu makaleyi yazdığımdan beri biraz daha 'muhafazakar' bir pozisyona doğru ilerlediğimi, olumsuzlamayı görünüşsel olmayan bir tarzda ele aldığımı belirtmeliyim (Beall yayınlanmadı). Bununla birlikte, görünüşsel yaklaşımı takip etmeye değer buluyorum ve gelecekte bunu daha da sürdürmeyi umuyorum; sonuçta doğru olabilir.)

Bölüm

DOKUZ

MONİZM: TEK DOĞRU MANTIK

Stephen Oku

eşit derecede doğru olabileceği iddiasıdır . Beall ve Restall yakın zamanda bu pozisyonu savundular. Geçerliliğin, durumlar karşısında gerçeğin korunması meselesi olduğunu söylüyorlar: Öncüllerin doğru olduğu her durumda sonucun da doğru olması gerekir. Her mantık bir vaka sınıfını belirtir, ancak hangi vakaların dikkate alınması gerektiği konusunda farklılık gösterir . Bu mantık açıklamasının tutarsız olduğunu gösteriyorum. Geçerlilik aslında gerçeğin korunmasıdır, yeter ki doğru anlaşılsın. Bir kez anlaşıldığında tek bir gerçek mantık vardır; alaka mantığı. Beall ve Restall'ın hatasının kaynağı , alaka mantığı da dahil olmak üzere genel olarak klasik olmayan mantıkları analiz etmek için klasik bir üst dil kullanma alışkanlığıdır .

1 Mantıksal Çoğulculuk

tümdengelimsel olarak geçerli olabileceği, bu anlamların eşit derecede iyi olduğu ve tümdengelimsel geçerlilik adını eşit derecede hak ettiği birden fazla anlam vardır" (Beall) & Restall 2000, § 1). Mantıksal çoğulculuk konusundaki argümanları şudur:

193

D. Devidi ve T. Kenyon (ed.), Felsefeye Mantıksal Bir Yaklaşım, 193-209.

1 . 'Geçerli' teriminin anlamı (V) ile verilmektedir:

(V) 2 numaralı öncüllerden A sonucu çıkar; ancak ve ancak 2'deki her öncülün doğru olduğu herhangi bir durum aynı zamanda A'nın da doğru olduğu bir durumdur.

2 . Bir mantık (V)'de bahsedilen durumları belirtir.

3 . Bu tür en az iki farklı spesifikasyon vardır. (Hepsi bu

& Restall 2000, s. 476-7)

Aslında, bu türden üç spesifikasyonu tanımlarlar: dünyalar (klasik mantık sağlar), yapılar (yapıcı mantık sağlar) ve durumlar (ilgili mantık sağlar) ( op. cit.). Dolayısıyla hepsi eşit derecede iyi olan en az üç mantık vardır. (V)'nin gösterdiği gibi üçü de bize gerçeğin ne zaman korunduğunu söyler: klasik mantık bize mantığın tam ve tutarlı durumlarda, yani dünyalarda ne zaman korunduğunu söyler ; Yapıcı mantık bize gerçeğin muhtemelen eksik (daha iyi, belirsiz veya karar verilemez) durumlarda, yani yapılarda ne zaman korunduğunu söyler; ve uygunluk mantığı bize gerçeğin muhtemelen tutarsız (ve eksik) durumlarda ne zaman korunduğunu söyler . Aslında, Beall ve Restall daha sonra bize dördüncü bir olasılığı, tüm durumlarda (muhtemelen eksik, tutarsız ve belirsiz bir şekilde sona eren) gerçeğin korunmasını tanıtıyorlar ve bunu kafa karıştırıcı bir şekilde "ilgili sonuç" olarak da adlandırıyorlar (Beall & Restall 2001, § 4 fn. 17). ).

Burada mantıksal çoğulculuk olarak tanımlanan konum aslında tutarsızdır. Bunu görmek için (V)'ye daha yakından bakmamız gerekiyor.

2 Rahibin Mücadelesi

Graham Priest, Beall ve Restall'a şu şekilde meydan okuyor: Varsayalım ki gerçekten de tümdengelimsel geçerliliğin eşit derecede iyi iki açıklaması var, K ₁ve K 2 , ki f K _1'egöre a'dan çıkıyor ama K 2'den değil ve a'nın doğru olduğunu biliyoruz . F doğru mu ? (Rahip 2001). Bkz. (Beall ve Restall 2001, § 6). F'nin doğruluğu sunulan bilgilerden (tümdengelimli olarak) çıkıyor mu? Beall ve Restall, f'nin K _1'egöre doğru olduğu anlamına gelmez, ancak

K2'ye göre doğru _değil. K ve K2 gerçeğin değil, geçerliliğin açıklamalarıdır _.Priest'in belirttiği gibi Beall ve Restall, hakikat konusunda görecelikçi olduklarını inkar ediyorlar. Yani şu soru şu: ' Fi doğru mu?' kesin bir durumdur. Buradan K i -ly'nin fi'nin doğru olduğu ancak K ₂-ly'nin doğru olmadığı sonucu çıkar. fi'nin doğru olduğu sonucuna varmalı mıyız, yoksa varmamalı mıyız ? Cevap açık görünüyor: K _1,K _2'yigölgede bırakıyor . Sonuçta K2 bize fi'nin yanlış olduğunu söylemez ; bize bunun doğru olup olmadığını söylemede başarısız oluyor. Vakadaki bilgi, K2'ye göre fi'nin doğru olup olmadığını _{belirlemek için yetersizdir}. Ancak K _1'egöre sağlanan bilgi bize fi'nin doğru olduğunu söylüyor. Yani eğer K ₁ve K 2'nin her ikisi de iyi türetilebilirlik açıklamalarıysa, K i bize bilmek istediğimiz şeyi söyler: fi doğrudur.

Buradan , gerçek anlamda Ki ve K2'nin eşit derecede iyi olmadığı sonucu çıkar. K1 _,K2'nin vermediği çok önemli bir soruyu yanıtlıyor . Çünkü Priest'in sorusu mantığın merkezi sorusudur. Beall ve Restall'ın söylediği gibi, "mantığın temel amacı [mantıksal] sonucu açıklamaktır", yani bize "bir A sonucunun mantıksal olarak öncül 2'den takip ettiğini" söylemektir (Beall & Restall) 2000, s. 475-6). Beall ve Restall'ın örneklerinin hiçbirinde mantıklar ciddi bir şekilde fikir ayrılığına düşmez; yani, bir mantık A'nın 2'den çıktığını ve diğeri ^r~ A ~ ^l'nin takip ettiğini söylemez mi (tabii ki 2 tutarsız olmadığı ve her ikisi de her ikisinin de takip ettiğini söylemediği sürece) ). Ve onların çoğulculuğu sınırsız değildir. Her ne kadar klasik, yapıcı ve ilgili geçerlilik açıklamalarının eşit derecede iyi olduğunu kabul etseler de, sonuçla ilgili hiçbir açıklamayı mantık olarak kabul etmezler (Beall & Restall 2000, s. 487 dn. 26). (V) sonucun dönüşlülüğünü ve geçişliliğini oluşturur, çünkü ( A yollarındaki 2 yolun ) açıkça dahil edilmesi dönüşlü ve geçişlidir . Yani, derler ki, dönüşlülüğü reddeden Aristoteles'in kıyas sistemi (Aristoteles nd, 24b18-20) veya sonucun geçişliliğini reddeden Tennant'ın (Tennant 1987, bölüm 17) veya Smiley'ninki (Smiley 1959) gibi herhangi bir sistem, basitçe bir mantık sistemi değildir.

K _1'egöre a'dan fi çıkarımı yapmaya hakkımız olduğunu , ancak K _2'yegöre böyle bir hakkımız olmadığını söylemektir (Beall & Restall 2001, § 6). Ama bu bir cevap değil. Bu sadece vakanın tanımını tekrarlıyor.

K i'nin klasik mantık ve K 2'nin uygunluk mantığı olduğunu varsayalım (Beall ve Restall'ın yaptığı gibi). Bize a'dan fi'ye yapılan çıkarımın klasik olarak geçerli olduğu ve konuyla ilgili olarak geçerli olmadığı verildi. Ayrıca bize a'nın doğru olduğu söylendi . Bu bilgi bize fi'nin doğru olup olmadığını söyler mi? Görünüşe göre öyle, çünkü klasik geçerlilik geçerliliktir: “klasik mantık mantıktır …. Klasik olarak geçerli bir argümanın öncülleri doğruysa, sonuç da doğrudur” (Beall & Restall 2000, s. 490). Yani / i doğrudur ve göreceli olarak doğru değildir, ancak gerçek basitleştiricidir. / >' ifadesinin a'dan uygun bir şekilde çıkmaması konu dışıdır. Klasik mantık hakimdir ve fi doğrudur.

Bundan iki bulmaca ortaya çıkıyor. İlk olarak, alaka mantığı aslında fi'nin a'dan uygun şekilde takip edilmediğinden daha fazlasını söylüyor . Kimsenin a'dan fi çıkarımı yapma hakkına sahip olmadığını söylüyor . Uygunluk mantığı bir sonuç açıklamasıdır. Beall ve Restall bunu, kişinin a'dan fi'yi çıkarmaya yetkili olmadığını , oysa klasik olarak bunu yapmaya yetkili olduğunu söyleyerek tanımlıyor. Ancak gördüğümüz gibi bu klasik yetki, a'dan fi sonucunu çıkarmamıza izin verdi . Dolayısıyla, a'nın doğru olduğu (ve fi'nin klasik olarak a'dan geldiği ) verildiğinde , fi'nin doğru olduğu sonucunu çıkarabiliriz - ve bunu sadece klasik olarak çıkaramayız. Eğer a doğruysa / >' doğrudur. Onlara göre klasik geçerlilik (ya da daha güçlü olan geçerlilik ne olursa olsun, Ki ) hakimdir. Bu, alaka hususlarıyla alay konusu olur . İlgi mantığı sadece klasik mantığın alternatifi olarak ortaya atılmamıştır. Örneğin Ackermann, klasik geçerliliği ifade eden katı imanın yanlış olduğuna inanıyordu: "Böylece A -+ (B - + A) formülünün geçerliliği reddedilirdi " (Ackermann 1956, s. 113). Sezgisel akıl yürütme için de durum aynıdır. Brouwer şunu yazdı:

“Teorik mantık yasalarına o kadar tutarlı bir şekilde a priori bir karakter atfedildi ki, yakın zamana kadar bu yasalar, ortanın hariç tutulması ilkesi de dahil olmak üzere, sonsuz sistemlerin matematiğinde bile çekincesiz uygulanıyordu ve biz, bu yasaların bizi rahatsız etmesine izin vermiyorduk. Bu şekilde elde edilen sonuçların genel olarak pratik veya teorik olarak herhangi bir ampirik doğrulamaya açık olmadığı dikkate alınmalıdır . Bu konuda ba-

Bu kadar kapsamlı yanlış teoriler üretildi.” (Brouwer 1923, s. 336)

Beall ve Restall'ın çoğulculuğu karşısında, bir ilgi mantıkçısı ya da bir sezgici, / >'nin doğru olduğu sonucunun çıkarılmaması gerektiğini savunabilir mi? Bu soruya § 3'te döneceğiz.

İkincisi, Beall ve Restall burada servete bir rehine teklif ediyor. Eşit derecede iyi olduğu varsayılan mantıklarının hiçbiri aynı (tutarlı) öncüllerden çelişkili ifadeler çıkarma konusunda aynı fikirde olmasa da, bu bir olasılık gibi görünüyor. Klasik mantık K ₁, K _2'yehakimdir , dolayısıyla onunla aynı fikirde değildir. Diyelim ki fi K 1'i _{-ly a'dan}takip ederken , '1^ K3'ü _-lya'dan takip ederken , a tutarlı olduğu için K3 ile aynı fikirde olmadığını varsayalım - yani, içinde a'nın bulunduğu bir dünya, aslında bu dünya var . doğru. fi'nin doğru olduğu sonucunu mu çıkarmalıyız yoksa ^r~ ^ ” ^1'in
midoğru olduğunu? Beall ve Restall'ın çoğulculuğuna göre klasik olarak geçerli (yani K ₁-geçerli) argümanların geçerli olduğunu gördük . Yani fi doğrudur. Fakat eğer K ₃-geçerli argümanlar da geçerliyse fi yanlıştır. Beall ve Restall bir çelişkinin doğruluğunu _{kabul etmedikçe,}kıyas ve geçişsiz sistemler gibi K3'ü mantık dışı olarak reddetmek için bir neden bulmaları gerekir . Bu tür nedenlerin geçici olmaması daha iyi olur . Bunun iyi bir nedeni (veya en azından geçici olmayan) K3'ün vakaların anlambilimini kabul etmemesi ve dolayısıyla onların yol gösterici ilkelerine (V) uymaması olabilir . Ama bunun tartışmaya ihtiyacı var.

((A - B) - B) - A olan Abel mantığı (Meyer ve Slaney (yaklaşık 1984)) tarafından bir örnek verilmiştir. Bu klasik bir totoloji değildir, ancak Abel mantığı tutarlıdır (ve Post- tazminatta belirli klasik geçerliliklerden yoksundur. Dolayısıyla klasik mantıkta

- A,B ben- - (((A - B) - B) - A),

yani A yanlış ve B doğru bir karşı örnektir. Fakat Abel mantığında,

- A,B i- ((A - B) - B) - A,

çünkü sonuç (Abelian olarak) mantıksal olarak doğrudur. Şimdi A'nın yanlış, B'nin doğru olduğunu keşfettiğimizi varsayalım . Çıkarım yapmalı mıyız?

( (A ^ B) — B) — A doğru mu, yanlış mı? Klasik ve Abel mantığı çelişkili cevaplar verir. Burada çoğulculuk sınırına ulaşıyor.

Beall ve Restall, durumların semantiğini kabul etmediği ve dolayısıyla (V) kapsamına girmediği gerekçesiyle Abel mantığını göz ardı etmeye çalışabilir. Ancak Routley'in her mantığın iki değerli dünyalar anlambilimini kabul ettiğine dair kanıtına (Routley nd) dikkat edilmelidir . Eğer haklıysa her mantık (V) kapsamına girer. Dolayısıyla Abel mantığı gerçekten Beall ve Restall'ın çoğulculuğuna karşı bir örnektir .

Beall ve Restall'ın mantıksal çoğulculuğu eklektik ve her şeyi kapsayan olmaya çalışır (Aristoteles'i, Smiley'i ve Tennant'ı dışlayan bir noktaya kadar), ancak iki açıdan başarısızlığa uğrar: birincisi, klasik olmayan mantığın temel motivasyonuna saygı göstermez. onları ilk önce klasik ortodoksluğa rakip olmaya iten; ve eğer açıkça uyumsuz mantıkların her ikisinin de geçerli prensip (V) ile uyumlu olduğu ortaya çıkarsa , tutarsızlığa düşme tehlikesi vardır .

Şimdi (V)'yi daha yakından incelemeye çalışalım.

3 Gerçeğin Korunması

Beall ve Restall (V)'yi gerçeğin korunması ilkesi olarak tanımlar . Geçerliliğin her durumda gerçeğin korunmasını gerektirdiğini belirtir. Durumların farklı spesifikasyonları (V) ile uyumlu farklı mantıklar sağlar. (V) ile uyumlu olmayan herhangi bir sistem mantık değildir ve (V) ile uyumlu olan herhangi bir sistem de mantık olarak eşit derecede iyidir.

Bu kafa karıştırıcıdır, çünkü Beall ve Restall'ın işaret ettiği gibi, örneğin “her birini geniş metafiziksel zorunluluğun mantığı olarak kabul edemeyecek kadar fazla modal mantık vardır” (Beall & Restall 2000, s. 489). Onlara göre gerekli olan, mantığın ne yapması gerektiğini belirtmektir ve o zaman anlaşmazlıklar ortaya çıkabilir. Metafizik zorunluluğu yakalamak istiyorsak, modal mantıklardan biri doğru mantıktır. Belki ahlaki yükümlülüğü yakalamak istiyorsak farklı bir modal mantık, yorumu daha iyi yakalayacaktır.

Operatörler için istediğimiz bu özellik, aynı zamanda bilgi mantığını ve kanıtlanabilirlik mantığını resmileştirmek için de geçerlidir.

, Restall'ın gözlemlediği gibi, Beall ve Restall'ın mantıksal çoğulculuk tezine diktir (Restall 2002, s. 431). İlki, dil farklılığından kaynaklanan mantıksal anlaşmazlıkları hoş gören Karnapian hoşgörüsüdür . Gerçek bir anlaşmazlık yoktur ve mantıksal monistin itiraz edebileceği hiçbir şey yoktur. Açıkçası, eğer ^rD p ¹' p zorunludur' ifadesini ifade ediyorsa, □ p i— p'yi reddederiz çünkü ne yazık ki herkes yükümlülüklerini yerine getirmez. Yine, eğer ^rEI p ¹' p kanıtlanabilir' ifadesini ifade ediyorsa, tüm ispat sistemleri tutarlı olmadığından □ p I- p'yi reddederiz. Fakat ^rEI p ^{1 mantıksal zorunluluğu ifade
ediyorsa II}p i- p'de ısrar ederiz çünkü gerekli olanın gerçekleşmesi gerekir. (St Andrews'daki bir Gifford Öğretim Görevlisinin kişisel deneyimine atıfta bulunarak bir keresinde söylediği gibi: "Nefes alamıyorsan, alamazsın.") Bu alternatif mantıklar, Haack'in kastettiği anlamda tamamlayıcı mantıklardır ( Haack 1974, s. 2). ) ve aynı çıkarımın hem geçerli (bir mantığa göre) hem de geçersiz (başka bir mantığa göre) olabileceği herhangi bir gerçek anlamı göstermez.

Aynı nokta, Beall ve Restall'ın bahsettiği başka bir örnek için de geçerlidir: biçimsel ve maddi sonuç arasındaki ayrım. Onların örneğini ele alalım: 'a kırmızıdır, dolayısıyla a renklidir.' Burada mantıksal bir monistin uğraşabileceği hiçbir şey yok. Resmi olarak geçerli bir argümanın her örneği geçerlidir. Ancak resmi olarak geçersiz bir argümanın her örneği geçersiz değildir. Biçimsel olarak geçersiz argümanların geçerli örnekleri olabilir; bunlardan bazıları farklı bir geçerli biçimin somutlaştırılması nedeniyle biçimsel olarak geçerli olabilir , ancak diğerleri biçim açısından hiçbir şekilde geçerli değildir. (V) geçerliliğin birçok nedenden kaynaklanmasına izin verir ve biçimsel geçerliliği diğer geçerlilik türlerinden ayırmaz.

Yine, birinci dereceden geçerlilik ile daha yüksek dereceden geçerlilik arasındaki ayrımın mantıksal bir monisti rahatsız etmesine gerek yoktur. Geçerli argümanların çoğu birinci dereceden geçerlidir; bazıları değil. İkincisinin bazıları ikinci dereceden geçerlidir, ancak diğerleri değildir. Tekrarlamak gerekirse, geçerli bir formun her örneği geçerlidir; ancak geçersiz formların geçerli örnekleri olabilir. Daha yüksek düzeyde ifade gücüne izin vermek ve mantıksal sabitlerin aralığını artırmak (örneğin, modal'ı dahil etmek için)

ve iki modlu, örneğin zamansal, bağlayıcılar) her ikisi de biçimsel geçerlilik aralığını artırır. Ancak bunların hepsi monist için tek geçerlilik kuralının parçalarıdır. (V)'nin belirttiği gibi: öncüllerin doğru olduğu herhangi bir durum, sonucun da doğru olduğu bir durumsa, argüman geçerlidir ve bunun tersi de geçerlidir.

nin diğer mantıkların yanı sıra ilgili sonuçları da kapsadığına inanıyor . Ancak bu taraflıdır. İlgili sonuç, herhangi bir önermeyle çelişkiden yapılan çıkarımı reddetmek açısından paratutarlıdır : genel olarak, ^rA & - A ” ^1
keyfiB anlamına gelmez. (Buna kısaca Ex Falso Quodlibet, EFQ diyelim .) Beall ve Restall üç tip paradoks mantıkçıyı birbirinden ayırır (Beall & Restall 2001, § 2): Birincisi, gerçek çelişkiler olduğuna inanan sıradan diyaleteist vardır - örneğin paradoksların gösterdiği gibi gerçek dünya tutarsızdır. Bir adamın modus tol lensi diğerinin modus ponens'idir, yani, örneğin Naif Küme Teorisinin çelişkiye yol açması gerçeği, Naif Küme Teorisini çürütmez , ancak sıradan diyaleteistlere, ortaya çıkan çelişkilerin doğru olduğuna inanmaları için neden verir. Hafif diyaleteist daha ihtiyatlı: gerçek dünya tutarsız olabilir, ancak jüri bunun paradokslardan çıkarılacak doğru sonuç olup olmadığı konusunda hâlâ kararsız. Her iki tür diyaleteist para-tutarcıdır, çünkü bazı çelişkiler doğru olsa bile her önerme doğru olamaz.

Bunun tersine, diyalektik olmayan paraconsistentistler (paraconsistentistler) çelişkilerin doğru olabileceğini düşünmüyorlar. Beall ve Restall, onları dünyanın olamayacağı biçimlerle, imkansız dünyalarla ilgilenen kişiler olarak tanımlıyor. (Bakınız (Beall & Restall 2001, §§ 1 2).) (V)'e göre EFQ'nun geçersiz olabilmesi için ^rA & - A ” ^1'indoğru ve B'nin yanlış olduğu durumların olması gerekir. Ancak ^rA & - A ” ¹doğru olamaz; r ^A& -A ” 1’in ^doğruolduğu herhangi bir durum imkansızdır. Dolayısıyla diyalektik olmayan paratutarcılar dünyanın olamayacağı yollar olduğunu ve bir argümanın geçerliliğine karar verirken bu tür durumların dikkate alınması gerektiğini söylemeye kararlı görünüyor. Bu tutarsız bir tutumdur, çünkü bu tür vakalar ortaya çıkamıyorsa, bunların neden dikkate alınması gerektiğini anlamak zordur.

Diyalektik parakonsistentist böyle bir çıkmazda değildir. İçin

Dialeteist için gerçek durum tutarsızdır veya en azından tutarsız olabilir . Dolayısıyla, EFQ'nun önermesinin doğru olduğuna dair gerçek bir olasılık vardır ve eğer öyleyse, sonucun da doğru olduğuna dair bir garanti yoktur. Yani (V), EFQ'nun geçersiz olduğunu gösterir.

^rA & -A ” ^{1'in doğru olabileceği}düşünülmüyorsa , EFQ nasıl (V)'ye uymayabilir? Beall ve Restall bunu “Peirceci itiraz” olarak adlandırıyor (Beall & Restall 2001, § 2). ^rA & - A ” ^1'indoğru ve B'nin yanlış olduğu bir durum olamaz , çünkü ^rA & - A ” ^{1'in
doğru olduğu}durumlar imkansızdır. ^rA & - A ” ^{1'in doğru}olduğu bir durum kendisini her şeyin doğru olduğu bir duruma dönüştüreceğinden EFQ tarafından yoldan saptırılamaz , çünkü artık ^rA & - A ” ^1'indoğru olduğu bir durum olamaz. keyfi B'nin doğru olduğu bir durum olabilir ; bu tür durumlar imkansızdır.

Beall ve Restall'ın Peirce'in itirazına yanıtı, yoldan sapmanın birden fazla yolu olduğunu iddia etmektir; yani, "Mantığın tüm amacı yoldan sapmaktan kaçınmak olsa bile, öyle görünüyor ki birden fazla yol vardır. " bu amaç göz önüne alındığında ortaya çıkabilecek mantık” (Beall ve Restall 2001, § 2). Yani, yoldan çıkmanın birden fazla yolu vardır. Diyaleteci olmayan paraconsistentistler tarafından onaylanan ilgili geçerlilik, bu amacı bir şekilde detaylandırır; diğerlerinde ise yapıcı ve klasik geçerlilik. İkinci çiftin savunucuları güvende: EFQ'yu destekliyorlar ve ^rA & -A” ^1'indoğru ve B'nin yanlış olduğu herhangi bir durumun olduğunu düşünmüyorlar . Üçünden ilki daha dar bir köşededir : Beall ve Restall'ın bakış açısına göre (ancak aşağıdaki § 4'e bakınız), diyaletheik olmayan paratutarcılar bu tür durumların olduğunu düşünüyor, ancak bunlar imkansız. Sonuç olarak Beall ve Restall, diyalektik olmayan çelişkili düşünceye şu düşünceyi atfeder: “Kişinin vardığı sonuç ilgililik kurallarına uymuyorsa, kişi yoldan sapacaktır. Daha iyi ifade etmek gerekirse: Bir kişinin vardığı sonucun kendi öncüllerinden uygun bir şekilde takip edilmesi başarısız olursa, kişi yoldan çıkacaktır” (Beall & Restall 2001, § 2).

Bu, geçerliliğin kriteri olarak gerçeğin korunmasını terk etmektir. Artık geçerlilik için gerekli olan şey yalnızca gerçeğin korunması değil , aynı zamanda geçerliliğin de korunmasıdır. (V), geçerlilik kriteri olarak gerçeğin korunmasına ilişkin bir ifade gibi görünebilir, ancak Beall ve Restall'ın kabul ettiği şekilde yorumlanırsa, öyle değildir.

Çünkü imkansız bir durum, herhangi bir şeyin doğru olabileceği bir durum değildir. Eğer bu bir durumsa, herhangi bir şeyin doğru olmasının mümkün olmadığı bir durumdur . Bu nedenle, eğer diyalektik olmayan bir paratutarcı, (V)'yi imkansız vakaların üzerinden geçiyormuş gibi yorumlamaya kararlıysa, (V) en iyi ihtimalle gerçeğin korunmasını değil, vakanın korunmasını tanımlar.

Dahası, (diyaleteci olmayan) ilgiliye, geçerliliğin sadece gerçeğin korunmasından daha fazlasını gerektirdiği, yani ilginin korunması gerektiği görüşünü atfetmek, Priest'in itirazının bir çeşidine yem olur. (Bu soruyu (Read 1988 u ) ve (Read 2004)' te sordum .) Yine, a'dan / > ''ye kadar olan argümanın gerçeği koruduğunu ve a'nın doğru olduğunu varsayalım. / >' ifadesinin doğru olduğu sonucuna varmalı mıyız ? (V)'ye göre, a'nın doğru olduğu herhangi bir durum fi'nin de doğru olduğu durumdur ve hipotez gereği a doğrudur. Yani fi'nin doğru olduğu açık görünüyor . Ancak diyalektik olmayan ilgililere göre burada yanlış yola sürüklenebiliriz. Nasıl? Bize "ilgili kurallara" uymamak söylendi. Peki bu kuralları ihlal etmenin yaptırımı nedir? Fi doğru değil . Çünkü fi, a'nın doğru ve a'nın doğru olduğu her durumda doğrudur . Peki ya imkansız durumlar? Bunlarda a doğru olabilir ve fi olmayabilir. Ancak bu durumlar imkansızdır. Yani fi'nin doğru olmadığı tek durum imkansızdır. Yani fi doğrudur. Ancak görünen o ki, Beall ve Restall'ın diyaletik olmayan ilgili uzmanına göre fi'nin doğru olduğu sonucunu çıkarmamalıyız . Bu çok saçma.

4 Klasik Anlambilim

Beall ve Restall bu saçma konumu nasıl savundular ? Cevap, Meyer'in Yahudi olmayanlara yönelik vaazını yanlış anlamış olmalarıdır (Meyer 1985). Anlambilim değişken bir şekilde klasik bir üst dilde gerçekleştirilir. Yıllarca -on yıllar boyunca- modal mantığın anlambilimi yoktu ve bu nedenle kendini aşağılık hissetti. Kripke sonunda kipsel olmayan, genişlemeli bir üstdilde geliştirilen bir anlambilim sağladı. Sezgisel mantığın hiçbir anlambilimi, en azından biçimsel bir anlambilimi yoktu ve

bazıları bu nedenle onu reddetti. Semantik olmadan, sezgisel yöntemlerin neyin haklı olduğu anlaşılamazdı. Beth ve Kripke, klasik bir metateori çerçevesinde çerçevelenmiş bir anlambilim sağladılar. İlgi mantığı ilk on yılı boyunca anlambilimden yoksundu ve aynı eleştirilere maruz kaldı. Meyer, Routley ve diğerleri , eleştirmenlerinin klasik metateorisindeki anlambilimi sağladılar . Meyer'in ifadesiyle, "Yahudi olmayanlara kendi dillerinde vaaz vermek" için yola çıktılar (Meyer 1985, s. 1).

Tüm bu durumlarda ortak bir varsayım vardır; yani klasik mantığın doğru olduğu veya en azından anlambilim yapmak için doğru olduğu . Klasik mantıkçıların modal, yapıcı ve alaka mantıkçılarının ne yaptığını anlamalarını sağlar. Ama öyle değil. Modal, yapıcı ve ilgili akıl yürütmenin klasik bir modelini veya klasik yorumunu sağlar . Modal mantıkçılar , bu önermelerin modal özelliklerinden ziyade, diğer olası dünyalardaki (kümeler) önermelerin doğruluk değerlerinden (uzamsal özellikler) bahsettikleri şeklinde yorumlanır . Sezgisel mantıkçıların, bu önermelerin (epistemik olarak kısıtlı) doğruluğu ve yanlışlığından ziyade, bilgi durumlarındaki olası yapılardan ve önermelerin kanıtlanabilirliğinden bahsettikleri şeklinde yorumlanır. İlgililik mantıkçıları, ilginç durumlarda - yani, geçerlilik açıklamalarının klasik mantıktan farklı olduğu durumlarda - imkansız olduğu ortaya çıkan gizemli durumlarda gerçeğin korunmasıyla ilgili olarak yorumlanır. Bu tür vakaların imkansız olduğunu söylemek, böyle vakaların olmadığı anlamına gelmelidir; ancak Beall ve Restall, diyaletheik olmayan paraconsistentistleri bu tür vakaların var olduğunu, ancak bunların imkansız olduğunu iddia etmekle suçluyorlar. Ama eğer bunlar imkansızsa, bu tür durumların olması da imkansızdır. Eğer bunlar imkansızsa, o zaman ne kadar gizli olursa olsun bunların geçerli olacağı bir durum yoktur.

Bu ucuz bir nokta gibi görünebilir. Sonuçta Beall ve Restall şunu yazıyor:

“Bu durumlar... 'imkansızdır.' Var olmadıkları anlamında değil ( bu imkansız durumlar konusunda gerçekçi olabiliriz), asla gerçekleşemeyecekleri anlamında . Bunlar

asla mümkün olan herhangi bir dünyanın parçası olmayın.” (Beall ve Restall 2001, §4)

Priest (Priest 1997) aslında olanaksız dünyayla ilgili üç kavramı birbirinden ayırıyor. Birincisi, bunlar bazı A'lar için A ve ^r~ A ~ ^{l'nin
her ikisinin de doğru}olduğu (Beall ve Restall'ın adlandıracağı şekilde) "durumlar" olabilir ; ya da klasik mantığın geçerli olmadığı durumlar olabilir; ya da kişinin tercih ettiği mantığın geçerli olmadığı durumlar olabilir. Elbette ki diyalektik olmayan para-tutarcılar için birinci tür vakalar olamaz; ve hiç kimse üçüncü vakaların olabileceğini düşünmesin. Klasik olmayan herhangi bir mantıkçı, ikinci türden durumların olabileceğine, hatta asıl durumun böyle olduğuna inanmalıdır.

Peki Beall ve Restall'ın bu vakaların var olup olmadığı ve gerçekleşip gerçekleşemeyeceği arasındaki ayrımı ne olacak? Restall (Restall 1997) bize bu tür durumların olası dünyalar kümesi olarak bir modellemesini sunar. (Cresswell, (Cresswell 1973, s. 42), onları “cennetler” olarak adlandırdı.) Bu da yine çoğulcu projenin bir parçasıdır: “hem tutarlı hem de klasik mantığın meyvelerinden yararlanabiliriz” (s. 594). Ancak bu imkansız durumlara ilişkin gerçekçilik değildir ; bu imkansızlıklar kümeler halinde mevcuttur, ancak gerçek değildirler (durumlar olarak).

Varzi (Varzi 1997) bize ılımlı bir gerçekçilik sunuyor: Nasıl ki şeylerin olabileceği yollar, yani maksimum tutarlı durum durumları varsa, aynı şekilde şeylerin olamayacağı yollar da vardır, yani maksimum tutarsız durum durumları (s. 598). Çünkü ' a'nın F olmasının hiçbir yolu yoktur ', ' a'nın olamayacağı bir yol vardır , yani F' ile eşdeğerdir; a " bu şekilde olamaz !" (loc.cit.) Ama elbette a'nın F olamayacağı bir yol var; her yol, imkansızın olamayacağı bir yoldur. Mesela bu kitabın her tarafı siyah beyaz ve kırmızı olamaz, aslında her şey böyle. Aynı şekilde, eğer a F olamazsa , her yol a'nın F olamayacağı bir yoldur . Ancak bu, sihirli bir şekilde imkansız dünyalar yaratmaz. İmkansız dünyaların gerçek olduğunu göstermek bir yana, Varzi'nin argümanı onların gerçek olmadığı ve böyle şeylerin olmadığı inancını güçlendiriyor.

, Lewis'in modal gerçekçiliği içinde olanaksız dünyaların bir tür gerçekçilik yoluyla kabul edilmesini savunur.

Cantor-paradoks argümanı. Mümkün olan tüm dünyaların bir araya toplandığını , yani Lewis evrenini düşünün. Diyelim ki bir şekilde farklıydı; daha fazla dünya ya da farklı erişilebilirlik ilişkileri ya da buna benzer bir şey . Böyle bir varsayım imkânsızdır . Dolayısıyla Lewis evreninin çok daha geniş bir imkansızlıklar alemindeki bir ada olduğunu söylüyor. Böyle bir argüman, mümkün dünyaları Lewis'inki gibi harfiyen kavramanın tehlikesini gösterir. Olası dünyalardan bahsetmek bir müzakere tarzıdır ve tüm müzakere tarzları gibi, onun yayılmacı yararları, onun tarafından yanıltılma riskine karşı dengelenmelidir. Gerçekte olası dünyalar yoktur ve kesinlikle imkansız dünyalar da yoktur; onlar imkansızdır. Var olan, var olandır, gerçek dünyadır. Bu dünyanın belirli gerçek özellikleri (nasıl olduğu) ve belirli kipsel özellikleri (nasıl olabileceği, nasıl olması gerektiği ve nasıl olamayacağı) vardır.

, tutarsızlıktan, gerçek durumun nasıl olamayacağından bahsetmenin metaforik bir yoludur . Klasik mantıkçıya, ilgili geçersiz akıl yürütmeye yönelik karşı örnekleri modellemede yardımcı olabilir. Ancak diyalektik olmayan paratutarcıların bir şekilde (gerçekleştirilemez ama gerçek) olanaksız durum veya durumların olabileceğine inandığını varsayma yönünde onu yanıltmasına izin verilmemelidir .

EFQ'nun geçerli olup olmadığını sorgulamanın gerçek motivasyonudur , tıpkı modalitenin veya yapılandırmacılığın gerçek doğasına karşı duyarsız olduğu gibi . Arka planda yatan varsayım, klasik mantığın mantık yürütmenin doğru yollarından biri olduğudur. Yapılandırmacı ve konuyla ilgili kaygılara uyum sağlamak için , mantık yürütmenin diğer yollarının doğru olduğunu kabul etmek gerekir. Böylece mantıksal çoğulculuk doğar. Klasik olmayan bir teorinin klasik bir metateori ile birleştirilmesinden doğar. Eğer klasik mantık doğru ise klasik olmayan mantıkçının ne yaptığını nasıl anlayabiliriz? Klasik olmayan bu eleştirileri anladıktan sonra mantık yürütmenin en az iki yolu olmalıdır.

Copeland (Copeland 1979), Meyer ve Routley'in klasik anlambilimine, onu tamamen teknik olduğu gerekçesiyle göz ardı ederek yanıt verdi.

Metateorik sonuçların elde edilmesine yönelik matematiksel bir yöntem, ancak anlamsal önemi yoktur. Özellikle Copeland, Routley'lerin olumsuzluk hükmüne itiraz etti:

( T* ) ^r~ A ~ ^lw'de doğrudur ancak A w *' da doğru değildir .

~ ' sembolünü saf anlambilimde alaka mantığı için manipüle etmesine olanak tanır; ya da ' ~ ' ın anlamını açıklıyor , bu durumda klasik mantık ve ilgi mantığı farklı bağlaçları tartışıyor . Eğer (T*) ' ~ ' anlamını veriyorsa , anlamı klasik mantıktaki olumsuzlamadan farklıdır ve Prior'un ifade ettiği gibi, klasik mantıkçılar ve ilgili mantıkçılar "basitçe birbirlerinin yanından konuşuyorlardır" (Prior 1967, s. 13). 75). Gerçekten de, Quine'ın meşhur esprisiyle, "doktrini sorgulamaya çalıştığında , [sapkın mantıkçı] yalnızca konuyu değiştirir" (Quine 1970, s. 81). Eğer Routley semantiği uygulamalı semantikse, o zaman (T*), ' ~ ' harfinin 'değil' olmadığını gösterir; Eğer ilgililik mantıkçısı olumsuzlamayla ilgili klasik yasaları gerçekten reddediyorsa, o zaman anlamsal tekniklerin açıkladığı şey mantık olamaz, başka bir garip oyun, saf anlambilimdir.

Restall, klasik olumsuzluk cümlesinin nasıl olduğunu göstererek bu argümana meydan okuyor:

( T - ) ^r~ A ~ ^lw'de doğrudur ancak A w'de doğru değildir

w bir dünya olduğunda (yani tutarlı ve eksiksiz) (T*)'nin özel bir durumudur (Restall 1999, s. 61). Çünkü w * , w ile tutarlı maksimum noktadır ( w ç w ' eğer w'de doğru olan her şey w'de de doğrudur şeklinde sıralamaya göre ), bu sadece w tutarlıysa w'dir : “çünkü eğer xCx [ yani , x kendi kendine uyumludur, yani tutarlıdır ] o zaman eğer x i= - A ise x i= A'ya sahip olamayız ” (yerde belirtilen). Ancak bu, üst dilin tutarlı, yani bu durumda klasik olduğunu varsayar. Üst dil nesne diliyle eşleşiyorsa (burada hem x i= A hem de x i= - A olabilir ), o zaman hem x i= A hem de x A olabilir . Eğer bir diyaleteist (nesne dili hakkında) klasik (yani tutarlı) bir üstdili kabul ediyorsa, o zaman elbette çoğulcudur, hatta şizofrendir.

Diyaleteci olmayan bir ilgilici tüm bunlardan ne anlam çıkarabilir? Kesinlikle hem x i= A hem de x A'nın absürd olduğu önerisi . Diyaletheik olmayan ilgili kişi, di aleteizme karşı klasikçiyle aynı hoşnutsuzluğu paylaşır. Ama sonra, gördüğümüz gibi, hem A hem de ^r~ A ~ ^l'
nindoğru olduğu hiçbir dünya yoktur (eğer ' ~ ' 'değil' anlamına geliyorsa): bu tür dünyalar imkansızdır ve dolayısıyla böyle dünyalar yoktur. Copeland'ın gözlemlediği gibi, "dünyalar" (ve "gerçek" vb.) hakkında konuşmak sadece bir konuşma tarzıdır ve anlambilim (sözde) yalnızca saf anlambilimdir.

~ )'ı klasik olumsuzluk cümlesi olarak tanımlamak yanlıştır . Yalnızca 'değil'in yorumunun klasik olması durumunda klasiktir; ve bu yalnızca ' ~ ' ve 'değil' ifadelerinin yorumunun aynı olması durumunda doğrudur. Eğer nesne ve üst dilin birbirinden ayrılmasına izin verilirse, o zaman bölünmüş bir kişilik ve mantıksal çoğulculuk hemen köşede olacaktır. Doğru yanıt , kişinin anlambilimini inandığı mantığa göre yapmakta ısrar etmesidir . Eğer Beall ve Restall anlambilimi klasik olarak yapmakta ısrar ediyorlarsa, o zaman onlar klasik olmayan mantıkçılardır ve onlara göre klasik olmayan "mantıklar", sadece entelektüel bir eğlence olmasa da, mantığı daha özel bir faaliyete - örneğin veri tabanı yönetimine - uygulama egzersizidir ( bkz. (Restall 1999, s. 69)) veya garanti devri (bkz. (Restall 2004)). Bunun tersine, eğer kişi örneğin çift olumsuzlama elemesinin veya EFQ'nun geçersiz olduğuna inanıyorsa (sırasıyla yapılandırmacı ve ilgilinin yaptığı gibi), o zaman klasik mantığın kanonlarını, hatta veya özellikle de anlambilimsel çalışmaya uygulandığında reddetmelidir. kişinin seçtiği geçerlilik açıklaması.

, tanıdık bir şekilde "Amerikan planında mantık" olarak bilinen alaka mantığı semantiği versiyonlarının aksine , bir zamanlar "İskoç planında mantık" adını verdiğim şeyin bir bileşenidir (Read 1988 b , § 7.8). ve “Avustralya planına göre mantık”, örneğin Yahudi olmayanların kendi dili olan klasik mantıkta çalışmak için (T*)'yi olumsuzlama maddesi olarak benimser. İskoç planına göre, bağlayıcıların doğruluk koşulları, (T ~ )'deki gibi düzgün okunduğunda homofoniktir. Klasik bir metateoride bu tür cümleleri benimsediğimizde , uygunluk mantığı eksik görünecektir: (klasik olarak) 'değil' ile ilgili geçerli çıkarımlar (ilişki) tarafından doğrulanmayacaktır.

vant nesne-)teorisi. Ancak eğer kişi ilgi mantığının doğru mantık olduğuna inanıyorsa, bu ne tuhaf bir yaklaşımdır. Bir insan metateorisi için neden yabancı bir mantık kullansın ve eğer öyleyse neden sonuca güvensin ki?

İlgili bir metateoriyi ifade etmek, düşünmeyi ve derinlemesine düşünmeyi gerektirir. Özellikle, hakikatin korunması (geçerlilik) ile ilgili açıklamanın ne olduğu dikkate alınmalıdır . (V)'yi formüle ettiğimizi varsayalım:

( V ^ ) X I- A iff ( V w)(( V B g X )w i= B => w i= A)

w ' aralığını değiştirerek 'h'nin farklı açıklamalarını elde etmeyi düşünüyor ; örneğin dünyalar, yapılar veya durumlar. Ancak ' w ' aralığı evrensel olmalıdır ve kişi diyaleteist olmadığı sürece imkansız dünyalar ' w ' aralığının altına girmez çünkü böyle dünyalar yoktur. Aksine, farklı sonuç teorileri ' ^ ' nin farklı yorumlanmasından kaynaklanmaktadır . Klasik mantıkta ' ^ ' için aslında tek bir olasılık vardır, o da maddi imadır. İlgililik mantığında iki tane vardır. İlgililik mantığı, materyali ilgili çıkarımdan ayırır ya da daha iyisi, klasik mantık bunları birleştirerek hukuka aykırı bir şekilde denkliklerini garanti eder. Doğru geçerlilik açıklaması hangisidir?

Doğru olan, “İlgili Geçerlilik Hesabı” adını verdiğim hesaptır (Read 1988 h , § 6.5). Çünkü geçerliliğin temel özelliği, öncüllerin doğruluğundan sonucun doğruluğuna doğru ilerlemeyi garanti etmesidir. Ancak maddi kopukluk geçersizdir:

( V d ) X h _dA iff ( V w)(( V B g X )w i= B D w i= A)

Bir gd fi'nin ve a'nın doğru olduğunu öğrenmek, _fi'nindoğru olduğuna inanmayı garanti etmez . Bu , dört kolay hamlede EFQ'nun geçerliliğine yol açtığı iyi bilinen V ( A v B, - A i— B ) için Ayırıcı Matematiksel Logizmanın bir kullanımı olacaktır (Lewis argümanı olarak da bilinir: bkz., örn. , (1988 saatini okuyun , § 2.6)). A'nın hakikatinden fi'nin hakikatine geçmeyi garanti eden şey, a'nın ilgili olarak fi'yi ima ettiğini öğrenmektir :

(V - ) X ■ - A iff ( V w)(( V B g X )w i= B - w i= A)

Buna göre (V ^ ), hakikati korumanın doğru açıklaması ve geçerliliğin doğru açıklamasıdır. Tek bir gerçek mantık vardır, o da alaka mantığıdır ve bu, klasik anlam bilimi de dahil olmak üzere klasik mantığı reddetmekten ibarettir.

5 Sonuç

Beall ve Restall'ın mantıksal çoğulculuğu tutarsızdır. Bir çıkarımın hem bir mantık açıklamasına göre geçerli, hem de diğerine göre geçersiz olabileceğini, ancak bunun geçerlilik konusunda değil mantıksal amaç konusunda bir anlaşmazlık olduğunu iddia eder. Ancak mantığın tek bir amacı vardır: Geçerli çıkarımları geçersiz olanlardan ayırmak. Beall ve Restall'ın “eşit derecede iyi” mantıkları arasında biri hakimdir: klasik mantık. Çünkü tüm mantıklarına klasik anlambilim perspektifinden bakıyorlar. Dolayısıyla diğer mantıkları, yalnızca belirli klasik çıkarımları geçerli olarak tanıma konusunda başarısız oldukları için klasik mantıkla aynı fikirde değillerdir .

Diğer mantıklar ise bunun tersine, klasik olarak geçerli çıkarımların geçerli olduğunu iddia edebilir. O zaman Beall ve Restall'ın eklektizmi tutarsızlığa dönüşecekti. Bu olasılık olmasa bile , Beall ve Restall'ın çoğulculuğu, klasik çıkarımın klasik olmayan reddini göz ardı eder, onu yalnızca bir bütünlük olarak yorumlayarak , bu geçerlilikleri tanımayarak, o zaman gerçekten geçersiz olarak dışlar.

Tek bir doğru mantık vardır ve geçerlilik kriteri olarak (V)'yi alır. Ancak bu, öncüller doğru olduğunda sonucun da doğru olacağı gerçeğini korumanın gerçek doğasının anlaşılmasından kaynaklanır. (V) öncüllerin sonuçla ilişkisinin gerçeğin korunmasının ayrılmaz bir parçası olduğu ilgili bir üst dilde yorumlanmalı ve geliştirilmelidir : eğer sonuç gerçekten öncüllerden çıkıyorsa o zaman bu öncüller mantıksal olarak , sonuçla alakalı.

KAYNAKÇA

Ackermann, W. (1956), 'Begründung einer strengen Implikation', Journal of Sembolik Mantık 21 , 113-128.

Alspector-Kelly, M. (görünecek), 'Deneyci yapıcı bir deneyci olmalı mı?', Bilim Felsefesi.

Anderson, CA (1989), Russell on order in time, CW Savage & CA Anderson , eds, 'Russell'ı Yeniden Okumak: Bertrand Rus sell'in Metafizik ve Epistemolojisi Üzerine Kritik Denemeler ', Minnesota Üniversitesi Yayınları, Minneapolis, s. 249-263.

Aristoteles (nd), Analytica Priora.

Asser, G. & Schroter, K. (1958), 'Adım hesabının k-sayısı genel ifadelerinin aksiyomatizasyonu', Mathematical News 19 , 73-86. Theodore Hailperin tarafından gözden geçirilmiştir, Journal of Sembolik Mantık 25 (1960), s. 176.

Batens, D. (2000), Tutarsızlığa uyarlanabilir mantıklar araştırması, D. Batens, C. Mortensen, G. Priest & J.-PV Bendegem, eds, 'Frontiers of Para tutarlılığı', Research Studies Press, King's College'da Yayınlar, Baldock, s. 49-73.

Beall, JC & Restall, G. (2000), 'Logical pluralism', Australasian Journal of Philosophy 78 ,475-493.

Beall, JC & Restall, G. (2001), Mantıksal çoğulculuğu savunmak, B. Brown & J. Woods, editörler, 'Logical Consequences', Hermes Science Publishers .

Beall, JC & van Fraassen, BC (2003), Olasılıklar ve Paradoks: Modal ve Çok Değerli Mantığa Giriş, Oxford University Press, Oxford.

Beall, JC (yayınlanmamış), Basitçe anlamsal tutarsızlık, ortaya çıkmak.

Bell, J., DeVidi, D. & Solomon, G. (2001), Logical Options, Broadview Press.

Bell, JL (1986), 'Mutlaktan yerel matematiğe', Synthese 69 , 409 426.

210

Bell, JL (1993 a ), 'Hilbert'in operatörü ve klasik mantığı', Journal of Philo sophical Logic 22 , 1-18.

Bell, JL (1993b ) , ' Sezgisel tip teorilerinde Hilbert'in s -operatörü', Mathematical Logic Quarterly 39 , 323-337.

Bell, JL (görünecek), Kategorik mantığın gelişimi, D. Gabbay ve F. Guenther, editörler, 'Handbook of Philosophical Logic', Kluwer .

Benacerraf, P. (1985), 'Skolem ve şüpheci', Proceedings of the Aris totelian Society Supplementary Cilt. 59 , 85-115.

Boolos, G. ve Jeffrey, R. (1989), Hesaplanabilirlik ve Mantık, 3. baskı, Cambridge University Press, Cambridge.

göre avantajları, A. George, ed., 'Mathematics and Mind', Oxford University Press, Oxford, s. 27-44'te.

Bridges, D. & Reeves, S. (1999), 'Teorik ve programlama pratiğinde yapıcı matematik', Philosophia Mathematica (Seri 3) 7 , 65 104.

Bromand, J. (2002), 'Tutarsız mantık neden gerçeğin yalnızca yarısını söyleyebilir', Mind 111 , 741-749.

Brouwer, LEJ (1923), Matematikte, özellikle fonksiyon teorisinde hariç tutulan orta ilkesinin önemi üzerine, J. van Heijenoort, ed., 'From Frege to Godel', Harvard University Press, Cam Bridge , Mass ., s. 334-345. 1923 orijinalinin eklemelerle birlikte 1967 yeniden basımı.

Carnap, R. (1937), Dilin Mantıksal Sözdizimi.

Carnap, R. (1946), 'Modaliteler ve niceliklendirme', Journal of Sembolik Mantık 11 , 33-64.

Carnap, R. (1963), Replies, P. Schilpp, ed., 'The Philosophy of Rudolf Carnap', Open Court, LaSalle, IL, s. 859-1016.

Cartwright, R. (1987), Russell'ın tanımlama teorisinin kökeni üzerine, ' Philosophical Papers', MIT Press, Cambridge, Mass., s. 95-134.

Chambers, T. (2000), 'Putnam'ın paradoksuna hızlı bir yanıt', Mind 109 , 195 197.

Copeland, B. (1979), 'Bir anlambilim bir anlambilim olmadığında: alaka mantığı açısından Routley-Meyer anlambiliminden hoşlanmamak için bazı nedenler', Journal of Philosophical Logic 8 , 399-413.

Copeland, B. (1996), Mantık ve Gerçeklik: Arthur Prior'un Mirası Üzerine Denemeler , Clarendon Press, Oxford.

Copeland, B. (2002), 'Olası dünyalar semantiğinin doğuşu', Journal of Philosophical Logic 31 , 99-137.

Corcoran, J. (1980), 'Kategoriklik', History and Philosophy of Logic 1 , 187 207.

Corcoran, J. (1981), 'Kategoriklikten tamlığa', History and Philosophy of Logic 3 , 113-119.

Cresswell, M. (1973), Mantık ve Diller, Methuen.

Demopoulos, W. & Friedman, M. (1985), 'Russell'in madde analizi: Tarihsel bağlamı ve çağdaş ilgisi', Bilim Felsefesi 52 , 621-639.

Demopoulos, W. (1999), 'Anlam Kuramı Üzerine' Gösterime Dair”, Noûs 33 , 439-358.

dünyanın mutlak tanımı , içinde N. Griffin, ed., 'The Cambridge Companion to Russell', Cambridge University Press, Cambridge.

DeVidi, D. & Solomon, G. (2001), 'Bilinebilirlik ve sezgisel mantık', Philosophia: Philosophical Quarterly of Israel 28 , 319-334.

DeVidi, D. (2004), 'Seçim ilkeleri ve yapıcı mantıklar', Philosophia Mathematica 12 , 222-243.

DeVidi, D. (görünecek), Belirsizlik ve sezgisel modal mantık: Belirsizliği ele almanın Wright yolu, K. Peacock ve A. Irvine, eds, 'Aklın Hataları: John Woods'un Onuruna Yazılar'.

DiSalle, R. (2002), 'Konvansiyon ve modern fizik: Yeniden değerlendirme', Noûs 36,169-200 .

Dummett, M. (1977), Sezgiselliğin Unsurları, Clarendon/Oxford.

Dummett, M. (1978), Hakikat ve Diğer Gizemler, Duckworth, Londra.

Dummett, M. (1991), Metafiziğin Mantıksal Temelleri , Harvard University Press.

Dummett, M. (1993), Realizm ve anti-realizm, 'The Seas of Language', Clarendon/Oxford, s. 462-478 .

Eddington, AS (1924), Matematiksel Görelilik Teorisi , Cambridge University Press, Cambridge.

English, J. (1973), 'Yetersiz Belirleme: Craig ve Ramsey', Journal of Philosophy 70 , 453-461.

Field, H. (2003), Yalancı hem doğru hem de yanlış mı?, JC Beall & B. Armor Garb, eds , 'Deflationism and Paradox', Oxford University Press, Ox ford. Yakında.

Friedman, M. (1999), Mantıksal Pozitivizmi Yeniden Düşünmek, Cambridge University Press.

Frisch, M. (1999), 'Van Fraassen'in Putnam'ın model-teorik argümanını çözmesi', Philosophy of Science 60 , 158-164.

Gaifman, H. (1982), Yerel ve yerel olmayan mülkler, J. Stern, ed., ' Herbrand Sempozyumu Bildirileri: Logic Colloquium '81', Kuzey Hollanda, Amsterdam .

Gentzen, G. (1936), 'Die Wiederspruchsfreiheit der Stufenlogic', Mathtematische Zeitschrift 41 , 214-222.

Gödel, K. (1930), Mantığın fonksiyonel hesabının aksiyomlarının tamlığı üzerine, S. Feferman, JW Dawson, SC Kleene, GH Moore, RM Solovay & J. van Heijenoort, eds, 'Kurt Gödel: Toplama'da Works', Cilt. 1, Oxford University Press, New York. Almanca orijinalinin 1986 yılında İngilizce çevirisiyle birlikte yeniden basımı.

Gödel, K. (1931), ' Principia Math ematica ve ilgili sistemlerin resmi olarak karar verilemez önermeleri üzerine, pt. I', Monatshefte für Mathematik und Physik 38 , 173-198. Almanca orijinali İngilizceye dönük olarak S. Feferman ve diğerleri, eds, Kurt Gödel: Collected Works, cilt.

I , New York: Oxford University Press, 1986.

Sezgisel cümlesel mantığın bir yorumu,

J. _ Hintikka, ed., 'Matematik felsefesi', Oxford University Press, Londra, s. 128-129. 1969 yeniden basımı, orijinal olarak 1933'te yayınlandı.

Grayson, R. J. (1979), Sezgisel teoriyi oluşturmak için Heyting değerli modeller , MP Fourman, CJ Mulvey & D. Scott, eds, 'Applications of Sheaves', Cilt. 753, Springer Matematik Ders Notları, Springer-Verlag, s. 402-414.

Haack, S. (1974), Deviant Logic , Cambridge University Press, Cambridge.

Hailperin, T. (1957), 'Sınırlı niceliklendirme teorisi', Journal of Sembolik Mantık 22 , 19-35, 113-129. Ayrıca 25 (1960) 54-56.

Harrington, L. ve diğerleri, eds (1985), Harvey Friedman's Research in the Foundations of Mathematics , Kuzey Hollanda, Amsterdam.

Hart, WP (1970), 'Skolem'in vaatleri ve paradoksları', Journal of Philos ophy 67 , 98-109.

Hilbert, D. & Ackermann, W. (1928), Grundzüge der Theoretischen Logik [Matematiksel Mantığın İlkeleri], Julius Springer, Berlin.

Hintikka, J. (1964), Bilgi ve İnanç , Cornell University Press, Ithaca, NY

Howard, WA (1980), Yapının tür olarak formül kavramı, JP Seldin & JR Hindley, eds, 'HB Curry'ye: Kombinatuar Mantık, Lambda Analizi ve Biçimcilik Üzerine Denemeler', Academic Press, New York, s . 480-90.

Jônnson, B. & Tarski, A. (1951), 'Operatörlü Boole cebirleri, bölüm I', American Journal of Mathematics 73 , 891-939.

Jônnson, B. & Tarski, A. (1952), 'Operatörlü Boole cebirleri, bölüm II', American Journal of Mathematics 74 , 127-162.

Kanger, S. (1957a ) , 'Sabah yıldızı paradoksu', Theoria 23 , 1-11.

Kanger, S. (1957 b ), 'Kantitifikasyon ve modaliteler üzerine bir not', Theoria 23 , 133-34.

Kaplan, D. (1966), 'Kripke'nin İncelemesi “Kipsel Mantığın Semantik Analizi I: Normal Modal Önermeler Hesabı”', Journal of Sembolik Mantık 31 , 120-122.

Keenan, E. (2002), Mantıksal nesneler, CA Anderson & M. Zeleny, eds, 'Mantık, Anlam ve Hesaplama: Alonzo Kilisesi Anısına Denemeler', Kluwer, Dordrecht ve Boston, s. 149-180 .

Kripke, S. (1959 a ), 'Kipsel mantıkta bir tamlık teoremi', Journal of Sembolik Mantık 24 , 1-14.

Kripke, S. (1959 b ), 'Kipsel mantığın anlamsal analizi (soyut)', Journal of Sembolik Mantık 24 , 323-324.

Kripke, S. (1963), 'Kipsel mantığın semantik analizi I: Normal modal önermeli hesaplama', Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematic 9 , 67-96.

Ladyman, J. (2000), 'Yapıcı ampirizmin gerçekten yanlış olan nesi var? Van Fraassen ve modalitenin metafiziği', British Journal for the Philosophy of Science 51 , 837-856.

Lambek, J. & Scott, PJ (1986), Yüksek Dereceden Kategorik Mantığa Giriş , Cambridge Studies in Advanced Mathematics 7, Cambridge University Press, Cambridge.

Lawvere, FW & Rosebrugh, R. (2003), Sets for Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge.

Lawvere, W. (1976), Değişken nicelikler ve değişken yapılar in topoi, ' Cebir, Topoloji ve Kategori Teorisi: Samuel Eilenberg Onuruna Yazılar Koleksiyonu', Academic Press.

Lewis, D. (1970), 'Teorik terimler nasıl tanımlanır', Journal of Philosophy 67 , 427-445.

Lewis, D. (1990), Sınıfların Bölümleri, Blackwell, Oxford.

Lewis, D. (1993), 'Matematik megetolojidir', Philosophia Mathematica 1 , 3-23. Felsefi Mantıktaki Makalelerinde yeniden basılmıştır , Cambridge University Press, 1998.

Maietti, M. & Valenti, S. (1999), 'Martin-Lof'un sezgisel küme teorisine kuvvet kümeleri ekleyebilir misiniz?', Mathematical Logic Quarterly 45 , 521-532.

Martin-Lof, P. (1984), Sezgisel Tip Teorisi , Bibliopolis, Napoli.

Martin, RL, ed. (1984), Hakikat ve Yalancı Paradoksu Üzerine Son Denemeler, Oxford University Press, New York.

McGee, V. (1991), Gerçek, Belirsizlik ve Paradoks, Hackett, Indianapolis.

McGee, V. (1997), 'Matematiksel dili nasıl öğreniriz', Philosophical Review 106 , 35-68.

McKinsey, J. & Tarski, A. (1948), 'Lewis ve Heyting'in cümlesel hesapları hakkında bazı teoremler', Journal of Sembolik Mantık 13 , 1-15.

Meredith, CA & Prior, AN (1956), 'Özellik hesabında farklı modal mantıkların yorumlanması', Mimeograph, Canter Üniversitesi Gömme Felsefe Bölümü. (Copeland 1996)'da yeniden basılmıştır.

Meyer, R. K. & Slaney, JK ((1984 civarı)), Abel mantığı (a'dan z'ye), Teknik Rapor 7, ANURSSS Mantık Grubu Araştırma Makalesi.

Meyer, R. (1985), R için semantik bütünlüğün “ilgili” şekilde kanıtlanması, Teknik Rapor 23, ANURSSS Mantık Grubu Araştırma Makalesi.

Montague, R. (1960), 'Mantıksal gereklilik, fiziksel gereklilik, etik ve niceleyiciler', Inquiry 3 , 259-69. (Montague 1974)'te yeniden basılmıştır.

Montague, R. (1974), Biçimsel Felsefe: Richard Montague'nin Seçilmiş Makaleleri , Yale University Press, New Haven.

Myhill, J. (1950), 'Doğal, rasyonel ve gerçek sayılara ilişkin eksiksiz bir teori', Journal of Sembolik Mantık 15 , 185-196.

Newman, M. (1928), 'Bay Russell'ın nedensel algı teorisi', Mind 37 , 137-148.

Parsons, C. (1990), 'Matematiksel nesnelerin yapısalcı görünümü', Syn bu 84 , 303-346.

Priest, G. & Routley, R. (1989), Systems of paraconsistent Logic, G. Priest, R. Routley & J. Norman, eds, 'Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent', Philosophia Verlag, s. 151- 186.

Priest, G. (1987), Çelişkide: Tutarsızlığa Dair Bir Çalışma, Martinus Nijhoff, Lahey.

Priest, G. (1991), 'Minimal tutarsız LP', 50 , 321-331.

Priest, G. (1997), 'Editörün tanıtımı', Notre Dame Journal of Formal Logic 38 (4), 481-487. İmkansız Dünyalar Özel Sayısı.

Priest, G. (2001), Mantık: bir mi yoksa birden fazla mı?, B. Brown & J. Woods, eds, 'Logical Consequences', Hermes Science Publishers . 1999 daktilo metni (Beall & Restall 2001)'de alıntılanmıştır.

Önceki, AN (1967), Geçmiş, Bugün ve Gelecek, Clarendon Press, Oxford.

Psillos, S. (1999), Bilimsel Gerçekçilik: Bilim Gerçeği Nasıl İzler, Routledge, Londra.

Psillos, S. (2000), 'Rudolf Carnap'ın 'Bilimde Teorik Kavramlar', Bilim Tarihi ve Felsefesi Çalışmaları 31 , 151-172.

Putnam, H. (1977), 'Gerçekçilik ve akıl', Amerikan Felsefe Derneği Bildirileri 50 , 483-498.

Putnam, H. (1981), Reason, Truth and History , Cambridge University Press, Cambridge.

Putnam, H. (1983), 'Belirsizlik ve sezgisel mantık', Erkenntnis 19 , 297-314.

Quine, WV (1970), Mantık Felsefesi, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ

Quine, W. (1953), Mantık ve evrensellerin şeyleşmesi, 'Mantıksal Bir Bakış Açısından', Harvard University Press, Cambridge, Mass .

Quine, W. (1963), Küme Teorisi ve Mantığı, Harvard University Press, Cam köprüsü, Mass.

Ramsey, FP (1960), Theories, içinde R. B. Braithwaite, ed., 'The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays', Littlefield ve Adams, Paterson , NJ, s. 212-236. İlk olarak 1929'da yayınlandı.

Read, S. & Wright, C. (1985), 'Putman'ın düşündüğünden daha zorlu', Analiz 45 , 56-58.

Read, S. (1988 a ), 'İlgili sonuç kavramıyla alaka kavramının ilgisizliği ', Bilgi, Mantık, Bilgi Konferansı , Darmstadt, Şubat 1998. ' Doğruluk Koruması Olarak Mantıksal Sonuç' olarak yayınlandı. ', Logique ve Analyse, 2004.

Read, S. (1988 b ), Relevant Logic, Blackwell, Oxford.

Read, S. (2004), In Defence of the Dog: Reply to Restall, S. Rahman & J. Symons, eds, 'Logic, Epistemology and the Unity of Science', Kluwer.

Restall, G. (1997), 'İşlerin olamayacağı yollar', Notre Dame Journal of Formal Logic 39 , 583-596.

Restall, G. (1999), İlgili mantıklarda olumsuzlama (Endişelenmeyi nasıl bıraktım ve Routley yıldızını sevmeyi öğrendim), D. Gabbay & H. Wansing, eds, 'Negatif Nedir?', Kluwer, s. 53- 76.

Restall, G. (2000), Altyapısal Mantığa Giriş, Routledge.

Restall, G. (2002), 'Carnap'ın hoşgörüsü, anlamı ve mantıksal çoğulculuğu', Journal of Philosophy 99 , 426-443.

Restall, G. (2004), Mantıksal çoğulculuk ve garantinin korunması, S. Rahman ve J. Symons, eds , 'Logic, Epistemology and the Unity of Science', Kluwer.

X kategorili (yani Kilise tipi teorik) bir dildeki her mantık, iki değerli bir dünya semantiğine sahiptir; dolayısıyla İngilizce, TypeScript için mantık ve semantik sağlar.

Russell, B. (1908), 'Türler teorisine dayanan matematiksel mantık', American Journal of Mathematics 30 , 222-262. Russell, Logic and Knowledge (ed. Marsh) (Londra: Unwin, 1956) ve (van Heijenoort 1967)'de yeniden basılmıştır.

Russell, B. (1912), Felsefenin Sorunları, Hackett, Indianapolis. 1912 Home Üniversitesi Kütüphanesi baskısının yeniden basımı.

Russell, B. (1919), Matematik Felsefesine Giriş , George Allen ve Unwin, Londra.

Russell, B. (1924), Logical atomism, R. Marsh, ed., 'Logic and Knowledge: Essays 1901-1950', Routledge, Londra.

Russell, B. (1927), Maddenin Analizi, Dover, New York. 1954'ün yeniden basımı.

Sainsbury, RM (1995), Paradoxes, ikinci baskı, Cambridge University Press, Cambridge.

Scanlan, M. (1991), 'Amerikan Varsayım Kuramcıları Kimdi?', Journal of Sembolik Mantık 56 , 981-1002.

Scroggs, S. (1951), 'Lewis sisteminin S5 uzantıları', Journal of Sembolik Mantık 16 , 112-120.

Shapiro, S. (1985), Epistemic and intuitionistic aritmetic, S. Shapiro, ed., 'Intensional Mathematics', North Holland, Amsterdam, s. 11 46'da .

Shapiro, S. (2004), Basit gerçek, çelişki ve tutarlılık, 'Çelişmezlik Yasası: Yeni Felsefi Denemeler', Oxford University Press , s. 336-354.

Simmons, K. (1993), Evrensellik ve Yalancı, Cambridge University Press.

Smiley, T. (1959), 'Zorunluluk ve çıkarımlar', Aris totelian Society Tutanakları 59 , 233-254.

Stein, H. (1967), 'Newton uzay-zamanı', The Texas Quarterly 10 , 174 200.

Tait, W. (1994), Dışlanan ortanın yasası ve seçim aksiyomu, A. George, ed., 'Mathematics and Mind', Oxford University Press, Oxford, s. 45-70 .

Tarski, A., Mostowski, A. & Robinson, RM (1953), Karar Verilemez Teoriler, Kuzey Hollanda, Amsterdam.

Tarski, A. (1959), Temel geometri nedir?, L. Henkin ve diğerleri , eds, 'Axiomatic Method', Kuzey Hollanda, Amsterdam. J. Hintikka, ed., Philosophy of Mathematics, Londra: Oxford University Press, 1969'da yeniden basılmıştır .

Tennant, N. (1987), Antirealizm ve Mantık, Clarendon Press, Oxford.

Tennant, N. (2000), 'İfade edici güce karşı tümdengelim: Gödel öncesi bir çıkmaz', Journal of Philosophy 97 , 257-277.

Thompson, S. (1991), Tip Teorisi ve Fonksiyonel Programlama , Addison-Wesley, Wokingham, İngiltere.

van Fraassen, B. (1980), The Scientific Image, Oxford University Press, Oxford.

van Fraassen, B. (1989), Kanunlar ve Simetri , Oxford University Press, Oxford.

van Heijenoort, J., ed. (1967), Frege'den Gödel'e: Matematiksel Mantıkta Kaynak Kitap , 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, Mass.

Varzi, A. (1997), 'Çelişkisiz Tutarsızlık', Notre Dame Journal of Formal Logic 38 , 621-639.

Vaught, R. (1986), Introduction to 1934c and 1935, S. Feferman, JW Dawson, SC Kleene, GH Moore, RM Solovay & J. van Heijenoort, eds, 'Kurt Gôdel: Collected Works', Cilt . 1, Oxford University Press, New York, s. 376-379.

Wajsberg, M. (1933), 'Ein erweiterter Klassenkalkül [sınıfların genişletilmiş hesabı]', Monatshefte für Mathematik und Physik 40 , 113-126.

Weyl, H. (1922), Uzay-Zaman-Madde, Dover, New York. 1922'nin yeniden basımı, Henry L. Brose çevirisi.

Whitehead, AN & Russell, B. (1912), Principia Mathemtatica, Cilt. 2, Cambridge University Press, Cambridge.

Williamson, T. (1994), 'Asla asla deme', Topoi 13 , 135-45.

Williamson, T. (1996), 'Putnam on the sorites paradox', Philosophical Papers 25 , 47-56.

Williamson, T. (1997), Vagueness and cehalet, R. Keefe & P. Smith, eds, 'Vagueness: A Reader', MIT Press, Cambridge, Mass., s. 265 280 .

Williamson, T. (2000), Knowledge and its Limits, Oxford University Press, Oxford.

Winnie, J. (1967), 'Teorik terimlerin örtülü tanımı', British Journal for the Philosophy of Science 18 , 223-229.

Winnie, J. (1970), Theoretical analitikity, R. Cohen & M. Wartofsky, eds, 'Boston Studies in the Philosophy of Science', Cilt . 8, Reidel, Dordrecht ve Boston, s. 289-305.

Wright, C. (1987), 'Sorites paradoksu üzerine başka düşünceler', Philosoph ical Topics 15 , 227-290.

Wright, C. (1992 a ), 'Is yüksek dereceli belirsizlik tutarlıdır', Analiz 52 , 129 39.

Wright, C. (1992 b), Hakikat ve Nesnellik, Harvard University Press, Cam köprüsü, Mass.

Yagisawa, T. (1988), 'İmkansız dünyaların ötesinde', Felsefi Çalışmalar 53 , 175-204.

Zermelo, E. (1909), 'Sur les ensemble finis et le principe de l'induction complète', Acta Mathematica 32 , 185-193.

DİZİN

219

gerçeğin temel özelliğini kaybeder, 108 Russell'la ilişkisi, 124

Cartright, R., 94 vaka, bkz. dünya, imkansız kategoriklik, 13, 14, 130-132, 144 ^ -kategoriklik, 133 ve temel sayı teorisi, 137

ve birinci dereceden aksiyomlar, 133

ve daha yüksek dereceli mantık, 148

ve sıralamalar, 149 kategori teorisi, 47 Cauchy dizisi, 64, 74 Chambers, T., 109 mantığın temel amacı (Beall ve Restall), 195

seçim işlevi, 71

seçim ilkeleri, 4-6, 37-38,42,48, 73, 75

metafizik ilkelerin kodlanması , 6

mantıksal ilkelere eşdeğerlik, 6, 38 seçim, aksiyom, 36, 37, 42, 48, 53, 56, 63, 66, 74, 119

ve Tür Olarak Önermeler, 9 Tür Olarak Önermeler, 57 Zermelo's (ZAC), 67-69

Clark, Peter, 127 sınıf, endüktif ve endüktif olmayan, 119

Cohen, Paul, viii, 67 Colyvan, Mark, 192 kompaktlık teoremi, 14, 96, 137, 138, 140, 146, 149

epistemolojik durum olarak, 139, 141

tamlık, tümdengelimli, 13, 14, 134, 142

anlama ilkesi, 74, 144 koşullu

ampirik, 160

inAP, 191 sonuç, 195

“alakalı”, 194 klasik, 172, 194 yapıcı, 194 resmi ve maddi, 199 P , 175 AP, 182

alaka mantığı, 194 tutarlı teori, 104

sabitler

mantıksal olmayan, 79, 89, 113, 129 yapıcı deneycilik, 105, 109 yapıcı ilkeler, kabul etmenin iki anlamı, 68

yapılandırmacılık, 15, 48, 152, 167

yanıltıcı iddialar, 73 bağlamsal tanım, 87 çelişki, 156

doğru, 177

çelişkiler ve salt karşıtlıklar, 179

Copeland, B. Jack, 1, 9, 77, 78, 205, 207

dakiklik (Russell), 117

Corcoran, J., 130

kotipiklik, 148, 149

Craig enterpolasyon teoremi, 96, 97 Cresswell, M., 204

Curry-Howard İzomorfizmi, 54

Da Costa, Newton, 177

Darwin, Charles, 77

De Morgan yasaları, 161, 176, 186

De Morgan ilkeleri, 6

karar verilebilir formül, 65, 69, 72, 74

Dedekind, R., 128, 130

Demopoulos, William, 1,11, 46, 77, 84, 87, 89

açıklamalar, Russell'ın teorisi, 86, 87

DeVidi, David, 1, 7, 14, 15, 19, 45, 69, 127, 151, 152, 192 felsefi sloganlar, viii

Diaconescu teoremi, 5, 39, 54, 72, 75

kanıt taslağı, 70 diyaleteizm, 17-19

acı bir hap, 21, 184

çift görünüşlü, 170, 183, 185 190

ifade sınırlamaları, 185 188

çift yönlü olumsuzlamayla giderildi, 186-190

ortodoks, 169, 188, 190

DiSalle, Robert, 123, 127 ayrık kıyas, 208 alan, amaçlanan (teorik), 111 çift olumsuzluk elemesi, 159 çift olumsuzluk elemesi

ve orta hariç, 67 Dummett'in şeması, 6, 162

Dummett, Michael, 6-8, 55, 76, 151, 152

Metafiziğin Mantıksal Temelleri , iddianın teorik anlamı üzerine 5, 8,47, 51

ampirik olumsuzlama üzerine, 15.153 154

gerçekçilik ve gerçekçilik karşıtlığı üzerine, viii, 4, 15, 151

doğruluk koşullu anlam teorileri üzerine, 47

doğruluk-koşullu anlam teorileri üzerine, 7

Eddington, A., 118

Eigenschaften, kesin, 131

Eloise, 164

ampirik yeterlilik, 104, 109, 110 gerçekliğe karşı, 110

ampirik koşullu, 161

ampirik olumsuzlama, 15, 16

muhafaza serisi (Whitehead), 118 English, J., 96, 97, 106

varlıklar

somut ve soyut, 106

gözlemlenebilir ve gözlemlenemez, 108

epistemik mantık, 2

epistemoloji, 2, 34

matematik, 30

s (Hilbert'in mantıksal seçim operatörü),

6, 39, 42, 43

görecelileştirilmiş, 44

Erewhon (Samuel Butler), 77

Öklid, 134

ex falso quodlibet (EFQ), bkz . patlama ilkesi

orta hariç, kanun, 36, 37, 53, 66, 68-69

“sonsuz koleksiyonlar için”, 142 ret, 196

varyantlar, 162

zayıflamış, 161

patlama (prensip), 18

patlama ilkesi, 18, 179, 200

geçersizliği, 207

ifade gücü, 146 genişleme, 38

Ackermann ilkesi, 43 aksiyomu, 71, 144, 145 dışsallık

epistemik, 2, 3, 22, 28-34 anlamsal, 7

gerçekçilik, 154

bilgi, 2

olgusal içerik (teoriye ilişkin), 95, 106

yanılabilirlik (ve içsellik), 31-32

sahtelik, 170, 190

gerçeğe ve olumsuzluğa indirgeme, 171

± (yanlış), 57, 154, 156

Saha, Harry, 169, 185, 187, 192

sonlu kesişim özelliği, 118

biçimsel yöntemler, felsefeye uygulama , viii, ix

temelcilik, 85

Frege, Gottlob, 117, 128, 140

Grundlagen der Aritmetik , 89

Friedman, Michael, 20, 89, 127

Carnap'ın eleştirisi, 20

Frisch, M., 114

temel prensip (Russell), 86, 88, 99

Gödel, Kurt

eksiklik teoremleri, 33

Gaifman, H., 149

geometri, Öklid, 130

Tarski'nin aksiyomatizasyonu, 135

Gettier vakaları, 22, 25, 29, 30

Gifford Öğretim Görevlisi, a, 199

Glanzberg, Michael, 192

Gödel

Gödel, Kurt

eksiklik teoremleri, 30

Gödel, Kurt, viii

tamlık teoremi (1930), 135, 137, 141

eksiklik teoremleri, 13, 135, 136, 141, 149

standart dışı modellerde, 141

gerçekçiliği, 141

Grayson, R., 36

Hailperin, T., 148

Harrington, L., 133

Hart, W., 133

Hazen, AP, 1, 13-14, 128

Henkin modeli, 112

Henkin, Leon, 112

Heyting, Arend, 47, 151

HDDL (Yüksek dağıtım yasası), 36

Hilbert, D., 81, 128, 130

temel program, 141

Hintikka, Jaako, 2

Hobbes, Thomas, ix

homofonik doğruluk koşulları, 208

Hume, David, ix

Humphreys, Paul, 127

Huntington, EV, 130

ideal gazlar, teorisi, 106

idealizm

noumena hakkında, 91

Berkeley's, 88

idealleştirilmiş ajanlar, 165

imkansız dünya, bak dünyaya, imkansız

tamamlanmamış sembol, 87

eksiklik teoremleri, 13, 30, 33, 135, 136, 141, 149

tutarsızlık ölçüsü, 181

sonsuzluk

aksiyomu, 119

aksiyomu, 119, 144

boyutları, 132

amaçlanan alan (teori), 107

amaçlanan yorum, bkz. amaçlanan model

amaçlanan model, 112, 114, 142, 149

bir teorinin, 105

aritmetik, 116

iki anlamda, 112-113

içselcilik

epistemik, 3, 25-28

tercüme

amaçlanan, amaçlanan yoruma bakın

Russell'ın fikri

merkezi zorluk, 121

uzay zamanla ilgili üç kavram , 122-123

kasıtsız, 108

gerçeğin karşılıklı ikamesi, 173,177, 185, 192

sezgi

Kantian, 90, 92

uzay-zamansal, 89

sezgisel mantık, 5, 151, 154, 167 ve klasik mantık, 14

ve klasik mantığın reddi, 196

metafiziksel olarak tarafsız, 5,151

ifade sınırlamaları, 152, 166 çareler, 159, 163

daha yüksek derece, 152

Paradokslara çözümler, 16 sezgisel mantıkçının hepsi değil

sezgiciler, 151-155

sezgiciler

hepsi dahili değil mantıkçılar, 166 izomorfizm, 130

1ST (sezgisel ZF küme teorisi), 36

Jonnson, B, 82

Jeffrey, R., 140

Kaliş, D., 83

Kanger, S., 78

Kant, Immanuel, 90

Kaplan, D., 82, 83

Keenan, E., 108

Kenyon, Tim, 1, 127, 192

KK-tezi, 2-4, 22-25, 30, 34, 35 bilinebilirlik, 23

bilgi

mantığı, 199

koşulları, 154, 164

29, 35'in formülü

gerekçelendirilmiş doğru inanç, 22, 27 yapısal olmayan

Russel, 120

maddi dünyanın, 88

matematik, 33

madde, 89

Bilenin aşina olmadığı şeylerin sorunu, 12

ön varsayımlar, 33 güvenilirlik, 50

bilgi-ne, 93

Kremer, S., 192

Kripke anlambilimi, bkz. Bilgi anlambiliminin durumları

Kripke, Saul, 78, 82, 202

modal tamlık kanıtları, 10

katı işaretleyiciler, 10

Lowenheim-Skolem teoremi, 14,108

Hanımefendi, J., 110, 127

dil

daha yüksek sıra, 14

çok sıralı birinci dereceden, 14

kısmen yorumlanmış, 104, 107

Lavers, Gregory, 127

Lawvere, F.William, 152

Lebesgue, Henri, 63, 66-68

Leibniz, Gottfried Wilhelm von, ix

Lewis argümanı (ds patlamayı ima eder), 208

Lewis, David, 82, 104, 131 sınırlayıcı teoremler, 132 doğrusallık, bkz . Dummett'in şeması

yerel küme teorisi, 48, 54, 56, 72 mantık

epistemik, 2

Abelyen, 197

felsefeye uygulama, 92 felsefenin merkezi, 21 klasik, 173

klasik rakiplere hükmediyor, 196 klasik vs. sezgisel, 152 klasik vs. sezgisel, 154, 159

epistemik, 2, 24 birinci dereceden

çok sıralı ve tek sıralı, 148

tek sıralı yükselişi, 144 basit tip teorisi olarak, 143 vs yüksek dereceli, 147

daha yüksek düzeyde, 147 artan ifade gücü, 199

monotonik olmayan (görünüş P ), 181-183

çelişkili, 18 diyaletik, 200 çifte olumsuzlama ve dışlama, 175

LP ve çelişkisizlik, 177

LP ve AP, 189 diyaletik olmayan, 200, 204, 205

P , 174-176 alaka, 18, 207 çeşit, 170, 200 alt yapısal, 159 mantıksal biçim, 129 mantıksal çoğulculuk, bkz. çoğulculuk, mantıksal

mantıksal pozitivizm, Graham Solomon'un zevki, viii

mantıksal kelime dağarcığı, 131 mantık, 25, 90, 119 mantık

ayrıca bkz . Sezgisel Mantık; Modal Mantık; Olumsuzluk, 1

Lowenheim-Skolem teoremi, 133 parlaklık, 8, 48-52, 61, 75

ve Tür Olarak Önermeler, 58 63

tanımlanmış, 49

Maietti, M., 71

çok sıralı diller, 14 Martin, RL, 174

Martin-Lof, Per, 47, 54, 64, 71, 76

yargılar ve önermeler, 58 önermeler ve yargılar, 55

matematiksel tümevarım, 119 matematik

öncelik, 24

yapıcı, 152

epistemolojisi, 30 temelleri, 142 bilgisi, 33 “matematik”, ikna edici tanımı, 75

madde, Russell'ın analizi, 119

Maxwell, James Katip, 125

McCallum, David, 45

McGee, V., 174

McKinsey, J., 82

anlam teorileri, ayrıca bkz. Dummett, Michael

anlam teorisi, 15, 75

iddia teorik, 8, 47, 48, 52, 75, 76

kanıt koşulları ve, 8

doğruluk koşullu

Dummett'in saldırısı, 51 doğruluk koşuluna bağlı, 7

mekanik

Newtoniyen, 98

mutlak boşluk olmadan formüle edilmiş, 99

Mercier, Adele, 127

Meredith, C., 82 üstdil

klasik, 193, 202

tutarlı, 206

homofonik yorumlar, 21

alakalı, 208

Meyer, R., 202, 203, 205 zihinden bağımsızlık, 5 minimal tutarsız model, 182 modal mantık

tamlık kanıtları, 80 cebirsel, 81 model teorik, 78

normal, 2

prensipler

4 (KK), 2, 22, 23

Brouwerische aksiyomu, 83 T(M), 2, 79

ölçülmüş, viii

tamlık kanıtları, 9,

Sağlamlık delilleri, 80

sistemler

KT, 2

5 4, 2, 23, 24

5 5, 79

çeşitli, 82, 83, 198

modeli, 131, 132, 141

klasik, 189

Cohen'in bağımsızlığının kanıtları,

Henkin

yüksek dereceli mantık, 147 amaçlanan, bkz . amaçlanan model minimum düzeyde tutarsız, 182 sayının izomorfik olmayan

teori, 139

standart dışı, 14, 146, 149 modus ponens

maddi koşullu başarısızlık, 208

AP'de başarısızlık, 191

monizm, mantıksal, 193

Montague, Richard, 9, 77-83

Myhill, J., 147

isimler

değişkenlerle karşılaştırma, 99 açıklama teorisi, 11, 101 referans vermeyen, 105

gereklilik

mantıksal, 79

zorunluluk metafizik, 198

olumsuzluk, 18, 169

evrensel nicelik olarak, 162 klasik, 18, 173, 174

sözde anlam cümleleri

206, 207 için

klasik ve ampirik karşılaştırması, 156

çift yönlü, 18,169, 180,189,

190

felsefi önemi, 183 185

sahtelikle ilişkisi, 184

klasik vs, 191

Ortodoks diyaleteizme karşı, 184 ampirik, 16, 152, 155

Sezgiselliğe karşı, 167

mantıksal vs, 168

serbest yüzen, 169,181,183, 184, 190

klasik vs, 183

P , 176

olumsuzluk mu?, 177-181

alışılmadık özellikleri, 180

alaka mantığında, 206

sezgisel, 16, 18, 155 minimum, 18

bölünmüş, 159

geleneksel özellikler, 179

Newman'ın gözlemi, 77, 95, 102 109, 122

ve teorilerin rasyonel olarak yeniden yapılandırılması, 116

yapıcı deneycilik için çıkarımlar, 112

sıklıkla yanlış anlaşılan nokta, 109

Newman, MHA, 77, 104

Nolan, D., 192

nominalizm, 4

kanonik olmayan, 61

çelişkisizlik, kanun, 176, 177

AP'de geçerli değil, 188

diğer versiyonlar, 177

Dialetheia dışı ifade edilemez

ortodoks diyaleteizm, 188 monoton olmama (AP'nin), 182-183 noumena, 90

fenomenlere izomorfik, 90, 92

sayı, Frege-Russell, 87, 89, 117, 119

yükümlülük, ahlaki, 198

operasyonelizm, 118

sipariş, 89, 91

tutarsız, 169

paradoks

diyalektik tepki, 17.170.173 174, 191

bilinebilirlik, 16, 154, 155

yalancının, 169

P'den türetilebilir , 192

diyalektik olmayan yanıt, 173 174

belirsizlik, 152

pragmatik, 114

Russell'ın, viii

küme teorik, 131

Parsons, C., 131

Peano varsayımları, 116, 130

Peano, G., 128

Peirce'in itirazı, 201

Pelletier, Francis Jeffrey, 160

Percival, Philip, 105 ısrar şartı, 157, 161, 163, 164

fenomen, 90

nesnel karşılıkları, 91 fenomenalizm, 4 fizik, rasyonel yeniden inşası, 84, 85

n , 153, 163

Pincock, Christopher, 127 çoğulculuk, mantıksal, 19, 193 ve sistemler arasında gerçek anlaşmazlık, 197

Beall ve Restall'ın davası, 193 sınırda, 195 tutarsız, 194, 209 Rahibin itirazı, 194-198 kaynak, 205

olası dünyalar, 21, 23, 82, 83

bir konuşma konuşması, 205

modellerle kontrast, 82 güç seti, 36 pragmatik, 189

Presburger aritmetiği, 135

birinci dereceden teori olarak, 135 tümdengelimsel olarak tamamlanmış, kategorik değil, 142 Presburger, M., 135 Priest, Graham, 169, 170, 174, 176,

177, 179, 184, 186, 188,

191, 192, 194, 202, 204,

205

birincil önerme, 96, 100 gereksizliğin giderilmesi, 99 ilkel anlamsal değer, 170, 173, 183, 184

gerçek yalnızca birdir, 170 Prior, AN, 206 kanıt

matematikte epistemik standart olarak, 24, 33, 55 kanonik, 55, 61, 76 işlevsel doğası, 57, 66 yönteme karşı işlev, 66, 73 önerme işlevi, 11, 86, 87 benzersiz şekilde karşılanmış, 94 önerme işleçleri, 156, 171 önermesel anlayış

Russell'ın teorisi, 85-94, 115 Tür Olarak Önermeler, 8,48, 54, 56 58, 75, 76

andDiaconescu teoremi, 70 73 ve parlaklık, 58-63 tercih edilen yapıcılık, 63-66

kanıtlanabilirlik, mantığı, 199

Psillos, Stathis, 102

Putnam, Hilary, 7,108, 109, 113,152 model teorik argümanı, 104, 109, 112-115

niceleyici, 143

yapıcı, 57, 64, 66, 71, 73, 74

evrensel, 80

? (olumsuzlama operatörü olarak), 163

Quine, WV, 17, 143, 149, 206

Ramsey cümlesi, 11, 94, 95, 102, 105

hiçbir iki O-eşdeğeri uyumsuz değildir, 97

Ramsey, FP, 11, 12, 84, 94-102

Birincil Sistem, 94-102

İkincil Sistem, 94-102 ikincil sistem

çatışma birincil sisteme yansıtılmalıdır, 97

Theories', 94 yayınlanmamış parça, 98 Russell'ınkiyle karşılaştırıldığında görünüm, 101

Oku, Stephen, 18, 19,152, 192, 193, 202

gerçekçilik

maddi dünya hakkında, 88 iki değerliliği ima eder, 5

dahili, 114

metafizik, 109

gerçekçilik ve gerçekçilik karşıtlığı, viii, 4, 151 anlam teorileri ve 15 anlamsal gerçekçilik karşıtlığı, 24

Reeves, S., 62, 74

referans çerçevesi (fizik), 126 tanıdıklığın ötesindeki şeylere referans, 94

ilişki aritmetiği ( Principia Mathematica ), 89

Restall, Greg, 19, 159, 192-209

intikam sorunu, 174

Robinson aritmetiği, 142

Robinson tutarlılık teoremi, 97

Robinson, A., 142

Routley yıldızı, 206

Routley, Richard, bkz. Sylvan, Richard

Routley, V., 206

Russell, Bertrand, ix, 11, 12, 77, 84, 86-94, 136, 140, 146 tanıdık ve açıklama, 93

Maddenin Analizi , 91

Maddenin Analizi , 89, 116 Matematik Felsefesine Giriş , 91

Mantıksal Atomizm , 87

Principia Mathematica , 136, 144, 146

sayıların yapısı, 119 yorumlama sorunu, 116 Felsefe Sorunları , 11, 86, 88, 91

nokta anlarının yeniden inşası, 116-120

bilgi teorisi, 121

Sainsbury, RM, 170

tatmin maddeleri, 79 olguyu kurtarma, 110 Scanlan, M., 128

şemalar, mantıksal, 36-37

Schröter, K., 145

İskoç planı, mantık açık, 207

Scroggs, S., 82

ikincil çelişkiler, 177

ikincil önerme, 95, 96 kendi kendine uyumlu, 206

anlambilim

klasik, 173

klasik üst dilde klasik olmayan mantık için, 202 ilişkisel, 179

ilişkisel klasik, 171-172 her mantık için iki değerli (Routley), 198

inandığınız üstdili kullanın, 207

ayırma, aksiyomu, 71

Yahudi olmayanlara Vaaz (Meyer), 202 set, 73

temel, 62

65, 69, 72'nin çeşitli yapıcı kavramları

sayılar teorisinin küme teorisi yorumlanabilirliği, 136

sezgisel, 36, 70 saf, 200

yapısalcı yaklaşımlar, 131 şekil, 89, 91

Shapiro, Stewart, 1, 2, 22, 169, 187, 190, 192

Gümüş, Charles, 78

Simmons, K., 174

eşzamanlılık, 124

kriter özgür bir seçim değil, 126

Skolem, T., 133, 141

Gülen Yüz, T., 195

Solomon, Graham, vii-x, 15, 19, 45, 77, 127, 128, 151, 192 felsefi sloganlar, viii Leibniz ve topoloji üzerine çalışma, ix

boş zaman

Newtonian, 97 vs göreceli, 124, 126

Ahır, Edward, 127

durum açıklamaları (Carnap), bilgi semantiğinin 82 durumu, 156, 159, 161, 162, 164

ampirik olumsuzlama için, 157-159 kesin çıkarım, 196

yapısalcılık (Russell), 89, 120 merkezi zorluk, 120 Ramsey'e zıtlık, 100 yapı, 92

alt sözleşmeler, 178

alt küme, 72

karar verilebilir, 69 yerleşik, 36 genişlemeyen kavram, 71 çeşitli yapıcı yorumlar, 73

aşırı iddia edilebilirlik, 31 ifade fazlalığı, teoride yok (Weyl), 98

Sylvan, Richard, 176, 177, 179, 184, 198, 203, 205

Tait, WW, 53, 55, 63, 64, 67-69, 71, 74, 76

Tarski, Alfred, viii, 10, 79, 82, 136, 142, 179

model teorisi, 83

mantıksal sonuç üzerine, 142 doğruluk üzerine, 142

t (terim oluşturan operatör), 42 totoloji, 156

zamansal düzen

erişilebilirlik sırasından farklı, 165

Tennant, Neil, 13-14, 137, 139, 195 karşı örnek, 143 yanıt, 140-147