Hızlı matematik: Zihinsel saymanın sırları

 

Hızlı matematik:  

zihinsel saymanın sırları

Önsöz

Birçok kişi bana yöntemlerimin ­Yakov Trachtenberg tarafından ^[*]geliştirilenlere benzer olup olmadığını soruyor . Yöntemleri ve matematiksel hesaplamalara ­devrim niteliğindeki yaklaşımıyla milyonlarca insana ilham verdi . Trachtenberg'in kitabı henüz gençken bana ilham verdi . Okuduktan sonra , onun yöntemleri olmadan imkansız görünen ­karmaşık zihinsel hesaplamaları yapabildiğimi zevkle keşfettim . Fikirleri bende sayılarla deney yapmaya gerçek bir ilgi uyandırdı . Ona çok şey borçluyum .

Bazı alanlarda yaklaşımlarımız benzer veya örtüşse de, yöntemlerim genellikle onun geliştirdiği yöntemlerden farklıdır . Örneğin o ve ben , beşle biten sayıların ­karesini almak için aynı formülü kullanırız . Trachtenberg , cevabını kontrol etmek için dokuzlu atma ­yöntemini de kullandı . 1'den 12'ye kadar herhangi bir sayı ile çarpmak için farklı kurallar önerdi , ama ben tek bir kural kullanıyorum ­. Söylemeliyim ki, ne zaman birisi benim yöntemlerimi Trachtenberg sistemiyle eş tutsa , bunu bir iltifat olarak alıyorum .­

Nasıl ki genel yaklaşımım ve tarzım bana aitse , yöntemlerim de tamamen kişisel gelişimlerdir. Bu kitapta karşılaşabileceğiniz eksiklikler de bana aittir.­

, öğretim sürecinde yöntemlerimi nasıl kullanacağımı açıkladığım ­bir kitap üzerinde çalışıyorum ­. Birçok pratik örnek içerir. Geliştirmemle ilgileniyorsanız, lütfen bana e-posta gönderin, ­size ayrıntıları göndereceğim .­

Bill Handley

bhandley@speedmathematics.com

Büyük sayıları ­kafanızda hesap makinesinde yazabileceğinizden daha hızlı çarpabildiğinizi hayal edin . Sonucu - yine zihninizde - anında kontrol edebileceğinizi hayal edin. Zihninizde kare ve hatta küpkök alsaydınız meslektaşlarınız nasıl tepki verirdi ? ­Bu sana çok zeki biri olarak itibar kazandırmaz mı ? ­Arkadaşlarınız ve meslektaşlarınız ­size daha farklı, daha saygılı davranmaya başlamayacak mı? Peki ya öğretmenler, öğretim görevlileri, müşteriler, amiriniz ­?

İnsanlar matematik yeteneğini zeka ile eşitler. Çarpma , bölme, kare alma, karekök ­alma işlemlerini kafanızda, arkadaşlarınızın ­cebinden hesap makinesine ulaşabileceklerinden daha hızlı ­yapabiliyorsanız , en yüksek ­zekaya sahip kişi olarak kabul edilirsiniz.

Bir çocuğa, bu kitapta öğreneceğiniz yaklaşımlardan bazılarını ­birinci sınıfa başlamadan önce öğrettim ve sonuç olarak, okul boyunca bir dahi çocuk sanıldı ­.

Bu tekniğe hakim olan kişilere ailede, okulda ve işyerinde farklı davranılmaya başlanır. Ve onlara çok zeki insanlar gibi davranıldığı için , kendileri daha akıllı davranmaya başlarlar .

 
ve teorik sayıları öğretir mi ?

Bir keresinde bir radyo programına davet edildim. Sunucu benimle konuştuktan sonra, ­önde gelen Avustralya üniversitelerinden birinin stüdyoda bulunan matematik bölümü temsilcisine benim hakkımda ve yöntemlerim hakkında ne düşündüğünü sordu. ­Öğrencilere hesabın kurallarını öğretmenin zaman kaybı olduğunu söyledi ­. Hesap makineleri varken neden birisi kafasında sayıların karesini alabiliyor, sayıları çarpabiliyor , karekök alabiliyor ve sayıları bölebiliyor? ­Daha sonra birçok veli ­stüdyoyu aradı ve ­öğretmenin bu tavrının çocuklarının okulda neden matematikte bu kadar zorlandıklarını açıkladığını söylediler.

Ayrıca eğitimcilerle sayılarla yapılan temel işlemlerin anlamını tartışma fırsatım oldu. Birçoğu, çocukların 5 artı 2'nin 7'ye eşit olduğunu veya 2 kere 3'ün 6'ya eşit olduğunu bilmesine gerek olmadığını savunuyor .­

Sınıfta öğrenciler tarafından bu tür görüşler ifade edildiğinde ­, onlardan evrak çantalarından hesap makinelerini çıkarmalarını isterim. Daha sonra sorunu ­dikte ederken uygun düğmelere basmalarını sağlıyorum : "İki artı üç çarpı dört eşittir ­..."

Bazı öğrenciler için hesap makinesi ­cevap olarak 20 verir. Diğerleri için cevap 14'tür.

Bu iki cevaptan hangisi doğrudur? Aynı tuşlara basarsanız bir hesap makinesi nasıl iki farklı cevap verebilir?

Bunun nedeni, aritmetik işlemlerin yapılması gereken belirli bir sıra olmasıdır. Önce çarpmanız veya bölmeniz ve ancak o zaman toplamanız ve çıkarmanız gerekir. Bazı hesap makineleri bu özelliği dikkate alırken bazıları dikkate almaz.

Hesap makinesi sizin yerinize düşünemez. Hesaplamaları yaptığınız ­sıranın farkında olmanız gerekir . Matematik bilmiyorsanız , hesap makinesi size pek yardımcı ­olmaz .

Aşağıda, matematiğin sadece gerekli değil, aynı zamanda çalışıp çalışmadığına bakılmaksızın herhangi bir kişi için çok önemli olduğunu söylemem için sebep veren birkaç neden var .

•     yüksek zekanın bir işareti olarak görürler ­. Eğer matematikte iyiyseniz , insanlar sizin ­zeki ­olduğunuzu düşünme eğilimindedir . Matematikte başarılı olan öğrencilere genellikle hem öğretmenler hem de diğer öğrenciler tarafından ­artan bir saygıyla davranılır . Öğretmenler genellikle _ giyerler­ onları potansiyel olarak daha yetenekli öğrenciler haline getirirler ve kendileri de yalnızca matematikte değil ­, diğer konularda da sıklıkla daha başarılı olurlar.

•     Sayılarla - özellikle zihinsel hesaplamalarla - çalışma yöntemlerine hakim olmak, matematik yasalarını daha iyi anlamaya yardımcı olur.

•     Zihinsel hesaplamalar konsantre olma yeteneğini artırır , hafızayı güçlendirir ve ­aynı anda birkaç fikri akılda tutma yeteneğini geliştirir . ­Bu tür hesaplama yöntemlerinde ustalaşan ­bir kişi, birkaç zihinsel ­yapıyla aynı anda çalışmayı öğrenir.

•     Kafanızdaki hesaplamalar size sayıları "hissetmeyi" ve sonucun doğruluğunu hızlı bir şekilde değerlendirmeyi öğretecektir.

•     Matematiği anlayan bir kişi, yanal düşünme konusunda daha iyi bir yeteneğe sahiptir. Bu kitapta sunulan yaklaşımlar, ­alternatif yollarla düşünme yeteneğinizi geliştirmenize yardımcı olacaktır .­

tahtalar; Sonuç olarak, problem çözmek ve hesaplamalar yapmak için standart dışı yaklaşımlar ­aramayı öğreneceksiniz ­.

•     Matematik bilgisi size yeteneklerinize güven verecek ve bunun sonucunda benlik saygınız ­artacaktır. Burada önerilen yöntemler ­zihinsel yeteneklerinize, zekanıza ­ve matematik problemlerini çözme yeteneğinize olan güveninizi artıracaktır.

•     Doğrulama yöntemleri, hesaplamayı yapan kişinin ­hatayı hemen fark etmesini sağlar. Bir hata yaparsanız , kontrol etmek anında tespit etmenizi ­ve düzeltmenizi sağlar . ­Kararın gidişatı doğruysa, ­doğrulama bunu onaylayacak ve eylemlerinizin doğruluğunu fark ederek size ek memnuniyet verecektir. Hataları hesaplamaya paralel olarak ­tanıma yeteneği, ­hesaplamayı yapan kişi için ek motivasyon sağlar.

•     Matematik günlük yaşamda çok önemlidir ­. İster bir spor programı izliyor ­, ister market alışverişi yapıyor olun, zihinsel hesaplamalar her zaman işe yarar. Hepimiz zaman zaman hızlı zihinsel hesaplamalar yapmak zorundayız.

Aklın matematiksel müfrezesi

Tüm insanların matematiksel bir zihniyetle doğmadığı ­, bazılarının ­matematiğe daha iyi hakim olma açısından diğerlerine göre başlangıçta bir avantaja sahip olduğu doğru mu ­? Tersine, bazı insanların matematik problemlerini çözme yeteneğinin ­daha az olduğu doğru mu ­?

başaranlarla çok az şey başaranlar arasındaki fark, ­doğdukları beyinde değil, onu nasıl kullandıklarındadır .

Eğlence. Daha fazlasını başaranlar, diğerlerinden daha etkili yaklaşımlar kullanır .

Bu kitap size daha etkili yaklaşımlar ­öğretecek . Söz konusu yöntemler size daha önce öğretilenlerden çok daha basittir , bu nedenle matematik problemlerini daha az hatayla çok daha hızlı çözeceksiniz .

İki öğrenci ve onlara bir problem veren ­bir öğretmen düşünün . Öğrenci A şöyle diyor: “Zor bir ­görev . Öğretmen bize bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğretmedi . Nasıl çözebilirim? Öğretmenin ­önümüze mantıksız karmaşıklıkta görevler koyduğu ortaya çıktı .

Öğrenci B diyor ki: “Zor bir görev. Öğretmen bize bu tür problemlerin nasıl çözüleceğini öğretmedi . Nasıl çözebilirim ? Öğretmen bilgi düzeyimizi ve hangi problemleri çözebileceğimizi biliyor, bu yüzden bize şimdiye kadar öğrettikleri çözümle kendi başımıza başa çıkmamız için yeterli ­olmalı . Nereden başlamalıyım?

Sizce hangi öğrenci problemi çözme olasılığı daha yüksektir? Açıkçası , öğrenci B.

Bir dahaki sefere kendilerine bir eş teklif ­edildiğinde ne olacak ? benzer görev? Öğrenci A, “Çözemiyorum . Bu, geçen seferki ile aynı görev . O çok zor. Böyle sorunları çözmekte iyi değilim . Neden bize daha kolay bir şey sormuyorsun ?"

Ve öğrenci B şöyle diyecek: "Bu bana son kır evini ­hatırlattı . Sanırım çözebilirim . Bu tür ­sorunları çözmeyi az çok öğrendim . Çok hafif değiller ama _ _­ yapabilirler . Peki, ona nasıl yaklaşabilirim ?”

Her iki öğrenci de bir davranış ­modeli geliştirdi : bir - yenilgici, diğerinde - zafere odaklandı. Entelektüel potansiyelleriyle bir ilgisi var mı ­? Belki, ama mutlaka değil. Zekada eşit olabilirler . Daha çok, öğrencilerin geçmişte öğrettikleri tarafından belirlenebilen ve aynı zamanda olumlu ve olumsuz deneyime bağlı olan göreve karşı tutumları ile ilgilidir ­. İnsanların tutumlarını değiştirmelerini önermek yeterli değildir. Onları sadece rahatsız edecek. Onlara daha iyisini yapabileceklerini söylemeyi ­ve sonra nasıl yapacaklarını göstermeyi tercih ederim. Pozitif deneyimlerin tutumlarını değiştirmesine izin verin ­, öğütler değil. Olumlu bir deneyimden insanların yüzleri parlıyor ve haykırıyorlar: “Yaşasın! Yapabilirim!"

İlk matematik kuralım şöyle görünüyor:

Bir sorunu çözmek için kullandığınız yöntem ne kadar basitse ­, onu o kadar hızlı çözersiniz ve hata yapma olasılığınız o kadar azalır.

Kullandığınız yöntem ne kadar karmaşıksa, ­sorunu çözmeniz o kadar uzun sürer ve hata yapma şansınız o kadar artar. Daha gelişmiş yöntemler kullanan kişiler ­daha hızlı cevap alır ve daha az hata yaparken, daha az etkili yöntemler kullananlar ­daha yavaş yanıt alır ve ­daha fazla hata yapar. Akılla bağlantı burada o kadar büyük değil, özel, matematiksel bir zihniyet gerektirmiyor ­.

Bu kitap basit ve anlaşılır bir dille yazılmıştır . Okuduktan sonra matematiği daha önce hiç olmadığı ­kadar anlayacak ve ne kadar basit olabileceğine ­şaşıracaksınız . Bilgi işlem size hiç hayal etmediğiniz şekillerde zevk ­verecek .

için bir dizi örnek sunar . Pasif bir şekilde okumak yerine , ele aldığım vaka incelemelerinden sonra ­bunları kendi başınıza çözmeye çalışın . Verdiğim örneklerin hiç de zor olmadığını göreceksiniz . Benim rehberliğim altında her bir örneğin çözümü üzerinde çalışırken , çözümün arkasındaki yöntem ve ilkelerde gerçekten ­ustalaşacak ve okumaya devam etmek için motive olacaksınız . Ancak bu örneklerin çözümü üzerinde çalışarak burada önerilen yöntemlerin ne kadar basit olduğunu anlayabilirsiniz.

Örnekleri hem kağıt üzerinde hem de kafanızda çözmek için zaman ayırmanızı şiddetle tavsiye ederim . Bu kitabı okuduktan sonra , matematik becerilerinizin ne kadar mükemmel hale geldiğine şaşıracaksınız .

Bölüm 1

Çarpım tablosunu ne kadar iyi biliyorsunuz ?

1'den 10'a kadar olan sayılar için çarpım tablosunu 10 dakikadan kısa sürede öğrenmek ister misiniz ? Ve yarım saatten daha kısa sürede 10'dan 20'ye kadar sayılar için bir tablo ? Bütün bunlar, bu kitapta anlattığım yöntemlerle mümkündür . 2 sayısı için çarpım tablosunu oldukça iyi bildiğinizi ve ayrıca küçük sayılar için toplama ­ve çıkarma yapmayı bildiğinizi varsayıyorum .

fazla sayı ekle 10

10x10'a kadar her türlü sayının nasıl çarpılacağını öğrenerek başlayalım. Yöntem şu şekildedir ­.

Örnek olarak 7 x 8'in çarpımını ele alalım .

Bir kağıda 7 x 8 = yazalım ve çarpılan iki sayının altına daire çizelim.

7x8 = _

Faktörlerden ilki olan 7 sayısını ele alalım. 10 sayısına ulaşmak için ne kadar gerekiyor? Cevap: 3. 7 rakamının altındaki çembere 3 yazalım. Şimdi 8 rakamına dönelim . 8 rakamının altındaki çembere ne yazalım ? ­10'a kaç tane eksik? 2 olduğu açıktır ­. 8 çarpanının altındaki daireye 2 giriyoruz.

İşte sahip olduklarımız:

7 X 8 =
(3 (2)

Şimdi çıkarma işlemini yapalım. Bu, dairedeki sayılardan herhangi birini (3 veya 2) doğrudan onun üzerindeki sayıdan değil ­, çapraz olarak, yani dairedeki diğer sayının üzerinde bulunan sayıdan çıkarmak anlamına gelir. Yani ­8'de 3 veya 7'de 2 okursunuz . Bunu sadece bir kez yapmanız yeterlidir, bu nedenle size daha kolay gelen seçeneği seçin . Her durumda sonuç aynıdır: 5. Bu, cevabınızın ilk rakamıdır.

8 - 3 = 5 ve 7 - 2 = 5

Şimdi daire içindeki sayıları çarpalım. 3 kere 2, 6 verir. Bu , cevabınızın son rakamı olacaktır . ­Böylece cevap ­56 olacaktır. Çözülen problem şu şekilde görünür:

7 X 8 = 56
@ 2

2'yi 10'a kadar diğer sayılarla kolayca çarpabiliyorsanız, ­1'den 10'a kadar olan çarpım tablosunu da kolaylıkla ezberleyebilirsiniz. Öğrendiklerimizi başka bir örnekle pekiştirelim: 8 x 9.

8X9 = _

@ HAKKINDA

10'a kadar her durumda kaç tane eksik? Cevap: 2 ve 1. Çarpılan sayıların altındaki yuvarlaklara 2 ve 1 giriyoruz. Şimdi ne yapıyoruz? Çapraz çıkarma yapıyoruz.

8 - 1 = 7 ve 9 - 2 = 7

7, cevabın ilk rakamıdır. Hadi yazalım. Şimdi her iki sayıyı da daireler halinde çarpın:

2, cevabımızın son rakamıdır. Yani ­cevap 72'dir.

Kolay değil mi? Şimdi bazı örnekleri kendiniz çözmeye çalışın. Cevapları burada, kitapta yazmak yerine, ayrı bir kağıda veya not defterinde yapabilirsiniz ­- daha sonra kitaptaki örneklere dönebilir ve ­cevapları daha önce bilmezsiniz.

a) 9 X 9 =          b) 8 X 8 =           c) 7 x 7 =            d) 7 x 9 =

e) 8 X 9 \u003d f) 9 X 6 \ u003d g                          ) 5 x 9 \u003d       h) 8 x 7 \u003d

Çarpım tablosunu zaten hatırlasanız bile örneklerin her birini çözün . Bu ­, daha sonra sayıları çarparken kullanacağınız ­temel yöntemdir ­.

Karar nasıldı? İşte örneklerin cevapları:

a) 81                b) 64                  c) 49                  d) 63

e) 72                f) 54                   gr) 45                 c) 56

Çarpım tablosunu öğrenmenin en kolay yolu bu değil mi ­?

Zihni tabl0u öğrenmeye değer mi ?

Artık çarpma yönteminde ustalaştığınıza göre ­, bu, çarpım tablosunu öğrenmenize gerek olmadığı anlamına mı geliyor ­?

Dürüst olmak gerekirse, evet ve hayır.

Buna gerek yok çünkü artık, biraz ­pratik yaptıktan sonra, herhangi bir sayı çiftinin çarpımını ­neredeyse anında hesaplayabilirsiniz. Çarpım tablosunu zaten öğrendiyseniz ­, bu yöntemde uzmanlaşmak ek faydalar sağlayacaktır.

Henüz çarpım tablosunu bilmiyorsanız rekor sürede öğrenme şansınız var demektir. 7 x 8 = 56'nın çarpımını on veya daha fazla hesapladıktan sonra , cevabı kesin olarak hatırladığınızı göreceksiniz. Yani çarpım tablosunun bir kısmını öğrendiniz. Çarpım tablosunu çalışmanın bildiğim en kolay ve en eğlenceli yolunun bu olduğunu tekrar ediyorum ­. Ve tabloyu ezberlememe konusunda endişelenmenize gerek yok - gerekli ­ürünü her zaman sanki cevabı ezbere biliyormuşsunuz gibi hızlı bir şekilde ­hesaplayabilirsiniz ­.

10'dan büyük sayıları çarparken bu yöntem işe yarar mı?

Tabii ki işe yarıyor. Bir örnekle deneyelim:

96x97 = _

Bu sayılar hangi büyük sayıya indirilmelidir? Ne için ne kadar yeterli değil? 100'e kadar. 96'nın altına 4, 97'nin altına 3 giriyoruz.

96X97 = _

® @

Şimdi ne yapıyoruz? Çapraz olarak çıkarırız: 96 eksi 3, tıpkı 97 eksi 4 gibi, 93'e eşittir. Bu, cevabın ilk (ön) kısmıdır. Sonra ne yapıyoruz? Dairelerdeki sayıları çarpıyoruz. 4 kere 3 eşittir 12. Bu, cevabın son (geri) kısmıdır. Cevabın kendisi sırasıyla 9312'dir.

96x97 = 9312

® (3)

Hangi yöntem daha kolay: bu mu yoksa okulda öğretilen mi? Tabii ki, bu.

İlk matematik kuralımı hatırla:

Bir sorunu çözmek için kullandığınız yöntem ne kadar basitse ­, onu o kadar hızlı çözersiniz ve hata yapma olasılığınız o kadar azalır.

karar için birkaç örnek sunuyorum :­

a) 96 X 96 =        b)   97 X 95 =    c) 95 x 95 =             d) 98 x 95 =

e) 98 X 94 \u003d f    )                97 x 94 \u003d g) 98 x 92 \u003d     ç) 97 x 93         \u003d

Otokontrol için cevaplar:

a) 9216              b)   9215          c) 9025                d) 9310

e) 9212               f)   9118          gr) 9016              c) 9021

Her şey senin için yolunda gitti mi? Bir hata yaparsanız geri dönün, nerede hata yaptığınızı bulun ve ­cevabınızı düzeltin. Bu yöntem, sayı çiftlerini ­çarpmaya yönelik geleneksel yaklaşımlardan çok farklı olduğu için ­, ilk başta hata yapmanız şaşırtıcı değildir.

Sık sık bir hesap makinesiyle hız konusunda rekabet etmemin istendiği televizyon programlarına katılıyorum. Bu genellikle şu şekilde gerçekleşir. Kameranın yakından görünümü ­hesap makinesiyle bir eli gösteriyor ve ben arka plandayım ­. Çerçevede görünmeyen biri ­yazlık için koyar: örneğin, 96 ile 97'yi çarpın . 96 telaffuz edilir edilmez hemen ­100'den çıkarırım ve 4 elde ederim . Ondan 4 çıkar ­ve 93 elde et. 93 demiyorum ama ­Avustralya aksanımla "dokuz bin üç yüz..." diyorum ve aynı zamanda aklımdan hesaplıyorum: "4 kere 3 eşittir 12".

Böylece, neredeyse duraksamadan bitiriyorum: “Dokuz bin üç yüz. on iki". Kendimi bir "hesap makinesi insanı" olarak görmememe rağmen ­-öğrencilerimin çoğu bunu benden daha hızlı yaptığı için- yine de, herhangi biri hesap makinesinde yanıtı alamadan yanıtımı zorluk çekmeden çıkarmayı başarıyorum.

Şimdi son örnek dizisini tekrar çözün, ancak şimdi tüm hesaplamaları kafanızdan yapın. Göründüğünden daha kolay olduğunu kısa sürede göreceksiniz. Öğrencilerime her zaman şunu söylerim: gerçekten kolay hale gelmeden önce bir örneği kafanızda üç veya dört kez çözmeniz gerekir; bundan sonra, her seferinde yapılan hesaplama, ­ilk kez yapılan hesaplamaya kıyasla önemsiz olacaktır. Bu yüzden pes etmeden ve bunun senin için çok zor olduğunu söylemeden önce beş kez dene.

Şu anda yapabileceklerinizden etkilenmediniz mi? Beyniniz bir gecede gelişmez, sadece daha basit ama daha iyi ­matematik yöntemleriyle onu daha verimli kullanırsınız .­

Bölüm 2

çarpma ­yöntemini henüz tam olarak anlamadık . Şimdiye kadar ele aldığımız problemler için yöntem kusursuz bir şekilde çalıştı. Şimdi, biraz ­sonra herhangi bir sayıya uygulayabiliriz .

4ncnî 10 in KanecTâe înîp^rî

7 x 8 örneğine geri dönelim .

10

Örneğin solundaki 10 sayısı pivottur. Bu, ­çarpanları çıkardığımız sayıdır.

O halde örneğin soluna referans numarasını yazalım. Şimdi ­kendimize soralım, çarptığımız sayılar ­referans sayısından büyük mü (yüksek) yoksa küçük mü (düşük) ­? Bu durumda çarpan her iki seferde de referans sayısından küçüktür (düşük). Bu nedenle çarpanların altına daireler çiziyoruz . ­Referans sayısından kaç faktör küçüktür? Sırasıyla 3 ve 2'de. Dairelerin içine 3 ve 2 giriyoruz. 7 eşittir 10 eksi 3 yani 3 numaralı dairenin önüne eksi işareti koyuyoruz. 8 ise 10 eksi 2 yani 2 numaralı dairenin önüne eksi işareti koyuyoruz.

10       7X8 = _

- @ - 2

Şimdi çaprazdan çıkar. 7 eksi 2 ve 8 eksi 3 eşittir 5.

Eşittir işaretinden sonra 5 yazıyoruz. Şimdi referans numarası 10 ile ­5'i çarpıyoruz . 5 kere 10 eşittir 50 yani

5'ten sonra 0 yazıyoruz. (Herhangi bir sayıyı 10 ile çarparken sayının sağına sıfır eklemek yeterlidir.) 50 ara ­sonucumuzdur .

Şimdi daire içindeki sayıları çarpalım. 3'e 2 6 verir. ­Sonucu 50'ye ekleyin ve nihai cevabı elde ederiz: 56.

Tamamen çözülmüş bir örnek şöyle görünür:

10       7 X 8 = 50

—@ -(2 +6

56 OTÂET

Bölüm 1'deki 96 x 97 örneğinin referans numarası neydi ? 100, çünkü 96 ve 97'nin 100 yapmak için ne kadar eksik olduğunu da bulduk. Tamamen çözülmüş örnek ­şimdi şöyle görünecek:

ÎTÂET

96 X 97 = 9300
- ® - ®              +12

9312

Yukarıda verdiğim zihinsel sayma hilesi sizi bu yöntemi kullanmaya zorluyor. 98 ile 98'i çarpalım ­, ne demek istediğimi anlayacaksınız.

100'den 98 ve 98'i çıkarırız ve 2 ve 2'yi elde ederiz. 98'den 2'yi çıkarın ve 96'yı elde ederiz. Ama "doksan altı" değil, "dokuz bin altı yüz ..." diyoruz. 96'yı yardımcı sayı 100 ile çarptığımızda ­9600 elde edilir. Şimdi ­çemberlerdeki sayıları çarpıyoruz. 2 kere 2 eşittir 4, yani son cevap 9604.

Aşağıdaki örnekleri zihninizde çözünüz:

â) 99 х 99 =

a) 96x96 = b) 97x97 =

d) 95x95 = e              ) 97x98 =

Aşağıdaki yanıtları almalısınız:

a) 9216                     b) 9409                      c) 9801

ç) 9025                      e) 9506

bu tür örneklere nasıl hızlı bir şekilde cevap bulacağınızı zaten biliyor olabilirsiniz . ­Elbette, 10'dan küçük sayılarla ilgili olarak bu yöntemde tamamen ustalaştılar ve ­karşılık gelen örnekleri kıskanılacak bir hızla çözdüler. Örneğin , 9 ­x 9'un ne kadar olacağını hesaplamak isterseniz , hemen her dokuzun altında bir "göreceksiniz" ­. 9 eksi 1, 8 verir ve hemen 80 ( 8 çarpı 10) elde edersiniz . ­1'e 1 1 verir. Yani cevabınız 81.

sayıların çarpımı ît 10 flî 20

olan sayıları çarpmak için yöntemin nasıl çalıştığını görelim. ­Örnek olarak 13 x 14 ve referans sayı olarak 10'u ele alalım.

10       13X14 = _

Hem 13 hem de 14, referans numarası 10'dan büyüktür (daha yüksektir), bu nedenle faktörlerin üzerine daireler çizeriz. Taban sayısından ne kadar büyükler? Sırasıyla 3 ve 4'te. Bu nedenle ­13 ve 14'ün üzerindeki çemberlere 3 ve 4 giriyoruz. 13 eşittir 10 artı 3 yani ­3 rakamının önüne artı işareti koyuyoruz; 14, 10 artı 4'e eşittir, bu nedenle 4 sayısının önüne artı işareti koyarız.

+ @ + @

10       13X14 = _

Daha önce olduğu gibi katlayın. Hem 13 artı 4 hem de 14 artı 3 eşittir 17. Eşittir işaretinden sonra 17 yazıyoruz. 17'yi referans numarası 10 ile çarpıyoruz ­ve 170 elde ediyoruz - bu bizim ara sonucumuz, eşittir işaretinden sonra yazıyoruz.

Son adım olarak daire içindeki sayıları çarpıyoruz. 3 kere 4 eşittir 12. 170'e 12 ekleyin ve cevabı alırsınız: 182. Tamamen çözülmüş ­örnek şöyle görünür:

+ @ + ®

10       13 X 14 = 170

+12

ÎTÂET

182

Çarptığımız sayı referans sayısından büyükse (büyükse) sayının üzerine daire çiziyoruz. Sayı pivottan (altında) küçükse, sayının altına bir daire çizeriz.

Dairelerdeki sayılar çarpanlardan büyükse çapraz olarak toplarız , küçükse çapraz olarak çıkarırız .

Şimdi aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 12 X 15 = r) 13 X 13 = g) 14 X 14 = j) 16 X 14 =	b) 13 X 15 = e) 12 X 14 = ç) 15 X 15 =	c) 12 X 12 = e) 12 X 16 = i) 12 X 18 =
Yanıtlar:
bir) 180	195	144 _
r) 169	168	192 _
gr) 196	225 _	ben) 216
j) 224

 

Bir yerde hata yaparsanız, ­yeni için bölümü okuyun ve neyi yanlış yaptığınızı öğrenin, ardından ­örnekleri tekrar çözmeye çalışın.

12 ile 21'i nasıl çarparsınız? Bu örneğe bir göz atalım.

+@ + 11
10       12 X 21 =

10'u referans olarak alıyoruz, her iki faktör de 10'dan büyük, bu yüzden üzerlerine daireler çiziyoruz. 12, 10'dan 2'den fazladır ve 21, 11'den fazladır, bu nedenle karşılık gelen dairelere 2 ve 11 yazıyoruz ­. 21 artı 2 eşittir 23, 10 ile çarpıldığında 230 verir. 2 kere 11 eşittir 22, bu da 230'dan 252'ye eşittir.

Tamamen çözülmüş bir örnek şöyle görünür:

+ (2) + 11

10       12 X 21 = 230

+22

ÎTÂET

252

Daha fazla sayı ekle bîёü0e 100

100'den büyük sayıları çarpmak için kullanılabilir mi ? ­Elbette.

106'yı 104 ile çarpmak için referans sayı olarak 100 alalım.

100 106X104 =

Çarpanlar referans numarası 100'den büyük, bu yüzden 106 ve 104'ün üzerinde daireler çiziyoruz. 100'den ne kadar büyükler? 6 ve 4'te. 6 ve 4'ü daire içine alıyoruz. 106, 100 artı 6'ya ve 104, 100 artı 4'e eşit olduğundan, bunların önünde bir artı işareti olmalıdır (pozitif sayılardan önceki gibi ).­

106 X 104 =

Boyuna katlanırız. 106 artı 4 eşittir 110. Eşittir işaretinden sonra 110 yazın.

. Herhangi bir sayıyı 100 ile nasıl çarparsınız ? ­Sağa iki sıfır atayın. Bir ara sonuç elde ederiz ­: 11000.

Şimdi daire içindeki sayıları çarpıyoruz: 6 x 4 = 24. ­Sonucu 11000'e eklersek 11024 elde ederiz.

Tamamen çözülmüş bir örnek şöyle görünür:

106x104 = 11000

+24

11024 haydut

Birkaç örneği kendi başınıza çözmeyi deneyin ­:

102 х 114 = â) 112 х 112 =

Ответы:

a) 11628

â) 12544

103 х 112 = г) 102 х 125 =

б) 11536

г) 12750

Biraz pratik yaparak, bu tür tüm örnekleri kalem ve kağıt olmadan çözebileceksiniz. Diğer insanların gözünde çok etkileyici olacak.

Akılda Re0me npMMepov

Yukarıdaki yaklaşımı kullanırken, zihninizde görünen 25 veya kendinize ne söylediğiniz çok önemlidir. Görevleri daha kolay ve daha hızlı tamamlamanıza yardımcı olabilir.

16'yı 16 ile çarpalım ve kendimize ne diyebileceğimizi görelim.

Boyuna katlanırız. 16 artı 6 (16'nın ikinci çarpanından) eşittir 22. Sonra 10 ile çarpın ve 220 elde edin. 6 kere 6 eşittir 36. Önce 30'u ekleyin, sonra 6. 220 artı 30 eşittir 250, artı 6 daha - elde ederiz 256 ­.

Aynı zamanda kendi kendimize şöyle diyebilirdik: “On altı ­artı altı, yirmi iki, iki yüz yirmi. Otuz ­altı, iki yüz elli altı." Biraz beceri ile yarısını düşürebilirsin. Kelimenin tam anlamıyla attığınız her adım hakkında yorum yapmanız gerekmeyecek. "Yirmi iki, iki yüz elli altı" demek yeterli olacaktır.

Çözümü kendinize nasıl telaffuz ettiğinizi uygulayın. Hesap yaparken sadece esasları söylemek, çözüm süresini yarıdan fazla kısaltmak demektir.

7x8'i kafanızda nasıl hesaplarsınız ? 3 ve 2 sayılarını hemen 7 ve 8'in altındaki dairelerde görselleştireceksiniz. Ardından ­7'den 2'yi (veya 8'den 3'ü) çıkarın ve hemen ­10 ile çarptıktan sonra yüksek sesle "Elli" deyin. 3 kere 2 eşittir 6. Yüksek sesle, neredeyse hiç duraksamadan şöyle diyeceksiniz: "Elli ... altı."

Peki ya 6x7 ?

4 ve 3 sayılarını hemen 6 ve 7'nin altında daireler halinde görselleştireceksiniz. 6 eksi 3 eşittir 3, bu yüzden kendi kendinize "Otuz" dersiniz. 4'e 3, 12 artı 30 - 42 verir. Kendi kendinize "Otuz, kırk iki" dersiniz.

Çok zor değil, değil mi? Kendi başınıza ne kadar çok örnek çözerseniz, bu hesaplamaları yapmanız o kadar kolay olacaktır.

Kîrfla ncnînüçovâaTü înîp^e 4ncnî?

İnsanlar bana "Ne zaman referans numarası kullanmalıyım?" diye soruyor. Önceki örnek bu soruyu yanıtlıyor. 6 kere 7'yi zihinsel olarak ­hesapladığınızda , otomatik olarak 10 referans numarasını kullanırsınız. Ara sonucunuz ­30'dur. "Otuz..." dersiniz, sonra hesaplarsınız: 4 kere 3 eşittir 12. ­Otuz on iki". Cevabı bulmak için 30'a 12 eklemeniz gerektiğini biliyorsunuz .­

Cevap basit: her zaman bir referans numarası kullanın.

Burada açıklanan yöntemlerde ustalaştıkça, ­hesaplamalar sırasında artık yazmasanız bile referans numarasını otomatik olarak kullandığınızı göreceksiniz.

Aşağıdaki örneğe bakalım:

x 7'nin ne kadar olduğunu bilmiyorsak bu biraz yanıltıcı olabilir . 8 x 7'nin çarpımını hesaplamak için ilk dairelerin altına birkaç daire daha ekleyebiliriz. ­Şimdi örnek şuna benziyor:

92X93 = _

— ® — ®

- @ - (3)

numarasıyla çarptığınızda bir ara sonuç elde ederiz: 8500.

daireler, yani 2 ve 3.

7 - 2 = 5 ve 2 X 3 = 6

Cevap 56. Örneğin çözümü ­şimdi şöyle görünüyor:

ÎTÂET

100 92 X 93 = 8500
- ® - ®                       +56

- (2) - (3) 8556

Örneğin, 86'yı 87 ile çarpabilirsiniz.

100 86X87 =

- 14 - 13

86 - 13 = 73
73 X 100 (înîp^e sayısı^ = 7300
+182)

7482 yemin

10 ile 20 arasındaki sayıları çarpmak için yeni öğrendiğiniz yöntemi kullanabilirsiniz.

+ ® + @

10      14x13 = 170

+12

ÎTÂET

182

Biraz pratik yaptıktan sonra tüm bunları zihninizde yapabileceksiniz.

Aşağıdaki örnekleri çözmeye çalışın:

92 X 92 =

г) 88 X 85 =

91 X 91 = д) 86 X 86 =

â) 91 X 92 =

е) 87 X 87 =

Yanıtlar:

a) 8464                     6) 8281                      c) 8372

ç) 7480                     e) 7396                      e) 7569

Bu kitapta özetlenen yöntemlerin ­birlikte kullanılması, size bilgi işlemde gerçekten sınırsız olanaklar sunar. Kendinizi deneyin.

Bölüm 3

Alternatif olarak^e numarası
^ad ve altında  
SAYISI

pivot numarasının üstünde veya altında olan sayıları çarpıyorduk . ­Ancak ­biri referansın üstünde ­, diğeri altında olan sayıları nasıl çarparız?

X 135 ürün örneğini kullanarak nasıl ilerleyeceğimize bakalım. Referans numarası olarak 100 kullanacağız:

100      98X135 = _

98 referans numarası 100'den küçük olduğu için altına bir daire çiziyoruz. Ne kadar az? 2 ile daire içine 2 sayısını giriyoruz.135 100'den fazladır yani 135'in üzerine bir daire çiziyoruz.Daha ne kadar var? Bu nedenle 35'te ­çembere 35 giriyoruz.

+ 35

100      ) 98X135 =

- 2

135 eşittir 100 artı 35 yani 35'in önüne artı işareti koyuyoruz. 98 ise 100 eksi 2 yani ­önce çemberde 2'den önce eksi koyuyoruz.

Şimdi çapraz olarak hesaplıyoruz. Ya 98 artı 35 ya da 135 eksi 2 alırız. ­135 eksi 2 eşittir 133. Eşittir işaretinden sonra 133 yazıyoruz. Şimdi 133'ü 30 tabanıyla çarp

100 sayısı. 133 çarpı 100 eşittir 13300. (Herhangi bir sayıyı 100 ile çarpmak için sağına iki sıfır eklemek yeterlidir.) Şimdi örneğin çözümü şu şekilde:

98X135 = 13300

—@

Şimdi daire içindeki sayıları çarpalım. 2 kere 35, 70 verir. Doğru, bu tamamen doğru değil. Aslında 35 ile eksi 2'yi çarpmamız gerekiyor. Cevap sırasıyla eksi 70 olacak. Şimdi örnek çözüm şuna benziyor:

13300 - 70 =

Cnîcî6 6ûCTpîrî ûiMHTa^fl

Örneği çözmekten biraz uzaklaşalım ve iki sayının farkını bulmanın en kısa yolunun ne olduğunu görelim. Sayının 70'ini onurlandırmanın en kolay yolu nedir ? ­Soruyu yeniden ifade edeyim: 56'dan 9'u zihinsel olarak çıkarmanın en kolay yolu nedir ?

56 - 9 =

Doğru cevabı bildiğinizden eminim ama nasıl buldunuz? Bazı insanlar 56'dan 50'ye ulaşmak için önce 6'yı çıkarır , sonra 9'dan 3'ü çıkarır ve 47'yi bulur .

56'dan 10 çıkarır ve 46 elde ederdi. Sonra ­cevaba 1 eklerdi çünkü fazladan bir çıkarılmıştı ­( 10 = 9 + 1). Sonuç yine 47 olacaktır.

Bir başkası bu sorunu bir kağıt üzerinde bir sütunla çözebilirdi. Aynı zamanda, zihninde rütbeleri aktarması ve işgal etmesi gerekecekti . ­

Bu muhtemelen çözmenin en uzun yoludur. Bunu unutma:

Bir sorunu çözmenin en basit yolu, ­en hızlı ve hatasız olanıdır.

Çoğu insan için, bir sayıdan 9 çıkarmanın en kolay yolu ­, ondan 10 çıkarmak ve sonra ­1 eklemektir. 8'i çıkarmanın en kolay yolu, 10'u çıkarıp 2 eklemektir. 7 çıkarmak için, 10 çıkarır ve sonra 3 eklersiniz. cevabına İşte ­birkaç "basit" yol daha:

•      Bir sayıdan 90'ı çıkarmanın en kolay yolu nedir? Ondan 100 çıkarın ve 10 ekleyin.­

•      Bir sayıdan 80'i çıkarmanın en kolay yolu nedir? Ondan 100 çıkarın ve 20 ekleyin.­

•      Bir sayıdan 70'i çıkarmanın en kolay yolu nedir? Ondan 100 çıkarın ve 30 ekleyin.­

Örneğimize dönersek, 70'i 13300'den nasıl çıkarırız? Önce 100 çıkarın ve sonra 30 ekleyin. Basit, değil mi? Tekrar deneyelim. 13300 eksi 100. 13200. Artı 30. 13230. Tamamen çözülmüş örnek şu şekilde görünür :­

_                 +35

100       98 X 135 = 13300 - 70 = 13230 ÎTÂET

-@                                  (30

benzer örnekleri kafanızda çözebilirsiniz . ­Aşağıdaki örnekleri çözmeye çalışın :

б) 97 X 125 г) 96 X 125

Ѳ) 9 X 15 = ç) 7 X 12 =

a) 98 X 145 = c) 95 X 120 =

e) 98 X 146 = g) 8 X 12 =

Yanıtlar:

б) 12125 г) 12000 е) 135 ç) 84

a) 14210 c) 11400 e) 14308 gr) 96

Dairelerdeki sayıların çarpımının bulunduğu kural şu şekildedir:­

Her iki daire de faktörlerin üstünde veya altındaysa , çarpımlarını ara sonuca ­ekleriz . Dairelerden ­biri çarpanların üstünde , diğeri altında olduğunda , dairelerdeki sayıların çarpımını ara sonuçtan ­çıkarırız .

Matematiksel olarak konuşursak, iki pozitif (artı) sayıyı çarptığımızda , ­cevapta pozitif (artı) bir sayı elde ederiz . İki negatif (eksi) sayıyı ­çarptığımızda , aynı zamanda ­pozitif (artı) bir sayı elde ederiz . ­Pozitif (artı) bir sayıyı negatif (eksi) ile çarptığımızda negatif (eksi) bir sayı elde ederiz .­

x 45'lik bir ürüne uygulanabilir mi ?

Kontrol etmeye çalışalım. 10'u referans olarak alalım. 8, 10'dan 2 eksik, 45 ise 35 fazladır.

+<35

10         8 X 45 =

- 2

45'ten 2 çıkarın veya 8'e 35 ekleyin. 45 eksi 2, 43'ü verir; 10 referans numarasıyla çarparsak 430 elde ederiz. Eksi 2 kere 35 70 verir. 70'i 430'dan çıkarmak için önce 100'ü ­çıkarın, bu bize 330'u verir ve 30 ekleyin, ­toplam 360 olur.

+35

10         8 X 45 = 430 - 70 = 360 ÎTÂET

— ©                           @

Bu, çarpım tablosunu hiç öğrenemeyeceğiniz anlamına mı geliyor ­? Hayır, sadece onu hatırlamanın başka bir yolunu öneriyorum ­. 7 çarpı 8 eşittir 56 ve 13 çarpı 14 eşittir 182'nin on katı veya daha fazlasını hesapladıktan sonra, bunu tekrar yapmak zorunda değilsiniz: cevap kendini hafızaya yazacaktır. Bu, ­basit tıka basa çalışmaktan çok daha verimli bir yoldur.

Çarpma işlemini hâlâ bitirmedik ama bir ara verelim ve ­şimdiye kadar öğrendiklerimizi pekiştirmek için biraz zaman ayıralım . ­Bazı problemler ­sizin için hala zorsa merak etmeyin ­, önümüzde daha birçok örnek var.

aldığımız yanıtları kontrol etmek için basit bir yönteme bakacağız .­

4. Bölüm

Herhangi bir okul sınavında yazlık evler için istisnasız ­her şeyi doğru çözmek ister misiniz ? Asla izin vermemekle ün ­yapmak ister miydiniz? hesaplama hataları ? Cevabınız evet ise , o zaman kimse hatanızı fark etmeden önce bir hatayı nasıl tespit edeceğinizi ve düzelteceğinizi size öğreteceğim .

Öğrencilerime sık sık matematiğin ­yeterli olmadığını söylerim. cevabı hesapla ; Alınan yanıtı kontrol edene kadar sorun çözülmez .

üzere olduğum cevap kontrol yöntemini ben geliştirmedim . Matematikçiler bunu muhtemelen bin yıldır biliyorlar, ancak gerçek şu ki, bazı nedenlerden dolayı çoğu ­ülkede okul müfredatına dahil edilmedi .

hesaplamalarda tamamen gözden kaçırdığım için birçok ­hata yapardım . Sorunları nasıl çözeceğimi biliyordum ve her şeyi doğru yaptım . Ama cevap yine yanlıştı ­. Bazen sıralamayı değiştirmeyi unuttum , bazen istemeden ­yanlış sayıları yazdım ve Tanrı bilir hangi nedenle talihsiz hatalar yaptım .

Öğretmenler ve veliler bana sürekli olarak kararlarımı iki kez kontrol etmem gerektiğini hatırlattı . Ancak bunu yapmanın bildiğim ­tek yolu ­sorunu yeniden çözmek. Ancak cevap farklıysa, hangi durumda doğru olduğunu nasıl bilecektim? Belki de sorunu ilk seferinde doğru çözdüm ve

Çözerken bir hata mı yaptınız? Bu nedenle, ­sorunun üçüncü kez çözülmesi gerekiyordu. Üç cevaptan ikisi aynı fikirdeyse, o zaman bu, düşündüğüm gibi, muhtemelen doğru ­cevaptı. Ya ­aynı hatayı iki kez yaparsam? Yazlık evi iki farklı şekilde çözmem önerildi . ­Bu sağlam bir ­tavsiyeydi. Ancak testlerde kimseye aynı sorunu üç kez çözmesi için süre verilmez. O zamanlar biri bana size öğretmek üzere olduğum şeyi öğretmiş olsaydı ­, muhtemelen bir matematik dehası olarak tanınırdım.

O günlerde bu yöntemin bilinmesine kızdım ama bana kimse öğretmedi. Buna bir sayının rakamlarını toplama veya dokuzları atma denir . ­Nasıl çalıştığı aşağıda açıklanmıştır.

Destek sayısı

Cevabın doğru olup olmadığını kontrol etmek için ­örnekte kullanılanlar yerine yerine koyma sayıları kullanırız. ­Bir futbol veya basketbol ­takımındaki yedek oyuncular, maç sırasında oyuncuların yerini almak için kullanılır. Rakamlarla benzer bir şey yapacağız, ­onlar için uygun "yedek" bulacağız. İkincisi, ­problemdeki ana sayılarla doğru cevaba ulaşıp ulaşmadığımızı kontrol etmemize yardımcı olacaktır.

Buna bir örnekle bakalım. Diyelim ki 13 ile 14'ü çarpıp 182 elde ettiniz. Bunun doğru cevap olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor.

13 × 14=182

Önce 13 sayısını bulduk. Rakamlarının toplamını bulalım ve ilk yerine koyalım:

1 + 3 = 4

4, 13'ün yerine geçer .

Bir sonraki sayı 14. Onun için de sayılarını topladığımız bir ikame ­bulalım :

1 + 4 = 5

5, 14'ün yerine geçer .

Şimdi çarpma işlemini orijinal ­yerine kullanarak yapalım . ikame numaraları:

4 × 5=20

20 yine iki basamaklı bir sayı, bu yüzden sayılarını toplayıp ­cevabın doğruluğunu belirlememize yardımcı olabilecek kontrol numaramızı alıyoruz:

2 + 0 = 2

2, cevabın doğruluğunu belirlemek için kullanılan bir kontrol numarasıdır.

Orijinal örneği doğru bir şekilde çözdüysek, cevabın rakamlarının toplamı kontrol numarasıyla çakışmalıdır.

Alınan orijinal cevabın numaralarını topluyoruz:

I     + 8 + 2 = 11

II       - bu iki basamaklı bir sayı ve tek basamaklı bir sayıya ihtiyacımız var, bu yüzden sayılarını topluyoruz:

1    + 1 = 2

2      aynı zamanda bir ikame numarasıdır, ancak bu sefer ­kontrol edilen cevap içindir. Kontrol numarası ile eşleştiği için örnek doğru çözülmüştür.

X 15'in çarpımını alarak tekrar deneyelim :

13 × 15=195

1 + 3 = 4 (nîflCTa^âKa 13. gün)

1 + 5 = 6 (nîflCTa^âKa 15. gün)

4 × 6=24

24 iki basamaklı bir sayıdır; Sayılarının kesin bir toplamını elde etmek için:

2 + 4 = 6

6 bizim kontrol sayımızdır.

Şimdi, örneği doğru çözüp çözmediğimizi kontrol etmek için, alınan orijinal cevabın numaralarını ekliyoruz.

1 + 9 + 5 = 15

15'i tek haneye çevirelim:

1 + 5 = 6

Bu cevap çek numarasıyla eşleştiğinden , ­orijinal örneği çözerken hata yapmadığımızdan emin olabiliriz .­

Bu prosedürün süresini daha da kısaltmanıza izin veren bir yol var. Test sırasında hesaplamalarımızda ­9 rakamıyla karşılaştığımızda , ­onu güvenle silebiliriz. Bir önceki yanıt olan 195 durumunda ­, 1 + 9 + 5'in toplamını bulmak yerine, 9'un üstünü çizebilir ve yalnızca 1 + 5'i ekleyebiliriz, bu da toplam 6 verir. ancak ­gereksiz işlerden kaçınır ve zaman kazandırır. Bu şeyleri her zaman severim.

İlk çözülmüş örneğin cevabına ne dersiniz - 182?

11'i elde etmek için 1 + 2 + 8'i ekledik ve sonra çek numarası 2'yi elde etmek için 1 + 1'i ekledik. 182'de iki hanenin toplamı ­9:1 ve 8'dir ­. istenen sonuç 2 numara. Ve hiçbir şey yapmanıza gerek yok.

Yöntemin nasıl çalıştığını görmek için başka bir örneği çözelim :­

167x346 = 57782

1 + 6 + 7 = 14

1 + 4 = 5

İlk numara ile hiçbir numara olmadı. 5, 167'nin yerine geçer ­.

3 + 4 + 6 =

3 + 6 = 9 olduğunu hemen fark ediyoruz , bu yüzden sanki orada değillermiş gibi 3 ve 6'nın üstünü çiziyoruz . Bu , 346 sayısının yerine geçen 4'ü bırakır .

test ettiğimiz örneğin yanıtında toplamı 9'a ulaşan dokuzlar veya rakamlar var mı ? Evet, var: 7 + 2 = 9, bu yüzden bu sayıların üstünü çiziyoruz. Gerisini toplarız : ­5 + 7 + 8 = 20. Ardından 2 + 0 = 2. Bu, cevabın yerine geçen sayıdır .

Ben genellikle örnekteki faktörlerin üstüne veya altına kurşun kalemle ikame sayıları yazarım . Bu gibi görünebilir­ aşağıdaki gibi :

167X346 = 57 \
82 5       4            2

Peki, doğru cevap alındı mı?

Yerine koyma sayılarını çarparız : 5 ile 4 20 verir . 20 sayısındaki rakamların toplamı 2'dir (2 + 0 = 2). Kontrole eşit bir sayı elde ettik , yani cevap doğru.

Başka bir örnek düşünün:

456X831 = 368936

İkame sayısının çarpanlarının altına yazıyoruz :

456 X 83\ = 368936
6            3            8

İlk çarpandan 4 ve 5'i çıkardığımız ve geriye 6 kaldığımız için bu sorun değildi ; sonra ikinci çarpandan sıfırları 8 ve 1'in üzerini çiziyoruz ­ve geriye 3 kalıyor; ve böylece ­cevaptaki neredeyse tüm sayıların üstünü çizmeyi başardık .

Şimdi ikame sayılarının bize ne verdiğine bakalım . 6 çarpı 3, 18'e eşittir, rakamlarının toplamı 9'dur ve üzeri de çizilebilir. 0 olarak kalıyor. Kontrol sayımız 8. Yani bir yerde hata yaptık.

Örneği tekrar çözerek 378936 elde ederiz.

Bu sefer doğru cevabı aldık mı? 936'nın üzeri çizilebilir, ardından ilk üç rakamı ekliyoruz: 3 + 7 + 8 = 18, bu da toplam 9 verir, bundan 0 da kalır, böylece atılabilir. Kontrol numarasıyla bir eşleşme var, bu da bu sefer ­cevabın doğru olduğu anlamına geliyor.

Dokuzlar atma yöntemi doğru cevabı aldığımızı kanıtlar mı? Hayır, ama cevabın doğru olduğundan neredeyse emin olabiliriz (bkz. Bölüm 16). Örneğin, son örneğin yanıtında yanlışlıkla sonuna fazladan bir sıfır ekleyerek 3789360 ­aldığımızı varsayalım ­. Dokuzlar atıldığında kontrolü etkilemeyecek ­ve bir hata yapılıp yapılmadığını belirleyemeyeceğiz. Ancak, bir yöntemin kullanılmasının bir hataya işaret ettiği durumlarda, durumun bu olduğundan kesinlikle emin olabiliriz.

Rolling 9s, hataları tespit etmeyi kolaylaştıran basit ve hızlı bir kontroldür ­. Yöntem, matematik testlerini doğru bir şekilde çözmenize yardımcı olacaktır, bundan emin olabilirsiniz.

Bu yöntem nasıl çalışır ?

Bir sayı düşünün ve onu 9 ile çarpın. 4'e 9 kaç eder? 36. Bu sayının rakamlarını (3 + 6) ekleyin ve sonuç 9'dur.

Başka bir sayı ile deneyelim. 3 kere 9 eşittir 27. Sayıları (2 + 7) ekleyin ve tekrar 9 elde ederiz.

11 kere 9, 99'dur . 9 artı 9 eşittir 18. Yanlış cevap? O kadar hızlı değil . 18 iki basamaklı bir sayı olduğu için sayıları tekrar topluyoruz ­: 1 + 8. Cevap yine 9.

Herhangi bir sayıyı 9 ile çarparsanız, tek basamaklı bir sayı elde edene kadar sayıları toplamaya devam ederseniz, elde edilen sayının toplamı her zaman 9'u verir. Bu , bir sayının 9'a kalansız bölünüp bölünmediğini öğrenmenin kolay bir yoludur .­

Bir sayının rakamlarının toplamı 9 veya onun katı ise o sayı 9'a kalansız bölünür.Bu nedenle ­herhangi bir sayıyı 9 veya onun katları ile çarparsanız sayının rakamları elde edilir. çarpma sonucunda toplamı 9 vermelidir (tek bir rakam elde edene kadar). Örneğin, aşağıdaki örneğin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmeniz gerekir:

135 X 83615 = 11288025

İlk çarpanın sayılarını ekleyelim:

1 + 3 + 5 = 9

135'in rakamlarının toplamının 9 olduğunu bildiğimiz için cevabı kontrol etmek için ikinci çarpanın (83615) rakamlarını toplamamıza gerek yok. Cevap doğruysa rakamlarının da toplamı 9 olmalıdır.

Cevabın rakamlarının toplamını bulalım:

1 + 1 + 2 + 8 + 8 + 0 + 2 + 5 =

8 + 1'i iki kez çizerek 2 + 2 + 5'i bırakarak 9'u elde edebilirsiniz. Böylece kontrol, cevabın doğru olduğunu gösterdi.

Başka ilginç şeyler bulabilirsiniz.

Bir sayının rakamlarının toplamı 9'dan farklıysa, o sayı 9'a bölündüğünde elde edilen kalan o sayıdır.

Örneğin 14'ü ele alalım. 1 artı 4 eşittir 5. Yani 5, 14'ün rakamlarının toplamıdır. Bu, 14'ü 9'a böldüğünüzde elde ettiğiniz kalandır. Kontrol edin: 14, 9'a bir kez bölünebilir ve kalan 14 − 9, bu da 5'i verir. Bir sayıya 3 eklerseniz, o sayının 9'a bölümünden kalanını 3 eklersiniz. Sayıyı ikiye katlarsanız, kalan yine ikiye katlanır. Başka bir deyişle, bir sayı ile ne yaparsanız yapın, kalan 9 ile yaparsınız, böylece bu kalanlar ­ikame sayıları olarak kullanılabilir.

9'a bölündüğünde neden kalanları kullanıyoruz? Örneğin 17'ye bölme işleminden sonra kalanı kullanmak mümkün değil mi? Elbette yapabilirsiniz, ancak 17'ye bölmek o kadar zahmetli ki, ­sonunda ortaya çıkan cevabın ­doğruluğunu kontrol etmek sorunun kendisinden daha zor olacak ­. 9 sayısını seçiyoruz çünkü ona bölündüğünde kalanı bulmanın kolay bir yolu var.

Bu yöntemin neden işe yaradığına dair daha fazla bilgi için Ek D'ye bakın.

Bölüm 5

1. Bölüm'de , çarpma işlemini çocuk oyuncağı ­haline getiren basit bir yöntem kullanarak sayıları çarpmayı öğrendik . Çarpanlar 10 veya 100'e yakın sayılar olduğunda kullanımı kolaydır . Peki ya 30 veya 60'a yakın sayıları çarpmaya ne dersiniz ? Çalışılan yöntemi onlar ­için de kullanmak mümkün müdür ? şüphesiz.

Çarpılması kolay olduğu için ­10 ve 100 sayılarını referans sayıları olarak seçtik . Yöntem, diğer referans numaralarıyla iyi çalışacaktır , ancak denemeniz ­gerekir . ile çarpması kolay olanları seçin .

Çarpma nî yaşıyor

20 ile çarpmak kolaydır çünkü 20, 2 x 10'a eşittir, bu da ­çarpması çok kolaydır. Çarpanlarla çarpmadan bahsediyoruz ve 10 ve 2, 20 sayısının çarpanlarıdır.

10 × 2=20

Bir örnek düşünün:

23x24 = _

23 ve 24, referans numarası 20'den büyüktür, bu nedenle ­çarpanların üzerine daireler çiziyoruz. Daha fazla, ama ne kadar? Sırasıyla 3 ve 4'te. Bu sayıları yukarıda çizdiğimiz ­karşılık gelen dairelere yazıyoruz çünkü ­pozitif sayılardan bahsediyoruz (23 = 20 + 3, 24 = 20 + 4).

20

+® + ®
23 X 24 =

Daha önce olduğu gibi çapraz olarak katlıyoruz:

23 + 4 = 27 IyoI 24 + 3 = 27

Şimdi gelen cevabı referans numarası 20 ile çarpıyoruz. Bunun için önce 2 sonra 10 ile çarpıyoruz:

27 × 2=54

54 × 10=540

(Bu bölümde daha sonra 27'yi 2 ile çarpmanın basit bir yolunu inceleyeceğiz ­.) Geri kalan her şey aynı. Dairelerdeki sayıları çarpıyoruz ve ­ara ­sonuca 540 ekliyoruz.

3X4 = 12

540 + 12 = 552

Tamamen çözülmüş bir örnek şöyle görünür:

+ ® + ®

20       23 X 24 = 27

540

+12

552 özür dilerim

Doğru cevabı alıp almadığımızı görmek için Bölüm ­4'te öğrendiklerimizi uygulayalım :

23 × 24=552

5612

3
23 ve 24 için ikame sayıları sırasıyla 5 ve 6'dır .

3 + 0 = 3

3 bizim kontrol numaramızdır.

Orijinal cevaptaki (552) sayıların toplamı 3'tür:

5 + 5 + 2 = 12

1 + 2 = 3

Ortaya çıkan sayı kontrole eşittir, bu da doğru cevabı aldığımız anlamına gelir.

Başka bir örnek deneyelim:

23x31 = _

3 ve 11'i 23 ve 31'in üzerine daire içine alıyoruz, çünkü çarpanlarımız referans numarası 20'den sırasıyla 3 ve 11 daha büyük ­.

+ ® + 11

20       23X31 = _

Çapraz olarak ekleyerek 34 elde ederiz:

31 + 3 = 34 ve 23 + 11 = 34

Gelen cevabı referans numarası 20 ile çarpıyoruz. Bunun için önce 34'ü 2 ile çarpıyoruz ve ne oluyorsa 10 ile çarpıyoruz.

34 × 2=68

68 × 10=680

Bu bizim ara cevabımız. Şimdi dairelerdeki sayıları çarpıyoruz:

3x11 = 33

680'e 33 ekleyelim:

680 + 33 = 713

Tamamen çözülmüş bir örnek şöyle görünür:

+ © + 11

20       23 X 31 = 34

680
+33

713 OTÂET

atarak cevabı kontrol ediyoruz ­.

23 × 31=713

5411

2

Yerine koyma sayılarını çarparız ve ardından cevabın sayılarını toplarız:

5 × 4=20

2 + 0 = 2

Bu bizim sağlama toplamımızla eşleşiyor, yani 713 doğru cevap.

İşte kendi başınıza karar vermeniz için size sunulan bazı örnekler. İşiniz bittiğinde, ­dokuzları yuvarlayarak cevaplarınızı kontrol edin.

a) 21x26 =                 b ) 24x24 =                    c    ) 23x23 =

d) 23 X 27 =               e) 21 X 36 =                e)   26 x 24 =

Bu örnekleri zihninizde çözebilmelisiniz. Biraz pratik yaparsan zor değil .­

20'den küçük sayıları çarpmaya ne dersiniz? Bunlar (veya en az biri) 15'ten büyük ancak 20'den küçükse, 20'yi referans numarası olarak kullanabilirsiniz.

Bir örnek çözelim:

20'yi referans numarası olarak alırsak şunu elde ederiz:

20       19 X 16 =

— d — ©

Toplamda çıkarma:

16 - 1 = 15 iyoi 19 - 4 = 15

20 ile çarpın:

15 × 2=30

30 × 10=300

300 ara yanıtımızdır.

Şimdi daire içindeki sayıları çarpıyoruz ve sonucu ­ara cevaba ekliyoruz:

1 X 4 =
4300 + 4 = 304

Tamamen çözülmüş bir örnek şöyle görünür:

20       19 X 16 = 15

— S — d 300

+4

304 OTÂET

referans numarası olarak 10 kullanarak çözmeye çalışalım :

+ © + ©

10       19 X 16 =

Çapraz olarak ekliyoruz ve ardından sonucu 10 ile çarparak bir ara cevap alıyoruz :­

19 + 6 = 25

10 × 25=250

Dairelerdeki sayıları çarpın ve sonucu ara cevaba ekleyin:

250 + 54 = 304

Tamamen çözülmüş bir örnek şöyle görünür:

+ ® + ®

10       19 X 16 = 250

+54

304 OTÂET

Bu, önceki sonucu doğrular.

Kullanılan iki referans numarası arasında çok fazla fark yoktur. Bu kişisel tercih meselesidir ­. Sizin için çalışması daha kolay olan referans numarasını seçmeniz yeterlidir.

Sayılar bîёü0e ve 20'den küçük

Üçüncü durum, bir sayının 20'den büyük ve diğerinin 20'den küçük olmasıdır. Örneğin:

+ 12

20       18X32 = _

-®

18 ve 12'yi toplayabilir veya 32'den 2'yi çıkarabilir ve ardından ­sonucu referans numarasıyla çarpabilirsiniz:

32 - 2 = 30

30 × 20=600

Şimdi dairelerdeki sayıları çarpıyoruz:

2x12 = 24

eksi 2 ile 12'yi çarpıyoruz , yani cevap -24.

600 - 24 = 576

Örnek çözüm şöyle görünür:

+12

20       18 X 32 = 30

- 2)                 600 - 24 = 576

+®

(24 çıkarmak için önce 30 çıkarın ve sonra ­6 ekleyin.)

Dokuzlar atarak cevabı kontrol edelim:

18 X 32 = 576
95 18
0               0

X 5'in çarpımı 0'dır, yani cevap doğrudur.

Lütfen daha fazla numara ekleyin

X 30'a kadar sayı çiftlerini nasıl çarpacağımızdan bahsetmiştik. ­Daha da büyük sayıları çarpmanız gerekirse ne olur ? ­Bu durumda ­50'yi referans sayı olarak kullanabilirsiniz, onunla çarpmak kolaydır çünkü 50, 100'ün yarısıdır veya 100'ü ­2'ye böler . ­.

Bir örnekle deneyelim:

50       46X48 = _

- ® - (2)

Toplamda çıkarma:

46 - 2 = 44 IyoI 48 - 4 = 44

44'ü 100 ile çarp:

44x100 = 4400

Aynı zamanda kendi kendimize şöyle deriz: “44 kere 100 eşittir 4400.” Şimdi 44'ü 50 ile çarpmaya eşdeğer olan yarısını alıyoruz ­ve 2200 elde ediyoruz.

4400 : 2 = 2200

Şimdi dairelerdeki sayıları çarpın ve sonucu ­2200'e ekleyin:

4x2 = 8

2200 + 8 = 2208

<50    46 X 48 = 4400

—® — @                    2200

__ +8

2208 yemin

Daha kolay ne olabilir? Başka bir örnek verelim:

53 X 57 =
+(3) +©

<50    53 X 57 =

Çapraz olarak toplarız, ardından sonucu referans numarasıyla çarparız (100 ile çarparız ve sonra 2'ye böleriz):

57 + 3 = 60

60x100 = 6000

6000 : 2 = 3000

Dairelerdeki sayıları çarpın ve sonucu 3000'e ekleyin:

3x7 = 21

3000 + 21 = 3021

Tamamen çözülmüş örnek şimdi şöyle görünür:

+ @ + ®

©        53 X 57 = 6000

3000

+21

3021 yemin

Aşağıdaki örneği çözelim:

52x63 =
+ 2 + 13
50      52x63 = _

Çapraz olarak toplayıp sonucu referans numarası ile çarpıyoruz (önce 100 ile çarpıyoruz, sonra sonucu 2'ye bölüyoruz):

63 + 2 = 65

65x100 = 6500

Şimdi 2'ye bölmemiz gerekiyor .

Sorun değil! Kendi kendimize şöyle deriz: “Altı binin yarısı üç bin eder. Beş yüzün yarısı iki yüz elli eder. Toplamda üç bin iki yüz elli çıkıyor.

Şimdi dairelerdeki sayıları çarpın:

2x13 = 26

3250'nin ara sonucuna 26 ekleyerek ­3276 elde ederiz. Tamamen çözülmüş örnek şimdi şöyle görünür:

+ @ + 13

50       52 X 63 = 6500

3250

+26

3276 yemin

akımı dışarı atarak cevabın doğruluğunu kontrol edelim :­

52 X ^63 = 3276

7        0          0

6 artı 3'te 63, 9'a eşittir ve üzeri çizilerek ­0 kalır.

Cevap 3 + 6 = 9 ve 2 + 7 = 9'dur, yani tüm sayıların üzeri çizilir. 7'nin 0 ile çarpımı 0'dır yani cevap doğrudur.

Bağımsız karar için birkaç örnek sunuyorum ­. Aklınızda çözebildiğiniz kadar çok örnek çözmeye çalışın.

б) 47 X 49 = г) 44 X 44 = Ѳ) 54 X 56 = ç) 51 X 72 =

б) 2303 г) 1936 Ѳ) 3024 ç) 3672

a ) 46X42 =

c) 46X47 =

e) 51 X 55 =

g) 51 X 68 =

Yanıtlar:

bir) 1932

2162

2805

gr) 3468

Görevi nasıl tamamladınız? Daha önce yeterince pratik yaptıysanız, ­bunları zihninizde çözmekte herhangi bir sorun yaşamamalısınız. Dokuzları yuvarlayarak cevaplarınızı kontrol edin .­

20 ve 50'yi referans numarası olarak kullanmak için sayıları kolayca ikiye katlayabilmeniz ve ikiye bölebilmeniz gerekir.

Bazen, örneğin, ­onluk tek sayı olan iki basamaklı bir sayıyı yarıya bölmemiz gerektiğinde, cevap doğal olarak gelmez. Örneğin:

78 : 2 =

78'i yarıya bölmek için , 70'i 2'ye, ardından 8'e bölebilir ve ardından sonuçları toplayabilirsiniz . Ama daha da kolay bir yol var.

78 = 80 - 2. 80 - 2'nin yarısı, 40 - 1'e eşittir. Cevap bu:

40 - 1 = 39

38'i ikiye katlamak için , bu sayıyı zihinsel olarak 40 - 2 olarak temsil edin. İki katına çıkan değer 80 - 4, yani 76 olacaktır.

Aşağıdaki örnekleri kendiniz deneyin:

a) 38 X 2 =	b) 29 X 2 =	c) 59 X 2 =
d) 68 X 2 =	D) 39 X 2 =	e) 47 X 2 =
Yanıtlar:
bir) 76	b) 58	118 _
136	d)78	94
Şimdi aşağıdaki örnekleri yapın:
a) 38 : 2 =	b) 56 : 2	=
a) 78 : 2 =	d) 94 : 2	=
34 : 2 =	e) 58 : 2	=
g) 18 : 2 =	c) 76 : 2	=
Yanıtlar:
bir) 19	28
bir) 39	47
D) 17	29
g) 9	38 _

 

Oldukça büyük sayıları 3 ve 4 ile ­çarpmak ve bölmek için aynı yaklaşım kullanılabilir ­. Örneğin:

19 X 3 = (20 - 1) X 3 = 60 - 3 = 57
38 X 4 = (40 - 2) X 4 = 160 - 8 = 152

 200 ve 500 sayıları

200 veya 500'e yakınsa , hem 200 hem de 500'ün referans sayısı olarak kullanılması kolay olduğundan hesaplamalar zor değildir .

x 216'nın çarpımını nasıl bulabiliriz ?

200'ü referans olarak kullanırsanız, örnek ­aklınızda dahil olmak üzere kolayca çözülür:

16        16

(200     216 X 216 =

216 + 16 = 232

232x200 = 46400

(232x2 = 464, 464x100 = 46400 )
16x16 =

10'u referans alarak 16 x 16'yı hesaplıyoruz .

® @

10        16x16 = 256

46400 + 256 = 46656 ÎTÂET

Peki ya 512x512 ?

12        12

(500)    512 X 512 =

512 + 12 = 524

512 x 500, 524 x 1000 bölü 2'ye eşittir .

524 x 1000 = 524000 veya 524 bin.

524 binin yarısı 262 bine eşittir.

524 bini ikiye bölmek için 500 bin ve 24 bin olarak bölebilirsiniz. Her iki sayının yarısını zihinsel olarak hesaplamak kolaydır ­. 500 binin yarısı 250 bine eşittir. 24 binin yarısı 12 bine eşittir. 250 bin artı 12 bin 262 bin veriyor.

Şimdi dairelerdeki sayıları çarpın:

12 × 12=144

262000 + 144 = 262144 ÎTÂET

küçük sayıların çarpımı

x 4'ün çarpımını bulmaya çalışalım :

106X4 = _ _

—© — ©

Referans sayı olarak 10 kullanıyoruz.Çarpanların altına daireler çiziyoruz çünkü hem 6 hem de 4 10'dan küçük.

6 - 6 = 0 iyoi 4 - 4 = 0

Şimdi dairelerdeki sayıları çarpın:

4x6 = _

Orijinal soruna geri döndük (6 x 4). Yöntemin ­bize hiçbir faydası yok gibiydi. Bu tür durumlar için de çalıştırılabilir mi ? ­Olabilir ama bunun için farklı bir referans numarası kullanmanız gerekiyor. 5 sayısını bu şekilde almaya çalışalım. 5, 10 bölü 2 veya 10'un yarısıdır. 5 ile çarpmanın en kolay yolu 10 ile çarpıp sonucu 2'ye bölmektir.

+ ©

(5        6 X 4 =

—©

6, 5'ten büyüktür, bu yüzden yukarıya bir daire çizelim. 4, 5'ten küçüktür, bu nedenle aşağıya daire onun için çizilir. 6, 5'e 1'den büyüktür, tıpkı 4'ün 5'e 1'den küçük olması gibi, dairelerin her birine 1 yazıyoruz.

4 ve 1'i çapraz olarak ekleyin veya 6'dan 1 çıkarın:

6 - 1 = 5 iyoi 4 + 1 = 5

5'i yine 5 olan taban sayıyla çarp.

Bunu yapmak için önce 10 ile çarparız ki bu bize 50 verir, sonra ­sonucu 2'ye bölerek 25 elde ederiz. Şimdi sayıları daire içinde çarpıyoruz:

1 x -1 = -1

Sonuç negatif bir sayı olduğu için, onu eklemek yerine ara cevaptan çıkarırız ­:

25 - 1 = 24

Böylece:

+ ©

(5        6 X 4 = 5

- (?)           25 - 1 = 24 ÎTÂET

Bu, küçük sayıları çarpmanın çok uzun ve hantal bir yoludur ­, ancak yöntemin ­biraz ustalıkla her durumda çalıştırılabileceğini gösterir ­. Dahası, bu tür yaklaşımlar , hayatta başarılı olmak istiyorsa, bir matematikçi ve genel olarak herhangi bir kişi için çok önemli olan yanal düşünme yeteneğini geliştirmeye yardımcı olur .­

Çarpım tablosunu iyi biliyor olsanız bile başka bir örneğe bakalım :­

(5        4 X 4 =

—© — ©

Toplamda çıkarma:

4 - 1 = 3

Sonucu temel sayı ile çarpın:

3x10 = 30

30 : 2 = 15

Şimdi dairelerdeki sayıları çarpın:

1x1 = 1

Bu sonucu ara cevaba ekleyelim:

15 + 1 = 16

Böylece:

(5)            4X4 = 30

- (D - Ç                 ¹⁵

+1

ÎTÂET

16

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 3 X 4 =	b) 3 X 3 =	c ) 6X6 =
d) 3 X 6 =	e) 3 X 7 =	e) 4X7 =
Yanıtlar:
bir) 12	9	bir) 36
d) 18	21	28

 

Eminim bu örneklerin çözümü sizin için en ufak bir sorun teşkil etmemiştir. Bunun küçük sayılar için çarpım tablosunu öğrenmenin en iyi yolu olduğunu düşünmüyorum . ­Bence en kolay yolu öğrenmek. Ancak bazı ­insanlar, çok yönlülüğünü test etmek için bu yöntemi kullanarak küçük sayıları nasıl çarpacağını bilmek istiyor. Diğerleri, çarpım tablosunu unutsalar bile gerekli çarpımı ­hesaplamanın kolay bir yolu olduğundan emin olacakları için bundan hoşlanabilir ­. Ayrıca çarpım tablosunu ezbere bilseniz bile bazen bu oyunları oynamak ve ­sayılarla deneyler yapmak faydalı ve eğlenceli olabiliyor.

Gördüğümüz gibi, 5 ile çarpmak için önce 10 ile çarpabilir, sonra sonucu ikiye bölebilirsiniz. 5, ­10'un yarısıdır. 6'yı 5 ile çarpmak için, 6'yı 10 ile çarparak 60 elde edebilir ­

ve ardından sonucu ­ikiye bölerek 30 elde edebilirsiniz.

Kendin dene:

a) 8 X 5 =	b) 4 X 5 =
c) 2 X 5 =	d) 6 X 5 =
Yanıtlar:
bir) 40	20
bir) 10	d) 30

 

Ve işte onlar sayısı çift olmadığında yapılması gerekenler ­. 7'yi 5 ile çarp:

7 × 10=70

70'i hemen ikiye bölmek zor geliyorsa, ­bir toplam olarak düşünün: 60 + 10. Yarısı 30 + 5 yani 35'tir.

Başka bir örneğe bakalım:

9X5 = _

9 kere 10 eşittir 90. 90, 80 + 10 olarak gösterilebilir. 80 + 10'un yarısı 40 + 5 olduğu için cevap 45'tir.

Kendin için karar ver:

б) 5 X 5 = г) 7 X 5 =

б) 25

г) 35

a) 3 X 5 = c) 9 X 5 =

Yanıtlar:

bir) 15

bir) 45

Bu, 5 sayısı için çarpım tablosunda ustalaşmanın kolay bir yoludur. Ve 5 ile çarpılabilen herhangi bir sayı için çalışır.

Örneğin:

14X5 = _

14 X 10 \u003d 140 ve dee ^ u ^ a 2 ile 140, 70 verir.

Aynı yol:

23x5 = _

23 × 10=230

230 = 220 + 10

110 + 5

110 + 5 = 115

Tüm bu hesaplamalar, biraz pratik yaptıktan sonra zihinde çok daha hızlı yapılır.

Bölüm 6

Sayılar, sayılardan oluşur: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Sayılar, kelime yapmak için kullandığımız harfler gibidir. 23, 2 ve 3 rakamlarından oluşan iki basamaklı bir sayıdır. ­Basamağın sayı içindeki konumu, bu basamağa karşılık gelen basamağı belirler. Örneğin 23 sayısındaki 2 sayısı onlar basamağına karşılık gelir ve 2 onlar, 3 sayısı birler basamağına karşılık gelir ­ve 3 birim anlamına gelir. 435 üç basamaklı bir ­sayıdır. 4 rakamı yüzler basamağına karşılık gelir ve ­4 yüz veya 400 anlamına gelir. 3 rakamı onlar sayısına karşılık gelir ­ve 3 onluk veya 30 anlamına gelir. 5 rakamı birim sayısına karşılık gelir ve 5 birim anlamına gelir, veya sadece 5. Bir sayı yazdığımız zaman, ­sayıların içinde bulunduğu sıranın hiç de önemi yoktur.

Paranın fiyatını veya miktarını yazarken, doları sentten ayırmak için ondalık virgülü kullanırız. Örneğin, 1,25 ABD Doları, ­bir doların yüzde biri (25 sent) 1,25 ABD Doları anlamına gelir. Virgülden sonraki ilk hane bir doların onda birini ifade eder (10 sentlik madeni paralar 1 dolara eşittir). Ondalık noktadan sonraki ikinci basamak, bir doların yüzde birini gösterir (100 sent, 1 dolara eşittir).

Ondalık sayıları çarpmak, ^[†]diğer sayıları çarpmaktan daha karmaşık değildir. Örneklere bakalım .­

Örneğin:

1,3 X 1,4 =

(1.3, bir ve onda üç; 1.4, bir ve onda ­dörttür.)

Örneği olduğu gibi yazıyoruz, ancak ­virgülleri yok sayıyoruz:

+ ® + ®

®        1,3 X 1,4 =

X 1.4 yazmış olmamıza rağmen örneği şu şekilde çözeceğiz:

13x14 = _

Virgülü unutun ve kendi kendinize “On üç artı dört eşittir on yedi... çarpı on... yüz yetmiş. Dört kere üç on iki. artı yüz yedi ­on. yüz seksen iki".

Örnek çözüm şöyle görünür:

+ ® + ®

@       1,3 X 1,4 = 170

+12

782 cevap

Ancak istediğimiz ürün 1,3 X 1,4 idi ve şimdiye kadar sadece 13 X 14 hesapladık. Örnek ­tam olarak çözülmedi. Cevapta ondalık noktayı nereye koyacağımızı bulmamız gerekiyor . ­Bunu yapmak için çarpanlara bakın ve ­virgülden sonraki basamak sayısını sayın. Virgülden sonra iki basamak vardır ­: 1.3'te 3 ve 1.4'te 4. Çarpanlarda virgülden sonra toplam iki hane olduğu için, cevapta da virgülden sonra iki hane olmalıdır. Sondan iki rakam sayıyoruz ve 1 ile 8 rakamları arasına virgül koyuyoruz.

1.82 OTÂET

Elde edilen cevabı kontrol etmenin basit bir yolu, ­yaklaşık olarak tahmin etmektir. Bu, orijinal sayıları (1.3 ve 1.4) kullanmak yerine ­sırasıyla 1 ve 1.5'e yuvarladığımız anlamına gelir. 1 x 1.5'in çarpımı 1.5 verir. Bu nedenle, istenen cevap 1 ile 2 arasında olmalı, örneğin 20 veya 200 değil. Bu, ondalık noktanın yerini doğru belirlediğimizi anlamamızı sağlar.

Bu örneği deneyelim:

9,6x97 = _

Problemi olduğu gibi yazalım ama 96 ve 97 sayılarından bahsettiğimizi varsayalım.

100       9,6 X 97 =

—® — @

96 - 3 = 93

93 x 100 (înîp^e sayısı^ = 9300

4 x 3 = 12
9300 + 12 = 9312

Ondalık noktayı nereye koyacağız? Örneğin çarpanlarında virgülden sonra kaç basamak vardır? Bir. Cevapta virgülden sonraki basamak sayısı aynı olmalıdır.

931.2 OTÂET

Ondalık virgülü nereye koyacağımızı belirlemek için çarptığımız her iki sayı için de virgülden sonraki basamakların toplamını saymamız gerekir. Cevapta virgülden sonraki basamak sayısının aynı olmasına dikkat etmeyi unutmayınız . ­10'u (9,6 yukarı yuvarlanmış) 90'la (97 aşağı yuvarlanmış) çarparak cevabınızı daha da kontrol edebilirsiniz , bu da 900'ü verir. Şimdi ­62'yiz

9000 veya 90 değil , 900 sayısı civarında olması gerektiğini biliyoruz .

â) 14 X 0,14 =

e) 13 X 1,5 =

9.6 ve 9.7'yi çarparsak , cevapta 93.12 elde ederiz ­. Bu gerçek , aksi takdirde çok açık olmayacak hesaplamaları daha da basitleştirmenin yollarını bulmamıza yardımcı olabilir . ­Bu olasılıkları birazdan gözden geçireceğiz . ­Şimdi ­aşağıdaki örnekleri kendi başınıza deneyin:

Yanıtlar:
bir) 1.69	6) 1.96	bir) 1.96
r) 93.12	9.216 _	19.5

a) 1,3 X 1,3 = r) 96 X 0,97 =

6) 1,4 X 1,4 = e) 0,96 X 9,6 =

Aşağıdaki örneği çözeceğinizi varsayalım ­:

0,13 X 0,14 =

Şunu hatırlayalım:

13 × 14=182

Nereye virgül koymalıyız? Her iki çarpanın da virgülden sonra kaç basamak vardır? Dört: birinci çarpandaki ­1 ve 3 sayıları ve ikinci çarpandaki 1 ve 4 sayıları . Bu nedenle ­cevapta sondan başlayarak dört haneyi saymak gerekir. Üç basamaklı bir cevabımız olduğu için (182) bir basamak eklememiz gerekecek . Bu nedenle, ­üç basamak sayar ve 0 ekleriz.

Yanıtımız şimdi şöyle görünür:

0.0182 OTÂET

0 koymamız gerekir , çünkü her zaman önünde en az bir tane olmalıdır.

sayı. Bizim durumumuzda ­virgülden sonra dördüncü hane olarak 0 ekleriz ve ayrıca virgülden önce 0 koyarız.

Öğrendiklerimizi pekiştirmek için başka bir örneğe bakalım ­:

0,014 X 1,4 =

14 × 14=196

Noktalı virgül nerede olmalı? Faktörlerin toplamı ­virgülden sonra dört haneye kadar çıkar, yani: birinci faktör için 0, 1 ve 4 ve ikincisi için 4. Bu nedenle, ondalık noktadan sonraki cevapta ­dört basamak olmalıdır. Cevapta sadece üç rakam olduğu için ­virgülden sonra dördüncü hane olarak 0 ekliyoruz .­

Cevap:

0.0196 OTÂET

Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözün:

a) 23 X 2,4 =                              b) 0,48 X 4,8 =

c) 0,048 X 0,48 =                        d) 0,0023 x 0,23 =

Kolay değil mi?

Ve işte kontrolün cevapları:

a) 55,2                                      b) 2,304

c) 0,02304                                 d) 0,000529

Bu basit ilkeyi bilmek, öğrendiğimiz yöntemi onlara uygularsak zor görünebilecek bazı sorunları çözmemize yardımcı olacaktır. Problemin koşullarında bazı değişiklikler yapıldıktan ­sonra , ­çözüm önemli ölçüde basitleştirilebilir. Bir örnek düşünün:

8x68 = _

Bu durumda hangi referans numarasını kullanmalıyız ­? 8 çarpanı için 10'u referans olarak kullanmak mümkün olabilir , ancak 68 için 100 kullanmak daha iyidir , çünkü bu 64

sayılar birbirine daha yakındır. Belki 50'yi dene? Ancak, sayılar birbirine yakın olduğunda yöntemimiz daha iyi çalışır . Bu durumda ­sorunu nasıl çözeceğiz ? Neden 8 ­yerine 8.0 yazmıyorsunuz ?

8 ile 8.0 arasında fark yok . İlk sayı (8), 8 birimimiz olduğu anlamına gelir ve ikincisi (8.0), bir ondalık basamağa kadar doğru olan 8 birimimiz olduğu anlamına gelir. Ancak, sıfır olan bu işaret, (8) tamsayı kısmından herhangi bir şey eklemez veya çıkarmaz.

Yani elimizde:

100       8,0 X 68 =

- (20 - 32

Şimdi sorun kolayca çözüldü. Toplamda çıkarma:

68 - 20 = 48

48'i referans numarası 100 ile çarpın ve 4800 elde edin. Dairelerdeki sayıları çarpın.

20 × 32=640

(20 ile çarpmak için önce 2 ile sonra 10 ile çarparız, çünkü 2 X 10 = 20.)

4800 + 640 = 5440

Böylece:

100       8,0 x 68 = 4800

- (20 - (32)       +640

5440

Şimdi virgülü doğru yerleştirmemiz gerekiyor ­. Problem cümlesindeki çarpanlarda virgülden sonra kaç basamak vardır? Bir, kendimize eklediğimiz sıfır. Böylece cevapta sağdan bir rakam saymış oluyoruz ­.

 

544.0 OTÂET

 

Genellikle benzer bir sayıyı ondalık noktadan sonra sıfır olmadan yazarız, yani 544.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 9 X 83 = d) 8 X 86 =

b) 9 X 67 =                  c) 9 X 77 = e) 7 X 89 =

 

İşte kontrolün cevapları:

bir) 747 688

b) 603                        c) 693 e) 623

 

Örnekleri çözmek zor olmadı değil mi?

herhangi bir çarpma problemini çözmek için bu yaklaşımları ­kullanabilirsiniz ­.

Bölüm 7

Çarpma yöntemimiz büyüklük olarak çok fazla farklılık göstermeyen sayılar için gayet iyi çalıştı ­. Aksi takdirde yöntem de çalışır ancak ­hesaplamalar daha hantal olacaktır. Örneğin, 13 x 64'ün ne kadar olacağını hesaplamak istesek ne olur ? Hangi taban numarasını seçmeliyiz? Bu bölümde, ­aynı stratejiyi izlememize izin veren, ancak iki pivot numarası kullanan basit bir yönteme bakacağız.

İki referans numarası kullanarak büyüklükleri çok farklı olan iki sayıyı çarpabilirsiniz . ­Önce konunun özüne inelim, sonra size yöntemin nasıl çalıştığını göstereceğim. Örnek olarak 8 x 27'yi ele alalım . 8, 10'a daha yakındır, bu nedenle ilk referans numarası olarak 10'u kullanırız. 27, 30'a daha yakındır, bu nedenle 30, ikinci referans numaramız olacaktır. Verilen sayılardan ­çarpmanın en kolay olduğu sayıyı seçiyoruz. 10 ile çarpmak çok kolay olduğu için ­onu seçeceğiz. Ana referans numaramız olacaktır . ­İkinci referans numarası, ana referans numarasının katı olmalıdır. Seçtiğimiz sayı, ana sayının katıdır ve onu üç kez aşar (30: 10 = 3). Daire çizmek yerine örnek koşulun soluna parantez içinde iki referans numarası yazıyorum.

Ana pivot numarası 10'dur. İkinci pivot ­numarası 30 veya 3 x 10'dur. Pivot numaralarını parantez içinde birinci ile ifade edilen ikinci sayı olarak yazıyoruz, yani:

( 10X3 ) 8X27 =

Örnekteki her iki faktör de referans numaralarından daha küçüktür ­, bu nedenle faktörlerin altına daireler çiziyoruz. Referans numarası 10 olan 8 rakamının altına bir daire daha çizin.­

( 10X3 )         8X27 = _

Kaç tanesi 8 ve 27 referans numaralarından küçüktür ( ­3'ün 30'u temsil ettiğini unutmayın)? 2 ve 3'te. 2 ve 3'ü daireler halinde giriyoruz.

( 10X3 )         8X27 = _

Şimdi 8'in altında bulunan 2'yi parantez içindeki 3 ile çarpalım.

2x3 = 6

2'nin altına en alttaki daireye 6 yazıyoruz. Şimdi ­en alttaki dairedeki sayıyı 27'den çapraz olarak okuyorsunuz:

27 - 6 = 21

21'i ana referans numarası 10 ile çarpın:

21 × 10=210

210 bizim ara yanıtımızdır. Geri kalanını elde etmek için üst halkalardaki sayıları ­(2 ve 3) çarparız, bu da bize 6 verir. 210'a 6 ekleyin ve ­nihai cevabı elde ederiz: 216.

( 10x3 )        8x27 = 210

-       (2) - (3)        +6

-       ®              216 OTÂET

Başka bir örnek çözelim:

9 48 =

Hangi taban sayılarını seçmeliyiz? 10 ve 50. Örneği yeni bir şekilde yazalım :­

( 10X5 )         9X48 = _

Her iki çarpan da referans numaralarından küçük olduğu için daireleri en alta yerleştiriyoruz. Referans numaralarından ne kadar küçüktürler? 1 ve 2'de. Dairelere 1 ve 2 girin:

( 10X5 )         9X48 = _

-       § ^- ®

9'un altındaki 1'i parantez içindeki 5'in katıyla çarpalım .

1x5 = 5

1'in altındaki en alt daireye 5 yazıyoruz . Şimdi örneğimizin çözümü şu şekilde:

( 10X5 )         9X48 = _

-       ben ^- ®

48'den 5 çıkarın :

48 - 5 = 43

Eşittir işaretinden sonra 43 yazalım . 43'ü referans numarası 10 ile çarpın (bunun için 43'ün sağına 0 atarız ), bu da cevabı verecektir.

43 × 10=430

Son adım olarak, üstteki iki dairedeki sayıları çarpın:

1x2 = 2

Ara cevap 430'a 2 ekleyelim:

430 + 2 = 432

Tamamen çözülmüş örnek şimdi şöyle görünür:

( 10x5 )         9x48 = 430

— © — 2          +2

- @                 432 OTÂET

Basit, değil mi? Karşılaşabileceğiniz tek zorluk, bir sonraki adımın ne olması gerektiğini hatırlamaktır.

Faktörler referans numaralarından büyükse, ­aşağıdaki gibi hareket ederiz. 13 x 42'nin çarpımını örnek olarak alalım:

+12

+(h) + 2>

( 10x4 )          13x42 = _

Ana referans numarası 10'dur. İkincisi ise 40 veya 10 x 4'tür. Referans numaralarını , çarpılmakta olan sayılardan küçük veya büyük olacak şekilde seçmeye çalışıyoruz . ­Bu örnekteki her iki faktör de ­ilgili referans numaralarından daha büyüktür, bu nedenle üstte daireler çizdik. 13 faktörü, 10 ana referans numarasına karşılık gelir, bu yüzden bu faktörün üzerine iki daire çizeriz. Referans numaraları 13 ve 42'den kaç tane daha fazla ? ­3 ve 2'de. Alt dairelere 3 ve 2 giriyoruz. Dairedeki 3'ü parantez içindeki 4 ile çarpan 13'e göre çarpın.

3 × 4=12

13'ün üzerindeki üst çembere 12 yazıyoruz. Şimdi ­çapraz olarak katlıyoruz.

42 + 12 = 54

54'ü 10 referans numarasıyla çarparsak 540 olur. Bu bizim ara cevabımızdır. Şimdi alt dairelerdeki ­sayıları çarpalım .

3x2 = 6

cevabı ­elde etmek için 540'a 6 ekleyelim : 546. Tamamen çözülmüş örnek şöyle görünür:

+12

+ (3) + 2)

(10 X 4)

540

13x42 =
+6 _

546 ÇIKIŞ

10 olması gerekmez. 23 X 87'nin çarpımını bulmak için ana referans numarası olarak 20 , ikinci referans numarası olarak 80 (20 X 4) kullanmak ­daha mantıklıdır .

Öğrendiklerimizi bir örnekle pekiştirelim:

( 20x4 ) 23x87 =

Örnekteki her iki faktör de referans numaralarından ­(20 ve 80) büyüktür, bu nedenle üstte daireler çiziyoruz. Daha ne kadar? 3 ve 7'de. Karşılık gelen dairelere 3 ve 7'yi giriyoruz.

+ ®

(20 X 4)

23 X 87 =

23 çarpanının üzerinde olan 3'ü parantez içinde 4 ile çarpıyoruz ­.

3X4 = 12

3'ün üzerindeki üst çembere 12 giriyoruz. Şimdi yaptığınız iş şuna benziyor:

+12

+® + ®

( 20x4 )         23x87 = _

Şimdi 12 ve 87'yi ekleyin.

87 + 12 = 99

99'u ana referans numarası 20 ile çarpıyoruz:

99 × 20=1980

X 20 çarpımının cevabını bul. )

Şimdi alt dairelerdeki sayıları çarpın.

3x7 = 21

1980 + 21 = 2001

Örneğin nihai çözümü şöyle görünür:

+12

+ ® + ®

( 20x4 )         23x87 =                    99 1980

+21

2001 OTÂET

Bağımsız bir karar için üç örnek sunuyorum ­:

a) 14 X 61 =                b) 96 X 389 = c) 8 x 136 =

8 X 136'nın çarpımını hesaplamak için 10 ve 140 (10 X 14) rakamlarını referans numarası olarak kullanın. Yanıtlar:

а)      854                      b) 37344                    c) 1088

b) ve c) örneklerini birlikte çözelim:

б)      96X389 = _

numaraları ­olarak kullanacağız :

( 100X4 )         96X389 = _

— © — ®

96 çarpanının altındaki dairedeki 4'ü parantez içindeki 4 ile çarpıyoruz ­:

4 × 4=16

4'ün altındaki alt daireye 16 giriyoruz. Şimdiye kadar çözüm şöyle görünüyor:

( 100X4 )          96X389 = _

f- o

389'dan 16 çıkarıyoruz ve 373 elde ediyoruz. Ardından, 373'ü ana referans numarası 100 ile çarpıyoruz, bu bize 37300 verecek.

( 100x4 )          96x389 = 37300

Şimdi 4 ve 11'i daireler içinde çarparak 44 elde edin. 44 ve 37300'ün toplamı 37344'ü verir.

Tamamen çözülmüş bir örnek şöyle görünür:

( 100x4 )         96x389 = 37300

f— ®                  +44

37344 açık

Şimdi örnek c'yi çözmeye çalışalım):

8X136 = _

Referans numarası olarak 10 ve 140 (10 X 14) alalım :

( 10X14 )          8X136 = _

— (2) — ©

8'in altında 2'yi parantez içindeki 14 sayısıyla çarpın:

2x14 = 28

Alt daireye 2'nin altına 28 yazıyoruz.Şimdi 136'dan 28'i çıkarıyoruz (önce 30'dan sonra 2 tane daha çıkarıyoruz) ve 108'i elde ediyoruz. şimdiye kadar şöyle görünüyor ­: yol:

( 10x14 )            8x136 = 1080

— 2 — ©

- 28

Şimdi dairelerdeki 2 ve 4 sayılarını çarpın.

2 × 4=8

1080'e 8 ekleyelim ve son cevabı alalım: 1088.

( 10x14 )           8x136 = 1080

— 2 — ©              +8

- <28                 1088 ÎTÂET

96'yı 47 ile çarpmak için referans numarası olarak 50 veya 100:50 X 2 veya 100:2 kullanabiliriz.Bu durumda 100:2 daha iyi olur çünkü 100 ana referans numarası olur . ­100 ile çarpmak 50 ile çarpmaktan daha kolaydır . Bir çözüm için örnek ­yazarken ­ana referans numarasını gösteren ilk çarpanı belirtmenin daha iyi olacağına dikkat edin.

Öyleyse çözüme geçelim:

96X47 = _

100 ve 50'yi referans numarası olarak alalım:

(100 : 2)       96 X 47 =

— ® — ®

96 ­çarpanının altındaki daire içindeki 4 sayısını parantez içinde bölen 2'ye bölün :

4 : 2 = 2

Gelen cevap 2'yi başka bir daireye 96'nın altına yazıyoruz.

47'den 2'yi çıkarın ve cevabı (45) ana ­referans numarasıyla ( 100 ) çarpın. Sonuç olarak, 4500 elde ederiz:

(100 : 2)       96 X 47 = 4500

— (D — ®

—®

Ardından, dairelerdeki ilk iki haneyi çarpın (-4 x X -3 = 12) ve sonucu 4500'e ekleyin. Sonuç olarak, 4512 elde ederiz:

(100 : 2)       96 X 47 = 4500

— ® — ®          +12

- @                 4512 ÎTÂET

birincil pivotunuz olarak 100'ü ve ikincil pivotunuz olarak 25'i (100:4) kullanabilirsiniz . ­Şöyle görünecek:

(100 : 4)       96 X 23 =

- ® - @

96'nın altındaki 4'ü parantez içinde 4'e bölelim . 4 bölü 4 1 verir ­. Bu sayıyı 96'nın altına başka bir daireye

yazalım :­

(100 : 4)

96 X 23 =

22'yi elde etmek için 23'ten 1 çıkarın. ­2200'ü elde etmek için 22'yi temel referans numarası 100 ile çarpın.

(100 : 4)       96 X 23 = 2200

Üstteki iki dairedeki sayıları çarpın.

4x2 = 8

2200'e 8 ekleyelim ve son cevabı alalım: 2208.

(100 : 4)       96 X 23 = 2200

- (D - @              +8

- Q 2208 KAPALI

Ya 97 ile 23'ü çarpmamız gerekse? Stratejimiz bu durumda uygulanabilir mi? ­Deneyelim ­:

(100 : 4)

97 X 23 =

3, деленное на 4, — это

1 и прибавить 4- ):

- . Вычтем -

44

из 23 (надо отнять

23 -

3

-­

4

= 22

1

-­

4

Ondalık olarak bir çeyrek 0,25 olarak yazılır ( 100'ün _4'ü 25'e eşittir). Böylece:

22 1 - x 100 = 2225

4
Dairelerdeki sayıları çarpın.

3x2 = 6

2225 + 6 = 2231

( 100:4)        97x23 = 2225

- @ - (2)              +6

<34               2231 KAPALI

447

Bu nedenle, yöntemimiz bu gibi durumlarda eşit derecede iyi çalışır.

Peki ya 88X343 ? Referans numarası olarak 100 ve 350 kullanabilirsiniz.

(100 : 32)

88 х 343 =

1

—

2-

(100 : 32)

X 12, умножьте 12 на 3, а

3'ün çarpımını bulmak için 12'nin yarısını cevaba yani 6'ya ekleyin. 42 elde edersiniz .

343 - 42 = 301

301 X 100 boyun desteği ^ e chyso) \u003d 30100

12 × 7=84

30100 + 84 = 30184
88 x 343 = 30100

— 12     — ©          +84

- 42                    30184 OTÂET

nî4eMy bu yöntem işe yarıyor mu?

Detaylı açıklama yapmayacağım ama bir örnekle göstermeye çalışacağım. 8 X 17 ürününü düşünün .

16'yı elde etmek için 8'i ikiye katlayabilir, sonra ­16'yı 17 ile çarpabilir ve orijinal sorunun doğru cevabı olan cevabın yarısını elde edebiliriz. Bu oldukça uzun bir yürüyüş ama iki eksenli yöntemin neden işe yaradığını gösteriyor ­. Referans numarası olarak 20 kullanacağız.

20       16X17 = _

—® — @

17'den 4'ü çıkarın ve 13'ü elde edin. 13'ü referans numarası 20 ile çarparsak, cevapta 260 elde ederiz. Şimdi sayıları daire içinde çarpın:

4X3 = 12

Ara cevap olan 260'a 12 ekleyerek nihai sonucu elde ederiz: 272. Ama 8 yerine 16 ile çarptığımız için aslında cevabı ikiye katlamış olduk. 272 bölü 2 bize 8 ­X 17 örneğinin cevabını verir , yani 136.

20      16x17 = 13

—® — (3)              260

+12

272 OTÂET

272'nin yarısı 136'ya eşittir. Böylece:

8x17 = 136

Bu yüzden en başta çarpanı ikiye katladık ve en sonunda cevabı yarıya indirdik. Bu iki işlem birbirini iptal eder. Bu durumda, hesaplamaların önemli bir kısmından kurtulabilirsiniz. Bu durumda iki pivot sayı yönteminin nasıl çalıştığını görelim :­

( 10x2 )           8x17 = 130

-       @ - ®          +6

-       @              136 OTÂET

İkinci çözümde 17'den 4'ü çıkardığımıza dikkat edin; ilk yöntemle çözdüğümüzde de aynısını yaptık. Sonuç 13 oldu, sonra bunu 10 ile çarptık. İlk yolu çözerek, yani 13'ü 10 ile çarpmadan önce ikiye katladık ve ­sonunda cevabı yarıya indirdik . ­İkinci şekilde çözerek, 6 cevabını veren dairelerdeki sayıları (2 ve 3) çarptık, yani birinci yolu çözerek elde edilen 12'nin yarısı ­.

Herhangi bir referans numarası kombinasyonu kullanılabilir ­. Genel kurallar şunlardır:

•     Öncelikle referans numaralarının rolü için çarpması kolay olanları, yani 10, 20, 50 vb. seçmek gerekir.

•     numarasının ­katı olmalıdır , yani iki, üç, dört, vb. olmalıdır.

Önerilen çözümleri kendi başınıza deneyin. Matematiksel hesaplamaları bir şekilde basitleştirme olasılığı her zaman vardır. Ve bu yöntemleri her kullandığınızda, matematiksel becerilerinizi geliştirirsiniz.

Bölüm 8

Çoğumuz toplamanın çıkarmadan daha kolay bir işlem olduğunu düşünürüz . Bu bölümde , toplamayı nasıl daha da kolaylaştıracağımızı öğreneceğiz .

Aklınızda 43 ve 9'u nasıl eklersiniz ?

En kolay yol, 53 elde etmek için önce 10 eklemek ve sonra 1 çıkarmaktır. Cevap 52'dir.

Herhangi bir sayıya 10 eklemek kolaydır : 36 artı 10 eşittir 46; 34 artı 10 eşittir 44 ve böyle devam eder.Sayıya her 10 eklediğinizde sadece onlar sayısını 1 artırın (daha fazla ayrıntı için Bölüm 6'ya bakın).

Zihinsel toplama için temel kural şudur ­: _

Bir sayıya 9 eklemek için , ona 10 ekleyin ve ­bu 1'i çıkarın; 8 eklemek için 10 ekleyin ve 2 çıkarın; 7 eklemek için 10 ekleyin ve 3 çıkarın , vb.

Bir sayıya 47 eklemeniz gerekiyorsa , 50 ekleyin ve 3 çıkarın. 196 eklemek için 200 ekleyin ve 4 çıkarın . ­Bu , sayıları aklınızda tutar. Bir sayıya 38 eklemek ­için 40 ekleyin ve ­2 çıkarın . Bir sayıya 288 eklemek için ­300 ekleyin ve sonuçtan 12 çıkarın .

Zihinsel toplamayı deneyin . Cevabı yüksek sesle söyleyin . 34 + 9 için "Kırk dört, kırk üç" demeyin . Cevabı söylerken birer birer düzeltin, böylece " Kırk üç " elde ­edersiniz . dene ­_ Aşağıdaki örnekleri çözünüz. İkisi için bir ipucu sunulur.

a) 56 + 8 =

—®

r) 65 + 9 =

—(D

Ответы:

64

r) 74

38 + 9 =

Д) 47 + 8 =

6) 47

Д) 55

â) 76 + 9 =

e) 26 + 7 =

â) 85

e) 33

İki sayının zihninde sıralama _

Bir sayıya 38 nasıl eklenir? 38 eklemek için önce sayıya 40 eklemeli ve ardından elde edilen miktardan 2 çıkarmalısınız.

Peki ya 57? 60 ekleyin ve 3 çıkarın.

86 nasıl eklenir? 100 ekleyin ve 14 çıkarın.

Zihninizde bir sayıyı diğerine eklemek için basit bir kural vardır:

Eklenen sayıdaki birim sayısı 5'ten büyükse, sayı yukarı yuvarlanmalı ve ardından ­yuvarlama hatasını elde edilen miktardan çıkarmalıdır. Birim sayısı daha azsa, ­önce ­onlar, sonra birimler eklenir.

Zihninizde iki basamaklı sayıların toplamını hesaplarken önce ­her iki sayıdaki onluğu temsil eden rakamları, sonra birimleri toplayın. Eklenen sayının birler basamağı ­5'ten büyük veya ona eşitse, onu yuvarlarız , toplamı hesaplarız ve ­yuvarlanan değer ile orijinal sayı arasındaki farkı ­sonuçtan çıkarırız . ­Örneğin, 47 eklerken, 50 ekleyin ve sonuçtan 3 çıkarın.

35, 67 ve 43'ü toplamak için 35 ile başlıyoruz, buna 70 ekliyoruz, bu da bize 105 veriyor, 3'ü çıkarıyoruz (102 elde ediyoruz), 40'ı ekliyoruz (toplam 142) ve sonra 3 daha (sayı) olanlar), son cevabı alma 145 .

Biraz pratik yaparak, zihninizde sayıları toplamaya devam edebileceğinizden emin olabilirsiniz. Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözmeye çalışın:

a) 34 + 48 =              b) 62 + 26 =               c) 82 + 39 =

d) 27 + 31 =              e) 33 + 44 =               f) 84 + 76 =

g) 44 + 37 =

Yanıtlar:

a) 82                         b) 88                          c) 121

ç) 58                         e) 77                          f) 160

gr) 81

Son örnekte, 37'nin 40'tan 3 eksik olduğunu fark etmiş olabilirsiniz, yani 40'ı toplayıp 3'ü ­çıkartabilirsiniz . ­Zihninizde buna benzer problemleri çözerek, zamanla ­bunların hiç de zor olmadığını anlayacak ve ­hesaplamaları daha da basitleştirmenin yollarını aramaya başlayacaksınız.

Üç basamaklı sayıların toplamını bulmak için de aynı yöntemi kullanırız.

355, 752 ve 694'ü toplayarak ­çözüm sürecinde kendi kendine şöyle diyebilir: “Üç yüz elli beş artı yedi yüz (bin elli beş), artı elli (bin yüz beş) , artı iki (bin yüz yedi), artı yedi yüz altı dakikadan bin sekiz yüz bire. Ayrıca soldan sağa , yani önce yüzler, sonra onlar, sonra birler eklemeyi de tercih edebilirsiniz . ­82

Biraz pratik yaparak benzer sorunları çözmeye başlayacaksınız .­ çok fazla sorun olmadan zihindeki görevler .

İşte bazı örnekler:

359 + 523 = â) 456 + 298 =

123 + 458 = г) 345 + 288 =

Yanıtlar:

б) 581

г) 633

bir) 882

bir) 754

a) durumunda 359'u 360'a yuvarlayabilirsiniz. 523 artı 300, 823, artı 60, 883, eksi 1, 882'dir ­. Çözüm Her iki seçenek de zor değil.

Örnek c) ile de herhangi bir sorun yaşamamalısınız. 298'i 300'e yuvarlayabilirsiniz.

456 + 300 = 756

756 - 2 = 754

Kafanızda sayıları toplamak, önce çantanızdan, cebinizden veya masanızın çekmecesinden çıkarmanız gereken kağıt ve kalem bulmaktan veya hesap makinesi kullanmaktan daha az zaman alır.

4,95 $, 6,95 $ ve 13,95 $ eklemek için tek yapmanız gereken ­5 $ + 7 $ + 14 $ eklemek ve toplamdan 15 sent çıkarmak. Sırayla ­12, 22 ve 26 elde etmek için önce onlar, sonra birler ekleyin .

5 + 7 = 12

12 + 14 = 26

Ara cevap 26,00 $'dır . şimdi çıkar

15 sent ve son cevabı alıyoruz: 25.85 $ .

Diyelim ki aşağıdaki sayıları toplamamız gerekiyor:

495

695
+1395

Bu durumda, cevap daha az açıktır. Ancak aynı görevdir. Bu yaklaşımı para eklemek için her zaman kullanabiliriz (gerçi pek çoğu kullanmaz), ancak ­bunun tam olarak aynı problem olduğunu, sadece ondalık nokta olmadan ­düşünmekte zorlanıyoruz ­.

oluşma sayısıyla çarpın . ­Aşağıdaki sayıları toplamamız gerektiğini varsayalım :­

119.95

59.95

119.95

119.95

14,95
+ 119,95

yerel bir mağazada sunulan malların fiyatları olabilir . ­Toplamlarını nasıl bulursunuz?

Öncelikle, listedeki her bir fiyatı (sayıyı) yuvarlamalısınız. 119,95 $ 120 $'a, 59,95 $ 60 $'a ve 14,95 $ 15'e yuvarlanmalıdır. Cevabı aldıktan sonra yuvarladığımız kadar 5'e düzeltmemiz gerekiyor.

İkincisi, 119.95$ fiyatı dört kez oluştuğu için onu 4 ile çarpabilir ve ardından ­cevaba başka değerler ekleyebilirsiniz. 120 dolar çarpı 84

4 için 480 dolar ver . Şimdi 60 $ ve 15 $ ekleyin . 480 artı 60 , 540 ve 540 artı 15 , 555'tir .

bir fiyatı yuvarlamak için eklediğimiz ­5 senti ayarlayalım . Altı kez 5 sent ekledik . 5 senti 6 ile çarp ve ­çay al Hesaplama sırasında eklediğimiz toplam kuruş miktarı olarak 30 kuruş . Son cevabı almak için bu değeri ­çıkarın .

555 dolar eksi 30 sent eşittir 554.70 dolar ( sizden 1 dolar alıp 70 kuruş geri verdiler ).

İşte büyük sayıların zihinsel olarak toplanmasına bir örnek:

8461
+ 5678

Binler basamağına karşılık gelen sütunla başlıyoruz.

8 artı 5 eşittir 13. Binler basamağında çalıştığımız için cevap 13 bin. Yüzler basamağındaki sayıların toplamının 10'a ulaştığını, yani bin olduğunu görüyoruz. Yani bizim hesaplarımızın sonucu 14 bin iken.

Üst terimden 61 ekleyelim. 14061.

Şimdi 78 ekleyelim.

Yerinde olsam 80 toplayıp 2 çıkarırdım. Bunu yapmak için 100 toplayıp 20 çıkarıyorum. Yani 100 toplayıp ­20 çıkarmanız ve ardından 2 tane daha çıkarmanız gerekiyor.

14061 artı 100 eşittir 14161, eksi 20 eşittir 14141, eksi 2 daha eşittir 14139.

Başka bir yöntem, ­ikinci terimi birinci terime parçalar halinde eklemektir: önce binler, sonra yüzler, sonra onlar ve son olarak birler.

"Sekiz bin dört yüz ­altmış bir artı beş bin, on üç bin 85 dört yüz altmış bir artı altı yüz eşittir on dört ­bin altmış bir artı yetmiş sekiz." Ardından yukarıda açıklandığı gibi 78 ekleyin.

soldan sağa doğru ekleyerek kendiniz çözmeye çalışın :­

3456 _ + 3914	9785 + 1641	a) 4184 + 1234
ç) 2750	2156
+ 5139	+ 2498
Yanıtlar:
7370 _	b) 11426	a) 5418
d) 7889	4654

 

Aşağıdaki sayıları toplamamız gerektiğini varsayalım:

6

8
+4

Bu sayıları toplamanın basit bir yöntemi şu şekildedir:

6 + 4 = 10, 10 + 8 = 18

Çoğunuz bunu 6 + 8 + 4 = 18'den daha kolay bir çözüm olarak bulacaksınız (6 artı 8 14, artı 4 daha fazla 18).

Yani basit kural şudur:

Bir sayı sütununu toplarken, önce ­toplamı ona veya onun katına kadar olan sayı çiftlerini toplayın ­ve ancak ondan sonra diğer sayıları ekleyin.

, onun katını elde etmek için her zaman önce bu terimi toplamaya çalışın . ­Yani, hesaplama sürecinde toplam 27'ye ulaşırsanız ve sonraki terimler 8 ve 3 ise, 8'i değil, önce 3'ü ekleyin, bu size 30 verir ve sonra 86'yı ekler .

8, size 38 verecek . ­Burada sunulan çarpma yöntemlerine uygun şekilde hakim olarak , anında tanıyacaksınız . Toplamı 10 veya katları olan sayılar , böylece hesaplamalar neredeyse otomatik hale gelir .

 

sonucunu kontrol etmek için dokuzları çöpe attığımız gibi , ­aynı yaklaşımı bir toplama veya çıkarmanın sonucunu kontrol etmek için de kullanabiliriz .­

Bir örnek düşünün:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 0

4 2 7 3 5

+ 2 1 8 6 5

cevapta 144835 aldık .

Bu doğru cevap mı?

Dokuzları atarak veya ikame sayı yöntemini kullanarak bunu kontrol edelim:

1 2 3 4 5                    6

6 7 8 9 0	21	3
4 2 7 3 5		3
+ 2 1 8 6 5	13	4
1 4 4 8 3 5		7

 

6, 3, 3 ve 4 sayılarıdır. 6 ve 3'ün toplamı 9'dur, atılabilirler. Geriye 3 ve 4 kalır. 3 + 4 = 7. 7 bizim kontrol numaramız veya test ­cevabımızdır.

, dokuzlar yuvarlandıktan sonraki rakamların toplamına göre 7 olmalıdır . ­Hadi kontrol edelim:

\ + 4 + X+X + 3 + X = 7

Cevap doğru.

Yukarıdaki sayılar ondalık noktalı para toplamları olsaydı, çözüm aynı kalırdı ­. Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme dahil olmak üzere hemen hemen tüm hesaplamaları ­kontrol etmek için bu yöntemi kullanabilirsiniz ­.

Kendin dene. Aşağıdaki örneklerde verilen tüm cevapların doğru olup olmadığını kontrol ettiniz mi ? ­Dokuzlar atarak bunu yapın. Bir hata bulursanız ­, düzeltin ve ­dokuzları yuvarlayarak cevabınızı tekrar kontrol edin.

bir) 12345	25137	A) 58235
67890	15463	21704
2531	51684	+97105
+ 72406	+25170	177144

155172

17454

Bölüm 9

Çoğu insan , çıkarmanın eklemekten daha zor olduğunu düşünür . Şart değil. Bu bölümde , çıkarma işlemini sizin için çocuk oyuncağı haline getirecek yaklaşımlara bakacağız .

Her şeyden önce , kafanızdan sayıları nasıl çıkaracağınıza bakalım .

Zihninizdeki iki sayıyı çıkarmak için , çıkarılan sayıyı yuvarlamayı deneyin ve ardından cevabınızı düzeltin .

9 çıkarmak için 10 çıkarın ve ardından ­cevabınıza ekleyin 1; 8 çıkarmak için 10 çıkarın ve 2 ekleyin; 7 çıkarmak için 10 çıkarın ve 3 ekleyin . Örneğin:

56 - 9 =

Q

56'dan 9'u zihinsel olarak çıkarmanın en kolay yolu, önce ­10'u çıkarmak (cevabınız 46) ve sonra 1 (47) eklemektir.

47'den 8 çıkararak 10 (37) çıkarın ve 2 (39) ekleyin.

54'ten 38'i çıkarmak için, önce 40'ı çıkarırız (bu bize 14 verir) ve sonra 2'yi ekleriz, sonuç ­16 olur.

Kağıt üzerinde, çözüm şöyle görünür:

54 - 38 =

@

54 eksi 40 ve artı 2 (daire içine alınmış) 16'yı verir.

100'e yakın bir sayıyı çıkarmak için ­100'ü çıkarın ve farkı ekleyin. Örneğin, bir sayıdan 87'yi çıkarırken , 100 - 87 = 13 olduğundan, 100'ü çıkarır ve 13 ekleriz.

436 - 87 =

13

100'ü çıkarın, bu da bize 336'yı verir. 13 ekleyin (bunun için önce 10, sonra bir 3 daha ekleriz), cevap 349'u bulur, çok basit.

ÂûiMHTa^e sayıları 100 mç'den az
 sayılar bîёü0e 100

Çıkarılan (çıkarılacak sayı) 100'den küçük ve eksilen (çıkarılacak sayı) ­100'den büyük ancak 200'den küçükse, farkı kafanızda hesaplamanın kolay bir yolu vardır.

Örneğin:

134 - 76 =
24

76, 100'den 24 eksik. 134, 100'den 34 fazla. 34'e 24 ekleyin ve kolay bir cevap elde edin: 58.

Başka bir örnek çözelim:

152 - 88 =

12 + 52 = 64 ÎTÂET

Birkaç örneği kendiniz çözün:

a) 142 - 88 =             b) 164 - 75 =               c) 123 - 70 =

d) 114 - 80 =             e) 112 - 85 =               e) 136 - 57 =

Basit, değil mi? Nasıl yapıldığını biliyorsanız.

Yanıtlar:

 

bir) 54 34

b) 89                         c) 53 D) 27                         f) 79

 

Bir hata yaparsanız, yöntemin açıklamasını tekrar okuyun. Sonra tekrar deneyin.

Aynı ilke 10'dan büyük veya 10'dan küçük sayılar için de geçerlidir. Örneğin:

	13 - 6 = +® 3+4=7 ÎTÂET
Dikkatlice deneyin:	Aşağıdaki öz-örnekleri çözünüz.
a) 12 - 7 = c) 13 - 9 =	b) 15 - 8 = d) 14 - 8 =

 

Yanıtlar:

bir) 5 4'te

b) 7 d) 6

 

sayıları çıkarmak için de geçerlidir :­

461 - 275 = 25 461 - 300 = 161 161 + 25 = 186

 

Sadece bir basit çıkarma işlemi yapıyoruz, çözümdeki diğer her şey toplamadır.

Tekrar deneyelim:

834 - 286 = 14 834 - 300 = 534 534 + 14 = 548

 

Kendi kendinize çözümü şöyle söyleyebilirsiniz: “ ­Üç yüze yetmeyen on dört, sekiz yüze yetmez beş yüz, beş ­yüz on dört eder, artı otuz dört beş yüz kırk eder. sekiz."

34 eklemek için önce 30, sonra ­bir 4 daha ekleyin.

Bu zihinsel çıkarmanın basit yöntemidir. Rakam aktarmaya veya almaya gerek yoktur ve aynı anda birkaç numarayı akılda tutmak zor değildir.

Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözmeye çalışın:

а)541 - 87 = в) 725 - 375 =

Ответы:

454

в) 350

263 - 198 = г) 429 - 168 =

б) 65

г) 261

Son örnekte, 429'u 430'a yuvarlamak ve ardından hesaplamaların en sonunda eklenen birimi çıkarmak mümkündü.

ÂûiMHTa^e ^a kağıt

üçüncü sınıfta bana öğretilen kağıttan çıkarma yönteminden bahsedeceğim . ­Yukarıda açıklanan çarpma tekniklerinde yeterince ustalaştıysanız, bu yöntem sizin için zor olmayacaktır.

İki taşıma yönteminin her birinde kolay çıkarma yöntemi kullanılır. Onlar hakkında kesinlikle bilgi sahibi olacaksınız.

Standart ve kolay ­okuma yöntemleri arasındaki fark küçük ama önemlidir. Rakamların bir yerden başka bir yere transferini kullanan her iki yöntemi kullanarak çıkarmanın nasıl daha kolay olduğunu açıklayacağım . ­Not 92

Size daha tanıdık gelen veya daha kolay görünen yöntemi seçin ­.

Çıkarma: ilk yöntem

Tipik bir çıkarma örneğini ele alalım: 7254 - 3897 =

6 1 1 1 4

7 2 5 1 4
- 3 8 9 7

3 3 5 7

4'ten 7 çıkar. Bu imkansız, bu yüzden ­onlar basamağından 1 alıyoruz. 5'in üzerini çizip 4'ün üzerine yazıyoruz. Ve işte fark burada. "On dört eksi yedi" demezsin ­ama "Yedi eksi on eşittir üç" dersin ve sonra 7'nin (4) üzerindeki sayıyı toplarsın ve cevabın ilk basamağı olan 7'yi bulursun.

Bu yaklaşımı kullanarak, 10'dan büyük bir sayıdan asla çıkarmazsınız. Geri kalan her şey bir toplama işlemidir. 9, 4'ten çıkarılamaz, bu yüzden yüzler basamağından 1 alırız. 10 eksi 9 1 verir, 1 artı 4 eşittir 5 - cevabın bir sonraki basamağı.

8, 1'den çıkarılamaz, bu nedenle yine bir sonraki basamaktan 1'i aktarıyoruz. 10 eksi 8 eşittir 2; 2 artı 1 eşittir 3, cevabın bir sonraki basamağıdır.

6 eksi 3, cevabın son rakamı olan 3'ü verir.

Çıkarma: ikinci yöntem

7 1 2 1 5 1 4

- 1 3 1 8 1 9 7
3 3 5 7

4'ten 7'yi çıkarıyoruz. Bu yapılamaz, bu yüzden ­onlar basamağından 1'i aktarıyoruz. 14 yapmak için 4'ün önüne 1 koyun ­ve onlar sütununda 9'un önüne küçük bir 1 yazın. "Yedi eksi on dört" demezsin ­, ama "yedi eksi on ­üç eder", artı 4 üstte - 7'dir - bu cevabın ilk basamağıdır.

10 (9 artı aktarılan 1) 5'ten çıkarılamaz, bu nedenle ­önceki gibi bir sonraki basamaktan 1 alırız. 15'ten 10 çıkarıldığında 5 olur veya 10 eksi 10 eşittir 0, 5 ekle, 5 eder.

2'den 9 çıkarılmadığı için tekrar 1 aktarıyoruz. 10'dan 9 1 veriyor, 2 toplayıp 3 elde ediyoruz.

7 eksi 4 eşittir 3. Cevap hazır.

Toplamı 10'dan büyük olan ­tek basamaklı sayı kombinasyonlarını ezberlemek zorunda değilsiniz. ­Basit çıkarma yöntemini kullanarak, 10'dan büyük sayılardan asla çıkarmazsınız. ­Bu, hesaplamaları basitleştirir ve hata olasılığını azaltır.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 7325                                       b) 5417

-4568                                          -3179

Yanıtlar:

a) 2757                                       b) 2238

Bu yaklaşım çok önemlidir. Size daha önce tanıttığım basit tekniklerle çarpma işleminde ustalaştıysanız, toplamı 10'a kadar olan sayıların ­kombinasyonlarında da ustalaşabilirsiniz. Bu tür sadece beş ­kombinasyon vardır.

Öte yandan, toplamı 10'dan büyük bir sayı oluşturan tek basamaklı tüm kombinasyonları öğrenmek zorunda olsaydınız, o zaman zaten 20 tane vardır.Bu yaklaşımı kullanarak, ­bu kombinasyonların ezberlenmesi gerekmez ­. 15'ten 8'i çıkarmak için, 10'dan 8'i çıkarın ( ­2 elde ederiz) ve ardından cevabı elde etmek için 5 ekleyin: 7.

Üçüncü sınıf öğretmenim bana 10'dan büyük bir sayıdan asla çıkarmamamayı öğretti. 10'dan büyük ve 20'den küçük bir sayıdan çıkarırken hata yapma olasılığınız, 10'dan çıkarırken yaptığınız hatadan çok daha fazladır. Çarpım tablosunu ve çarpma kurallarını kullanma Bu kitabın ilk bölümlerinden 10'dan çıkarırken neredeyse hiç hata yapmayacaksınız: yanıtlarınız neredeyse otomatik olarak gelecek ­.

Kural şudur:

Birler basamağını 10'dan, sonraki her ­basamağı 9'dan çıkarın ve ardından en soldaki basamağı 1 azaltın.

Örneğin:

1000
- 574

Soldan veya sağdan başlayabilirsiniz.

Önce sağda deneyelim. 10'dan birler basamağına karşılık gelen sayıyı çıkarın .­

10 - 4 = 6

Bu, cevabın son rakamıdır. Şimdi kalan basamakları 9'dan çıkarın. Ve ­eksiltmenin ilk basamağından (1000) 1 çıkarın.

10 eksi 4 6 verir, 9 eksi 7 verir 2, 9 eksi 5 verir 4, 1 eksi 1 verir 0. Yani cevap 426.

Şimdi soldan sağa deneyelim: 1 eksi 1 0, 9 ­eksi 5 4, 9 eksi 7 2, 10 eksi 4 6. Cevap: 426.

40000 eksi 2748'i hesaplamak isterseniz, ­sıralamanız şöyle olur:

40000
- 2742

En soldaki basamaktan (4) 1 çıkarın ve 3 elde edin - bu, cevabın ilk basamağıdır. 9 eksi 2, 7, 9 eksi 7, 2, 9 eksi 4, 5 ve 10 eksi 8, 2'dir.

Yani cevap 37252'dir.

Bu yöntemi kullanarak sadece 10'a kadar olan sayılardan çıkarma yapmamız ve gerektiğinde toplama yapmamız gerekiyor.

Yaklaşımın kendisi öncekiyle tamamen aynıdır. Tek ­fark, sessizce eylemlerinizi söylüyor olmanızdır.

Kendin için karar ver:

a) 10000                                     b) 50000

- 3456                                         - 27214

Yanıtlar:

a) 6544                                       b) 22786

ÂûiMHTa^e 6înü0nx den küçük sayılar

Çıkarılan sayının eksilen sayıdan daha az basamağı varsa, hesaplamadan önce sayının önüne (en azından zihinsel olarak) sıfır ekleyin.

Örneğin:

23000 - 46 =

23000

-0046

22954

sıfırdan farklı olan eksiltmenin (çıkarılan sayı) ilk hanesine kadar solda sıfırlarla ­doldurulmalıdır . ­Bu rakamdan 1 çıkarırsınız . 3 eksi 1, 2'yi verir .

10'dan çıkarılacak son basamağa ulaşana kadar birbirini izleyen her basamağı 9'dan çıkarın.

Okulda öğretilen yönteme göre ­aynı hesabı yapıyorsunuz ama sayıların bir yerden ­bir yere aktarıldığını sürekli aklınızda tutmanız gerekiyor. ­Önerdiğim yöntemin avantajı, hesaplamaları mekanik hale getirmesi ve hata yapma olasılığının azalmasıdır.

npîâepKa peçynüTaıa vyiMHTa^fl
at nîM^M vyiöpacûiâa^fl fleâflTîK

, toplama örneklerinde kullandığımız yönteme benzer . Ama ­küçük bir fark var .­

Bir örnek düşünün:

8465
- 2897

5568

Verilen cevap doğru mu?

Dokuzları atalım ve görelim.

8465	14	5
2897		8
5568	24	6

 

5 eksi 8 eşittir 6? Bu olabilir? Orijinal örnekte ­küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarmış olsak da, ikame durumunda çıkarılan, küçültülmüş olandan daha büyüktür ­.

İki yol var. Birincisi , çıkardığımız sayıya 9 eklemektir .­

5 artı 9, 14'ü verir. Sorun şuna benzer:

14 - 8 = 6

Kontrol numarası ile bir eşitlik var, bu da hesaplamalarımızın doğru olduğu anlamına geliyor.

Ve işte tercih ettiğim yol. Aynı soruyu tersten çözelim. Büyük olasılıkla, çıkarma örneklerinde cevabı kontrol etmeniz size bu şekilde öğretildi. Cevabı, çıkardığınız sayıya ekleyin ­ve eksiltmeyi (kontrol numarası) alırsanız, cevap doğrudur ­.

Aynısını yerine koyma sayıları için yapalım. Bunları aşağıdan yukarıya doğru ekliyoruz :­

6 + 8 = 5

6 + 8 = 14 ve 1 + 4 = 5

Cevap doğru.

Şimdi aşağıdaki örneklerin çözümünün doğruluğunu ­dokuzlar atarak kontrol ediniz. Bir hata bulursanız ­, düzeltin ve yanıtı tekrar kontrol edin.

A)	5672	B)	5967
—	2596	—	3758
	3076		2209
v)	8542	G)	3694
—	1495	—	1236
	7147		2458

 

c) hariç tüm örnekler doğru şekilde çözülmüştür. Bu cevabı düzeltip dokuzlu atarak cevabınızı tekrar kontrol ettiniz mi ? ­Doğru ­cevap 7047'dir.

, toplama ve çıkarma örneklerindeki hataların çoğunu belirlemenizi sağlar . ­Kullanın ve bilgi işleminizin ayrılmaz bir parçası haline getirin. Biraz zaman alacaktır, ancak ­sayılarla yapılan işlemlerde son derece isabetli olmak konusunda itibar kazanmanıza yardımcı olacaktır.

10. Bölüm

Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmaktır ­. Bunu hayal etmenin iyi bir yolu aşağıdaki gibidir. Bahçenizde kare bir alana fayans döşemeniz gerekiyorsa ve bunun için ne kadar malzeme gerekeceğini bilmeniz gerekiyorsa o zaman bir tarafa kaç fayans gideceğini hesaplamanız ve ardından bu sayıyı kendisiyle çarpmanız yeterlidir . ­Parselin kenarı 3 taş ise, 9 taş arsanın tüm alanını oluşturacaktır (3 X 3 = 9). Kenar 5 taştan oluşuyorsa, tüm kare 25 taştan oluşur (5 x 5 = 25).

5'in karesi 5 X 5 demektir. Bunu 5 ² olarak yazıyoruz . 5'ten sonra yazılan küçük bir 2, iki beşi çarpmaktan bahsettiğimiz anlamına gelir. 5'ten sonraki küçük 3 ne anlama geliyor? Bu, dönüşümlü olarak arka arkaya üç beşli yaşamanız gerektiği anlamına gelir . ­Bu yaygın bir matematiksel ­gösterimdir ve herkesin bunu bilmesi gerekir. İşte bazı örnekler:

5 ³ = 5X5X5 _ _ _

4 ⁵ = 4X4X4X4X4 _ _ _ _ _ _ _

7 ³ = 7X7X7 _ _ _

6 ² ("altının karesi" olarak okunur) = 36 çünkü 6 X 6 = 36. 36'nın 6'nın karesi olduğunu söylüyoruz.

13 ² = 13x13 = 169

Değerinin üzerinde öğrendiğimiz 10'dan büyük ve 20'den ­küçük sayıları çarpma yöntemini kullanarak ­bu ­gibi örnekleri kolayca hesaplayabiliriz . _ Bu bölümde sunulan tüm kare alma yöntemlerinin, daha önce ele aldığımız genel sayıları çarpma ilkesini kullandığını ekleyeceğim .

KâanpaT'ta ^a 5 ile biten sayıları döndürme

Sonu 5 ile biten sayıların karesini alma yöntemi, ­daha önce öğrendiğimiz genel çarpma yöntemiyle aynı formülü kullanır.

Sonu 5 ile biten bir sayının karesini bulmamız gerekirse ­önce son basamağı 5'i ondan önceki basamaktan (veya basamaklardan) ayırırız. Ayrılan basamak(lar)dan oluşan sayıya 1 ekleyin ve ardından toplama işleminin sonucu ile sayıyı çarpın. Çarpmanın sağına 25 ekleyin ve son cevabınızı alacaksınız ­.

Örneğin:

35 ² =

5'i önündeki sayılardan ayırın. Bu durumda, sadece 5'in önündeki 3 sayısından bahsediyoruz. 3'e 1 ekleyin ve sonuç olarak 4 elde edin.

3 + 1 = 4

Sayıları çarpalım:

3X4 = 12

12'nin sağına 25 (5'in karesi) ekleyelim. Ortaya çıkan sayı istenen cevaptır: 1225.

35 ² = 1225

Başka bir örnek deneyelim:

75 2 (75'in karesi )=

7'yi 5'e bölün . 1'i 7'ye ekleyin ve 8 elde edin. 8 kere 8 eşittir 56. Bu , cevabımızın ilk kısmı. Sağa 25 ekleyelim ve istediğimiz cevaba ulaşalım: 5625.

75 ² = 5625

Bu yöntemi daha önce çalışılanlarla birleştirmek, daha da etkileyici sonuçlar sağlayacaktır. Buna bir örnekle bakalım :­

135 ² =

5'i 13'e bölün . 1'i 13'e ekleyin ve 14 elde edin. 13 çarpı ­14 eşittir 182 (2. Bölüm'de öğrenilen yöntemi kullanarak). 182'ye sağdan 25'i ekliyoruz ve cevabı alıyoruz: 18225. Tüm bu hesaplamalar akılda kolayca yapılabilir.

135 ² = 18225

Bir örnek daha:

965 ² =

96 artı 1, 97'yi verir. 96'yı 97 ile çarp ve 9312 elde et. Şimdi sonucun sağına 25 ekle ve cevabı bul: 931225.

965 ² = 931225

Etkileyici, değil mi? Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözmeye çalışın:

a) 15 ² =           b) 45 ² =           c) 25 ² =            ç) 65 ² =

95 ² =               e) 115 ² =          gr) 145 ² =         h) 955 ² =

Cevapları bulmak için kağıt ve kalem kullandıysanız, şimdi hesaplamaları kafanızda tekrarlamayı deneyin. Bunda zor bir şey olmadığını göreceksiniz.

Yanıtlar:

a) 225              6) 2025 c) 625 r) 4225

e) 9025 e) 13225 g) 21025 c) 912025

Bu yöntem ondalık noktalı sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 6,5 x 6,5 durumunda , virgülü "unuturuz ­" ve ona yalnızca hesaplamanın en sonunda bir yer buluruz ­.

6.5 ² =

65 ² = 4225

Bu örnekteki çarpanların toplamında, eğer kare ­iki özdeş sayının çarpımı olarak yazılırsa virgülden sonra iki basamak vardır ve cevap da ondalık noktadan sonra iki basamak olmalıdır. Bu nedenle istenen cevap 42.25'tir.

6.5 ² = 42.25

x 65'in çarpımı için de çalışır , bu ­durumda 422,5 olur.

₂ - ve 3 ₂ - yi çarparsanız , bu 12 ₄ - cevabını verecektir (yani 12.25).

Bu yöntemin birçok uygulaması vardır.

yakın sayıların karesini alma yöntemi, herhangi bir sayıyı ­çarpmak için kullanılan formülün aynısını kullanır ­. Ancak, hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirmeye izin veren başka bir yol daha var .­

Örneğin:

46'nın karesi 46 x 46 demektir. Yuvarlarsak 50 x 50 = 2500 elde ederiz. Referans sayı olarak 50 ve 2500 alırız.

46, 50'den küçüktür, bu nedenle örneğin altına bir daire çiziyoruz.

(50 46 2 =
— ©

46, 50'den 4 eksik, bu yüzden çembere 4 koyduk. Önüne bir eksi koyduk ­.

2500'de yüzden 4 çıkarın.

25 - 4 = 21

Bu, istenen cevaptaki yüzlerce sayıdır. 2100 ( 21x100 ) şeklinde yazılabilir . Cevabın geri kalanını almak için ­daire içine alınmış sayının karesini alıyoruz.

4 ² = 16

2100+16=2116 ÎTÂET

Başka bir örnek düşünün:

56 ² =

56, 50'den büyüktür, bu nedenle örneğin üzerine bir daire çiziyoruz ­.

+®

50 56 2 =

2500 (25) de yüz sayısına 6 ekliyoruz. 25 artı 6, 31'i verir. Ara cevap 3100'dür.

6 ² = 36

3100+36=3136 ÎTÂET

Başka bir örnek deneyelim:

62 2 =
+ 12
@ 62 2 =

⁺ 12 = 37 = 144

3700+144=3844 ÎTÂET

Aşağıdakileri kendiniz çözmeye çalışın

miktar:
a) 57 2 =	b) 51 2 =	a) 48 2 =
d) 39 2 =	D) 45 2 =
Yanıtlar:
3249 _	2601	2304 _
1521	2025

 

Biraz pratik yaparak, kısa sürede cevaba hemen ­isim verebileceksiniz .

nî ç^ache^'den başlayarak 500'e kadar sayıların
KâanpaT'ta yeniden hesaplanması

Yöntem, 50'ye yakın sayılar için kullandığımız yönteme benzer.

500'ün 500 ile çarpılması 250.000 verir. 500'ü alın ve

250000 referans numarası olarak.

Örneğin:

506 ² =

506, 500'den büyüktür, bu yüzden tepeye bir daire çiziyoruz. İçine 6 giriyoruz.

+©

(500     506 2 =

500 2 = 250000

Daire içindeki sayı binlik sayıya eklenmelidir.

250 + 6 = 256 bin

Çemberdeki sayının karesini alalım:

6 ² = 36

256000 + 36 = 256036 ÎTÂET

Başka bir örnek verelim:

512 2 =

+ 12

(500) 512 ² =

250 + 12 = 262
npîMexyTî4№in îTâeT - 262000
12 ² = 144

262000 + 144 = 262144 ÎTÂET

500'den biraz daha küçük sayıların karesini almak için aşağıdaki yöntemi kullanın.

Bir örnek düşünün:

488 ² =

488, 500'den küçüktür , bu yüzden altta bir daire çiziyoruz. 488, 500'den 12 eksik olduğu için ­12'yi daire içine alıyoruz .

(500) 488 ² =
- i2

250 bin eksi 12 bin 238 bin verir. 12'nin karesini ekliyoruz (12 ² \u003d 144).

238000 + 144 = 238144 ÎTÂET

Sonucu daha da etkileyici bir şekilde elde edebilirsiniz.

Örneğin:

535 2 =
+ 35
(500 535 ² =
250000 + 35000 = 285000

35 ² = 1225

285000 + 1225 = 286225 ÎTÂET

akılda kolayca hesaplanır . İki hızlandırma yöntemi kullandık : 500'e yakın sayıların karesini almak için bir yöntem ve 5 ile biten sayıların karesini almak için bir yöntem .

Peki ya 635 ² ?

+135
(500)    635 2 =

250000 + 135000 = 385000

135 ² = 18225

135 ^2'yi hesaplamak için , 5 ile biten sayıların karesini hesaplama ­yöntemini ve 10'dan büyük ancak 20'den küçük sayıları çarpma yöntemini kullanırız ( 13 + 1 = 14, 13 X 14 = 182). Sağdaki 25'i 182'ye atfederiz , şunu elde ederiz ­: 135 ² \u003d 18225.

Alınan cevabı şu şekilde telaffuz edebilirsiniz: "On sekiz ­bin, iki, iki, beş."

18000 eklemek için 20 ekleyin ve 2 çıkarın.

385 + 20 = 405

405 - 2 = 403

Sağa 225 yazalım.

İstenen cevap: 403225.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 506 2 =          b) 534 2 =          c) 489 2 =           d) 445 2 =

Yanıtlar:

a) 256036         b) 285156         c) 239121           d) 198025

Son örneği birlikte çözelim:

(500)    445 2 =
250 - 55 = 195 (195 x 1000 = 195000)

55 2 = 3025 _
_ _
_

Sonu 5 ile biten sayıların karesini alma yöntemini kullanarak bu örneği çözebiliriz.

5'ten önceki rakamların oluşturduğu sayı 44'tür.

>1950

+30

1980

44 + 1 = 45

44 X 45 = 3900
- © - ®

Ara cevap 1980'in sağına 25 ekleyip 198025 elde ediyoruz.

Böylece, artık aralarından seçim yapabileceğiniz birkaç yönteminiz var.

Chisyoa, uyanmak ^a 1

Bu yöntem, 1 ile biten herhangi bir sayının karesini almak için kullanılır. İki benzer sayıyı geleneksel yöntemle çarpmaya çalışırsanız ­, bu yöntemin neden işe yaradığını anlayacaksınız.

Örneğin:

31 ² =

İlk olarak, karesi alınan sayıdan 1 çıkarın. Sayı artık sıfırla bitiyor ve karesi kolay.

30 ² = 900 ( 3x3x10x10 ) _ _

Bu bizim ara sonucumuz.

olarak , 30 ve 31'i ekleyelim ( karesini aldığımız sayı ile karesini alacağımız sayının ) :

30 + 31 = 61

Sonucu 900'e ekleyelim ve 961 elde edelim.

900 +61=961 ÎTÂET

Çözümün ikinci adımında , daha önce karesini aldığınız sayıyı ikiye katlayabilir (30 x 2 = 60 ) ve ardından 1 ekleyebilirsiniz.

Başka bir örnek verelim:

121 ² =

121 - 1 = 120

120 ² = 14400 ( 12x12x10x10 ) _ _

120 + 121 = 241

14400 + 241 = 14641 ÎTÂET

Tekrar deneyelim:

351 ² =

350 2 = 122500 _
_ _

350 + 351 = 701

122500 + 701 = 123201 ÎTÂET

Bir örnek daha:

86 ² =

Yöntemi 1 ile biten sayıların karesini almak için kullanabileceğiniz gibi 6 ile biten sayıları da kullanabilirsiniz. ­Örneğin, 86 ^{2'yi hesaplayın} . 86'yı 85'ten 1 büyük bir sayı olarak ele ­alacağız .

85 ² = 7225

85 + 86 = 171

7225+171=7396 ÎTÂET

Denemek	Aşağıdaki öz-örnekleri çözünüz.
özellikle: bir) 21 2 =	b) 41 2 =	bir) 61 2 =	ç) 71 2 =
D) 81 2 =	f) 131 2 =	g)141 2 =	66 2 _ =
Yanıtlar: bir) 441	b) 1681	bir) 3721	ç) 5041
6561	e) 17161	g) 19881	4356 _

 

Bu örnekleri kafamda çözmek için ilk ara sonucu yüzlerce olarak adlandırıyorum - sonra cevabın ikinci kısmını eklemek daha kolay. Örneğin, 71'in karesine, kendi kendime, “Yetmişin karesi kırk dokuz yüze eşittir; yetmişe iki yüz kırk, elli yüz kırk artı bir, beş bin kırk ­bir (5041).

Hatta daha da kısa söylüyorum: “Kırk beş yüz; beş bin kırk ... bir.

Zihnimde 66'nın karesini bulmak için, 5 ile ­biten sayıların karesini alma yöntemini ­kullanarak kendi kendime "Altmış beşin karesi kırk iki ve yirmi beştir" diyorum. ­"Altmış beş kere iki yüz otuz ­, kırk üç elli beş artı bir, kırk üç beş ­on altı (4356)."

Şimdi yukarıdaki örnekleri zihninizde çözmeye çalışın.

^ a 9'u daire içine alan sayılar

Örnek:

29 ² =

İlk olarak, karesi alınan sayıya 1 ekleyin. Şimdi 0 ile bitiyor ve karesini bulmak çok kolay. 110

30 2 = 900 ( 3X3X10X10 ) _ _

Bu bizim ara sonucumuz. Şimdi 30 ve 29'u ekleyin ( karesini aldığımız sayı ­ve _ kareye gidiyoruz ):

30 + 29 = 59

900'den 59'u çıkarın ve cevap 841'dir. ( 30'u ikiye katlayarak 60'ı elde ediyorum ve sonra 900'den 60'ı çıkarıyorum ve sonra 1 ekliyorum .)­

900 - 59=841 ÎTÂET

verelim :

119 ² =

119 + 1 = 120

120 ² = 14400 ( 12X12X10X10 ) _ _

120 + 119 = 239

14400 - 239 = 14161

14400 - 240 + 1 = 14161 ÎTÂET

Başka bir örnek verelim :

349 ² =

350 2 = 122500 _
_ _ _

350 + 349 = 699

(Cevabı almak için 1000 çıkarın ve ardından 301 ekleyin.)

122500 - 699 = 121801 ÎTÂET

84'ün karesini nasıl hesaplarız?

9 veya 4 ile biten sayıların karesini almak için yöntemi kullanabilirsiniz. 84'ü 85'ten 1 eksik bir sayı olarak kabul edeceğiz.

84 ² =

85 ² = 7225

85 + 84 = 169

Şimdi 7225'ten 169'u çıkarın:

7225 - 169 = 7056 ÎTÂET

(200'ü çıkarın ve ardından cevabı almak için 31 ekleyin.)

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 69 2 =            b) 79 2 =             c) 89 2 =             d) 74 2 =

Yanıtlar:

a) 4761             b) 6241              c) 7921              d) 5476

Örnek b)'yi birlikte çözelim. Zihnimde 79'un karesini bulmak için kendi kendime şöyle derdim: “Seksen kare eşittir altmış ­dört yüz. İki kere seksen yüz altmış eder. Altmış dört yüz eksi iki yüz eşittir altmış iki yüz artı kırk - altmış iki yüz kırk artı bir - altmış iki yüz kırk bir (6241).

Tabii ki, tüm bunları söylemek zorunda değilsiniz. Sadece "Altmış dört yüz, altmış iki kırk... bir" diyebilirsin .­

Örnek c)'de, sayıları pivot ile çarpmanın genel yöntemini kullanmak daha kolay olabilir: ­pivot olarak 100'ü kullanmak ve basitçe 89 ile 89'u çarpmak.

Kendiniz için en kolay yöntemi seçip başarılı bir şekilde uygulayabilirsiniz.

Bu tür örnekleri zihninizde çözmeye çalışın ve zamanla bunu kolayca yapacaksınız.

Bölüm 11

Bu tür bir ayrım konusunda kendinize ­güveniyorsanız , bu bölümü atlamaktan çekinmeyin . Ancak, birçok insan basit bölme ­problemlerini çözmekte bile sorun yaşıyor .

32 doları dört kişiye bölmeniz gerekiyorsa, her birinin kaç dolar aldığını ­bulmak için 32'yi 4'e bölersiniz . 4 kere 8 eşittir 32 (4 x 8 = 32), her ­kişi 8 dolar almalıdır. Bu basit bir ­bölme problemidir. 32 doları sekiz kişiye bölmek zorunda kalsaydınız, o zaman her biri 4 dolar alırdı.

Dört öğrenciye 35 kitap dağıtmamız gerekseydi, her biri sekiz kitap alırdı ve üç tane daha olurdu. Biz onlara kalan diyoruz. Hesaplama şu şekilde yazılabilir:

4 ben 35

8 r3 (g - îcraTîK)

veya:

8 r3
4 |35

Daha büyük bir sayıyı şu şekilde böleriz ­. 4921'i 4'e bölmek için problemi şu şekilde yazıyoruz:

4 I4921 Iyoi 4 I4921

Böleceğimiz ­(bölünebilen) sayının sol hanesinden çözmeye başlıyoruz. 4 soldan ilk rakamdır. Şu soruyla başlıyoruz: Cevapta 4 elde etmek için 4'ü çarpmak için neye ihtiyacın var? Cevap 1 çünkü 1 x 4 = 4. 4'ün ­altına 1 yazalım ­.

Şimdi bir sonraki sayıya geçelim: 9. 9'u elde etmek için 4'ü neyle çarpmanız gerekir? 4 ile çarpıldığında 9 verecek bir tam sayı yoktur. Şimdi kendimize soruyoruz, 9'dan küçük bir sayı elde etmek için hangi sayının 4 ile çarpılması gerekir? 2 ile 4 çarpıldığında 8 elde edilir ki bu 9'dan küçük ve aynı zamanda ­9'a diğer tüm sayılara en yakın olan sayıdır. 9 sayısının altına 2 yazıp kalan 1'i bir sonraki basamağa aktarıp 9'dan sonraki sayının öncesini şu şekilde belirtiriz: üstte küçük bir 1.

Şimdi 12'yi 4'e bölün. Hangi sayının 4 ile çarpılması 12'yi verir? Cevap 3'tür (3 x 4 = 12). 2 sayısının altına 3 yazıyoruz. Bir sonraki sayı 4'ten küçük olduğu için bölme işlemi yapılamıyor. Başka bir deyişle, 1, 4'e bölündüğünde 0 ve kalanını 1 verir.

4 ben 49 1 21

12 30 r1 (îcrarîK 1)

veya:

12 30 r1

4 ben 49 1 21

- . Таким 4

Kalan 1, bir kesir olarak ifade edilebilir: dolayısıyla cevap 1230 ₄ ¹ - veya 1230,25'tir.

Mcnînüçovâa^e KpyxKîâ

Genel formülümüz ­çarpma problemlerinin çözümünde başarılı bir şekilde kullanılabildiği gibi, ­bölme örneklerinin hesaplanmasında da kullanılabilir. 114

Yöntem en iyi 7, 8 ve 9'a bölündüğünde çalışır. Basit bir örnek verelim:

56 : 8 =
8 |56
(2) 7

(H)

Yöntem şöyle çalışır. 56'yı 8'e bölüyoruz. ­Çözümü yukarıda gösterilen şekilde veya (tercih edilirse) aşağıda gösterilen şekilde yazıyoruz. Hangi yöntem sizin için en uygunsa onu kullanın .­

@

7
8 |56
@

İlk yöntemi kullanarak açıklayacağım. 8'in altına bir çember çiziyoruz (böldüğümüz sayı yani bölen ­) ve 10'dan ne kadar eksik olduğunu kendimize soruyoruz. Cevap ­2 yani 8'in altındaki çembere 2 yazıyoruz. ­Basamağa 2 ekliyoruz böldüğümüz sayının onlar basamağında (5 56 da onlar basamağıdır) ­cevapta 7 çıkıyor 56 da 6 nın altına 7 yaz 7 nin altına daire çiz 10 dan ne kadar eksik ? Bu durumda 3 yani 7'nin altındaki bir çemberin içine 3 giriyoruz. Şimdi çemberlerin içindeki sayıları çarpıyoruz.

2x3 = 6

56'da birler basamağından 6 çıkararak kalanı buluruz.

6 - 6 = 0

Kalan sıfırdır.

Cevap: Kalansız 7

Başka bir örnek düşünün:

65 : 9 =

9 [65
Ç 7 r2

9, 10'dan 1'den küçüktür, bu nedenle bölen 9'un altına bir daire içine 1 yazıyoruz. Onlar sayısına (6) 1 ekleyin ve 7 elde edin. 5 sayısının altına cevabın tamsayı kısmı olarak 7 yazın. Bir daire çizin 7'nin altında. 10'dan ne kadar eksik? 3. 7'nin altına bir daire içine 3 girin. Dairelerdeki sayıları çarpın: 1 x 3 = 3. ­Birim basamaktan (5) 3'ü alıp kalanı elde ediyoruz: 2. Cevap: 7, kalan 2.

tüm parça çok büyük olduğunda ne yaptığımızı açıklayan başka bir örnek .­

43 : 8 =

6

8, 10'dan 2'den küçüktür, yani bölen 8'in altındaki daireye 2 giriyoruz. ­2 artı 4 eşittir 6. Birler basamağının üstüne 6 yaz. Şimdi 6'nın üzerine bir daire daha çizelim. 10'dan ne kadar eksik? Cevap 4 olduğu için üstteki daireye 4 yazıyoruz. Kalanı bulmak için daire içindeki sayıları çarpar ve birler basamağındaki sayıdan sonucu çıkarırız. Şimdi çözüm şöyle görünüyor:

®

6

8 [43"

2x4 = 8

Ancak burada birim basamaktan (3) basamaktan 8 çıkarmanın imkansız olduğu gerçeğiyle karşı karşıyayız. Bütün bölüm ­çok büyüktü. Bunu düzeltmek için, tamsayı kısmını 1 azaltarak 5 elde ederiz ve ­birler basamağının (3) önüne küçük bir 1 ekleriz, böylece ­şimdi 13 olur.

5r3 _

8 |4 1 3'

Dairelerdeki sayıları çarpıyoruz: 2 x 5 \u003d 10. Birim kategorisindeki sayının dönüştüğü 13'ten 10'u çıkarın.

13 - 10 = 3 (îCTaTîK)

5 r3 OTÂET

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 76: 9 =                  b) 76: 8 =                   c) 71: 8 =

d) 62 : 8 =                  e) 45 : 7 =                  e) 57 : 9 =

Yanıtlar:

a) 8 r4                       b) 9 r4                        c) 8 r7

d) 7 r6                       e) 6 r3                        f) 6 r3

ve bölme işleminde zorluk çekenler veya cevabın doğruluğundan emin olmadığı ve kontrol etmek istediği durumlarda kullanışlıdır . ­Kural olarak, çarpım tablosunu ne kadar iyi bilirseniz, bir basamaklı sayıya bölmeniz o kadar kolay olur ­.

Bölüm 12

368 doları 16 kişiye bölmeniz gerekiyorsa, ­her birinin ne kadar alması gerektiğini bulmak için 368'i 16'ya bölersiniz.

16 ile çarpmak için tüm seçenekleri bilmiyorsanız, bu sorunu çözmenin kolay bir yolu var. 16, 2 çarpı 8 ve ayrıca 4 çarpı 4'tür. 16'ya bölmenin kolay bir yolu çarpanlarını kullanmaktır. Önce 4'e bölebilir, sonra sonucu tekrar 4'e bölebilirsiniz, bu 16'ya bölmekle aynıdır çünkü 4 x 4 \u003d 16.

Problemin çözümü aşağıdaki gibi yazılabilir:

4-368 _ _

4 92

23

Tek bir sayıya bölme durumunda olduğu gibi, çözüm ­başka bir şekilde de yazılabilir:

23

4 92

4 368

14 ve 16 gibi sayılara bölmek zihinsel olarak yapılacak kadar kolaydır. Sayıyı daha büyük bir çarpana bölmeden önce ikiye bölmek zor değildir. 368'i zihinsel olarak 16'ya bölmek zorunda kalsaydın, kendi kendine "Otuz altının yarısı on sekiz, sekizin yarısı dört eder" diyebilirsin. 184 aldın. Şimdi 118

zaten küçük olan sayıyı 8'e bölersiniz (2'ye böldüğümüzde 16'dan kalan sayı).

18, 8'e bölündüğünde 2 ve kalan 2'yi verir. Bu kalan (onlar kategorisinden) birimler kategorisine (4 sayısı) aktarılır ve 24 elde edilir. 8'e bölündüğünde 24, kalansız 3 verir. Yani cevap kalansız 23'tür. Bütün bunlar akılda kolayca hesaplanır .­

Çarpanlara bölmenin genel kuralı, önce küçük sayıya, sonra büyük sayıya bölmek .­

Buradaki fikir, daha küçük sayıyı daha büyük faktöre bölmenizdir.

Örneğin, 3444'ü 21'e bölmeniz gerekiyorsa, önce 3'e, sonra 7'ye bölersiniz. 7'ye bölmeniz gerektiğinde, orijinal sayının birkaç kez azalmak için zamanı olacaktır.

3444 : 3 = 1148

1148 : 7 = 164

1148'i 7'ye bölmek, 3444'ü 7'ye bölmekten daha kolaydır.

İkilem ^a ile biten sayılar ^a 5

5 ile biten iki basamaklı bir sayıya bölmek için her iki sayıyı da ikiye katlayın ve çarpan bölme işlemini kullanın.­

Örneğin:

1085 : 35 =

İki sayıyı da ikiye katlayalım. 2 kere 1000 eşittir 2000, 2 kere 85 eşittir 170.

1085 × 2=2170

35 × 2=70

Şimdi görev şuna benziyor:

2170 : 70 =

70'e bölmek için önce 10'a, sonra 7'ye (çarpanlara) bölün.

2170 : 10 = 217

217 : 7 = 31

Hesaplama çok basit. 21, 7'ye bölündüğünde 3 verir (3 X 7 = 21) ve 7, 7'ye bir kez kalansız bölünür. Şimdi orijinal örneğimizin cevabını yazabiliriz:

1085 : 35 = 31 ÎTÂET

Başka bir örnek deneyelim:

512 : 35 =

500 kere 2, 1000. 12 kere 2, 24. Yani 512 kere 2, 1024. 35 kere iki kere 70.

Şimdi görev şuna benziyor:

1024 : 70 =

Önce 10'a, sonra 7'ye bölün:

1024: 10 = 102.4

102.4 : 7 =

10, 7'ye bölündüğünde 1 verir. 1, cevabın ilk basamağıdır. Kalan 3'ü (onlar basamağından) 2 rakamına ekleriz, bu da bize 32'yi verir.

32 : 7 = 4 r4

Cevapta 14 ve kalan 4'tü. Bir sonraki basamağa (virgülden sonra) 4 atfederiz, bu da bize 44'ü verir.

44 : 7 = 6 r2

Son cevap: 14.62. Bu, asıl problemimizin cevabıdır ­:

512 : 35 = 14,62

sayıda ondalık basamağa kadar çarpanları kullanarak bölebilirsiniz .­

cevabınız için gerektiği kadar sıfır atayın ve bir tane daha ekleyin. Bu ­, ondalık noktadan sonraki son basamağın gerekli doğrulukta elde edilmesini sağlayacaktır .­

Örneğin, 736'yı 21'e bölmeniz gerekiyorsa ve cevabın iki ondalık basamak doğruluğu ile elde edilmesi gerekiyorsa, bölünene virgülden sonra üç sıfır atanmalıdır ­.

Yani 736.000'i 21'e bölersiniz. Yani:

35.047

7	245.333
3	736.000

 

Aşağıda, üç ondalık basamağın ikiye nasıl yuvarlanacağı açıklanmaktadır ­.

Bir kesri iki ondalık basamağa yuvarlamak için üçüncü ondalık basamağı dikkate alın. 5'ten küçükse ­, ikinci basamağı olduğu gibi bırakır ve üçüncü basamağı sileriz . ­5'e eşit veya daha büyük ise ikinci hane 1 artırılmalı ve üçüncü hane silinmelidir.

Önceki örnekte, üçüncü ondalık basamak 7'dir. 7 , 5'ten büyüktür , bu nedenle ikinci ondalık basamağı (4) 1 artırarak ­5 elde ederek ­cevabı yuvarlıyoruz .

Yani iki ondalık basamağın cevabı 35.05'tir.

Yedi ondalık haneye kadar cevap 35.0476190'dır. Ardından karakterler tekrarlanır, böylece beşinci karakterden sonra 13 karaktere kadar cevap ­şöyle görünür :

35.0476190476190

12 ondalık basamağa yuvarlamak için sıfır olan ( 5'ten küçük ) on üçüncü basamağı dikkate alın, bu nedenle ­9'u değiştirmeden bırakın:

35.047619047619

On ikinci basamak 9'dur (5'ten büyük), bu nedenle 1, on birinci ondalık basamağa yuvarlandığında 2 olur:

35.04761904762

Onuncu ondalık basamağa yuvarlarken, ­on birinci basamağın 2 (5'ten küçük) olduğunu fark ederiz, bu nedenle 6'yı değiştirmeden bırakırız:

35.0476190476

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­. Beşinciden sonra iki ondalık basamağa kadar hesaplamalar yapın ­:

a) 4356 : 42 =                             b) 2355 : 35 =

c) 4173 : 27 =                             d) 8317 : 36 =

Yanıtlar:

a) 103,71                                   b) 67,29

ç) 154,56                                   d) 231,03

Bazen bölme işlemi yaparken virgülden sonraki sayıları değil, kalanı bilmek isteriz. Çarpanlara böldüğümüzde kalanı nasıl buluruz?

Kural şu şekildedir:

Birinci böleni ikinci kalanla çarpın ve birinci kalanı ekleyin.

aşağıdakileri ­yapardık :

35r0 _

7245r1 _ _

3 736

Sol alt ve sağ üst "köşelerdeki" sayıları çarparak başlayalım:

3X0 = 0

Şimdi ilk kalanı (1) ekleyelim. İstenen kalan 1, 1'e eşittir veya - ₂ - ₁ - .

Bir örnek daha:

2327 : 35 =

7 ve 5'i 35'in çarpanları olarak alıyoruz.

66r3

7465r2 _

5 2327

Son kalanı bulmak için "köşe" sayılarını çarparız (3 X 5 = 15). Şimdi başka bir kalan ekleyelim ( ­2):

15 + 2 = 17

Cevapta 66 , kalan 17'dir .

Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözün ve kalanı hesaplayın .­

a) 4335 : 36 =                             6) 2710 : 24 =

Yanıtlar:

a) 120r15                                    6) 112r22

Sütunları faktörlere göre bölmek, zihninizde başka birinin yapmaya cesaret edemeyeceği birçok hesaplama yapmanızı sağlar . ­Müsabaka sırasında sürekli olarak tüm sonuçları kafamda hesaplarım ve bu nedenle veriler açıklanmadan önce sıralamadaki konumu bilirim ­. Ek olarak, matematiksel hesaplamalar zihin için harika bir egzersizdir.

Bölüm 13

Asal sayılarla bölme işlemiyle uğraşırken , sorunu tek bir rakamla basit bölme işlemine dönüştürmek için çarpanları kullanamayız . (Asal ­sayılar, çarpanı olmayan sayılardır , örneğin ­29. )

Ancak yine de bu tür problemleri çözerken çarpanları kullanabiliriz ­. Çözüm sürecinde yaklaşık ­değerin tahmininden bahsediyoruz . Örneğin ­29 yerine 30'a (önce 10'a sonra 3'e) bölerek 29'a bölündüğünde tam sayı kısmını buluyoruz . Örneğin:

24560 : 29 =

29 |24560

24'ü 29'a bölemezsiniz, bu nedenle bir sonraki ­sayıyı ( 5) ekleyin. 245'te 29 kaç eder ? Bu yerde birçok kişi bunu yapmanın zor olduğundan şikayet ediyor.

Kolay bir yol var. 29 30'a yakındır yani 30'a bölerek bir tahminde bulunabilirsiniz. 30'a bölmek için önce 10'a (çok kolay) sonra 3'e (yine ­kolay) bölün.

sonucun son basamağını atar ve kalanı bir süreliğine unuturuz. Şimdi ­zorluk ­24'ü 3'e bölmek, ki bu kolay. 3 kere 8 eşittir 24. 8 124'ün ilk basamağıdır

veta. İlk başta 245'i 29'a bölmekle ilgili olduğu için 5 rakamının üzerine yazıyoruz.

Şimdi cevabımızı (8) 29 ile çarparak kalanı bulalım ­. 29'u 8 ile çarpmanın kolay bir yolu, 30'u 8 ile çarpıp 8 çıkarmaktır (30 x 8 = 240, 240 - 8 = = 232).

8x29 = 232

232'yi 245'ten çıkararak kalanı elde ederiz: 13. Şimdi çözüm ­şöyle görünür:

8

29 |24560
-232

13

Şimdi böldüğümüz (bölünebilen) sayıdaki bir sonraki basamağı yıkıyoruz. 6 sayısından bahsediyoruz. Kalan 13'e kadar yıkıyoruz ve 136 elde ediyoruz. ­Bu sayıyı kullandığımızı hatırlamak için 6'yı yukarıdan “x” ile işaretliyoruz.

136'yı 29'a bölüyoruz. Daha önce olduğu gibi önce 10'a sonra 3'e bölüyoruz. 136'nın 10'a bölümü 13 (kalanı atıyoruz ­), 13'ün 3'e bölümü 4 veriyor, kalan hesaba katılmazsa ­(4 x 3 = 12). Cevabın bir sonraki basamağı 4'tür. 4 kere 29, 116'yı verir. 136'dan 116'yı çıkarın ve 20'yi elde edin.

0'ı yıkıp 200 elde edeceğiz. 200'ü 30'a bölün (10 x 3):

200 : 10 = 20
20 : 3 = 6

Bu, cevabın son rakamıdır.

6 × 29=174

200'den 174'ü çıkarın ve kalanı elde edin: 26. Tamamen çözülmüş problem şuna benzer:

, 846

29 ben24560

-232 ^_

136

-116

200

-174

26 _

846 r26 ÎTÂET

Standart sütun bölümü için genel kural şudur:

Bölmenin tamsayı kısmını değerlendirmeyi kolaylaştırmak için böleni sonraki onluğa, yüze veya bine yuvarlayın ­.

•       31 ile bölünürken 30'a kadar yuvarlanır , 3 ve 10'a bölünür .

•       87 ile bölünürken 90'a kadar yuvarlanır ve 9 ve 10'a bölünür .

•       321'e bölünürken 300'e yuvarlanır , 3'e ve 100'e bölünür .

•       487 ile bölünürken 500'e yuvarlanır , 5'e ve 100'e bölünür .

•       6142'ye bölerken 6000'e yuvarlayın , 6'ya ve 1000'e bölün .

Bunu yaparak, istenen tamsayı kısmın ne olduğunu hızlı bir şekilde anlayabilir ­ve çözümde gerekli ayarlamaları yapabilirsiniz.

Başka bir örnek deneyelim:

13570 : 317 =

Görevi her zamanki gibi yazıyoruz:

317 |13570

317'yi 300'e yuvarlıyoruz ve kullanılan çarpanlar 3 ve 100'dür.

1 veya 13'ü 300'e bölemezsiniz. 135'i 300'e de bölemezsiniz ­ama 1357 bölebilir. 300, 1375'te kaç kez bulunur?­

300'e bölmek için 1357'yi önce 100'e, sonra 3'e bölün.

, virgülü iki basamak sola kaydırmak veya son iki basamağı bırakmak kadar basittir . ­13'ü 3'e bölmek kalır .­

Cevap elbette 4 ve kalan 1. Umurumuzda değil ­. kalan bu aşamada, yani gerekli cevap 4'tür. Orijinal problemin cevabının ilk basamağı olarak 4 yazıyoruz.

■    4

317 |1357O

rakamının ­üzerine yerleştirilmelidir , çünkü aslında 1357'yi 317'ye böldük.

bölmenin ­kalanını bulmak için 317'yi 4 ile çarpın .

317 × 4=1268

1357'nin altına 1268 yazıp birini diğerinden çıkaralım.

1357 - 1268 = 89

Hesaplamalarımız şu ana kadar şöyle görünüyor ­:

■    4

317 |1357O

1268

Şimdi bölenin bir sonraki basamağı olan 0'ı yazalım. Şimdi çalıştığımız sayı 890. 890'ı 317'ye bölmemiz gerekiyor. 100'e bölmek 8 verir. 3'e bölmek 2 verir. 0 numara

Kalanı bulmak için 317'yi 2 ile çarpın.

2 x 317 = 634

890 - 634 = 256

256 kalanımızdır.

Nihai çözüm şöyle görünür:

■    42

317 |13570
1268x

890

634

256 OKTATİK

42 r256 OTÂET

Cevabı ondalık olarak ifade etmek istiyorsak bölme işlemine devam edebiliriz . ­Bölme ­işleminde genel kural , bölende virgülden sonra cevaptaki gerekli ondalık basamaklardan bir sıfır daha atamaktır.

bir cevap istiyorsak 13570.00'ı 317'ye bölüp yukarı ­yuvarlarız .

42.8

317 |l3570.00

12,68 ^{x x}

890

634

2560

2536

24 OKTATİK

bir sonraki ondalık basamağa ­devam etmeye çalışsak bile ­bir sıfırı daha kaldırıp bir sonraki adımı (240 : 317) gerçekleştirdikten sonra cevapta 1'den küçük bir sayı alacağımızı, yani , 0 ve daha fazlası. Bu bize, cevaptan istenen doğruluk için oldukça tatmin edici olan 42.8'i verecektir ­.

317'ye bölerken aslında böldüğümüz en büyük sayı 3'tü. Bu da hesaplamaları kolaylaştırdı.

Bu bağlamda, bir sütunda yeterince büyük sayılarla bile bölmenin basit bir işlem olduğunu söylemek oldukça adil görünüyor.

Aşağıdaki sayılara bölerken çarpan olarak hangi sayıları kullanırsınız ?­

a) 78                                          b) 289

c) 723                                        d) 401

Yerinde olsaydım, çarpan olarak kullanırdım ­:

a) 8 X 10 (80)                              b) 3 X 100 (300)

c) 7x100 ( 700)                           d) 4x100 (400)

Ve 347'ye bölerseniz yaklaşık olarak hangi sayıyı kullanırsınız ? 347, 300'e 400'den daha yakın , ancak ikisi de iyi bir seçim gibi görünmüyor. Daha basit bir yaklaşım, hem böleni hem de temettüyü ikiye katlamak olacaktır.

Örneğin, 33480'i 347'ye bölmek için her iki sayıyı da ikiye katlarız , bu da sonucu hiçbir şekilde etkilemez. 33480'i iki katına çıkararak 66960 elde ederiz ; 347'yi iki katına çıkararak 694 elde ederiz .

Şimdi problem şuna benziyor: 66960 bölü 694. Yaklaşık bir sayı olarak 700 kullanıyoruz . ­Orijinal problemdeki cevabın tamsayı kısmını önce ­67.000'i 700'e bölerek tahmin etmek kolaydır .­

67000'i 100'e bölmek 670'i verir. 670'i 7'ye bölmek 9'u verir ve kalan 4'tür. 40'ı (67000 - - 66960) 7'ye bölmek neredeyse 6'dır. Yaklaşık cevabımız ­96'dır.

Orijinal örneği çözdükten sonra cevapta 96.48 elde ederiz.

asal sayılarla bölme işleminde çarpanları nasıl kullanacaklarını öğrettiğimi duyurmuştum . ­Bir öğretmen bunun olamayacağını düşündü ve ­benden bunu nasıl yapabileceğimi göstermemi istedi.

Bu okulun öğretmenlerine bu bölümde özetlenen yöntemleri gösterdim. Doğruluğundan şüphe eden öğretmen sunumun sonunda “Biliyorsunuz ­bölme işlemini hep bu şekilde yaptım ama bunu öğrencilerime öğretmek hiç aklıma gelmemişti” dedi.

Bölüm 14

Tek hanelere kolayca bölebiliyorsanız , o zaman bir sütuna bölmek sizin için kolay olmalıdır. Eğer asal ­olmayan bir sayıya ( yani çarpanlarına ayrılabilen bir sayıya ) bölüyorsanız , görev zor değildir . Büyük sayılara bölmek ­de ­sorun olmamalı , çarpanlar aracılığıyla yaklaşık tahmin ilkesini ­kullanırsanız . Aşağıda, iki ve üç basamaklı sayıları bölmek ­için kullanılabilecek alternatif bir yöntem ­öneriyorum .

Delize ^a çift sayılar

Bir örnek düşünün:

2590:73=

Öncelikle 73'ü 70'e yuvarlayıp 10'a ve 7'ye bölüyoruz ve yol boyunca 3'ü aklımızda tutarak düzeltiyoruz.

Sayıyı 10'a bölün. Bu, ondalık virgülü bir konum ­sola kaydırır.

2590 : 10 = 259.0

Şimdi 259.0'ı 3'e düzeltirken 7'ye bölüyoruz.

73 ben 25 4 9.5000 _

3 5

25, 7 ile üç kez bölünebilir (3 x 7 = 21) ve kalan 4'tür. Yani cevabın ilk basamağı 3'tür. Gerisini taşımak

olağan bölme yönteminde olduğu gibi. Bölünün (9) bir sonraki basamağına 4 atarsak ­49 elde ederiz. Cevabın bir önceki basamağını (3) orijinal bölendeki (73) birler basamağıyla (3) çarparak düzeltme yaparız. 3 x 3 \u003d 9. 9'u 49'dan çıkarın ve 40 elde edin. Şimdi 40'ı 7'ye bölün. Cevap 5, çünkü 5 x 7 \u003d 35 (kalan 5). 5 istenilen cevabın ikinci rakamıdır. Kalanı bir sonraki haneye aktarıyoruz, ardından 50 rakamı ile çalışıyoruz.

73 ben 25 4 9.5000 _

3 5

Yanıtın son alınan basamağını (5) orijinal bölendeki (3) birim sayısıyla çarpın. 15 alıyoruz. ­50'den 15'i okuyup 35 buluyoruz. 35'i 7'ye böleriz. Tamsayı bölme işlemi vardır ve cevap 5'tir. bir sonraki rakama aktarın. Cevabı 1 azaltıyoruz ve ­kalan 7 ile 4 elde ediyoruz (not: 4 x 7 + 7 (kalan) = 5 x 7, yani aynı sayıyı farklı ifade ettik).

73 ben 25 4 9, 5 0 7 00
3 5, 4

4'ü birler basamağıyla (3) çarpın ve 12'yi elde edin. 70'ten 12'yi çıkarın ve 58'i elde edin. 58'i 7'ye bölerek 8 verir ve kalan 2'dir. 2'yi taşımak bize çalışmak için yeni bir sayı verir: 20. Yeterince büyük mü ­? 8 x 3 = 24'ü 20'den çıkarmalıyız. Cevap yine çok büyük, bu yüzden 1'e indirip 7 elde ederiz. 58'i 7'ye bölerek 7'yi verir ve kalan 9'dur. 7'yi yazıp 9'u taşıyoruz . daha öte. 90 çalışan numaramız var. Ayrıca: 7 x 3 \u003d 21 ve 90 - 21 \u003d 69. Bu kabul edilebilir.

69'u 7'ye bölmek size 9'u verir ve kalan 6'dır. ­Cevaptaki bir sonraki rakam 9'dur.

73 1 25 4 9,5 0 ^{7 0 9} 0 6 0
3 5. 4 7 9

Uygun eğitim ile tüm hesaplamalar zihinsel olarak yapılabilir.

Başka bir örnek düşünün :

2567:31=

30, 3 çarpı 10'dur , yani önce 10'a, sonra 3'e böleriz ve ilerledikçe ayarlamalar yaparız.

2567: 10 = 256,7

25, 3 ile sekiz kez bölünebilir ve kalan 1'dir. Cevabımızın ilk basamağı 8 olacaktır. 1'in geri kalanı , bize 16'yı veren temettünün bir sonraki basamağına taşınır .­

31 125 ¹ 6.7

8

Bir düzeltme yaparak, cevabın alınan basamağını bölendeki (31) birim sayısıyla (1) çarpıyoruz. 8 x 1 \u003d 8. Çalışma numarası 16'dan 8 çıkarın ve cevapta 8 elde edin.

Şimdi 8'i 3'e bölüyoruz. Cevapta 2 kalanını 2 alıyoruz. 2'den kalanını bir sonraki basamağa aktarıyoruz. Yeni çalışma numarası 27. Yine bir değişiklik yapmamız gerekiyor.

31 125 1 6, 2 7

8 2

Cevabın bir önceki basamağı 2'dir. Bunu orijinal bölenin birim sayısıyla çarparız. 2 kere 1 eşittir 2, 27 eksi 2 ­eşittir 25. 25'i 3'e bölerek 8 ve kalan 1 olur.

31 125 1 6, 2 7 1 00

8 2, 8

Cevabın son alınan basamağını (8) bölendeki birim sayısıyla (1) çarpıyoruz ve cevapta 8 elde ediyoruz. Yeni çalışma sayısından (10) 8 çıkarıyoruz. 10 eksi 8 eşittir 2. 2'yi 3'e bölemezsiniz ­. Yani cevaptaki bir sonraki basamak 0'dır.

Bu bize bir ondalık basamak içinde yanıt verir.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­. İsterseniz bir sütunda karar verebilirsiniz. Bazı örnekleri aklınızdan çözmeye ­çalışın ve ­cevabınızı yazın.

a) 368 : 71 =                               b) 236 : 43 =

c) 724 : 61 =                               d) 549 : 61 =

e) 1234 : 41 =

Yanıtlar:

a) 5,18                                       b) 5,488

c) 11.869                                    d) 9

e) 30.09756

Bölende birler basamağındaki rakam büyükse, değiştirilmiş bir prosedür izlenebilir.

Örneğin:

2590:69=

69'u 70 - 1 ile değiştiriyoruz .

10'a ve ardından 7'ye bölün, ilerledikçe ayarlamalar yapın.

7-1 | ^_ 25 4 9.000

3

25 , 7'ye üç kez bölünebilir (3 x 7 \u003d 21), kalan 4 ile. ­Daha önce olduğu gibi, temettünün bir sonraki basamağına 4 ekliyoruz, bu da bize 49'luk bir çalışma sayısı veriyor. - 134

bölendeki birim basamağını düşündüğümüz 1'e (3) cevabının yeni basamağı . Cevap 3. Bunu ­çalışan sayıya ekliyoruz ve 52 elde ediyoruz . 52'yi 7'ye bölerek 7 kalanını 3 elde ediyoruz . 7'yi yazıp 3'ü aktarıyoruz . Yeni bir çalışan sayı elde ediyoruz : ­30.

7 1 | 25 4 9, 3 0

3 7

Şimdi cevabın son basamağını (7) 1 ile çarpın , bu bize 7 verecek. 30'a 7 ekleyin ve 37 elde edin. 37'nin 7'ye bölümü 5 ve kalan 2'dir. Bir sonraki basamak olarak ­5 yazın ve 2 aktarın 20 çalışan bir sayı elde ettik ona 5 x 1 = 5 ekleyip 25 elde ediyoruz 25 bölü 7 3 kalan 4 oluyor. 43 bölü 7, 6 verir - bu, cevabımızın bir sonraki basamağıdır. İstediğiniz sayıda ondalık basamağa kadar devam edebilirsiniz . Üç ondalık basamağın ­çözümü ­aşağıdaki gibidir:

7 ¹ | 25 4 9, 3 0 2 0 4 0

3 7, 5 3 6

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 2671 : 41 =                               b) 3825 : 58 =

c) 3825 : 62 =                               d) 2536 : 39 =

Yanıtlar:

a) 65.146                                      b) 65.948

c) 61.69                                      d) 65.0256

için orijinal böleni yuvarlarsanız ­, düzeltme

azalan değer çalışma numarasına eklenmelidir .

Orijinal böleni aşağı yuvarlarsanız, düzeltme değeri çalışan sayıdan çıkarılmalıdır ­.

Bir düzeltme değeri ekleyip çıkarmayacağınızı hatırlamak için ­aşağıdaki yöntem yardımcı olur: 15 hediyeyi 9 veya 11 kişiye bölmeniz gerektiğini hayal edin. Bölme ne zaman daha büyük bir kalanla sonuçlanacak? 10'a bölüyor olsaydınız, 9'a bölerek elde ettiğiniz sonucu düzeltmek için 1 eklerdiniz. Aksi takdirde, 11'e bölerek elde ettiğiniz sonucu düzeltmek için 1 çıkarırdınız .­

Bu yöntemi kullanırken ortaya çıkan zorluğa işaret edeceğim ve bununla nasıl başa çıkılabileceğini açıklayacağım.

2536 : 39'u hesaplayalım. ­Problemin durumunu şu şekilde yazıyorum:

40 +1 39 I2536

(39) böleni yazıp üzerine +1 koyarak çalışan bölenimizi 40 elde ediyorum. (Artı işareti cevabın son basamağını 1 kat toplamamızı söylüyor. ­)

40'a bölmek için önce 10'a, sonra 4'e bölün. 2536'nın 10'a bölümü 253,6'yı verir. Şimdi 4'e bölüyoruz, ilerledikçe düzeltmeler yapıyoruz.

40 +1 39 ben 253.6000

25, 4 ile 6 kez bölünebilir ve kalan 1'dir. 1'i bir sonraki basamağa (3) taşırız, bu da bize 13'ü verir.

40
+1
39 I25 1 3.6000
6

Şimdi bir düzeltme yapalım. 6 kere +1 +6 verir. 13 çalışma numaramıza 6 ekliyoruz ve 19 elde ediyoruz. 19 bölü 4 , kalan 3 olmak üzere 4 veriyor .

40

+1

39 ben 25 1 3, 3 6000

6 4

4 kere +1 eşittir +4. 36 artı 4 eşittir 40. 40 bölü 4 eşittir 10.

Şimdi bir sorunla karşı karşıyayız . 10 iyi bir cevap değil , bu yüzden bir öncekinin ­aldığı sonucuna varıyoruz. rakam çok düşüktü . 4'ten 5'e yükseltin.

40

+           1_

39 ben 25 1 3, 1 6000

6 5

19 sayısı -1 kalanını vererek 4'e tam bölünür.

(Yani 5 x 4 = 20. 19 çalışan sayıdır; 20 - 1'e eşittir.)

1'i bir sonraki basamağa taşıdığımızda o birim 10 sayısıdır. (2 20'yi, 3 ­30'u temsil eder vb. Yani ­taşınacak basamağı 10 ile çarpıyoruz.)

Cevabın son basamağını (5) +1 ile çarparsak +5 elde ederiz. Bir sonraki çalışan sayı 1:6 (-10'u unutmayın) artı 5, yani 11, eksi 10'dur.

1, 4 ile tam bölünür ve 1 kalanını verir.

40+       1_

39 I25 1 3 , ¹ 6 ¹⁰⁰⁰

65.0

Bir sonraki çalışan sayı 10 olacaktır. 10 artı 0 ve +1 ile çarpıldığında 10 elde edilir.

10, 4 ile iki kez bölünebilir ve kalan 2'dir.

40

+           1_

39 ben 25 1 3, 1 6 1 0 2 00

6 5, 0 2

Çalışma sayımız artık 20. Elimizde: (20 + 2) x 1 = 22 var.

22'nin 4'e bölümü 5 ve kalan 2'dir.

40

+           1_

39 ben 25 1 3, 1 6 1 0 ² 0 ² 0

6 5, 0 2 5

Bir sonraki çalışma sayısı 20'dir: (20 + 5) x 1 = 25.

25'in 6'ya bölümü 4 ve kalan 1'dir.

40

+             1_

39 ben 25 1 3, 1 6 ^{1 0} 2 0 ² 0 1 0

6 5, 0 2 5 6

10 artı 6 eşittir 16. 16 bölü 4 4 verir. Ortaya çıkan cevabın - 65.0256 - 4 ondalık basamağa kadar doğru olduğunu görüyoruz.

Bir yerde çalışan sayıyı çalışan bölene bölmemiz sonucunda 10 elde ettiğimizde ­, cevabın son basamağını 1 artırmamız gerektiğini fark ettik. teoride, 10 kat artırılmalıdır ( kalan - üst sıralamadan ne kadar taşınır ). Cevabın alınan son ­basamağını düzeltme faktörü ­ile çarpıp elde edilen sayıyı ekleyene kadar (daha doğrusu, negatif bir sayıdan bahsettiğimiz için çıkarma yapmayın ) bu kalanı payın bir sonraki basamağına eklemeyin . bölenin mevcut basamağı, çünkü 10'un katlarını sonda çıkarmak her zaman başlangıçta çıkarmaktan ve sonra negatif ­sayılarla çalışmaktan daha kolaydır.

Problem ^а trexç^ach^th sayıları

Üç basamaklı bir sayı ile bölme işlemi, iki basamaklı bir sayı ile bölme işlemine benzer. Örneğin:

45678:321=

, iki basamaklı bir sayıya bölme durumunda olduğu gibi resmileştiriyoruz .­

32 1 | 45678

Öncelikle 300'e bölüyoruz . Bunun için önce 100'e sonra 3'e bölüyoruz .

100'e bölmek, beşinci iki basamaktan sonraki ondalık sayıyı ­sola kaydırmak anlamına gelir. Bu bize 456.78 sayısını verir .

Şimdi 3'e bölün ve yol boyunca ayarlamalar yapın .

4, 3'e bölündüğünde 1 kalanını 1 verir, bu nedenle cevabımızın ilk rakamı 1'dir. Bölünen 4 rakamının altına 1 yazıyoruz. 1'in geri kalanı bir sonraki haneye aktarılır, bu da bize 15'lik bir çalışma sayısı verir.

321 | 4 1 56,78

1

bölenin ­ikinci basamağıyla (2) çarpalım . 1 çarpı 2 eşittir 2. İşlemimizden 2 çıkar

(15) sayısı ve 13 elde ediyoruz. Şimdi 13'ü 3'e bölüyoruz. 13, ­3'e bölündüğünde 4 veriyor ve kalan 1. 4, cevabın bir sonraki basamağı. Geri kalanı her zamanki gibi aktarıyoruz ve 16'lık yeni bir çalışma numarası alıyoruz.

321 | 4 1 5 1 6.78

14

Şimdi cevabın son basamağını (4) bölenin ikinci ­basamağıyla çarpıyoruz:

4x2 = 8

Ayrıca cevabın bir önceki basamağını (1) bölenin üçüncü ­basamağını (1) çarpıyoruz. Bu iki sayıyı (8 + 1 = 9) toplayıp çalışan sayıdan çıkaralım. Çalışma sayımız 16 ­, yani: 16 - 9 = 7.

Cevaptaki bir sonraki basamağı almak için 7'yi 3'e bölün. 7, 3'e bölündüğünde 2 ve kalan 1'dir.

Kalanı bir sonraki haneye (7) aktarıyoruz ve yeni bir çalışma numarası 17 alıyoruz.

321 | 4 1 5 1 6, 1 78

1    4 2

Cevabın son iki basamağını bölenin son iki basamağıyla çarpıyoruz. Sonra iki sonucu toplarız.

2      2 = 4

4x1 = 4

4 + 4 = 8

17 çalışma numaramızdan 8 çıkaralım: 17 - 8 = 9. Şimdi ­9'u 3'e bölüyoruz.

Bir sonraki basamağa geçmek için bir kalana ihtiyacımız olduğunu biliyoruz ­. Hiçbir şeye tahammül etmezsek 140 bize yeter mi?

kendisinin büyüklüğü ? Evet, bu kadar yeter, çünkü bir sonraki ­basamakları çaprazlama çarpmamız ve sonuçları toplamamız ­toplam 8'i verecektir (8 : 3 = 2 r2, sonra 3 x 2 = 6, 2 x 2 = 4, 6 + 2) = 8), ancak bu durumda son adım için kalan olmayacaktır ­. Bu nedenle, 3'ü 2'ye indiririz ve kalan 3'ü elde ederiz.

9 : 3 = 2 r3

321 | 4 ¹ 5 ¹ 6, ¹ 7 ³ 8
14 2, 2

Bir sonraki çalışma sayımız 38 olacak. ­Çapraz olarak çarpıyoruz ve ardından sonuçları topluyoruz:

2x2 = 4

2x1 = 2

4 + 2 = 6

38 - 6 = 32

32'yi 3'e bölün ve 9'u elde edin ve kalan 5 olsun ­. Çarpanlardan biri 9 olduğu için çapraz çarpma işleminden sonra oldukça büyük bir sayıyı çıkarmamız gerekir.

321 | 4 ¹ 5 ¹ 6, ¹ 7 ³ 8 5 0

1 4 2, 2 9

Mevcut çalışma sayımız 50'dir. Çapraz olarak çarpın:

9 × 2=18

2x1 = 2

18 + 2 = 20

50 - 20 = 30

30'u kalanla 3'e böleriz.

30 : 3 = 9 r3

321 |4 ¹ 5 ¹ 6, ¹ 7 ³ 8 5 0 ³ 0

1 4 2, 2 9 9

Bir sonraki çalışma sayısı 30'dur. Çapraz olarak çarpıyoruz.

9 × 2=18

9x1 = 9

18 : 9 = 27

30 - 27 = 3

3, 3'e kalanlı bölünemez, bu nedenle cevaptaki bir sonraki basamak 0'dır.

Dördüncü ondalık basamağa tam olan 142.2990 sayısını cevap olarak alarak çözümü bu noktada durduralım . ­Dilediğiniz karaktere devam edebilirsiniz.

Bu yöntem standart uzun bölmeden daha basit değil mi?

İşte kendi başınıza karar vermeniz için bazı örnekler ­:

a) 7120 : 312 =                            b) 4235 : 213 =

Yanıtlar:

a) 22,82                                      b) 19,88

Cevaplarınızı hesap makinesi ile kontrol ederek kendi örneklerinizi çözmeye çalışın . ­Bölüm 16'da, ­bir bölme problemini doğru çözüp çözmediğimizi hızlı ve kolay bir şekilde kontrol etmek için bir yöntem tanıtıyoruz.

Bölüm 15

Bu yöntem ­, 10, 100 , 1000 vb . veya 20 , 300 , 500 vb.'den biraz daha küçük sayılara bölmek için çok iyidir . bölüm.

9 10'u kaç kere böler ? Bir kez kalan 1. Böylece her onluk için 9 , onu 1'e böler ve kalan 1'i verir. Bu nedenle , 20 sayısı 9'a iki kez bölünür ve kalan ­2 olur. 40 sayısı dört kez kalan 4 ile. Ve böylece sayıdaki her on için.

Birkaç dolarınız varsa, her dolar için 90 sente bir şey satın alabilir ve 10 sent üstünü alabilirsiniz. Yeterli paranız varsa, birikmiş bozuk paranızla başka bir şey satın alabilirsiniz. Bu bizi zorlu bölme problemlerini çözmek için yeni ve kolay bir yola getiriyor. 90 sente böl, önce 100'e (dolar) böl ve üstünü al.

cebinizde 20 sent bırakarak bir dolar verirsiniz . ­Artı, ­bozuk para olarak 5 sent alırsınız, yani satın alımınızdan geriye 25 sent kalır veya dediğimiz gibi bakiyeniz ­25 sent olur.

Böylece, 120'yi 95'e bölersek 1 ve kalan 25 olur diyebiliriz.

Bir örnek düşünün:

100       

96 ben 234

234'ü 96'ya bölüyoruz. Çözümü her zamanki gibi yazıyoruz ama 96'nın altına bir daire çizip içine 4 yazıyoruz.(96, 100'den ne kadar eksik?)

Şimdi 96'ya bölmek yerine 100'e bölüyoruz. 234'te 100 kaç kez eder? Kalan 34 olacak şekilde iki kez. Cevabın ilk basamağı olarak 2 yazıyoruz.

34'ün kalanı, her yüz için kalan 4 ile toplanmalıdır. Bizim durumumuzda iki yüz var, yani bakiyemiz ­2 x 4, yani 8, artı önceki bakiye 34, bu da toplam bakiye olarak 42'ye çıkıyor.

100 ben           2_

96 I 234
®_8+
42 îCTaTîK

Mesele şu ki, 234 100 ile iki kez bölünebilir ve kalan ­34'tür . Aslında 96 ile böldüğümüz için , orijinal sayıyı bölen her yüzden kalan 4'ü hesaba katmamız gerekir .

96 sente bir şey alsaydık ve cebimizde 2,34 dolar olsaydı, satıcıya 2,00 dolar verir ve cebimizde 34 sent bırakırdık. Ayrıca, sahip olduğumuz 34 sente eklendiğinde , toplam ­42 sente ulaşan 8 sent alacaktık .

Başka bir örnek verelim:

705 : 89 =

Görev koşulunu yazıyoruz:

100       

89 ben 705

Ѳ

89, 100'den 11 eksik olduğu için bölenin altına 11 yazıyoruz ­.

705'te kaç yüz var? Açıkçası, 7, bu yüzden ­cevaba 7 yazıyoruz.

Kalanımız nedir? Her yüz için kalan ­11'dir. 7 tane yüzümüz var yani kalan 7 x 11 yani 77. 705'ten kalan 77'ye 5 ekleyin ve bu bize 82 verir (77 + 5 = 82) .

100     7_

89 ben 705

77 dolar

82

Yine, artık yüzlerce kişiye dokunmadığımızı, yalnızca 5'in geri kalanıyla ilgilendiğimizi not ediyoruz.

basamak ­doğruluğu ile hesaplayalım .

100 _{_} 7

89 ben 705.000

Ѳ 77 x

82 0

820'yi 89'a bölüyoruz .

Elimizde 8 yüz var, bu yüzden cevaptaki bir sonraki basamak 8'dir ­. 8 kere 11 88 verir.

100 _{_} 7.8

89 ben 705.000

Ѳ 77 x

82 0

8 8

88 artı 20 (820'den geriye kalan) 108'e eşittir, bu da ­toplam kalandır. Açıkçası çok büyük çünkü bölenimizi aşıyor, bu yüzden alınan cevabın son basamağını 1 ­artırıyoruz. Şimdi çözüm şuna benziyor:

100     7.9

89 ben 705.000

C 77 x

82 0
9 9

11 9

(100) kalanımızdan ­bir kez çıkarın . Kalanda yüzler basamağından birinin üzerini çizelim ­ve gerçek kalanı bulalım: 19.

Sıfırı yukarıdan alıp 190 elde ediyoruz.

89'un 190'ı ikiye böldüğünü görebilirsiniz , bu yüzden cevapta bir sonraki basamak olarak 2 yazıyoruz . ( ­190'daki ­90 zaten bizim bölenimizden daha büyük . )

( Cevabın 2 olması gerektiği size açık değilse, en az ­yüzün 190'da olduğunu hatırlayarak bir sonraki rakam olarak 1 yazabilirsiniz . sonuç 101'dir. Bölen 89 olduğundan ve ­101'in 101'den büyük ­bir kalanı olamaz , bu seçeneği atmalı ve cevaptaki bir sonraki basamak olarak 2'yi almalıyız .)­

100     7.92

89 ben 705.000

11 77 _

82 0

9 9

11 90

22

1 12 tamam

Cevabın son basamağını 1 artırdığımız için kalandan 100x1 çıkarın . 112 eksi 100, 12 verir. ­Son sıfırı kaldırın ve 120 elde edin.

120, 89'a bir kez bölünebilir, bu da bize ­7.921'lik bir cevap verir. Cevabı ­iki ondalık basamağa istediğimiz için 7.92'ye yuvarlayabiliriz. Tüm sorun zihinde zorlanmadan çözülebilir.

Aşağıdaki örnekleri zihninizde, ­cevabın tamsayı kısmını ve kalanını alarak çözmeye çalışın.

645 : 98 = â) 234 : 88 =

2345 : 95 = г) 1234 : 89 =

Yanıtlar:

б) 24 r65 г) 13 r77

bir) 6 r57

bir) 2 r58

Kolay, değil mi?

Bu yöntem, 100, 1000, vb.'nin hemen altındaki sayılara veya 100, 1000, vb.'nin katlarına bölme söz konusu olduğunda iyi çalışır , ancak ­diğer sayıları bölmek için de kullanılabilir .­

Örnek:

23456 : 187 =

Görevi her zamanki gibi yazıyoruz:

200           

187 I23456

13

200'ün çalışan böleni kullanıyoruz çünkü 187 , 200 eksi 13'tür.

Gelelim hesaplamalara. 234 200'e tam bölündüğü için cevabın ilk basamağı 1 olacak. 5 bölü 1 yazıyoruz.

Gelen cevap hanesini (1) daire içindeki sayı (13) ile çarpıyoruz ve sonuç 13 oluyor.234'ün altına 13 yazıp 34'e ekliyoruz.

34 + 13 = 47

200      1 187 I23456

13 13

47

Bir sonraki rakamı (5) 47'ye yıkıyoruz ve 475 elde ediyoruz.

475'i 200'e bölün. 400, 200'e iki kez bölünebilir, yani

2, cevabın bir sonraki basamağıdır.

200      12

187 23456
@ 13 ^x

475

2'yi 13 ile çarpıyoruz ve 26 elde ediyoruz.

75 + 26 = 101

Bir sonraki basamağı (6) yıkıyoruz.

200 _ 12
187 I23456
13 13xx

475
26
1016

1016'yı 200'e bölün . 1000, 200'e beş kez ­bölünür , yani cevaptaki bir sonraki basamak 5'tir. 5 x 13 eşittir 65. 65 artı 16 eşittir 81, kalanımızdır.

200      125

187 I23456

(13 13xx

475

26

1016
      65
81 îCTatîK

Cevabımız: 125 ve kalan 81 .

her basamağıyla ­13'ü çarpmak, 187 sayısıyla aynı şeyi yapmaktan kesinlikle çok daha kolaydır .

Aşağıdaki örnek, çalışan bir bölene bölerek bir kalan elde ettiğinizde ne yapacağınızı gösterir ­.

4567:293=

İlk görev şöyle görünür:

300          

293I 4567

400'ü 300'e bölün ve kalan 100 olacak şekilde 1 elde edin . Aktarmayı genellikle küçük bir 1 ile gösteririm.

1     7'ye göre 7'dir , bu nedenle 56'ya 7 ekleriz. Buna önceki kalanımız olan ­100'ü ekleyin ve sonunda ­toplam kalanı (163) elde ederiz .

300 ₍     1

293I 4 567

(7 ) 1 07

163

Kâr payının bir sonraki basamağını aşağıya alıyoruz. Şimdi 1637'yi 300'e bölüyoruz .

1600, 300 ile 5 defa bölünür , kalan 100'dür . Aynı işlemi uygulayınız.

37 artı 135, 172'nin kalanını verir. Bu örneği çözerken, kalanı iki kez taşımak zorunda kaldık.

300       15

293 ben 4 567

( 7 ) 107x

1637

1 35

172 OKTATİK

Başka bir örneğe bakalım:

45678 : 378 =

378, 400'den 22 eksiktir , bu nedenle yöntemimiz başarıyla uygulanabilir.

Görevi benimsediğimiz şekilde yazıyoruz:

400           

378 ben 45678

@

400'ü çalışma böleni olarak kullanıyoruz.

İlk hesaplama zor değil. 465, 400'e bir kez bölünür.

400      1

378I 45678

(22 22

78

22'nin 1 ile çarpılması 22'yi verir. 22'yi 56'ya ekleyin ve ­78'i elde edin.

Temettünün bir sonraki basamağını (7) yıkıyoruz.

400      1

378I 45678
(22 22x

401, 787'de bir kez bulunur, ancak 787 neredeyse 800'dür ve ayrıca aslında 400'e değil, 378'e bölüyoruz. Bölme sonucunun 2 olduğunu varsayabiliriz.

400      12

378I45678

22 22x ^_

787

44

131

2 çarpı 22 eşittir 44. 87 artı 44, 131'i verir. 100'ü çıkar ( ­31'i elde ederiz) çünkü cevabın bir sonraki hanesine 1 ekledik ­, 1 yerine 2 yazdık. Mesele şu ki, 378'i iki kez çıkarmaktan farkı bulduk. 787. Cevap 100'den küçük bir sayı olmalıdır. Şimdi bir sonraki sayıya (8) geçelim.

400      12

378I45678
(22 22xx)

787

44

318

400, 318'i 0'dan büyük bir tamsayı ile bölmez. Gerçek bölenimizin ne olduğuna bakalım. 318 de 378'e bölünemez , bu yüzden cevapta bir sonraki basamak olarak ­0 alırız ve 318 kalan olur.

400      120

378 ben45678

(22 22xx

787

44

318 OKTATİK

Böyle bir sorunu nasıl çözeriz?

1410 : 95 =

Ele alınan yöntemi kullanarak, iki şekilde çözülebilir. Önce ilk çözüme bakalım.

100         

95 ben 1410

Bin dört yüz yüze kaç kez bölünebilir?" diye sorulabilir. ­14 kez. Cevap olarak 14 yazıyoruz ­. Şimdi gerisini halledelim. 14 kere 5 eşittir 70. (14 kere 2 7. 5 kere 2 10, 10 kere 7 70.) 70 artı 1410'un (10) kalanı 80. Cevap 14, kalanı 80.

100      14

95 ben 1410

® 70

80 OKTATİK

İkinci yol:

100 ₍ _ 14

95 ben 1410

® _5X

460

20

80 OKTATİK

141, 100 ile bir kez bölünür ve kalan 41'dir.

1 çarpı 5 eşittir 5, artı kalan 41 - 46 elde ederiz. Bize 460'ı veren bölenin (0) bir sonraki basamağını yıkıyoruz.

460, 100'e bölünür ve kalan 60 olur. 4 kere 5 eşittir ­20, artı 60'ın kalanı 80'e (kalan) eşittir.

İlk yol, zihinsel hesaplamalar için daha kolay ve daha uygun, değil mi? Örneği kafanızda iki şekilde de çözmeye çalışın ve hangisinin daha kolay olduğunu karşılaştırın.

Yöntemi kullanırken olası sorunları gösteren ilginç bir örnek :­

3456 : 187 =

Her zamanki gibi yapıyoruz:

200
187 ben 3456
13

345'teki 300'ü 200'e bölün . Cevap 1 , kalan ­100. Bunu şöyle yazıyoruz :

200 ₍     1_

187 ben 3 1 456

13

Yüzler basamağının üzerine bir koyduk (345 sayısının yüzler basamağındaki rakam 3'tür), kalan 100'ü aldık.

Şimdi çarpıyoruz: 1 x 13 = 13. Sonucu 345'ten kalan 45'e ekliyoruz ve ayrıca 100'ü ekliyoruz - kalan devir ­.

200       1

187 ben 3 1 456

13 13

158

Bununla demek istediğimiz, cebimizde 345 dolarımız varsa ve 187 dolara bir şey alıyorsak, satıcıya 200 doları verip cebimizde 145 doları bırakabiliriz ­. 13 dolar daha bozuk olarak verilecek ve cebimizde kalan parayla ­artık 158 dolarımız olacak.

6 sayısını yıkıyoruz. Şimdi 1586'yı 200'e bölmemiz gerekiyor.

yüzler basamağında bir ile düzeltmeyi unutmayınız . Kalanın ­büyük olacağını görebilirsiniz : 7 ­x 13 artı 186, 1586'dan kalan. Bu nedenle, ­cevaptaki sayıyı 1 artırıyoruz, 7 yerine 8 elde ediyoruz. 8 x 13'ün çarpımı kolaydır. hesaplamak için: 8'e 10, 80, artı 8 x 3 \u003d 24 - 104 elde ederiz.

200 _{_} 18

187 ben 3 1 456

13 13x ^_

15 1 86 -200

104

eklediğimiz fazladan ­bölen olarak 200'e daha denk geldiği için kalandan onu çıkarmamız gerekiyor. Bunu hatırlatmak için çözümün sağına -200 ekleyelim.

200 18

187 ben 3 1 456

13 13x ^_

15 1 86 -200

104

90

186'yı 104'e ekliyoruz ve 290 elde ediyoruz. Şimdi bu toplamdan sağda yazan 200'leri çıkarıyoruz ve kalan ­90'ı buluyoruz. Yukarıda açıklanan prosedür ­basit görünmüyor, ancak biraz pratik yaptıktan sonra aslında her şeyin olduğunu göreceksiniz. oldukça basit. Ana ­şey, kendi eylemlerinizi dikkatlice izlemek ­ve her adımda ne yaptığınızın farkında olmaktır. Birkaç benzer örneği çözmeye çalışın ­ve biriken deneyim anlatmakta başarısız olmayacaktır.

34567'yi 937'ye bölmek için bu yöntemi kullanabilir miyiz ? ­937, 1000'den çok uzak olmasa da, fark hala eskisinden daha büyük, bu nedenle böyle bir sayı ile çarpmak kolay değil.

Bu sorunu çözmeye çalışalım.

1000           

937 I34567

63

İlk adım 3000'i 1000'e bölmektir. Cevap belli ki 3'tür. Bu, cevabımızın ilk basamağıdır.

Şimdi çemberdeki sayıyı 3 ile çarpmamız gerekiyor.

3 kere 60, 180'i verir ve 3 kere 3, 9'dur; bu nedenle cevap ­189'dur. 3456'nın altına 189 yazın ve ­kalanını bulmak için 456'ya ekleyin.

456 + 189 = 645

1000       3

937 I34567

63 189

645

Bir sonraki basamağı (7) yıkıyoruz.

1000       3

937 I34567

63 189 ^x

6457

Şimdi 6457'yi 1000'e bölmemiz gerekiyor.

6000 bölü 1000 6 verir. Şimdi 63'ü 6 ile çarp. Bu zor bir iş mi? HAYIR. 6 kere 60, 360'ı verir ve artı 3 X 6 = 18, 378'i verir.

Bunu 457'ye ekleyin ve kalan 835'i elde ederiz.

1000 ₍      36

937 |34567

63 189 ^x

6457

378

835 haydut

Yani 34567'nin 937'ye bölümü 36 ve kalan 835'tir.

ondalık basamaklı bir cevap alana kadar bölmeye devam ediyoruz .­

1000       36

937 |34567.000

63 189 ^x

6457

378

835

Ondalık noktadan sonra cevap için gerekenden bir sıfır daha ekleyin.

İlk sıfırı atıyoruz ve 8350 elde ediyoruz. 8000'de 1000 kaç kez var? Sekiz, yani cevaptaki bir sonraki rakam 8'dir.

1000       36.8

937 |34567.000

<63 189 ^x X

6457
378
8350

8,      63 ile çarpıldığında 504 elde edilir . (8 kere 60 480 ve 8 kere

3, 24'e eşittir . 480 artı 24, 504'ü verir .)

350 + 504 = 854

1000 ■   36.8

937 I34567.000
63 189x X

6457

378

8350

504
854

8540 vermek için bir sonraki basamağı (0) kaydırın, sonra 8540'ı 1000'e bölerek tekrar 8 elde edin . 8 x 63'ün 504'e eşit olduğunu zaten biliyoruz , bu nedenle son sayıyı 540'a ekliyoruz ve 1044 elde ediyoruz.

1000 _{_}     36.88

937 I34567.000
(63 189x xx

6457

378

8350

504

8540

504

1044

Burada açıkça bir sorun var, çünkü ­bölenden daha büyük bir kalanımız var. Bu nedenle ­cevabın son hanesini 1 artırmamız gerekiyor. Son rakamın (8) üzerini çizip ­9 ile değiştiriyoruz. 9 x 63'ün çarpımı 567'dir. (9 x 60 \u003d 540, 9 x 3 \ u003d 27 ve 540 + 27 \u003d 567. )

540 + 567 = 1107

1000 _|      36,89

937 ben 34567.000
63 189x xx

6457

378

8350

504

8540

567

1107

Cevabın son hanesini 1 artırdığımız için 1000'i çıkarıyoruz. Cevaptaki virgülden sonraki üçüncü haneyi hesaplamak için son sıfırı kaldıracağız. 1070, 1000'e bir kez bölünür . Bu bize cevaptaki bir sonraki sayıyı verir: 36.891. İki ondalık haneye bir cevaba ihtiyacımız var: 36.981'i iki ondalık haneye yuvarlamak 36.98'i verir. Sorun çözüldü.

Cevabımızın her basamağıyla 63'ü çarpmanın, aynı şeyi 937'yle yapmaktan çok daha kolay olduğuna bir kez daha dikkat edin . Tam çözüm aşağıdaki gibidir:

1000       36.891

937 ben 34567.000
(63 189x xx
6457

378

8350

504

8540

567

1070

Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözmeye çalışın ­: önce bir tamsayı kısmı ve bir kalan olarak ve sonra bir ondalık basamak doğruluğu ile.

456 : 194 =

â) 5678 : 186 =

6789 : 288 =

г) 73251 : 978 =

Sorunlarla karşılaşırsanız, işte tam

Her örnek için çözüm. bir) 200 ( ____ 2 1941456 ® 12 68 OKTATİK

200 _ 2,35 194 I456,00 (6) 12xx 680 18 980 otuz

10 OKTATİK

Bir ondalık haneye kadar cevap ­2.4'tür .

6)     300 ( 23 288I 6789 12 24x _ 1029 36 165 OKTATİK

300 _ 23,57 288I 6789,00 12 24 x xx 10 1 29 36 16 1 50 60

2100

84

84

Bir ondalık haneye kadar cevap ­23.6'dır .

a) 200           30 186 ben 5678 14 42x _ 098 KESİM

200      30.52 186 ben 5678.00 14 42xxx 0980 70

5 1 00

28

128

Bir ondalık haneye kadar cevap ­30.5'tir.

14 ile çarpmak için, basitçe 7 ile çarparız ve sonra ­cevabı ikiye katlarız (2 x 7 = 14).

d) 1000 . _____ 74                                1000      74,89

978 ben 73251                           978 | 73251,00

22 154x ( ²²                              154x xx

4791                                          4791

88                                        88

879 OKTATİK                             8790

176

9660

198
858

Bir ondalık haneye kadar cevap ­74.9'dur .

22 ile çarpmamız gerekiyordu. 22 = 2 x 11 olduğunu hatırlarsanız bu kolay. Bildiğimiz çarpma tekniklerini kullanarak ­2 ve 11 ile çarpmak zor değil . ­Örneğin 8 sayısını 22 ile çarpmanız gerekiyor. 8'i önce 2 sonra 11 ile çarpıyoruz .

8x2 =
16 16x11 = 176

19, 29 veya 39 ile bölme yaparken , doğrudan bölme yöntemini kullanmak daha iyi olabilir , ancak bölen ­100, 200, 400 veya 1000'in biraz altında olduğunda , biraz önce açıklanan yöntemi daha uygun bulabilirsiniz.

1312:96 gibi örnekleri kafanızda hiç zorlanmadan düşünebilmelisiniz ­, bu durumda 100 - 4 olur. ­artı dört artı on üç artı on iki ­yani on üç artı altmış dört."

Ardından, cevabınızı bir ondalık basamak istiyorsanız, kalan 64'ü 10 ile çarpın ve tekrar 96 uzuvlara bölün ­, böylece istediğiniz sayıda ­ondalık basamaklı bir cevap alabilirsiniz . ­Örneğin, üç ondalık hanenin cevabı 13.667 olacaktır.

Bu bölümün sonunda, ­burada gördüğümüz yöntemi sıradan uzun bölme ile karşılaştıralım.

Örneğin:

705 : 94 =

Toplama yöntemiyle çözüyoruz:

100 ₍    7

94 ben 705

© 42

47

705'te 100'ün kaç katı var ? Yedi kere.

7'yi 6 ile çarpalım ve sonucu 5'e ( 705'te ) toplayarak kalanı bulalım. 7 ile 6'yı çarpmak ve ardından 42'yi 5'e eklemek kolaydır ­.

Şimdi bunu standart gaga bölümü ile karşılaştıralım ­.

7.
_{_} 705
94 ben 658
47

705'te 94 kaç kere eder ? Yedi kere.

Şimdi 7'yi 94 ile çarpmalıyız - 658 elde ederiz.

Daha sonra kalanı bulmak için 705'ten 658'i çıkarırız.

Bu bölümde tartışılan yöntem daha kolay bir çözüm sunuyor, değil mi?

Bölüm 16

problemlerinde cevapları kontrol etmek için önceden öğrendiğiniz dokuzlu atma yöntemini ­kullanabilirsiniz .

Örneğin, 42 bölü 2'nin 21 verip vermediğini kontrol etmek istedik . Dokuzları atarak bunu kontrol edelim . İlk olarak, ikame sayılarını hesaplamanız gerekir:

42 : 2 = 21

6 : 2 = 3

Bu örnek tamamen önemsizdir ve açıklama gerektirmez. Aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun:

161 : 7 = 23

8 : 7 = 5

Burada çıkarma örneklerinde kullandığımıza benzer bir yaklaşım seçmelisiniz . Bir bölme probleminin cevabını kontrol etmenin kolay bir yolu ­, cevabı bölenle çarpmak ve ­böleni alıp almadığımıza bakmaktır. Bu nedenle, son eşitliği aşağıdaki gibi yazıyoruz:

8 = 5 X 7 iyoi 7 X 5 = 8

Öyleyse, tabii ki ikame sayılarından bahsettiğimizi göz önünde bulundurarak cevabımızın doğru olduğunu söyleyebilir miyiz?

5 X 7 = 35 ve 3 + 5 = 8

Evet, cevabımız doğru.

Peki ya cevabında kalanın elde edildiği örneği doğru çözüp çözmediğimizi kontrol etmemiz gerekirse? Örneğin aşağıdaki problemde cevabı nasıl kontrol ederiz:

165 : 7 = 23 r4

Hatalar yaptık mı ? Dokuzlar atmak , çoğu durumda hataları tespit etmemizi sağlar ve bizi yeniden çözmek ­zorunda kalmaktan kurtarır. örnek.

Bölme örneklerinde dokuzlu atma yöntemini kullanırken problemi çarpma örneğine çevireceğiz . Ama gerisini ne yapacağız? Bunun hesabını ­şu şekilde yapıyoruz :

23x7 = 165 - 7

Kalanı temettüden çıkarırız . Bu şu şekilde açıklanır : Bir sayıyı başka bir sayıya böldüğümüzde kalan 4 olur . ­Orijinal sayı 4'ten küçük olsaydı , o zaman hiç kalan olmazdı .

İkame sayılarına dönüştürüldükten sonra , _ _­ denklem:

5 x 7 = 3 - 4

Kalan (4) yanıttan (3) büyüktür, bu nedenle ya önceki adımdaki toplamayı önce bitirmeliyiz (165 - 4 = = 161) ya da şimdi çıkardığımız sayıya 9 eklemeliyiz (3) . Her iki durumda da şunları elde ederiz:

5x7 = 8

35 = 8

8 = 8

Yani cevabımız doğru.

Ancak, önemli bir not düşülmelidir:

Cevabın ­belirli sayıda ­ondalık basamağa yuvarlanmış bir sayı olduğu bölme örnekleri için dokuz atma yöntemini kullanamazsınız . ­Dokuzları yuvarlamak yalnızca ­doğru cevapları kontrol etmek için çalışır.

Dokuzlar atarak aşağıdaki çözülmüş örneklerdeki cevapları kontrol edin :­

a) 248746 : 721 = 345 r1             b) 36679 : 137 = 26722

c) 6054 : 17 = 356 r2                   d) 3283 : 49 = 67

Cevaplar: a), c) ve d) - doğru cevaba sahip örnekler; b) yanlış cevaplı bir örnek.

Âûiöpacûiâa^e odi^ad0ati

Roll onbir, cevabınızı kontrol etmenin başka bir kolay yoludur. Dokuzları atmaya göre avantajı , ondalık noktanın yanlışlıkla ­yanlış yere yerleştirilip yerleştirilmediğini ve fazladan mı yoksa tersine eksik sıfır mı olduğunu ­belirlemenize izin vermesidir ­. Dokuzları yuvarlamak için ek bir kontrol olarak özellikle kullanışlıdır. 11'in katları ile çarptığımda ­(örneğin, 66 veya 77), dokuzları atmakla birlikte bu yöntemi kullanırım.

Şimdi size 11'e bölündüğünde kalanı bulmanın iki kolay yolunu göstereceğim (onbiri atın).

Kalanı bulmak için çok basit bir kural ­iki basamaklı sayılar için geçerlidir: onlar basamağını ­birler basamağından çıkarmanız yeterlidir. Birler basamağı onlar basamağından küçükse ­önce 11 eklenir.

Örneğin:

13 × 14=182

Elimizdeki ilk sayı 13. 3'ten (birimlerin basamağı) 1'i (onlar basamağı) çıkarın ve cevapta 2 olsun, böylece kalan 2 olur.

On bir atıldıktan sonra ikinci sayının (14) kalanı 3'tür (4 - 1 = 3) .­

Daha fazla ­basamaklı bir sayının kalanını bulmak için :

basamaktan ondalık basamağa kadar çift sayılı basamakları işaretleyin ( tamsayılar söz konusu olduğunda , ­sağdan ilk sayıdan başlayarak ). Çift hanelerdeki sayıları tek hanelerdeki sayılardan çıkarın.

182 sayısı için on bir rulonun geri kalanını bulmak için sayıları çift yerlerde işaretleyin.

1 8 2

*

8 sağdan ikinci sayıdır. Tek yerdeki sayılar 1 ve 2'dir. Bunları toplayarak şunu elde ederiz:

1 + 2 = 3

3'ten 8'i çıkaramazsınız, o halde 3'e 11 ekleyelim.

3 + 11 = 14

14 - 8 = 6

6 bizim kontrol sayımızdır.

13 ve 14 için yerine koyma sayıları 2 ve 3'tür. ­Bunları çarparak kontrol numarasını bulmalıyız:

2x3 = 6

Sonuç bizim kontrol numaramızla örtüştüğü için ­doğru cevabı almış olduk.

, daha az çabayla kontrol etmemizi sağlar . ­Neden on bir tanesini atıyorsun? Cevabımız 182 yerine 18,2 olsaydı, dokuzu atmak hatayı belirlememize izin vermezdi ama onbiri atmak verirdi. Veya cevabımız 1712 ise (10'dan büyük ancak 20'den küçük sayıları çarpma yöntemini yanlış kullanmamızın ­bir sonucu olarak ­), dokuzları atmak ­bu cevabı doğru olarak kabul edecektir. Ve bu sefer onbiri atmak ­bir hatanın varlığını gösterecekti.

Bahsedilen her iki cevabı da on bir atarak test edelim ­:

1 8, 2

**

Çift yerlerdeki sayıların toplamı 3'tür (1 + 2 = 3). Tek basamaktaki sayı 8'dir. Kalan 5'tir (8 - 3 = = 5).

Görev şu hale gelir:

2x3 = 5

Bu açıkça yanlış bir ifadedir.

Diğer yanlış cevabımız ise 1712 sayısıydı:

1 7 1 2

**

Çift hanelerdeki (1 + 1) sayıları toplarsak 2 elde ederiz. Tek hanelerdeki (7 ve 2) sayıların toplamı 9'dur.

9 - 2 = 7

ikame sayıları için de eşitlik elde ederdik . ­Ancak yine ­kasıtlı olarak yanlış bir eşitlik elde ediyoruz:

2 × 3=7

On bir atmak, ele alınan her iki durumda da cevapların yanlışlığını belirlememizi sağlarken, dokuz atmak bizi cevapların doğru olduğu sonucuna götürürdü.

Başka bir örneğe bakalım:

1,3 X 14 = 18,2

1.3 sayısında 1 rakamı ­geri sayımın yapıldığı yani birinci olan tek hanede, 3 rakamı ise sırasıyla çift hanede yer almaktadır.

1'den 3 çıkar. 1 , 3'ten küçük olduğu için 11 ekliyoruz .

11    + 1 = 12

3'ü 12'den çıkarabilirsiniz .

12     - 3 = 9

14 sayısının kalanını bulmak için 4'ten 1 çıkarın .

4 - 1 = 3

Cevapta (18.2) 1 ve 2 rakamları çift, 8 rakamı tek hanelerdedir.

1 + 2 = 3

8      - 3 = 5

Görevimiz şöyle görünüyor:

9      x 3 = 5

9'a 3 eşittir 27. 27'nin yerine koyma sayısını bulmak için ­7'de 2'yi okursunuz.

7 eksi 2 eşittir 5 ki bu bizim kontrol sayımızla aynı.

Cevapta 1.82 veya 182 alırsak, ­dokuzları atmak hatayı belirlememize izin vermez.

Aşağıdaki sayılar için on bir yuvarlandıktan sonra kalanı bulun:

a) 123                       b) 5237                     c) 716

d) 625174                  e) 2156                     f) 8137

Yanıtlar:

bir) 2	b) 1	c) 1 (12, çaTeM 1)
d) 0	e) 0	e) 8

 

attıktan sonra kalanı nasıl bulacağınızı hatırlamıyorsanız ­, geri dönün ve açıklamayı tekrar okuyun. Yöntem çabaya değer.

Şimdi, muhtemelen yöntemi pratikte oldukça kullanabilirsiniz. Aşağıda kendi başınıza karar vermeniz için örnekler verilmiştir. Cevapları kontrol edin.

a) 17x17 = 289                           b) 154x23 = 3542

c) 32x41 = 1312                          d) 46x42 = 1942

Cevaplardan biri yanlış. Hangisi olduğunu sana söylemeyeceğim. Sadece dokuzları atmanın ­hatayı belirlemenize de izin vereceğini not edeceğim. Tekrar kontrol etmeyi deneyin.

Açıklanan yöntemlerden herhangi birini kullanırken, ister dokuz ister on bir atın, bazen ­ek bir kontrol yapmayı, yani cevapta elde edilen yaklaşık değeri değerlendirerek tercih ederim .­

Bu yöntemlerin tümü, özellikle okulda veya işyerinde sayılarla çalışıyorsanız çok faydalıdır.

17. Bölüm

alırken kendisiyle çarparız. Örneğin, 4'ün karesi 16'dır çünkü 4 kere 4 eşittir 16.

Karekökü bulmak, kare ­alma işleminin tersidir. 16'nın karekökünü bulmak için ­kendisiyle çarpıldığında 16 veren bir sayı bulmanız gerekir. Cevap elbette 4'tür. Aynı şekilde 25'in karekökü de 5'tir, çünkü 5 kere 5 25'tir ­.

64'ün karekökü kaçtır? Cevap 8 çünkü 8 X 8 = 64.

Peki ya 56'nın karekökü? Burada görev daha ­zordur, çünkü 56'nın karekökü diye bir tamsayı yoktur. 7 kere 7, 56'dan küçük olan 49'u verir ve 8 kere 8, 56'dan büyük olan 64'ü verir. Dolayısıyla cevap ­7 ile 8 arasında bir yerdedir . ­Karekökü şu şekilde tahmin ediyoruz ­: . Karesi çalıştığımız sayıdan biraz küçük olan sayıyı - bu durumda 56 - seçiyoruz ve ikinciyi birinciye bölüyoruz.

Bu durumda, karesi (49) 56'dan biraz küçük olan 7'yi alıyoruz. Örneğin 8, karesi (64) 56'dan büyük olduğu için bu rol için uygun değil.

Şimdi 56'yı 7'ye bölüyoruz ve cevapta 8 çıkıyor.

7 ile 8 arasında ortalama alıyoruz. Bu ortalama 7.5. (Birkaç sayının ortalamasını bulmanın bir yolu, bu sayıların toplamını sayılarına bölmektir.) Bu cevap, basit bir hesaplamayla doğrulanabileceği gibi, gerekenden biraz daha büyüktür ( ­7,5 X 7,5 = 56,25). 7,48'e yuvarlamak daha iyi doğruluk sağlar.

Sorudaki cevap (7.48), iki ondalık basamağa kadar kesindir. İlk cevabımız (7.5) bir ondalık haneye kadar doğrudur. Çoğu zaman bu doğruluk yeterlidir.

sembolü, karekökü belirtmek için kullanılır ­- Karekökü çıkarmak ­istedikleri sayının önüne yerleştirilir . 716 \u003d 4 ­, 16'nın karekökünün 4 olduğu anlamına gelir.

Bir örnek düşünün:

770=

Öncelikle istenen kökün yuvarlanması olan en yakın sayıyı tahmin etmeye çalışalım.

770 " 8 (8X8 = 64)

Orijinal sayıyı elde edilen yaklaşık ­tamsayı değerine bölün.

70 : 8 = 8,75

Şimdi ilk tahmin ­(bu durumda, 8 sayısı) ile sayının ilk tahminine, yani 8,75'e bölünmesinin sonucu arasındaki farkı yarıya bölün. Fark şudur:

8,75 - 8 = 0,75

Bu farkı ikiye bölerek şunu elde ederiz:

0,75 : 2 = 0,375

Son olarak, elde edilen sonucu ilk tahmine ekliyoruz ­(8):

8 + 0,375 = 8,375

Bu şekilde elde edilen cevap her zaman gerekli olandan biraz daha fazla olacaktır, bu yüzden aşağı yuvarlayacağız. Bu durumda, gerekli yuvarlama olarak 8.37'yi alacağız ­. Bu cevap yüzde 0,2'lik bir hatayla hesaplanıyor.

Başka bir örnek deneyelim. 29'un karekökünü nasıl hesaplarız ?­

29â =

İlk puan olarak 5'i seçin (5 x 5 = 25). Daha iyi bir yaklaşım elde etmek için 29'u 5'e ­bölün ­.

29, 5'e 5 kez bölünebilir ve kalan 4'tür. 40 (kalan 4 kere 10), 5'e sekiz kez kalansız bölünebilir. 5.8'e bölmenin bir sonucu olarak elde ederiz.

29 : 5 = 5,8

5 ile 5.8 arasındaki fark 0.8'dir. 0.8'in yarısı 0.4'tür. Bunu 5'e ekleyin - aradığımız karekök için ilk tahminimiz - ve daha doğru bir tahmin elde ederiz: 5.4.

Cevap 5.385'tir, ancak 5.4 ­bir ondalık basamağa kadar kesinlik sağlar. Yaklaşık yüzde 0,2'lik bir hatamız var. Bu doğruluk ­çoğu durumda yeterlidir.

Başka bir örnek deneyelim:

73125=

Sayıyı en sağdan başlayarak basamak çiftlerine ayıralım:

731~25 =

* *

Karekökün alındığı sayıdaki her hane çifti, ­cevabın tamsayı kısmında bir haneye karşılık gelir.

Bu örnekte, virgülden sonraki sayılar dikkate alınmadan cevap iki basamaklı bir sayı olacaktır.

Bir basamak çifti eksikse, yani örneğin ondalık noktadan önce beş basamak varsa ve elimizde iki çift ve bir (en soldaki) basamak varsa, bu tek basamak çifte eşittir ­.

Cevaptaki ilk basamağı hesaplamak için ­ilk basamak çiftinden oluşan sayının karekökünü hesaplayalım. 31'in karekökünün ilk yaklaşımı 5'tir (5 X 5 = 25). Karekökün ilk yaklaşımındaki sonraki basamaklarda her zaman sıfırlarımız olacaktır. Cevap bir rakam daha gerektirdiğinden, 5'e bir sıfır ekler ve kökün ilk yaklaşımı olarak 50 elde ederiz.

50'ye bölmek için önce 10'a, sonra 5'e bölün:

3125: 10 = 312,5

Şimdi 5'e bölüyoruz ve 62.5 elde ediyoruz.

5 ben 312,5
62,5

Aradaki farkı bulalım ve ikiye bölelim:

62,5 - 50 = 12,5
12,5 : 2 = 6,25

Bir tam sayıya yuvarlayın ve ­ilk tahmine ekleyin:

50 + 6 = 56

T3Î25 = 56 ÎTÂET

Hesap makinesini kullanarak şunu elde ederiz:

31255 = 55.9

Hesaplayarak aldığımız cevap yüzde 0,2'yi geçmeyen bir hata ile hesaplanıyor. 6.25'i 6'ya yuvarlamasaydık, hata yine de yüzde 1'den az olurdu.

Yukarıdaki hesaplamalar akılda kolayca yapılabilir. Ancak çoğu insan, kağıt üzerinde bile karekök hesaplamayı bilmiyor.

Akılda hesaplama

Aşağıdaki problemi zihnimizde çözelim.

500'ün (7500) karekökü nedir?

Her şeyden önce, sayıyı basamak çiftlerine ayıralım. Kaç çift elde ederiz? İki (biri eksik). Bu nedenle, cevap ­iki basamaklı olacaktır.

İlk basamak çifti nedir? Bu sadece bir sayı ­: 5. 5'in karekökü nedir? 2 x 2 = 4 olduğu için 2 alıyoruz .

İkinci basamak olarak 0 alırız, ilk yaklaşımımız ­20'dir.

Şimdi 500'ü 20'ye bölmemiz gerekiyor. Bunu nasıl yaparız? 500'ü önce 10'a sonra 2'ye böleriz.

500 :10 = 50

50 :2 =25

25 ve 20'nin toplamını ikiye böleriz - 22,5 elde ederiz. 22.4'e yuvarlayın .­

Hesap makinesi cevabı 22.36 verir.

22,5'lik tahminimiz, ­yaklaşık yüzde 0,5'lik bir boyut hatasıyla sonuçlanıyor. 22,4'lük yuvarlatılmış yaklaşım, ­yüzde 0,2'lik bir hataya karşılık gelir.

Bu, zihinsel hesaplama için çok iyi bir sonuçtur, özellikle de ­çoğu insanın karekökü hesaplamayı bildiği tek yolun hesap makinesi kullanmak olduğunu düşünürsek. Kafandan karekök hesaplamak, şüphesiz sana bir matematik dehası olarak ün kazandıracaktır.­

Başka bir örnek deneyelim:

793560

Sayıları çiftlere ayıralım:

79 35 60 =

***

İlk çift eksik - 9 sayısı. 9'un karekökü 3'tür (3 x 3 = 9). Sadece üç çift rakam var, bu yüzden 3'e iki sıfır atıyoruz, böylece cevapta olması gerektiği gibi üç hane elde ediyoruz. İlk tahminimiz 300.

300'e bölmek için önce 100'e sonra 3'e bölün. (100'e bölmek için beşinci ondalık basamağı ­sola iki basamak taşıyın.)

93560 : 100 = 935,60

3 ben 935.60

311.86

311,86 - 300 = 11,86

11,86 : 2 = 5,93

300 + 5,9 = 305,9

Hesap makinesi cevabı 305.8758 verir. Tahmin hatamız ­yüzde 0,0079 .

Başka bir örneği benim yardımımla çözelim:

738472148 =

Bu çok etkileyici bir görev gibi görünüyor. Bu örneği kafamızda çözüyor olsaydık, ­sayıyı önceden aşağı yuvarlayabilirdik. Ancak, daha sonra daha fazlası.

İlk olarak, sayıyı basamak çiftlerine ayıralım:

388 47 21 48 =

****

Dört çift basamağımız var, yani cevap da ­dört basamaklı olacak.

x 6 \u003d 36 olduğu için 38'in karekökünü 6 olarak değerlendiriyoruz. ­Kalan konumları sıfırlarla doldurun. Puanımız 6000.

38472148'i tahmine böleriz. Önce 1000'e, sonra 6'ya böleriz:

38472148 : 1000 = 38472.148

Sadece yaklaşık bir değer hesapladığımız için ondalık basamakları atabiliriz. Şimdi ­38472'yi 6'ya bölelim:

38472 : 6 = 6412

6000 ile 6412 arasındaki farkı ikiye katlayın. 412 ve yarısı 206. (400'ün yarısı 200 ve ­12'nin yarısı 6'dır.)

İlk tahminimize 206 ekleyelim ve 6206 elde edelim. Yuvarlayın ve şunu elde edin:

6200 OTÂET

Hesap makinesinin verdiği gerçek cevap ­6202.59'dur. Pratik ihtiyaçlar için, yaklaşık değerimizin ­yeterince doğru olduğu kabul edilebilir. Bununla birlikte, kesin bir yanıt elde etmek istiyorsak, o zaman bir sonraki bölümde dikkatinize sunacağım yöntem, bildiklerimin en basitidir.

Bu sırada aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözünüz ­. Bazılarını zihninizde çözmeye çalışın.

a) 71723 =	b) 72600 =	c) 78ö =
d) 742 =	E) 75132 =	e) 7950 =
g) 72916 =	3) 71225 =
Yanıtlar:
a) 41.5	b) 50.99	ç) 8.94
6.48	71.64	30.82
gr) 54	3) 35

 

Karekök ­için yaklaşımı ne kadar doğru seçersek , nihai cevap o kadar doğru olacaktır. Bu nedenle , ­yaklaşık olarak ­karekökün ­gerçek değerine mümkün olduğunca yakın bir sayı seçmemiz gerekir .

Az önce incelediğimiz örneklerde sayılar, ilk tahminimiz olarak seçtiğimiz sayının karesinden biraz daha büyüktü ­. Yani, kendi kendine çözen örneklerden birinde, 2600, 50'nin karesinin biraz üzerindeydi (2500) ve ilk tahmin olarak 50 kullandık ­.

Aşağıda, orijinal sayının sayının karesinden biraz daha az olduğu durumu ele alıyoruz - ilk yaklaşım. Daha doğru bir cevap elde etmek için, ilk yaklaşım olarak karesi orijinal sayıdan küçük olan bir sayı seçmek ­yerine , karesi ­orijinal sayıdan büyük olan bir sayı seçebilirsiniz ( elbette ­bu bizi şu sonuca götürecektir) daha doğru bir cevap).

Örneğin:

24O0Ö =

Sayıyı basamak çiftlerine ayıralım:

T24ÖÖ =

**

24'ün karekökünün bir tahmini olarak 5 sayısını seçtik çünkü 24, 5'in (25) karesine 4'ün (16) karesinden daha yakındır. 2400'ün kareköküne ilk yaklaşımımız 50'dir.­

Şimdi 2400'ü 50'ye bölün. 50'ye bölmek için önce 100'e bölün ve sonra sonucu ikiye katlayın (50=100:2).

2400 : 100 =24

24 × 2=48

48 ile 50 arasındaki farkı ikiye bölün.

50 - 48 = 2

2 : 2 = 1

48'e 1 eklemek cevabımızı verir: 49.

Hesap makinesi aşağıdaki kök değeri verir ­: 48.98979. Hatamız yaklaşık ­yüzde 0,02 idi.

Başka bir örnek verelim:

76300=

Sayıları çiftlere ayıralım:

T63Ö0 =

**

İlk basamak çifti için yaklaşımımız 8'dir, çünkü 63, 8'in karesine (64) 7'nin karesine (49) olduğundan çok daha yakındır. Yani 6300'ün kökü için ilk yaklaşımımız 80'dir.

Önce 10'a, sonra 8'e bölün:

6300 : 10 = 630
630 : 8 = 78,75

Şimdi 78.75 ile 80 arasındaki ortalamayı bulalım. ­80 üzerinden 78.75 hesaplayıp, cevabın yarısını alıp 80'den çıkartabilirsiniz.

İyi haberler var: daha kısa bir yol var!

İki sayının ortalamasını bulmakla ilgili.

78.75 ve 80 için böyle bir ortalama bulmak için bunları (158.75) toplayın ve toplamı ikiye bölün.

Kısa yol aşağıdaki gibidir. Cevabın yetmiş küsur olduğunu biliyoruz, dolayısıyla cevaptaki ilk rakam 7'dir. Şimdi 8.75'in soluna 1 ekleyin (18.75 elde edin) ve ikiye bölün. Daha fazla toplama ve çıkarma işlemi ­gerekmez.

18'in yarısı 9'dur. 7'nin sağına 9 eklerseniz ­79 elde edersiniz. 75'in yarısı 35,5 eder. Bu nedenle cevap ­79.375'tir. Aşağı yuvarlayıp 79.37 elde ediyoruz.

Asıl cevap 79.3725, bu da bizim hatamızın yüzde 0.003 olduğu anlamına geliyor. İlk tahmin olarak 70 sayısını kullansaydık cevabımız 80 olurdu.

Bu kestirmenin sebebi nedir? İki sayının (78.75 ve 80) ortalamasını bulmak için bunları toplamalı ve toplamın yarısını almalıyız:

78,75 + 80 = 158,75
158,75 : 2 = 79,375

15'i 2'ye bölerek cevap 7'dir ve 1'den kalanı 8'e taşıyarak 18 elde ederiz. Ele alınan kısa yöntemde, ­hesaplamanın bu kısmını atladık. 178

Daha fazla doğrulukla hesaplamak istiyorsak, elde edilen cevabı ikinci bir tahmin olarak kullanarak prosedürü tekrarlayabiliriz ­.

bu bölümde verilen ilk örneği ele alalım :­

756=

İlk yaklaşımımız 7'dir (7 x 7 = 49).

56 : 7 = 8

8 - 7 = 1 (paç^öa)

1 : 2 = 0,5

7 + 0,5 = 7,5

Şimdi işlemi tekrar edelim. 56'yı 7,5'e bölün . Bu operasyon zor değil. Bu 112:15 veya 224:30 ile aynıdır.Hem böleni hem de böleni ikiye katlarsak ­bölmenin sonucu değişmez.

224 , 30'a kolayca bölünür. Önce 10'a (22.4), sonra 3'e bölün.

224 : 30 = 7.4667

Ortalamayı bulmak için kısayolumuzu kullanabilirsiniz . ­Cevabın ilk kısmının 7.4 olduğunu biliyoruz. Önde kalan 1'i 667'ye atfederiz ve 1667 elde ederiz . Bu sayıyı 2'ye bölün:

1667: 2 = 833,5

833'ü sağdaki 7.4'e atfediyoruz ve şu cevabı alıyoruz : 7.4833 . Bu cevaptaki tüm rakamlar, ­56'nın karekökünün tam değerine karşılık gelir .

Genel olarak, bu işlemi her tekrarladığımızda, ­cevaptaki tam basamak sayısını ikiye katlarız.

Başka bir örnek verelim.

Bu bölümdeki zihinsel hesap alıştırmalarından biri 500'ün kareköküydü. ­Zihinsel aritmetiği yapmaya devam edelim ama ­cevabın doğruluğunu geliştirmeye çalışalım.

Daha önce şunları düşündük:

5000 = 22,5

500'ü 20'ye bölmek yerine artık ­22.5'e böleceğiz. Zor mu? Önce iki sayımızı da ikiye katlarsak olmaz.

500 ve 22.5'i ikiye katlamak 1000 ve 45'i verir. Tekrar ikiye katlamak 2000 ve 90'ı verir.

İstenen köke daha iyi bir yaklaşım elde etmek için 2000'i 90'a bölün . ­2000'i 90'a bölmek için önce 10'a, sonra 9'a bölün.

2000 : 10 = 200

200 : 9 = 22,22

Şimdi 22.22 ve 22.5 için ortalamayı bulalım.

Virgülden önceki 22 açıkça değişmeden kalacaktır. Beşinciden sonra sayılara ne olacağını bulmak için ­50 ve 22'nin ortalamasını buluruz.

22 + 50 = 72

72 : 2 = 36

22'ye 0,36 ekliyoruz ve tüm sayıların kökün tam değerindeki sayılara karşılık geldiği bir cevap alıyoruz.

22 + 0.36 = 22.36 ÎTÂET

Biraz pratikle, yukarıdaki tüm hesaplamalar ­zihinsel olarak yapılabilir. Öyleyse tren!

Bölüm 18

 

sayının karekökünün tam değerini hesaplamanın ­kolay bir yolu var . Bu benim çapraz ­çarpma dediğim bir süreç .

İşte nasıl çalıştığı.

artı işareti simgesi

Tek basamaklı bir sayıyı çapraz çarpmak için ­karesini almanız yeterlidir:

3 2 = 3 X 3 = 9

Sayı iki basamaklıysa, bunları birbiriyle çarpın ve sonucu ikiye katlayın.

34 = 3x4 = 12

12 × 2=24

Üç basamaklı bir sayı olması durumunda, birinci ­ve üçüncü basamakları çarpın, sonucu ikiye katlayın ve ardından ortadaki basamağın karesini buna ekleyin. Örneğin, 345 sayısını çarpmak şu anlama gelir:

3x5 = 15

15 × 2=30

30+ ⁴² = 46

sayı ile çapraz çarpmanın genel kuralı şudur:­

İlk basamağı sonuncuyla, ikinciyi sondan bir önceki sayıyla, üçüncüyü sondan bir önceki sayıyla çarpın ve tüm basamaklar çarpılana kadar böyle devam edin. Ardından ­ortaya çıkan tüm ürünleri toplayın ve sonucu ikiye katlayın.

Uygulamada, ürünleri birbiri ardına eklersiniz ­ve ardından ortaya çıkan miktarı ikiye katlarsınız.

sayıyı tek sayıda basamakla çapraz çarpmanın genel kuralı şudur:­

İlk sayıyı sonuncuyla, ikinciyi sondan bir önceki sayıyla, üçüncüyü sondan bir önceki sayıyla ve ortadaki sayıya ulaşana kadar çarpın. Ortaya çıkan tüm ürünleri toplayın ve sonucu ikiye katlayın. Buna ortadaki sayının karesini ekleyin.

Aşağıdaki örnekler bunu açıklamaya hizmet eder:

123 = 1 X 3 = 3, 3 X 2 = 6, 6 + 2 2 (4) = 10
1234 = 1 X 4 (4), + 2 x 3 (6) = 10, 10 x 2 = 20

12345 = 1 X 5(5),+2 X 4(8)=13, 13 X 2=26, 26 +3 ² (9) =35

Mcnînüçováa^e aynı ^ya'nın aklından judratdot kop^ya aşkına geçecek

Karekök çıkarma yöntemi aşağıdaki gibidir ­.

Örneğin:

728Ö9 =

Öncelikle sayıları çiftlere ayıralım. Her hane çifti, cevapta bir haneye karşılık gelecektir.

T28Ö9 =

**

Böylece, karekökün iki rakamı olacaktır (tabii ki tamsayı kısmında).

İkinci olarak, ilk çiftin rakamlarından oluşan sayının karekökünün değerini tahmin edelim . 28'in karekökü yaklaşık olarak 5 sayısıdır (5 x 5 = 25 ) . Yani ­5, cevabın ilk basamağıdır.

Cevabın ilk basamağını ikiye katlayın (2 x 5 = 10) ve ­sonucu sayının soluna yazın. Bu sayı bölenimiz olacak ­. 8 rakamının üzerine cevabın ilk hanesi olan 5'i ilk hane çiftine (28) yazalım.

Yazdıklarımız şuna benziyor:

5

10728 09

Bu, cevabın ilk basamağı üzerindeki çalışmayı tamamlar.

İkinci basamağı bulmak için cevabımızın ilk basamağının karesini alır ve sonucu orijinal sayıdaki ilk basamak çiftinden çıkarırız.

5 ² = 25

28 - 25 = 3

3 sayısı kalanımızdır. 3'ün kalanını ­kökü çıkardığımız sayının bir sonraki basamağına aktarıyoruz. Bu bize 30'luk yeni bir çalışma numarası verir.

Çalışma sayımızı (30) bölene (10) bölün. 3 alıyoruz ­- cevabın bir sonraki basamağı. 30, 10'a kalansız bölünür, bu nedenle aktarılacak bir şey yoktur. 9 yeni çalışma numarasıdır.

Çözümümüz şimdi şöyle görünüyor:

5      3

10 728 ₃ 09

25

cevabın son rakamı ile çapraz çarpacağız .­

3 ² = 9

Sonucu çalışma numaramızdan çıkarın:

9      - 9 = 0

Kalan yoktur: 2809 bir tam karedir. Karekökü 53'tür.

10     72809 = 53

Başka bir örnek düşünün:

754756=

İlk olarak, sayıları çiftlere böleriz ve üç çift sayı elde ederiz. İstenen kök, üç basamaklı bir sayı olacaktır.

75 47 56 =

***

ilk çiftten gelen rakamların oluşturduğu sayının kökünün yaklaşık değerini tahmin edelim . ­Bu ­durumda tek bir sayıdan bahsediyoruz: 5. ­5'in kökü için yaklaşık olarak 2 (2 x 2 = 4) alıyoruz.

Cevabımızın ilk basamağı olarak 2 yazalım.

x 2 = 4) elde etmek için ikiye katlarız .

Şimdi çözümümüz şöyle görünüyor:

2

4 75 47 56

4

Cevabın ilk basamağının karesini alıp sonucu ­aşağıya yazalım ve ilk çiftin basamaklarından oluşan sayıdan çıkaralım:

2 ² = 4

5 - 4 = 1

1'i sonraki haneye taşıyın. Yeni bir çalışma numarası 14 alıyoruz .­

14'ü bölenimiz 4'e bölün . Cevap 3 ve kalan ­2'dir (3 X 4 = 12). Kalanı bir sonraki haneye taşıyoruz. Bir sonraki çalışma sayımız 27'dir.

2 3

4 T5 ? 4 2 7 56

4

İlki hariç, yani 3 sayısı ile cevabın rakamlarıyla çapraz çarpma yapıyoruz .­

3^{[3] [4] [5]} = 9

Sonucu çalışan sayıdan çıkarın:

27 - 9 = 18

18'i 4'e bölün ve cevap 4 ve kalan 2'dir. ­Yani 4, cevabın son basamağıdır. Şimdi alacağımız diğer tüm sayılar ­, cevabın kesirli, yani ondalık noktadan sonraki kısmına atıfta bulunur. Kalanı taşıyın 2.

2 3 4.0

4 7 5 1 4 ₂ 7 ₂ 5 1 6

4

Çapraz çarpma yapmak:

0x3 = 0

4 ² = 16

Çalışan sayımızdan 16 çıkarıyoruz ve ­cevapta 0 çıkıyor, kalan yok.

Ve bu örnekte, 54756 bir tam karedir.

Karekökü 234'tür.

Bir kalanımız olsaydı, onu bir sonraki sayıya taşır ve ­ihtiyacımız olduğu kadar ondalık basamağa kadar işleme devam ederdik.

Cpaâ^e^ie MeTîflîv

Önceki bölümde açıklanan yöntemi kullanarak kökün yaklaşık değerini ­tahmin etsek cevabımız ne olurdu ?­

75 47 56 =

***

2'yi cevabın ilk hanesinin puanı olarak ­tanımlarız . Sonraki iki basamak otomatik olarak sıfır olur. İstenen kökün ilk tahmini 200'dür.

54756'yı 200'e bölün . Önce 100'e sonra ­2'ye bölün .

54756 : 100 = 547,56

547 : 2 = 273

200 ve 273'ün ortalamasını bulursak 236 elde ederiz . 235'e yuvarlayabiliriz - doğru cevaptan bir fazla, bu da 186 hatasına karşılık gelir

yaklaşık yüzde 0.5 _ Bu doğruluk çoğu durumda oldukça kabul edilebilir . Ancak, kökün tam değerini elde etmek istiyorsanız , çapraz­ çarpma benim için bilinenlerin en kolayıdır .

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye ­çalışın :

a) 73249 =               6) 72116 = c) 7103041 =

Yanıtlar:

bir) 57                     6) 46

Örnek c)'yi birlikte çözelim :

7103041=

Sayıları çiftlere ayıralım :

710 30 41 =

***

Üç çift rakam vardır , bu nedenle cevabın tamsayı kısmında da üç rakam olacaktır ­.

Karekökün yaklaşık değerini ­hesaplayın ilk çiftin rakamlarından oluşan sayıdan yani 10 sayısından . 3 kere 3 - 9. 4 iyi değil çünkü 4'ün karesi 10'u geçer. Yani cevabın ilk rakamı 3 olacaktır. ­bölenimiz 6'dır.

3'ün karesi 9 veriyor. 10'u 9'a bölerek kalan 1'i alıyoruz. Bir sonraki basamağa aktarıyoruz. Bu bize yeni bir çalışma numarası verir - 13.

3

6 710 ₁ 30 41

9

13'ü 6'ya bölersek:

13 : 6 = 2r1

Cevabın bir sonraki basamağı 2 ve çalışma numarası 10'dur.

3 2

6 710 1 3 1 0 41

9

2 sayısıyla çarpıyoruz ve ­4 elde ediyoruz. Çalışma sayısından 4 çıkarıyoruz:

10 - 4 = 6

6'yı 6'ya bölüyoruz.

6 : 6 = 1

1     cevabımızın tamsayı kısmının son rakamıdır. Taşınacak bir bakiyemiz yok.

3 2 1

6 710 1 3 1 0 0 41

9

Yeni çalışma sayımız 4 olacak. Çapraz çarpma işlemini yapıyoruz ­. 21 sayısı için böyle bir çarpma, ­4 cevabını verir (2 x 1 \u003d 2, 2 x 2 \u003d 4). 4'ten 4 çıkarın ve sonuç 0 olsun.

3 2 1.0

6 710 1 3 1 0 0 4 0 1

9

Yeni çalışma numarası 1'dir.

Çapraz çarpma yapmak:

0x2 = 0

1 ² = 1

1'den 1 çıkarın. Son sonucumuz 0, yani 103041 bir tam karedir. Bu sayının karekökü 321'dir.

Biraz pratik yaparak, yukarıdaki hesaplamaların hepsini kafanızda yapabileceksiniz , bu da çevrenizdekiler üzerinde büyük bir etki bırakacaktır .

Âinpîc okuyucu

2401'in karekökünü nasıl bulacağımı sordu .­

Sayıları çiftlere böldükten sonra problem ­şöyle görünür:

T24Ö1 =

**

İki çift basamağımız var, yani cevap iki basamak olacak.

24'ün karekökünün (4 x 4 = 16) yaklaşık olarak karekökü olarak 4'ü aldığımda ­, bölen olarak 8 elde ederim ve sonra 24'ten 16'yı çıkararak 8 elde ederim, bu da sonraki basamağa 0, 80'i verir ve 80, 8'e on kez bölünebilir. Neyi yanlış yapıyorum?"

Küçük bir nüans var. 10 bir rakam olmadığından ­, 10'u 1'e indiririz, cevabın ikinci basamağı olarak 9'u alırız ve kalan 8'i bir sonraki basamağa, 1'e taşırız ve sonuç 81 olur.

9 sayısıyla çarpıyoruz (9'un karesi), bu da 81 cevabını veriyor. Mevcut çalışan sayıdan ­(81) 81'i çıkarın.

81 - 81 = 0

Yani sıfır kalanımız var. Cevap (49) tam kareköktür.

Okuyucu daha sonra aşağıdaki karekökü nasıl hesaplayacağımı sordu:

723222761 =

Sayıları çiftlere böleriz ve şunu elde ederiz:

233 22 27 61 =

****

Tamamlanan sorun şöyle görünür ­:

4        8 1     9.0          0   0     _

8 723   7 2   ₈ 2    io 2       14 7   2 6 8 1

-16     -64     -16 -145 -18 -81

18        86        2   8

Bölmeyi her yaptığınızda, devir kalanın çapraz çarpmadan ­elde edilen sayıdan daha büyük bir sonuç vermesi gerektiğini aklınızda ­bulundurmanız gerekir ­. Ayrıca bölme işleminin sonucu 10 veya 11 olsa bile kalan olarak kullanılabilecek ­en büyük değer 9'dur ­. Sonucu en az 1 azaltmanız gerekir.

Karekökün yaklaşık değerini hesaplamak için genellikle ilk yöntemi kullanırım; ama kesin bir cevap istiyorsam, bu bölümde tartışılan yöntemi kullanırım. Karşılaştığınız sayılar ne kadar büyük olursa , ­hesaplamalar o kadar zor olacaktır çünkü daha fazla rakamla ­çapraz çarpmanız gerekir ­. Ek olarak, karekökün yaklaşık olarak hesaplanması ­yöntemi kendi içinde daha basittir.

196'nın karekökünü bulma sürecinde her iki yöntemi de karşılaştıralım. İlk olarak, değerlendirme yöntemi:

7196=

* *

Sayıyı basamak çiftlerine bölün . İki tane var , bu yüzden cevap iki sayı olacak .

İlk çiftin (1) rakamlarından oluşan sayının ­karekökü için bir yaklaşım buluyoruz .

1'in karekökü 1'dir. Cevabın ilk basamağı 1'dir.

İkinci basamak her zamanki gibi 0 olacaktır, ­bu nedenle ilk yaklaşım 10'dur.

196 : 10 = 19.6

Yuvarlayın ve ortalamayı bulun. 19'a yuvarlayın. Fark 9'dur (19 - 10 = 9). 9'un yarısı 4.5 eder. 10'a 4,5 ekliyoruz ve şu yanıtı alıyoruz: 14,5.

ikinci puan olarak 15'i kullanabilirsiniz .­

196'yı 15'e bölün. Bunu yapmanın kolay bir yolu, her iki sayıyı da ikiye katlamaktır (196 = 200 - 4, 200 - 4'ü ikiye katlamak 400 - 8'dir). Şimdi 392:30 var. ­392'yi 30'a bölmek için önce 10'a sonra 3'e böleriz.

392 : 10 = 39,2
39,2 : 3 = 13,06

13'e yuvarlayın.

Farkı 13 ile 15 arasında bölün. 2'nin yarısı 1'dir. Bunu orijinal yuvarlatılmış tahminimizden çıkarın (15 - 1 = 14). Cevap 14, 196'nın tam kökü.

196'nın kökünü alırsak çapraz çarpma yöntemimiz nasıl çalışır ?­

7196=

Sayıyı basamak çiftlerine ayıralım:

7196=

**

İlk çiftin (1) rakamlarından oluşan sayının karekökünün değerini tahmin ediyoruz . 1'in ­karekökü 1'dir. Bu, cevabın ilk basamağıdır. İki katına çıkarıyoruz ve ­bir bölen alıyoruz. 2'ye 1 - 2.

1

2 JTO6

(9) sayısının bir sonraki basamağını bölene böleriz.

9 : 2 = 4 ile îCTaTKîM 1

Cevabın ikinci basamağı olarak ­4 yazıyoruz ve kalanı bir sonraki basamağa (6) taşıyarak 16'yı buluyoruz .

1 4.0
2 TG9I6

4 sayısını çapraz çarpıyoruz (karesini alıyoruz) ­(yöntemin gerektirdiği gibi ilk haneye dokunmuyoruz ­) ve sonucu çalışma sayımız olan 16'dan çıkarıyoruz. ­4'ün karesi 16 veriyor , 16'dan çıkarıyoruz ve ­0 alıyoruz Böylece, 196 bir tam karedir (14 sayıları).

önceki bölümdeki değer tahmini yönteminden daha kolaydır . ­Böylece, artık bir seçeneğiniz var.

19. Bölüm

Sayıların çeşitli hilelerini ve özelliklerini kullanarak daha hızlı hesaplamanın nasıl yapılacağı hakkında birçok kitap yazılmıştır. Bu tür yöntemler yalnızca zamandan ve emekten tasarruf sağlamakla kalmaz, aynı zamanda ­matematiksel becerilerin geliştirilmesine de yardımcı olur. Bu bölümde size bilgi işlemi daha hızlı ve daha eğlenceli hale getiren bazı şeylerden bahsedeceğim ­.

Umdoge^e ^a 11

İki basamaklı bir sayıyı 11 ile çarpmak için sayıları toplamanız ve sonucu ortaya eklemeniz yeterlidir.

Örneğin, 23'ü 11 ile çarpmak için 2 ile 3'ü toplayın ki bu 5'e eşittir ve 2 ile 3'ün arasına 5 ekleyin. Cevap 253'tür ­.

14'ü 11 ile çarpmak için 1 ve 4'ü toplayarak 5'i elde edin ve 1 ile 4 arasına 5 ekleyin. Cevap: 154.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a ) 63X11 =	b) 52 X 11 =	c ) 34X11 =
d) 26 X 11 =	e) 71X11 =	e) 30 X 11 =
Yanıtlar:
bir) 693	b) 572	bir) 374
286	781	330

 

Verilen örneklerde, iki hanenin toplamı 9'dan küçük veya ona eşit bir sayıdır. ­İki hanenin toplamı 9'dan büyük olduğunda ne yaparsınız? 11 ile çarpıldığında rakamları toplama sonucu iki basamaklı bir sayı olduğunda, ­orijinal sayının rakamları arasına birler basamağını, sayının ilk basamağına onlar basamağını (1) eklemelisiniz.

ilk basamağa (2) 1 ekleriz, bu da bize cevabı verir: 308.­

x 11 örneğiyle tekrar deneyelim :

8 + 8 = 16

8 ile 8 arasına 6 eklemek bize 868 verir, ardından ­son cevap için ilk 8'e 1 ekleriz: 968.

Çocuklara bunun gibi problemleri çözmeleri istendiğinde (ve matematiği kendi başlarına yapmaları öğretildiğinde), bu ­onların temel matematik becerilerini geliştirmelerine yardımcı olur. "Bana ne kadar olduğunu söyle..." gibi testler her yaştan çocuk arasında popülerdir.

Birisi sizden 77'yi 11 ile çarpmanızı isteseydi, hemen şunu görürdünüz: 7 artı 7, 14'ü verir, bu da 9'dan fazladır. Hemen 1'i 7'ye ekler ve "Sekiz yüz" dersiniz. Cevabın bir sonraki basamağı 14'ün 4'ü ve ardından ­7 olacaktır, bu nedenle neredeyse hiç duraksamadan devam edersiniz: "Kırk. Yedi". Kendin dene. Göründüğünden çok daha kolay.

Başka bir örneği ele alalım: 84'ü 11 ile çarpacak olsaydınız, 8 artı 4'ün 9'dan büyük olduğunu anında tahmin edersiniz, bu nedenle 1'e 8 eklemelisiniz: "Dokuz yüz." Sonra 8 ve 4'ü toplarsınız, bu da 12 eder, yani ortadaki sayı 2'dir. Böylece devam edersiniz: ".yirmi ­." Son hane 4 olacaktır: ".dört". Tam cevabınız şu olacaktır: "Dokuz yüz yirmi dört." 194

Peki ya 96'ya 11?

. 10 rakamıyla tek haneliymiş gibi çalışın : 10, cevabın ilk kısmıdır. ­5 rakamı ortadaki ve 6 rakamı sonuncudur. Cevap 1056'dır.

Bu problemi kafanızda çözerken şöyle hayal edersiniz: " ­Dokuz artı bir on eder." Yüksek sesle, "Sen binsin ­..." derdin, sonra 15'te 5'in cevaptaki onlar sayısı olduğunu fark ederdin, bu yüzden "Elli" derdin. Birim sayısı aynı kalır: 6. Bundan sonra, ­“Bin. elli. altı".

Aşağıdaki örnekleri çözmeye çalışın. Hesaplamaları kafanızda yaptıktan sonra, cevabı olabildiğince çabuk adlandırın:

a ) 37X11 =	b) 48X11 =	c ) 76X11 =
d) 92 X 11 =	e) 82 X 11 =	e) 66X11 =
Yanıtlar:
bir) 407	b) 528	bir) 836
1012	902	726

 

330 ile 12 nasıl çarpılır?

çarpma yöntemimizi burada uygulamak zor gibi görünüyor ­, ama hadi çözelim.

330 = 3X11X10 _ _

(Çarpma ve bölme işlemlerinde sayının sonundaki sıfırı görmezlikten gelmeyi alışkanlık haline getirin ­. Böyle bir sayıya sıfırdan önceki rakamların on ile çarpımından oluşan sayı olarak bakmalısınız.)

x 11 olduğu için , 12'yi önce 3'le sonra 11'le çarparız. 12 kere 3, 36'dır ve 36 kere 11, 396'dır (11 ile hızlı çarpma yöntemimizi kullanarak).

Sonra 10 ile çarparız ve son cevabı alırız: 3960.

Bu yöntemin 11'in herhangi bir katına uygulanabileceği açıktır ­: 22, 33, 44, 55 veya 2.2, 3.3, 5.5 vb. Örneğin , bir kilogramda 2,2 pound vardır. Kilogramı pound'a ­çevirmek için kilogram cinsinden ağırlığı ­2,2 ile çarpın. Sayıyı ikiye katlamalı, 11 ile çarpmalı ve ardından 10'a bölerek ondalık sayının beşincinin arkasındaki konumunu dikkate almalısınız .­

80 kilogramı pound'a çevirmek için 80'i ikiye katlayarak 160 elde edin. Şimdi 11 (1760) ile çarpın ve 10'a bölünerek 176 pound elde edin.

90 kilogramda kaç kilo var?

90 X 2 = 180
180 X 11 = 1980
1980 : 10 = 198 ÎTÂET

Dört veya daha fazla basamaklı bir sayıyı ­11 ile çarpmak için benzer bir yöntem kullanacağız. Örneğin ­12345 X 11 çarpımını ele alalım . Problemi aşağıdaki biçimde yazalım ­:

012345X11 = _

11 ile çarptığımız sayıyı solda sıfır olarak atadık . Nedenini çok yakında anlayacaksınız. Birler basamağından başlayarak her basamağa sağındaki basamağı ekleyin. Bu durumda sağdaki rakamı 5'e ekleyelim . ­Sağda sayı yok, bu yüzden sıfır ekliyoruz:

5 + 0 = 5

Cevabın son basamağı olarak 5 yazıyoruz . Hesaplamalarımız ­şimdi şuna benziyor: 196

012345 X 11

5

Şimdi 4 rakamına geçelim. 4'ün sağında 5 rakamı var:

4 + 5 = 9

Cevabın bir sonraki basamağı olarak 9 yazıyoruz. Şimdi ­çözüm şöyle görünüyor:

012345 X 11

95

Aynı şekilde devam edelim:

3 + 4 = 7

2 + 3 = 5

1 + 2 = 3

0 + 1 = 1

Nihai çözüm böyle görünüyor:

012345 X 11
135795

En başta sola sıfır atamazsanız çözümdeki son adımı tamamlamayı unutabilirsiniz.

Bu, 11 ile çarpmanın çok basit bir yoludur. Yöntem, ­diğer şeylerin yanı sıra, toplama becerilerinin pekiştirilmesine de yardımcı olur.

Başka bir sorunu çözmeye çalışalım. Bu sefer sayıları haneden haneye aktarmamız gerekecek. Bu yöntem kullanılarak taşınabilen tek rakamın 1 olduğuna dikkat edin ( ­iki rakamın toplayabileceği maksimum toplam 18:9+9'dur).­

Aşağıdaki örneği çözelim:

217475X11 = _

Aşağıdaki formda yazıyoruz:

0217475X11 = _

Sağındaki sayıyı birim sayısına ekleyelim. Sağda sayı yok, bu yüzden sıfır ekliyoruz. 5 + 0 = 5. ­5'in altına 5 yazıyoruz. Şimdi 7 ve 5 rakamlarını toplayalım:

7 + 5 = 12

Cevabın bir sonraki basamağı olarak 2 yazıp bir ­sonraki basamağa 1 aktarıyoruz. Şimdi hesaplamalarınız ­şöyle görünür:

02174 1 75 X 11

25

Sonraki adımlar:

4 + 7 + 1 (nepe^ece^^aya) = 12

2, cevabın bir sonraki basamağıdır. 1 aktarıyoruz.

1     + 7 + 1 (pepe^ece^^aya) = 9

2      + 1 = 3

0 + 2 = 2

Nihai çözüm şöyle görünür:

02 1 1 1 7 1 475 X 11

23 9 2 225

matematik oyunu

Ele alınan yöntem matematik oyunları için de kullanılabilir. 11 ile çarpmanın sonucunu kontrol etmekten bahsedeceğiz. Sonuca bakmadan sorunun tamamen çözülmediğini unutmayın. Önceki bölümdeki ilk sorunumuzu ele alalım :­

012345 X 11

135795

Sağ uçtan başlayarak cevabın her ikinci hanesinin altına çarpı işareti koyalım . ­Aşağıdaki resmi elde edeceğiz:

012345 X 11 135795 xxx

Şimdi çarpı ile işaretlenmiş sayıları toplayın:

1 + 5 + 9 = 15

15 bizim kontrol sayımızdır. Şimdi çarpı işareti olmayan sayıları toplayın :­

3 + 7 + 5 = 15

15 ikinci kontrol sayımızdır.

Çözülmüş örnekteki cevap doğruysa, çek ­numaraları ya eşit olmalı ya da 11 veya 11'in katı olmalıdır, örneğin 22, 33, 44, 55, vb. Verilen örnekte, her iki çek numarası da 15'tir. , yani cevap sadıktır.

İkinci örneği doğru çözüp çözmediğimizi kontrol edelim:

0217475 X 11 2392225 xxx

Çarpı ile işaretlenmiş sayıları ekleyelim:

3 + 2 + 2 = 7

Ardından çarpı işareti olmayan sayıları ekleyin:

2 + 9 + 2 + 5 = 18

7 ile 18 arasındaki farkı bulmak için büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarın:

18 - 7 = 11

Fark 0, 11, 22, 33, 44, 55 vb. ise cevabımız doğrudur. Burada fark 11, yani doğru cevabı bulduk.

Çocukları benzer sorunları çözmeye davet edin. Onlardan seçtikleri sayıları 11 ile çarpmalarını ve ne ­fark alabileceklerini görmelerini isteyin . ­Numaramı ne kadar çok çarparsanız , o kadar çok fark elde edebilirsiniz. ­Birisi rekor bile kırabilir.

Çocuklar rekor kırmak için 100 basamaklı ve hatta daha uzun sayıları 11 ile çarpacak. Sadece şampiyonluk unvanını kazanmakla kalmayacak, aynı zamanda toplama ve ­alınan cevabın doğruluğunu kontrol etme becerilerini de geliştirebilecekler .­

11 ile hızlıca çarpmanın bir yolunun yanı sıra (çünkü ­11 kere 1, 10'dan büyüktür), ­9 ile hızlıca çarpmanın bir yolu vardır (çünkü 9 kere 1, 10'dan küçüktür). Bu yöntemde ­her basamağa sağdaki basamağı eklemek yerine sağdaki basamaktan her basamağı çıkarırız.

hesaplamaları hızlandırmak için aşağıdaki teknik kullanılabilir . ­Önce, birler basamağını 10'dan çıkarın ve ardından sonraki her basamağı 9'dan çıkarın ve sağa bitişik sayıyı ekleyin. Cevabın solundaki ilk basamağı (en anlamlı basamak) almak için ­sayının ilk basamağından 9 ile çarpılarak 1 okunur.

Örneğin:

254X9 = _

10'dan 4 çıkarırsak 6 elde ederiz. 9'dan 5 çıkarırsak 4 ve artı 4 (sağdaki komşu sayı) - 8 (86) elde ederiz. 9 eksi 2 eşittir 7 ve artı 5 12 verir. 2 yaz, 1 aktar (286).

İlk haneden (2) 1'i çıkarıp ­aktarılan 1'i ekliyoruz cevapta 2 çıkıyor Cevap: 2286.

254 X 9 = 2286 ÎTÂET

Herhangi bir sayıyı 9'a bölmenin kolay bir yolu var.

42'yi 9'a bölmek için, onlar basamağını cevabın tamsayı kısmı olarak alırız ve ­rakamların toplamını kalan olarak alırız. ­4 + 2 = 6 (kalan).

4 r6 OTÂET

Başka bir örnek düşünün:

34 : 9 =

Onlar basamağı 3 olduğu için cevabın tamsayı kısmı olarak 3 yazıyoruz .

3 + 4 = 7

3 r7 OTÂET

Peki ya 71?

Onlar basamağı...

Gerisi eşittir.

Cevap: 7, kalan 8.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 52 : 9 =         b) 33 : 9 =          c) 61 : 9 = d) 44 : 9 =

Yanıtlar:

a) 5 r7              b) 3 r6               c) 6 r7                 d) 4 r8

Kolay değil mi? Ama 46'yı 9'a bölmeniz gerekip gerekmediğini soruyorsunuz? Sorun şu ki, 4 ve 6'nın toplamı 10 ediyor. Ne yapmalıyım?

Anlamaya çalışalım:

46 : 9 =

Onlar basamağı 4 olduğu için cevabın tamsayı kısmı 4'tür ­.

4 artı 6 10 verir, kalan bizim yöntemimize göre. Ortaya çıkan ­kalan 9'dan büyük, yani bir çeşit hata var ­. Bölenden daha büyük bir kalanınız olamaz. 10'u ­9'a bölerek 1 kalanını 1 verir. Onlar basamağı 1 artı 1 + 0 = 1'dir (kalan).

Ortaya çıkan tamsayı kısmını (1) önceki tamsayı kısmına (4) ekleyin ve son tamsayı kısmı 5'i elde edin, kalan 1 olacaktır.

Başka bir örnek deneyelim:

75 : 9 =

Onlar basamağı 7'dir.

7 artı 5, 12 (kalan) verir. Kalan böleni geçmemelidir ­, bu nedenle elde edilen ara kalanı bölene böleriz ­.

12 : 9 =

istediğiniz cevabın tamsayı kısmını 1 artırabilirsiniz .­

7 + 1 = 8

1 + 2 = 3 îCTaTîK

8 r3 OTÂET

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 85 : 9 =         b) 37 : 9 =          c) 28 : 9 =           d) 57 : 9 =

Yanıtlar:

a) 9 r4              b) 4 r1                c) 3 r1                d) 6 r3

Bir sayının nîM^üro M^inhabitants ile çarpma

bir sayıyı ikiye katlayıp diğerini yarıya indirebilirseniz hesaplama basitleştirilebilir ­.

goe (bu yönteme "ikiye katla ve çarp" denir). Aslında, bu durumda , çarpılan sayıların çarpanları yardımıyla çarpmadan bahsediyoruz .­

3'ü 14 ile çarpmanın kolay bir yolu, 3'ü ikiye katlamak ve 14'ün yarısını alarak 6 x 7 elde etmektir. Buradaki sır nedir? Mesele şu ki, 14'ü 2'ye ve 7'ye bölün, sonra 3'ü (3 x 2) ikiye katlayın ve sonra 7 ile, yani 14'ün yarısı ile çarpın.

3 x 14 = 3 x (2 x 7) = 6 x 7 = 42

4'ü 22 ile çarpmak için 4'ü 2 ile çarparak 8 elde edin ve sonra 8'i 11 elde edin. hesaplamalar. Biri diğerinden önemli ölçüde küçük olan sayıları çarpmanız gerektiğinde, ­hesaplamaları basitleştirmek için bu prensibi uygulamaya çalışın.

Diyelim ki 14'ü 24 ile çarpmak istiyorsunuz. 10'u taban sayımız olarak alalım ­ve hesaplamayı her zamanki gibi yapalım.

+ S) + 14

10 14 X 24 =

Çapraz olarak ekleyerek 28 (14 + 14 veya 24 + 4) elde ederiz. 28'i referans numarası 10 ile çarpın ve 280 elde edin.

Şimdi daire içindeki sayıları çarpmamız gerekiyor: 4 x 14. Önce 4'ü 10 ile çarparsak 40 elde ederiz ve sonra 4 x 4 = 16'yı toplarız, bu da bize 56'yı verir.

Veya ikiye katlayıp yarısını alabilirsiniz.

14, 2 x 7 ve 4 x 2, 8'dir. Yani ­4 x 14, 8 x 7 ile aynıdır. 8 çarpı 7, 56'dır.

4'ü ikiye katladık ve 14'ün yarısını alarak ­8 x 7 elde ettik.

Ara sonucumuz (280) artı 56, 336 verir.

Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözün:

a) 4 X 18 =                b) 6 X 24 =                 c) 48 x 180 =

Yanıtlar:

a) 72                         b) 144                        c) 8640

(Örnekler şuna dönüştürülmüştür: 8 X 9, 12 X 12 ve 96 X 90.)

bu teknikleri başarılı bir şekilde kullanabileceğiniz durumları kolayca fark edebilirsiniz .­

100 miligramlık bir ilaç şişeniz varsa ve ­günde iki doz 7.5 miligram almanız gerekiyorsa, şişe kaç gün dayanır?

Hesap makinesi olmadan 100'ü 7,5'e bölmek o kadar basit değil gibi görünüyor.

Aksini yapmaya çalışalım. Günde iki doz almanız gerekiyorsa, günde yaklaşık 15 miligramdan bahsediyoruz. Ancak 100'ü 15'e kalansız bölmek işe yaramaz.

Bu sorunu çözmenin daha kolay bir yolu var. İki sayıyı da ikiye katlarsak cevap değişmez. İki kere 100 bölü 15, 200 bölü 30 ile aynıdır.

30'a bölmek için önce 10'a, sonra 3'e bölün.

200 : 10 = 20

2

20 : 3 = 6- ² -

3

İlaç altı buçuk gün sürecek (son gün ­şişede kalan dozun üçte ikisini almanız gerekecek ).­

Hesaplamayı yapmamızdaki kolaylık etkileyici.

Aslında, her şey çok basit.

Bölmenin kolay bir yolu:

•       kadar - temettüyü ikiye katlayın ve elde edilen sayıyı 30'a bölün;

•       25'e kadar - temettüyü ikiye katlayın ve elde edilen sayıyı 50'ye bölün;

•       35'e kadar - temettüyü ikiye katlayın ve elde edilen sayıyı 70'e bölün;

•       45'e kadar - temettüyü ikiye katlayın ve elde edilen sayıyı 90'a bölün.

Örneğin, 2341'i 35'e bölmeniz gerekiyorsa, ­2341'i ikiye katlar ve sonucu 10'a ve ardından 7'ye bölersiniz.

2341x2 = 4682

4682: 10 = 468,2

468,2 : 7 = 66,8857

Bu, tek bir rakama bölünen basit bir hesaplamadır ­.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 600: 15     =                                  b) 217    :       35        =

c) 560 : 35    =                            d) 630    :     45     =

Cevap:

a) 40                                                 b) 6.2

ç) 16                                            d) 14

10 _ _
_ _ _ _ _ _

Bölüm 10'da , 5 ile biten sayıların karesini almanın basit bir yolunu gördük. Benzer bir formül kullanarak ­aynı ­sayıda 1 ve toplamı 10 olan sayıları hızlı bir şekilde çarpmanın bir yolu var .­

x 13'ün çarpımına bakıldığında her iki sayının onlar basamağının aynı olduğunu ve birler hanelerinin toplamının 10 olduğunu görebilirsiniz.

Her şeyden önce, onluk sayısını onunla çarpalım, ancak bir artıralım.

Onlar basamağına 1 ekleyerek 1 + 1 = 2 elde ederiz. 1'i 2 ile çarparak 2 elde ederiz. Bu, cevabın yüz sayısı olacaktır (200).

Şimdi birimleri çarpalım. 3 x 7'nin çarpımı 21'dir.

200+21=221 ÎTÂET

Başka bir örnek verelim:

62x68 = _

Her iki sayının da onlar basamağı 6'dır. 6'ya 1 ekleyelim (6 + + 1 = 7). 6'yı 7 ile çarparsak 42 elde ederiz. Bu da yüz sayısıdır yani 4200. Sonra 2 x 8 = 16 olarak hesaplarız.

4200+16=4216 ÎTÂET

Sayılarla çalışırken, ­bunun gibi durumlarla düşündüğünüzden daha sık karşılaşırsınız.

Başka bir örnek deneyelim:

123x127 = _

12 + 1 = 13

12 × 13=156

156, yüzlerce yanıtın sayısıdır (15600). Akılda hesaplamalar yapmak, bu aşamada zaten "Bin beş bin ­altı yüz ..." demek mümkün.

3x7 = 21

Cevap 15621. Burada bitirebilirsiniz: "...yirmi ­-bir."

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 43x47 = b              ) 21x29 = c                  ) 114x116 =

d) 32 X 38 =               e) 46 X 44 =                e) 148 x 142 =

Yanıtlar:

a) 2021                     b) 609                        c) 13224

ç) 1216                      e) 2024                      f) 21016

Hesaplamalar neredeyse hiç çaba gerektirmedi ­. Aynı zamanda çevrenizdekiler, onu gerçek bir dahi olarak gördüğünüz hissine kapılıyor. Bu , dahilerin daha iyi yöntemlere sahip olduğunu bir kez daha kanıtlıyor . ­Onlara hakim olun ve siz de bir dahi gibi sayılacaksınız ­.

Alternatif sayılar, kîtîpûx var 0 hane 1^0
toplamı 10'a kadar ve 0 hane onluk farkı ^a 1

38 ile 42'yi çarpmanız gerekiyorsa, ­bu ve benzeri durumlar için hızlı bir çarpma yöntemi var.

büyük sayı büyük olacağı için küçük sayı, yuvarlayarak elde edilen sayıdan tam olarak o kadar küçük olacaktır. ­Bu durumda, 38, 40'tan 2 eksik ve 42, 40'tan 2 fazladır. Matematikte bir kural vardır ­: Belirli bir sayıdan aynı miktarda büyük ve küçük olan iki sayıyı çarparsanız ­, o zaman bunların çarpımı olacaktır. bu sayının karesi, sayı eksi ­farkın karesine eşittir.

Örneğimizden devam edelim:

38x42 = _

38, 40'tan 2 eksik ve 42, 2 fazladır. 40'ın karesini bulmak kolaydır: 40 X 40 (40'ı 40 ile çarpmak için ­sıfırları atın; 4 X 4 = 16, ardından sonuca iki sıfır ekleyin ­).

40, hem 38'den hem de 42'den 2 farklıdır. 2'nin karesi 4'tür.

1600 - 4=1596 ÎTÂET

Bu kadar.

Başka bir örnek deneyelim:

67x73 = _

Çarpılan sayıların her birinin 70'ten 3 farklı olduğunu görebilirsiniz: 67, 3 eksik ve 73, 3 fazla. Bu nedenle cevap ­70'in karesi eksi 3'ün karesidir.

70 ² = 4900

3 ² = 9

4900 - 9 = 4891 ÎTÂET

Kendin dene:

a) 27 X 33 =                               b) 46 X 54 =

c) 122 X 118 =                            d) 9 X 11   =

Yanıtlar:

a) 891                                       b) 2484

c) 14396                                    d) 99

Bölüm 10'da açıklanan kare alma yöntemine benzer başka bir hızlı çarpma tekniğine bakalım .­

50'ye yakın iki sayının çarpımını bulmak için çember içindeki sayıları toplayıp çıkan sonucun yarısını alıp ­25'i toplarız, bu da bize cevabın yüz sayısını verir. Daha sonra daire içindeki sayıları çarpın. Ortaya çıkan toplamı yüz sayısına ekleyelim .­

Bir örneğe bakalım:

+ © + ®

50 54 X 58=

Dairelerdeki sayıların toplamını bulun. 4 artı 8, 12'yi verir . 12'nin yarısı ­6'dır . 25'e 6 ekleyin .

25 + 6 = 31

Yüzlerce yanıt aldık. ( 31'i 100 ile çarpmak 3100'ü verir .) Dairelerdeki sayıların çarpımını bulun:

4 × 8=32

Cevap 3132 olacaktır .

Çarpılan sayılardan biri tek, diğeri çift ise ne olur? Bir örnekle ne olduğunu görelim.

53x54 = _

3 + 4 = 7

7'nin yarısı 3 ¹ ₂ - . _

25 + 3- ¹ - = 28- ¹ -

22

Çarp: 28 ₂ - X 100 \u003d 28 ₂ - yüzlerce, yani 2850. Dairelerdeki sayıları çarpın :­

3X4 = 12

2850+12=2862 ÎTÂET

Hesaplamalar zor değildi. Başka bir örnek deneyelim:

+ (2) + 13

50 52 X 63=

Dairelerdeki sayıları ekleyelim:

2 + 13 = 15 15'in yarısı 7 ¹ ₂ - .

25 + 7- ₂ ¹ - = 32- ₂ ¹ -

Ara sonuç 3250'dir. Şimdi dairelerdeki sayıları çarpalım.

2 X 13=26
3250 + 26 = 3276 ÎTÂET

Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözün: a) 52 X 56 =      b) 61 X 57         =

c) 53 X 59 =                                  d) 54 X 62   =

Yanıtlar:

a)      2912                                     b) 3477

c) 3127                                       d) 3348

Çarpılan sayılar 50'den küçükse ne olur?

Bir örnek düşünün:

(50 46 X 48 =
- © - ®

4 + 2 = 6

6'nın yarısı 3'tür. 25'e eklemek yerine 25'ten 3 çıkarın. Bunun nedeni, çarpanların 50'den küçük olmasıdır, büyük değil.

25 - 3 = 22

Ara sonucumuz 2200'dür. Dairelerdeki sayıların çarpımını bulun ve ara sonuca ekleyin ­:

4x2 = 8

2200 +8=2208 ÎTÂET

Başka bir örneğe bakalım:

(50 47 x 44 =
- ® - ®

Dairelerdeki sayıların toplamını bulun:

3 + 6 = 9

9'un yarısı eşittir 4 ¹ - . 4 ¹ - 25'ten çıkarın . (İlk çıkarma 2 ₁    2

5'i okuyun ve ardından ₂ - ekleyin .)

25 - 4 2 = 20 2 -

20 2x100 = 2050

Dairelerdeki sayıları çarpın:

3X6 = 18

2050+18=2068 ÎTÂET

Ele alınan tüm örnekler akılda kolayca hesaplanabilir. Aşağıdaki örnekleri kendiniz çözün:

b)     a) 49 X 48 =

c)      46x47 = _

Yanıtlar:

6) 2162

bir) 2352

hariç tüm basamakları sıfır olan bir sayıdan çıkarmanın basit kuralı, çıkanın son basamağını ( çıkardığımız sayı) 10'dan ve ardından her ardışık basamağı 9'dan çıkarmaktır ­. Çıkarılacak sayı ­) ilk basamaktan 1 çıkarın.

Örnek:

300000 (ben^0aeіѵue)

-25713 (vûMHTaeMîe) 274287 ÎTÂET

10'dan 3 çıkararak 7 elde ederiz . Geri kalan sayıları 9'dan çıkarın ­.

9 eksi 1 , 8'dir, 9 eksi 7, 2'dir, 9 eksi 5, 4'tür, 9 eksi 2, 7'dir ­.

Çıkarılandaki basamak sayısı ­eksilen sayıdan az olduğunda yaptığımız şey şu:

20000000

-0052316
19947684

Eksik basamakların yerine çıkarılanlara sıfırları ekleriz.

Birimleri basamaktan basamağa taşımayı düşünmemize gerek olmadığı için hem soldan sağa hem de sağdan sola çıkarma işlemi yapabiliriz. Soldan sağa doğru hesaplama yapmak başkaları üzerinde büyük bir etki bırakabilir.

Yöntem, 100 veya 1000'den kolayca çıkarma yapmanızı sağlar ­. Örneğin:

1000 - 257 = 743

Yanıtı bir bakışta soldan sağa doğru doğru şekilde adlandırabilmelisiniz. "yedi... dört ... üç" derken ­, soldan sağa doğru hareket ederek sırayla her rakamı 9'dan çıkarırsınız. 10'dan son rakamı çıkarırsınız tabii. 1 eksi 1 eşittir 0 olduğu için ilk hanede de sorun yok.

Sayılarla çalışırken, muhtemelen keşfedeceksiniz.

1

2-

hızlı bilgi işlemin yeni yolları. bir kez

процента.

Avustralya'nın ciro vergisi 27 idi

Sürekli bu verginin miktarını hesaplamak zorunda kalan bir adama bunu nasıl yaptığını sordum. Bu, elektronik hesap makinesinin henüz günlük hayatımızın bir parçası olmadığı günlerdi.

yüzde 27'nin 25 ve 1 ^2'ye bölünebileceğini söyledi.

2^ . Yüzde 25 , vergilendirilen miktarın dörtte ­biridir . Buna bu çeyreğin onda birini ekleyelim ve ­yüzde ₂₇₂ elde ediyoruz .

için _yüzde 272 vergi hesaplamak istiyorsanız , önce 80'in çeyreğinin ne kadar olduğunu hesaplamanız gerekir. ­20, 80'in yüzde 25'i ve 20'nin onda biri 2'dir. Böylece, 80 kuruş değerindeki malın satışında yüzde ₂₇ vergi 22 ­kuruş.

Söz konusu kişi, işini kolaylaştırmak için meslektaşlarıyla birlikte bu basit yöntemi bulmuş. Keşiflerin çoğu bu şekilde yapılır.

Daha hızlı ve daha hızlı hesaplamalar için çabalarsanız ­ve bunu size okulda öğretilenden farklı bir şekilde yapmaya çalışırsanız, o zaman belki de kendi keşifleriniz sizi bekliyor.

Bölüm 20

Kesirler hakkında özel veya karmaşık hiçbir şey yoktur. Sürekli onlarla uğraşıyoruz. Birine zamanı söylerken, muhtemelen kesirleri kullanırsınız (altı buçuk, yediyi çeyrek geçe, ikiye çeyrek kala, vb.). Çeyrek tavuğu yediğinizde ­veya arkadaşlarınızla futbol veya basketbol hakkında konuşurken (yarı yarı, ikinci yarı ­vb.), Kesirleri de kullanırsınız.

farkında olmadan kesirler toplar ve çıkarırız . ­İki çeyreğin yarıma eşit olduğunu biliyoruz. Basketbolda devre arası, ikinci çeyreğin sonunda olur.

6'nın yarısının kaç olduğunu hesaplarken aslında kesirler üzerinde işlem yapıyorsunuz .­

Bu bölümde, kesirleri kolayca toplamayı ve çıkarmayı öğreneceğiz.

Örneğin, işte bir kesir:

1         (chichoiteoyei)

2         (payda)

Alttaki sayı, payda, bütünün kaç parçaya bölündüğünü gösterir. Örneğin, bir futbol maçı ­iki yarıya veya iki yarıya bölünür.

En üstteki sayı - pay - bu tür parçalardan kaç tanesinin alındığını gösterir. Örneğin, bir pastanın dörtte üçünden veya bir pizzanın bölündüğü sekiz eşit parçadan birinden ­bahsedebilirsiniz .­

1

2, "bir bölü ikiye" demenin başka bir yoludur. _3, 6 bölü 3 anlamına gelir ve bu, ­2 sayısını yazmanın bir yoludur.

bir şeyin parçalarını toplamamız, çıkarmamız, çarpmamız ve bölmemiz gerekir . Bu, ­kesirleri sık sık topladığımızı, çıkardığımızı, çarptığımızı ve böldüğümüzü söylemenin başka bir yoludur .­

Aşağıda kesirlerin nasıl toplanıp çıkarılacağı hakkında konuşacağız.

Kesirleri eklemek zor değil. 12

canlı ₄ - ve ₃ - , payları ve paydaları çapraz olarak çarpıyoruz ve ardından paydaları birlikte çarpıyoruz.

Yani:

1^=+=Г—

4        3

3 + 8

12

Çarpma:

1x3 = 3

4x2 = 8

İstenilen kesrin payını bulmak için iki sonucu topluyoruz ­.

3 + 8 = 11

İstenen kesrin paydasını elde etmek için paydaların çarpımını buluruz: 4 x 3 = 12.

Ответ:

11

—

-1--2-

. Легко, не так ли?

Başka bir örnek verelim:

2

-­

3

1

-­

5

Çarpma:

=

3              5

2x5 = 10

3x1 = 3

Pay ­almak için sonuçları ekleyin kesirler.

10 + 3 = 13

İstenilen kesrin paydasını elde etmek için paydaları çarpın.

3x5 = 15

10 + 3

15

Tam çözüm şöyle görünür:

— OTÂT 15

Başka bir örnek:

2

3

Çarpma:

2x6 = 12

3x1 = 3

Ürünlerin toplamı bize istenen kesrin payını ­verir . Şimdi paydaların çarpımını bulalım :

3X6 = 18

Bu, cevapta alınan kesrin paydasıdır.

12 + 3

3 X 6

15 ÎTÂET

18

Остался еще один шаг

sorun tamamen çözülene kadar.

Cevap basitleştirilebilir mi?

çift ise , yapabiliriz

onları 2 ile çarp, bu da cevabı basitleştirecek. Örneğin, - yapabilirsiniz 21          ⁸

₄ -'e ve hatta ₂ -'ye sadeleştirin .

Yukarıdaki yanıtta ( - ¹ --^{[6] [7] [8]}- ) kesrin elemanları 18 değildir

çifttir, ancak hem 15 hem de 18 3'e bölünebilir (15 : 3 = 5, 18 : 3 = 6).

Son cevap - .

6

Kesirlerle hesaplama yaptığınızda ­, alabileceğiniz en basit cevabı hedeflemelisiniz. Hem payın hem de paydanın 2, 3, 5 veya başka bir sayı ile bölünebilir olup olmadığına bakın. Bölünebilirse, artık daha fazla indirgenemeyecek bir cevap elde etmeye çalışarak bu sayıya bölünmelidirler ­.

21                                    3

Örneğin,-------- - olarak kısaltılabilir (hem 21 hem de 28 bölünebilir

28                                    4

7'de ).

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

б) 2- + 1­) -5- -4-

13 г) - + - ) 4 5

a) - ¹ - + - ¹ -

a) - ₄ - - ₃ -

Yanıtlar:

a) - 1 - 7 - 2 -	13 6) 20
19 c) - 2 --- 0 -	17 20 _

 

Hesaplama hızı için  

Kesirlerle hesaplamaları basitleştirmenin bir yolu var. Her iki kesrin payı 1 ise, ­istenen kesrin payını (en üstteki sayı) elde etmek için paydaları toplarız ve istenen kesrin paydasını (en alttaki sayı) elde etmek için paydaları çarparız.

Buna bir örnekle bakalım:

4"	+ = r -_1 = 4 + 5 = 9 5=4 X 5=20

 

Bu yöntem, en küçük ortak paydayı bulmadan kesirlerin toplamını ve farkını bulmanızı sağlar ve genellikle cevabı bir bakışta "görmenizi" sağlar.

Başka bir deyişle, yapabilmelisiniz

şunu "gör":	11           7 - - + - - =--- 3 4         12
Ne olmuş:	11           1 - - -            3 4         12

 

Üç kesri toplamak istiyorsanız, önce ilk ikisinin toplamını bulun ve ardından elde edilen toplamla üçüncü kesri ekleyin.

Örneğin:

Сначала:

1

-­

3

Затем:

1

-­

3

1

-­

2

1

-­

2

3+2    5

           =--

3 X 2  6

5 2        25 + 12      37

- - + - - =            =

6 5        6 X 5          30

Ortaya çıkan kesrin (37) payı paydadan büyüktür, bu nedenle son cevabı bulmak için ­30'u 37'den çıkarın (veya 37'yi 30'a bölün ) :

7

- ₃ --- ₀ -

37 , 30 ile bölündüğünde 1 ve kalan 7'dir .

ÂûiMHTa^e

Farkı hesaplamak için benzer bir yöntem kullanılır ­:

2 1 _ 8 — 3 _ 5 — — — — ——-— — —— 34   12        12

Birlikte istenen kesrin pay sayısını veren 2 x 4 \u003d 8 ve 1 x 3 \u003d 3 elde ederek tekrar çapraz çarpıyoruz . Sonra istenen kesrin paydasını bulmak için paydaları çarparız .­

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

11                                                31

a) 2 3                                          ^b ) 4 7

â)

22

-- -­

3 7

г)

4

-­

5

-2­

-7-

Kesirlerle nasıl başa çıkacağınızı bildiğinizde hesaplamalar kolaydır.

a)

â)

1

-­

6

8

         

21

б)

г)

17

-2---8­

16

-3---5-

Bölüm 21

Kesirleri topladığınızda, sonuç, terimlerin her birinden daha büyük bir sayıdır . Ve kesirleri çıkardığınızda , beklediğiniz gibi sonuç eksilen değerden daha azdır .

ve bölme işlemleri, tamsayılarla yapılan aynı işlemlerden çok farklıdır ve ­bu nedenle birçok kişiye karmaşık görünür . Genellikle, bir sayı bölündüğünde (bölünen) azalır, bir sayının bir kesre bölünmesi durumunda bölünen artar. Tersine , bir kesirle çarpmak, kesirle çarpımını bulduğumuz sayıyı ­azaltır . Başka bir deyişle, eylemlerin sağduyuya ters teptiği bir dünya gibi .

olarak , küçükler futbol takımında oynadım . Bir geleneğimiz vardı : Oyunun üçüncü molasında portakal yedik . Her biri bir çeyrek aldı. Takımımda yedekler dahil 20 ­oyuncu vardı . Her oyuncuya payına düşeni vermek için kaç portakal gerekiyordu ? Herkese çeyrek portakal verildiğini hatırlatmama izin verin .

bir portakal yeterlidir, bu nedenle 20 oyuncu için beş portakal yeterlidir . Dörde bölünmüş bir portakal 4 parça yapar . Dörde bölünmüş beş portakal 20 parça yapar . Yarımlara bölünmüş beş portakal sadece 10 oyuncu için yeterli olacaktır .

Portakalları bölmek, dağıtılabilecek parça sayısını artırır.

Peki çarpma? Bir maç sırasında oyuncuların dörtte biri sakatlansaydı ­, bu kaç oyuncu olurdu? 20'nin çeyreği 5 eder. Neden sakat oyuncu sayısını bulmak için bölme yapmıyoruz? 4 ile bölmek, çeyrek ile çarpmakla aynı şeydir.

6 ile 10'u çarptığınızda kaç elde edersiniz? 60.

6 ile 8'i çarptığınızda kaç elde edersiniz? 48.

6 ile 5'i çarparsanız ne kadar elde edersiniz? otuz.

6 ile 2'yi çarptığınızda kaç elde edersiniz? 12.

6 ile 1'i çarptığınızda ne kadar elde edersiniz? 6.

₂ ile çarparsanız ne kadar elde edersiniz ¹ - ? 3.

Сколько получится, если 6 умножить на

1

—

3-

2.

Bu mantıklı görünüyor. Çarptığınız sayı ne kadar küçükse, sonuç o kadar küçük olur.

Bu nedenle, "Altı'nın yarısını al" demek, "Altıyı bir buçukla çarp" demekle aynı şeydir ­. "6'nın yarısı"nın "6 bölü 2" ile aynı olduğunu da biliyoruz.

Bir esere verdiğimiz tanıma dönelim ­. 3 x 7'nin çarpımı üç yedinin toplamına, yani 7 artı 7 artı 7'ye eşittir.

2 x 10 = 10 + 10.

Peki ya 1 ₂ ¹ - x 10?

10'un toplamı ve 10'un yarısından bahsediyoruz. Dolayısıyla 10 x 1 _{2'nin çarpımı} 15'tir .

₂ - , 10 kez alındığında, 10'un yarısına, yani 5'e eşittir.

Çarpma flpîöen

Belki aşağıdaki ­örneğin cevabını hesaplamadan biliyorsunuzdur:

1

-­

2

1

-­

4

1

Ответ:          .

8

Вот и вся операция умножения. Кто сказал, что с дро­бями трудно иметь дело? Совсем нетрудно. Попробуем ре­шить еще один пример:

1

-­

3

1

-­

4

Cevabın nasıl hesaplanabileceğini görelim.

Üst sayıları, yani payları çarpıyoruz ve cevabın kesirinin payını alıyoruz.

1x1 = 1

Aşağıdaki sayıları yani paydaları çarpıyoruz ve cevabın kesirinin paydasını alıyoruz.

2 × 4=8

Üçte birinin çeyreği veya çeyreğin üçte biri kaçtır?” diye soruyoruz. )­

1x1 = 1

3 X 4 = 12 (ç^ame^ateöü)

12 OTÂET

Başka bir örnek çözelim:

2

-­

3

1

-­

2

Payları çarpalım:

2x1 = 2

Sonra paydalar:

3x2 = 6

2

Cevapta, 1 ^6'ya indirgenebilen bir - kesri elde ederiz.

_3'e kadar - .

Yine, kendinize şu soruyu sorarsanız hemen tahmin edebilirsiniz ­: en başından beri kaç üçte biriyle uğraştık? İkisiyle. Şimdi üçte ikinin yarısının ne kadar olacağını bulmamız gerekiyor . ­2'nin yarısı 1 olduğu için cevap ­üçte birdir.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

-12-

1

-­

3

-12- X

1

-­

5

â) -23-

2

-­

5

г) -1-1--3-

1

         

14

Son örneği çözmek için, 10'dan büyük ancak 20'den küçük sayılar için zihinsel çarpma yöntemini kullanın.

Yanıtlar:

a) -16-

-1 _­

) ₁₀

г) 182

на 3 1- ?

4

1

А как нам умножить 12-

â) -- ⁴ -- - â) - ₁ --- ₅ -

sayıdan yanlış bir kesre dönüştürüyoruz . ­Karışık sayı, ­hem tamsayı hem de kesirli kısım içeren bir sayıdır. Uygunsuz kesir, payı paydadan büyük olan kesirdir. ₁

₂ -'yi yanlış bir kesre ­dönüştürmek için , tamsayı kısmını (1) kesirli kısmın (2) paydasıyla çarpmanız ve

sonucu (2) kesirli kısmın payına ekleyerek payını almanız gerekir. yanlış kesir (3). Cevap: (Bir buçuk, üç yarıma eşittir.)

(13),
—

2- .

половины.

Проделаем то же самое с 3 14- .

Умножим целую часть (3)

на знаменатель дробной части (получаем

12 — --4--

) и прибавим

результат к числителю дробной части (1). Ответ:

перь можно записать исходный пример так:

13

--4--. Те-

Karışık bir sayıyı bileşik kesre dönüştürme mekanizmasını anlamak için 1 buçuk'a bakalım. 1'de kaç yarım vardır? Cevap basit: 2. Artı bir yarım, toplamı 3 olan bir kesirle gösterilir

3 13

- - X - =

24

Payları çarpıyoruz: 3 x 13 \u003d 39. İstenilen kesrin payını aldık . ­Şimdi paydaları çarpın: 2 x 4 = 8.

39 Cevap: .

8

Cevabı tekrar karışık bir sayıya nasıl çevirebiliriz?

Bunu yapmak için 39'u 8'e böleriz. Cevap 4'tür (8 x 4 = 32) ve verti 8'den 6'ya eşittir, dolayısıyla cevabımız 6'dan biraz küçük olacaktır.

остатком 7.

39
Получаем:    = 4

8

7

—

8- .

А что, если вам нужно умножить целое число на дробь?

Попробуем перемножить 7 и

3

—

4- .

Это можно выразить

по-другому: «Сколько будет три четверти от 7?» Три чет-

7

7'yi bir kesir olarak ifade edelim, yani: ₁ - .

7

-­

1

3

-­

4

7 × 3=21

1x4 = 4

21

21 OTÂET

4

Cevabı karışık bir sayıya dönüştürmek için 21'i 4'e bölün ve 5 ₄ - elde edin . (21, 4 ile 5 kez bölünür ve kalan 1'dir.)

 sorunu

onu 2'ye bölmeniz gerekir. ­Örneğin 6'nın yarısı 3'tür . Bu aşağıdaki gibi yazılabilir:

6

-­1

1

-­

2

=3

Veya aşağıdakilerden birini yapabilirsiniz ­:

=3

62

- - : - -

₁ : ₁

Kural şudur:

Bir sayıyı kesre bölmek için çevirmeniz gerekir ­yani pay ve paydayı değiştirin ve ardından sayıyı elde edilen kesirle çarpın.

14

6 : - ¹ - = 6 X - ⁴ - = 24

41

Bunu ifade etmenin başka bir yolu da şudur: “Altı portakaldan kaç çeyrek elde edebilirsiniz?” 6 portakalı dörde ­bölerek toplam 24 çeyreklik ­tüm oyunculara yetecek kadar ( 226 portakal ile birlikte)

yedek), antrenör ve masör ve aynı zamanda hala birkaç parça kalacak.

2 keki altıda bir parçaya bölmek

( - ), 12 parça alacaksınız . Sonuç olarak, lütfen 6

12 kişilik pasta .

Yani 2 - ile bölündüğünde 12 verir .

6

Ответ:

10

-2--8-

Hesaplama şöyle görünür:

	1    2 6         12 2 : - = - X - = - 6 11              1
Dikkatlice deneyin:	Aşağıdaki öz-örnekleri çözünüz.
13 a) - 3 - : - 4 - =	72                              24 b) 8 : 3 =                      c) 7 : 5 =

Yanıtlar:

 

bir) -[9] [10] [11] [12]9- _

21                               5 b) - 1 --- 6 -                  c) - 1 --- 4 -

Üçüncü örnek şu şekildedir:

24

- - : -­

₇ : ₅

2

-­

7

5

-­

4

Bölüm 22

Hemen uygun bir referans numarası bulmanın zor olduğu ­sayıların çarpımını bulmanın basit bir yolu, sözde doğrudan çarpmadır . Bu, yıldırım hızında zihinsel aritmetik yapan kişiler tarafından kullanılan yaygın ­bir yöntemdir .

Örneğin:

36X72 = _

Bir kişi zihninde çözmeyi taahhüt ettiğinde, verilen sorunu şu ­şekilde hayal etmelidir :

7-_ L
lXl
X 3             6

Hesaplama 70x30'dan ­başlayarak soldan sağa doğru yapılmalıdır. 7 ile 3'ü çarpın ve sonucu 100 ile çarpın . ( Uygulamada 7 ile 3'ü çarptıktan sonra sonuca iki sıfır eklemelisiniz . )

7 × 3=21

21 × 100=2100

Bu bizim ilk ara sonucumuz. Şimdi çapraz olarak çarpıyoruz ­: 7 X 6 ve 3 X 2, sonra sonuçları toplayın­ çarpma işlemi.

7X6 = 42

3x2 = 6

42 + 6 = 48

Son sonucu 10 ile çarpın ve ara sonucumuza ­ekleyin .

48x10 = 480
2100 + 480 = 2580

Kendi kendinize, "İki bin yüz artı dört yüz ­... iki bin beş yüz artı seksen ... iki bin beş yüz seksen" derseniz, o zaman ­tüm hesaplamayı kafanızda yapmakta hiçbir sorun yaşamayacaksınız .­

Şimdi birimleri çarpalım. 6 X 2'nin çarpımı 12'dir. Mevcut ara sonucumuza 12 ekleyelim ­ve cevapta 2592 elde edelim.

2580+12=2592 ÎTÂET

Soldan sağa doğru hesaplayarak, ilk adımdan sonraki cevaba yaklaşık bir değer elde ederiz. Her adımda daha doğru cevaplar alıyoruz.

Bu durumda, tüm hesaplamalar akılda yapılabilir.

Başka bir örnek deneyelim:

34x73 = _

Problemi şu şekilde sunuyoruz:

3__ ^4
iXi
X 7             3

Çarpıyoruz: 7 X 3 = 21, artı iki sıfır (onlar basamağı hakkında konuştuğumuz için), 2100 gibi bir ara sonuç elde ediyoruz.­

Şimdi çarpıyoruz ve ekliyoruz:

(3X3 ) + (7X4 ) =

9 + 28 = 37

Onlarla birleri çarptığımızı açıklamak için sonuca bir sıfır ekliyoruz. 370 alıyoruz.

Aynı zamanda kendi kendimize diyoruz ki: “İki bin yüz artı üç yüz. iki bin dört yüz. artı yetmiş. iki bin ­dört yüz yetmiş.

Ara sonucumuz 2470'dir.

Şimdi birimleri çarpalım.

4X3 = 12

2470+12=2482 ÎTÂET

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a) 42x74 =                                 b ) 37x64 =

c) 27 X 81 =                               d) 34 X 72 =

Bu örnekleri kafanızda çözmenin ne kadar kolay olduğu sizi etkilemedi mi?

Yanıtlar:

a) 3108                                      b) 2368

ç) 2187                                      d) 2448

Hızlı çarpma yönteminin akla gelmediği durumlarda bu yöntem kullanılabilir.

Tek basamaklı bir sayı ile doğrudan çarpma da zor değildir.

43'ü 6 ile çarpmak için 40'ı 6 ile çarp ve sonra ­3 tane 6 ekle . 40'ı 6 ile çarparak , ne kadar 6 X 4 olacağını hesaplıyoruz ve sağa sıfır atıyoruz.

6 × 4=24

24 × 10=240

3X6 = 18

240 + 18 = 258

Çok basit, değil mi? Taban sayıları ve evrensel çarpma formülümüzü kullanmaktan daha kolay ­.

Peki ya 6 X 17?

6 kere 10 60 ve artı 6 kere 7 yani 42 oluyor. Cevapta 102 çıkıyor.

Diyelim ki 6 ^{3'ün ne kadar olacağını hesaplamamız gerekiyor} . Bu, 6 x 6 x 6 ile aynıdır , yani üç altının çarpımıdır.

İlk ikisini çarpıyoruz:

6 × 6=36

Şimdi sonucu 6 ile çarpmamız gerekiyor. Bunun için önce 30'u 6 ile sonra 6'yı 6 ile çarpıyoruz ve her iki sonucu da topluyoruz:

6 × 30=180

6 x 6 = 36 ekleyerek şunu elde ederiz:

180 + 36 = 216

180 ve 36'yı toplamak için önce 200'ü elde etmek için 36'dan 20'yi toplardım ve sonra kalan 16'yı toplayarak 216'lık bir son cevap verirdim.

Tek bir rakamla doğrudan çarpma zor değildir ­ve zamanla çarpma problemlerini ­neredeyse otomatik olarak çözmeyi mümkün kılar.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

a ) 7x13 =	b) 8x23 =	c ) 6x42 =
d) 9x26 =	e) 6x124 =	e) 8x206 =
Yanıtlar:
bir) 91	184	bir) 252
234	744	1648

 

Örnek e'yi çözmek için ipucu): 6'yı 120 ile çarpın ve ardından 6 x 4 ekleyin.

Başarılı oldun mu? Çoğu insan ­bu tür hesaplamalarda kendini güvensiz hisseder.

onların kompleksi. Bu tür bir soruna hızlı bir şekilde cevap verebilme yeteneği, sizi başkalarının gözünde son derece ­zeki ve matematiksel olarak yetenekli bir kişi yapacaktır.

flâyMfl ve 6înee ç^akami ile um^e sayıları

x 45'in çarpımını bulmaya çalışalım :

1 2 3

1 2 3                1 2 3

11.

X 4 5                X 4 5

5 5 2 0             5 5 3 5

x 5 ile 2 x 4'ün toplamını hesaplıyoruz. Sonra 2 x 5 ile 3 x 4'ün toplamını ve son olarak da 3 ­x 5'i hesaplıyoruz . rakam, yani ­her cevabın sağına kaç tane sıfır eklenmesi gerektiği dikkate alınarak. Yani:

100x40 = 4000

(Dört kere 100 eşittir 400, 10 ile çarptığımızda 4000 elde ederiz.)

100 çarpı 5 eşittir 500, artı 20 x 40 eşittir 800, 1300 elde ederiz.

4000 + 1300 = 5300

20 çarpı 5 eşittir 100, artı 3 x 40 eşittir 120, 220 elde ederiz.

5300 + 220 = 5520

5 çarpı 3 eşittir 15

5520+15=5535 ÎTÂET

ara sonuç (4000, 5300, 5520) ve son bir sonuç (5535) aldık .­

Bir sütunla standart çarpma, önce cevabın birim sayısını, yani 5'i aldığımızı ima eder. 232 olmasına rağmen

hem soldan sağa hem de sağdan sola doğrudan çarpma yapabiliriz, daha yüksek basamaklı rakamlardan başlayarak ­, hemen gerçek cevaba çok yakın bir ara sonuç elde ederiz.

Çarpma mekanizması başka bir şekilde temsil edilebilir:

1 2 3 X 4 5 =

x 40'ın çarpımı 4000'dir. Ara ­sonuç 4000'dir.

1 2 3 X 4 5 =

100 x 5 \u003d 500, artı 20 x 40 \u003d 800 - 1300 çıkıyor ­. Ara sonuç 5300.

1 2 3 X 4 5 =

5 x 20 = 100 artı 3 x 40 = 120 size 220 verir. Yeni ara sonuç 5520'dir.

1 2 3 X 4 5 =

3 x 5 = 15. Nihai sonuç: 5535.

x 427'lik bir çarpım bulmak için sonucu yazmanız yeterlidir.

3 2 1 X 4 2 7 = 120000

Çarptığınız basamaklardan sonra sayıların toplamında ne kadar sıfır varsa o kadar ekleyin.

3 2 1 x 4 2 7 = 134000

3 2 1 X 4 2 7 =

136900

3 2 1 X 4 2 7 =

137060

3 2 1 X 4 2 7 = 137067 ÎTÂET

Şu anda çarpılacak sayıları parmağınızla işaret ederek kendinize yardımcı olabilirsiniz.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­. Önce kağıt üzerinde çözmeye çalışın ve ardından hemen kafanızda hesaplamalar yaparak cevabı adlandırın.

a) 123 X 345 =

в) 623 X 316 =

Ответы:

42435

в) 196868

204 X 436 = г) 724 X 315 =

б) 88944

г) 228060

Doğrudan çarpmayı referans numarası kullanan bir yöntemle birleştirebilirsiniz. İkincisi durumunda, 10, 20, 50 ve 100 gibi basit referans sayıları seçmeye çalışıyoruz. 30 veya 70 gibi sayıları kullanmamız gerekiyorsa , doğrudan çarpma yöntemiyle bir kombinasyon kullanabiliriz .­

68 ile 68'i çarpmak isteseydiniz , temel sayı olarak 70'i kullanırdınız .

@ 68 X 68=
- (2) - (2)

Toplamda çıkarma:

68 - 2 = 66

Bir ara sonuç bulmak için 66'yı 70 referans numarasıyla çarpmalıyız. Doğrudan çarpmayı kullanın:

70x66 = _

60x70 = 4200

6X70 = 420

4200 + 420 = 4620

Şimdi daire içindeki sayıları çarpıyoruz ve cevabı ara sonucumuza ekliyoruz:

2x2 = 4

4620 + 4 = 4624

hızlı yanıt yöntemlerimizden birini ­kullanabiliriz ­. 66'yı çarpanlara ayırmakla ilgili: 6 X 11.

O halde örnek şu şekilde gösterilebilir: 7 X 6 X 11 X 10.

7X6 = 42

42 X 11 = 462 (cnîcîö çarpma ^a 11)

462x10 = 4620

Dairelerdeki sayıları çarparak ve cevabı ­ara sonuca ekleyerek 4624 elde ederiz.

, herhangi bir referans numarasının kullanılmasını mümkün kılar .­

Bölüm 23

Günlük yaşamda belirli şeylerin yaklaşık sayısal bir değerlendirmesini yapmak oldukça sıklıkla gereklidir . Bu yıl arabanızın bakımı ne kadara mal olacak ? Tamir ­masrafları ne kadar olacak ? Banka krediyi kapatmak için ne kadar ödemek zorunda kalacak ? Benzer şekilde, bir para biriminden diğerine çevirdiğimizde de tam tutarı elde etmek çok zordur . Kurs her gün değişir . Bankanın ­işlem başına komisyon olarak ne kadar talep etmeye ­istekli olduğunu bilmiyoruz . En iyi ihtimalle, hesaplamalarımız gerçekte ­ne ­olacağına dair bir tahmindir .

Bir gün süpermarkette market alışverişi yapıyordum ve birdenbire cüzdanımda sadece bir tane 20 ­dolarım olduğunu fark ettim .

Sepetimdeki ürünleri inceledim ve toplamda yaklaşık 22$'a mal olduklarını gördüm . Sepetten yaklaşık 3,5 dolar değerinde yiyecek aldım , rafa geri koydum ve kasaya gittim.

O zamanlar tarayıcı yoktu , bu yüzden kasiyer ­manuel olarak Yiyeceklerimin bedelini yazarkasaya vurdu ­.

ve ­kırk sentin var " dedi.

verdim : “Üzgünüm ama bir hata yaptın. Burada yirmi dolardan daha az yiyecek var . ”­

Kasiyer kızdı ve müdürü aradı.

"Ne oldu?" diye sordu.

Şöyle açıkladı: "Burada, beyefendi ­ona çek yazmakla hata yaptığımı söylüyor."

"Peki bunu nasıl tanımladın?" diye sordu müdür ­bana şüpheyle bakarak.

Cüzdanımda sadece 20 dolarım olduğunu açıkladım, bu yüzden bu miktar için yiyecek stokladım.

Fişle birlikte sepetimde ne olduğunu kontrol ettik ve ­bir keresinde kasiyerin ondalık virgülü girmeyi unuttuğunu gördük. ­Kafamda hesap yapmasaydım ­hatayı asla fark etmezdim. Daha sonra kasiyerin ­ilk kez o gün işe gittiğini öğrendim ve bu yüzden kendimi ­biraz suçlu hissettim.

Matematikte yaklaşık tahminlere de ihtiyaç vardır. Mesele şu ki, bazen kesin bir cevaba değil, sadece yaklaşık bir değere ihtiyacımız var. Yaklaşık tahmin, kolayca edinebileceğiniz ve kendinizde geliştirebileceğiniz bir beceridir .­

Süpermarketteki mallar için ödememiz gereken tutarı nasıl tahmin ederiz? Tüm fiyatlar en yakın sayıya yuvarlanmalıdır. Bazı durumlarda yuvarlama yukarı, bazılarında ise aşağı yuvarlanır. Bu , ödemeniz gereken toplam tutarın ­oldukça doğru bir tahminini almanın kolay bir yoludur ve ­cüzdanınızda ­kasiyere ödeme yapmak için yeterli para olup olmadığını belirleyebileceksiniz. Bunu bir sonraki süpermarket ziyaretinizde deneyin ve tahmininizin ne kadar doğru olabileceğini görün.

Pratik uygulama örnekleri

Seyirciler arasında kaç kişi var?

Seyircilerin etrafına bakıyoruz ve neredeyse ­tüm koltukların dolu olduğunu görüyoruz. Satır sayısını sayıyoruz. Onların

16 çıkıyor. Bir sırada kaç kişi oturuyor? Arka arkaya 20 koltuk sayıyoruz ama ortalama dolu koltuk sayısı 14 civarında . Sıralardaki ­öğrenci sayısı değişiyor ama biz ortalamanın ­14 olduğunu düşünüyoruz.

14'ü 16 ile çarpıyoruz ve 224 elde ediyoruz. Cevap ­çok gerçek bir sayı olmasına rağmen, gerçek sayının sadece bir tahmininden bahsediyoruz. Böyle bir durumda şöyle derdik: "İki yüzden biraz fazla insan."

Bu yılki tatiliniz size ne kadara mal olacak?

Bir otelde o kadar çok gece, benzin ve araba kiralama için o kadar çok harcama, ­yiyecek ve hediyelik eşya gibi diğer satın alımlar için çok fazla harcama yapmayı düşünün ­. Hepsini bir araya getirerek, tatilin yaklaşık maliyetini alıyoruz . ­Seyahat deneyimi bize, alınan miktara yüzde 50'nin eklenmesi gerektiğini söylüyor, çünkü ­kural olarak her şeyin fiyatları beklediğimizden daha yüksek çıkıyor.

Kullanılmış bir araba size ne kadara mal olacak?

araba sizin olduktan sonra büyük olasılıkla yapılması gerekecek onarımlar için 1.000 $ daha eklemektir . ­Arkadaşlarıma her zaman şunu söylerim: satın aldığınız arabanın fiyatına gelecekteki onarımları dahil edin. Gerekli değilse, para kazanırsınız. Bonus gibi. Hala onarıma ihtiyaç varsa, soyulmuş gibi hissetmeyeceksiniz.

her biri yaklaşık olarak 485$' a mal olur ?­

Bizden nihai olarak ne isteneceğini bilmiyorsak, bunu yaklaşık olarak tahmin edebilir ve ardından ­fiyatı düşürmeye çalışabiliriz. Yaklaşık toplam ne olacak 238

fiyat? Sayıları sırasıyla 200 ve 500'e yuvarlayın ve ­100.000 elde etmek için çarpın . ( Yaklaşıklık hatasını en aza indirmek için bir sayıyı yukarı , diğerini aşağı ­yuvarladığımı unutmayın .)

Tahmin etmenin başka bir yolu, bu kitapta tartışılan yöntemleri kullanarak 230 ile 480'i çarpmaktır:

(50 23 x 48 =
- 27 - ®

21 x (100:2) = 1050

-27 X -2 = 54

1050 + 54 = 1104

Böylece, değerlememizin sonucu yaklaşık olarak 110.000$'a eşit bir miktardır. Bu ve ­önceki sonuçlar esas alınabilir. Bu göz önüne alındığında ­, muhtemelen fiyatın 105.000 $'a düşürülebileceği umulabilir.

Hesaplamayı tahmin etmenin basit bir yolu, ­sayıları cevap için anlamlı basamaklara yuvarlamaktır. Kalan ­basamaklar daha sonra sıfırlara dönüştürülür.

Kardeşin ­10.000 dolara 253 kullanılmış fotokopi makinesi aldı. Her biri için ne kadar ödedi?

Kesin cevabı hesaplamak için 10.000'i 253'e bölün.Yanınızda bir hesap makinesi yoksa, uygun sayıları yuvarlayarak gerçek cevaba yeterince yakın bir tahmin verebilirsiniz.

Cevabı tahmin etmek için 10.000'i 250'ye bölelim. 250 ­binin dörtte biridir, yani 1000'e bölüp ­sonucu 4 ile çarpabiliriz.

10.000 bölü 1.000 eşittir 10. (Temel olarak şu soruyu soruyorsunuz: on binde kaç bin var?)

10 X 4 = 40. Bir fotokopi makinesinin gerçek fiyatı 40 doların biraz altında, yani 39,53 dolar. Tahminimiz yeterince doğru kabul edilmelidir.

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme sonuçlarının yaklaşık değerini hesaplarken , ­her sayıyı en yakın sayıya yuvarlarız . ­Bir sayıyı yukarı yuvarlarsak, diğeri ­aşağı yuvarlanmalıdır.

Hesap makinesi her zaman kesin yanıtı verecekse neden yaklaşık hesaplamalara ihtiyacımız var?

İlk olarak, yukarıdaki örneklerde ­miktarların ne olduğundan emin değilsiniz, bu nedenle ­hesap makinesine yalnızca yaklaşık sayıları girebilirsiniz. İkincisi, hesap makineleri zihinsel aritmetiği daha da gerekli hale getirdi ­ve şimdi nedenini açıklayacağım ­.

Bir keresinde bir sınıftan aşağıdaki hesaplamayı yapmasını istemiştim ­.

Benzinin litre fiyatı 1,30 dolar. Depoya 18 galon koyuyorsunuz. Benzine ne kadar ödeyeceksiniz?

Bir öğrenci birkaç milyon dolarlık bir yanıt aldı. Cevabının doğru olduğunu düşünüp düşünmediğini sordum ­. Evet, yaptı, çünkü hesap makinesiyle aldı diye cevap verdi.

bir galon benzin için 1,30 doların makul bir fiyat olup olmadığını sordum . ­Öğrenci, “Evet, tabii ki ­” diye cevap verdi. Sonra babasının arabasının 18 galonluk çöp ­guatrını alıp alamayacağını sordum. Yine olumlu cevap verdi - 240

ama babasının arabasındaki tankın gerçek kapasitesine ­bile işaret etti .

Sonunda babasının bir depo benzin için hiç üç milyon dolar ödeyip ödemediğini sordum . Sonra ona ­geldi . Hesap makinesi cevabı verdi ama yanlış olanı. Öğrenci büyük olasılıkla yanlış düğmeye basmıştır. Bu sorunun gerçek cevabı 23,40 dolar .

Birçok kişi hesap makinesinde alınan yanıtı ­nihai gerçek olarak kabul eder. Bir hesap makinesinde sayarken hata yapmadığımızdan emin olmak için cevabın yaklaşık değerini zihnimizde hesaplayabilmemiz gerekir.

Bölüm 24

Tî
 

Her gün matematikle karşılaşıyoruz. Ne zaman bir şey alsak, birinden haber alsak, saati söylesek, hatta arabaya binsek bile matematiksel hesaplara başvururuz ­. Ne zamanım var? Altı saat kırk dakika yediye yirmi dakika eşittir. Kasiyere ne kadar para vermeliyim? Bu satın alma işlemini yapmak için cüzdanımda yeterli para var mı? Bir ev veya yeni bir araba satın almak için her ay ne kadar biriktirmem gerekiyor ? ­Şehre gitmek için yeterli zamanım var mı? Bunların hepsi matematiksel ­hesaplamalardır. Bu bölümde, temel bir matematik bilgisinin günlük yaşamınızda size nasıl yardımcı olabileceğini öğreneceksiniz ­.

nyie0ecTâHfl ça rpa^öy

Tanıdık olmayan ülkeleri ziyaret eden bazı insanlar ­yeni gelenekler, manzaralar, kültürler, diller öğrenmekten mutlu olurken, diğerleri onlar için garip bir ortamda rahatsız hissediyor.

Çeşitliliği severim. Dünyadaki her şey aynı olsaydı, o zaman hiçbir yere seyahat etmenin bir anlamı olmazdı. Yabancı bir ülkede benim için yeni bir para birimi ­, ölçü birimleri, sıcaklık ölçeği vb. konusunda ­uzmanlaşmak isterim ­. Ancak çoğu zaman bu tür birimleri çevirmemiz gerekir 242

anlaşılsın diye memlekette benimsenen sisteme ölçümler. Ek olarak, bir şey için makul bir şekilde ödeme yapıp yapmadığımızı görmek için genellikle döviz kurlarını karşılaştırmamız gerekir . ­Bütün bunlar bizden matematiksel bilgi gerektirir.

kullanan veya bunun tersini yapan bir ülkeyi ziyaret ediyorsanız , sıcaklık değerlerini ­bir ölçekten diğerine nasıl dönüştüreceğinizi bilmek faydalı olabilir . ­Örneğin, hava tahminini dinlerken, yürüyüş için bir palto mu yoksa daha hafif bir şey mi giymeniz gerektiğini bilmek istersiniz. Fahrenheit'tan Santigrat'a dönüştürme formülü, sıcaklıktan 32 dereceyi çıkarmak ve farkı 5 ile çarpmak ve ardından 9'a bölmektir. Bu, bu kitaptaki yöntemleri kullanmak kolaydır, ancak muhtemelen daha az kesin ama daha basit bir formülle idare edebiliriz. Ve bu formül:

Fahrenheit'ten Santigrat'a dönüştürmek için 30 dereceyi çıkarın ve ­elde edilen farkı yarıya bölün.

sonuca 30 derece eklemelisiniz .­

Bu formül kullanılarak elde edilen değer, pratik amaçlar için tam değere yeterince yakın olacaktır ­. Örneğin , size yarın sıcaklığın 8 ° C olacağı söylendiyse ­, bu sayıyı ikiye katlayın ve sonuca 30 ekleyin. 8'i ikiye katlamak 16 artı 30, 46 ° F'dir . Kesin formüle göre gerçek sıcaklık ­46.4'tür. ° F. Pratik amaçlar için ­tarafımızdan elde edilen yaklaşık değer oldukça uygundur.

size tanıdık gelen Celsius ölçeğiyle değil de Fahrenheit ölçeğiyle ölçüldüğü ­bir ülkeye geldiyseniz ? Size ­yarın sıcaklığın 72 ° F olacağı söylendiyse ­, 30'u (42) çıkarın ve yarısını alın. Cevap 21 ° C olacaktır. Tam formüle göre çevirmek bize yaklaşık 22 ­° C'lik ­bir değer verecektir. Bir derece yanılmışız, ancak sıcaklığın ne olacağını oldukça yeterli bir şekilde hayal edeceğiz .­

Sıcaklık değerlerini bir ölçekten diğerine dönüştürmek için basit formüller:

(°C X 2) + 30 = °F
(°F - 30) : 2 = °C

Ve işte bir sıcaklık ölçeğinin değerlerini başka bir ölçeğin değerlerine doğru bir şekilde dönüştürmek için formüller ve bunun tersi de geçerlidir:

9

°C X 9 + 32 = °F

5

5

(°F - 32) X - ⁵ - = °C

9

Yukarıdaki formüllerin her birini aklımızda tutarak ve kullanarak belirli bir örnek üzerinde bir ölçekten diğerine çevirmeye çalışalım :­

nepeâecTH 80° F â °C

İlk olarak, basit bir formül kullanarak: 80'den 30'u çıkarın , 50 elde ederiz, yarısını alırız , sıcaklığı Santigrat cinsinden buluruz. 80 ° F = 25 ° C

Şimdi tam formül için:

5

(80 - 32) X - ₉ ⁵ - =

80 - 32 = 48

48 × 5=240

240

- ² --- ⁴ --- ⁰ - - = 26,67°C

9

Başka bir örnek düşünün:

nepeâecTH 10° C - °F

Önce tam formülü kullanıyoruz:

9

10 X - ⁹ - + 32 =

5

10 × 9=90

= 18

90

   

5
18 + 32 = 50°F

Şimdi basit formülü kullanarak şunu elde ederiz: 10 kere ­10 eşittir 20 , sonra 30 eklenir ve cevap 50 ° F'dir .

İlk durumda, basitleştirilmiş formül bize gerçeğe yakın bir cevap verdi ve ikinci durumda, basitleştirilmiş formül kullanılarak elde edilen değer, ­tam formül kullanılarak hesaplanan değere genellikle eşitti.

30'u çıkaracağınızı ve hangisini ekleyeceğinizi veya değerin yarısını ne zaman almanız gerektiğini veya tersine ikiye katlayacağınızı unutabileceğinizden korkuyorsanız , karşılık gelen birkaç sıcaklık değerini hatırlamanızı öneririm. ­farklı ölçekler. Onları hatırlayarak, formülü her zaman belleğe geri yükleyebilirsiniz.

, 100 ° F'nin 37 veya 38 ° C'ye karşılık geldiğini hatırlarsanız , o zaman 100'den 37'yi nasıl elde edebilirsiniz? 100 eksi 30 eşittir 70. 70'in yarısı 35 eder . Şimdi ters geçiş yaparsak o zaman ­35'i ikiye katlayıp 70'i buluruz ve 30'u ekleriz ki bu da cevapta 100'ü verir.Böylece formülün geçerliliğini her iki yönde de kontrol etmiş oluyoruz .­

Söz konusu iki sıcaklık ölçeğinde ­iyi bilinen bir başka eşdeğer değer çifti, ­suyun donma noktasıdır: 0 ° C ve 32 ° F 30 ° F'den 30 çıkarın ve 0 ° C elde edin.

ölçekte hangi değişikliğin başka bir ölçekte sabit bir değişikliğe karşılık geleceğini hatırlamak da iyi bir fikirdir . ­10 ° C, 50 ° F'ye eşittir. 10 ° C azaltın veya artırın. 20 ° C = 68 ° F. (Yani, 10 Santigrat derecelik bir değişim, ­18 Fahrenhayt derecelik bir değişikliğe karşılık gelir.)

Bir örnek düşünün:

nepeâecTH 15° C - °F

Kesin formül şunu verir:

9 15 X 5 + 32 = 15 × 9=135 - 1 --- 3 --- 5 -- = 27 5 27 + 32 = 59°F

Şimdi daha basit bir formül kullanalım:

 

15 × 2=30 Başka bir örnek:

30 + 30 = 60° F - î0HÖKa 1 derecede nepeâecTH 20° C - °F 9 20 X - 9 - + 32 = 5 - 1 --- 8 5 --- 0 - - = 36 36 + 32 = 68°F

Daha basit bir formülle:

 

20 × 2=40

40 + 30 = 70° F - î0HÖKa 2 derecede

Yürüyüş için kıyafet seçimini etkilemeyecek oldukça kabul edilebilir bir sonuç .­

ÂpeMfl ve mesafe^e

Dünyayı dolaşırken karşılaşabileceğiniz ­bir ölçekten diğerine dönüştürmenin bir başka türü de ­inçlerin santimetreye çevrilmesidir. 1 ayak 30 santimetreye ­eşittir . 30'u 12'ye (bir ayaktaki inç sayısı) bölmek yaklaşık olarak 2 ₂ ¹ - verir . Böylece, bir inç yaklaşık 2,5 santimetreye eşittir.

Zaman dilimleri arasındaki farkla uğraşırken, bellekte belirli bir zaman noktasını sabitlemeye değer ­. Yurtdışındaki bir iş gezisinden ­normal olarak evinizi arayacağınız uygun bir zaman seçin ve ­evinizin bulunduğu bölgedeki eşdeğer zamanı hatırlayın .­

Örneğin, Melbourne ve Vancouver arasında gidip gelmek için çok zaman harcıyorum. Sık sık her iki şehirde de saati bilmem gerekiyor. Geçen gün Melbourne'de saat 12.00 iken Vancouver'da saatin 17.00 olacağını şimdi hatırladım . Melbourne, Vancouver'da saat 14:00'ün kaç olduğunu öğrenmek için , 14:00'i 17: 00'ye 17:00 olarak ekleyerek 7:00'i elde ederim . Vancouver'da öğleden sonra ­2 , Melbourne'da sabah 9'a karşılık gelir. Böylece, yerel saate 19 saat eklemek veya çıkarmak yerine , hatırladığım zamandan başlıyorum.

Geçenlerde ABD'yi ziyaret ettiğimde, Avustralya doları yaklaşık ­65 ABD senti değerindeydi . Bir öğenin Avustralya doları cinsinden değerini hesaplamak için ­ABD doları cinsinden fiyatını 0,65'e böldüm . Ayrıca önce fiyatı ikiye katlayıp sonra 1,3'e bölebilirim veya fiyatı önce 1,3'e bölüp sonucu ikiye ­katlayabilirim ­. Çeviriye tersten de bakalım. 1 ABD doları yaklaşık olarak 1,50 Avustralya ­dolarına eşittir. Böylece, eşdeğer miktarın hesaplanması zor değildir. 40 ABD doları , 40 ABD dolarına ve bu miktarın diğer yarısı Avustralya dolarına ­, yani 60 ABD dolarına eşit olacaktır . ­ABD'de bulunduğumdan beri döviz kuru değişti, ancak yaklaşım herhangi bir para birimi ve herhangi bir döviz kuru için aynıdır.

100 kilometrenin 60 mile eşit olduğunu bir kez ve herkes için hatırlayın ­. Bundan sonra, çevirdiğiniz şeye bağlı olarak 0,6 ile çarpın veya bölün.

Ayrıca 60 milin dakikada 1 mil ile aynı olduğunu unutmayın. 100 km/s hızla hareket ederek 30 mil yol almanız 30 dakikanızı alacaktır ­.

Ayrıca 100 km / s hızla hareket ederek belirli bir mesafeyi kat etmenin ne kadar sürdüğünü de hatırlıyorum. 250 kilometrelik yol 2 buçuk saat sürecek. 25 kilometrelik bir mesafe çeyrek saat sürecek. Yani hedefim 175 kilometre uzaktaysa , ­oraya varmamın yaklaşık bir saat üç çeyrek süreceğini biliyorum .­

Saatte mil cinsinden saatte 50 kilometre nedir? 100 kilometre 60 mile eşit olduğundan ­, 50 kilometre ­30 mile eşittir. Yani 50 km/s, 30 mil/s'e eşittir.

1 kilogram 2,2 pound'a eşittir. Kilogramı pound'a çevirirken ­, kilogram sayısını 2,2 ile çarparsınız.

11 X 0,2'nin ürünü olan 2,2 sayısına böleriz .

65 kilo olan bir insanda kaç kilo var?

65 X 0,2 = 13

13 X 11 = 143 fu^a

Spor istatistikleri

İster stadyumda ister televizyonda bir maç izlerken ­istatistikleri kendiniz tutun. Vuruş yapılan top sayısı, ­her oyuncu bazında kazanılan puanların yüzdesi, ­atıcı tarafından kazanılan ortalama koşu sayısı açısından koşu sayısı nedir? Hemen hemen her oyunun kendi istatistikleri vardır, bu hem ­oyunu daha eğlenceli hale getirir hem de matematik bilginizi geliştirir.

Îöe^a mesafe^d

Vancouver, British Columbia, Kanada'da araba kullandığımda, burada sokakların ve bulvarların mil başına sekiz oranında numaralandırıldığını biliyorum. 16. sırayı yeni geçtiysem ve 86. sırayı geçmem gerekiyorsa, o zaman daha ne kadar gitmem gerektiğini bilirim ­ve bunun ne kadar süreceğini hesaplayabilirim. Geçmem gereken 70 sokak var . 70 , 8'e bölündüğünde yaklaşık olarak ­9 verir. Yani 3 tane kaldı .

neredeyse 9 mil veya daha kesin olmak gerekirse 8 mil .

₄

Diğer ipuçları

Çeşitli madeni paraların çaplarını ölçün ve elinizde bir cetvel veya şerit metre yoksa bunları ölçüm aracı olarak kullanın ­. Baş parmağınızın uzunluğunu ölçün. Başparmağınızın ucundan orta parmağınızın ucuna kadar kaç santimetre kaldığını ölçün ve olabildiğince uzağa dağıtın. Adımlarınızdan birinin uzunluğunu öğrenin. Ayağınızın uzunluğunu ve botlarınızın tabanlarını ölçün ­. Kolunuzun omuz ekleminden parmak uçlarına kadar olan uzunluğu nedir? Onları ayırdığınızda kollarınız arasındaki mesafe ne kadar ? ­Belirli bir boyuttaki (örneğin, A4) bir kağıdın uzunluğu nedir?

Uzunluk, genişlik vb. kabaca ölçmek için bunların hepsini kullanın.

1 kilometre veya 1 mil yürüdükten sonra, ­attığınız adım sayısını sayın. Ardından, ortalama adım uzunluğunuzu elde etmek için adım sayısını kat edilen mesafeye bölün. 1 mil veya 1 kilometre yürümenizin ne kadar sürdüğünü ölçmek için domer saniye ­kullanın . ­Daha sonra ortalama yürüme hızınızı hesaplayabilir ve bunu belirli bir mesafeyi yürümenizin ne kadar süreceğini belirlemek için kullanabilirsiniz (alınan zamana göre ne kadar yürüdüğünüzü de hesaplayabilirsiniz).

veya tiyatroya geldiğinizde oditoryumun kapasitesini hesaplayın . Toplam koltuk sayısı ­, sıra sayısı ile bir sıradaki koltuk sayısı çarpılarak belirlenir . ­En sevdiğiniz tiyatronun oturma kapasitesi nedir?

Dünyanın çevresini biliyor musunuz? Yaklaşık ­24.000 mil veya 40.000 kilometredir. Ekvatorda, dünya yüzeyindeki bir nokta saatte yaklaşık 1.000 mil hızla hareket eder. Başka bir deyişle, ekvatorda ­saat diliminin genişliği yaklaşık 1.000 mildir. Ekvatorun uzunluğu 24.000 mil olduğundan , onu günün her saatine karşılık gelen bölgelere ayırmak kolaydır - ­250

kah. Milleri kilometreye çevirirsek, 1000 milin yaklaşık 1600 kilometreye eşit olduğunu elde ederiz.

Пpime^e^иe nçy4e^ûix MeTifliâ

Bu kitapta keşfedilen yaklaşımları ve yöntemleri ­yalnızca okulda veya işte değil, aynı zamanda ­boş zamanınızı çeşitlendirmenin bir yolu olarak da kullanın. Araba kullanırken veya yabancı bir ülkeyi turist olarak ziyaret ederken her türlü hesaplamayı kafanızda yapın . ­En sevdiğiniz takımın oyununu izlerken bunları kullanın. Mağazada alışveriş yaparken bunları kullanın. Ve tabii ki bunları okulda ve işte kullanın. Bu, matematik becerilerinizi güçlendirecek ­, zekanızı artıracak ve ­daha akıllı kararlar vermenize yardımcı olacaktır.

Bir keresinde beşinci sınıfta öğretmenlik yapmıştım. Çocuklara 10'dan büyük ve 20'den küçük sayıların nasıl çarpılacağını açıklamayı bitirdiğimde , ­109'un ­109 ile kaç ettiğini bulmaya çalışan bir kız fark ettim . referans numarası ve cevabı 11881 idi. Kız bana doğru cevabı bulup bulmadığını ­sordu . Hesaplamalarında hata yapıp yapmadığını ­sormadı . Onun ilgisi ­çok, böyle bir yöntemin çözüm olarak uygun olup olmadığı . Kıza hem birinci hem de ikinci seferde haklı olduğuna dair güvence verdim .

Misafir öğretmen olarak çalıştığım için bu tür tepkilerle her zaman karşılaşıyorum . Çocuklar deney yapmayı ­sever . Bu benim için belki de en büyük ödül. Çocuklar matematikçiler gibi düşünmeye başlar . Ayrıca çalışmalarının sonucunu gördükten sonra daha da karmaşık sorunları çözmek için hiçbir çabadan kaçınmazlar . Çileden çıkan çocuklar genellikle öğretmenden onlara daha fazla örnek vermesini ister .

matematiksel keşiflerini ­yaptığında , bunun izlenimi unutulmaz kalır. Yöntemler ­_ Bu kitapta sunulanlar , gerçek ­hayatta olması gereken yaratıcı düşünme ve problem çözme becerilerinin geliştirilmesine yardımcı olur . hayat genellikle pratik sorunlara bir çözüme dönüşür ­. Yanal düşünmenin de dahil olduğu orijinal bir şekilde ve belirlenen sınırların ­ötesinde düşünme yeteneğinin temelini atarlar . Ustalık 252

burada önerilen yöntemler, kendi matematiksel bilgi ve becerilerinizin sistemi için sağlam bir ­temel olacak , sayılar üzerindeki işlemlerin özünü sağlam bir şekilde kavramanıza izin verecektir . Bu yöntemler günlük yaşamda kolayca erişilebilir ve ­uygulanabilir . Öğrendiklerini kullan . Kendinize yeni matematiksel keşiflerin ­sevincini verin . Öğrendiğiniz ­bilgi işlem stratejileriyle denemeler yapın .

^dilek^ öğrenciler

Çalışmalarınızda burada özetlenen teknikleri ve yöntemleri kullanın ve bir dahi olarak ün kazanın. Problemleri fındık gibi çözeceksin ­ve matematik senin için heyecan verici ve kolay bir disiplin haline gelecek.

öğretmenlere dileklerimle

Burada özetlenen yöntemleri öğrencilerinize öğretin ­ve matematik dersleri hem onlar hem de sizin için bir zevk haline gelsin. Bu yöntemlerin kullanımı, öğrencilerinizin başarısının ve dolayısıyla sizin başarınızın anahtarıdır. Buna ek olarak, öğrenciler başarılı olduklarında, daha ­disiplinli olurlar ve öğrenmeye daha fazla motive olurlar. Sonunda herkes kazanır.

Ebeveynlere ^dilek^

Çocuklarınıza bu yöntemleri öğretin ve matematik okulunda ne kadar başarılı olduklarını göreceksiniz. Yaşıtlarından daha hızlı sayabilecekler, aynı zamanda aldıkları cevabı kontrol edebilecekler ve hatalarını ­kimse ­fark etmeden düzeltebilecekler. Bu yöntemler çocuklarınıza sadece matematikte değil, bir insandan yüksek zekanın istendiği diğer alanlarda da yetenekleri konusunda güven verecektir ­. İnsanlar sıklıkla matematik ­becerisini yüksek zeka ile bir tutar ve çocuklarınızın diğer disiplinlerde de daha başarılı olmasını bekleyebilirsiniz.

Pek çok çocuğun özgüveni düşüktür, kendilerini "aptal" olarak görürler. Matematikte yeteneklerinin olmadığını düşünürler ­, çünkü temel problemleri bile çözmek onlar için zordur. Aynı zamanda ebeveynler bana çocuklarının yöntemlerimi öğrendikten sonra ­matematiği sevdiklerini yazıyorlar. Çocuklar, bir zamanlar zor olan örneklerin artık ellerinden geldiğine sevinirler ­. Yetişkinlerden övgü de yardımcı olur. Bu şu ya da bu çocuğun beyinleriyle ilgili değil - ona problemleri çözmenin yollarını ve tekniklerini, bu durumda matematiksel olanları öğretmek önemlidir.

, özetlenen yöntem ve tekniklerin uygulanmasında yapılan ­çok sayıda deney temelinde yazılmıştır ­. Herkesin içindekileri anlaması için olabildiğince basit bir dille yazmaya çalıştım.

Web sitemde örnek koleksiyonlar ve problemler yayınladım ­. Ayrıca sunabileceğim diğer malzemeler hakkında bilgi sağlar . ­Bu kitap hakkında yorum yapmak veya yeni çalışmalar ve diğer öğrenme materyalleri hakkında bilgi edinmek isterseniz ­, lütfen bana bhandley@speedmathematics.com adresinden e-posta gönderin. veya www.speedmathematics.com web sitemi ziyaret edin HYPERLINK "http://www.speedmathematics.com".

Ek A

Soru. Çocuğum zaten matematikte sınıfın en iyisi. Yöntemleriniz sınıfta sıkılmaya başlamasına neden olacak mı? Çocuklar örnek çözmeyi başkaları için gereken sürenin dörtte birinde bitirirlerse ne yapmalıdırlar ?­

Soru. Yöntemlerinizi kullanmaya başlarsam, ­daha hızlı çözerim ve bir şeyler yapmak için zamanım olur ­. Sadece dersleri kaçıracağım.

Cevap. Bu yöntemleri kullanan öğrenciler deney yapmayı severler. Gerçekten de görevleri sınıf arkadaşlarından çok daha hızlı çözerler . ­Ama sonra dokuzlu ve onbirli atma yöntemini kullanarak cevaplarını kontrol ederler ­. Ayrıca onlara alternatif çözümleri denemek ve hangisinin daha kolay olduğunu görmek için zaman bırakır . ­Mesele şu ki, bu yöntemleri kullanan öğrenciler ­matematiği sevmeye ve gerçekten yapmaya başlarlar.

Soru. Peki anlamak? Yönteminizi çarpım tablosunu çalışmak için kullanırsanız, öğrenciye 6 kere 7'nin neden 42 olduğunu açıklamaz .­

Cevap. Bu doğru, açıklamıyor. Ancak , çarpım tablosunu incelemenin başka bir yöntemi de yoktur . Ders çalışmak, öğrencinin ­6 x 7'nin neden 42'ye eşit olduğunu anlamasını da gerektirmez . Ancak benim yaklaşımım, öğrenciye bir problemin cevabını veya bir hesaplama örneğini bulmanın etkili ve basit bir yöntemini öğretmektir.

Ve yöntemin çalıştığı mekanizma ­açık olmasa da, yöntemin kendisi dördüncü sınıf tarafından oldukça anlaşılır bir şekilde açıklanabilir. ( ­Metodun dayandığı formülün açıklaması için Ek D'ye bakın.) Kitaptaki örnekleri tam olarak inceleyen herhangi bir dördüncü sınıf öğrencisi bu açıklamayı anlamalıdır.

6x7 çarpımı ne anlama geliyor , öğrencilerden cevap istemeden önce onlara açıklamak gerekiyor . Tek başına kurallara ­göre çalışmak ­yeterli değildir. Matematik anlaşılmalıdır. Burada önerilen yöntemlerden öğrenen öğrenciler, ­matematik yasalarını anlamada başarılı olma eğilimindedir ve ­diğer çocuklara göre kabul edilen kurallara daha az bağlıdırlar.

Soru. Okulda başka yöntemler öğretilirse, bu çocuğumun kafasında bir karışıklığa yol açmaz mı?

Cevap. HAYIR. Burada önerilen yöntemler, çocukların okulda öğrendiklerini tamamlar. Başarılı öğrenciler, başarısız olanlardan farklı yöntemler kullanırlar. Bu bazen ­öğretmenin kafasını karıştırabilir, ancak ­öğrenciye herhangi bir zarar vermesi pek olası değildir. Bu yöntemlerin çoğu ­görünmez bir düzeyde çalışır. Bu sadece uygulamalarının öğrenciye getirebileceği fayda meselesidir . ­Öğrenci örnekleri çözmek için bazı özel yöntemler kullanmayı tercih ettiğini söylemezse ­, kimse bunu tahmin edemez.

Soru. Çocuğumun öğretmenleri, öğrencilerden çözümü defterlerinde tamamlamalarını istiyor. Hesaplar zihinde veya başka bir şekilde yapılıyorsa ­, o zaman nasıl olmalıdır?

Cevap. Öğrenciler, öğretmenin istediğini yapmakla yükümlüdür. Bir öğrenci bir sınavı geçerse, o zaman doğal olarak

öğretmene ­kendisinden beklediği bilgi ve becerileri gösterir.

Sıradan bir derste öğretmen çocuktan 13 ­x 14'ün çarpımını nasıl hesapladığını göstermesini isterse , ­öğrencinin “Yirmiye kadar çarpım tablosunu biliyorum. Bu tür işleri kağıt üzerinde hesaplamama gerek yok.” Öğretmen, öğrenciden sözlerini eylemlerle desteklemesini isterse, öğrenci 10'dan 20'ye kadar herhangi bir sayı çarpımını gerçekten zihninde ve çok hızlı bir şekilde hesaplayabildiğini gösterecektir. dokuzlu atarak ­cevabı kontrol edin ­. Bu sadece öğretmenleri etkileyecek, ancak onları hiçbir şekilde rahatsız etmeyecektir.

Soru. Yönteminiz her zaman en basit çözümü sunmaz. Daha kolay bir alternatif yol varsa neden kullanmalıyım?

Cevap. Tabii bu durumda hangi yöntem daha kolaysa onu kullanmalısınız . ­Burada bazı çok basit yöntemler sunuyorum, ancak daha basit olduğunu düşündüğünüz yöntemleri kullanmakta özgürsünüz.

Örneğin, 8 ile 16'yı çarpacak olsaydınız, daireler çizebilir ve taban sayı olarak 10'u kullanabilirsiniz. Bunu yapmazdım ama muhtemelen 8 ile 10'u çarpar ve sonra 8 ­x 6'nın (80 + 48 = 128) çarpımını toplardım . Ya da önce 8 ile 8'i çarparsa 64 olur, sonra bu sonucu ikiye katlar.

Öğrencilere aralarından seçim yapabilecekleri birden fazla yöntem vermeyi öğretim yaklaşımımın önemli bir parçası olarak görüyorum . ­Bir gün bir öğrenci yanıma geldi ve "Üzgünüm ­Bay Handley ama artık sizin yöntemlerinizi kullanmıyorum ­" dedi.

"Neden?" Diye sordum.

"Artık sayıların çarpımını ezbere biliyorum ve sadece doğru cevabı hatırla."

Ne düşünüyorsun, bunu kınanacak bir şey olarak mı gördüm ­? Hiç de bile. Öğrenci bana sadece artık 15 ve üzeri sayıların çarpımını hatırladığını söyledi.

Bu yöntemlerde ustalaşan öğrencilerin, ­problemleri katı bir şekilde kurallara uygun olarak çözme olasılığı daha düşüktür ve özgünlük gösterme eğilimi gösterirler.

Soru. Neden öğrencilere tüm bu örneklerin nasıl hesaplanacağını öğretiyorsunuz? Neden hesap makinelerine ihtiyacımız var?

Cevap. Hesap makinesi sizin yerinize düşünmeyecektir. Öğrenciler , burada sunulan yöntemleri benimseyerek hesabın ilkelerini çok daha iyi anlayacaklardır . ­Matematiksel problemlere çözüm bulmada ana araçları olacak olan çıplak kurallar değil, ilkelerdir.

Sınıfta bana bu soru sorulduğunda, öğrencilerden hesap makinelerini çıkarmalarını ve ­bir örnek hesaplamak için kullanmalarını isterim.

benim dediğim sırayla girmelerini öneriyorum :­

2 + 3 X 4 =

Hesap makineleri bazı çocuklar için 20, diğerleri için 14 verir. Doğru cevap 14'tür.

Neden iki farklı cevap? Tüm hesap makineleri , aritmetik işlemlerin yapılması gereken sırayı "bilemez ". ­Örneğin, önce çarpmanız, ardından toplamanız veya çıkarmanız gerekir. Söz konusu örnek aslında şöyle olmalıdır: "İki artı üç çarpı dört." 3 çarpı 4 eşittir 12 artı 2, 14 elde ederiz.

Hesap makinesi sizin yerinize düşünmeyecektir; temel matematik bilmezsen sana yardımcı olmaz. Sayıların doğasını ve ilkelerini daha iyi anlamak için

Matematiksel hesaplamalara ihtiyaç duyulur, ­bu kitapta sunulanlar gibi yaklaşımlar ve yöntemler yardımcı olur.

Soru. Hesap makinelerinden yana mısınız yoksa karşı mısınız?

Cevap. Hesap makineleri kullanışlı cihazlardır. Çok fazla zaman ve emekten tasarruf etmenizi sağlarlar . ­Onları çok sık kullanırım .­

Öğrenciler bazen bana soruyorlar: "On altı milyon üç yüz kırk dokuz bin altı yüz seksen dokuzu dört milyon sekiz yüz altmış iki bin yüz doksan dörtle nasıl çarparsın ­?" Onlara yapacağım ilk şeyin hesap makinesi almak için cebime uzanmak olduğunu söylüyorum. Öğrenciler bazen benden farklı bir cevap bekliyor gibi görünüyor. Sık sık hesap makinesi kullanırım. Bir sayı sütunu toplamam gerektiğinde hesap makinesi kullanırım. Genellikle bir hesap makinesiyle ­zihinsel cevabımı iki kez kontrol ederim çünkü hataların her zaman mümkün olduğunu biliyorum.

hesap makinesinde verilen cevabın mantıklı olup olmadığını görmek için cevap hakkında zihinsel bir tahminde bulunurum . ­İkincisi, zihinsel değerlendirmemle aynı sırada olmalıdır.

Mühendislik hesap makineleri ilk satılmaya başladığında ­en ucuzunu aldım. Sahip olduğu tüm özellikleri bilmediğimi fark ettim, bu yüzden ­bunları ayrıntılı olarak öğrenmek için biraz zaman harcadım. Sonuç olarak hesap makinesi, daha önce hiç duymadığım bazı istatistik alanlarında bilgilerimi geliştirmeme yardımcı oldu.

Geçmişin parlak matematikçilerinin modern bir mühendislik hesap makinesini ellerine geçirseler neler başaracağını sık sık merak etmişimdir . ­Bunun için mükemmel bir kullanım bulacaklarından ve muhtemelen ­çok daha fazlasını başaracaklarından eminim.

Soru. Bu yöntemleri kendin mi buldun?

Cevap. Evet, kitapta sunulan yöntemlerin çoğu benim tarafımdan icat edildi, örneğin daireler ve bir referans numarası içeren yöntem. Ama çarpanlarla çarpma ve bölme ­bana ilkokul öğretmenlerim Bayan Clark ve Bayan O'Connor tarafından öğretildi. Bayan Clark bana ­çıkarma ve çarpanlarla çarpma yöntemini öğretti ve Bayan O'Connor da çarpanlarla çarpma yöntemini öğretti ­. Daha sonra, okuldaki çalışmalarım boyunca birçok ­yeni hesaplama yöntemi ve tekniği öğrendim.

İlkokulda kesirlerin toplamını ve farkını kolay ve hızlı bir şekilde bulabileceğim bir noktaya gelmiştim ama inanın ­tüm sınıfın önünde fikirlerimi dile getiremeyecek kadar çekingendim .­

Soru. Bu yöntemlerden ve yaklaşımlardan bazılarını kendi başıma ­buldum ve her zaman diğer ­matematik sınıf arkadaşlarımdan daha başarılı oldum. Çocuklara kendim hakkında düşündüğüm şeyleri öğretmenin adil değil. Bunun için ­biraz avantaj ve tanınmayı hak ediyorum.

Cevap. Bunu bana Amerikalı bir okul çocuğu anlattı ­. Bence çocuklara matematik öğretirken onlara var olan en iyi yöntem ve yaklaşımları öğretmeli ve matematikle ilgili tüm nüansları en iyi şekilde anlatmalıyız. Kendini anlama uğruna "en yetenekli" öğrenciler için artan karmaşıklıkta görevler olarak bırakılmamalıdırlar . Neden ­her çocuğa matematikte başarılı olma fırsatı vermiyorsunuz ?­

Soru. Bu yöntemleri öğretmek , başarısız olanları yüksek başarıya dönüştürecektir . ­Birçoğu ­daha iyi öğrenciler oldukları için arkadaşlarını kaybederler. Yöntemleriniz ­çocukların ilişkilerinde sorunlara yol açmayacak mı?

Cevap. Başkalarının tepkisi bunu doğruluyor gibi görünse de, sorunun ciddi bir şekilde sorulup sorulmadığı konusunda hala emin değilim ­.

Çocuğun matematik ve diğer konularda daha iyi hale gelmesinden kaynaklanan sorunları çözmeye, zeka ­eksikliği ­ve zayıf akademik performansla ilgili sorunlara göre daha hazır olduğumu söylemek isterim .­

Soru. Üniversiteden yeni mezun olmuş genç bir öğretmenim ­. Bu yöntemleri öğretmeye başlarsam sorun yaşar mıyım ­? Dördüncü sınıf öğrencilerim ­okul yılının sonuna kadar altıncı sınıflar gibi problem çözmeye başlarsa ne olur?­

Cevap. Bir şeyi öğretmek için iki yöntem varsa - kolay ve zor - zor yöntemi kim izler? Çocuklar 3 ve 4 sayıları için çarpım tablosunu öğrenirken aynı anda ­5, 6, 7, 8 ve 9 için çarpım tablosunu öğreniyorsa ­bu kötü mü? Çocuklara öğretmeniz gereken şeyi öğretiyorsunuz, sadece size öğretildiği şekilde değil.

Söz konusu yöntemler ­, çocuklara programa göre kendilerinden istenenlerin ve biraz daha fazlasının öğretilmesine olanak sağladığı için eğitim sisteminin gereklilikleri içinde yer almaktadır. ­Dokuzuncu sınıf öğretmenim Harry Forcast bize dokuzuncu ­sınıf düzeyinde matematiği on birinci sınıf matematik dersinin unsurlarıyla öğretti. Onun rehberliğinde matematik çalışmayı çok severdim. Eve gidip sorunları kendi başıma çözmek için oturmak için sabırsızlanıyordum. Bize öğretim metodolojisinin bir parçası olan daha hızlı hesaplamayı ­öğretti ­. Cebirsel problemleri çözmek için onun yöntemlerini uyguladığımda kendimi başka bir gizemi çözen ­Sherlock Holmes gibi hissettim .­

Beşinci ve altıncı sınıf öğretmenleri, öğrencilerinin önde oldukları için mutlu olmalı ve ­bu fırsatı bilgilerini daha da ileri götürmek için kullanmalıdır. Bu yöntemlerin her yerde okullarda öğretileceğinden eminim ­. Ve gerçekten bu kitabın bu konuda yardımcı olacağını umuyorum.

Soru. Ben de genç bir öğretmenim ve matematikten her zaman çok korkmuşumdur. Yöntemlerinizi çocuklara öğretmeye başlarsam ve bir noktada aniden kafam karışır ve nasıl devam edeceğimi bilemezsem ne olur? Ya öğrenciler bana bir soru sorarsa ve ben cevaplayamazsam? Belki de ­diğer öğretmenlerle aynı yöntemleri kullanmak daha güvenlidir? Çocuklara sizin yöntemlerinize göre ders verirsem gereksiz riskler alıyor muyum?

Cevap. Tabii ki, bazı riskler var, ancak en aza indirilebilir. Yöntemler oldukça basit. Bunları kademeli olarak başlatın ­. Çocuklara önce 10 ­x 10'a kadar olan sayı çiftlerinin çarpımını nasıl hesaplayacaklarını öğretin . Birkaç gün pratik yapmalarına izin verin. Daha sonra onlara 90'dan 100'e kadar sayılarla problem çözmeyi öğretin. Temelde aynı işlerden bahsediyoruz ama çok daha ilginç örneklerde ­. Bunları çözerek, yalnızca tek haneli sayılar için (daire içindeki sayıları çarparken) çarpım tablosunu daha iyi hatırlamayacaklar ­, aynı zamanda daha büyük sayılar için, yani ­toplamı 10'a ulaşan sayı kombinasyonlarını da hatırlayacaklar. 10'dan büyük ancak 20'den küçük bir sayıdan bir sayı çıkarıldığında örnekleri hesaplama yöntemi. ­14 - 8 = 4 + 2 = 6 (bkz. bölüm 9).

pozitif ve negatif sayılar kavramını tanıtmanız gerekecek . ­Ayrıntılı bir açıklama yapmanıza gerek yok, ­kavramın daha sonra daha ayrıntılı olarak açıklanacağını söylemeniz yeterli.

Bu yöntemleri çocuklara öğreterek, sayılarla çalışma becerinizin nasıl parlatıldığını göreceksiniz. Yeteneklerinize güven kazanacaksınız. Öğrencilerinize ­bu teknikleri onlarla birlikte öğrendiğinizi söyleyin, ­bu tekniği öğrenciler için daha ilgi çekici hale getirecektir.

Ek B

Küp kökünün yaklaşık değerini nadiren hesaplamamız gerekir , ancak bazen bir kürenin ­veya küpün boyutlarını bilmemiz gerekir . Örneğin, bir garaj yolunu ­betonlarken , çimento, kum veya çakılın hacmini (yani kübik değerini ­) hesaplayın. Çoğu insan için küpkökü hesaplamanın tek yolu bir hesap makinesi kullanmaktır . Buna rağmen, bir mühendislik hesaplayıcısı olmalı.

27'nin küp kökü 3'tür çünkü 3 x 3 x 3 = 27. Üçün küpünü almak için 3'ü üç kez çarpmanız gerekir. 3'ün küpü 27'ye eşittir. 27'nin küp kökü ­3'e eşittir. Bu şu şekilde yazılır: 3/27. Kök işaretinin üzerindeki 3 rakamı, bunun bir küp kök olduğunu gösterir. (Teorik olarak, 2 sayısı karekök işaretinin üzerine yerleştirilmelidir, ancak bu durumda kökün üzerindeki sayıyı atlamak adettendir.)

karekökün değerini tahmin etmenin yolunu gösterdiğim gibi, küpkökün yaklaşık değerini hesaplamanın basit bir yolunu göstereceğim ­. Size vereceğim basit formülü kullanmak için sadece toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapabilen basit bir hesap makinesine sahip olmanız yeterli.­

İlk olarak, 1'den 10'a kadar sayıların küplerini hatırlamanız gerekir:

1 ³ = 1 4 ³ = 64

2 ³ = 8 5 ³ = 125

3 ³ = 27 6 ³ = 216

7 ³ = 343 9 ³ = 729

8 ³ = 51210 ³ = 1000

unutulmaları durumunda hesaplamaları kolay olduğu için sorun değildir .­

Her şeyden önce, bir sayının karekökünü bulurken, onu basamak çiftlerine ayırdık, yani:

küp kökünü bulmak için rakamlarını üçerli gruplara ayırırız . Bu tür grupların sayısı bize cevaptaki basamak sayısını verir.

Daha sonra ilk üç basamağın küp kökünü hesaplıyoruz. Burada zaten ezberlediğimiz ilk on sayının küplerine ihtiyacımız var.

•      İlk üç haneden oluşan sayı ­1 ile 7 arasında ise cevabın ilk hanesi 1 olacaktır.

•      8 ile 26 arasında ise cevabın ilk basamağı ­2 olacaktır.

•      27 ile 63 arasında ise cevabın ilk hanesi 3 olacaktır.

Sanırım kalıbı yakaladınız. İlk üç basamaktan oluşan bir sayının küpkök değerinin değerlendirilmesi, cevabın ilk basamağını verir. Kalan sayılar ­(kalan üçlü sayısına göre) 0'a eşit alınacaktır. Bu, istenen küp kökün ilk yaklaşımı olacaktır.

Örnek olarak 250 sayısını ele alalım:

250, 6'nın küpünden (216) fazla, ancak 7'den (343) küçüktür. Bu bize kök değerinin 6 ile 7 arasında olduğunu söyler.

Orijinal sayıyı kökün (6) ilk yaklaşımına böleriz, iki kez:

250 : 6 = 41,67

Cevabınızı tekrar 6'ya bölün:

41,67 : 6 = 6,94

İlk yaklaşım (6) ile ­çift bölmenin sonucu (6.94) arasındaki fark 0.94'tür. Bu sayıyı 3'e bölün ve sonucu ilk yaklaşımımıza ekleyin:

0,94 : 3 = 0,31

6'ya eklersek 6.31 elde ederiz.

^3/250 = 6.31

Bu yaklaşım her zaman gerçek kökten biraz daha büyük olacaktır, bu nedenle 6.3'e yuvarlayın. Hesap makinesi 6,2996 kök değeri verir. Yeterince yuvarlamadık ama aldığımız cevap bir ondalık haneye kadar doğru. Ve asıl avantaj, yukarıdaki hesaplamanın ­zihinsel olarak yapılabilmesidir.

Hesaplamalarımızın son aşaması, diğer bir deyişle, kullandığımız üç sayı için ortalama değerin hesaplanması olarak tanımlanabilir. Yani 6+6+6.94'ün toplamını bulup 3'e bölüyoruz.

6 + 6 + 6,94 = 18,94

18,94 : 3 = 6,31

Farkı 3'e bölmek çok daha kolay bence.

basit bir on haneli hesap makinesi kullanarak ­6.31'i ikinci bir yaklaşım olarak aldım ve hesaplamaları tekrarladım. Son cevabım 6.2996053 iken, mühendislik hesap makinem 6.299605249 verdi, bu nedenle ­yöntem yedi ondalık basamağa kadar doğruydu.

Aşağıdaki küp kökleri kendiniz hesaplamaya çalışın:

a) 3/230 =                                  b) ^3/540 =

c) 3/8162 =                                d) ^3/30000 =

Yanıtlar:

a) 6.127                                     b) 8.1457

c) 20.134                                   d) 31.07

Yukarıdaki yöntemi kullanarak, yanıtlarınız gerçek değerlere çok yakın olmalıdır ­. İsterseniz yaklaşıklığın doğruluğunu ­yüzde olarak değerlendirebilirsiniz.

c) ve d) örneklerini çözmenin başka bir yolu daha vardır. İlk yaklaşımlar sırasıyla 20 ve 30'dur ­. Böylece bölme yalnızca bir kez yapılabilir: 20 ² ve 30 ^{2 ile} . Bu, 400 ve 900'e bölmek anlamına gelir. Virgülün iki hanesini sola kaydırmak ve 4 ve 9'a bölmekle ilgilidir.

Karekökün ­yaklaşık değerini hesaplama yöntemimize benzer şekilde , eğer orijinal sayı bir sayının küpünden çok daha az değilse, ­ilk yaklaşım olarak küpü daha büyük olan sayıyı alabiliriz , alt yaklaşımı değil. Bundan sonra, ilk yaklaşıma göre iki kez böleriz ve ­elde edilen sonuç ile ilk yaklaşım arasındaki farkın üçte birini çıkarırız . ­Ve tekrar- 266

Ancak, karekökte olduğu gibi, ­hesaplamaları kısaltmanın bir yolu var.

Örneğin, 320'nin küp kökünü ele alalım.

³ 7320 =

6'nın küpü 216 ve 7'nin küpü 343'tür. 7 kesinlikle daha yakın bir tahmindir.

320 : 7 = 45,71

Tekrar 7'ye bölün:

45,7 : 7 = 6,53

6.53'ü 7'den çıkarın:

7 - 6,53 = 0,47

Şimdi farkın üçte birini hesaplamanız gerekiyor:

0,47 : 3 = 0,157

Yaklaşıklığımızdan ­(7) farkın üçte birini (0,157) çıkarın:

7 - 0,157 = 6,843

6.84'e yuvarlayalım - istenen cevap bu.

3/320 = 6.84

Doğru cevap 6.8399'dur.

Şimdi daha kısa bir bilgi işlem yöntemi için ­. Aslında az önce 7, 7 ve 6,53 sayılarının ortalamasını bulduk. Yani bu sayıların toplamını 3'e bölmekten bahsediyoruz:

7 + 7 + 6,53 = 20,53
20,53 : 3 = 6,843

20'yi 3'e bölmek bize kalan 2 ile 6'yı verir, bunu ­2,53'ü elde etmek için 0,53'e taşırız.

2,53 : 3 = 0,843

Karekök durumunda 1 aktarıyoruz, küp kök durumunda 2 aktarıyoruz. Üst yaklaşımdan hesaplanan farkın üçte birini çıkarmak yerine, alt yaklaşımı alıyoruz (bu durumda 6), transfer 2 ve 3'e bölün, son ­ny cevabını elde edin.

Küpkökleri hesaplarken neden 2'yi taşıyoruz? Çünkü, az önce ele aldığımız durumda olduğu gibi, ­üç sayının ortalamasını hesapladığımızda, aradığımızdan bir fazla olan iki sayıyı toplarız. Bu nedenle, toplamım ­, üç kez artı 2 olarak alınan alt yaklaşım olacaktır.

Bir örnekle açıklamaya çalışacağım:

³ /700 =

yukarıdan bir yaklaşım olan 9'u alıyoruz (9'un küpü 729'dur).­

700'ü 9'a iki kez bölün:

700 : 9 = 77,77

Cevabın ilk basamağı 8'dir . Kalanı bulmak için tamsayı kısmını ­2 ile değiştiririz , kesirli kısmı olduğu gibi bırakır ve çıkan sayıyı 3'e böleriz .

2,64 : 3 = 0,88

İstenen cevap 8.88'dir. İki ondalık basamağa kadar doğrudur .­

Başka bir örnek deneyelim:

^3J7531 = _

Kök işaretinin altındaki sayıyı üçlü basamaklara böleriz.

Biz:

³ /7'531 =

* *

İlk üçünün rakamlarından oluşan sayının, yani 7'nin küpkökünün yaklaşık değerini bulalım. 7, 8'e yakındır, 23'e eşittir, bu yüzden ilk yaklaşımımız olarak ^2'yi alıyoruz . ­İki üçlü sayımız var, yani ­cevap iki sayı olacak. Her zamanki gibi ikinci basamak ­olarak 0 alırız ve ­20'ye tam ilk yaklaşımı elde ederiz.

7531'i 20'ye iki kez bölün. 20'ye bölmek için önce ­10'a, sonra 2'ye bölün.

7531 : 20 = 376,55

376,55 : 20 = 18,8275

20'ye iki kez bölmek yerine, 20'nin karesi olan 400'e bölebiliriz.

7531: 100 = 75,31

75,31 : 4 = 18,8275

Artık cevabın ilk basamağının 1 olduğunu biliyoruz. Onlar basamağından bahsediyoruz. Ara ­sonucumuz 10'dur.

Sayının geri kalanının önüne 2 koyarız ve 28.8275 elde ederiz.

28,8275 : 3 = 9,609

10 + 9,609 = 19,609

Yuvarlama, 19.6 elde ederiz. Cevabımız bir ondalık basamağa kadar doğrudur. Asıl cevap 19.60127, yani çok yakın bir sonuç elde ettik.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeyi deneyin ­ve ardından çözümünüzü aşağıdaki örnekle karşılaştırın:

a) 3/ГІ5 =                                b) 3/500 =

Örnek a)' da yaklaşık olarak 5 alıyoruz.

115'i 5'e bölün ve 23 elde edin. (10'a bölün ve sonucu ikiye katlayın.) Sonra 23'ü 5'e bölün ve 4.6 elde edin. (10'a bölün ve ikiye katlayın.) 4, cevabımızın ilk basamağıdır.

2'yi 4 yerine 2,6 olarak değiştiriyoruz. Şimdi 3'e bölüyoruz.

2,6 : 3 = 0,8667

4.86'ya yuvarlayın. Cevap, beşinciden sonra iki ondalık basamağa kadar doğrudur ­.

Örneğin b), ilk yaklaşım olarak 8 alırız ­.

500 : 8 = 62,5

62,5 : 8 = 7,8125

Üst sayıya göre yaklaşım kuralına göre, 2'yi 7'ye değiştirerek 2.8125 elde ederiz.

2.8125'i 3'e bölersek 0.9375 elde ederiz. Bu sonucu 7'ye ekliyoruz ve cevabımızı alıyoruz: 7.9375.

Hesap makinesi kullanılarak hesaplanan gerçek cevap ­7.93700526'dır. Zihinsel bir hesaplama için ­cevabımız son derece doğrudur. Ancak, kağıt üzerinde hesaplanan cevap için olduğu gibi, ancak en basit hesaplamalar sonucunda . ­Elde ettiğimiz yaklaşık değerlerin her zaman ­gerçek yanıtı aştığı da not edilebilir . ­Az önce ele aldığımız örneği ­aşağı yuvarlarsak , kesin cevaba varırız.

Bu, bir sayının küp kökünü bulmak ve başkaları üzerinde büyük bir izlenim bırakmak için etkili bir yöntemdir. Sıradan bir insanın, kalem ve kağıtla bile olsa cevabı bulmaya çalışması asla aklına gelmezdi ­. Burada ele alınan yöntem ­zihinsel hesaplamaya izin verir.

Ek B

Gerçek bölme işlemi yapmadan bir sayının diğerine eşit olarak bölünüp bölünmediğini kontrol etmek zor değildir ­.

Aşağıdaki bölünebilme kuralları vardır:

1.     Tüm sayılar 1'e bölünebilir.

2.  Tüm çift sayılar 2'ye bölünür. (Sayının son basamağı 2'ye bölünebiliyorsa veya 0'a eşitse, sayı 2'ye bölünebilir.)

3.  Bir sayı 3'e tam olarak bölünebiliyorsa, rakamlarının toplamı da 3'e bölünebilir. Tersi de doğrudur. Örneğin ­12 3'e tam bölünür çünkü 1+2=3'tür.

4.  Sayının son iki basamağından oluşan sayı 4'e tam bölünüyorsa tam sayı 4'e bölünür. Örneğin 116 4'e tam bölünür, çünkü 16 = 4 x 4'tür .

5.     Bir sayı 0 veya 5 ile bitiyorsa, 5 ile bölünebilir.

6.  Bir sayı çift ise ve rakamlarının toplamı 3'e bölünebiliyorsa, o sayı 6'ya tam bölünür.

7.     * (Listenin sonundaki nota bakın.)

8.  sayının son üç basamağı ­8'e bölünebiliyorsa, test edilen sayı ­8'e bölünebilir. Örneğin, 1128, 8'e bölünebilir çünkü 128 = 8 x 16.

9.  Bir sayının rakamları toplamı 9'a eşit veya 9'un katı ise o sayı ­9'a tam bölünür.

10.     Bir sayı 0 ile bitiyorsa 10'a tam bölünür.

11.    ile tek hanedeki rakamlarının toplamı ­arasındaki fark 0 veya ­11'in katı ise o sayı 11'e tam bölünür.

12.    Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa ve ­son iki basamağı 4'e tam bölünüyorsa o sayı 12'ye tam bölünür.

13.    *

17.    *

19.    *

20.     Bir sayının onlar basamağı çift ise ve sayı 0 ile bitiyorsa 20 ile tam bölünür.

21.     Bir sayı 7 ile tam bölünüyorsa ve rakamlarının toplamı ­3'ün katıysa o sayı 21'e tam bölünür.

23.*

29.*

* Bu sayılar ve daha büyük sayılar için kullanılabilecek bölünebilirliği kontrol etmek için basit bir yöntem vardır . ­Bu durumda ­yardımcı faktörler kullanılır. Geleneksel yöntemler çok karmaşıktır ve kalem ve kağıt gerektirir. Burada bahsettiğimiz kontroller zihinde yapılabilir.

7 ile bölünebilirliği kontrol etmek için 5 sayısını yardımcı çarpan olarak kullanacağız. Kontrol edilen sayının birler basamağını bir yardımcı çarpanla ­çarpıyoruz ­.

Birler basamağı çıkarılarak kontrol edilen sayıya sonucu ekleriz (yani, sayının tüm basamakları bir sağa kaydırılır, böylece onlar bir, yüzler ­on olur vb.). Toplam 7'ye bölünebiliyorsa, orijinal sayı da 7'ye bölünebilir.

Örneğin, 91, 7'ye eşit olarak bölünebilir mi?

Yardımcı çarpanımız 5'tir (neden ­böyle olduğunu biraz sonra açıklayacağım). 91'in (1) birler basamağını ­5 ile çarp, cevapta 5 elde et. 9272'ye 5 ekle

7'nin iki katı olan 14 elde ederiz. Böylece ­91, 7'ye bölünebilir.

133 sayısı 7'ye tam bölünür mü?

133'ün birler basamağını (3) yardımcı çarpanımız ­(5) ile çarparız ve 15 elde ederiz. 13'e ekleyin ve 28 (7 X 4) elde ederiz. Böylece 133'ün 7'ye bölünebileceğini öğrendik.

Başka bir örnek verelim: 152, 7'ye bölünebilir mi?

10 için 2 ile 5'i çarp. 25 için 10 ve 15'i topla. ­25, 7'nin katı olmadığı için 152, ­7'ye bile bölünemez.

Son örnek: 1638, 7'ye eşit olarak bölünebilir mi?

5X8 = 40

163 + 40 = 203

203'ün 7'ye bölünebilir olup olmadığını hemen belirleyemeyeceğimiz için prosedürü tekrarlıyoruz:

5x3 = 15

20 + 15 = 35

35, 7'ye bölünebilir (5 X 7 = 35). Yani 1638, 7'ye eşit olarak bölünebilir.

Yardımcı faktörleri belirleme yöntemi aşağıdaki gibidir:

Pozitif bir yardımcı çarpan belirlemek için, ­kontrol edilecek böleni o kadar çok artırırız ki, elde edilen sonuç 9 ile biter. Yardımcı olarak , ­elde edilen sonuçtan 1 fazla olan bir sayının onlar basamağını alırız .­

Örneğin, 7 ile bölünebilmeyi kontrol etmek istiyorsak, 7'yi 7 ile çarparız ve 49 elde ederiz. 49, 50'den 1 eksiktir. Yani 7'nin yardımcı çarpanı 5'tir.

13 ile bölünebilirliği kontrol etmek için o kadar çok çarparız ki 9 sayısı cevabın birim kategorisindedir:

13 × 3=39

39, 40'tan 1 eksiktir.Bu nedenle, 13 için yardımcı sayı olarak 4'ü kullanırız.19 durumunda, zaten 9'da bittiği için onu herhangi bir şeyle çarpmamıza gerek yoktur.19, 20'den 1 eksiktir, bu yüzden ­yardımcı çarpan olarak 2 kullanıyoruz .­

23'ün alt çarpanını bulmak için ­birler basamağının 3 olduğuna dikkat edin. 3 X 3 = 9 olduğundan 23'ü 3 ile çarparak 69 elde ederiz. Bu 1 eksik 70 olduğundan ­alt çarpan olarak 7 alırız.

Bir sayının diğerine bölünebilir olup olmadığını kontrol etmek istiyorsak, ikincisini veya ikincisinin bir katını birinciye eklemek bölünebilirliği etkilemez.

91'in 7'ye tam bölünüp bölünmediğini kontrol ettiğimizde aslında 91'e 49 (7 X 7) ekliyoruz ve sonuç 140 oluyor.Sondaki sıfırı çıkarırsak bu sonucu hiçbir şekilde değiştirmiyor. yol.

112'nin 7'ye bölünüp bölünmediğini kontrol ederek 2'yi 5 ile çarparız ve 10 elde ederiz.

X 3'e eşittir .

X 49 veya 7 X 7 X 2) 112'ye eklemekle aynıdır .

98 + 112 = 210

210 = 3X7X10 _ _

alt faktörüne daha yakından bakalım ­. Öncelikle ­13'ün alt faktörü kaçtır onu belirleyelim?

3x13 = 39

yardımcı çarpan olarak 4'ü (40'ın onlar basamağı) alırız . ­Bir sayının 13'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için, birler ­basamağını 4 ile çarpın ve elde edilen toplama onlar basamağını ekleyin ­.

Örneğin, 78, 13'e eşit olarak bölünebilir mi?

Birler basamağı 8'dir:

8 × 4=32

32 + 7 (0İfra ten -rKîâ sayısı 78) = 39 (3 x 13)

39 , 3 X 13 olduğundan , 78'in 13'ün katı olduğunu elde ederiz .

hakkında şüphemiz varsa , işleme devam edebiliriz:

9x4 = 36

36 + 3 = 39

Aynı sayıyı aldığımız için, orijinal sayının ­13'e kalansız bölünebileceğini güvenle söyleyebiliriz .

Başka bir örneği ele alalım. 351, 13'ün katı mıdır ?

Birler basamağı 1'dir :

1x4 = 4

4 + 35 = 39 (39 = 3X13 )

351'in 13'ün katı olduğunu kanıtladık .

Peki ya 3289? 13'e bile bölünebilir mi ?

Test edilen sayı 9 ile biter:

9 X 4 = 36
328 + 36 = 364

364'ün 13'e bölünüp bölünmediğini bilmiyoruz , bu yüzden bu sefer 364 sayısını test ediyoruz .

Son rakamı 4'tür .

4 × 4=16

36 + 16 = 52 (52 = 13X4 )

x 4'e eşit olduğunu bilmeseydik , kontrol etmeye devam edebilirdik.

52'nin birler basamağı 2'dir.

2x4 = 8

5 + 8 = 13

13'e kalansız bölünebildiğini kesin olarak biliyoruz .­

Bölümün başındaki listemizdeki diğer sayılarla bölünmeye ne dersiniz?

yardımcı çarpan olarak ­alıyoruz ; 19 - 2 için; 3 - 7 için; 29 - 3 için. Bu faktörler, yardımcı faktörlerin belirlenmesi yöntemi kullanılarak bulunabilir .­

Örneğin, 578, 17'nin katı mıdır?

Çoğumuz için 17'ye bölmek oldukça göz korkutucu bir görev gibi görünecektir. Ve büyük olasılıkla bir hesap makinesi kullanacağız.

12'nin yardımcı çarpan olduğunu biliyoruz. ­8'i (578'in birler basamağı) 12 ile çarpıyoruz.

12 × 8=96

96 + 57 = 153

153'ün 17'ye bölünebilir olduğu ­açık değildir. Tekrar deneyelim.

3x12 = 36

36 + 15 = 51

51'den emin değilseniz işleme devam edelim:

1 x 12 = 12

12 + 5 = 17

Açıkçası, 17, 17 ile kalansız bölünebilir, bu nedenle, 578, 17'nin katıdır.

Not: Biraz sonra 17 ile bölünebilirliği kontrol edebileceğiniz alternatif bir yöntem göstereceğim.

Bir örneğe tersten bakalım. 7 x 13'ün çarpımı 91'dir, yani 91 ­her iki sayının katıdır.

7 için kontrol edin:

1 x 5 = 5
5 + 9 = 14

14, 2 x 7'dir, bu nedenle 91, 7'ye kalansız bölünebilir. 13'ü kontrol edin:

1x4 = 4

4 + 9 = 13

Yani 91 13'e tam bölünür.

Bölünebilirliği kendiniz tanımlamaya çalışın:

а)      266 çarpı 19 mu?

б)      259 en kısa 7 mi?

c) yoi 377 13'ün katı mı?

d) 377 kenar 29 mu?

Cevap her durumda evettir.

ÎTpnöaıenü^ıe âcnîMîraıenü^ıe çok yaşa

kullanarak bir sayı ile bölünebilirliği de kontrol edebilirsiniz ­.

Negatif yardımcı çarpanı belirlemek için ­, kontrol edilen böleni, elde edilen cevap 1 (birler basamağı) ile bitene kadar o kadar çok artırırız. Ortaya çıkan sayının onluk sayısını yardımcı çarpan olarak alıyoruz.

x 17 = 51 olduğundan, 17'nin negatif yardımcı çarpanı 5'tir. Yukarıdaki örneklerden bazılarını pozitif bir yardımcı çarpanla çözmeye çalışalım .­

578, 17'den eksik mi?

Negatif yardımcı çarpanımız 5'tir (-5).

-5 X 8 = -40

Birler basamağını attıktan sonra elde edilen sayıdan çarpım sonucunu çıkarıyoruz :­

57 - 40 = 17

578'in 17 ile kalansız bölünebileceğini tek adımda ispatladık.

Başka bir örnek deneyelim. 918 sayısı 27 ile tam bölünebilir mi?

Öncelikle 27 için negatif bir yardımcı çarpan belirlememiz gerekiyor. 3 X 27'nin çarpımı 81'dir. İstenen çarpanımız -8'dir.

918'in birler basamağı -8 ile çarpılır:

-8 X 8 = -64
91 - 64 = 27

918'in 27'ye bölünebildiğini anladık.

Bir örnek daha. 135 27'nin katı mı?

Yardımcı faktör -8'dir.

5 X -8 = -40

13 - 40 = -27

Cevap -27 idi, bu da 135'in 27'ye kalansız bölünebileceğini kanıtlıyor. (-27 elde etmek için tek yapmamız gereken 40'tan 13 çıkarmak ve sonucun önüne bir eksi işareti koymaktı.)

Bölünebilirliği kendiniz tanımlamaya çalışın:

а)      136 çarpı 17 mi?

б)      595 çarpı 17 mi?

â) 1426 kenar 31 mi?

d) Yoi 756 kenar 27 mi?

Tüm bu örneklerde, cevap evettir. Doğrulama ­zorluk çıkarmaz.

Sayılar 7 veya 1 ile bitiyorsa, negatif yardımcı çarpanları kullanmak daha iyidir. ­Test edilen bölenlerin hangi basamaklara sahip olabileceğini görelim .­

Bölen 1 ile bitiyorsa, negatif bir yardımcı çarpan kullanırız . ­Bu, 1'den önceki rakamlardan oluşan ve eksi işareti olan bir sayıdır. Örneğin 31 sayısı için yardımcı çarpan ­-3 olur.

Bölen bir sayı ile bitiyorsa önce ­yarıya bölünmeli, sonra yardımcı çarpanı bulmak için en uygun yöntem kullanılmalıdır ­.

Bölen 3 ile bitiyorsa, 3 ile çarptıktan sonra 9 ile biten bir sayı elde ederiz ve pozitif yardımcı çarpanı kolayca belirleyebiliriz ­.

Bölen 5 ile bitiyorsa önce 5'e bölünmeli, sonra iki yöntemden en uygun olanı kullanılmalıdır.

Bölen 7 ile bitiyorsa, 3 ile çarptıktan sonra 1 ile biten bir sayı elde ederiz ve negatif yardımcı çarpanı kolayca belirleyebiliriz ­.

sonuçtaki toplamdaki ­son sıfırdan önceki sayıyı pozitif bir çarpan olarak alıyoruz ­.

Ek D

 yöntemin sırrından daha

Bu yöntemin sırrı nedir?

"hatırına " ­açıklayayım .

x 85'in çarpımını bulalım .

Standart yol aşağıdaki gibidir.

99 neredeyse 100'dür, bu yüzden 100 ile çarpın ve 85 çıkarın.

85x100 = 8500

Şimdi 85'i çıkarmamız gerekiyor. ­Bunu yapmanın en kolay yolu nedir? 100 çıkarın ve 15 ekleyin.

8500 - 100 = 8400

8400 + 15 = 8415

Bu bizim çember yöntemimize benzemiyor mu?

Aynı örneği (99 x 85) çemberlerle çözerek 85'ten 1 çıkararak 84'ü elde ederiz ve ­100 ile çarparak 8400'ü veririz. Daha sonra yüz çıkardığımızdan sonuca bir kez 15 ekleriz .­

x 85'in çarpımını hesaplarken 100 ile çarpıp 85'i iki kere çıkarabiliriz.

85x100 = 8500

Sonuçtan iki kez 85 çıkarın. Bunu yapmanın en kolay yolu nedir?

85 + 85'in toplamını bulup 8500'den çıkarmak yerine, 100'den 2 kez çıkarıp 15'i 2 kez ekleyin. 8500'den 200'ü çıkarırsak 8300 olur.

Önce 15'i sonra tekrar 15'i toplamamak için ­2 kere 15'in 30 olduğunu hatırlayın ve hemen 30 ekleyin, cevapta 8330 elde ederiz.

10'dan küçük sayıların çarpımına genişletebiliriz .­

9      x 8 =

x 8'in çarpımı 80'i verir, sonra 8'i çıkarır ve 72'yi buluruz. Çemberlerin yardımıyla çözüm şuna benzer ­:

109     X 8 = 72

— Ö — ®

Bir ürünü daha hesaplayalım:

10           7X8 = _

- @ - @

X 7'nin çarpımını çıkarırsanız , her iki yöntem arasındaki ilişkiyi görebilirsiniz. 10 X 7'nin çarpımı 70'tir. 7 ile iki kez çıkarmanın kolay bir yolu, 10 ile iki kez çıkarmak ve ardından iki kez 3 eklemektir.

Çember çarpma yönteminin neden işe yaradığını açıklamanın "basit" yolu olarak adlandırdığım şey budur ­. İlkokul öğrencileri bile, özellikle bu kitapta sunulan örnekleri iyi çözerlerse verilen mantığı anlayacaklardır.

Anre6pan4ecKîe îöbfl^e^e

Şimdi cebirsel bir açıklama yapacağım. Bir örnek düşünün:

13x14 = _

+ ® + ®

10 13X14 =

a harfi ile referans numarasını, bu durumda 10'u ve b harfleriyle belirtin ve c birim basamaklar veya daire içine alınmış sayılar, bu durumda 3 ve 4.

Ürün şimdi aşağıdaki gibi yazılabilir:

(a + b) X (a + c)

(a + b) x (a + c) ile çarparak şunu elde ederiz:

bir ² + ab + ac + bc

İlk üç terim a ile bölünebilir , bu nedenle a'yı çıkarabiliriz. parantez için.

a(a+b+c)+bc

Karşılık gelen sayısal değerleri değiştirerek şunu ­elde ederiz:

(10 + 3) X (10 + 4) =

10 (10 + 3 + 4) + (3 X 4) =

10 X 17 + 12 =

170 + 12 = 182

Yukarıdaki formülde b ve c, dairelerin nerede (üstte veya altta) çizildiğine bağlı olarak pozitif veya negatif sayılar olabilir. Üründe 7 X 8 b ve c negatif sayılar olacaktır ­.

50'ye yakın ve 5 ile biten sayıların karesini almak için kullanışlıdır .

Formülü şu şekilde yazabilirsiniz:

(a + b) X (xa + c)

Burada a referans numarasıdır , b ve c daire içine alınmış sayılardır ve x bir çarpandır .

Parantezleri genişleterek şunu elde ederiz:

xa ² + xab + ac + bc

İlk üç terim a ile bölünebilir , bu nedenle formül ­aşağıdaki gibi basitleştirilebilir:

bir (xa + xb + c) + bc

Formülü belirli bir örnek üzerinde düşünün:

13x41 = _

Ana referans numaramız 10 , ikinci referans numaramız ise 40 yani 4 x 10'dur. Daire içindeki sayılar 1 ve 3'tür. ­Örnek olarak şu şekilde yazılabilir:

(3) S

( 10x4 ) 13x41 =

Sahibiz:

a = 10 sütür destek numarası)

b = 3 (sonraki daire ^ad 13)

c \u003d 1

x = 4 (m^yerleşik)

Sayıları formülde değiştirerek şunu elde ederiz:

bir (xa + xb + c) + bc

10 (4 x 10 + 4 x 3 + 1) + (3 x 1) = 10 (40 + 12 + 1) + (3 x 1) =
= 10 x 53 + 3 = 530 + 3 = 533 ÎTÂET

Tam çözüm şöyle görünür:

12

® Q

(10x4 ) 13x41 = 530

+3

 1 ve 9 ile biten sayıları
görüntülemek için formlar

1.     1 ile biten sayıların karesini alma

31'in karesini almak için önce ­30'un karesini alarak 900'ü elde ederiz.

Sonra 30'u ikiye katlıyoruz, bu da bize 60 veriyor ve bu sayıyı bir önceki sonuca ekliyoruz.

900 + 60 = 960

Şimdi 1 ekliyoruz.

960 + 1 = 961

Bu basit hesaplama, bir sütunla çarpmaya veya doğrudan çarpmaya benzer.

x 31'in çarpımını bulmak için aşağıdaki cebirsel formülü de kullanabilirsiniz :­

(bir + 1) ² = (bir + 1) x (bir + 1)

(bir + 1) x (bir + 1) = bir ² + 2a + 1 ²

Bizim durumumuzda (31 ² ) a = 30.

30'un karesini alırsak 900'ü buluruz. Sonra a'yı formül gereği ikiye katlarız ve 60'ı buluruz. 1'in karesini almamıza gerek yoktur çünkü bir, kendisiyle ne kadar çarparsak çarpalım bir olarak kalır .

Bu formülün faydası, çarpma işlemini basit bir diziye dönüştürmesi ve ­zihinsel hesaplamalar yapmanızı sağlamasıdır.

2.      9 ile biten sayıların karesini alma

9 ile biten sayıların karesini alırken, 1 ile biten sayılarla aynı formülü kullanırız ­, ancak 1 yerine -1 kullanırız.

Örnek:

292'yi hesaplamak için 29'u 30'a yuvarlayın ­^{. 30'un karesi} 900'dür. Şimdi 60'ı elde etmek için 30'u ikiye katlayın ve bu sayıyı önceki sonuçtan çıkarın.

900 - 60 = 840

Şimdi 1 ekleyelim.

840 + 1 = 841

Standart formül şöyle görünür: (a + 1) x (a + 1). Bu durumda birim eksi işaretiyle alınır, bu nedenle şunu yazarız:

(bir - 1) x (bir - 1)

Parantezleri genişleterek şunu elde ederiz:

bir ² - 2a + 1

29 ^2'yi hesaplarken yaptığımız şeyin aynısıdır .

a = 30 olduğunu hatırlayın. 30'un karesini alıyoruz ve 900 elde ediyoruz . Bu sefer 2a'yı (60) 900'den çıkararak 840 elde ediyoruz . ­ekliyoruz ve sonuç olarak nihai cevabı alıyoruz: 841.

Bu yaklaşım, bir sütunla standart çarpma işleminden daha basittir.

Tutar ve paç^cTü npîöen

Bahsedeceğim kavram, ­ilkokulda yaptığım bir gözleme dayanıyor. Kesirleri toplamak ve farklarını hesaplamak için ­en küçük ortak paydayı bulmanız gerekmez.

Kesirlerin paydalarını çarparsak ortak bir payda elde ederiz. Daha sonra, isterseniz, daha küçük bir ortak payda ­, hatta en küçük olanı elde etmek için kesri azaltabilirsiniz . ­Kesri azaltmazsanız, sayılarınız ­biraz daha zor olabilir, ancak yine de doğru cevabı alırsınız.

Basit bir örnek verelim:

1

2-

+41-

istenen kesrin (8) paydasını alıyoruz . ­Şimdi paydaları ekleyin ve istenen kesrin (6) payını alın.

6

Cevap: - .

8

3

4-

Hem pay hem de payda 2'ye bölünebildiğinden, bu kesrin 2'ye bölünebileceğini görüyoruz.

Bu durumda, en küçük ortak payda 4'tür. Her iki yöntem de bir cevap almak için iyidir.

Çocuklara en küçük ortak payda kavramını ancak benim yöntemime göre kesirleri toplama ve çıkarma konusunda yeterince emin olduklarından emin olduktan sonra tanıtırım.

Ek D

Dokuzlar atmanın yolu nasıl açıklanır? Bir sayının rakamları neden 9'a bölündüğünde kalanını veriyor?

Ve işte sır.

9, 10 eksi 1'e eşittir. Sayıda bulunan her onluk için, bir dokuz ve kalan 1 alırsınız. Sayı iki onluk (20) içeriyorsa, iki 9 ve kalan 2 alırsınız. 30, üç 9 ve bir kalan 3

ve 2, yani iki birimden oluşur . 9'un ­kalanını bulduğumuzda ­, 30 olması durumunda üç 9 ve kalan 3 elde ederiz. 32'deki iki 1'in kendisi 9'un kalanıdır, çünkü 2 9'a bölünemez. 30'dan kalan 3'ü aktarıyoruz ve kalan 2'ye ekliyoruz.

3 + 2 = 5

Yani 5, 32'nin 9'a bölümünden kalandır.

Sayıdaki her yüz için on dokuz ve kalan 10 olur. 9'a da bölünür ve kalan 1'dir. Sonuç olarak her yüz için kalan 1'dir ­. 300 sayısı 9'a bölümünden kalan 3'tür.

Aksi takdirde, bu özelliğe şu şekilde bakabilirsiniz ­:

1 X 9 = 9 (10 - 1)

11 X 9 = 99 (100 - 1)

111 X 9 = 999 (1000 - 1)

1111 X 9 = 9999 (10000 - 1)

Başka bir deyişle, sayının herhangi bir basamağında bulunan her birim, ­kalanın bir birimine karşılık gelir.

Örneğin 32145 sayısında 3 sayısı on binleri temsil eder - her on binler için kalan 1 olur. Bu durumda toplam kalan 3 olur. 2 sayısı binleri temsil eder. Her bin için kalan 1 olacaktır. Aynı şey yüzler ve onlar için de söylenebilir. 9 olmadığı sürece, birler basamağının kendisi bir kalandır. İkinci durumda, basitçe 9'u atarız .­

ki, cevapları ve 9'a bölünebilirliği kontrol etmek için başarıyla kullanılabilir .­

Ek E

İlkokulda, ­kenarları fit veya inç olarak ifade edilen dikdörtgen şekillerin alanını hesaplamak zorundaydık. Bize öğretilen yöntem, her şeyi aynı ölçüye (bu durumda inç) indirgemek ve sonra çarpmaktı.

Örneğin, kenarları 3'5" ve 7'1" olan bir bahçe arsasının alanını bulmamız gerekirse ­, kenar uzunluklarını inç'e çevirip çarpar ve sonucu 144'e böleriz. tamsayı kısmında ayak kare , kalan kısımda inç kare olsun.­

Ancak çok daha kolay bir yol var.

Bunu cebir dersinde gördük ama ­pratikte nasıl uygulayacağımız bize söylenmedi.

Doğrudan çarpma yöntemini kullanarak 3'5" ile 7'1"i çarpalım.

Öncelikle ayakları f harfi ile gösterelim . 3 fit 5 inç ile 7 fit 1 inç'in çarpımını şu şekilde yazıyoruz :­

(3f + 5) X (7f +1)

Şöyle yazalım:

3f + 5
X 7f + 1

Bölüm 22'de tanıtılan doğrudan çarpma yöntemini kullanıyoruz ­.

3f'yi 7f ile çarparız ve 21f ^{2 elde ederiz.} (21 fit ­kare).

Şimdi çapraz olarak çarpıyoruz:

3f X 1 = 3f , poyus 7f X 5 =
35f _ _ _ _ _

Şimdiye kadar cevabımız 21f ² + 38f.

Şimdi inçleri çarpalım.

5 X 1 = 5 (5 inç )

Cevabımız: 21f ² + 38f + 5.

Başka bir deyişle, sonucumuz 21 fit kare artı 38 fit bölü inç artı 5 inç karedir. (İnç başına 38 fit, bir kenarı 1 fit ve diğer 1 inç olan 38 dikdörtgen anlamına gelir. Bu dikdörtgenlerden 12 tanesi ­yan yana ­1 fit karelik bir alan verir.) 38f'yi 12'ye bölün ve 3 fit kare daha elde edin, 24 fit kare vermek için 21 fit kareye kadar ekleyin.

Kalan 2 fit/inç'i 12 ile çarpın ve bunları inç kareye dönüştürün:

2x12 = 24

5 + 24 = 29 inç

Son cevabımız 24 fit kare ve 29 inç kare.

Bu, bu tür sorunları çözmenin çok daha basit bir yoludur ­. Metrik birimlerde ölçülmeyen herhangi bir miktarı çarpmak için kullanılabilir.

Aşağıdaki örnekleri kendi başınıza çözmeye çalışın ­:

а)      2 fit 7 inç x 5 $yroâ 2 inç =

б)      3 ft 5 inç X 7 ft 1 inç =

npmî ; xewe e .

Yanıtlar:

a)      13 Kâaflpamûix $ yıl

b)      24 Kâappa™ûix ayak 29 ^adrat praÜMîâ

Nasıl gidiyor? Bu sefer kalem ve kağıt olmadan tekrar çözmeyi deneyin. Bak, bir dahi gibi düşünüyorsun! Bu çabaya değdi.

Ek G

öğrencilerime matematik sevgisini nasıl aşılamayı başardığım soruluyor ? ­Ve aslında neden ondan hoşlanmıyorlar?

Matematik oyunları sorunun olası bir cevabı mı? Öğrencileri mümkün olduğunca yarışmalara ve olimpiyatlara dahil etmek gerekli midir ? Elbette, ­her öğrencinin katıldığı oyunlar ve yarışmalar düzenleyerek sınıfta çalışmayı teşvik eden öğretmenler tanıyorum . ­Ancak çocuk ­hesaplamalarda güçlük çekiyorsa bu tür etkinlikler ­çocuğun matematiksel gelişimini frenleyebilir.

Her şeyden önce, ­insanların genellikle "matematiği sevmediklerini ­" söylemelerinin ana nedeninin, matematiği kendi başlarına sevmemeleri değil, başarısız olmayı sevmemeleri olduğunu düşünüyorum. Matematiği çok zor bir şey olarak görüyorlar ­, tabiri caizse "ortalama beyinler için değil." Hangi sporu yapmaktan hoşlanırsın ­? Genellikle diğerleri kadar iyi yapabileceğiniz bir şey.

matematiksel yeteneği zeka ile eş tutma eğilimindedir . ­Matematikte iyiysen zekisin demektir. Matematikte zayıfsanız, bu nedenle size zeki demek zordur ­. Okuldaki çocuklar 292'ye sadece bu şekilde bakmıyor.

ama bu kriteri kendilerine de uyguluyorlar. Hiç kimse ­, özellikle de tüm sınıfın önünde tahtada dururken, yeterince zeki olmadığını hissetmekten hoşlanmaz.

Öğrencilere matematikten zevk almanın en kesin yolu, onlara başarılı olma fırsatı vermektir ­. Yöntemlerimin amacı budur: ­Daha dün matematik problemlerinde güçlük çekenlerin ­bugün onları büyük bir başarıyla çözmeye başlamasını sağlamak. Bir öğrenciye "Yapabilirsin" demekle ­onu buna inandırmak tamamen başka bir şeydir.

Hepimiz başarılı olmak istiyoruz. Ders sırasında çocuklara 10 dakikada hangi problemleri çözebileceklerini sık sık anlatırım. Sonra onlara bunu nasıl yapacaklarını öğretiyorum ve çok şaşırarak birkaç dakika içinde kendi kendilerine yeni problemler çözdüklerini görüyorlar. Aniden, görünürde hiçbir sebep yokken, gerçek dahiler gibi matematik problemlerini çözmeye başlarlar. Genellikle çocuklar ­kendi başarılarına o kadar kapılırlar ki onlardan onlara daha fazla örnek vermelerini isterler. Sonra ­eve gelirler ve ­anne babalarına okulda neler başardıklarını ve şimdi neler yapabileceklerini heyecanla anlatırlar ­. Çocuklar yeni becerilerini mümkün olan en kısa sürede göstermek için can atıyorlar. Ayrıca arkadaşlarına yeni bilgi işlem yöntemleri öğretmek için acele ediyorlar.

Riski ortadan kaldırın

Her zaman yeni bir sınıftaki öğrencilere matematikteki mevcut ilerlemelerinin ne olduğu umrumda olmadığını söylerim, çünkü onlara baştan sona tüm süreci gösterdikten sonra her biri birer dahi gibi problemleri çözecektir.

x 8'in çarpımını nasıl hesaplayacaklarını göstermek gibi ilk örnekleri onlarla birlikte incelerken, isterlerse parmaklarıyla sayabileceklerini söylüyorum. İstersen, ayakkabılarını ve çoraplarını çıkarıp ayak parmaklarına güvenebilirsin, alınmayacağımı söylüyorum onlara ­. Her neyse, daha fazlasını söylüyorum, birkaç gün içinde hesaplamaların temellerinde ustalaşacaksınız ve parmaklarınızı saymak uzun sürmeyecek.

Çocuklarıma çözmeleri için birçok kolay problem veriyorum ama aynı zamanda 96x97 ürünü gibi gurur duyacakları "yeni zirvelere" ulaşmalarını hedefliyorum.Öğrenciler temel sayma ­tekniklerini bilmeseler bile , Onlara öğrettiğim yöntemlerde deneyim kazanır kazanmaz bu konularda çok çabuk ustalaşın .­

Çocuklarınızın ilerlemesini izlerken, onlara dikkate değer bir ilerleme kaydettiklerini söylemeyi unutmayın. Teşvik sözlerini doğal tutmaya çalışın . ­Bu kitapta ana hatları verilen yöntemlerde ustalaşma ve bunları kullanma söz konusu olduğunda, bir çocuğu her zaman övecek bir şeyler vardır ­. Örneğin:

•     "Birçok liseli çocuk ­senin yaptığını nasıl yapacağını bilmiyor."

•     “Bunu kafanda çözebilir misin? İnanılmaz!"

•     Bu sabah öğrendiklerini incelemenin ­eskiden üç hafta sürdüğünü biliyor muydun?"

•     "Bunu çözebileceğini 10 dakika önce düşünebilir miydin?"

Tüm sınıfa ve her bir ­çocuğa onlarla gurur duyduğunuzu, harika bir iş çıkardıklarını ­ve sınıflarının şimdiye kadar öğrettiklerinizin en iyilerinden biri olduğunu söyleyin. Ama ölçüyü koru. Övgülerinizde samimi olmayı bıraktığınız ­anda çocuklar ­bunu hemen hissedeceklerdir.

Âflîx^ânflÜTe çocuk hikayeleri

Öğrencilere olağanüstü sonuçlar elde etmiş matematikçiler hakkında gerçek hikayeler anlatın. Zihinsel olarak inanılmaz bir ­hızla hesap yapabilen insanlarla ilgili hikayeler, Tesla, Gauss, Newton, Neumann gibi matematikçilerle ilgili hikayeler. Çocuklara ilham verecek birçok hikaye var. Mağaza raflarında veya internette ilgili literatürü arayın .­

Çocuklarım dersten sonra yanıma gelir ve ­"Gerçekten bir sonraki Einstein olabileceğime inanıyor musun?"

ve anlatacak bir hikayesi olan ­birini tanıyorsanız , o kişiyi ­çocuklara ders vermesi için okulunuza davet edin.

Ya da kendin ol. Bu kitaptaki yöntemleri nasıl keşfettiğinizde bile, her zaman söyleyecek bir şeyiniz olur . ­Hepimizin örnek alabileceğimiz kahramanlara ihtiyacı var. Neden matematikte önemli şeyler yapmış ya da yapmakta olan çocuklara kahramanlar sunmuyorsunuz ?­

Öğrencilere bilgi işlem zevki aşılamak için basit oyunlar sunun. Çeşitli zorluk seviyelerinde bulmacalar ayarlayın . ­Aynı zamanda, sınıftaki herkesin önerdiğiniz problemlerden en azından bazılarını çözebilmesini sağlamaya çalışın. ­Çocuklara bunları nasıl çözeceklerini öğretin.

Yalnızca sorunları sunmakla kalmayan, aynı zamanda bunların nasıl çözüleceğine dair net açıklamalar da sunan bulmaca kitaplarını arayın.

Daha fazla matematik sorusu sorun. Çocuklara günlük yaşamda matematiğin kullanımı ile tanıştırın ­. Bir öğrenci matematiği kullandığında ­veya bir şey için matematik becerilerine ihtiyaç duyduğunda ­, dikkatlerini matematiğin anlamına çekin. Matematiksel bilgi gerektiren sorular sorun . ­Örneğin ­:

•     “Bunlardan hangisi daha ucuz? Ne kadar?"

•     "Ne kadar ileri gitmemiz gerekiyor? Ortalama hızımız neydi? Şimdiki hızımızda ilerlemeye devam edersek daha ne kadar gitmemiz gerekiyor ­?”

•     “Hangisi daha ucuz olacak: dördümüz araba ile mi yoksa trenle mi? Peki uçakta?

•     ulaşmak için ne kadar benzin kullanacağız?

___________ ? Ne kadar?"

•     "Bir ay boyunca bir atı/midilliyi beslemek bize ne kadara mal olur?"

•     "Sınıfta şu anda kaç kişi var?"

•     "Buradaki herkes aynı masada üç kişi otursa, kaç kişiye ihtiyaç duyulur?"

•     “Her öğrenciye 10 kitap verilse, tüm sınıfa dağıtmak için kaç kitap gerekir?”

•     “Kitapların üçte biri sular altında kaldıysa, kaç kitap zarar gördü? Kaç kişi hayatta kaldı? Kitap başına 23 dolarla, hasarlı kitapları değiştirmek için ne kadar para ödemeniz gerekir ?­

Öğrencilere bir soru listesi vermek yerine, onları sınıf konuşmalarınızın ayrılmaz bir parçası yapın. Sınıfla ilgili problemler bul. Öğrencileri ­kendi yapbozlarını sınıfa getirmeye teşvik edin.

ÇacTaâMTü yne^Kîâ nîâepMTü kendinde nasıl olabilir ?

1.     Önerilen görevin kendilerine bağlı olduğu konusunda onlara güvence verin.

2.      Onlara bununla nasıl başa çıkabileceklerini gösterin.

3.      Öğrenci çalışmalarını organize edin.

4.      Gerekirse öğrencilerle sorunu çözün.

5.   Onlara şimdi karar verebilirlerse tekrar karar verebileceklerini söyleyin.

6.   Hayal güçlerini ateşleyin. Kendilerini herhangi bir sorunu çözebilecekleri bir durumda hayal etmeleri ­için onları teşvik edin ­. Eğer olsaydı nasıl olurdu? .. Düşünün ki ...

7.   Başarılı insanların hikayelerini onlarla paylaşın ­. Çocuklara ilham verin.

Ek H

1.   Yapabileceğiniz inancıyla çalışın _ sorunu çöz ondan sonra karar verirsin o.

O zaman en azından onu çözmeye başlayacaksın .

2.      Sayıları basitleştirin.

nasıl çözeceğinizi görün . (Ya sorun 47,36 dolar yerine 100 dolar ya da 1 dolar olsaydı ?) Sayıları sadeleştirmek çoğu zaman sorunun doğru çözümünü ortaya çıkarır . "Açık" sorunu nasıl çözdüğünüzü hatırlayın ve "daha zor" olana uygulayın .

3.      Problemleri geriye doğru çözün .

Cevaptan geriye doğru çalışın ve çözümün ilerleyişini takip edin. Bu ­yaklaşımı 2. paragrafta açıklananla birleştirmek genellikle mümkündür .

4.      Uçları kullanın - milyonlar veya sıfır.

Bazen yöntemin özünü ortaya çıkarmaya yardımcı olur.

5.      Bir diyagram çizin.

Şemalar, sorunun durumunu daha net hale getirmeye yardımcı olur.

6.      Durumu tersine çevirin.

Tam tersi olsaydı ne olurdu?

7.      Başlayın ve elinizden geleni yapın.

Bir sorunun cevabını bulmakla hiçbir ilgisi yokmuş gibi görünse bile harekete geçmek genellikle sizi doğru yola sokar.

Yaptığınız belirli bir hareketin ­sorunu çözmenin önemli bir parçası olduğu ortaya çıkabilir.

8.      Analojiler arayın.

Bu görev zaten bildiğiniz herhangi bir şeye benziyor mu?

9.      Sorunda açıklanan durumu açıkça hayal edin ­.

Koşulda açıklanan durumu canlı bir şekilde hayal ederseniz, bazı mantıksal problemler en iyi şekilde çözülür.

10.      Başka fikir yok - başa dönün.

Sorunun durumundan ne bildiğinizi kendinize bir kez daha sorun.

11.   Kavramları değiştirin veya başkalarını kullanın. Söz konusu durumun sizde uyandırdığı duygusal tepkiyi değiştirmeye çalışın.

Örneğin, kişisel olarak sizinle, Çin'le, İzlanda'yla, annenizle ilgili olsaydı ne olurdu?

12.     Bu sorunu çözebilseydiniz ne yapardınız?

En azından bir şeyler yapıyor olurdun - o yüzden öylece oturma. Bir şey yap!

13.      Bağımlılıklara bakın.

Kendinize sorun: bu artarsa, bu da artacak mı? Tüm bunlara farklı bir bakış açısıyla nasıl bakabilirsiniz?

14.     Deneme ve hata.

Bu yöntem genellikle göz ardı edilir. Bu, genellikle bir çözüm bulmanızı sağlayan tamamen meşru bir yaklaşımdır.

15.      Her türlü seçeneği ve fikri göz önünde bulundurun.

veya bu fikri çözerken şu veya bu hareketi terk etmek için acele etmeyin .­

16.      Soruda ne sorulduğunu anlayın.

soru nasıl Sorunu doğru anladım mı?

Boşaltma ağırlığı. Bir sayıdaki bir basamağı konumuna göre çarpmak için ­10'un karşılık gelen kuvveti . _ Örneğin 34, 3 rakamının ağırlığı üç on, 4 rakamı ise dört olan iki basamaklı bir sayıdır .

çıkar. Başka bir sayıdan çıkarılacak bir sayı.

Kâr payı. Başka bir sayıya bölündüğünde bölme sonucunu veren bir sayı.

Bölücü Bir bölme işleminde bölünenin bölündüğü sayı.

Payda. Kesir çubuğunun altına yazılan sayı.

Kare. Bir sayının kendisi ile çarpımı. Örneğin ­, 7'nin (7 ² ) karesi 49'dur.

Kare kök. a'nın karekökü — herhangi bir sayı x ( Vâ ile gösterilir) karesi a olan ( x ² = bir ). Örneğin, 16'nın (n/16) karekökü 4'tür ­(çünkü 4 ² = 16).

Devamlı. Devamlı. Örneğin, 3.14159'a eşit olan p ("pi") sayısı ...

Çarpılan. Başka bir sayının çarpıldığı sayı.

Sayı çarpanı. Çarpımları verilen sayıya eşit olan iki veya daha fazla tam sayıdan biri. 6 sayısının çarpanları 2 ve 3'tür.­

Faktör. Başka bir sayı ile çarpılan bir sayı.

Uygunsuz kesir. Payın paydadan büyük ­olduğu kesir .

Ortak payda. Hesaplamada yer alan iki veya daha fazla ortak kesrin ­paydalarının katı olan bir sayı .

üs. Sayının sağ üst köşesine küçük harflerle yazılan ve verilen sayının kendisi ile kaç kez çarpılması gerektiğini gösteren sayı . ­3 ^2, 3'ü iki kez çarpmak anlamına gelir (3, üssün tabanı ve 2, üssüdür). 6 4, 6 x 6 x 6 x 6 anlamına gelir.

İş. İki veya daha fazla sayıyı çarpmanın sonucu. (Çarpma probleminin cevabı.)

Fark. Bir sayıyı diğerinden çıkarmanın sonucu ­. (Çıkarma probleminin cevabı.)

Terim. Eklenecek iki veya daha fazla sayıdan biri .­

Karışık numara. Bir tam sayı ile bir kesrin toplamı olan sayı.

toplam İki veya daha fazla sayı toplamanın sonucu. (Toplama probleminin cevabı.)

Eksi. Kendisinden başka bir sayının çıkarıldığı sayı.

Sayı. 0'dan 9'a kadar diğer tüm sayıları oluşturan sayılardan herhangi biri. Örneğin 34 iki basamaklı bir sayıdır. (Ayrıca bkz . Rakam Ağırlığı .)

Özel. Bir sayıyı diğerine bölmenin sonucu. (Bölme probleminin cevabı.)

pay. Kesir çubuğunun üzerinde yazılan sayı.

Sayı. 10349 veya 12831 gibi herhangi bir sayı kombinasyonu.

Sözlük

Aritmetik hesaplamaların temel terimleri

23 Dönem 14 Dönem 37 Miktar 123 Çarpan 3 çarpanı 369 Yapıt

654 Küçültücü 142 Çıkarılan 512 Fark , 385 Bölünebilir '11 Bölücü 35 Özel

 

---

[*] Yakov Trakhtenberg (1888-1953) - kendi adını taşıyan hızlı zihinsel sayma için bir sistem oluşturan Odessa yerlisi bir matematikçi. 1950'de Zürih'te Matematik Enstitüsü'nü kurdu - ­Yaklaşık . çev .

[†]ondalık noktadan sonra istenen herhangi bir basamak sayısı olarak temsilidir . ­Örneğin: 3.14566780808. — Yaklaşık. çev .

[3]3 4

4 75 1 4 2 7 2 56

[5]

Bir sonraki çalışma sayımız 25'tir.

İlki hariç cevap rakamlarıyla çapraz çarpma yapıyoruz :­

4X3 = 12

12 × 2=24

Çalışan sayıdan (25) 24 çıkarıyoruz ve ­sonuç 1 oluyor.1'i 4'e bölüyoruz.Kalan 1 olan cevapta 0 alıyoruz.1'i son haneye aktarıyoruz. Şimdi çalışan sayımız 16.

[6]

a) - - +- -

c) - ₄ - +- ₅ -

[9]X 5 \u003d 10 (çiyoiteoy)

7 X 4 = 28 (ç^ame^ateeöü)

Hem pay hem de payda ­çift sayılardır, bu yüzden onları şuna bölebiliriz:

[12]

2, son cevap olarak alma - ₁ - ₄ - .

Not: Bazen Büyük Dosyaları tarayıcı açmayabilir...İndirerek okumaya Çalışınız.

Benzer Yazılar