Şifrelerin Matematiği KRİPTOGRAFİ

Bunlarada Bakarsınız

Yazının icadından günümüze, insanlar haberleşmelerinde gizliliği her zaman ön planda tutmuşlardır. Gizli haberleşmenin ortaya çıktığı ilk yıllarda şifreleme kağıt kalemle yapılan tekniklere dayanıyordu; ancak teknolojinin gelişimine bağlı olarak, özellikle 1970’lerde büyük değişim geçiren kriptografi, günümüzde disiplinlerarası bir bilim halini almıştır. Dünyada kriptografi alanında eğitim ve araştırmaya yönelik ilk ders kitapları 1987 yılında çıktı. Ülkemizde ise bu alanda ilk dersler, ODTÜ Matematik Bölümü lisans eğitiminde seçmeli dersler olarak 1990’lı yılların başlarında verilmeye başlandı. Daha sonra ODTÜ Matematik Bölümü ve TÜBİTAK Marmara Araştırma Merkezi (MAM) Temel Bilimler grubu ortak çalışmalara başladı. Bu çalışmaların sonucunda, ülkemizde kriptografi alanındaki akademik çalışmalar MAM’da da başlatılmış oldu. Burada edinilen bilgi birikiminin MAM Elektrik-Elektronik Bölümünde projelendirilmesi ve uygulama alanlarının hayata geçirilmesiyle TÜBİTAK Ulusal Elektronik ve Kriptoloji Araştırma Enstitüsü (UEKAE)’nün temeli atıldı. Böylece UEKAE, 1995 yılında ülkemizde bu konuda faaliyet gösteren ilk araştırma merkezi olarak kuruldu. Daha sonra bu alanda gelişmeler devam etti ve son olarak ODTÜ Uygulamalı Matematik Enstitüsü (UME) bünyesinde 2002 yılında Kriptografi Bölümü açıldı. Bu bölüm, ülkemizde, alanında ilk ve tek olarak lisansüstü eğitim vermektedir. UME Kriptografi Bölümü’nde yüksek lisans ve doktora düzeyinde eğitim alanlar; matematik, fizik ve istatistik gibi temel bilimlerin yanı sıra elektrik-elektronik ve bilgisayar mühendisliği gibi farklı altyapılardan gelmekte ve disiplinlerin buluştuğu bu dalda araştırma faaliyetlerini sürdürmektedirler.

Orta Doğu Teknik Üniversitesi’nin 50. kuruluş yılı nedeniyle hazırlanan bu kitap, kriptografi alanında temel düzeyde yazılan ilk Türkçe kaynaktır. Üniversitemizin köklü geçmişini ve bilimsel anlamdaki etkinliğini temel alarak enstitümüzün bu konudaki bilgi birikimini ve deneyimini kolay anlaşılır bir dille bu konuyla ilgilenen insanlara aktarması da bu anlamda bir ilktir. Kitabın hazırlanmasındaki amaç, günümüz insanına bu konuda profesyonel düzeyde olmasa bile bilgi güvenliğinin gereksinimlerini anlatabilmek ve güvenli bilgi paylaşımında kullanılan kriptografi hakkında yeterli tanıtımı yapabilmektir.

Son dönemlerde filmler ve kitaplar sayesinde popülaritesi artan kriptografi, hâlâ birçok insan için bilinmezliğini koruyor. Oysaki tarihten günümüze haberleşmelerimizde gizliliği sağlayan, kralların, kraliçelerin ölümüne sebep olan, savaşların seyrini değiştiren kriptografi çok önemli, fakat bir o kadar da gizli bir bilim olmuştur.

Bu kitapla, tarihsel süreçte kriptografinin nasıl geliştiği, günümüzde ne düzeyde olduğu ve gelecekte de gelişen teknolojiyle birlikte nasıl bir yöne gideceği anlatılmaya çalışılmıştır. Ayrıca kitap hazırlanırken bu konuyla ilgilenenler ve daha fazla bilgi edinmek isteyenler göz önüne alınmıştır. Bu nedenle olabildiğince az teknik bilgiye yer verilmiş ve kriptografide kullanılan temel şifreleme algoritmalarının tasarımından çok, nerede ve nasıl kullanıldığı konularından söz edilmiştir. Gerekli temel matematik bilgileri de kitap sonuna koyulan ek kısmında anlaşılır bir dille verilmiştir.

Kitapta söz edilen şifreler, yazıldığı dönemlerde çok gizli haberler taşımış, çok önemli ve tarihi sonuçların ortaya çıkmasını sağlamıştır. O dönemlerde gizli tutulan bu şifrelerin zaman geçtikçe ortaya çıkması ve sır perdesinin aralanması bu konuyu daha da ilgi çekici ve gizemli kılmaktadır. Okuyucunun da konudan bizler gibi keyif almasını ve kitabı zevkle okumasını ümit umuyoruz.

Kısa sürede hazırlanan bu kitabımızda mutlaka gözden kaçan hatalar olmuştur. Bunların tarafımıza iletilmesi ile gelecek baskılarda daha faydalı olunmasına çalışılacaktır. Kitap ile ilgili eleştiri ve önerilerinizi de yine aynı açıklıkla bekliyoruz.

Hazırlayanlar:
Canan ÇİMEN -Sedat AKLEYLEK- Ersan AKYILDIZ

Sh:1-3

TARİH BOYUNCA ŞİFRELEME VE GİZLİ HABERLEŞME YÖNTEMLERİ

Yazının icadı insanlık tarihinin başlangıcı olarak kabul edilir. Yazıyla birlikte bilgi toplanabilir, saklanabilir ve iletilebilir hale gelmiştir. Yazı insanlar arasındaki iletişimi kolaylaştırmıştır. Başlangıçta insanlar yazdıklarını meraklı gözlerden saklama ihtiyacı hissetmemiş, fakat zamanla toplumlar arasında çıkan çekişmeler sebebiyle haberleşmenin gizli yapılması gerekliliği ortaya çıkmıştır. Milattan önceki dönemlerden ele geçen kalıntılarda ortaya çıkan birtakım anlamsız semboller gizli yazı tarihinin o dönemlere dayandığını göstermektedir. Kripto tarihçisi David Kahna göre ilk kriptografik belge yaklaşık olarak M.Ö. 1900 yılında yazıldığı tahmin edilen bir hiyerogliftir. Bu yazıt bir lordun hayatını anlatmaktadır.

Aynı şekilde, M.Ö. 1500 yılına ait olduğu düşünülen bir Mezopotamya tabletinde çömleklerin cilalanması hakkındaki bilgilerin şifrelenmiş olarak bulunduğu anlaşılmıştır. Daha sonraları, M.Ö. 600-500 yılları arasında yazılmış olan ve Eski Ahit’te de yer alan İbrani peygamber Yeremya (Jeremiah)’nın kehanet ve uyarılarında bazı şifreli kelimelere rastlanmıştır. O dönemde yaşanan Babil saldırısını önceden haber veren Yeremya peygamber, yazılarında ATBASH adı verilen bir şifre sistemini kullanmıştır. Sistem şu şekildedir: İbranice alfabesindeki ilk harf sondan birinci harfle, ikinci harf sondan İkinciyle, üçüncü sondan üçüncüyle olacak şekilde tüm alfabe kendi içinde bu kurala göre yer değiştirir. Örneğin Yeremya, kehanetlerinde Babel (Babil) yerine İbranice alfabeye göre şifrelenmiş “Sheshach” kelimesini kullanmıştır. ATBASH şifresini Türkçe alfabeye göre uyarlayacak olursak “A”, “Z” ile “B”, “Y” ile “C”, “V” ile şeklinde tüm alfabedeki harfler yer değiştirir. Şimdi “BABİL” kelimesini Türkçe’ye göre şifreleyelim: “B”,”Y” ile, “A”,”Z” ile, “İ’V’O” ile değişir ve “L” ortadaki harf olduğu için değişmeden kalır. Böylece şifrelenmiş sözcük “YZYOL”dir.

Şifreleme işlemlerinde harflerin yanı sıra sayılar da kullanılmıştır. Eski çağlardan beri insanlar sayılara özel bir önem vermiş ve onlara rakamsal değerlerinin ötesinde anlamlar yüklemişlerdir. Sayılarla oluşturulan şifreleme sistemleri genelde alfabedeki harflerin yerine sayılar getirilerek yapılıyordu. Hemen her dilin alfabesindeki harflerin çok eskiden beri rakam olarak birer karşılığı bulunduğu bilinmektedir. Bunlar arasında en çok tanınanı İbrani-Süryani, Grek ve Latin harf-sayı sistemidir. Daha sonra bu sistem Arapça için de uygulanmıştır. “Ebcet hesabı” denilen ve Arap alfabesinin ebcet tertibine dayanan rakamlar ve hesap sistemi Müslüman milletler arasında halen kullanılmaktadır.

Ebcet, Arap alfabesindeki harflerin kolay öğrenilmesi için düzenlenmiş sözcüklerdir. Sekiz sözcükten oluşur. Bu sekiz sözcük içinde 28 harf bulunmaktadır. İlk dokuz harf 1-9’u, ikinci dokuz harf 10-90’ı, üçüncü dokuz harf 100-900 sayılarını ve son harf 1000’i gösterir. Ebcet hesabında harflerin sayısal değerleri Arap alfabesindeki sıraya göre değil, İbranice ve Süryanice’deki sıralamaya göredir.

EBCED TABLOSU^{^[1]}
Harfler	Küçük (Asıl) Ebced	En Küçük Ebced	Büyük Ebced	En Büyük Ebced
Elif ا	1	1	111	13
Be, Pe ب	2	2	3	611
Cim, Çim ج	3	3	53	1035
Dalد	4	4	35	278
He ه	5	5	6	705
Vav و	6	6	13	465
Ze, Je ز	7	7	8	137
Ha ح	8	8	9	606
Tı ط	9	9	10	535
Ye ى	10	10	11	575
Kef, Gef ك	20	8	101	630
Lam ل	30	6	71	1090
Mim م	40	4	90	333
Nun ن	50	2	106	760
Sin س	60	-	120	520
Ayn ع	70	10	130	192
Fe ف	80	8	81	651
Sad ص	90	6	95	590
Kaf ق	100	10	181	651
Re ر	200	8	201	502
Şın ش	300	6	360	1077
Te ت	400	4	401	320
Se ث	500	2	501	747
Hı خ	600	-	601	512
Zal ذ	700	10	701	179
Dad ض	800	8	805	653
Zı ظ	900	6	901	577
Gayn ^{^[2]} غ	1000	10	1060	111

Ebcet hesabında esas; alfabenin her harfine bir sayı değeri vermek ve bir sözcüğü oluşturan harflerin toplam sayı değerini anlatılmak istenen bir olayın tarihine denk düşürmektir. Böylece, ebcet hesabıyla belirli bir tarihi anlatan sözcüklere veya satırlara baktığımızda karşımızda herhangi bir rakam göremeyip kâğıdı, kalemi ele alıp o sözcük veya satırın her harfinin sayı değerini birbiriyle toplayarak sonucu bulmamız gerekir. Tarihte bu yöntem temel bilimlerden mimariye kadar birçok alanda kullanılmış, ayrıca şifreleme sistemleri için de esin kaynağı olmuştur. En fazla kullanıldığı yer “tarih düşürme”dir. Tarh düşürme, bir olayın tarihini verecek ustalıklı bir sözcük veya cümle söyleyerek o sözcükteki harflerin ebcet hesabıyla hesaplanıp verilen olayın tarihinin çıkarılmasıdır. Başka bir deyişi, anlatılan bir olayda kullanılan kelimelerin harfleri ebcet hesabıyla hesaplanarak o olayla ilgili bir tarih çıkarılır. Günümüzde kutsal kitaplarda tarih düşürme yapılarak birtakım olayların tarihleriyle bağlantı kurulmaya çalışılıyor.

Tarihteki ilk şifreleme örneklerine dönecek olursak, bahsedilen bu bulguların genelde sivil amaçlı kullanıldığını görmekteyiz. İlk askeri amaçlı kullanımın ise Yunanlılar tarafından M.Ö. 5. yüzyılın başlarında Skytale adını verdikleri şifrelen!', cihazı ile olduğu bilinmekledir. Skytale aynı zamanda kullanılan ilk kriplografik cihazdır. Skytale kullanarak bir mesaj şifrelemek için öncelikle uzun bir parşömen ya da papirüs, sılindirik bir sopa etrafına sarılıyordu. Gizlenecek mesaj, uzunlamasına papirüs sarılı sopa üzerine, her bir şerit turunda bir harf gelecek şekilde yazılıyordu. Şerit açılıp kaldırıldıktan sonra anlamsız harflerin oluşturduğu şifrelenmiş metin ortaya çıkıyordu. Şifre çözme işlemi için, şifrelemede kullanılan sopa İle aynı çapta ve uzunlukta bir sopaya sahip olmak gerekmekteydi. Sopanın çapındaki en ufak bir farklılık anlamsız metinlerin ortaya çıkmasına sebep olmaktaydı.

Rulo olmadan karmaşık gözüken şeritteki harfler, şerit ruloya sarıldıktan sonra anlamlı bir mesaj ortaya çıkarır.

Tarihte ortaya çıkan şifrelenmiş tabletlerin yanı sıra, o dönemleri anlatan eserlerde de gizli yazışma tekniklerinden bahsedilmiştir. Bunlardan biri, Heredotus’un yazdığına göre M.0.480 yılında Yunanlılar ve Persler arasındaki savaşta kullanılmıştır. Steganografi adı verilen bu teknik, eski Yunancada “gizlenmiş yazı” anlamına gelmekteydi. Eserde şöyle anlatılmaktadır: İran’da bulunan bir Yunanlı, Yunanlılara karşı düzenlenmesi planlanan Pers istilasını kölesinin saçını kazıtarak, kafa derisinin üzerine dövme ile yazmış ve kölesini, saçları uzadıktan sonra Atina’ya yollamıştır. İranlılar tarafından yakalanmadan Atina’ya giden köle, saçını tekrar kazıtıp mesajı iletmiş, bu sayede Yunanlılar Pers istilasına hazırlanmış ve savaşı kazanmıştır.

Steganografiyle ilgili tarihte birçok örneğe rastlanmaktadır. Yumurta üzerine cıvayla yazı yazma, yazılan mesajın bulunduğu kağıdı buruşturup ufaltıp balmumu ile kaplayarak yutma gibi daha birçok yaratıcı ve ilginç örnekler vardır. Steganografiden bir örnek de kendi tarihimizden verebiliriz. Kaynaklardan elde ettiğimiz bilgilere göre tarihimizde kriptografiden çok steganografinin kullanıldığı bilinmektedir. Kurtuluş Savaşı’nı sona erdiren Büyük Taarruz emrinin verildiği Afyonkarahisar’daki Türk istihbarat timleri çok basit bir steganografi örneğini kullanarak halk ile haberleşiyordu. Sinanpaşa ilçesi ve çevre köylerindeki düşman askerlerinden edinilen bilgileri Sandıklı’da bulunan Fahrettin Altay Paşa’ya istihbarat görevlileri ulaştırıyordu. Toplanan istihbarat bilgileri limon suyuyla kağıt üzerine yazılıyor ve mektubun düşman askerlerinin eline geçmesi durumunda boş sanılarak dikkat çekmemesi sağlanıyordu. Beyaz kağıt üzerine limon suyuyla yazılan bilgiler ateşe tutulduğunda görülür hale geliyor ve yetkili kişilerce okunabiliyordu. Limon suyuyla yazılan mektuplar, ekmekler içinde gerekli yerlere ulaştırılırken, okunduktan sonra ateşte yakılarak imha ediliyordu.

Kaynaklardan anlaşıldığı üzere kriptografi steganografinin gelişimine paralel olarak o dönemlerde ortaya çıkmıştır. Başka bir deyişle yazıyı saklamanın yeterli olmadığını anlayan insanoğlu bir de yazıyı anlamsız sözcüklere çevirmeye başlamıştır. Kriptografinin steganografiden farkı, mesajın saklanması değil, içeriğinin değiştirilerek anlamsız hale getirilmesiydi. Bu nedenle, şifrelenmiş metin ele geçirilse de mesajın açığa çıkarılması zordu. Steganografi ise gücünü tamamıyla mesajın saklanmasından almaktaydı. Eğer haberci şüphe çeker de yakalanırsa mesaj bir kerede açığa çıkmış oluyordu. Steganografinin tek avantajı ise mesajın masum görünüşlü bir ortamda saklandığından ötürü dikkat çekmiyor olmasıydı.

Tarihte iki yöntemin beraber kullanıldığı durumlar da oldu. Bunlara örnek olarak, II. Dünya Savaşı’nda kullanılan mikro nokta yöntemini verebiliriz. Alman ajanlarının kullandığı bu yöntem bir sayfalık metni şifreleyip, fotoğraf teknikleriyle çapı bir milimetre civarında bir nokta boyutuna küçültmekte ve daha sonra bu mikro noktayı görünüşte önemsiz bir mektubun son noktası üzerine gizlemekteydi. Böylelikle gizlilik iki kat pekiştirilmiş oluyordu. 1960’larda ise mor ötesi boya ile yazı yazabilen spreyler ve kalemler çıkmıştı. Bunlarla yazılan yazılar ancak mor ötesi bir ışıkta okunabiliyordu. Bu da steganografide kullanılan yöntemler arasındadır.

Günümüzde uygulandığı alanlar değişse de steganografi hala kullanılmaktadır. Özellikle bilgisayar dünyasında çok geçerlidir. Dijital ortamda bulunan fotoğraf, video, ses gibi büyük boyuttaki dosyalara herhangi bir veri saklanarak dikkat çekmeden iletilmesi sağlanmaktadır, hatta dikkat çekmesi durumunda hemen açığa çıkmaması için aynı zamanda şifrelenmektedir. Bu da günümüzde kriptografi ve steganografinin beraber kullanıldığına bir örnek olarak verilebilir. Tarihte steganografinin kriptografi kadar hızlı gelişememesinin ve daha az kullanılmasının nedeni ise bilgisayarlar ortaya çıkmadan önceki uygulama tekniklerinin kriptografi kadar bilimsel olmamasıydı. Şu anda ise bilgisayar dünyasında veri alışverişinde oldukça yaygın bir şekilde kullanılmaktadır.

Tarihte Skytaleden sonra karşımıza çıkan kriptografik örneklerden biri de Polybius’un dama tahtası şifrelemesidir. Yunanlılar tarafından M.Ö. 205-123 yılları arasında tasarlanan bu sistemde kullanılan şifreleme alfabesi Yunan ve Roma alfabesiydi. Polybius’un dama tahtası, elemanları harfler olan 5x5’lik bir matristen oluşmaktaydı. Kural şöyleydi: Alfabe sırayla matrisin sıralarına yazılır ve her harfi belirleyen iki rakam vardır; ilk rakam bulunduğu satırı, ikinci rakam bulunduğu sütunu temsil eder.

Polybius’un şifresinin Türkçe alfabe kullanılarak oluşturulan örneğinde harf sayısı nedeniyle 5x6’lık bir matris kullanılmıştır. Bu şifrenin orjinali 5x5’lik bir matristir.

http://slideplayer.biz.tr/slide/2459750/

Polybius Şifrelemesi

Kuraldan da anlaşılacağı gibi A=11, B=12,..., Z=55 olarak eşleştirebiliriz.

Bu tabloyu kullanarak “36-15-46-52-51-54-22-51-331 ı_34-l 1-33-25-34-11-46-16-34-11-46-26-32-16-35-44-4626-46-52-44-52” şifre metnini çözmeye çalışalım. Tablodan anlaşılacağı üzere “36=0”,”15=D” ve diğer sayıların da matriste karşılık geldiği harfleri bulursak aşağıdaki düzmetni elde ederiz:

“ODTÜ UYGULAMALI MATEMATİK ENSTİTÜSÜ”

Şifreleme sistemlerinde, şifrelenecek mesaja düzmetin, şifrelenmiş mesaja da şifre-metin denir. Aynı şekilde mesajın, yani düz-metnin yazılmış olduğu alfabeye düz alfabe, şifre metnin yazılacağı alfabeye de şifre alfabe denmektedir. İlkel şifreleme yöntemlerinde, düz alfabedeki harfler üstteki örnekteki gibi sayılar veya alfabedeki başka harflerle değiştirilerek şifre alfabe elde ediliyordu ve mesajları şifrelemek için bu şifre alfabeler kullanılıyordu. Basit şifreler dediğimiz, artık modern kriptografide kullanılmayan, harflerin kendi arasında yer değiştirmesiyle veya kaydırılmasıyla oluşan şifreler o dönemler için yeterli ve güvenliydi. Şimdi bu tür şifrelere birer örnek verelim:

Mesajı gönderen ve alan kişiler, şifreli mesajlaşmaya başlamadan önce aralarında kullanacakları şifre algoritmasına, yani şifreleme yöntemine karar verirler. Örneğin, Ayşe ve Barış aralarında şifreli bir şekilde mesajlaşsınlar ve mesajlaşmadan önce kullanacakları şifre algoritmasına karar versinler. Kullanacakları algoritma, mesajın harflerini sırayla önce bir üst satıra sonra bir alt satıra yazma olsun. Yazdıktan sonra da şifrelenmiş mesaj önce üst satırdaki harfleri sonra alt satırdaki harfleri yan yana getirerek ve bu iki parçayı birleştirerek oluşsun. Örneğin, Ayşe Barışa “OKULDA BULUŞALIM” mesajını göndersin:

Düzmetin : OKULDA BULUŞALIM

Algoritma : O U D B L Ş L M

K L A U U A I

Şifremetin : OUDBLŞLMKLAUUAI

Şifremetni alan Barış algoritmayı tersten uygulayarak düzmeme ulaşır. Bu algoritmanın tersi ise şöyledir: Gelen şifremetindeki harflerin sayısı ya çifttir ya da tektir. Çiftse, şifremetini tam ikiye bölüp harfleri sırasıyla bir ilk yarımdan bir de ikinci yarımdan alırız ve düzmetni elde ederiz. Tekse, yukarıdaki örnekteki gibi ilk satır İkinciden bir fazla olacaktır. Bu sebeple şifremetindeki harflerin sayısının bir eksiğini alarak elde ettiğimiz sayıyı ikiye böleriz. Çıkan sonucun bir fazlası algoritmanın ilk satırındaki harf sayısını, çıkan sonuç da ikinci satırındaki harf sayısını verecektir. Örneğimizde şifremetin 15 harf içeriyor. Bunun ilk 8 harfi ilk satırı, geriye kalan 7 harfi de ikinci satırı vermeli. Bu şekilde şifremetni ayıralım: OUDBLŞLM / KLAUUAI. Harfleri sırayla bir ilk kısımdan bir de ikinci kısımdan alırsak düzmetni elde etmiş oluruz.

Yukarıda gördüğümüz örnekte düzmetnin harflerini kendi aralarında belli bir algoritmaya göre karıştırdık. Bu şekilde oluşturulan şifrelere yer değiştirme şifreleri denir. Yer değiştirme şifreleri için bunun gibi birçok algoritma bulunabilir. Mesela, aynı örneği mesajı üç satıra yayarak yapabiliriz veya mesajın, yani düzmetnin harflerini önce baştan, sonra sondan sırayla alarak şifremetni oluşturabiliriz. Daha fazla algoritma üretmeyi okurumuza bırakalım ve konumuza kaldığımız yerden devam edelim.

Basit şifrelerin bir başka çeşidi ise yerine koyma şifreleridir. Bu yöntemde, düz alfabe, alfabedeki harflerin rastgele karıştırılmasıyla elde edilen ve her harfin tek sefer kullanıldığı şifre alfabe ile bire bir eşleştirilir. Aşağıdaki tabloda şifre alfabeyi belli bir kurala uymaksızın rastgele oluşturduk. Gördüğünüz üzere şifre alfabede, alfabedeki her harf bir kere kullanılmıştır.

Düz Alfabe

ABCÇDEFGĞHIİJKLMNOÖPRSŞTUÜVYZ

Şifre Alfabe :

SAŞZRÖÇEİJKTYONPCMHÜDVLUI GBFĞ

Örneğin, “KRİPTOGRAFİ” sözcüğünü tabloya bakarak şifreleyelim. Önce her harfi düz alfabeden bularak şifre alfabedeki karşılığını yazarız ve şifremetni elde ederiz. Bulduğumuz şifremetnimiz “ODTÜUMEDSÇT” dir. Yer değiştirme şifrelerinde düzmetnin nasıl karıştırılacağına karar veriliyordu, burada ise gönderici ve alıcının şifre alfabenin nasıl oluşturulacağı konusunda aralarında anlaşması gerekmektedir.

Yerine koyma yöntemi kullanılarak oluşturulan tüm olası şifre alfabe sayısı, mesajlaşılan dilin alfabesindeki harf sayısına bağlıdır. Mesela, Türkçe için

“29!=29-28-...*2-1=8841761993739701954543616000000”

tane farklı şifre alfabe vardır. Şifremetni ele geçiren biri, şifre alfabenin oluşturulduğu kuralı bilmiyorsa düzmetne ulaşabilmek için olası tüm şifre alfabeleri denemeliydi, fakat tarihin o dönemlerinde bu işlem ancak elle yapılabiliyordu ve bu kadar çok alfabeyi denemek bir insan ömrüne sığmayabilirdi. Bu nedenle, kullanıldığı dönemde yer değiştirme ve yerine koyma şifreleri, kırılması zor olduğu için güvenli, aynı zamanda kullanım açısından pratik olmuştur. Ancak daha sonraları çıkan bir yöntemle olası tüm şifre alfabeleri denemeden, dilin yapısal özelliklerinden faydalanarak bu tarz şifreleri çözme mümkün olmuştur. Frekans analizi denilen bu yöntemi ilerleyen satırlarda anlatacağız. Günümüzde ise bilgisayarlar sayesinde bu tür şifreler kolayca kırılabilmektedir.

O dönemlerde yerine koyma şifreleri kullanılırken, şifre alfabeler, yaptığımız örneğin aksine daha kolay akılda kalacak şekilde, yani bir kurala göre oluşturuluyordu. İki tarafın aralarında anlaşarak, mümkünse başkalarının eline geçmemesi açısından kağıda not etmeden şifre alfabe oluşturmak için bir kural belirlemeleri gerekmekteydi. Tarihte şifre alfabeyi üretebilmek için çok çeşitli teknikler geliştirilmiştir. Bunlardan biri, M.Ö. 60-50 yılları arasında Galya Savaşlarında kullanılan ve Julius Caesarın, Sezar şifresi adını verdiği şifreleme sistemidir. Bu sistem sayesinde savaş boyunca gizli haberleşme sağlanmıştır. Sezar şifresi, düz alfabe harflerinin yerlerinin kaydırılmasıyla elde edilir ve bu şekilde oluşturulan şifrelere kaydırma şifreleri denir. Bu sistemde, şifreleme işlemi düzmetinde bulunan her harfin, düz alfabede kendisinden sonra üçüncü olarak gelen harf ile yer değiştirilmesiyle yapılır. Aşağıdaki tabloyu kolaylık sağlaması açısından oluşturduk. Gördüğünüz üzere şifre alfabe, düz alfabenin üç harf sola kaydırılmış halidir.

Düz Alfabe:

ABCÇDEF GĞH I İ J KLMNOÖPR S Ş T U ÜVYZ

Şifre Alfabe:

ÇDEFGĞHIİJKL M NOÖ P R S Ş T U Ü V Y Z A B C

Bu şifreyi kullanarak mesaj göndermek isteyen bir kişi, mesajdaki her harfin yerine şifre alfabedeki karşılığını koyarak şifremetni elde eder veya tablo oluşturmadan mesajdaki her harfi üç harf sola kaydırır. Alan kişi ise aynı şekilde tablo oluşturarak şifrelenmiş metindeki her harfin üstündeki harfi alarak veya şifre metindeki her harfi 26 harf sola kaydırarak mesajını çözer. Örneğin “SEN DE Mİ BRUTUS” metnini Sezar şifresiyle şifreleyelim. Yukarıdaki tablo yardımıyla mesajdaki her harfin karşılığını tablodan bulalım. Şifre metnimiz şu şekilde olacaktır: “UĞP GĞ ÖL DTYVYU”

Anlaşılacağı üzere Sezar tarzında olan kaydırma şifrelerinin olası şifre alfabe sayıları oldukça azdır. Örneğin, Türkçe için düşünecek olursak, kaydırma şifresi 29 adet şifre alfabe ile oluşturulabilir. Başka bir deyişle Türkçe alfabe 29 kez kaydırılabilir. Bunun sebebini açıklamak için modüler aritmetiği kullanabiliriz. Şimdi Türkçe alfabeyi önce 1, sonra 2, sonra 3... ve en son 29 harf sola kaydırdığımızı düşünelim. Alfabede 29 harf olduğu için 29 kez kaydırdığımızda bize yine alfabenin kendisini verecektir ve kaydırma işlemine devam ettiğimizde bir önceki işlemlerdeki şifre alfabeler elde edilecektir. Yani, alfabeyi 30 kez kaydırmak, 1 kez kaydırmakla elde ettiğimiz alfabeyi verecek, 58 kez kaydırmak ise, yine alfabenin kendisini verecektir. Burada 29 ve katlarında alfabe başa döndüğü için toplamda 29 tane şifre alfabe vardır ve kaydırma sayısının 29 a bölümünden kalan sayı bize ilk döngüdeki kaydırma sayısını verecektir. Mesela, alfabeyi 60 harf sola kaydırmak, 60’ı 29’a bölünce 2 verdiği için, 2 harf sola kaydırmak demektir. Şifre çözme işlemi içinse algoritmanın tersi uygulanır. Elimize Sezar şifresiyle şifrelendiğini bildiğimiz bir metin geçsin. Yukarıdaki tabloyu oluşturup şifremetindeki her harfi şifre alfabeden bulup düz alfabedeki karşılığını buluruz ya da modüler aritmetik bilgimiz varsa şifre metindeki her harfi 26 harf sola kaydırıp düzmetni elde ederiz. Çünkü 3 harf sola kaydırılmış şifre alfabe 26 harf daha sola kaydırılırsa toplamda 29 harf kaydırılmış olacak ve bize düz alfabeyi verecektir. Sonuç olarak kaydırma şifrelerindeki şifreleme ve şifre çözme işlemleri modüler aritmetikte mod 29 da yani Z₂₉ yapılan toplama ve çıkarma işlemleriyle ifade edilebilir. Z₂₉ , matematikten de hatırlayacağımız üzere, elemanları {0,1,2...,28} tam sayıları olarak gösterilen bir denklik kümesidir. Her tamsayının (x∈ Z), Z₂₉’da tek bir temsili vardır ki, o da x’in 29’a bölümünden kalan sayıdır. Bu nedenle, 29 la bölününce kalanı aynı olan sayılar birbirlerine denktir. Kaydırma şifrelerinin matematiksel açıklaması ve modüler aritmetik hakkında ayrıntılı bilgi Ek 2’de verilmiştir.

Buraya kadar gördüğümüz örneklerde belirttiğimiz gibi mesajı gönderen ve alan kişi algoritma üzerinde önceden bir karara varmalı ve bunu güvenli bir şekilde saklamalıdır. Şifreleme algoritmasının kullandığı bazı özel bilgiler olmalı ve düşman algoritmayı bilse bile bu özel bilgileri bilmeden şifreyi çözememelidir. Bu özel bilgilere kriptografide “anahtar” diyoruz. Örneğin Sezar şifresini ele alalım: Şifreleme algoritmamız kaydırma yöntemi, anahtarımız ise “alfabedeki harfleri üç harf sola kaydırma”dır. Alıcı mesajı alınca anahtar bilgisini kullanarak şifremetni düzmetne çevirebilir. Şifreleme veya şifre çözme algoritması anahtar olmadan kullanılamaz. Mesela, alıcı ve gönderici, kaydırma şifresi kullanalım, diyerek kaydırma miktarını belirlemeden mesajlaşırsa alıcı tüm şifre alfabeleri denemek zorunda kalır. Bu durumda alıcının araya giren düşmandan farkı yoktur.

Şifreli haberleşmenin Çalışma Prensibi

Şifreli haberleşmenin güvenliği kullanılan yönteme ve büyük ölçüde anahtara bağlıdır. Güvenli bir sistem için olabildiğince güvenli bir algoritma ve daha da önemlisi güvenli bir anahtar tasarlanmalı ve sıkı bir şekilde korunmalıdır. Ancak bu noktada tarafların uzak olması durumunda anahtarın oluşturulma ve iletilme problemi oluşmaktadır. Anahtarın iletilmesi için de ayrı bir algoritma ve ayrı bir anahtar mı olmalıdır? Bu durumda ortaya çıkan yeni anahtarın iletilme sorunuyla ve bu şekilde sonu gelmeyen bir problemle karşı karşıya kalınmaktadır. Kriptografi zamanla bu sorunun da üstesinden gelmiş ve yeni tekniklerle bu probleme de bir çözüm üretmiştir. Anahtarın iletilme ve gizlenme yöntemlerine ileriki konularda ayrıntılı bir şekilde yer verilecektir. Şimdi konumuza kaldığımız yerden devam edelim ve ilkel şifreleme yöntemlerinde daha sonra ortaya çıkan gelişmeleri görelim.

Şifre alfabenin, düz alfabeyi kaydırarak oluşturulan kaydırma şifrelerinin daha sonraları yetersiz olduğu ve az sayıda denemeyle kırılabileceği görüldü. Bu sırada şifre alfabe oluşturma teknikleri sürekli gelişmekteydi. O dönemlerde çıkan başka bir yöntem de bir anahtar belirleyip şifre alfabeyi o anahtara göre sıralamaktı. Şimdi bunu bir örnekle açıklayalım: Kahramanlarımız Ayşe ve Barış yeni bir yöntemle haberleşmeye karar verirler. İlk olarak aralarında anlaşarak anahtar bir sözcük bulurlar. Anahtarları “MATEMATİK” olur. Bu algoritmada anahtarda birden fazla kullanılan harfler atılır, bu durumda anahtar MATEİK olacaktır. Oluşan harf grubu şifre alfabenin başına yazılır ve alfabedeki geri kalan harfler ise bu kelimenin ardından sıralanır. Böylece Ayşe ve Barış mesajlarını bu şifre alfabeye göre şifrelerler.

Düz Alfabe:

ABCÇDEFGĞHI İ J KLMNOÖ P R SŞTUÜVYZ

Şifre Alfabe:

MATE İ KBCÇDFGĞHI J LNOÖPRS ŞUÜVYZ

Bu şifrenin kriptanalizi şifre alfabenin bulunabilmesine, bu da anahtarın bilinmesine bağlıdır. Anahtarın tahmin edilmesi ise oldukça zordur. Verdiğimiz örnekte anahtar sözcüğümüz basitti ve alfabedeki son harfler düz alfabedeki aynı harflerle eşleşti. Bunu engellemek için iki tarafın zor bir sözcük veya cümlede anlaşması sistemin güvenliği açısından daha iyi olacaktır.

Şimdiye kadar anlatılan şifreleri tasarlayanların yanı sıra, bu şifrelerin zayıf yönlerini bulmaya çalışanlar da vardı. Anahtara sahip olmadan, şifrelenmiş bir mesajı deşifre etme bilimi olan kriptanaliz, ilkel şifrelerin kırılma çabalarıyla ortaya çıkmıştır. Bu basit şifre sistemlerini olası tüm şifre alfabeleri denemeden daha kolay bir yoldan çözebilmek için matematik, istatistik ve dilbilim alanlarında yeterli bilgiye sahip olmak gerekiyordu. O yıllarda, Abbasi dönemini yaşayan Araplar birçok bilim alanında ileri seviyedeydi. Aynı zamanda kriptanaliz için gerekli olan matematik, istatistik ve dilbilim alanlarında önemli çalışmalar yapılıyordu. Bu bilim dallarının gelişmiş olması kriptanalizin Araplar tarafından bulunmasını sağladı ve bu alanda ilk eserler Araplar tarafından yazıldı. Bunlardan ilki 9. yüzyılda yaşamış ve Arapların Filozofu olarak bilinen Al-Kindi’nin yazdığı “Kriptografik Mesajların Deşifresi” isimli yazıdır. Bu yazı İstanbul’da, Süleymaniye Osmanlı Arşivi’nde bulunmaktadır ve kriptanaliz üzerine yazılmış ilk makale olup frekans analizi kavramını ortaya atmıştır. Al-Kindi’nin kriptanaliz tekniğini şöyle özetleyebiliriz: Yazıldığı dili bildiğimiz şifreli bir mesajı çözmek için aynı dilde yazılmış yeterince uzun bir metin bulup her bir harfin kullanım sıklığını hesaplamak gereklidir. Metinde en sık kullanılan harf, şifreli mesajdaki en sık kullanılan harfe denk gelmektedir. Aynı işlem, sırasıyla diğer harfler için de yapılır. Bu işlem bittikten sonra mesajdaki harfler ortaya çıkmış olur. Al-Kindi, bu kriptanaliz yöntemine frekans analizi adını vermiştir. Sebebi ise bir dildeki her harfin bir kullanım sıklığı, yani frekansı vardır. Bir harfin frekansı yeterince uzun metinler seçilerek bulunur ve frekans o harfin kaç kez kullanıldığının metindeki toplam harf sayısına bölümüdür. Bu sayı küçük sapmalar gösterebilir, fakat harflerin frekanslarının kendi aralarındaki büyüklük sırası genelde değişmez.

http://tr.wikipedia.org/wiki/Kind%C3%AE

Dünyada aynı alfabenin kullanıldığı bütün dillerde her harf aynı sıklıkta kullanılmamaktadır. Örneğin, Latin alfabesini kullanan Türkçe ve İngilizceyi düşünürsek, Türkçede en çok kullanılan harf “A” iken İngilizcede “E”dir. Bu nedenle frekans analizi yapabilmek için öncelikle şifrelenmiş metnin hangi dilde yazıldığını bilmek gerekir. Hangi dilde yazıldığı biliniyorsa yapılacak şey, o dilin harflerinin frekanslarını bulmak olacaktır. Dilin harf frekansları elde edildiği zaman şifreyi çözmek uzun bir zaman almayacaktır. Şifremetinde en çok kullanılan harf, dilde en çok kullanılan harfe ya da harflerden birine karşılık gelecektir. Bu işlem şifremetinde en çok kullanılan harften en az kullanılan harfe doğru yapıldığı zaman, kriptanalizde başarılı olma olasılığı yükselir. Harflerin frekans dağılımına ek olarak sesli ve sessiz harflerin ilişkileri, İkililerin, üçlülerin bulunuş karakteristikleri ve tekrar eden durumları kullanılarak kriptanalizde başarı sağlanabilir. Bunun açıklaması ise, şifre sisteminde harflerin sadece yer değiştirmesidir. Dilin sahip olduğu özellikler değişmediği için şifre alfabedeki harfler, yerine geçtikleri düzmetiıı alfabesindeki harflerin özelliklerini alır.

Türkçemiz için oluşturulan harf frekans tablosu 6.421.357 adet harften oluşan metinler üzerinde yapılan hesaplamalar sonucunda aşağıda verilmiştir.

HARF	Binde	HARF	Binde	HARF	Binde
A	121	I	48	R	68
B	25	i	107	S	28
C	9	J	0,5	ş	16
ç	10	K	47	T	31
D	41	L	62	U	29
E	95	M	37	Ü	15
F	5	N	71	V	8
G	13	O	22	Y	31
Ğ	11	Ö	7	Z	14
H	11	P	8

Harflerin kullanım sıklıkları

Tabloyu anlamak için birkaç örnek verelim. 1000 karakterden oluşan bir metinde yaklaşık olarak 121 tane A harfi, 25 tane B harfi bulunur. Bu durum aslında çok genel bir yaklaşım olup sadece tabloyu açıklamak için verilmiştir. 1000 harflik bir metin frekans analizi için oldukça kısadır. Burada yaklaşık altı buçuk milyon harften oluşan metindeki harflerin kullanım sıklıklarını daha iyi açıklayabilmek için 1000 harflik bir metne indirgeme yapılmıştır. Tablodan görüldüğü üzere Türkçemizde en çok kullanılan sesli harfler sırasıyla “A,İ,E”, en çok kullanılan sessiz harfler ise “N,R,L,K,D”dir. Şifremetindeki herhangi bir harfin düzmetindeki “A,İ,E,N,R,L,K,D” harflerinden biri olma olasılığını tablodan bakarak bulalım: Bin harf içinde 121 tane “A”, 107 tane “I”, 95 tane “E”. ..41 tane “D” vardır.Toplamda bin harf içinde 612 tanesi bu harflerden biridir. Yani düzmetindeki bir harfin bu harflerden biri olma olasılığı 0,612’dir. Başka bir deyişle yeterince uzun bir metin aldığımızda, o metnin yarıdan fazlasının bu harfleri içerdiğini görürüz. Aynı şekilde şifremetindeki bir harfin düzmetindeki “J,F,Ö,P,V,C” harflerinden biri olma olasılığını hesaplarsak, binde 32 harf yani 0,032 buluruz. Bu da oldukça az bir orandır, çünkü bu harfler dilimizde en az kullanılan harflerdir. Bu iki işlem frekans analizine örnek verme amaçlı yapılmıştır. Frekans analizinde, bu örnekler gibi o dildeki daha birçok özelliğe bakılarak bulunan sonuçlarla şifremetindeki harfler teker teker ortaya çıkarılabilir. Ancak, sadece harflere tek tek bakarak ortaya çıkan frekans analizleri her zaman doğru sonuç vermeyebilir. Bu tip durumlarda, harf İkililerine, üçlülerine bakılmalıdır. Harf İkililerinde genelde sesli harfler sessizlerle birlikte görülür, T ve N haricindeki sessiz harflerin, sesli harfler ile birlikte olma olasılığı yüksektir. Türkçemizde en çok karşılaşılan harf İkilileri sırasıyla

“İN, AR, LA, AN, ER, İR, LE, DA, Bİ, DE, MA, KA, ÎL, AK, ME”,

harf üçlüleri sırasıyla

“LAR, ARİ, BİR, DEN, NDA, RİN, ERİ, DAN, AMA, İNİ, ADA, NDE”

dir. Bunun yanında her dilin kendine özgü birçok kuralı vardır. Örneğin, Türkçede hepimizin bildiği Büyük Ünlü Uyumu ya da Küçük Ünlü Uyumu kuralları şifrelenmiş Türkçe bir metni analiz ederken oldukça işimize yarayabilir. Sonuç olarak bir dilde frekans analizi yapabilmek için o dilin kurallarını iyi bilmek gerekmektedir.

Frekans analizinde, harflerin frekansları kısa metinler üzerinden hesaplanırsa, bulunan sonuçlar genelde frekans tablolarındaki değerlerden büyük sapmalar gösterebilir veya tablodaki harflerin kullanım sıklıkları değişebilir. Bu nedenle frekans analizleri olabildiğince uzun metinlerde yapılmalıdır. Uzun metinler veya kitaplar, frekans analizleri yapıldığında yazıldığı dilin harf frekans tablolarına, sayılarda çok az bir değişiklik olsa da sıralama olarak genelde uyar. Ancak tarihte bu kurala uymayan kitaplar da yazılmıştır. Örneğin, Fransız yazar Georges Perecin 1969 yılında yazdığı “La Disparition” adlı eserinin tamamında “e” harfi geçmemektedir. Bu kitabı İngilizceye çeviren İngiliz yazar Gilbert Adair de, çevirisinde “e” harfini hiç kullanmamıştır. Eğer Adair’ın bu 200 sayfalık çevirisi tek alfabeli yerine koyma şifresiyle şifrelenseydi, bu metnin kriptanalizi İngilizcede en çok kullanılan harf metinde geçmediği için yanıltıcı olacaktı.

Frekans analizinin keşfi tek alfabeli şifre sistemlerini güvensiz duruma getirmişti. Bu nedenle var olan sistemleri güvenli yapabilmek için çeşitli yöntemler denendi. Örneğin, şifrelenecek iletideki boşluk yerine önceden kararlaştırılan herhangi bir harf konulup, şifreleme oluşan yeni ileti üzerinde yapılıyordu.

Böylece boşluklu olmayan metnin şifrelenmesiyle sözcükler ayırt edilemiyor ve dilin yapısal özellikleri uygulanamıyordu. Fakat zamanla bu tekniği öğrenen kriptanalistler şifreli metinde en çok geçen harfi boşluk olarak değerlendirip bunun üzerinden frekans analizini uygulamaya başladılar. Bu yöntemin de deşifre edildiğini gören kriptograflar başka yöntem arayışlarına girdiler ve sonunda uzun yıllar kınlamayan ve güvenliği sağlayan bir şifre geliştirdiler. Bu şifreleme tekniğinde birden fazla şifre alfabe kullanılıyordu. Bu yüzden bu şifrelere çok alfabeli şifreler denmektedir.

Tarihte, çok alfabeli şifrelemeden ilk olarak 1518 yılında Johannes Trithemius adında bir Alman tarafından yazılan “Polygraphiae” adlı kitapta bahsedilmektedir. Esas olarak, uzun yıllar kınlamayan çok alfabeli şifreyi 1553 yılında Giovan Batista Belaso adlı bir İtalyan geliştirmiştir. O sene yayınladığı La cifra del. Sig. Giovan Batista Belaso adlı kitabında açıkladığı bu şifre daha sonraları Vigenere şifresi olarak adlandırılan şifrenin orijinal halidir. 1586’da bu şifrenin biraz daha gelişmiş şeklini tasarlayan ve sunan Fransız diplomat Blaise de Vigenere adına adanan Vigenere şifresi uzun yıllar le chiffre indechiffrable (kınlamayan şifre) olarak adlandırılmıştır. Ünlü kripto tarihçisi David Kahn The Codebreakers adlı kitabında Belaso’nun haksızlığa uğradığını ve ünlü Vigenere şifresinin bulunmasında Belaso’nun büyük payı olduğunu savunmaktadır. Peki, bu şifre neden bu kadar etkili olmuştur ve tek alfabeli sistemlerden ne gibi farklılıkları vardır? Bu şifrede düzmetindeki her bir harf ayrı bir şifre alfabeyle şifrelenir. Hangi şifre alfabenin seçileceğine anahtar sözcüğe bakıp karar verilir. Böylece düzmetindeki aynı sözcükler için farklı şifremetinler oluşur, bu da frekans analizinin basit şifrelerdeki gibi tek başına uygulanmasına engel olur. Böylece frekans analiziyle bir adım öne geçen kriptanalistler Vigenere şifresinin bulunmasıyla büyük bir yenilgi yaşamışlardır. Uzun yıllar güvenilirliğini koruyan bu şifre, 1854-1863 yılları arasında İngiliz matematikçi Charles Babbage ve Avusturya ordusunda görevli kriptograf Friedrich Kasiski tarafından kırılmıştır.

Blaise de Vigenere Charles Babbage

http://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_de_Vigen%C3%A8re

http://tr.wikipedia.org/wiki/Charles_Babbage

Şimdi Vigenere şifresini bir örnekle açıklamaya çalışalım. Şifreleme işlemi için öncelikle bir anahtar belirlememiz gerekmektedir. Anahtar olarak “ODTÜ” sözcüğünü seçelim. Anahtar sözcükteki her harf oluşturulacak şifre alfabenin ilk harfi olacaktır ve kaç adet şifre alfabe kullanılacağını gösterir. ODTÜ sözcüğü dört harf içerdiği için bizim bu örnekte kullanacağımız şifre alfabe sayısı dörttür. İlk olarak şifre alfabeleri belirleyelim ve bir tablo oluşturalım. Tablo oluşturma aşamaları sırayla şöyledir:

1. Tablodan yararlanmayı kolaylaştırmak için bir satıra düz alfabe, bir sütuna da tablonun elemanlarını belirleyecek anahtar sözcük, yani “ODTÜ” yazılır.

ABCÇDEFGĞH Iİ J KLMNOÖPRS ŞTUÜVYZ

2. Şimdi tabloyu oluşturabiliriz. Tablonun ilk satırına anahtar sözcüğün ilk harfi olan “0”’dan başlayarak alfabenin geri kalan harfleri sırayla yerleştirilir; yani “O-0-P-...-Y-Z-A...-L-M-N” şeklinde doldurulur. Aynı şekilde “D” harfinin bulunduğu satıra D’den başlayarak alfabenin geri kalanı yazılır. “T” ve “Ü” harflerinin satırları da böylelikle doldurulur. Sonuçta aşağıdaki tablo elde edilir.

Artık bu tabloyla göndermek istediğimiz iletiyi şifreleyebiliriz. İletimiz “ANKARA” sözcüğü olsun. Şifrelemeyi gerçekleştirebilmek için anahtar sözcüğü düzmetin ile eşleştirmek gerekir. Anahtar kelimemiz düzmetinden kısa olduğundan, düzmetin bitene kadar anahtar tekrarlanır.

Düzmetin: ANKARA

Anahtar : ODTÜOD

Yukarıdan da görüleceği üzere düzmetnin ilk harfi olan “A”, anahtardaki “O” harfine denk gelmektedir. Bu demektir ki “A” harfini şifrelemek için “O” harfiyle başlayan alfabeyi kullanacağız. Tablodan bakarak “A” harfinin bulunduğu sütunla “O” harfinin bulunduğu satırın kesişimindeki harf alınır: “O” ve düzmetindeki “A^,,→ “O” harfine dönüşür. Aynı şekilde “N” harfinin sütunuyla “D” harfinin satırının kesiştiği yerdeki “R” harfi şifremetinde “N” nin yerini alır. Benzer işlemler geriye kalan harfler için de tekrarlanırsa; “K” → “G”, → “A” → “Ü”, “R” → “Ğ”, “A” → “D” dönüşümleri gerçekleşir ve böylece ANKARA kelimesinden “ORGÜĞD” şifremetni elde edilir.

Aynı mesajı tek alfabeli şifre ile şifreleseydik, düzmetindeki aynı harfler şifremetindeki aynı harfe karşılık gelecekti. Yukarıdan da görüleceği üzere düzmetindeki A ’ ların hepsi şifremetinde farklı harflerle temsil edilmektedir. Düzmetindeki her “A” harfi farklı şifre alfabelerle şifrelendiği için şifremetinde de farklı harfler meydana gelmiştir. Bu örnekte anahtar dört harfli olduğu için dört farklı şifre alfabe vardır ve şifre alfabeler tekrarlanır. Başka bir deyişle, düzmetnin birinci, beşinci, dokuzuncu...gibi yani mod 4’te denk olan sayıların sırasında gelen harfler aynı şifre alfabe ile şifrelenir. Örneğimizde, ANKA’dan sonraki “R” ve “A” yine “O” ve “D” harflerine göre şifrelenmiştir.

Vigenere şifresi uygulanması basit bir şifre olmasına rağmen güvenilirliği 200 yıl kadar sürmüştür. Şifreyi kırmak için sadece frekans dağılımı yeterli değildir. Vigenere şifresinde frekanslar çok daha dengeli ve düzgün dağılmaktadır, çünkü farklı şifre alfabeler arasında gidip gelmeyi sağlayan bir anahtar sözcük kullanılır. Bundan dolayı, anahtarın boyutunun bilinmesi çok önemlidir. Anahtar boyutu bize aynı şifre alfabeye ne zaman dönüldüğünü göstermektedir. Anahtardaki harf sayısına periyot adı verilir. Yukarıda yaptığımız örnekte periyodumuz, yani anahtar uzunluğumuz dörttü. Bu örnekte daha önce de belirttiğimiz gibi her dört harfte bir şifre alfabeler tekrarlanmaktaydı. Vigenere şifresinin analizini yapan Babbage ve Kasiski’nin dikkatini çeken de bu tekrarlama olayı olmuştur. Anahtarın uzunluğu belirlenebilirse eğer, aynı şifre alfabeyle şifrelenmiş harfler belirlenip onlar üzerinden frekans analizi yapılarak birtakım ipuçları çıkarılabilirdi. Yani anahtarın uzunluğunu bulmak analiz için önemli bir adım olacaktı. Anahtar uzunluğunu bulmak içinse şifremetinde tekrarlanmış gruplar arasındaki uzaklığı hesaplamak gerekliydi. Bunu bulmak için Friedrich Kasiski bir yöntem geliştirdi. Kasiski testi denilen bu yöntemde şifreli metinde birden fazla meydana gelen üç veya daha uzunluklu harfler kümesinin düzmetinle ilişkisinin olup olmadığı kontrol edilir ve bir tekrarlama sözkonusuysa tekrarlayan şifremetinlerin arasındaki harf sayısının periyot olup olmadığına bakılır. Periyot değilse de o sayının tam bölenleri periyodu verir, bu nedenle bölenleri araştırılır. Vigenere şifresinin kriptanalizi anlaşılacağı üzere oldukça ayrıntılı ve teknik bilgi gerektiren bir konudur.

18. yüzyılın sonlarına kadar Vigenere şifresinin üstünlüğü devam etti. Fakat bu dönemde yeni sistemler de üretilmeye çalışılıyordu. 1790 yılında Thomas Jefferson, Pennyslvainia Üniversitesi matematikçilerinden Dr. Robert Patterson’un yardımıyla şu anda Jefferson Diski adıyla bildiğimiz sistemi geliştirdi. Jefferson Diski, İngiliz alfabesinin harf sayısı nedeniyle toplamda 26 diskten oluşuyordu. Her disk üzerinde alfabedeki tüm harfler rastgele biçimde yazılmıştı. Şifreleme işlemini yapmak isteyen kişi, düzmetni Jefferson diskindeki bir sırada oluşturup geri kalan sıralardan herhangi birini seçerek şifremetni elde ediyordu. Aynı özellikleri taşıyan Jefferson diski hem alıcı hem de gönderici tarafında bulunmak zorundaydı. Şifremetni alan alıcı elindeki Jefforson diskiyle şifremetni oluşturup, böylelikle geri kalan sıralardaki anlamlı metni çıkarmış oluyordu. Şifremetni ele geçiren düşmanın elinde, bu özellikteki, yani harflerin göndericinin ve alıcının diskindeki karıştırılmış şekliyle bulunan Jefferson diskinin bulunması gerekmekteydi. Başka bir deyişle, her Jefforson diski aynı değildi, bu yüzden güvenli bir sistem olmuştur ve bu şifreleme aletinin benzeri 2. Dünya Savaşı’nda Amerikan ordusu tarafından kullanılmıştır. Thomas Jefferson yaptığı bu sistem ile Amerikan Kriptografisinin babası olarak da adlandırılır.

Orijinal Jefferson Diski

http://en.wikipedia.org/wiki/Jefferson_disk

Aşağıdaki resim de bizim, Türkçe alfabeye göre oluşturduğ umuz ve dört diskten oluşan, yani sadece dört harfli ileti yazılabilen Jefferson diskinin bir örneğidir. Şimdi bu diskle bir ileti gönderelim: Göndereceğimiz mesaj ODTÜ sözcüğü olsun. Şifremetnimizi de resimde görülen bir sıradan alalım. Örneğin, ODTÜ’nün altındaki “NMLI” da şifremetnimiz olsun.

“NMLI” şifremetnini aynı diskten olan alıcıya gönderdiğimizde o da diskleri döndürerek NMLI şifresini bulup üstündeki ODTÜ iletisini görebilir.

Örnek Jefferson Diski

Disklerle yapılan şifreleme bulunduktan sonra kriptograflar bu sistemi geliştirmeye yönelik araştırmalara başladılar. 1817 yılında Colonel Decius Wadsworth üzerinde harflerin değişik numaralarla bulunduğu çarklardan oluşan bir şifreleme diski geliştirdi. Bu ve Jefferson Diski, şifrelerin disklerle oluşturulmasının ilk örnekleri olarak verilebilir. O dönemlerde farklı bir sistem olarak da 1854 yılında Charles Wheatstone’nın tasarladığı, Playfair olarak adlandırılan şifreleme yöntemini gösterebiliriz.

Wheatsone-Playfair şifresi ismini elektrikli telgrafın öncülerinden Charles Wheatsone ve Baron Lyon Playfairden alır.

Playfair şifresi ilk konularda bahsedilen Polybius’un dama tahtası sistemi gibi 5x5 Ük bir matris kullanmaktadır. Aslında bu şifreleme sistemi 26 harften oluşan İngiliz alfabesi için tasarlanmıştır ve “I”ve “J” harfleri bir arada düşünülerek 25 hücresi olan bu matrise tüm alfabe her hücreye bir harf gelecek şekilde sığmaktadır. Ancak biz bu şifrelemeyi daha iyi açıklamak için Türkçe alfabe üzerinden bir örnek yapacağız. Bu nedenle bazı hücrelere birden fazla harf yazmamız gerekmektedir. Playfair şifresinde şifreleme algoritması, düzmetindeki her bir harf çiftini başka bir harf çiftiyle değiştirir; fakat şifreleme işlemine geçmeden önce bir anahtar belirlenmesi ve o anahtara göre matrisin oluşturulması gerekmektedir. Anahtar, matrisin ilk hücresinden başlayarak, her hücreye bir harf yazılacak şekilde birinci satırdan yazılmaya başlanır. Birden fazla kullanılan harfler ilk kullanımdan sonra atılır ve ilk satıra sığmadığı takdirde ikinci satırdan devam edilir. Anahtar yazılıp, kalan hücrelere de alfabenin geri kalan harfleri sırayla yazılır. Bu örnek için anahtar sözcüğümüzü “KRİPTOGRAFİ” olarak seçelim ve birden fazla kullanılan harfleri atarak “KRİPTOGAF” olarak ilk satırdan itibaren yazalım. Türkçe alfabe kullandığımız için bazı harfler aynı hücreye yazılmıştır, bu şifrenin orjinalinde her hücrede bir harf bulunmaktadır.

Tablomuzu oluşturduktan sonra bir şifreleme örneği yapalım. Öncelikle şifrelenmek istenen ileti, harf İkililerine ayrılır. Eğer şifrelenecek mesajımız tek sayıda harften oluşuyorsa, mesajın sonuna istenilen bir harf eklenir. Şifre çözme işleminde son harfin herhangi bir önemi yoktur. Her İkilideki harfler birbirinden farklı olmalıdır.

K	R	i	P	T
O	G	A	F	B
C	C	D	E	G
H	I	J	L	M
N	O	S/Ş	U/Ü	V/Y/Z

Anahtar kelimeye göre hazırlanan tablo

Düzmetin:

“OD-TÜ-UY-GU-LA-MA-Ll-MA-TE-MATÎ-KE-NS-TÎ-TÜ-SÜ”

Şifreleme algoritmasını tabloya bakarak uygulayacağız ve şifrelemeyi ayırdığımız İkililer üzerinden yapacağız. Algoritmanın işleyişi aşağıdaki gibidir:

1. İkilideki harflerden ikisi de aynı satırda ise sağlarındaki harflerle yer değiştirirler. Mesela, örneğimizde düz metindeki “SÜ” harf İkilisi “UV” İkilisine dönüşür. Eğer harflerden biri satır sonunda olsaydı, o zaman satır başındaki harfle yer değiştirme yapılırdı. Örneğin metnimizde “SZ” İkilisi olsaydı “UN”ye dönüşecekti.

2. İkilideki harflerden ikisi de aynı sütunda ise altlarında bulunan harfler ile değiştirme yapılır. Eğer diizmetinde “AS” harf İkilisi olsaydı “Dİ” İkilisine dönüşürdü.

3. İkilideki harfler aynı satırda veya aynı sütunda değilse, ilk harfi şifrelemek için bu harfin bulunduğu satır ve ikinci harfin bulunduğu sütunun kesişimindeki harf alınır, ikinci harfi şifrelemek içinse ilk harfin bulunduğu sütun ve ikinci harfin bulunduğu satırın kesişimindeki harf alınır. Örneğin “MA” harf İkilisi “JB” İkilisine dönüşür.

Bu algoritmaya göre diizmetnimizi şifrelersek ilk ikili aynı satır veya sütunda olmadığı için üçüncü maddeye göre şifrelenir ve “OD” İkilisi “AC” İkilisine dönüşür; ikinci ikili aynı şekilde “PV”ye; üçüncü ikili aynı satırda olduğu için birinci maddeye göre şifrelenir ve “VN” İkilisine dönüşür. Geriye kalan İkilileri ise okuyucumuza bırakıyoruz.

Anahtar sözcüğü bilen herkes, aynı matrisi oluşturup şifreleme algoritmasını tersten uygulayarak şifre çözme işlemini kolaylıkla yapabilir. Mesela, şifremetnin ilk İkilisi “AC” ikilisiydi. Aynı algoritmayı uygularsak; “A”nm bulunduğu satırla “C”nin bulunduğu sütunun kesişimindeki harfin “0”yu; “A”nm bulunduğu sütunla “C”nin bulunduğu satırın kesişimindeki harfin de “D”yi verdiğini görürüz. Yani düzmetnin ilk İkilisini elde etmiş oluruz. Diğer iki madde ise tersten uygulanır. Mesela, aynı satırda bulunan şifrelenmiş harf İkilisi, sağ değil de sol taraflarında bulunan harflerle yer değiştirilerek düzmetindeki eş değer ikili bulunur. Üçüncü şifremetin İkilisi “VN”yi ele alalım. “V” ve “N” aynı satırda olduğu için sol taraflarında bulunan harflerle yer değiştirir ve “UY” ye dönüşür. İngiliz Savaş Şubesi tarafından kullanılan Playfair şifresi 20. yüzyılın başlarına kadar güvenliğini korusa da daha sonraları harf İkililerinin frekans dağılımı kullanılarak kriptanaliz edilmişti. Günümüzde kullanılan blok şifreler Playfair’in çalışma prensibine benzer bir mantıkla şifreleme işlemini yapmaktadırlar.

Buraya kadar verdiğimiz algoritmaların gücünün nereden geldiğinden, güvenliğinin hangi faktörlere bağlı olduğundan çok fazla bahsetmedik. Güvenli ve pratik olması şifre sistemlerinin sağlaması gereken en önemli özelliklerindendir. Tarihte bu konudan yazılı olarak ilk bahseden Hollandalı dilbilimci ve kriptograf Auguste Kerckhoffs’tur. Auguste Kerckhoffs, 1883 yılında yayınladığı “La Cryptographie Militarie” isimli makalesinde bir şifreleme sisteminde anahtar bilinmediği taktirde, sistem ile ilgili her şey bilinse bile sistemin güvenliğinin tam olması gerektiğini söylemiştir. Bu prensipler o tarihten sonra tasarlanan şifre sistemleri için önemli bir yol gösterici oldu. Kerckhoff Prensiplerini altı ana maddede toplayabiliriz:

Sistem pratik ve matematiksel bir gerçekliğe dayanmalı.
Sistem gizliliğe dayanmamalı. Yani sistem hakkındaki her şey herkes tarafından bilinmeli.
Sistemde kullanılan anahtarlar taraflar arasında kolayca, üçüncü kişinin değiştirmesine izin vermeden değiştirilebilmeli.
Sistem telgraf uygulamasında kullanılabilmeli.
Sistemin kullanılabilmesi için fazla sayıda insana ihtiyaç duyulmamak.
Sistemin uygulaması ve anlaşılması kolay olmalı ve şifreleme sisteminin güvenliği, şifreleme algoritmasını gizli tutmaya dayanmamalıdır; güvenlik, yalnızca anahtarı gizli tutmaya dayanmalıdır.

Kerckhoffs o dönem için oldukça önemli saptamalar yapmıştır. Özellikle ikinci madde Kerckhoffs prensibi olarak bilinir ve “Bir kriptosistemin güvenliği anahtarın gizliliğine bağlıdır” diye özetlenebilir. Kerckhoffs’tan yaklaşık 60 yıl sonra Amerikalı ünlü bilim adamı Claude Shannon da güvenli bir şifreleme sisteminde ele geçirilen şifreli mesajdan istatistiksel verilerle anahtara ulaşılamaması gerektiğini ve anahtarın gizliliğinin sistemin güvenliği için en önemli etken olduğunu öne sürmüştür. Shannon’ın teorilerinden günümüz kriptografisinde daha ayrıntılı bir şekilde bahsedeceğiz.

Kriptanaliz geliştikçe kriptograflar daha güvenli sistemler için yeni buluşlar yapmaya devam ediyorlardı. 1929 yılında Leşte S. Hill tarafından bulunan Hill Şifresi çok alfabeli şifreleme sistemlerine başka bir örnektir ve çok alfabeli şifreleri daha pratik bir hale getirmesi bakımından çok önemlidir. Ayrıca, Claude Shannon’un 1949 yılında öne sürdüğü güvenli bir şifreleme sisteminin karıştırmayı iyi yapması gerektiği bu sistem tarafından sağlanmaktadır. Hill şifresi lineer cebire dayanmaktadır, şifrelenmek istenen düzmetin alt gruplara bölünerek önceden belirlenmiş anahtar matrisler ile işleme sokulur. Bu nedenle harflerin sayılara çevrilmesi gerekmektedir. Hill şifresi için öncelikle alfabedeki her harf bir sayıya karşılık getirilir.

A B C Ç D E F G Ğ H I İ J K L M N O Ö P R S Ş T U Ü V Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Hill şifresinin pratikteki kullanımı düzmetni ikili bloklar halinde şifrelemektir. Bu daha uzun bloklarla da yapılabilir, ancak biz burada kolaylık olması açısından ikili bloklarla yapacağız.

İlkel şifreleme algoritmalarından birisidir. Bu yöntemde blok şifreleme (block cipher) kullanılır. Yani şifrelenecek açık metin (plain text) bloklara bölünerek blok blok şifrelenir. Her blok için Affine Cipher benzeri bir yaklaşım izlenerek verilen anahtar ile metindeki karakter değeri çarpılır. Elde edilen sonuçlar toplanarak yeni karakter elde edilir.

Örneğin anahtar olarak aşağıdaki matrisin kullanıldığı bir Hill şifrelemesi (tepe şifrelemesi) olsun:

Bu matrisi kullanarak öncelikle şifreleme işlemini yapalım. Diyelim ki şifrelemek istediğimiz metik BE olsun. (dikkat edilirse 2 boyutunda bir blok aldık bunun sebebi anahtarın 2×2 matris olmasıdır)

BE = {1,4}

MAtris çarpımı yapılarak

Sonuuc elde edilir. Dolayısıyla şifrelenmiş metnimiz OY olarak bulunur.

Şifrenin açılması için matrisin tersinin bulunması gerekir:

|A| = 2×5 – 3×4 = 10-12 = -2 , olarak matrisin determinantı bulunur.

Matrisin tersi alındığında :

5 -3

-4 2

değerlerinin -1/2 ile çarpılmış halidir:

-2.5 1.5

2 -1

olarak bulunur.

Yukarıdaki bu tersi alınmış matris ile mesajımızı çarpalım

-2.5 1.5 14

2 -1 24

sonuç olarak:

matrisi geri bulunmuş olur.

Bkz: http://bilgisayarkavramlari.sadievrenseker.com/2008/11/19/hill-sifrelemesi-hill-cipher/

Bu bölümde anlatılan kağıt-kalem ile yapılabilen şifreleme sistemleri artık günümüzde kullanılmamaktadır. Bunlar daha çok, gazete sayfalarının bulmaca köşelerinde yer alan eğlenceli ve düşündürücü zeka sorularına benzer örneklerdi. Bu şifreler I. ve II. Dünya Savaşları’na kadar sivil ve askeri amaçlarla kullanılmış ve makinelerin yaygınlaşmasıyla tarih sayfalarındaki yerlerini almışlardır.

Sh: 13-48

Sonuç

Güçlü olan sistemler yollarına devam ederken teknolojinin gelişimine direnemeyen güçsüz sistemler tarih sayfalarındaki yerlerini almışlardır, tıpkı kitapta anlatılan Sezar, Vigenere, Enigma ve birçokları gibi. Son olarak gördüğümüz kuantum bilgisayarları tamamlandığında ise günümüz sistemleri tarih olacaktır. Bunun sonucunda devreye giren kuantum kriptografi uygun altyapı oluşturulduğu ve uzun mesafelerde çalışabilecek konuma getirildiği sürece şifreleme evriminin duracağı iddia edilmektedir. Geriye bir tek soru kalıyor: Bu kusursuz güvenlik herkese açık olacak mı, yani hükümetler buna izin verecek mi? İzin verildiği takdirde ise ortaya ahlaki bir sorun çıkacaktır. Suç unsuru teşkil eden bilgilerin mutlak güvenli bir şekilde iletilmesi suçun artmasına neden olacak, bu iletişim şekli istihbaratı engelleyecektir. Günümüzün kutuplaşmış ve karmaşık dünyasında her gönderilen bilgi faydalı değildir. Zararlı bilgilerin de bu şifrelemelerden faydalanmaları ve güvenli bir şekilde iletilmeleri bilgi denetimini zorlaştıracaktır. Bu sebeple kusursuz güvenli bilgi iletimi bazı hükümetlerin aleyhine olacak ve sonucunda herkes tarafından kullanılması engellenecektir. Bitirirken şunu da ekleme gerekliliğini görüyoruz : Kriptografi güvenli bir dünya oluşturacağı gibi kötü amaçlar için de kullanılabilir. Tüm dünyanın, elindeki bu altın anahtarın değerini bilmesi ve doğru bir şekilde kullanması gelecek için faydalı olacaktır.

Sh: 109

Kuantum Kriptografi ve Kriptografînin Geleceği” için kitabı okumanız gerekiyor.

Daha Fazla bilgi için Kaynak:

Şifrelerin Matematiği KRİPTOGRAFİ, hzl: Canan ÇİMEN Sedat AKLEYLEK Prof. Dr. Ersan AKYILDIZ, ODTÜ Bilim ve Toplum Kitapları Dizisi, 5. Baskı Ocak 2011, Ankara

[1] Kaynak: Türk-İslâm Kültüründe Ebced Hesabı ve Tarih Düşürme, Doç.Dr. İsmail Yakıt, Ötüken, İstanbul, 1992.

[2] İbnü’l Arabî’ye göre bu harflerin bazı sayı değeri şu şekildedir.

“gayn” harfinin sayısal değeri hakkında, bize ve sır ehline göre 900, nur ehline göre ise 1000’dir der.

“dâd” harfinin sayısal değeri hakkında, bize göre 90, nur ehline göre ise 800’dür der.

“şın” harfinin sayısal değeri hakkında bize göre 1000, nur ehline göre 300’dür der.

“yâ” harfinin sayısal değeri hakkında on ikinci felek için 10, yedinci felek için ise 1’dir der.

“lam” harfinin sayısal değeri hakkında on ikinci felek için 30, yedinci felek için ise 3’tür der.

“ra” harfinin sayısal değeri hakkında on ikinci felek için 200, yedinci felek içinse 2’dir der.

“sâd” harfinin sayısal değeri hakkında bize göre 60, nur ehline göre 90’dır der.

“sin”harfinin sayısal değeri hakkında nur ehline göre 60, bize göre ise; büyük ebcette 300, küçükte 3’tür der.

“zı” harfinin sayısal değeri hakkında nur ehline göre 900, bize göre büyük ebcette 800, küçük ebcette 8’dir der. (ÇAKMAKLIOĞLU, 2005), s. 208-209

Not: Bazen Büyük Dosyaları tarayıcı açmayabilir...İndirerek okumaya Çalışınız.

Bu Blogda Ara

İsmail Hakkı Altuntaş

Benzer Yazılar

Yorumlar

Arşivleme